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3.1: Teoria dos Conjuntos - Matemática


É natural para nós classificar os itens em grupos, ou conjuntos, e considerar como esses conjuntos se sobrepõem. Podemos usar esses conjuntos para entender as relações entre os grupos e para analisar os dados da pesquisa.

Fundamentos

Um colecionador de arte pode possuir uma coleção de pinturas, enquanto um amante da música pode manter uma coleção de CDs. Qualquer coleção de itens pode formar um definir.

Definir

UMA definir é uma coleção de objetos distintos, chamados elementos do conjunto

Um conjunto pode ser definido descrevendo o conteúdo ou listando os elementos do conjunto, entre colchetes.

Exemplo 1

Alguns exemplos de conjuntos definidos pela descrição do conteúdo:

  1. O conjunto de todos os números pares
  2. O conjunto de todos os livros escritos sobre viagens ao Chile

Respostas

Alguns exemplos de conjuntos definidos listando os elementos do conjunto:

  1. {1, 3, 9, 12}
  2. {vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, índigo, roxo}

Um conjunto simplesmente especifica o conteúdo; a ordem não é importante. O conjunto representado por {1, 2, 3} é equivalente ao conjunto {3, 1, 2}.

Notação

Normalmente, usaremos uma variável para representar um conjunto, para tornar mais fácil referir-se a esse conjunto posteriormente.

O símbolo ∈ significa “é um elemento de”.

Um conjunto que não contém elementos, {}, é chamado de conjunto vazio e é notado ∅

Exemplo 2

Deixar UMA = {1, 2, 3, 4}

Para notar que 2 é o elemento do conjunto, escreveríamos 2 ∈ UMA

Às vezes, uma coleção pode não conter todos os elementos de um conjunto. Por exemplo, Chris possui três álbuns de Madonna. Embora a coleção de Chris seja um conjunto, também podemos dizer que é um subconjunto do conjunto maior de todos os álbuns de Madonna.

Subconjunto

UMA subconjunto de um conjunto UMA é outro conjunto que contém apenas elementos do conjunto UMA, mas não pode conter todos os elementos de UMA.

Se B é um subconjunto de UMA, nós escrevemos BUMA

UMA subconjunto próprio é um subconjunto que não é idêntico ao conjunto original - ele contém menos elementos.

Se B é um subconjunto adequado de UMA, nós escrevemos BUMA

Exemplo 3

Considere estes três conjuntos:

UMA = o conjunto de todos os números pares
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Aqui BUMA uma vez que cada elemento de B também é um número par, então é um elemento de UMA.

Mais formalmente, poderíamos dizer BUMA desde se x B, então x UMA.

Também é verdade que BC.

C não é um subconjunto de UMA, uma vez que C contém um elemento, 3, que não está contido em UMA

Exemplo 4

Suponha que um conjunto contenha as peças "Muito barulho por nada", "MacBeth" e "Sonho de uma noite de verão". De que conjunto maior este pode ser um subconjunto?

Existem muitas respostas possíveis aqui. Um seria o conjunto de peças de Shakespeare. Este também é um subconjunto do conjunto de todas as peças já escritas. É também um subconjunto de toda a literatura britânica.

Tente agora

O conjunto UMA = {1, 3, 5}. De que conjunto maior este pode ser um subconjunto?

União, Cruzamento e Complemento

Conjuntos comumente interagem. Por exemplo, você e um novo colega de quarto decidem fazer uma festa em casa e ambos convidam seu círculo de amigos. Nesta festa, dois sets estão sendo combinados, embora possa acontecer que haja alguns amigos que estavam em ambos os sets.

União, Cruzamento e Complemento

O União de dois conjuntos contém todos os elementos contidos em qualquer um dos conjuntos (ou em ambos os conjuntos). O sindicato é notado UMA B. Mais formalmente, x UMA B E se x UMA ou x B (ou ambos)

O interseção de dois conjuntos contém apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos. O cruzamento é notado UMA B. Mais formalmente, x UMA B E se x UMA e x B.

O complemento de um conjunto UMA contém tudo que é não no set UMA. O complemento é notado UMA', ou UMAc, ou às vezes ~UMA.

