Artigos

7.2: Fórmula de Representação


A seguir, assumimos que ( Omega ), a função ( phi ) que aparece na definição da solução fundamental e a função potencial (u ) considerada são suficientemente regulares para que os seguintes cálculos façam sentido , consulte [6] para generalizações. Este é o caso se ( Omega ) for limitado, ( partial Omega ) está em (C ^ 1 ), ( phi in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) para cada (y in Omega ) e (u in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) fixo.


Figura 7.2.1: Notações para a identidade de Green

Teorema 7.1. Seja (u ) uma função potencial e ( gamma ) uma solução fundamental, então para cada (y in Omega )
$$
u (y) = int _ { partial Omega} left ( gamma (x, y) frac { partial u (x)} { partial n_x} -u (x) frac { partial gamma (x, y)} { parcial n_x} direita) dS_x.
$$

Prova. Seja (B_ rho (y) subset Omega ) uma bola. Defina ( Omega_ rho (y) = Omega setminus B_ rho (y) ). Veja a Figura 7.2.2 para notações.

Figura 7.2.2: Notações para o Teorema 7.1

Da fórmula de Green, para (u, v in C ^ 2 ( overline { Omega}) ),
$$
int _ { Omega_ rho (y)} (v triângulo uu triângulo v) dx = int _ { parcial Omega_ rho (y)} left (v frac { parcial u} { parcial n} -u frac { parcial v} { parcial n} direita) dS
$$
obtemos, se (v ) é uma solução fundamental e (u ) uma função potencial,
$$
int _ { parcial Omega_ rho (y)} esquerda (v frac { parcial u} { parcial n} -u frac { parcial v} { parcial n} direita) dS = 0
$$
Portanto, temos que considerar
begin {eqnarray *}
int _ { parcial Omega _ { rho} (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS & = & int _ { parcial Omega} v frac { parcial u} { parcial n} dS + int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS
int _ { parcial Omega _ { rho} (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS & = & int _ { parcial Omega} u frac { parcial v} { parcial n} dS + int _ { parcial B_ rho (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS.
end {eqnarray *}
Estimamos as integrais sobre ( partial B_ rho (y) ):

(eu)
begin {eqnarray *}
left | int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS direita | & le & M int _ { parcial B_ rho (y)} | v | dS
& le & M left ( int _ { partial B_ rho (y)} s ( rho) dS + C omega_n rho ^ {n-1} right),
end {eqnarray *}
Onde
begin {eqnarray *}
M & = & M (y) = sup_ {B _ { rho_0} (y)} | parcial u / parcial n |, rho le rho_0,
C & = & C (y) = sup_ {x in B _ { rho_0} (y)} | phi (x, y) |.
end {eqnarray *}
A partir da definição de (s ( rho) ), obtemos a estimativa como ( rho para 0 )
begin {equation}
label {ell1}
int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS = left { begin {array} {r @ { quad: quad} l}
O ( rho | ln rho |) & n = 2
O ( rho) & n ge3.
end {array} right.
end {equação}

(ii) Considere o caso (n ge3 ), então
begin {eqnarray *}
int _ { parcial B_ rho (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS & = &
frac {1} { omega_n} int _ { parcial B_ rho (y)} u frac {1} { rho ^ {n-1}} dS + int _ { parcial B_ rho (y )} u frac { partial phi} { partial n} dS
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { parcial B_ rho (y)} u dS + O ( rho ^ {n-1})
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} u (x_0) int _ { parcial B_ rho (y)} dS + O ( rho ^ {n-1}) , & = & u (x_0) + O ( rho ^ {n-1}).
end {eqnarray *}
para um (x_0 in partial B_ rho (y) ).

Combinando esta estimativa e ( ref {ell1}), obtemos a fórmula de representação do teorema.

(Caixa)

Corolário. Defina ( phi equiv 0 ) e (r = | x-y | ) na fórmula de representação do Teorema 7.1, então
begin {eqnarray}
label {ell2}
u (y) & = & frac {1} {2 pi} int _ { partial Omega} left ( ln r frac { partial u} { partial n_x} -u frac { parcial ( ln r)} { parcial n_x} direita) dS_x, n = 2,
label {ell3}
u (y) & = & frac {1} {(n-2) omega_n} int _ { partial Omega} left ( frac {1} {r ^ {n-2}} frac { parcial u} { parcial n_x} -u frac { parcial (r ^ {2-n})} { parcial n_x} direita) dS_x, n ge3.
end {eqnarray}


SOLUÇÃO: escreva uma fórmula explícita para a sequência 7, 2, -3, -8, -13. então encontre a_14 http://prntscr.com/sob4im

Existem MUITAS (mais de uma) soluções para esta solicitação, fornecendo valores diferentes para a_14.

Por favor, PARE de postar coisas sem sentido neste fórum. . .


-----------------
Comentário do aluno: Obrigado novamente pelo feedback que não contribui com nada e é inútil!
Você não me ajudou nenhuma vez com as perguntas que postei e com as quais tenho lutado. :)
Se você acha que eu precisar de ajuda genuína é um absurdo, PARE e guarde seus pensamentos!
-----------------


Minha resposta: Por que devo guardar meus pensamentos para mim, enquanto eles são tão corretos e tão bonitos?

É verdade que você veio a este fórum para aprender com os tutores?

Então aprenda comigo, tendo esta feliz oportunidade. . .

Ou você, ao contrário, veio me ensinar? --- Mas eu não perguntei sobre isso. . .

Você realmente precisa de ajuda. Mas essa ajuda não está em encontrar o próximo número ali, onde não faz sentido.

A verdadeira ajuda de que você precisa é convencê-lo de que os números inteiros não devem nada a você.

Se você pensar diferente, recolha pelo menos um dólar de cada número natural.

Você se tornará um multi-bilionário (ou mesmo multi-trilionário) então, o gerente de todos os números naturais / dólares.


Em seguida, você poderá atribuir QUALQUER número para ser o próximo, pela lei, emitido por você, você mesmo, pessoalmente.

Resumindo, nunca venha a este fórum com tais questões / "problemas" NÃO SÊNTICOS.

E então tudo ficará Ok, na cor roxa.

Você pode colocar esta solução no SEU site!

, , ,,
como você pode ver, se você subtrair do primeiro termo, obtém o segundo termo,
se você subtrair do segundo mandato, obtém o terceiro termo, e assim por diante
então, a diferença comum é
a fórmula geral para o enésimo termo é:
. desde e


Observe que a diferença comum para cada termo sucessivo é 5, diminuindo para cada um. O primeiro termo é 7.


