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3.1: Identidades trigonométricas básicas - Matemática


Até agora sabemos algumas relações entre as funções trigonométricas. Por exemplo, conhecemos as relações recíprocas:

  1. ( csc ; theta ~ = ~ dfrac {1} { sin ; theta} qquad ) quando ( sin ; theta ne 0 )
  2. ( sec ; theta ~ = ~ dfrac {1} { cos ; theta} qquad ) quando ( cos ; theta ne 0 )
  3. ( cot ; theta ~ = ~ dfrac {1} { tan ; theta} qquad ) quando ( tan ; theta ) é definido e não (0 )
  4. ( sin ; theta ~ = ~ dfrac {1} { csc ; theta} qquad ) quando ( csc ; theta ) é definido e não (0 )
  5. ( cos ; theta ~ = ~ dfrac {1} { sec ; theta} qquad ) quando ( sec ; theta ) é definido e não (0 )
  6. ( tan ; theta ~ = ~ dfrac {1} { cot ; theta} qquad ) quando ( cot ; theta ) é definido e não (0 )

Observe que cada uma dessas equações é verdadeira para tudo ângulos ( theta ) para os quais ambos os lados da equação são definidos. Essas equações são chamadas identidades, e nesta seção discutiremos vários identidades trigonométricas, isto é, identidades envolvendo as funções trigonométricas. Essas identidades são freqüentemente usadas para simplificar expressões ou equações complicadas. Por exemplo, uma das identidades trigonométricas mais úteis é a seguinte:

[ tan ; theta ~ = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} qquad text {quando} cos ; theta ne 0 label {3.1} ]

Para provar essa identidade, escolha um ponto ((x, y) ) no lado terminal de ( theta ) uma distância (r> 0 ) da origem e suponha que ( cos ; theta ne 0 ). Então (x ne 0 ) (uma vez que ( cos ; theta = frac {x} {r} )), então por definição

[ enhum número
frac { sin ; theta} { cos ; theta} ~ = ~ dfrac {~ dfrac {y} {r} ~} {~ dfrac {x} {r} ~} ~ = ~ frac {y} {x} ~ = ~
tan ; theta ~.
]

Observe como provamos a identidade expandindo um de seus lados ( ( frac { sin ; theta} { cos ; theta} )) até obtermos uma expressão que fosse igual ao outro lado ( ( tan ; theta )). Esta é provavelmente a técnica mais comum para provar identidades. Tomar recíprocos na identidade acima dá:

[ cot ; theta ~ = ~ frac { cos ; theta} { sin ; theta} qquad text {quando} sin ; theta ne 0 label {3.2} ]

Iremos agora derivar uma das identidades trigonométricas mais importantes. Seja ( theta ) qualquer ângulo com um ponto ((x, y) ) em seu lado terminal a uma distância (r> 0 ) da origem. Pelo teorema de Pitágoras, (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) (e portanto (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )). Por exemplo, se ( theta ) está em QIII como na Figura 3.1.1, então as pernas do triângulo retângulo formado pelo ângulo de referência têm comprimentos (| x | ) e (| y | ) ( usamos valores absolutos porque (x ) e (y ) são negativos em QIII). O mesmo argumento é válido se ( theta ) estiver nos outros quadrantes ou em qualquer um dos eixos. Desse modo,

[ enhum número
r ^ 2 ~ = ~ | {x} | ^ 2 ~ + ~ | {y} | ^ 2 ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~,
]
então, dividindo ambos os lados da equação por (r ^ 2 ) (o que podemos fazer uma vez que (r> 0 )) dá

[ enhum número
frac {r ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2} {r ^ 2} ~ + ~ frac {y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~
left ( frac {x} {r} right) ^ 2 ~ + ~ left ( frac {y} {r} right) ^ 2 ~.
]

Dado que ( frac {r ^ 2} {r ^ 2} = 1 ), ( frac {x} {r} = cos ; theta ), e ( frac {y} {r } = sin ; theta ), podemos reescrever isso como:

[ cos ^ 2 ; theta ~ + ~ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 rótulo {3.3} ]

Você pode pensar nisso como uma espécie de variante trigonométrica do Teorema de Pitágoras. Observe que usamos a notação ( sin ^ 2 ; theta ) para significar (( sin ; theta) ^ 2 ), da mesma forma para cosseno e outras funções trigonométricas. Usaremos a mesma notação para outras potências além de (2 ).