Exemplo 5

Considere os conjuntos:

UMA = {vermelho, verde, azul}
B = {vermelho, amarelo, laranja}
C = {vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, roxo}

Encontre o seguinte:

  1. Achar UMA B
  2. Achar UMA B
  3. Achar UMAcC

Respostas

  1. A união contém todos os elementos em qualquer conjunto: UMA B = {vermelho, verde, azul, amarelo, laranja} Observe que listamos o vermelho apenas uma vez.
  2. A interseção contém todos os elementos em ambos os conjuntos: UMA B = {vermelho}
  3. Aqui, procuramos todos os elementos que são não em conjunto UMA e também estão em C. UMAcC = {laranja, amarelo, roxo}

Tente agora

Usando os conjuntos do exemplo anterior, encontre UMA C e BcUMA

Observe que no exemplo acima, seria difícil apenas pedir UMAc, desde a cor fúcsia até cachorros e pasta de amendoim estão incluídos no complemento do conjunto. Por esse motivo, os complementos geralmente são usados ​​apenas com interseções ou quando temos um conjunto universal instalado.

Conjunto universal

UMA Conjunto universal é um conjunto que contém todos os elementos nos quais estamos interessados. Isso teria que ser definido pelo contexto.

Um complemento é relativo ao conjunto universal, então UMAc contém todos os elementos do conjunto universal que não estão em UMA.

Exemplo 6

  1. Se estivéssemos discutindo a procura de livros, o conjunto universal poderia ser todos os livros da biblioteca.
  2. Se estivéssemos agrupando seus amigos do Facebook, o conjunto universal seria todos os seus amigos do Facebook.
  3. Se você estiver trabalhando com conjuntos de números, o conjunto universal pode ser todos os números inteiros, todos os inteiros ou todos os números reais

Exemplo 7

Suponha que o conjunto universal seja você = todos os números inteiros de 1 a 9. Se UMA = {1, 2, 4}, então UMAc= {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Como vimos anteriormente com a expressão UMAcC, as operações definidas podem ser agrupadas. Os símbolos de agrupamento podem ser usados ​​como na aritmética - para forçar uma ordem de operações.

Exemplo 8

Suponha H = {gato, cachorro, coelho, rato}, F = {cachorro, vaca, pato, porco, coelho} e C = {pato, coelho, veado, sapo, rato}

  1. Encontrar (H F) ⋃ C
  2. Achar H ⋂ (FC)
  3. Encontrar (H F)cC

Soluções

  1. Começamos com a interseção: H F = {cachorro, coelho}. Agora unimos esse resultado com C: (H F) ⋃ C = {cachorro, pato, coelho, veado, sapo, rato}
  2. Começamos com o sindicato: FC = {cachorro, vaca, coelho, pato, porco, veado, sapo, rato}. Agora cruzamos esse resultado com H: H ⋂ (FC) = {cachorro, coelho, rato}
  3. Começamos com a interseção: H F = {cachorro, coelho}. Agora queremos encontrar os elementos de C que são não em H F. (H F)cC = {pato, veado, sapo, rato}

Diagramas venn

Para visualizar a interação de conjuntos, John Venn em 1880 pensou em usar círculos sobrepostos, construindo uma ideia semelhante usada por Leonhard Euler no século XVIII. Essas ilustrações agora são chamadas Diagramas venn.

Diagrama de Venn

Um diagrama de Venn representa cada conjunto por um círculo, geralmente desenhado dentro de uma caixa contendo o conjunto universal. As áreas sobrepostas indicam elementos comuns a ambos os conjuntos.

Os diagramas de Venn básicos podem ilustrar a interação de dois ou três conjuntos.

Exemplo 9

Crie diagramas de Venn para ilustrar UMA B, UMA B, e UMAcB

UMA B contém todos os elementos em qualquer definir.

UMA B contém apenas aqueles elementos em ambos os conjuntos - na sobreposição dos círculos.

UMAcirá conter todos os elementos não no set UMA. UMAcB irá conter os elementos no conjunto B que não estão em conjunto UMA.

Exemplo 10

Use um diagrama de Venn para ilustrar (H F)cC

Começaremos identificando tudo no conjunto H F

Agora, (H F)cC conterá tudo não no conjunto identificado acima que também está no conjunto C.

Exemplo 11

Crie uma expressão para representar a parte delineada do diagrama de Venn mostrado.

Os elementos do conjunto delineado estão em conjuntos H e F, mas não estão em conjunto C. Então, podemos representar este conjunto como H FCc

Tente agora

Crie uma expressão para representar a parte delineada do diagrama de Venn mostrado

Cardinalidade

Freqüentemente, estamos interessados ​​no número de itens em um conjunto ou subconjunto. Isso é chamado de cardinalidade do conjunto.

Cardinalidade

O número de elementos em um conjunto é a cardinalidade desse conjunto.

