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7.6E: O Método de Frobenius I (Exercícios) - Matemática


Este conjunto contém exercícios especificamente identificados por que solicitam a implementação do procedimento de verificação. Esses exercícios específicos foram escolhidos arbitrariamente, você também pode formular tais problemas de laboratório para qualquer uma das equações em Exercícios 7.5.1-7.5.10, 7.5.14-7.5.25, e 7.5.28-7.5.51.

Q7.5.1

Em Exercícios 7.5.1-7.5.10 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Calcule (a_ {0}, a_ {1}, ..., a_ {N} ) para (N ) pelo menos (7 ) em cada solução.

1. (2x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y '' + x (3 + 3x + 5x ^ 2) y'-y = 0 )

2. (3x ^ 2y '' + 2x (1 + x-2x ^ 2) y '+ (2x-8x ^ 2) y = 0 )

3. (x ^ 2 (3 + 3x + x ^ 2) y '' + x (5 + 8x + 7x ^ 2) y '- (1-2x-9x ^ 2) y = 0 )

4. (4x ^ 2y '' + x (7 + 2x + 4x ^ 2) y '- (1-4x-7x ^ 2) y = 0 )

5. (12x ^ 2 (1 + x) y '' + x (11 + 35x + 3x ^ 2) y '- (1-10x-5x ^ 2) y = 0 )

6. (x ^ 2 (5 + x + 10x ^ 2) y '' + x (4 + 3x + 48x ^ 2) y '+ (x + 36x ^ 2) y = 0 )

7. (8x ^ 2y '' - 2x (3-4x-x ^ 2) y '+ (3 + 6x + x ^ 2) y = 0 )

8. (18x ^ 2 (1 + x) y '' + 3x (5 + 11x + x ^ 2) y '- (1-2x-5x ^ 2) y = 0 )

9. (x (3 + x + x ^ 2) y '' + (4 + x-x ^ 2) y '+ xy = 0 )

10. (10x ^ 2 (1 + x + 2x ^ 2) y '' + x (13 + 13x + 66x ^ 2) y '- (1 + 4x + 10x ^ 2) y = 0 )

Q7.5.2

11. As soluções Frobenius de

[2x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y '' + x (9 + 11x + 11x ^ 2) y '+ (6 + 10x + 7x ^ 2) y = 0 não numérico ]

obtidos no Exemplo 7.5.1 são definidos em ((0, rho) ), onde ( rho ) é definido no Teorema 7.5.2. Encontre ( rho ). Em seguida, faça os seguintes experimentos para cada solução de Frobenius, com (M = 20 ) e ( delta = .5 rho ), (. 7 rho ) e (. 9 rho ) em o procedimento de verificação descrito no final desta seção.

  1. Calcule ( sigma_N ( delta) ) (consulte a Equação 7.5.28) para (N = 5 ), (10 ​​), (15 ),…, (50 ).
  2. Encontre (N ) de modo que ( sigma_N ( delta) <10 ^ {- 5} ).
  3. Encontre (N ) de modo que ( sigma_N ( delta) <10 ^ {- 10} ).

12. Pelo Teorema 7.5.2 as soluções de Frobenius da equação em Exercício 7.5.4 são definidos em ((0, infty) ). Faça os experimentos (a), (b) e (c) de Exercício 7.5.11 para cada solução Frobenius, com (M = 20 ) e ( delta = 1 ), (2 ) e (3 ) no procedimento de verificação descrito no final desta seção.

13. As soluções de Frobenius da equação em Exercício 7.5.6 são definidos em ((0, rho) ), onde ( rho ) é definido no Teorema 7.5.2. Encontre ( rho ) e faça os experimentos (a), (b) e (c) de Exericse 7.5.11 para cada solução Frobenius, com (M = 20 ) e ( delta = .3 rho ), (. 4 rho ), e (. 5 rho ), no procedimento de verificação descrito no final desta seção.

Q7.5.3

Em Exercícios 7.5.14-7.5.25 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Dê fórmulas explícitas para os coeficientes em cada solução.

14. (2x ^ 2y '' + x (3 + 2x) y '- (1-x) y = 0 )

15. (x ^ 2 (3 + x) y '' + x (5 + 4x) y '- (1-2x) y = 0 )

16. (2x ^ 2y '' + x (5 + x) y '- (2-3x) y = 0 )

17. (3x ^ 2y '' + x (1 + x) y'-y = 0 )

18. (2x ^ 2y '' - xy '+ (1-2x) y = 0 )

19. (9x ^ 2y '' + 9xy '- (1 + 3x) y = 0 )

20. (3x ^ 2y '' + x (1 + x) y '- (1 + 3x) y = 0 )

21. (2x ^ 2 (3 + x) y '' + x (1 + 5x) y '+ (1 + x) y = 0 )

22. (x ^ 2 (4 + x) y '' - x (1-3x) y '+ y = 0 )

23. (2x ^ 2y '' + 5xy '+ (1 + x) y = 0 )

24. (x ^ 2 (3 + 4x) y '' + x (5 + 18x) y '- (1-12x) y = 0 )

25. (6x ^ 2y '' + x (10-x) y '- (2 + x) y = 0 )

Q7.5.4

26. Pelo Teorema 7.5.2 as soluções de Frobenius da equação em Exercício 7.5.17 são definidos em ((0, infty) ). Faça os experimentos (a), (b) e (c) de Exercício 7.5.11 para cada solução Frobenius, com (M = 20 ) e ( delta = 3 ), (6 ), (9 ) e (12 ) no procedimento de verificação descrito no final de esta seção.

27. As soluções de Frobenius da equação em Exercício 7.5.22 são definidos em ((0, rho) ), onde ( rho ) é definido no Teorema 7.5.2. Encontre ( rho ) e faça os experimentos (a), (b) e (c) de Exercício 7.5.11 para cada solução Frobenius, com (M = 20 ) e ( delta = .25 rho ), (. 5 rho ), e (. 75 rho ) no procedimento de verificação descrito em no final desta seção.

Q7.5.5

Em Exercícios 7.5.28- 7.5.32 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Compare os coeficientes (a_ {0}, ..., a_ {N} ) para (N ) pelo menos (7 ) em cada solução.