Da identidade acima, podemos derivar mais identidades. Por exemplo:

[ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta label {3.4} ]
[ cos ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta label {3.5} ]

do qual obtemos (depois de tirar raízes quadradas):

[ sin ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta} label {3.6} ]
[ cos ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta} label {3.7} ]

Além disso, a partir das desigualdades (0 le sin ^ 2 ; theta = 1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta le 1 ) e (0 le cos ^ 2 ; theta = 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta le 1 ), obter raízes quadradas nos dá os seguintes limites no seno e cosseno:

[-1 ~ le ~ sin ; theta ~ le ~ 1 label {3.8} ]
[- 1 ~ le ~ cos ; theta ~ le ~ 1 label {3.9} ]

As desigualdades acima não são identidades (visto que não são equações), mas fornecem verificações úteis sobre os cálculos. Lembre-se de que derivamos essas desigualdades das definições de seno e cosseno na Seção 1.4.

Na Equação ref {3.3}, dividindo ambos os lados da identidade por ( cos ^ 2 ; theta ) dá

[ enhum número
frac { cos ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} ~ = ~
frac {1} { cos ^ 2 ; theta} ~~,
]

portanto, uma vez que ( tan ; theta = frac { sin ; theta} { cos ; theta} ) e ( sec ; theta = frac {1} { cos ; theta} ), obtemos:

[1 ~ + ~ tan ^ 2 ; theta ~ = ~ sec ^ 2 ; theta label {3.10} ]

Da mesma forma, dividindo ambos os lados da Equação ref {3.3} por ( sin ^ 2 ; theta ) dá

[ enhum número
frac { cos ^ 2 ; theta} { sin ^ 2 ; theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ; theta} { sin ^ 2 ; theta} ~ = ~
frac {1} { sin ^ 2 ; theta} ~~,
]

portanto, uma vez que ( cot ; theta = frac { cos ; theta} { sin ; theta} ) e ( csc ; theta = frac {1} { sin ; theta} ), obtemos:

[ cot ^ 2 ; theta ~ + ~ 1 ~ = ~ csc ^ 2 ; theta label {3.11} ]

Exemplo 3.1

Simplifique (; cos ^ 2 ; theta ~ tan ^ 2 ; theta ; ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {3.5} para simplificar:

[ nonumber begin {align *}
cos ^ 2 ; theta ~ tan ^ 2 ; theta ~ & = ~ cos ^ 2 ; theta ~ cdot ~
frac { sin ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} nonumber
& = ~ sin ^ 2 ; theta
end {align *} ]

Exemplo 3.2

Simplifique (; 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 cos ^ 2 ; theta ; ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {3.1} para simplificar:
[ nonumber begin {align *}
5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 cos ^ 2 ; theta ~ & = ~ 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~
4 left (1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta right) nonumber
& = ~ 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 ~ - ~ 4 sin ^ 2 ; theta nonumber
& = ~ sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4
end {align *} ]

Exemplo 3.3

Prove que (; tan ; theta ~ + ~ cot ; theta ~ = ~ sec ; theta ~ csc ; theta ; ).

Solução

Vamos expandir o lado esquerdo e mostrar que é igual ao lado direito:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
tan ; theta + cot ; theta ~ & = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} ~ + ~
frac { cos ; theta} { sin ; theta} & {} qquad & text {(por ref {3.1} e
ref {3.2})} nonumber
& = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} ; cdot ; frac { sin ; theta} { sin ; theta} ~ + ~
frac { cos ; theta} { sin ; theta} ; cdot ; frac { cos ; theta} { cos ; theta}
& {} qquad & text {(multiplique ambas as frações por (1 ))} nonumber
& = ~ frac { sin ^ 2 ; theta ~ + ~ cos ^ 2 ; theta} { cos ; theta ~ sin ; theta} & {} qquad
& text {(após obter um denominador comum)} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ; theta ~ sin ; theta} & {} qquad & text {(por ref {3.3})} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ; theta} ~ cdot ~ frac {1} { sin ; theta} nonumber
& = ~ sec ; theta ~ csc ; theta
end {alignat *} ]