7.2: Estimativa de pequena amostra de uma média populacional

As fórmulas de intervalo de confiança na seção anterior são baseadas no Teorema do Limite Central, a afirmação de que para grandes amostras ( overline) é normalmente distribuído com média ( mu ) e desvio padrão ( sigma / sqrt). Quando a média da população ( mu ) é estimada com uma pequena amostra ( (n & lt30 )), o Teorema do Limite Central não se aplica. Para prosseguir, assumimos que a população numérica da qual a amostra é obtida tem uma distribuição normal para começar. Se esta condição for satisfeita então quando o desvio padrão da população ( sigma ) for conhecido a fórmula antiga ( bar pm z _ < alpha / 2> ( sigma / sqrt) ) ainda pode ser usado para construir um intervalo de confiança (100 (1- alpha) \% ) para ( mu ).

Se o desvio padrão da população for desconhecido e o tamanho da amostra (n ) for pequeno, então, quando substituímos o desvio padrão da amostra (s ) por ( sigma ), a aproximação normal não é mais válida. A solução é usar uma distribuição diferente, chamada Student & rsquos (t ) - distribuição com (n-1 ) graus de liberdade. Student & rsquos (t ) - a distribuição é muito parecida com a distribuição normal padrão, pois é centrada em (0 ) e tem a mesma forma qualitativa de sino, mas tem caudas mais pesadas do que a distribuição normal padrão, conforme indicado por Figura ( PageIndex <1> ), em que a curva (em marrom) que encontra a linha vertical tracejada no ponto mais baixo é a distribuição (t ) - com dois graus de liberdade, a próxima curva (em azul ) é a distribuição (t ) - com cinco graus de liberdade, e a curva fina (em vermelho) é a distribuição normal padrão. Conforme também indicado pela figura, conforme o tamanho da amostra (n ) aumenta, a distribuição de Student & rsquos (t ) - se assemelha cada vez mais à distribuição normal padrão. Embora haja uma distribuição diferente de (t ) - para cada valor de (n ), uma vez que o tamanho da amostra é (30 ) ou mais, é normalmente aceitável usar a distribuição normal padrão, como sempre faremos fazer neste texto.

Figura ( PageIndex <1> ): Student & rsquos (t )-Distribuição

Assim como o símbolo (z_c ) representa o valor que corta a cauda direita da área (c ) na distribuição normal padrão, o símbolo (t_c ) representa o valor que corta a cauda direita da área (c ) na distribuição normal padrão. Isso nos dá as seguintes fórmulas de intervalo de confiança.

Amostra pequena (100 (1 & menos & alfa) \% ) Intervalo de confiança para uma média populacional

com os graus de liberdade (df = n & menos1 ).

A população deve ser distribuída normalmente e uma amostra é considerada pequena quando (n & lt 30 ).

Para usar a nova fórmula, usamos a linha na Figura 7.1.6 que corresponde ao tamanho da amostra relevante.

Uma amostra de tamanho (15 ) retirada de uma população normalmente distribuída tem média amostral (35 ) e desvio padrão da amostra (14 ). Construa um intervalo de confiança (95 \% ) para a média da população e interprete seu significado.

Como a população é normalmente distribuída, a amostra é pequena e o desvio padrão da população é desconhecido, a fórmula que se aplica é a Equação ref.

Nível de confiança (95 \% ) significa que

então (& alpha / 2 = 0,025 ). Como o tamanho da amostra é (n = 15 ), há (n & menos1 = 14 ) graus de liberdade. Pela Figura 7.1.6 (t_ <0,025> = 2,145 ). Desse modo

Pode-se estar (95 \% ) confiante de que o verdadeiro valor de (& mu ) está contido no intervalo

Uma amostra aleatória de (12 ) alunos de uma grande universidade rende GPA médio (2,71 ) com desvio padrão da amostra (0,51 ). Construa um intervalo de confiança (90 \% ) para o GPA médio de todos os alunos da universidade. Suponha que a população numérica de GPAs da qual a amostra é obtida tenha uma distribuição normal.

Como a população é normalmente distribuída, a amostra é pequena e o desvio padrão da população é desconhecido, a fórmula que se aplica é a Equação ref

Nível de confiança (90 \% ) significa que

então (& alpha / 2 = 0,05 ). Como o tamanho da amostra é (n = 12 ), há (n & menos1 = 11 ) graus de liberdade. Pela Figura 7.1.6 (t_ <0,05> = 1,796 ). Desse modo

Pode-se estar (90 \% ) confiante de que o verdadeiro GPA médio de todos os alunos da universidade está contido no intervalo

Compare & quotExemplo 4 & quot na Seção 7.1 e & quotExemplo 6 & quot na Seção 7.1. As estatísticas de resumo nas duas amostras são as mesmas, mas o (90 \% ) intervalo de confiança para o GPA médio de todos os alunos da universidade no & quotExemplo 4 & quot na Seção 7.1, ((2.63,2.79) ), é mais curto do que o (90 \% ) intervalo de confiança ((2.45,2.97) ), no & quotExemplo 6 & quot na Seção 7.1. Isso ocorre em parte porque no & quotExemplo 4 & quot da Seção 7.1 o tamanho da amostra é maior, há mais informações pertencentes ao valor verdadeiro de ( mu ) no conjunto de dados grande do que no pequeno.


A fórmula de Euler-Poincar e eacute

Parte das informações registradas em um B-rep é topológica (ou seja, relações de adjacência). Sólidos inválidos podem ser gerados se a representação não for cuidadosamente construída. Uma maneira de verificar essa invalidade topológica é usar a fórmula de Euler-Poincar e eacute. Se seu valor não for zero, temos certeza de que algo deve estar errado na representação. No entanto, este é apenas um teste de um lado. Mais precisamente, um valor zero da fórmula de Euler-Poincar e eacute não significa que o sólido é válido.

A figura acima possui uma caixa e uma folha adicional que é simplesmente um retângulo. Este objeto possui 10 vértices, 15 arestas, 7 faces, 1 casca e nenhum furo. Seu número de loop é igual ao número de faces. O valor da fórmula de Euler-Poincar e eacute é zero, conforme mostrado abaixo,

mas este não é um sólido válido! Portanto, se o valor da fórmula de Euler-Poincar & eacute for diferente de zero, a representação definitivamente não é um sólido válido. No entanto, o valor da fórmula de Euler-Poincar & eacute sendo zero não garante que a representação produziria um sólido válido.

Como contar o gênero corretamente?