28. (x ^ 2 (8 + x) y '' + x (2 + 3x) y '+ (1 + x) y = 0 )

29. (x ^ 2 (3 + 4x) y '' + x (11 + 4x) y '- (3 + 4x) y = 0 )

30. (2x ^ 2 (2 + 3x) y '' + x (4 + 11x) y '- (1-x) y = 0 )

31. (x ^ 2 (2 + x) y '' + 5x (1-x) y '- (2-8x) y )

32. (x ^ 2 (6 + x) y '' + x (11 + 4x) y '+ (1 + 2x) y = 0 )

Q7.5.6

Em Exercícios 7.5.33-7.5.36 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Dê fórmulas explícitas para os coeficientes em cada solução.

33. (8x ^ 2y '' + x (2 + x ^ 2) y '+ y = 0 )

34. (8x ^ 2 (1-x ^ 2) y '' + 2x (1-13x ^ 2) y '+ (1-9x ^ 2) y = 0 )

35. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' - 2x (2-x ^ 2) y '+ 4y = 0 )

36. (x (3 + x ^ 2) y '' + (2-x ^ 2) y'-8xy = 0 )

37. (4x ^ 2 (1-x ^ 2) y '' + x (7-19x ^ 2) y '- (1 + 14x ^ 2) y = 0 )

38. (3x ^ 2 (2-x ^ 2) y '' + x (1-11x ^ 2) y '+ (1-5x ^ 2) y = 0 )

39. (2x ^ 2 (2 + x ^ 2) y '' - x (12-7x ^ 2) y '+ (7 + 3x ^ 2) y = 0 )

40. (2x ^ 2 (2 + x ^ 2) y '' + x (4 + 7x ^ 2) y '- (1-3x ^ 2) y = 0 )

41. (2x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + 5x (1 + 6x ^ 2) y '- (2-40x ^ 2) y = 0 )

42. (3x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + 5x (1 + x ^ 2) y '- (1 + 5x ^ 2) y = 0 )

43. (x (1 + x ^ 2) y '' + (4 + 7x ^ 2) y '+ 8xy = 0 )

44. (x ^ 2 (2 + x ^ 2) y '' + x (3 + x ^ 2) y'-y = 0 )

45. (2x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + x (3 + 8x ^ 2) y '- (3-4x ^ 2) y = 0 )

46. ​​ (9x ^ 2y '' + 3x (3 + x ^ 2) y '- (1-5x ^ 2) y = 0 )

Q7.5.7

Em Exercícios 7.5.47-7.5.51 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Compare os coeficientes (a_ {0}, ..., a_ {2M} ) para (M ) pelo menos (7 ) em cada solução.

47. (6x ^ 2y '' + x (1 + 6x ^ 2) y '+ (1 + 9x ^ 2) y = 0 )

48. (x ^ 2 (8 + x ^ 2) y '' + 7x (2 + x ^ 2) y '- (2-9x ^ 2) y = 0 )

49. (9x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + 3x (3 + 13x ^ 2) y '- (1-25x ^ 2) y = 0 )

50. (4x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + 4x (1 + 6x ^ 2) y '- (1-25x ^ 2) y = 0 )

51. (8x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + 2x (5 + 34x ^ 2) y '- (1-30x ^ 2) y = 0 )

Q7.5.8

52. Suponha que (r_1> r_2 ), (a_0 = b_0 = 1 ) e a série de Frobenius

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n quad mbox {e} quad y_2 = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty b_nx ^ n nonumber ]

ambos convergem em um intervalo ((0, rho) ).

  1. Mostre que (y_1 ) e (y_2 ) são linearmente independentes em ((0, rho) ). SUGESTÃO: Mostre que se (c_ {1} ) e (c_ {2} ) são constantes tais que (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} ≡0 ) em ((0, rho) ), então [c_ {1} x ^ {r_ {1} -r_ {2}} sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ { n} + c_ {2} sum_ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} x ^ {n} = 0, quad 0
  2. Use o resultado de (b) para completar a prova do Teorema 7.5.3.

53. A equação

[x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0 tag {A} ]

é Equação de ordem de Bessel ( nu ). (Aqui ( nu ) é um parâmetro, e este uso de "ordem" não deve ser confundido com seu uso usual como em "a ordem da equação".) As soluções da Equação A são Funções de ordem de Bessel ( nu ).

  1. Supondo que ( nu ) não seja um número inteiro, encontre um conjunto fundamental de soluções de Frobenius da Equação A.
  2. Se ( nu = 1/2 ), as soluções da Equação A se reduzem a funções elementares familiares. Identifique essas funções.

54.

  1. Verifique se [{d over dx} left (| x | ^ rx ^ n right) = (n + r) | x | ^ rx ^ {n-1} quad text {e} quad { d ^ 2 over dx ^ 2} left (| x | ^ rx ^ n right) = (n + r) (n + r-1) | x | ^ rx ^ {n-2} nonumber ] if (x ne0 ).
  2. Seja [Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y = 0. nonumber ] Mostre que se (x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) é uma solução de (Ly = 0 ) em ((0, rho) ) então (| x | ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) é uma solução em ((- rho, 0) ) e ((0, rho) ).

55.

  1. Deduza da Equação 7.5.20 que [a_n (r) = (- 1) ^ n prod_ {j = 1} ^ n {p_1 (j + r-1) over p_0 (j + r)}. Não numérico ]
  2. Conclua que se (p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) ) onde (r_1-r_2 ) não é um número inteiro, então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ { n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n quad mbox {e} quad y_2 = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n nonumber ] formam um conjunto fundamental de soluções Frobenius de [x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x) y '' + x ( beta_0 + beta_1x) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x) y = 0. nonumber ]
  3. Mostre que se (p_0 ) satisfaz as hipóteses de (b), então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over n! Prod_ {j = 1} ^ n (j + r_1-r_2)} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n nonumber ] e [y_2 = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (j + r_2-r_1)} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n nonumber ] formam um conjunto fundamental de soluções Frobenius de [ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_1x) y = 0. nonumber ]

56. Deixe

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_2x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_2x ^ 2) y = 0 nonumber ]

e definir

[p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 quad mbox {e} quad p_2 (r) = alpha_2r (r-1) + beta_2r + gamma_2. nonumber ]