No exemplo acima, como sabíamos expandir o lado esquerdo em vez do lado direito? Em geral, embora essa técnica nem sempre funcione, o lado mais complicado da identidade provavelmente será mais fácil de expandir. A razão é que, por sua complexidade, haverá mais coisas que você pode fazer com essa expressão. Por exemplo, se você fosse solicitado a provar que

[ enhum número
sec ; theta ~ - ~ sin ; theta ~ tan ; theta ~ = ~ cos ; theta ~,
]

não haveria muito que você pudesse fazer com o lado direito dessa identidade; consiste em um único termo ( ( cos ; theta )) que não oferece nenhum meio óbvio de expansão.

Exemplo 3.4

Prove que (; dfrac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ; theta} { sec ; theta} ~ = ~ csc ; theta ~ cot ; theta ; ) .

Solução

Dos dois lados, o lado esquerdo parece mais complicado, então vamos expandir isso:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
frac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ; theta} { sec ; theta} ~ & = ~ frac { csc ^ 2 ; theta} { sec ; theta}
& {} qquad & text {(por ref {3.11})} nonumber
& = ~ dfrac { csc ; theta ~ cdot ~ dfrac {1} { sin ; theta}} { dfrac {1} { cos ; theta}} & {}
& {} [2mm] não numérico
& = ~ csc ; theta ~ cdot ~ frac { cos ; theta} { sin ; theta} & {} & {} nonumber
& = ~ csc ; theta ~ cot ; theta & {} qquad & text {(por ref {3.2})}
end {alignat *} ]

Ao tentar provar uma identidade onde pelo menos um lado é uma proporção de expressões, multiplicação cruzada pode ser uma técnica eficaz:

[ enhum número
frac {a} {b} ~ = ~ frac {c} {d} quad text {se e somente se} quad ad ~ = ~ bc
]

Exemplo 3.6

Prove que (; dfrac {1 ~ + ~ sin ; theta} { cos ; theta} ~ = ~ dfrac { cos ; theta} {1 ~ - ~ sin ; theta} ; ).

Solução

Multiplique e reduza ambos os lados até que fique claro que eles são iguais:

[ nonumber begin {align *}
(1 ~ + ~ sin ; theta) (1 ~ - ~ sin ; theta) ~ & = ~ cos ; theta ~ cdot ~ cos ; theta nonumber
1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta ~ & = ~ cos ^ 2 ; theta
end {align *} ]

Por ref {3.5} ambos os lados da última equação são de fato iguais. Assim, a identidade original se mantém.

Exemplo 3.7

Suponha que (; a , cos ; theta = b ; ) e (; c , sin ; theta = d ; ) para algum ângulo ( theta ) e algumas constantes (a ), (b ), (c ) e (d ). Mostre que (; a ^ 2 c ^ 2 = b ^ 2 c ^ 2 + a ^ 2 d ^ 2 ).

Solução

Multiplique ambos os lados da primeira equação por (c ) e a segunda equação por (a ):
[ nonumber begin {align *}
ac , cos ; theta ~ & = ~ bc nonumber
ac , sin ; theta ~ & = ~ ad
end {align *} ]

Agora eleve ao quadrado cada uma das equações acima e some-as para obter:

[ nonumber begin {align *}
(ac , cos ; theta) ^ 2 ~ + ~ (ac , sin ; theta) ^ 2 ~ & = ~ (bc) ^ 2 ~ + ~ (ad) ^ 2 nonumber
(ac) ^ 2 left ( cos ^ 2 ; theta ~ + ~ sin ^ 2 ; theta right) ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 enhum número
a ^ 2 c ^ 2 ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 qquad text {(por ref {3.3})}
end {align *} ]

Observe como ( theta ) não aparece em nosso resultado final. O truque era obter um coeficiente comum ( (ac )) para (; cos ; theta ; ) e (; sin ; theta ; ) para que pudéssemos usar (; cos ^ 2 ; theta + sin ^ 2 ; theta = 1 ). Esta é uma técnica comum para eliminar funções trigonométricas de sistemas de equações.