Nem sempre é fácil contar o gênero G corretamente. Por exemplo, suponha que temos uma esfera perfurada por três túneis como mostrado abaixo. O objeto esquerdo mostra a aparência externa. O da direita mostra o interior cortando metade da esfera. Qual é o valor do gênero G? Sabemos que o valor do gênero conta o número de orifícios penetrantes. Mas, neste exemplo, é um tanto ambíguo. Na verdade, combinando quaisquer dois túneis centrais, teremos três orifícios penetrantes. No entanto, isso está incorreto!

A fórmula de Euler-Poincar & eacute descreve a propriedade topológica de quantidade de vértices, arestas, faces, loops, cascas e gênero. Qualquer transformação topológica aplicada ao modelo não alterará esse relacionamento. Intuitivamente, a aplicação de transformações topológicas significa que podemos torcer, esticar e esmagar o modelo, mas não podemos cortar algumas partes nem colar algumas partes. Vamos aplicar algumas transformações topológicas intuitivas a este modelo para computar o gênero. Podemos empurrar as "paredes" que cercam os três túneis para que o interior do modelo se torne uma casca fina. Isso é mostrado na imagem abaixo.

Estique o orifício superior para que seja grande o suficiente (abaixo à esquerda). Em seguida, recolha a parte superior para nivelar o modelo. Isso é mostrado no modelo correto abaixo. Quantos furos penetrantes existem? Dois! Portanto, G é 2.

Às vezes, orifícios penetrantes podem aparecer em uma situação improvável. Considere o seguinte modelo, obtido retirando-se um toro e um tubo do interior de uma esfera. Qual é o gênero deste modelo? Não parece haver um orifício penetrante. Então, gênero é igual a 0? Na verdade, G = 1! Descubra você mesmo. Faça alguma torção, alongamento e esmagamento.


Volume e pressão: Lei de Boyle e rsquos

Se enchermos parcialmente uma seringa hermética com ar, a seringa conterá uma quantidade específica de ar em temperatura constante, digamos 25 ° C. Se empurrarmos lentamente o êmbolo enquanto mantemos a temperatura constante, o gás na seringa é comprimido em um volume menor e sua pressão aumenta se puxarmos o êmbolo, o volume aumenta e a pressão diminui. Este exemplo do efeito do volume sobre a pressão de uma determinada quantidade de um gás confinado é verdadeiro em geral. Diminuir o volume de um gás contido aumentará sua pressão, e aumentar seu volume diminuirá sua pressão. Na verdade, se o volume aumenta por um determinado fator, a pressão diminui pelo mesmo fator e vice-versa. Os dados de pressão de volume para uma amostra de ar em temperatura ambiente são representados graficamente na Figura ( PageIndex <6> ).

Figura ( PageIndex <6> ): Quando um gás ocupa um volume menor, ele exerce uma pressão maior quando ocupa um volume maior, ele exerce uma pressão menor (assumindo que a quantidade de gás e a temperatura não mudam). Uma vez que P e V são inversamente proporcionais, um gráfico de vs. V é linear.

Ao contrário do P-T e V-T relações, pressão e volume não são diretamente proporcionais entre si. Em vez de, P e V exibem proporcionalidade inversa: O aumento da pressão resulta em uma diminuição do volume do gás. Matematicamente, isso pode ser escrito:

com k sendo uma constante. Graficamente, esta relação é mostrada pela linha reta que resulta ao traçar o inverso da pressão versus o volume (V), ou o inverso do volume ( left ( dfrac <1> right) ) versus a pressão (P) Os gráficos com linhas curvas são difíceis de ler com precisão em valores baixos ou altos das variáveis ​​e são mais difíceis de usar para ajustar equações teóricas e parâmetros aos dados experimentais. Por essas razões, os cientistas freqüentemente tentam encontrar uma maneira de & ldquolinearizar & rdquo seus dados. Se tramarmos P versus V, obtemos uma hipérbole (Figura ( PageIndex <7> )).

Figura ( PageIndex <7> ): A relação entre pressão e volume é inversamente proporcional. (a) O gráfico de P vs. V é uma hipérbole, enquanto (b) o gráfico de vs. V é linear.

A relação entre o volume e a pressão de uma determinada quantidade de gás em temperatura constante foi publicada pela primeira vez pelo filósofo natural inglês Robert Boyle há mais de 300 anos. Está resumido na declaração agora conhecida como lei de Boyle & rsquos: O volume de uma determinada quantidade de gás mantido em temperatura constante é inversamente proporcional à pressão sob a qual é medido.

Figura ( PageIndex <7> ): Uma ilustração da Lei de Boyle, mostrando que conforme o volume diminui, a pressão aumenta e vice-versa. Este arquivo está no domínio público porque foi criado pela NASA. A política de direitos autorais da NASA afirma que o material & quotNASA não é protegido por direitos autorais a menos que especificado de outra forma & quot. ( Política de direitos autorais da NASA e Política de uso de imagens JPL ).

Exemplo ( PageIndex <4> ): Volume de uma amostra de gás

A amostra de gás tem um volume de 15,0 mL a uma pressão de 13,0 psi. Determine a pressão do gás em um volume de 7,5 mL, usando:

  1. a P-V gráfico na Figura ( PageIndex <6a> )
  2. o vs. V gráfico na Figura ( PageIndex <6b> )
  3. a equação da lei de Boyle e rsquos

Comente sobre a provável precisão de cada método.

  1. Estimativa de P-V gráfico dá um valor para P algo em torno de 27 psi.
  2. Estimando do versus V gráfico dá um valor de cerca de 26 psi.
  3. Da lei de Boyle & rsquos, sabemos que o produto da pressão e do volume (PV) para uma dada amostra de gás a uma temperatura constante é sempre igual ao mesmo valor. Portanto temos P1V1 = k e P2V2 = k o que significa que P1V1 = P2V2.

Usando P1 e V1 como os valores conhecidos 13,0 psi e 15,0 mL, P2 como a pressão na qual o volume é desconhecido, e V2 como o volume desconhecido, temos:

Era mais difícil estimar bem a partir do P-V gráfico, então (a) é provavelmente mais impreciso do que (b) ou (c). O cálculo será tão preciso quanto a equação e as medições permitirem.

A amostra de gás tem um volume de 30,0 mL a uma pressão de 6,5 psi. Determine o volume do gás a uma pressão de 11,0 psi, usando:

  1. a P-V gráfico na Figura ( PageIndex <6a> )
  2. o vs. V gráfico na Figura ( PageIndex <6b> )
  3. a equação da lei de Boyle e rsquos

Comente sobre a provável precisão de cada método.

17,7 mL, era mais difícil estimar bem a partir do P-V gráfico, então (a) é provavelmente mais impreciso do que (b) o cálculo será tão preciso quanto a equação e as medições permitirem

A lei do gás ideal é fácil de lembrar e aplicar na resolução de problemas, contanto que você obtenha o valores adequados e unidades para a constante de gás, R.