  1. Use o Teorema 7.5.2 para mostrar que se [ begin {array} {rcl} a_0 (r) & = & 1, p_0 (2m + r) a_ {2m} (r) + p_2 (2m + r-2 ) a_ {2m-2} (r) & = & 0, quad m ge1, end {array} tag {A} ] então a série Frobenius (y (x, r) = x ^ r sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} x ^ {2m} ) satisfaz (Ly (x, r) = p_0 (r) x ^ r ).
  2. Deduza da Equação A que se (p_0 (2m + r) ) é diferente de zero para cada inteiro positivo (m ) então [a_ {2m} (r) = (- 1) ^ m prod_ {j = 1 } ^ m {p_2 (2j + r-2) sobre p_0 (2j + r)}. não numérico ]
  3. Conclua que se (p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) ) onde (r_1-r_2 ) não é um número inteiro par, então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (r_1) x ^ {2m} quad mbox {e} quad y_2 = x ^ {r_2} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (r_2) x ^ {2m} nonumber ] forma um conjunto fundamental de soluções de Frobenius de (Ly = 0 ).
  4. Mostre que se (p_0 ) satisfaz as hipóteses de (c), então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over 2 ^ mm! Prod_ {j = 1} ^ m (2j + r_1-r_2)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} nonumber ] e [y_2 = x ^ {r_2} sum_ { m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over 2 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (2j + r_2-r_1)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} nonumber ] forma um conjunto fundamental de soluções Frobenius de [ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_2x ^ 2) y = 0. nonumber ]

57. Deixe

[Ly = x ^ 2q_0 (x) y '' + xq_1 (x) y '+ q_2 (x) y, não numérico ]

Onde

[q_0 (x) = sum_ {j = 0} ^ infty alpha_jx ^ j, quad q_1 (x) = sum_ {j = 0} ^ infty beta_jx ^ j, quad q_2 (x) = sum_ {j = 0} ^ infty gamma_jx ^ j, nonumber ]

e definir

[p_j (r) = alpha_jr (r-1) + beta_jr + gamma_j, quad j = 0,1, pontos. nonumber ]

Seja (y = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ). Mostra isso

[Ly = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty b_nx ^ n, nonumber ]

Onde

[b_n = sum_ {j = 0} ^ np_j (n + r-j) a_ {n-j}. não número ]

58.

  1. Seja (L ) como em Exercício 7.5.57. Mostre que se [y (x, r) = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r) x ^ n não número ] onde [ begin {alinhado} a_0 (r) & = & 1, a_n (r) & = & - {1 over p_0 (n + r)} sum_ {j = 1} ^ n p_j (n + rj) a_ {nj} (r), quad n ge1, end {alinhado} nonumber ] então [Ly (x, r) = p_0 (r) x ^ r. nonumber ]
  2. Conclua que se [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) nonumber ] onde (r_1-r_2 ) não é um inteiro, então (y_1 = y (x, r_1) ) e (y_2 = y (x, r_2) ) são soluções de (Ly = 0 ).

59. Deixe

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_qx ^ q) y '' + x ( beta_0 + beta_qx ^ q) y '+ ( gamma_0 + gamma_qx ^ q) y nonumber ]

onde (q ) é um número inteiro positivo e define

[p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 quad mbox {e} quad p_q (r) = alpha_qr (r-1) + beta_qr + gamma_q. nonumber ]

  1. Mostre que se [y (x, r) = x ^ {r} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {qm} (r) x ^ {qm} nonumber ] onde [ begin {array } {rcl} a_0 (r) & = & 1, a_ {qm} (r) & = & - {p_q left (q (m-1) + r right) over p_0 (qm + r)} a_ {q (m-1)} (r), quad m ge1, end {array} tag {A} ] então [Ly (x, r) = p_0 (r) x ^ r. nenhum número ]
  2. Deduza da Equação A que [a_ {qm} (r) = (- 1) ^ m prod_ {j = 1} ^ m {p_q left (q (j-1) + r right) over p_0 ( qj + r)}. não numérico ]
  3. Conclua que se (p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) ) onde (r_1-r_2 ) não é um múltiplo inteiro de (q ), então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {qm} (r_1) x ^ {qm} quad mbox {e} quad y_2 = x ^ {r_2} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {qm} (r_2) x ^ {qm} nonumber ] forma um conjunto fundamental de soluções de Frobenius de (Ly = 0 ).
  4. Mostre que se (p_0 ) satisfaz as hipóteses de (c), então [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over q ^ mm! Prod_ {j = 1} ^ m (qj + r_1-r_2)} left ( gamma_q over alpha_0 right) ^ mx ^ {qm} nonumber ] e [y_2 = x ^ {r_2} sum_ { m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over q ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (qj + r_2-r_1)} left ( gamma_q over alpha_0 right) ^ mx ^ {qm} nonumber ] forma um conjunto fundamental de soluções Frobenius de [ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_qx ^ q) y = 0. nonumber ]

60.

  1. Suponha que ( alpha_0, alpha_1 ) e ( alpha_2 ) sejam números reais com ( alpha_0 ne0 ) e ( {a_n } _ {n = 0} ^ infty ) é definido por [ alpha_0a_1 + alpha_1a_0 = 0 nonumber ] e [ alpha_0a_n + alpha_1a_ ​​{n-1} + alpha_2a_ {n-2} = 0, quad n ge2. nonumber ] Mostre que [( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n = alpha_0a_0, nonumber ] e inferir que [ sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n = { alpha_0a_0 over alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2}. nonumber ]
  2. Com ( alpha_0, alpha_1 ), e ( alpha_2 ) como em (a), considere a equação [x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2 x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y = 0, tag {A} ] e definir [p_j (r) = alpha_jr (r-1) + beta_jr + gamma_j, quad j = 0,1,2. nonumber ] Suponha que [{p_1 (r-1) over p_0 (r)} = { alpha_1 over alpha_0}, qquad {p_2 ( r-2) over p_0 (r)} = { alpha_2 over alpha_0}, nonumber ] e [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2), nonumber ] onde (r_1> r_2 ). Mostre que [y_1 = {x ^ {r_1} over alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2} quad mbox {e} quad y_2 = {x ^ {r_2} over alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2 } nonumber ] forma um conjunto fundamental de soluções de Frobenius da Equação A em qualquer intervalo ((0, rho) ) no qual ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2 ) não tem zeros.

Q7.5.9

Em Exercícios 7.5.61-7.5.68 use o método sugerido por Exercício 7.5.60 para encontrar a solução geral em algum intervalo ((0, rho) ).