As relações entre os lados e os ângulos dos triângulos estão relacionadas às funções trigonométricas. Existem duas maneiras principais de discutir as funções trigonométricas: em termos de triângulos retângulos e em termos de círculo unitário. A definição de triângulo retângulo das funções trigonométricas, conforme descrito abaixo, é mais frequentemente como elas são introduzidas.

Definição de triângulo retângulo

A saída de uma função trigonométrica é uma razão dos comprimentos dos dois lados de um triângulo retângulo. Os termos usados ​​para descrever os lados de um triângulo retângulo são a hipotenusa, o lado adjacente e o lado oposto, conforme mostrado na figura abaixo.

Os lados de um triângulo retângulo são referenciados da seguinte forma:

  • Adjacente: o lado próximo a & theta que não é a hipotenusa
  • Oposto: o lado oposto & theta.
  • Hipotenusa: o lado mais longo do triângulo oposto ao ângulo reto.

As funções trigonométricas são definidas com base nas relações dos dois lados do triângulo retângulo. Existem seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente. Essas funções costumam ser abreviadas como sin, cos, tan, csc, sec e cot. Suas definições são mostradas a seguir.

Seno, cosseno e tangente são as três funções trigonométricas mais comumente usadas. Cossecante, secante e cotangente são os recíprocos de seno, cosseno e tangente, respectivamente. Assim, desde que nos lembremos das definições de seno, cosseno e tangente, podemos usar seus recíprocos para determinar as definições de cossecante, secante e cotangente.

Qual é o valor de sin (45 & deg), cos (45 & deg) e tan (45 & deg)?

Bob caminhou 300 m em linha reta em uma colina de 30 graus, quão alto Bob escalou?

Altura = distância percorrida & # 215 sin (30 & deg)
= 300 × 0.5
= 150 m

Assim, Bob atingiu uma altura de 150 m após subir 300 m na encosta do morro.


3.1: Identidades trigonométricas básicas - Matemática

As identidades trigonométricas básicas vêm em várias variedades. Isso inclui as identidades recíprocas, identidades de proporção, identidades pitagóricas, identidades simétricas e identidades de cofunção. Cada uma dessas identidades segue diretamente da definição.

Teorema das identidades recíprocas

As seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores para os quais foram definidas:

$ sin t = dfrac <1> < csc t> $ $ tan t = dfrac <1> < cot t> $ $ sec t = dfrac <1> < cos t> $
$ cos t = dfrac <1> < sec t> $ $ cot t = dfrac <1> < tan t> $ $ csc t = dfrac <1> < sin t> $

Prova: Da Definição do Círculo de Unidade, temos $ csc t = dfrac <1>= dfrac <1> < sin t> $. As provas das outras cinco identidades são semelhantes. & # 9830

Teorema da razão de identidades

As seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores para os quais foram definidas:

$ sin t = dfrac < cos t> < cot t> $ $ tan t = dfrac < sin t> < cos t> $ $ sec t = dfrac < tan t> < sin t> $
$ sin t = dfrac < tan t> < sec t> $ $ tan t = dfrac < sec t> < csc t> $ $ sec t = dfrac < csc t> < cot t> $
$ cos t = dfrac < sin t> < tan t> $ $ cot t = dfrac < cos t> < sin t> $ $ csc t = dfrac < cot t> < cos t> $
$ cos t = dfrac < cot t> < csc t> $ $ cot t = dfrac < csc t> < sec t> $ $ csc t = dfrac < sec t> < tan t> $

Prova: Da definição do círculo de unidade, temos $ tan t = dfrac= dfrac < sin t> < cos t> $. As provas das outras onze identidades são semelhantes. & # 9830

Das doze identidades de razão fornecidas, apenas duas são comumente citadas, a saber, aquelas que envolvem razões de seno e cosseno. Além dessas doze proporções, outras proporções podem ser produzidas e simplificadas, mas elas serão iguais à constante 1 ou serão um produto de funções trigonométricas.