Química na vida cotidiana: respiração e lei de Boyle & rsquos

O que você faz cerca de 20 vezes por minuto durante toda a sua vida, sem pausa, e muitas vezes sem nem mesmo ter consciência disso? A resposta, claro, é respiração ou respiração. Como funciona? Acontece que as leis do gás se aplicam aqui. Seus pulmões absorvem o gás de que seu corpo precisa (oxigênio) e se livram dos gases residuais (dióxido de carbono). Os pulmões são feitos de tecido esponjoso e elástico que se expande e se contrai enquanto você respira. Quando você inspira, o diafragma e os músculos intercostais (os músculos entre as costelas) se contraem, expandindo a cavidade torácica e aumentando o volume do pulmão. O aumento do volume leva a uma diminuição da pressão (lei de Boyle e Rsquos). Isso faz com que o ar flua para os pulmões (de alta para baixa pressão). Quando você expira, o processo se inverte: o diafragma e os músculos das costelas relaxam, a cavidade torácica se contrai e o volume do pulmão diminui, fazendo com que a pressão aumente (lei de Boyle e rsquos novamente) e o ar flui para fora dos pulmões (de alta pressão para baixa pressão). Você então inspira e expira novamente, repetindo este ciclo da lei de Boyle & rsquos pelo resto de sua vida (Figura ( PageIndex <8> )).

Figura ( PageIndex <8> ): A respiração ocorre porque a expansão e a contração do volume pulmonar criam pequenas diferenças de pressão entre os pulmões e os arredores, fazendo com que o ar seja aspirado e forçado para fora dos pulmões.


Conteúdo

A tabuinha de argila babilônica YBC 7289 (c. 1800–1600 aC) dá uma aproximação de √ 2 em quatro algarismos sexagesimais, 1 24 51 10, que é preciso em cerca de seis dígitos decimais, [5] e é o mais próximo possível de três casas representação sexagesimal de √ 2:

Outra aproximação inicial é dada em antigos textos matemáticos indianos, os Sulbasutras (c. 800-200 aC), como segue: Aumente o comprimento [do lado] em sua terceira e esta terceira na sua quarta menos a trigésima quarta parte daquela quarta. [6] Ou seja,

Esta aproximação é a sétima em uma sequência de aproximações cada vez mais precisas com base na sequência de números de Pell, que podem ser derivados da expansão de fração contínua de √ 2. Apesar de ter um denominador menor, é apenas um pouco menos preciso do que a aproximação babilônica.

Os pitagóricos descobriram que a diagonal de um quadrado é incomensurável com seu lado ou, na linguagem moderna, que a raiz quadrada de dois é irracional. Pouco se sabe com certeza sobre a época ou as circunstâncias dessa descoberta, mas o nome de Hipaso de Metaponto é freqüentemente mencionado. Por um tempo, os pitagóricos trataram como segredo oficial a descoberta de que a raiz quadrada de dois é irracional e, segundo a lenda, Hipaso foi assassinado por divulgá-la. [2] [7] [8] [9] A raiz quadrada de dois é ocasionalmente chamada Número de Pitágoras ou Constante de Pitágoras, por exemplo, por Conway & amp Guy (1996). [10]

Arquitetura da Roma Antiga Editar

Na arquitetura romana antiga, Vitruvius descreve o uso da raiz quadrada de 2 progressões ou ad quadratum técnica. Consiste basicamente em um método geométrico, ao invés de aritmético, para dobrar um quadrado, no qual a diagonal do quadrado original é igual ao lado do quadrado resultante. Vitruvius atribui a ideia a Platão. O sistema foi empregado para construir pavimentos criando um quadrado tangente aos cantos do quadrado original a 45 graus dele. A proporção também foi usada para projetar átrios, dando-lhes um comprimento igual a uma diagonal retirada de um quadrado, cujos lados são equivalentes à largura pretendida do átrio. [11]

Algoritmos de computação Editar

Existem vários algoritmos para aproximar √ 2 como uma proporção de inteiros ou como um decimal. O algoritmo mais comum para isso, que é usado como base em muitos computadores e calculadoras, é o método babilônico [12] para calcular raízes quadradas, que é um dos muitos métodos de cálculo de raízes quadradas. É o seguinte:

Primeiro, escolha um palpite, uma0 & gt 0 o valor da estimativa afeta apenas quantas iterações são necessárias para alcançar uma aproximação de uma certa precisão. Em seguida, usando essa estimativa, itere por meio da seguinte computação recursiva:

Quanto mais iterações através do algoritmo (ou seja, quanto mais cálculos realizados e maior " n "), melhor será a aproximação. Cada iteração praticamente dobra o número de dígitos corretos. Começando com uma0 = 1, os resultados do algoritmo são os seguintes:

  • 1 ( uma0 )
  • 3 / 2 = 1.5 ( uma1 )
  • 17 / 12 = 1.416. ( uma2 )
  • 577 / 408 = 1.414215. ( uma3 )
  • 665857 / 470832 = 1.4142135623746. ( uma4 )

Aproximações racionais Editar

Registros em edição de computação

Em 1997, o valor de √ 2 foi calculado em 137.438.953.444 casas decimais pela equipe de Yasumasa Kanada. Em fevereiro de 2006, o recorde para o cálculo de √ 2 foi eclipsado com o uso de um computador doméstico. Shigeru Kondo calculou 1 trilhão de casas decimais em 2010. [13] Entre constantes matemáticas com expansões decimais desafiadoras computacionalmente, apenas π foi calculado com mais precisão. [14] Tais cálculos visam verificar empiricamente se tais números são normais.

Esta é uma tabela de registros recentes no cálculo dos dígitos de √ 2. [15]

Encontro: Data Nome Número de dígitos
28 de junho de 2016 Ron Watkins 10 trilhões
3 de abril de 2016 Ron Watkins 5 trilhões
9 de fevereiro de 2012 Alexander Yee 2 trilhões
22 de março de 2010 Shigeru Kondo 1 trilhão

Uma pequena prova da irracionalidade de √ 2 pode ser obtida a partir do teorema da raiz racional, isto é, se p(x) é um polinômio monic com coeficientes inteiros, então qualquer raiz racional de p(x) é necessariamente um número inteiro. Aplicando isso ao polinômio p(x) = x 2 - 2, segue-se que √ 2 é um número inteiro ou irracional. Como √ 2 não é um número inteiro (2 não é um quadrado perfeito), √ 2 deve, portanto, ser irracional. Essa prova pode ser generalizada para mostrar que qualquer raiz quadrada de qualquer número natural que não seja o quadrado de um número natural é irracional.