61. (2x ^ 2 (1 + x) y '' - x (1-3x) y '+ y = 0 )

62. (6x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + x (1 + 50x ^ 2) y '+ (1 + 30x ^ 2) y = 0 )

63. (28x ^ 2 (1-3x) y '' - 7x (5 + 9x) y '+ 7 (2 + 9x) y = 0 )

64. (9x ^ 2 (5 + x) y '' + 9x (5 + 3x) y '- (5-8x) y = 0 )

65. (8x ^ 2 (2-x ^ 2) y '' + 2x (10-21x ^ 2) y '- (2 + 35x ^ 2) y = 0 )

66. (4x ^ 2 (1 + 3x + x ^ 2) y '' - 4x (1-3x-3x ^ 2) y '+ 3 (1-x + x ^ 2) y = 0 )

67. (3x ^ 2 (1 + x) ^ 2y '' - x (1-10x-11x ^ 2) y '+ (1 + 5x ^ 2) y = 0 )

68. (4x ^ 2 (3 + 2x + x ^ 2) y '' - x (3-14x-15x ^ 2) y '+ (3 + 7x ^ 2) y = 0 )


Métodos de divisão de Frobenius em geometria e teoria da representação

A teoria das divisões de Frobenius teve um impacto significativo no estudo da geometria das variedades de bandeiras e na teoria da representação. Este trabalho, único na literatura do livro, desenvolve sistematicamente a teoria e cobre todos os seus principais desenvolvimentos.

* Uma exposição concisa e eficiente desdobra-se de material introdutório básico sobre divisões Frobenius - definições, propriedades e exemplos - para pesquisas de ponta

* Estuda em detalhes a geometria das variedades de Schubert, seus syzygies, embeddings equivariantes de grupos redutivos, esquemas de Hilbert, separações canônicas, boas filtrações, entre outros tópicos

* Aplica métodos de divisão de Frobenius à geometria algébrica e vários problemas na teoria da representação

* Muitos exemplos, exercícios e problemas abertos sugeridos ao longo

* Bibliografia e índice abrangentes

Este livro será um excelente recurso para matemáticos e alunos de pós-graduação em geometria algébrica e teoria da representação de grupos algébricos.


Problemas de lição de casa

Lição de casa nº 1 (entrega na segunda-feira, 14 de janeiro) Seção A1 (página A3) # 4, 15, 20, 22Seção A2 (página A19) # 1, 12, 37, 45, 61
Seção A3 (página A26) # 3, 9, 31, 34

Lição de casa nº 2 (para sexta-feira, 1º de fevereiro): Seção A5 (página A49) # 1, 7, 13 Seção A6 (página A62) # 7, 10, 33
Lição de casa # 3 (devido a Sexta-feira, 8 de fevereiro) Seção 2.2 (página 35) # 1, 3, 6, 7 Seção 2.3 (página 45): # 1, 2, 6 Seção 2.4 (página 52): # 3
Lição de casa nº 4 (para segunda-feira, 25 de fevereiro)
Seção 3.1 (página 107) # 1, 2,5,6 Seção 3.2 (página 111) # 1, 2
Lição de casa # 5 (para quarta-feira, 13 de março) Seção 3.3 (página 123) # 2, 4, 5, Seção 3.5 (página 144) # 1, 4, 5 Seção 3.6 (página 151): # 1, 2, 4
Lição de casa # 6 (projeto de computador # 2) (devido a Quarta-feira março 20) Seção 3.6 # 3, Seção 3.8 # 12, Seção 3.8 # 1
Lição de casa # 7 (devido a Sexta-feira, 29 de março) Seção 3.9 (página 177) # 2, 3 Seção 3.10 (página 184) # 2, 5 Seção 3.11 (página 192) # 1
Lição de casa nº 8 / Projeto de computador nº 3 (devido a
segunda-feira, 10 de abril)
Lição de casa # 9 (devido a Quarta-feira, 17 de abril) Seção 6.1 (página 331) # 1, 4, 6, 7 (você pode usar o Maple para resolver esses problemas), Seção 6.2 (página 343) # 1,4, 8, 12, 18, 20


Uma introdução à álgebra homológica

Definição

Um anel R é quase Frobenius se é noetheriano esquerdo e direito e R é um injetivo esquerdo R-módulo.

Pode-se mostrar que a assimetria da definição é apenas virtual: R deve ser injetivo como um direito R-módulo [Jans, 1964, p. 78]. Também é verdade [Jans, 1964, p. 80] que os anéis quase Frobenius são artinianos esquerdo e direito.

Claramente, anéis semisimples são quase Frobenius em particular, kg é quase Frobenius quando G é um grupo finito e k é um campo cuja característica não divide a ordem de G. Embora existam outros exemplos, como veremos, o exemplo mais importante de um anel quase Frobenius é kg sem restrição de característica k. Este anel é importante na teoria das representações de grupos modulares.


7.6E: O Método de Frobenius I (Exercícios) - Matemática

MATH-UA.394.001, primavera de 2017
Segunda-feira, 5h10 às 7h
Sala 317, Warren Weaver Hall

Instrutor
Jonathan Goodman
[email protected]
212-998-3326
Escritório 529 Warren Weaver Hall
Horário de atendimento: das 16h às 18h às quintas-feiras, ou por agendamento

Descrição do Curso

Primeira metade: Uma introdução aos métodos práticos de Monte Carlo, com um pouco da teoria básica, com aplicações em física e química estatística, e em estatística Bayesiana. Geradores de números pseudoaleatórios. Métodos de amostragem direta, incluindo mapeamentos e rejeição. Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC), Metropolis Hastings, balanço detalhado, reamostragem parcial / banho de calor. Teoria MCMC básica, incluindo Perron Frobenius e o teorema ergódico, o teorema do limite central da cadeia de Markov e a fórmula de Kubo para tempo de autocorrelação. Métodos para estimar o tempo de autocorrelação e estimar barras de erro para resultados MCMC.

Segunda metade: Tópicos mais especializados, dependendo dos interesses e formação dos alunos na classe. Os tópicos podem incluir (a) amostradores avançados: amostradores hamiltonianos, amostradores de conjunto invariante afim, métodos de vários níveis, amostradores adaptativos, (b) integração termodinâmica, (c) seleção de modelo bayesiano, (d) simulação de evento raro, (e) diferencial estocástico equações, (f) mais teoria: gap espectral, desigualdades de Poincare e Cheeger.