Teorema das identidades pitagóricas

As seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores para os quais foram definidas:

$ sin ^ 2 t + cos ^ 2 t = 1 $
$ 1 + tan ^ 2 t = seg ^ 2 t $
$ 1 + cot ^ 2 t = csc ^ 2 t $

Prova: A equação do círculo unitário é $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. Substituindo usando as Definições de Círculo de Unidade, obtemos a primeira das três identidades. As outras duas identidades podem ser obtidas dividindo cada lado da equação por um fator apropriado. & # 9830

Observe que as identidades pitagóricas fornecem uma maneira de expressar o quadrado de cada função trigonométrica de uma forma alternativa.

Teorema de identidades simétricas

As seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores para os quais foram definidas:

$ sin (-t) = - sin t $ $ tan (-t) = - tan t $ $ sec (-t) = + sec t $
$ cos (-t) = + cos t $ $ cot (-t) = - cot t $ $ csc (-t) = - csc t $

Prova: Seja o ponto $ A $ no círculo unitário as coordenadas $ (x, y) $ e o comprimento do arco $ t $, medido no sentido anti-horário a partir do ponto $ (1,0) $. Defina o ponto $ B $ como o ponto no círculo unitário cujo comprimento do arco é $ t $, medido no sentido horário a partir do ponto $ (1,0) $. Em outras palavras, medido no sentido anti-horário, o comprimento do arco é $ -t $. Então, por simetria através do eixo $ x $, as coordenadas do ponto $ B $ são $ (x, -y) $. Portanto, temos $ sin (-t) = - y = - sin t $.

A prova da identidade do cosseno é semelhante. Para a identidade tangente, temos $ tan (-t) = dfrac < sin (-t)> < cos (-t)> = dfrac <- sin t> <+ cos t> = - tan t $.

As provas das três últimas identidades trigonométricas são semelhantes à prova da identidade tangente. & # 9830

Teorema da Cofunção

As seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores para os quais foram definidas:

$ sin t = cos left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ cos t = sin left ( dfrac < pi> <2> -t right) $
$ tan t = cot left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ cot t = tan left ( dfrac < pi> <2> -t right) $
$ sec t = csc left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ csc t = sec left ( dfrac < pi> <2> -t right) $

Prova: Seja o ponto $ A $ no círculo unitário as coordenadas $ (x, y) $ e o comprimento do arco $ t $, medido no sentido anti-horário a partir do ponto $ (1,0) $. Defina o ponto $ B $ como o ponto no círculo unitário cujo comprimento do arco é $ dfrac < pi> <2> -t $, medido no sentido anti-horário a partir do mesmo ponto. Então, as coordenadas do ponto $ B $ são $ (y, x) $. Portanto, temos $ cos left ( dfrac < pi> <2> -t right) = y = sin t $.


Identidades de Quociente

As definições das funções trigonométricas nos levaram às identidades recíprocas, que podem ser vistas no Conceito sobre esse tema. Eles também nos levam a outro conjunto de identidades, as identidades de quociente.

Considere primeiro as funções seno, cosseno e tangente. Para ângulos de rotação (não necessariamente no círculo unitário), essas funções são definidas da seguinte forma:

Dadas essas definições, podemos mostrar que ( tan theta = dfrac < sin theta> < cos theta> ), desde que ( cos theta neq 0 ):

A equação ( tan theta = dfrac < sin theta> < cos theta> ) é, portanto, uma identidade que podemos usar para encontrar o valor da função tangente, dado o valor do seno e cosseno .

Vamos dar uma olhada em alguns problemas envolvendo identidades de quociente.

1. Encontre o valor de ( tan theta )?

Se ( cos theta = dfrac <5> <13> ) e ( sin theta = dfrac <12> <13> ), qual é o valor de ( tan theta ) ?