A cardinalidade do conjunto UMA é frequentemente notado como |UMA| ou n (UMA)

Exemplo 12

Deixar UMA = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8}.

Qual é a cardinalidade de B? UMAB, UMA B?

Respostas

A cardinalidade de B é 4, pois há 4 elementos no conjunto.

A cardinalidade de UMAB é 7, uma vez que UMAB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, que contém 7 elementos.

A cardinalidade de UMA B é 3, uma vez que UMA B = {2, 4, 6}, que contém 3 elementos.

Exemplo 13

Qual é a cardinalidade de P = o conjunto de nomes em inglês para os meses do ano?

Respostas

A cardinalidade desse conjunto é 12, pois são 12 meses no ano.

Às vezes, podemos estar interessados ​​na cardinalidade da união ou interseção dos conjuntos, mas não conhecemos os elementos reais de cada conjunto. Isso é comum em levantamentos.

Exemplo 14

Uma pesquisa pergunta a 200 pessoas “Que bebida você bebe pela manhã” e oferece opções:

  • Só chá
  • Só café
  • Café e chá

Suponha que 20 relatem apenas chá, 80 relatem apenas café e 40 relatem ambos. Quantas pessoas bebem chá pela manhã? Quantas pessoas não bebem chá nem café?

Respostas

Essa pergunta pode ser respondida mais facilmente criando um diagrama de Venn. Podemos ver que podemos encontrar as pessoas que bebem chá adicionando aquelas que bebem apenas chá àquelas que bebem ambos: 60 pessoas.

Também podemos ver que aqueles que não bebem são aqueles que não estão contidos em qualquer um dos outros três grupos, então podemos contá-los subtraindo da cardinalidade do conjunto universal, 200.

200 - 20 - 80 - 40 = 60 pessoas que não bebem nenhum dos dois.

Exemplo 15

Uma pesquisa pergunta: “Quais serviços online você usou no último mês?”

  • Twitter
  • Facebook
  • Usei ambos

Os resultados mostram que 40% dos entrevistados usaram o Twitter, 70% usaram o Facebook e 20% usaram os dois. Quantas pessoas não usaram Twitter ou Facebook?

Respostas

Deixar T ser o conjunto de todas as pessoas que usaram o Twitter e F seja o conjunto de todas as pessoas que já usaram o Facebook. Observe que, embora a cardinalidade de F é de 70% e a cardinalidade de T é de 40%, a cardinalidade de FT não é simplesmente 70% + 40%, já que isso contaria aqueles que usam os dois serviços duas vezes. Para encontrar a cardinalidade de FT, podemos adicionar a cardinalidade de F e a cardinalidade de T, então subtraia aqueles na interseção que contamos duas vezes. Em símbolos,

n (FT) = n (F) + n (T) - n (FT)
n (FT) = 70% + 40% – 20% = 90%

Agora, para descobrir quantas pessoas não usaram nenhum dos serviços, estamos procurando a cardinalidade de (FT)c . Uma vez que o conjunto universal contém 100% das pessoas e a cardinalidade de FT = 90%, a cardinalidade de (FT)c devem ser os outros 10%.

O exemplo anterior ilustrou duas propriedades importantes

Propriedades de cardinalidade

n (UMAB) = n (UMA) + n (B) - n (UMAB)

n (Ac) = n (você) - n (UMA)

Observe que a primeira propriedade também pode ser escrita de uma forma equivalente resolvendo a cardinalidade da interseção:

n (UMAB) = n (UMA) + n (B) - n (UMAB)

Exemplo 16

Cinquenta alunos foram entrevistados e perguntados se eles estavam fazendo um curso de ciências sociais (SS), humanidades (HM) ou ciências naturais (NS) no próximo trimestre.

21 estavam fazendo um curso de SS26 estavam fazendo um curso de HM
19 estavam fazendo um curso NS9 estavam tomando SS e HM
7 estavam tomando SS e NS10 estavam tomando HM e NS
3 estavam levando todos os três7 estavam tomando nenhum

Quantos alunos estão apenas fazendo um curso de SS?

Respostas

Pode ajudar olhar para um diagrama de Venn. A partir dos dados fornecidos, sabemos que existem 3 alunos na região e e 7 alunos na região h.

Como 7 alunos estavam fazendo um curso SS e NS, sabemos que n (d) + n (e) = 7. Como sabemos que há 3 alunos na região 3, deve haver 7 - 3 = 4 alunos na região d.

Da mesma forma, uma vez que há 10 alunos fazendo HM e NS, o que inclui regiões e e f, deve haver 10 - 3 = 7 alunos na região f.