As tarefas incluirão programação significativa em Python, bem como exercícios teóricos. As atribuições enfatizarão os elementos da metodologia de programação relevantes para os métodos de Monte Carlo, incluindo protocolos de verificação e métodos de visualização. Haverá um projeto de longo prazo feito individualmente ou em pequenos grupos.

Pré-requisitos

Os alunos devem ter uma boa base de matemática de graduação de nível superior, incluindo álgebra linear, probabilidade e cálculo multivariada. O trabalho do curso em computação numérica é desejável. Os alunos devem ser capazes de fazer programação numérica em Python, C / C ++, Java, Fortran, R ou Matlab. Os alunos sem experiência em Python terão que fazer um esforço extra nas primeiras semanas.


Poderes fracionários dos operadores Bessel

9.1.2 Propriedades básicas de integrais de Bessel fracionários em um segmento

Para γ = 0 , f (x) ∈ L 1 (a, b) , a ⩾ 0 , integrais de Bessel fracionários em um segmento [a, b] está

Considere agora o caso em que α = 1.

As seguintes igualdades são válidas:

No lema a seguir indicamos as condições sob as quais os operadores B γ, b - - 1 e B γ, a + - 1 serão deixados inversos ao operador diferencial de Bessel no segmento.

Deixar g ∈ C e v 2 (a, b) , f (x) = B γ g (x) , f (x) ∈ L 1 (a, b) , a ⩾ 0 . A igualdade

Vamos considerar B γ, b - - 1. Colocando f (x) = B γ g (x) = g ″ (x) + γ x g ′ (x), obtemos

Da mesma forma, mostra que (B γ, a + - 1 B γ g) (x) = g (x) é verdadeiro quando lim x → a + 0 ⁡ g (x) = 0 e lim x → a + 0 ⁡ g ′ (X) = 0. □


Métodos Matemáticos em Engenharia e Física: Conteúdo

13. Probabilidade e estatísticas
13.1. Exercício de motivação: troca de energia entre sólidos cristalinos
13,2. Introdução à Probabilidade
13,3. Combinatoria
13,4. Estatísticas descritivas
13,5. Amostragem e precisão Questões básicas relacionadas à amostragem, valores p e significância
13.6. Distribuições de probabilidade
13,7. A distribuição normal (ou gaussiana)
13,8. Simulações Monte-Carlo
13,9. Problemas Adicionais

14. Otimização
14,1. Exercício Motivador
14,2. Gradientes e pontos críticos Inclui pontos de sela e o teste multivariado de segunda derivada
14,3. Multiplicadores de Lagrange
14,4. Problemas de limite
14,5. Programação Linear com foco no método simplex
14.6. Programação Não Linear
14,7. Problemas Adicionais

15. Soluções Numéricas de Equações Diferenciais
15,1. Exercício Motivador: Uma Equação de Calor Não Linear
15,2. Software matemático Esta seção estenderá a discussão no capítulo 1 para incluir PDEs. O foco será inteiramente em soluções numéricas e, em particular, quando você precisa ir além das capacidades integradas de tal software e fazer sua própria programação.
15,3. Método de Euler para EDOs Esta seção enfatiza que o método de Euler não é uma solução prática, mas é apresentado como uma etapa pedagógica em direção a técnicas mais úteis.
15,4. Runge-Kutta
15,5. Passos de tempo adaptativos
15,6. Precisão de soluções numéricas
15,7. Simulações N-Body
15,8. Método de Euler para PDEs Como estender o método de Euler para PDEs, incluindo problemas com condições de limite. Uma fórmula de diferenciação finita simples para derivadas espaciais será dada aqui, mas a discussão sobre ela será adiada para a próxima subseção. Mais uma vez, será claramente enfatizado que o método de Euler é uma ferramenta pedagógica que não é prática para qualquer um, mas para os problemas mais simples.
15,9. Diferenciação Finita
15,10. Runge-Kutta para PDEs
15,11. Outros métodos Uma breve discussão de algumas técnicas numéricas que não podemos abordar em detalhes neste livro.
15,12. Problemas Adicionais

16. Cálculo de Variações
16.1. Exercício Motivador: Distância mais curta em uma superfície curva
16,2. Funcionais Uma função que depende de outra função, exemplos simples de extremos de funcionais
16,3. A Equação de Euler
16,4. Mecânica Lagrangiana
16,5. Problemas Adicionais

17. Geometria Diferencial
17,1. Exercício motivador: a primeira lei de Newton no espaço-tempo curvo
17,2. Tensores e transformações Definindo vetores por suas propriedades de transformação e estendendo isso para tensores de ordem superior, propriedades básicas dos tensores
17,3. Geometria Curva
17,4. Manifolds
17,5. Tensores métricos Inclui vetores covariantes e contravariantes e notação de soma de Einstein
17.6. Derivados covariantes
17,7. Geodésica
17,8. Problemas Adicionais

18. Teoria do Grupo
18.1. Exercício Motivador: Classificando Cristais
18,2. Grupos e transformações Usando grupos para classificar transformações
18,3. Propriedades básicas de grupos
18,4. Alguns grupos especiais incluem O (n), SO (n), SU (n)
18,5. Teoria de grupos e relatividade Os grupos de Lorentz e Poincar . Campos tensor e spinor.
18.6. Problemas Adicionais

19. Estimativa
19,1. Exercício de motivação: uma missão a Marte Ao planejar tal missão, você precisa começar usando estimativas grosseiras para descobrir quais efeitos precisam e não precisam ser considerados. A atração gravitacional de outros corpos no sistema solar? Deflexão pelo vento solar? Efeitos relativísticos?
19,2. Problemas de Fermi
19,3. Alguns truques para fazer (e verificar) estimativas rápidas
19,4. Fórmula de Stirling
19,5. Uso de estimativa em física e engenharia
19,6. Problemas Adicionais ->


Hopf Algebras

Miriam Cohen,. Sara Westreich, em Handbook of Algebra, 2006

Teoria do caráter

Motivado pela teoria da representação de grupo, uma ferramenta básica na teoria das álgebras de Hopf semisimples H sobre um campo algebricamente fechado de característica 0 é o anel de caracteres de H.