3. Qual é o valor de ( cot theta )?

Se ( cos theta = dfrac <7> <25> ) e ( sin theta = dfrac <24> <25> ), qual é o valor de ( cot theta ) ?

Anteriormente, você foi perguntado se pode ajudar seu amigo a encontrar a resposta.

você pode usar esse conhecimento para ajudar seu amigo com os valores de seno e cosseno que você mediu anteriormente:

Se ( cos theta = dfrac <17> <145> ) e ( sin theta = dfrac <144> <145> ), qual é o valor de ( tan theta ) ?

( tan theta = dfrac <144> <17> ). Podemos ver isso a partir do relacionamento para a função tangente:

Se ( sin theta = dfrac <63> <65> ) e ( cos theta = dfrac <16> <65> ), qual é o valor de ( tan theta ) ?

( tan theta = dfrac <63> <16> ). Podemos ver isso a partir do relacionamento para a função tangente:

Se ( tan theta = dfrac <40> <9> ) e ( cos theta = dfrac <9> <41> ), qual é o valor de ( sin theta ) ?

( sin theta = dfrac <40> <41> ). Podemos ver isso a partir do relacionamento para a função tangente:


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Funções trigonométricas básicas

As funções trigonométricas relacionam os ângulos em um triângulo retângulo às proporções dos lados. Dado o seguinte triângulo:

as funções trigonométricas básicas são definidas para 0 & lt θ & lt π 2 0 & lt theta & lt frac < pi> <2> 0 & lt θ & lt 2 π como

sen ⁡ θ = hipotenusa oposta, cos ⁡ θ = hipotenusa adjacente, tan ⁡ θ = adjacente oposta. começar& amp sin theta = frac < text> < text>, & amp cos theta = frac < text> < text>, & amp tan theta = frac < text> < text>. fim Sen θ = hipotenusa oposta, cos θ = hipotenusa adjacente, tan θ = adjacente oposta.

Para uma revisão da conversão entre graus e radianos, consulte Graus e Radianos. No entanto, uma definição mais útil vem do círculo unitário. Se considerarmos um círculo com raio de 1 unidade, centralizado na origem, então o ângulo θ theta θ dentro do círculo descreve um triângulo retângulo quando deixamos cair uma perpendicular ao eixo x x x do ponto de intersecção com o círculo.

Círculo de Unidade

Observe que o triângulo retângulo assim descrito tem uma hipotenusa igual ao raio do círculo, um lado adjacente igual à coordenada xxx do ponto (x, y), (x, y), (x, y) e um lado oposto igual à coordenada yyy. Isso dá origem naturalmente às seguintes definições refinadas:

Essas definições têm a vantagem de serem compatíveis com a definição de triângulo acima, além de permitirem a avaliação de ângulos correspondentes a qualquer número real.

Existem certos valores dessas funções que devem ser lembrados. Eles estão:


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Identidades básicas e pitagóricas

Observe como uma razão trigonométrica "co- (algo)" é sempre a recíproca de alguma razão "não-co". Você pode usar esse fato para ajudá-lo a manter claro que a cossecante corresponde ao seno e a secante ao cosseno.

As seguintes (particularmente a primeira das três abaixo) são chamadas de identidades "pitagóricas".

Observe que as três identidades acima de tudo envolvem quadratura e o número 1. Você pode ver a relação Pitagórica-Dela claramente se você considerar o círculo unitário, onde o ângulo é t, o lado & quotopposto & quot é pecado (t) = y, o lado & quotadjacente & quot é cos (t) = x , e a hipotenusa é 1.

Temos identidades adicionais relacionadas ao status funcional das taxas de trigonometria:

Observe em particular que o seno e a tangente são funções ímpares, sendo simétricos em relação à origem, enquanto o cosseno é uma função par, sendo simétricos em relação ao y -eixo. O fato de você poder retirar o sinal & quotminus & quot do argumento (para seno e tangente) ou eliminá-lo inteiramente (para cosseno) pode ser útil ao trabalhar com expressões complicadas.