Para uma prova de que a raiz quadrada de qualquer número natural não quadrado é irracional, consulte irracional quadrático ou descida infinita.

Prova por descida infinita Editar

Uma prova da irracionalidade do número é a seguinte prova por descendência infinita. É também uma prova por contradição, também conhecida como prova indireta, em que a proposição é provada assumindo que o oposto da proposição é verdadeiro e mostrando que essa suposição é falsa, o que implica que a proposição deve ser verdadeira.

  1. Suponha que √ 2 seja um número racional, o que significa que existe um par de inteiros cuja razão é exatamente √ 2.
  2. Se os dois inteiros tiverem um fator comum, ele pode ser eliminado usando o algoritmo euclidiano.
  3. Então √ 2 pode ser escrito como uma fração irredutível
  4. uma / b de tal modo que uma e b são inteiros coprime (sem fator comum), o que também significa que pelo menos um dos uma ou b deve ser estranho.
  5. Segue que
  6. uma 2 / b 2 = 2 e uma 2 = 2b 2 . ( (
  7. uma / b ) n =
  8. uman / bn ) ( uma 2 e b 2são inteiros)
  9. Portanto, uma 2 é par porque é igual a 2b 2 . ( 2b 2 é necessariamente igual porque é 2 vezes outro número inteiro e os múltiplos de 2 são pares.)
  10. Segue que uma deve ser par (como quadrados de inteiros ímpares nunca são pares).
  11. Porque uma é par, existe um inteiro k que cumpre: uma = 2k .
  12. Substituindo 2k da etapa 7 para uma na segunda equação da etapa 4: 2b 2 = (2k) 2 é equivalente a 2b 2 = 4k 2, que é equivalente a b 2 = 2k 2 .
  13. Porque 2k 2 é divisível por dois e, portanto, par, e porque 2k 2 = b 2, segue-se que b 2 também é par, o que significa que b é mesmo.
  14. Pelas etapas 5 e 8 uma e b são ambos pares, o que contradiz que
  15. uma / b é irredutível conforme indicado na etapa 3.

Por haver uma contradição, a suposição (1) de que √ 2 é um número racional deve ser falsa. Isso significa que √ 2 não é um número racional. Ou seja, √ 2 é irracional.

Esta prova foi sugerida por Aristóteles, em seu Analytica Priora, §I.23. [16] Apareceu primeiro como uma prova completa em Euclides Elementos, conforme proposição 117 do Livro X. No entanto, desde o início do século 19, os historiadores concordaram que esta prova é uma interpolação e não atribuível a Euclides. [17]

Prova por fatoração única Editar

Tal como acontece com a prova por descida infinita, obtemos a 2 = 2 b 2 < displaystyle a ^ <2> = 2b ^ <2>>. Sendo a mesma quantidade, cada lado possui a mesma fatoração primo pelo teorema fundamental da aritmética e, em particular, teria que fazer com que o fator 2 ocorresse o mesmo número de vezes. No entanto, o fator 2 aparece um número ímpar de vezes à direita, mas um número par de vezes à esquerda - uma contradição.

Edição de prova geométrica

Uma prova simples é atribuída por John Horton Conway a Stanley Tennenbaum quando este era um estudante no início dos anos 1950 [18] e cuja aparição mais recente está em um artigo de Noson Yanofsky na edição de maio-junho de 2016 da Cientista americano. [19] Dados dois quadrados com lados inteiros respectivamente uma e b, um dos quais tem o dobro da área do outro, coloque duas cópias do quadrado menor no maior, conforme mostrado na Figura 1. A região de sobreposição do quadrado no meio ((2buma) 2) deve ser igual à soma dos dois quadrados descobertos (2 (umab) 2). No entanto, esses quadrados na diagonal têm lados inteiros positivos que são menores do que os quadrados originais. Repetindo esse processo, existem quadrados arbitrariamente pequenos, um com o dobro da área do outro, embora ambos tenham lados inteiros positivos, o que é impossível, pois os inteiros positivos não podem ser menores que 1.

Outro argumento geométrico reductio ad absurdum mostrando que √ 2 é irracional apareceu em 2000 no American Mathematical Monthly. [20] É também um exemplo de prova por descendência infinita. Faz uso da construção clássica de compasso e régua, provando o teorema por um método semelhante ao empregado pelos antigos geômetras gregos. É essencialmente a mesma prova algébrica do parágrafo anterior, vista geometricamente de outra maneira.

Desenhe os arcos BD e CE com centro UMA . Juntar DE . Segue que AB = DE ANÚNCIOS , AC = AE e o ∠BAC e ∠DAE coincidir. Portanto, os triângulos abc e ADE são congruentes com SAS.

Porque ∠EBF é um ângulo reto e ∠BEF é meio ângulo reto, △BEF também é um triângulo isósceles direito. Por isso SER = mn implica BF = mn . Por simetria, DF = mn , e △FDC também é um triângulo isósceles direito. Também segue que FC = n − (mn) = 2nm .

Portanto, há um triângulo isósceles direito ainda menor, com comprimento de hipotenusa 2nm e pernas mn . Esses valores são inteiros ainda menores do que m e n e na mesma proporção, contradizendo a hipótese de que m:n está em termos mais baixos. Portanto, m e n não podem ser ambos inteiros, portanto, √ 2 é irracional.

Edição de prova construtiva

Em uma abordagem construtiva, distingue-se entre, por um lado, não ser racional e, por outro lado, ser irracional (ou seja, ser quantificávelmente separado de todo racional), sendo o último uma propriedade mais forte. Dados inteiros positivos uma e b , porque a avaliação (ou seja, maior potência de 2 dividindo um número) de 2b 2 é estranho, enquanto a avaliação de uma 2 é par, eles devem ser inteiros distintos, portanto | 2b 2 − uma 2 | ≥ 1. Então [21]

Prova por equações diofantinas Editar

x, y z
Ambos pares Até Impossível. A equação Diofantina fornecida é primitiva e, portanto, não contém fatores comuns.
Ambos estranhos Chance Impossível. A soma de dois números ímpares não produz um número ímpar.
Ambos pares Chance Impossível. A soma de dois números pares não produz um número ímpar.
Um par, outro estranho Até Impossível. A soma de um número par e um número ímpar não produz um número par.
Ambos estranhos Até Possível
Um par, outro estranho Chance Possível

o que é impossível. Portanto, a quinta possibilidade também está descartada, deixando a sexta como a única combinação possível para conter soluções, se houver.

Uma extensão desse lema é o resultado de que dois quadrados de número inteiro idênticos nunca podem ser somados para produzir outro quadrado de número inteiro, mesmo quando a equação não está em sua forma mais simples.