Uma vez que 9 alunos estavam cursando SS e HM, deve haver 9 - 3 = 6 alunos na região b.

Agora, sabemos que 21 alunos estavam fazendo um curso de SS. Isso inclui alunos de regiões a, b, d, e e. Como sabemos o número de alunos em todas as regiões, exceto uma, podemos determinar que 21 - 6 - 4 - 3 = 8 alunos estão na região uma.

8 alunos estão fazendo apenas um curso de SS.

Tente agora

Cento e cinquenta pessoas foram entrevistadas e perguntadas se acreditavam em OVNIs, fantasmas e Pé Grande.

43 acreditavam em OVNIs44 acreditavam em fantasmas
25 acreditavam no Pé Grande10 acreditavam em OVNIs e fantasmas
8 acreditavam em fantasmas e pé-grande5 acreditavam em OVNIs e Pé Grande
2 acreditavam em todos os três

Quantas pessoas pesquisadas acreditavam em pelo menos uma dessas coisas?


Um conjunto é uma coleção não ordenada de diferentes elementos. Um conjunto pode ser escrito explicitamente listando seus elementos usando colchetes. Se a ordem dos elementos for alterada ou qualquer elemento de um conjunto for repetido, ele não fará nenhuma alteração no conjunto.

Alguns exemplos de conjuntos

  • Um conjunto de todos os inteiros positivos
  • Um conjunto de todos os planetas do sistema solar
  • Um conjunto de todos os estados da Índia
  • Um conjunto de todas as letras minúsculas do alfabeto

Princípios de matemática: uma cartilha

Os livros que apresentam aos alunos de graduação a matemática superior são numerosos. Uma reclamação comum contra uma parte significativa deles é que falam muito sobre como provar teoremas sem realmente provar nada interessante. É como se o anfitrião do jantar discutisse os detalhes de comer uma boa refeição, mas servisse apenas batatas fritas e água.

Alguns autores evitam essa armadilha escolhendo uma parte da matemática superior e usando essa parte para mostrar aos alunos o poder de suas novas ferramentas de prova de teoremas. O livro em análise segue esse caminho, escolhendo a teoria dos grupos e a álgebra linear como as áreas nas quais resultados substanciais serão provados nos capítulos 5 e 6 (os dois últimos capítulos do livro). O autor se aprofunda o suficiente na teoria dos grupos para cobrir subgrupos normais e teoremas de isomorfismo, e profundo o suficiente na álgebra linear para discutir a teoria dos valores próprios e o grupo linear geral.

Algumas escolhas que o autor faz ao ordenar seus primeiros capítulos são bastante surpreendentes. O capítulo 3, que começa na página 183, é chamado de Provas, mas a essa altura já fizemos muitas provas que eram chamadas exatamente assim. Funções são o tópico do Capítulo 4, mas a Teoria dos Conjuntos é o Capítulo 1, e naquele primeiro capítulo, provamos, por exemplo, que os racionais são equinumeros aos inteiros, usando funções bijetivas, é claro. Provamos também que não há bijeção entre reais e inteiros.

Essas escolhas podem talvez ser explicadas de uma forma um tanto artificial, por exemplo, dizendo que os alunos já têm uma ideia do que é uma função, o que são as provas, e formalizaremos esses conceitos mais tarde, mas este revisor pensa que um livro que pretende introduzir os leitores no mundo da matemática baseada em provas não é o lugar para esse tipo de cobertura não linear.

Existem muitos exercícios e problemas complementares, embora nenhum deles venha com soluções. Muitas frases que terminam em uma fórmula matemática não têm um ponto final no final, o que às vezes torna a leitura mais difícil do que deveria. Para resumir, o livro é certamente diferente da concorrência, mas mais edição e, especialmente, uma ordenação mais direta dos tópicos o teria melhorado.

Mikl & oacutes B & oacutena é professor de matemática na Universidade da Flórida.