Angle-Sum e -Difference Identities

A propósito, nas identidades acima, os ângulos são denotados por letras gregas. A letra do tipo a, "& alpha", é chamada de "alpha", que se pronuncia "AL-fuh". A letra do tipo b, "& beta", é chamada de "beta", que se pronuncia "BAY-tuh".


Trigonometria - Sin, Cos, Tan, Cot

sin: R -> R
Todas as funções trigonométricas são periódicas. O período de pecado é 2 $ pi $.
O intervalo da função é [-1,1].

A função cosseno

cos: R -> R
O período de pecado é 2 $ pi $.
O intervalo da função é [-1,1].

A função tangente

tan: R -> R
O intervalo da função é R. Agora, o período é $ pi $ e a função é indefinida em x = ($ pi $ / 2) + k $ pi $, k = 0,1,2.
O gráfico da função tangente no intervalo 0 - $ pi $

A função cotangente

berço: R -> R
O intervalo da função é R. O período é $ pi $ e a função é indefinida em x = k $ pi $, k = 0,1,2.

Os valores de sin, cos, tan, cot nos ângulos de 0 & deg, 30 & deg, 60 & deg, 90 & deg, 120 & deg, 135 & deg, 150 & deg, 180 & deg, 210 & deg, 225 & deg, 240 & deg, 270 & deg, 300 & deg, 315 & deg, 330 & deg, 360 & deg

$ A ^ o $ ^ o $ $ 30 ^ o $ $ 45 ^ o $ $ 60 ^ o $ $ 90 ^ o $ $ 120 ^ o $ $ 135 ^ o $ $ 150 ^ o $ $ 180 ^ o $ $ 210 ^ o $ $ 225 ^ o $ $ 240 ^ o $ $ 270 ^ o $ $ 300 ^ o $ $ 315 ^ o $ $ 330 ^ o $ $ 360 ^ o $
$ A rad $ $ $ frac < pi> <6> $ $ frac < pi> <4> $ $ frac < pi> <3> $ $ frac < pi> <2> $ $ frac <2 pi> <3> $ $ frac <3 pi> <4> $ $ frac <5 pi> <6> $ $ pi $ $ frac <7 pi> <6> $ $ frac <5 pi> <4> $ $ frac <4 pi> <3> $ $ frac <3 pi> <2> $ $ frac <5 pi> <3> $ $ frac <7 pi> <4> $ $ frac <11 pi> <6> $ $ 2 pi $
$ sin A $ $ $ frac <1> <2> $ $ frac < sqrt <2>> <2> $ $ frac < sqrt <3>> <2> $ $1$ $ frac < sqrt <3>> <2> $ $ frac < sqrt <2>> <2> $ $ frac <1> <2> $ $ $ - frac <1> <2> $ $ - frac < sqrt <2>> <2> $ $ - frac < sqrt <3>> <2> $ $-1$ $ - frac < sqrt <3>> <2> $ $ - frac < sqrt <2>> <2> $ $ - frac <1> <2> $ $
$ cos A $ $1$ $ frac < sqrt <3>> <2> $ $ frac < sqrt <2>> <2> $ $ frac <1> <2> $ $ $ - frac <1> <2> $ $ - frac < sqrt <2>> <2> $ $ - frac < sqrt <3>> <2> $ $-1$ $ - frac < sqrt <3>> <2> $ $ - frac < sqrt <2>> <2> $ $ - frac <1> <2> $ $ $ frac <1> <2> $ $ frac < sqrt <2>> <2> $ $ frac < sqrt <3>> <2> $ $1$
$ tan A $ $ $ frac < sqrt <3>> <3> $ $1$ $ sqrt <3> $ $-$ $ - sqrt <3> $ $-1$ $ - frac < sqrt <3>> <3> $ $ $ frac < sqrt <3>> <3> $ $1$ $ sqrt <3> $ $-$ $ - sqrt <3> $ $-1$ $ - frac < sqrt <3>> <3> $ $
$ cot A $ $-$ $ sqrt <3> $ $1$ $ frac < sqrt <3>> <3> $ $ $ - frac < sqrt <3>> <3> $ $-1$ $ - sqrt <3> $ $-$ $ sqrt <3> $ $1$ $ frac < sqrt <3>> <3> $ $ $ - frac < sqrt <3>> <3> $ $-1$ $ - sqrt <3> $ $-$