Deixar V ser uma esquerda de dimensão finita H-módulo e deixe ρV : H → Fim (V) seja a representação correspondente. Então χVH* é definido por

Se V é um módulo irredutível, dizemos que χV é um personagem irredutível. É facilmente visto que

Defina o anel de personagem R(H) do H ser o k-panque H* de todos os personagens em H. Desde H é semi-simples, segue-se que R(H) é gerado sobre k pelo conjunto finito de seus caracteres irredutíveis. Na realidade, R(H) é a subálgebra de todos os elementos cocomutativos de H*.

Seja t ∈ ∫ l H tal que ε(t) = 1. Defina uma forma 〈| > em R(H) de:

Quanto aos caracteres de grupos finitos, existem relações de ortogonalidade para caracteres irredutíveis por meio dessa forma. Deixe <V0, V1,…, Vm> ser um conjunto completo de esquerda irredutível H-módulos, onde V0 é o módulo trivial. Deixar neu = dim (Veu) e deixar χeu denotam o caractere χ V i. Nós temos:

Teorema 5.1.4 [131]. Seja H uma álgebra de Hopf semi-simples sobre um campo algebraicamente fechado e deixe <χ0,…, χm> ser o conjunto de caracteres irredutíveis de H. Entãoχeu | χj〉 = δeu j.

Uma consequência do teorema acima é que R(H) é uma álgebra semi-simples.

Seja R Z (H) = ∑ i Z χ i ⊂ R (H) onde <χeu> são os caracteres irredutíveis em H. Desde o <χeu> são Z independentes por ortogonalidade, R Z (H) é um módulo Z livre finito. Na verdade, R Z (H) ≅ K 0 (H), o anel de Grothendieck de H.

Teorema 5.1.5 [180]. Duas álgebras de Hopf semisimples têm anéis de Grothendieck isomórficos se e somente se eles forem pseudo-torções uma da outra.

Uma importante generalização da teoria dos grupos é a equação de classe para álgebras de Hopf semisimples.

Teorema 5.1.6 [114.250]. Seja H uma álgebra de Hopf semi-simples sobre um campo algebricamente próximo de características 0. Deixe <e0, e1,…, em> ser um conjunto completo de idempotentes ortogonais primitivos em R(H), onde e0 é uma integral para H*. Então

Muitos resultados na teoria de classificação de álgebras de Hopf semisimples são devidos à equação de classe. Um imediato é o teorema de Kac-Zhu (Teorema 2.6.1).

Quando H = kg, o teorema se resume à equação de classe usual para grupos finitos. Quando H = (kg)* então R(H) = H* = kg e a equação de classe diz que a dimensão de um irredutível G-módulo divide a ordem de G. Este é o teorema clássico de Frobenius para grupos finitos que motivou a 6ª conjectura de Kaplansky:

K aplansky & # x27s 6ª C onjectura [116]. Seja H uma álgebra de Hopf semi-simples. Então, a dimensão de qualquer módulo H irredutível divide a dimensão de H.

Nós dizemos isso H é de Tipo Frobenius se satisfaz esta conjectura. Deixe o campo base k ser algebricamente fechado da característica 0, então H é do tipo Frobenius nos seguintes casos:

Se (H, R) é quase triangular, [78].

Se H é semi-solúvel, ou seja, H tem uma série normal de subálgebras de Hopf, de modo que cada quociente de Hopf é comutativo ou cocomutativo, [173].

Se H é cotriangular, [81]. Isso foi provado usando o Teorema 5.1.7 abaixo.

Na verdade, para o caso da álgebra de Hopf semisimples quase triangular, está provado que a dimensão de qualquer D(H) -módulo divide a dimensão de H. A prova usa a teoria das categorias modulares (a categoria de representação de D(H) é modular), e em particular a fórmula de Verlinde, [242], se aplica. Veja [210,231] para provas posteriores no caso quase triangular.

Outros resultados importantes nesta direção são que se H tem um módulo irredutível de dimensão 2, então H tem uma dimensão uniforme, [179], e de forma mais geral que se H tem um módulo irredutível de dimensão par, então H tem dimensão par, [119].


Uma classe de variedades de Frobenius de dimensão infinita e suas subvariedades

Para ler o texto completo desta pesquisa,
você pode solicitar uma cópia diretamente dos autores.

(k, k + 1) (Al) documentclass [12pt] usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage setlength < oddsidemargin> <-69pt> begin$ widetilde^ <(k, k + 1)> (A_l) $ end para 1≤k & ltl documentclass [12pt] usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage setlength < oddsidemargin> <-69pt> begin$ 1 le k & ltl $ end e obter um análogo do teorema do tipo Chevalley para seus invariantes. Mostramos ainda a existência de estruturas múltiplas de Frobenius nos espaços orbitais de W

(k, k + 1) (Al) documentclass [12pt] usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage usepackage setlength < oddsidemargin> <-69pt> begin$ widetilde^ <(k, k + 1)> (A_l) $ end e também construir superpotenciais de Landau – Ginzburg para essas estruturas múltiplas de Frobenius.


7.6E: O Método de Frobenius I (Exercícios) - Matemática

O TEOREMA PERRON-FROBENIUS

Os projetos desta coleção estão preocupados com modelos de muitas áreas diferentes que são parte de seu propósito, para mostrar que a álgebra linear é um ramo amplamente aplicável da matemática. Se forem revisados ​​como um todo, eles têm algumas características matemáticas comuns: os autovalores são muito úteis e as matrizes estudadas são quase todas não negativas (todas as entradas nelas são iguais ou maiores). Para ser um pouco mais preciso sobre o primeiro, geralmente é apenas o maior, ou maior, autovalor que precisamos saber.

Isso torna a vida muito mais fácil. Calcular todos os valores próprios de uma matriz pode ser uma tarefa difícil. Para uma matriz 10x10 de um modelo populacional, o Maple freqüentemente tem problemas para computar todos eles. Ainda assim, precisamos apenas de um dos 10 e os métodos mostrados no Projeto # 10 funcionam de forma confiável.

A questão matemática que tudo isso levanta é: como sabemos se o autovalor dominante de uma matriz é positivo? Outra questão é: poderia haver autovalores positivos e negativos do mesmo tamanho? Nesse caso, o comportamento do sistema associado pode ser bem diferente. A resposta a esta pergunta é sim, conforme mostrado no problema 3 do Projeto # 10

Ambas as questões são respondidas pelo Teorema de Perron-Frobenius para matrizes não negativas. Os resultados do teorema dependem do tipo de matriz não negativa que se possui. O primeiro tipo que examinamos é chamado de irredutível.