1.2 Teoria do conjunto & ndash Definições, notação e terminologia & ndash O que é um conjunto ?, 3


Teoria dos conjuntos e álgebra

Uma operação binária em um conjunto de inteiros é definido como x y = x 2 + y 2. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA sobre ? Associatividade: Uma operação binária ∗ em um conjunto S é dita associativa se ela satisfaz a lei associativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c para todo a, b, c ∈S. Comutatividade: Uma operação binária ∗ em um conjunto S é dita comutativa se ela satisfaz a condição: a ∗ b = b ∗ a para todo a, b, ∈S. Nesse caso, a ordem em que os elementos são combinados não importa. Solução: Aqui, uma operação binária em um conjunto de inteiros é definida como x⊕ y = x2 + y2. para comutatividade: x ⊕y = y ⊕x. LHS => x ⊕y = x ^ 2 + y ^ 2 RHS => y ⊕x = y ^ 2 + x ^ 2 LHS = RHS. portanto, comutativo. para Associatividade: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z LHS => x ⊕ (y⊕ z) = x ⊕ (y ^ 2 + z ^ 2) = x ^ 2 + (y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 RHS => (x ⊕y) ⊕z = (x ^ 2 + y ^ 2) ⊕z = (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 + z ^ 2 Então, LHS ≠ RHS, portanto, não associativo. Referência: http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf Esta solução foi contribuída por Nitika Bansal Outra solução: comutativo como xy é sempre igual a yx. não é associativo como (xy)z é (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 + z ^ 2, mas x(yz) é x ^ 2 + (y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2.

Introdução à teoria ingênua dos conjuntos

Na teoria ingênua dos conjuntos, um conjunto é uma coleção de objetos (chamados de membros ou elementos) que é considerada um único objeto. Para indicar que um objeto x é um membro de um conjunto UMA um escreve xUMA, enquanto xUMA indica que x não é um membro de UMA. Um conjunto pode ser definido por uma regra de associação (fórmula) ou listando seus membros entre colchetes. Por exemplo, o conjunto dado pela regra “números primos menores que 10” também pode ser dado por <2, 3, 5, 7>. Em princípio, qualquer conjunto finito pode ser definido por uma lista explícita de seus membros, mas a especificação de conjuntos infinitos requer uma regra ou padrão para indicar a associação, por exemplo, as reticências em <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…> indica que a lista de números naturais ℕ continua indefinidamente. O conjunto vazio (ou nulo ou nulo), simbolizado por <> ou Ø, não contém nenhum elemento. No entanto, ele tem o status de um conjunto.

Um conjunto UMA é chamado de subconjunto de um conjunto B (simbolizado por UMAB) se todos os membros de UMA também são membros de B. Por exemplo, qualquer conjunto é um subconjunto de si mesmo e Ø é um subconjunto de qualquer conjunto. Se ambos UMAB e BUMA, então UMA e B têm exatamente os mesmos membros. Parte do conceito definido é que, neste caso UMA = B isso é, UMA e B são o mesmo conjunto.


Outono de 2012

Esteja ciente de que os exames práticos são mais longos do que os exames reais. Destinam-se a dar uma ideia do material a ser abordado.

  • Capítulo 2 - Teoria dos conjuntos
      (8/30/12)
  • 2.3 - Operações de definição (04/09/12 e 06/09/12) (11/09/12 e 13/09/12)
  • Revisão (18/09/12)
    • 3.1 - Declarações, conectivos e quantificadores de amplificadores (25/09/12)
    • 3.2 - Tabelas da verdade (27/09/12)
    • 3.3 - O Condicional e o Bicondicional (02/10/12)
    • 3.4 - Verificando Argumentos (04/10/12)
    • 3.5 - Usando diagramas de Euler para verificar silogismos (09/10/12)
    • Revisão (11/10/12)
    • 13.1 - Métodos básicos de contagem (23/10/12)
    • 13.2 - Princípio de contagem fundamental (25/10/12)
    • 13.3 - Permutações e combinações (30/10/12)
    • 14.1 - Teoria Básica da Probabilidade (01/11/12)
    • 14.2 - Complementos e Uniões de Eventos (06/11/12)
    • 14.3 - Probabilidade Condicional e Intersecções de Eventos (08/11/12)
    • 14,4 - Valor Esperado (13/11/12)
    • Revisão (15/11/12)
    • 15.1 - Organização e visualização de dados (27/11/12)
    • 15.2 - Medidas de tendência central (29/11/12)
    • 15.3 - Medidas de dispersão (04/12/12)
    • 15.4 - A Distribuição Normal (6/12/12)
    • Revisão (12/11/12)

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    3.1: Teoria dos Conjuntos - Matemática

    Princípios de Nelson da Matemática
    Índices

    Princípios de Nelson da Matemática 11

    Capítulo 1 - Raciocínio Indutivo e Dedutivo
    Primeiros passos: o mistério do Mary celeste
    1.1 Fazendo Conjecturas: Raciocínio Indutivo
    1.2 Explorando a Validade de Conjecturas
    1.3 Usando o raciocínio para encontrar um contra-exemplo para uma conjectura