O maneira mais fácil de lembrar os valores básicos de sin e cos nos ângulos de 0 & deg, 30 & deg, 60 & deg, 90 & deg:
sin ([0, 30, 45, 60, 90]) = cos ([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt ([0, 1, 2, 3, 4] / 4)

Identidades trigonométricas básicas

Para cada ângulo A corresponde exatamente a um ponto P (cos (A), sen (A)) no círculo unitário.


Fórmula muito, muito importante:

$ begin &cor<1>: sin alpha = sin beta & color<2>: cos alpha = cos beta Rightarrow alpha = beta + 2k pi ou & hspace <4,5cm> alpha = - beta + 2k pi & cor<3>: tan alpha = tan beta Rightarrow alpha = beta + k pi end $

Equações trigonométricas básicas:

Solução: sabemos que $ sin frac < pi> <6> = frac <1> <2> $ e, portanto,

Solução: sabemos que $ cos ( frac < pi> <4>) = frac < sqrt 2> <2> $ e, portanto,

Solução: sabemos que o $ tan <3>> = sqrt <3> $ e, portanto,

Equações trigonométricas avançadas

Etapa 1: para resolver $ x $, primeiro você deve isolar o termo seno.

$ begin 2 sin (2x) - 1 & = 0 2 sin (2x) & = 1 sin (2x) & = frac <1> <2> end $

Etapa 2: sabemos que $ sin ( frac < pi> <6>) = frac <1> <2> $ e, portanto,

$ begin sin (2x) = sin ( frac < pi> <6>) mathop to limits ^ < color> & 2x = frac < pi> <6> + k pi hspace <0,5cm> text hspace <0,5cm> a x = frac < pi> <12> + k pi hspace <0,5cm> text & 2x = frac <5 pi> <6> + 2k pi hspace <1,7cm> x = frac <5 pi> <12> + k pi end $

Passo 1: Para resolver para $ x $, em primeiro lugar, você deve isolar o termo tangente.

Etapa 2: sabemos que $ tan ( frac < pi> <6>) = frac < sqrt <3>> <3> $ e $ tan (- frac < pi> <6>) = - frac < sqrt <3>> <3> $, portanto

$ begin tan (x) = tan ( frac < pi> <6>) & Rightarrow x = frac < pi> <6> + k pi text tan (x) = tan (- frac < pi> <6>) & Rightarrow x = - frac < pi> <6> + k pi end $

Passo 1: Para resolver para $ x $, em primeiro lugar, você deve isolar o termo cosseno.

Etapa 2: sabemos que $ cos ( frac < pi> <3>) = frac <1> <2> $, portanto

$ begin cos (2x - frac < pi> <3>) = cos ( frac < pi> <3>) mathop to limits ^ < color> & 2x - frac < pi> <3> + 2k pi text a 2x = frac < pi> <6> + 2k pi text a x = frac < pi> <12> + k pi text & 2x - frac < pi> <3> = - frac < pi> <3> + 2k pi hspace <1cm> 2x = 0 + 2k pi hspace <1cm> x = k pi fim $


Quadrantes em trigonometria

Os sinais das três funções trigonométricas básicas, sen, cos e tan, variam com base no quadrante em que estão. O sinal de cada função trigonométrica em cada quadrante pode ser determinado usando os sinais das coordenadas junto com as relações trigonométricas básicas. O diagrama abaixo mostra os sinais dessas funções em diferentes quadrantes.


Você sabia?

A primeira parte da palavra "quadrante" vem de uma raiz latina que significa quatro.

Um nome popular para um veículo todo-o-terreno (ATV) é "quad", assim chamado por seus quatro pneus grandes.

Outras palavras baseadas na mesma raiz incluem: quadrilátero, quádruplos, quatrilhão.


Assista o vídeo: - Generelle trigonometriske definisjoner 1 - Sinus og cosinus R2 (Outubro 2021).