DEFINIÇÃO Uma matriz nxn não negativa A é dita irredutível se não houver permutação de coordenadas tal que

onde P é uma matriz de permutação nxn (cada linha e cada coluna têm exatamente uma entrada 1 e todas as outras 0), A 11 é rxr e A 22 é (n-r) x (n-r). Esta não é uma definição particularmente inspiradora, visto que apenas nos diz o que NÃO é irredutível. Quase a única coisa que sabemos com certeza é que uma matriz com todas as entradas positivas é irredutível.

Para esclarecer a noção de irredutibilidade, nós a examinamos em três contextos diferentes:

1. Cadeias de Markov. Suponha que A seja a matriz de transição de uma cadeia de Markov. Então, é não negativo e suponha ainda que seja configurado de modo que

a ij = a probabilidade de ir do estado j para o estado i

Se olharmos, digamos, a quarta linha de A, veremos as probabilidades de ir do estado 4 para os vários outros estados (bem como de permanecer no estado 4). Qualquer entrada que seja zero indica que não se pode ir para esse estado a partir do estado 4, pelo menos em uma etapa.

Agora, se A é redutível, por exemplo,

então podemos ver que é possível ir dos estados 1,2 ou 3 para quaisquer estados, mas apenas dos estados 4 ou 5 para eles próprios. Esta é, obviamente, a definição tradicional de estados "absorventes" em uma Cadeia de Markov. A matriz de permutação P mencionada acima simplesmente equivale a rotular os estados de forma que os de absorção sejam os últimos.

2. Gráficos. Se considerarmos gráficos direcionados, cada um tem associado a ele uma matriz não negativa com todas as entradas 0 ou 1 com

a ij = 1 se houver um arco do vértice i ao vértice j.

Se a matriz associada for irredutível, então pode-se ir de qualquer vértice para qualquer outro vértice (talvez em várias etapas), enquanto se for redutível então (como o caso da Cadeia de Markov), existem vértices dos quais não se pode viajar para todos os outros vértices.

O primeiro caso, no reino da teoria dos grafos, é chamado de gráfico & quot fortemente conectado & quot.

3. Sistemas Dinâmicos. Suponha que, como no caso da população, temos um sistema da forma

e que A é redutível como na definição acima. Então, na forma de matrizes particionadas, pode-se reescrever este sistema como

onde Y tem os primeiros r componentes de X e Z tem o último n-r, então, juntos, eles constituem o vetor original X. (O leitor que não trabalhou com matrizes particionadas ou está enferrujado no assunto deve esboçar os detalhes no nível do componente e verificar se o resultado deve seguir de uma maneira direta.) Embora isso possa não parecer útil à primeira vista , significa que a solução para Z pode ser obtida primeiro, sem referência ao sistema governando Y, e então a solução para Y obtida do sistema (não homogêneo) que trata Z como conhecido. Na linguagem inicial de tal problema, o sistema original foi "reduzido" a dois sistemas mais simples. Para os físicos, ele foi parcialmente desacoplado.

Saying, then, that the matrix A is irreducible means that the system cannot be reduced it must be treated as a whole in studying its behavior.

While the above discussion may clarify the notion of an irreducible matrix, it is not much help in verifying that a given matrix actually is irreducible. For example, it is not blatantly obvious that of the two following matrices

the latter is irreducible while the former is not. If we went strictly by the definition, we would have to keep trying permutations and looking for the critical zero submatrix to appear. But for an nxn matrix there are, of course, n! possible such matrices P making for a great deal of work ( if A is 10 x 10 then there are over 3 million possibilities!).

The following theorem is thus quite direct and helpful.

THEOREM . A is a nonnegative irreducible nxn matrix if and only if

(I n + A) n-1 > 0. (see [12], p.6 for details and proof)

We note that the power in the above expression contains the same n as in the size of the matrix. Since computer software is readily available to compute matrix powers, the above may be readily checked. Note the result is also an nxn matrix, and if any entry is zero, then the contrapositive of the theorem says A is reducible. Referring to the two matrices above, we find that by direct computation

At this point, it seems appropriate to finally state the

PERRON-FROBENIUS THEOREM FOR IRREDUCIBLE MATRICES

If A is nxn, nonnegative, irreducible, then

1 . one of its eigenvalues is positive and greater than or equal to (in absolute value) all other eigenvalues

2 . there is a positive eigenvector corresponding to that eigenvalue

and 3 . that eigenvalue is a simple root of the characteristic equation of A.

Such an eigenvalue is called the "dominant eigenvalue" of A and we assume hereafter we have numbered the eigenvalues so it is the first one. We should point out that other eigenvalues may be positive, negative or complex (and if they are complex then by "absolute value" we mean modulus, or distance in the complex plane from the origin). Complex eigenvalues are a real possibility as only symmetric matrices are guaranteed to not have them, and very few of the matrices we have been discussing, in application, will be symmetric with the notable exception of undirected graphs. Part 3 of the theorem also merits brief comment. One ramification of it is that the dominant eigenvalue cannot be a multiple root. One will not be left with the classic situation of having more roots than corresponding linearly independent eigenvectors and hence having to worry about or calculate generalized eigenvectors and/or work with Jordan blocks. The same may not be said for the other eigenvalues of A but in the models here, they do not concern us.

Primitive Matrices and the Perron-Frobenius Theorem

Irreducible matrices are not the only nonnegative matrices of possible interest in the models we have looked at. Suppose we have a dynamical system of the form

(this matrix, while containing many suspicious looking zeroes, is indeed irreducible. The easiest way to see this is to construct the associated graph for it and check that you can get from any vertex to any other vertex.)We calculate that its dominant eigenvalue is 1.653 and that an associated eigenvector is (.29,.48,.29,.35,.5,.48) t so based upon the above discussion, we believe the long term behavior of the system to be of the form:

x (k) = c 1 (1.653) k (.29,.48,.29,.35,.5,.48) t (c 1 determined from initial conditions)

Simulation of the system is, of course, quite easy as one just needs to keep multiplying the current solution by A to get the solution one time period later. However, in this case, doing so does not seem to validate the predicted behavior and in fact does not even seem to show any sort of limit at all! (the reader is encouraged to fire up some software, pick an initial condition and see this behavior).