    Aplicando estratégias de resolução de problemas: analisando um quebra-cabeça numérico

    1.4 Provando Conjecturas: Raciocínio Dedutivo
    Revisão do meio do capítulo
    1.5 Provas que não são válidas
    1.6 Raciocínio para resolver problemas
    1.7 Analisando quebra-cabeças e jogos
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão do Projeto 1: Criando um Plano de Ação

    Capítulo 2 - Propriedades de ângulos e triângulos
    Primeiros passos: arte geométrica
    2.1 Explorando Linhas Paralelas
    2.2 Ângulos formados por linhas paralelas

    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Quadriláteros Quadriláteros

    Revisão do meio do capítulo
    2.3 Propriedades do ângulo em triângulos
    2.4 Propriedades do ângulo em polígonos

    2.5 Explorando Triângulos Congruentes

    2.6 Provando Triângulos Congruentes
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão do Projeto 2: Selecionando Seu Tópico de Pesquisa
    Revisão cumulativa 1

    Capítulo 3 - Trigonometria Triangular Aguda
    Primeiros passos: trigonometria de lacrosse
    3.1 Explorando Relações Side-Angle em Triângulos Agudos
    3.2 Provando e Aplicando a Lei Senoidal
    Revisão do meio do capítulo
    3.3 Provando e aplicando a lei de cosseno
    3.4 Resolvendo Problemas Usando Triângulos Agudos
    Aplicando estratégias de resolução de problemas: analisando um quebra-cabeça de trigonometria
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Project Connection 3: Criando sua pergunta ou declaração de pesquisa

    Capítulo 4 - Radicais
    Primeiros passos: fotografia
    4.1 Radicais mistos e inteiros
    4.2 Adicionando e subtraindo radicais

    4.3 Multiplicando e Dividindo Radicais

    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Definindo um Fractal
    Revisão do meio do capítulo
    4.4 Simplificando Expressões Algébricas Envolvendo Radicais

    4.5 Expor equações radicais

    4.6 Resolvendo Equações Radicais
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão de Projeto 4: Realizando Sua Pesquisa

    Capítulo 5 - Raciocínio Estatístico
    Introdução: Comparando Salários
    5.1 Explorando Dados
    5.2 Tabelas de frequência, histogramas e polígonos de frequência

    5.4 A Distribuição Normal
    Aplicando estratégias de resolução de problemas: prevendo caminhos possíveis
    5,5 Z-Scores
    5.6 Intervalos de confiança
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão de Projeto 5: Analisando Seus Dados
    Revisão Cumulativa 2

    Capítulo 6 - Funções Quadráticas
    Primeiros passos: String Art

    6.1 Explorando Relações Quadráticas
    6.2 Propriedades de gráficos de funções quadráticas
    6.3 Forma fatorada de uma função quadrática
    Revisão do meio do capítulo
    6.4 Forma de vértice de uma função quadrática
    6.5 Resolvendo problemas usando modelos de função quadrática
    Aplicando Estratégias de Solução de Problemas: Curiosos Enigmas de Contagem

    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão do Projeto 6: Identificando Questões Polêmicas

    Capítulo 7 - Equações quadráticas
    Primeiros passos: Projeto de fatoração
    7.1 Resolvendo Equações Quadráticas por Representação Gráfica
    7.2 Resolvendo Equações Quadráticas por Fatoração
    7.3 Resolvendo Equações Quadráticas Usando a Fórmula Quadrática
    Revisão do meio do capítulo
    7.4 Resolvendo problemas usando equações quadráticas
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Determinando Padrões Quadráticos
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão do Projeto 7: O Produto Final e Apresentação

    Capítulo 8 - Raciocínio Proporcional
    Primeiros passos: interpretando a região de Cold Lake
    8.1 Comparando e Interpretando Taxas
    8.2 Resolvendo problemas que envolvem taxas
    Aplicando estratégias de resolução de problemas: analisando um quebra-cabeça de taxas

    8.3 Diagramas de Escala
    8.4 Fatores de escala e áreas de formas 2-D
    8.5 Objetos semelhantes: modelos em escala e diagramas em escala
    8.6 Fatores de escala e objetos 3-D
    Auto-teste do capítulo
    Revisão do Capítulo
    Tarefa do Capítulo
    Conexão de Projeto 8: Criticas de Pares de Projetos de Pesquisa
    Revisão Cumulativa 3