Mas o lema prova que a soma de dois quadrados de número inteiro idênticos não pode produzir outro quadrado de número inteiro.

Metade de √ 2, também o recíproco de √ 2, é uma quantidade comum em geometria e trigonometria porque o vetor unitário que faz um ângulo de 45 ° com os eixos em um plano tem as coordenadas

Uma propriedade interessante de √ 2 é

Isso está relacionado à propriedade das proporções de prata.

√ 2 também pode ser expresso em termos de cópias da unidade imaginária eu usando apenas a raiz quadrada e as operações aritméticas, se o símbolo da raiz quadrada for interpretado adequadamente para os números complexos eu e -eu :

√ 2 também é o único número real diferente de 1 cujo tetrato infinito (ou seja, torre exponencial infinita) é igual ao seu quadrado. Em outras palavras: se para c & gt 1, x1 = c e xn+1 = c xn para n & gt 1, o limite de xn será chamado de n → ∞ (se este limite existir) f(c) Então √ 2 é o único número c & gt 1 para o qual f(c) = c 2 Ou simbolicamente:

para m raízes quadradas e apenas um sinal de menos. [23]

Semelhante na aparência, mas com um número finito de termos, √ 2 aparece em várias constantes trigonométricas: [24]

Não se sabe se √ 2 é um número normal, uma propriedade mais forte do que a irracionalidade, mas as análises estatísticas de sua expansão binária são consistentes com a hipótese de que é normal basear dois. [25]

Edição de série e produto

A série de Taylor de √ 1 + x com x = 1 e usando o fatorial duplo n!! dá

A convergência desta série pode ser acelerada com uma transformada de Euler, produzindo

Não se sabe se √ 2 pode ser representado com uma fórmula do tipo BBP. No entanto, as fórmulas do tipo BBP são conhecidas para π √ 2 e √ 2 ln (1+ √ 2). [26]

O número pode ser representado por uma série infinita de frações egípcias, com denominadores definidos por 2 enésimos termos de uma relação de recorrência do tipo Fibonacci a (n) = 34a (n-1) -a (n-2), a (0 ) = 0, a (1) = 6. [27]

Edição de fração contínua

A raiz quadrada de dois tem a seguinte representação de fração contínua:

Editar quadrado aninhado

As seguintes expressões quadradas aninhadas convergem para √ 2:

Editar tamanho do papel

Em 1786, o professor de física alemão Georg Lichtenberg [28] descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja √ 2 vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções que o original. Essa proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores com a mesma proporção (aproximada) da folha original. When Germany standardised paper sizes at the beginning of the 20th century, they used Lichtenberg's ratio to create the "A" series of paper sizes. [28] Today, the (approximate) aspect ratio of paper sizes under ISO 216 (A4, A0, etc.) is 1: √ 2 .

Physical sciences Edit

There are some interesting properties involving the square root of 2 in the physical sciences:


In statistics, the term “standard error” of a statistic refers to the estimate of the standard deviation of the sample mean from the true population mean. To put it simply, just as standard deviation measures each individual’s dispersion value from the sample mean, the standard error of mean measures the dispersion of all the sample means around the population mean.

Baixe Avaliação Corporativa, Banco de Investimento, Contabilidade, Calculadora CFA e outros

The formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation by the square root of the sample size. Although population standard deviation should be used in the computation, it is seldom available, and as such a sample, the standard deviation is used as a proxy for population standard deviation. Mathematically, it is represented as,

  • s: √Σ n eu(xeu-x̄) 2 / n-1
  • xeu: i th Random Variable
  • : Sample Mean
  • n: Sample Size

Examples of Standard Error Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Coupon Bond in a better manner.

Standard Error Formula – Example #1

Let us take the example of a survey where 100 respondents were asked to provide their feedback on the recently concluded college fest. They were asked to rate the fest on a scale of 1 to 5, with 5 being the best. Now, a random sampling method was used to build a sample of 5 responses out of the 100 responses. The selected responses are – 3, 2, 5, 3 and 4. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n eu(xeu-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.51.

Standard Error Formula – Example #2

Let us take the example of a survey conducted at an office in New York where around 1,000 employees were asked how much they liked the work that they were doing in their current profile. They were to rate on a scale of 1 to 10, with 10 being the best. Then a sample of 10 responses was selected, and the responses are – 4, 5, 8, 10, 9, 5, 9, 8, 9 and 7. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

  • Sample Mean ( x̄ ) = (4 + 5 + 8 + 10 + 9 + 5 + 9 + 8 + 9 + 7) / 10
  • Sample Mean ( x̄ )= 7.2

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n eu(xeu-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.77.

Explicação

The formula for standard error can be derived by using the following steps:

Step 1: Firstly, collect the sample variables from the population-based on a certain sampling method. The sample variables are denoted by x such that xeu refers to the i th variable of the sample.

Step 2: Next, determine the sample size, which is the total number of variables in the sample. It is denoted by n.

Step 3: Next, compute the sample mean, which can be derived by dividing the summation of all the variables in the sample (step 1) by the sample size (step 2). It is denoted by, and mathematically it is represented as,

Step 4: Next, compute the sample standard deviation (s), which involves a complex calculation that uses each sample variable (step 1), sample mean (step 3) and sample size (step 2) as shown below.

s = √Σ n eu(xeu-x̄) 2 / n-1

Step 5: Finally, the formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation (step 4) by the square root of the sample size (step 2), as shown below.

Standard Error = s / √n

Relevance and Use of Standard Error Formula

It is very important to understand the concept of standard error as it predominantly used by statisticians as it allows them to measure the precision of their sampling method. Statisticians usually use the sample from a large pool of data as it is difficult to process such a huge data set, and as such, sampling makes the task a lot easier. So, standard error helps estimate how far the sample mean from the true population means.

In the case of finite population standard deviation, an increase in sample size will eventually reduce the standard error of the sample mean to zero as the population’s estimation will improve. Additionally, the sample standard deviation will also become approximately equal to the population standard deviation with the increase in sample size.

In the normally distributed sampling distribution, the sample mean, quantiles of the normal distribution and standard error can be used in the calculation of the population mean’s confidence intervals.**

Standard Error Formula Calculator

You can use the following Standard Error Formula Calculator

Artigos Recomendados

This is a guide to Standard Error Formula. Here we discuss how to calculate Standard Error along with practical examples and a downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


Holladay 1 Formula

Each of the two tables listed below assume an average pre-refractive surgery corneal power of 43 D and implantation of an Alcon SA60AT intraocular lens.

After MYOPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

ADD TO: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the MYOPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be added to the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula.

MYOPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.3 0.1
3 0.7 0.7 0.7 0.7 0.4 0.2
4 0.9 1.0 1.0 0.9 0.6 0.4
5 1.2 1.2 1.3 1.2 0.8 0.5
6 1.4 1.5 1.6 1.5 1.0 0.7
7 1.6 1.7 1.8 1.7 1.2 0.9
8 1.9 2.0 2.1 2.0 1.5 1.0
9 2.1 2.2 2.4 2.3 1.7 1.2
10 2.4 2.5 2.7 2.6 1.9 1.4

After HYPEROPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

SUBTRACT FROM: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the HYPEROPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be subtracted from the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula. If no number appears, it means that the formula is not applicable for that combination of axial length and refractive correction.

HYPEROPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.4 0.4 0.5 0.4 0.2 0.0
3 0.6 0.7 0.7 0.5 0.2 --
4 0.9 0.9 0.9 0.6 0.4 --
5 1.1 1.0 1.0 0.7 -- --
6 1.1 1.1 1.1 0.7 ----

The above two tables were adopted from the following:

Aramberri J. Intraocular lens power calculation after corneal refractive surgery: Double K method. J Cataract Refract Surg 2003 29(11): 2063-2068.

Koch, D., Wang I. Calculating IOL power in eyes that have had refractive surgery. J Cataract Refract Surg 2003 29(11) 2039-2042.

East Valley Ophthalmology
5620 East Broadway Road
Mesa, Arizona 85206

Tel: +1-480-981-6111
FAX: +1-480-985-2426

Arizona's Top Eye Doctors - East Valley Ophthalmology provides this online information for educational and communication purposes only and it should not be construed as personal medical advice. Information published on this website is not intended to replace, supplant, or augment a consultation with an eye care professional regarding the viewer/user's own medical care. East Valley Ophthalmology's disclaims any and all liability for injury or other damages that could result from use of the information obtained from this site. Please read our full Terms, Privacy, Infringement


Mean is a point in a data set which is the average of all the data point we have in a set. It is basically arithmetic average of the data set and can be calculated by taking a sum of all the data points and then dividing it by the number of data points we have in data set. In statistics, mean is the most common method to measure the center of a data set. It’s a very basic yet important part of the statistical analysis of data. If we calculate the average value of the population set, then it is called the population mean. But sometimes what happens is that population data is very huge and we cannot perform analysis on that data set. So in that case, we take a sample out of it and take an average. That sample basically represents the population set and mean is called a sample mean. Mean value is the average value which will fall between the maximum and minimum value in data set but it will not be the number in the data set.

Baixe Avaliação Corporativa, Banco de Investimento, Contabilidade, Calculadora CFA e outros

A formula for Mean is given by:

There is another way of calculating mean which is not very commonly used. It is called Assumed mean method. In that method, a random value is selected from the data set and assumed to be mean. Then the deviation of the data points from this value is calculated. So mean is given by:

Examples of Mean Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Mean formula in a better manner.

Mean Formula – Example #1

Let say you have a data set with 10 data points and we want to calculate mean for that.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

Let’s use Assumed Mean method to find mean in the same example.

Let’s assume that the mean for the given data set is 40. So Deviations will be calculated as:

For 1st data point, 4 – 40 = -36

The result will be as given below.

Similarly, We have to calculate deviation for all the data points.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Assumed Mean + (Sum of All Deviations / Number of Data Points)

  • Mean = 40 + (-36 -34-32-31-18+43+58+5+47-30) / 10
  • Mean = 40 + (-28) / 10
  • Mean = 40 + (-2.8)
  • Mean = 37.2

Mean Formula – Example #2

Let us take IBM stock and we will take its historical prices from the last 10 months and will calculate the annual return for 10 months.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

  • Mean = (3.74% + 1.07% +4.34% + (-23.66)% + 7.66% + (-7.36)% + 18.25% + 2.76% + 1.48% + 0.00%) / 10
  • Mean = 8.28% / 10
  • Mean = 0.83%

So if you see here, in the last 10 months, IBM return has fluctuated very much.

Overall, in the last 10 months, the average return is only 0.83%

Explicação

Mean is basically a simple average of the data points we have in a data set and it helps us to understand the average point of the data set. But there are certain limitations of using mean. Mean value is easily distorted by extreme values/outliers. These extreme values can be a very small or very large value which can distort the mean. For example: Let say we have returns of stock for the last 5 years given by 5%, 2%, 1%, 5%, -30%. Mean for these values is -3.4% ((5+2+1+5-30)/5). So although the stock has provided a positive return for the first 4 years, on an average we have a negative mean of 3.4%. Similarly, if we have a project for which we are analyzing the cash flow for the next 5 years. Let say the cash flows are: -100, -100, -100, -100, +1000.

Mean is 600 / 5 = 120. Although we have a positive mean, we are only getting money in last year of the project and it can happen that if we incorporate time value of money, this project will not look as lucrative as it is now.

Relevance and Uses of Mean Formula

Mean is very simple yet one of the crucial elements of statistics. It is the basic foundation of statistical analysis of data. It is very easy to calculate and easy to understand also. If we have data set with data points which are scattered all over the place, mean helps us to see what is the average of that data point. For example : If a stock X has returns from last 5 years as 20%, -10%, 3%, -7%, 30%. If you see all the years have different returns. Mean for this is 7.2% ((20-10+3-7+30)/5). So we can now simply say that on an average, the stock has given us the yearly return of 7.2%.

But if we see mean in a silo, it has relatively less significance because of the flaws discussed above and it is more of a theoretical number. So we should use mean value very carefully and should not analyze the data only based on the mean.

Mean Formula Calculator

You can use the following Mean Calculator

Artigos Recomendados

This has been a guide to Mean Formula. Here we discuss how to calculate Mean along with practical examples. We also provide Mean calculator with downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


7.2 Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem

The information presented in this section supports the following AP® learning objectives and science practices:

  • 3.E.1.1 The student is able to make predictions about the changes in kinetic energy of an object based on considerations of the direction of the net force on the object as the object moves. (S.P. 6.4, 7.2)
  • 3.E.1.2 The student is able to use net force and velocity vectors to determine qualitatively whether kinetic energy of an object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4)
  • 3.E.1.3 The student is able to use force and velocity vectors to determine qualitatively or quantitatively the net force exerted on an object and qualitatively whether kinetic energy of that object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4, 2.2)
  • 3.E.1.4 The student is able to apply mathematical routines to determine the change in kinetic energy of an object given the forces on the object and the displacement of the object. (S.P. 2.2)
  • 4.C.1.1 The student is able to calculate the total energy of a system and justify the mathematical routines used in the calculation of component types of energy within the system whose sum is the total energy. (S.P. 1.4, 2.1, 2.2)
  • 4.C.2.1 The student is able to make predictions about the changes in the mechanical energy of a system when a component of an external force acts parallel or antiparallel to the direction of the displacement of the center of mass. (S.P. 6.4)
  • 4.C.2.2 The student is able to apply the concepts of conservation of energy and the work-energy theorem to determine qualitatively and/or quantitatively that work done on a two-object system in linear motion will change the kinetic energy of the center of mass of the system, the potential energy of the systems, and/or the internal energy of the system. (S.P. 1.4, 2.2, 7.2)
  • 5.B.5.3 The student is able to predict and calculate from graphical data the energy transfer to or work done on an object or system from information about a force exerted on the object or system through a distance. (S.P. 1.5, 2.2, 6.4)

Work Transfers Energy

What happens to the work done on a system? Energy is transferred into the system, but in what form? Does it remain in the system or move on? The answers depend on the situation. For example, if the lawn mower in Figure 7.2(a) is pushed just hard enough to keep it going at a constant speed, then energy put into the mower by the person is removed continuously by friction, and eventually leaves the system in the form of heat transfer. In contrast, work done on the briefcase by the person carrying it up stairs in Figure 7.2(d) is stored in the briefcase-Earth system and can be recovered at any time, as shown in Figure 7.2(e). In fact, the building of the pyramids in ancient Egypt is an example of storing energy in a system by doing work on the system. Some of the energy imparted to the stone blocks in lifting them during construction of the pyramids remains in the stone-Earth system and has the potential to do work.

In this section we begin the study of various types of work and forms of energy. We will find that some types of work leave the energy of a system constant, for example, whereas others change the system in some way, such as making it move. We will also develop definitions of important forms of energy, such as the energy of motion.

Net Work and the Work-Energy Theorem

We know from the study of Newton’s laws in Dynamics: Force and Newton's Laws of Motion that net force causes acceleration. We will see in this section that work done by the net force gives a system energy of motion, and in the process we will also find an expression for the energy of motion.

Let us start by considering the total, or net, work done on a system. Net work is defined to be the sum of work done on an object. The net work can be written in terms of the net force on an object. F net F net size 12 > > <> In equation form, this is W net = F net d cos θ W net = F net d cos θ size 12 > =F rSub < size 8<"net">> d"cos"θ> <> where θ θ size 12 <θ><> is the angle between the force vector and the displacement vector.

Real World Connections: Work and Direction

Consider driving in a car. While moving, you have forward velocity and therefore kinetic energy. When you hit the brakes, they exert a force opposite to your direction of motion (acting through the wheels). The brakes do work on your car and reduce the kinetic energy. Similarly, when you accelerate, the engine (acting through the wheels) exerts a force in the direction of motion. The engine does work on your car, and increases the kinetic energy. Finally, if you go around a corner at a constant speed, you have the same kinetic energy both before and after the corner. The force exerted by the engine was perpendicular to the direction of motion, and therefore did no work and did not change the kinetic energy.

Net work will be simpler to examine if we consider a one-dimensional situation where a force is used to accelerate an object in a direction parallel to its initial velocity. Such a situation occurs for the package on the roller belt conveyor system shown in Figure 7.4.

The force of gravity and the normal force acting on the package are perpendicular to the displacement and do no work. Moreover, they are also equal in magnitude and opposite in direction so they cancel in calculating the net force. The net force arises solely from the horizontal applied force F app F app and the horizontal friction force f f . Thus, as expected, the net force is parallel to the displacement, so that θ = 0º θ = 0º and cos θ = 1 cos θ = 1 size 12 <"cos"q=1><> , and the net work is given by


Advances in Quantum Chemistry

C Weyl's Theory and the Spectrum

In this addendum, we will derive the spectral function from Weyl's theory and in particular demonstrate the relationship between the imaginary part of the Weyl–Titchmarsh m-function, meu, and the concept of spectral concentration. For simplicity we will restrict the discussion to the spherical symmetric case with the radial coordinate defined on the real half-line. Remember that m could be defined via the Sturm–Liouville problem on the radial interval [0,b] (if zero is a singular point, the interval [uma,b], b & gt uma > 0), and the boundary condition at the left boundary is given by [commensurate with Eq. (5) ]

Onde α could be chosen so that ψ is regular at origin (see Ref. [46] for details regarding this determination in practical applications) and the requirement that χ defined by

satisfies a real boundary condition at b, i.e.,

The connection with Weyl's theory comes from the condition that χ should remain square integrable as the right boundary b “moves to infinity” with the parameter λ = E + i ε kept nonreal until the end, see more below, before the approach to the real axis is made. Equation (C.3) describes m as a meromorphic function of λ which, when cot β varies on the real line, lies on a circle Cb defined by (remember imposing the real boundary condition (C.3) at b)

with the center mb and the radius rb given by

Using the standard Green's formula

it is straightforward to see that points m are on Cb se e apenas se

As b → ∞ , Weyl proved, see Ref. [32] , that Cb converges to either a limit circle C or to a limit point m. In the first situation, all solutions are square integrable and in the latter case the only unique square integrable solution (at the singular point here being ∞) is

If R ( λ ) = E equals a Sturm–Liouville eigenvalue Ek then the normalized eigenfunction vocêk(r) must be proportional to ψ k ( E k , r ) (note that the dependence on the right-hand boundary is not explicitly indicated in u k and E k ) , i.e.,

From Eq. (C.2) we conclude that the square integrable solution χ contains the independent solution ϕ, hence m(λ) exhibits a (simple) pole at the eigenvalue Ek. The fundamental importance of the coefficients dbk is obvious since they define the spectral function ρ(E) to be used in the completeness relation and the eigenfunction expansion. The former gives

Green's formula Eqs. (C.6) and (C.10) yields

Summarizing, ψ k ( E k , r ) (proportional to vocêk) is the Sturm–Liouville solution of the differential equation

on the interval [uma,b] fulfilling boundary conditions at uma e b, see Eqs. (C.1) and (C.3) . The coefficients dbk are the proportionality factors that relates ψk com vocêk. Observe que χ is a solution of Eq. (1) , defines through Eqs. (C.1)–(C.4) and most importantly with λ = E + i ε ε ≠ 0 . As the next step, we take the limit b → ∞ , assuming the limit point case obtaining uniquely m e ρ (the limits exist also in the limit circle case, but not uniquely).

For the case of a point spectrum, σP, the spectral function, ρ, is a constant function of E, with discrete steps d ∞ k 2 at each point eigenvalue Ek. For the continuous spectrum, σAC, one obtains