So what went wrong? If one calculates all of the eigenvalues for the matrix, they turn out to be: 1.653,0,0,+- .856i and -1.653. The latter is where the limit problem arises since we are taking integral powers of the eigenvalues, we get an algebraic "flip-flop" effect:

x (k) = c 1 (1.653) k e 1 + . + c 6 (-1.653) k e 6

(It is, by the way, a known result that an irreducible matrix cannot have two independent eigenvectors that are both nonnegative see [16], chapter 2. Thus e 6 in the above expansion has components of mixed sign.)

Thus 1.653 did not turn out to be as neatly "dominant" as we would have liked. If we look back at the statement of the Perron-Frobenius Theorem, we see it guaranteed a positive eigenvalue (with positive eigenvector) with absolute value greater than or equal to that of any other eigenvalue. In the example just considered, the equality was met.

So the question comes up: what stronger condition than irreducibility should one impose so that a nonnegative matrix has a truly dominant eigenvalue strictly greater in absolute value than any other eigenvalue? The answer is that the matrix needs to be "primitive". While there are several possible definitions of "primitive", most of which have a graphical context in terms of cycles, we will state a more general, algebraic definition as the models we may wish to look at are from a diverse group.

DEFINITION An nxn nonnegative matrix A is primitive iff A k > 0 for some power k.

We note the strict inequality all n 2 entries of A k have to be positive for some power. Such a condition, again considering the availability of computer software and ease of use, is easy to check. If one experiments with the 6x6 from the last example, one never finds a power where all 36 entries are positive. The question might come up: how many powers

of A does one have to look at before concluding it is not primitive? If A is primitive then the power which should have all positive entries is less than or equal to n 2 -2n +2 (this is due to Wielandt in 1950, see [ 17 ]). Also, it can be easily shown that if A is primitive than A is irreducible. Thus the class of primitive matrices has as a subset the class of irreducible matrices. Finally, primitive matrices indeed have the desired property in terms of a dominant eigenvalue:

PERRON-FROBENIUS THEOREM FOR PRIMITIVE MATRICES

If A is an nxn nonnegative primitive matrix then

1. one of its eigenvalues is positive and greater than (in absolute value) all other eigenvalues

2. there is a positive eigenvector corresponding to that eigenvalue

3. that eigenvalue is a simple root of the characteristic equation of A.

In addition to the various projects, some other applications which involve the Perron Frobenious Theorem desire mention:

Application #1: Ranking of Football Teams.

James P. Keener has developed several models of schemes for ranking college football teams which may be found in [6].

In general, it should be remarked that graph theory and nonnegative matrices have a very strong relationship and that the Perron-Frobenius Theorem is often a powerful tool in graph theory. The interested reader is referred to, for example, the excellent books by Minc and Varga for an in depth discussion.

As stated above, a graph (directed or not) has associated with it a nonnegative, "adjacency" matrix whose entries are 0s and 1s. A fundamental result about lengths of cycles in the graph may be obtained by determining whether the matrix is primitive or not. The very elegant result which occurs with the help of the Perron-Frobenius Theorem is this:

* if the matrix is primitive (hence a dominant eigenvalue with absolute value strictly greater than that of all other eigenvalues) then the greatest common divisor (gcd) of the lengths of all cycles is 1

* if the matrix is irreducible but not primitive then the greatest common divisor of the lengths of all cycles is the same as the number of eigenvalues with magnitude the same as the dominant eigenvalue (and including it).

It is common to refer to graphs with matrices which are irreducible but not primitive, naturally, as imprimitive and aforementioned gcd. as the index of the graph. It should also be mentioned that the collection of such eigenvalues lie equally spaced in the complex plane on a circle of radius equaling the dominant eigenvalue.

The interested reader is encouraged to examine the following pair of graphs in light of this result:

In the case of the first graph, the eigenvalues are 1,i,-i, and -1 while in the second graph they are 1.221, -.248 +/-1.034i, and -.724, consistent with the gcd of paths for graph 1 being 4 and the gcd of paths for graph 2 being 1.

The Perron-Frobenius Theorem has proven to be a consistently powerful result for examining certain nonnegative matrices arising in discrete models. It has been shown that careful consideration need be given to what hypothesis is used depending on whether one has an irreducible or primitive matrix. In applications, knowledge of the dominant eigenvalue and eigenvector is very helpful and also attainable while knowledge of the rest of the "spectrum" is both unnecessary and computationally extensive.

The author wishes to thank Dr. Kenneth Lane of KDLLabs, Satellite Beach, Florida, for many inspiring insights and conversations concerning the power and richness of the Perron-Frobenius Theorem.

1. Berman, A. and Plemmons R. 1979. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York: Academic Press.

2. Chartrand, G. 1977. Graphs as Mathematical Models . Boston: Prindle, Weber and Schmidt.

3. Gould, Peter. 1967. The Geographic Interpretation of Eigenvalues. Transactions of the Institute of British Geographers 42: 53-85.

4. Goulet, J. 1982. Mathematical Systems Analysis - A Course. The UMAP Journal 3 (4):395-406.

6. Keener, James P., 1993. The Perron-Frobenius Theorem and the Ranking of Football Teams. SIAM Review 35 (1): 80-93.

7. Kemeny, John and Snell, Laurie. 1960. Finite Markov Chains . New York: Van Nostrand Reinhold.

8. Lane,Kenneth D.. 1983. Computing the Index of a Graph .Congressus Numerantium, 40 ,143-154

9. Luenberger, D.G. 1979. Dynamic Systems . New York: John Wiley.

11. Maki, D.P. and Thompson, M. 1973. Mathematical Models and Applications . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.

12. Minc, Henryk.1988. Nonnegative Matrices . New York: John Wiley and Sons.

14. Straffin, Philip D. 1980. Linear Algebra in Geography: Eigenvectors of Networks. Mathematics Magazine 53 (5): 269-276.

16. Varga, Richard S. 1962. Matrix Iterative Analysis . Englewood Cliffs N.J.: Prentice-Hall.

17. Wielandt,H. 1950. "Unzerlegbare nicht negativen Matrizen" Math. Z . 52 , 642-648.