    Princípios de Nelson da Matemática 12

    Capítulo 1: Teoria dos conjuntos 2
    Primeiros passos: Listagens de imóveis 4
    1.1 Tipos de conjuntos e notação de conjunto 6
    1.2 Explorando Relações entre Conjuntos 19
    1.3 Intersecção e União de Dois Conjuntos 22
    Conexão de história: infinitos inesperados 35
    Revisão do meio do capítulo 36
    1.4 Aplicações da Teoria dos Conjuntos 39
    Matemática em Ação: Êxitos Relevantes 54
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Analisando um Enigma Lógico 55
    Capítulo Autoteste 56
    Revisão do Capítulo 57
    Tarefa do capítulo: Planejando um zoológico 59
    Conexão do Projeto: Criando um Plano de Ação 60

    Capítulo 2: Métodos de Contagem 62
    Primeiros passos: A Torre de Hanói 64
    2.1 Princípios de contagem 66
    2.2 Apresentando Permutações e Notação Fatorial 76
    2.3 Permutações quando todos os objetos são distintos 84
    Matemática em ação: Permutações de aniversário 95
    Revisão do meio do capítulo 96
    2.4 Permutações quando os objetos são idênticos 98
    Aplicando estratégias de resolução de problemas: Disk Drop 108
    2.5 Explorando Combinações 109
    2.6 Combinações 111
    2.7 Resolvendo Problemas de Contagem 121
    Histórico de conexão: Códigos de computador 128
    Capítulo Autoteste 129
    Revisão do Capítulo 130
    Tarefa do capítulo: Analisando um jogo tradicional 133
    Conexão do Projeto: Selecionando Seu Tópico de Pesquisa 134

    Capítulo 3: Probabilidade 136
    Primeiros passos: diferenças de dados 138
    3.1 Explorando Probabilidade 140
    3.2 Probabilidade e Odds 142
    3.3 Probabilidades usando métodos de contagem 151
    Conexão de história: Contra-intuição 162
    Revisão do meio do capítulo 163
    3.4 Eventos Mutuamente Exclusivos 166
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: O Enigma Monty Hall 181
    3,5 Probabilidade Condicional 182
    3.6 Eventos Independentes 192
    Matemática em ação: modelagem com probabilidades 201
    Capítulo Autoteste 202
    Revisão do Capítulo 203
    Tarefa do Capítulo: Jogos e Probabilidade 207
    Conexão do projeto: Criando sua pergunta ou declaração de pesquisa 208
    Capítulos 1-3 Revisão Cumulativa 210

    Capítulo 4: Expressões e equações racionais 212
    Introdução: Comparando Planos de Internet 214
    4.1 Expressões Racionais Equivalentes 216
    4.2 Simplificando Expressões Racionais 225
    4.3 Multiplicando e Dividindo Expressões Racionais 232
    Revisão do meio do capítulo 240
    4.4 Adicionando e Subtraindo Expressões Racionais 244
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Explorando Expressões Racionais 251
    Conexão de história: The Thin Lens Formula 252
    4.5 Resolvendo Equações Racionais 253
    Matemática em Ação: A Média Harmônica 261
    Capítulo Autoteste 262
    Revisão do Capítulo 263
    Tarefa do capítulo: O jogo de dados das expressões racionais 267
    Conexão do Projeto: Realizando Sua Pesquisa 268

    Capítulo 5: Funções Polinomiais 270
    Introdução: Preparando uma produção lucrativa 272
    5.1 Explorando os gráficos de funções polinomiais 274
    5.2 Características das Equações de Funções Polinomiais 278
    Matemática em ação: movimento devido à gravidade 289
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: O Jogo Polinomial 292
    Revisão do meio do capítulo 293
    5.3 Dados de modelagem com uma linha de melhor ajuste 295
    5.4 Dados de modelagem com uma curva de melhor ajuste 307
    Conexão de histórico: Polinômios quadráticos de geração principal 317
    Capítulo Autoteste 318
    Revisão do Capítulo 319
    Tarefa do capítulo: Experimentando modelos polinomiais 323
    Conexão do projeto: analisando seus dados 324
    Capítulos 4-5 Revisão Cumulativa 327

    Capítulo 6: Funções Exponenciais 330
    Primeiros passos: Origami 332
    6.1 Explorando as Características das Funções Exponenciais 334
    6.2 Relacionando as características de uma função exponencial à sua equação 338
    6.3 Resolvendo Equações Exponenciais 352
    Revisão do meio do capítulo 366
    6.4 Modelando Dados Usando Funções Exponenciais 370
    Conexão de história: Ernest Rutherford (1871-1937) 384
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Sucesso Exponencial 385
    6.5 Aplicações Financeiras Envolvendo Funções Exponenciais 386
    Matemática em ação: a regra de 72.399
    Capítulo Self-Test 400
    Revisão do Capítulo 401
    Tarefa do capítulo: Decaimento da cafeína 405
    Conexão do projeto: Identificando questões controversas 406

    Capítulo 7: Funções Logarítmicas 408
    Primeiros passos: cabos de fibra óptica 410
    7.1 Características das funções logarítmicas com Base 10 e Base e 412
    7.2 Avaliando Expressões Logarítmicas 426
    Revisão do meio do capítulo 439
    7.3 Leis dos Logaritmos 442
    Matemática em Ação: Fazendo uma Regra do Slide 448
    7.4 Resolvendo Equações Exponenciais Usando Logaritmos 449
    Conexão de histórico: Número de Euler 459
    7.5 Modelando Dados Usando Funções Logarítmicas 460
    Aplicação de estratégias de resolução de problemas: adivinhe o número: Pesquisa binária 472
    Capítulo Autoteste 473
    Revisão do Capítulo 474
    Tarefa do Capítulo: Primeiros Dígitos 477
    Conexão do Projeto: O Produto Final e Apresentação 478

    Capítulo 8: Funções Senoidais 480
    Introdução: Padrões Seno e Cosseno 482
    8.1 Ângulos de compreensão 484
    8.2 Explorando Gráficos de Funções Periódicas 491
    Conexão de histórico: não é tão fácil quanto ! 496
    8.3 Os gráficos das funções sinusoidais 497
    Revisão do meio do capítulo 513
    8.4 As Equações das Funções Senoidais 516
    Matemática em ação: biorritmos 532
    8.5 Modelando Dados com Funções Senoidais 533
    Aplicando Estratégias de Resolução de Problemas: Ondas Ocultas 548
    Capítulo Autoteste 549
    Revisão do Capítulo 550
    Tarefa do capítulo: Lá vem o sol 553
    Conexão de Projeto: Críticas de Pares de Projetos de Pesquisa 554
    Capítulos 6-8 Revisão Cumulativa 556


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    Aula de Atribuição de Matemática XI Ch -1 Teoria dos Conjuntos

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    Trabalho de Matemática

    Aula - XI / Disciplina Matemática / Capítulo - 1

    Para alunos não médicos / de matemática aplicada

    Q1 Escreva os seguintes conjuntos em formato tabular

    Q 2 Escreva o seguinte no formulário do construtor de conjunto

    Q3 Escreva os subconjuntos do conjunto A = <1, 2, <3>>

    Q4 Escreva os subconjuntos adequados de A =

    Resp: Exceto <5, 10, 11, 15>, todos os outros subconjuntos de A são subconjuntos apropriados.

    Q5 Escreva o conjunto de potência de A =

    Q6 Liste todos os subconjuntos do conjunto

    Q7 Dos conjuntos fornecidos abaixo, selecione os conjuntos iguais e equivalentes

    Conjuntos iguais de Ans: A e C, Conjuntos equivalentes: B, E e F A e C

    em seguida, encontre n (S) + n (P) Resp 41

    Q 9 Sejam A e B dois conjuntos, mostre A - B, A & # 8745 B, B - A no diagrama de Venn.

    Q 10 Se A = , B = , C = verifique isso

    (b) A - (B & # 8745 C) = (A - B) (A - C)

    Q11 Se A, B e C são dois conjuntos, então, prove que

    a) A (A & # 8745 B) = A

    BA B) & # 8211 B = A - B

    táxi) (A & # 8745 B = A

    d) A (B - A) = A B

    f) A B) & # 8211 B = A - B

    Q 12 Se A = <1, 2, 3, 4, 5>, B = <1, 3, 5, 7, 9>, C = <2, 3, 4>, verifique se

    A - (B C) = (A - B) & # 8745 (A - C)

    Q 13 Em uma classe de 35 alunos, 24 gostam de jogar críquete e 16 gostam de jogar futebol. Além disso, cada aluno gosta de jogar pelo menos um dos dois jogos. Quantos gostam de jogar críquete e futebol. Resp 5

    Q 14 Em uma pesquisa com 400 alunos da escola, 100 estavam tomando suco de maçã, 150 estavam tomando suco de laranja. Descubra quantos alunos não estavam tomando suco de maçã nem suco de laranja. Ans 225

    Q 15 Uma faculdade concedeu 38 medalhas no futebol, 15 no basquete e 20 no críquete. Se essas medalhas foram para um total de 58 homens e apenas três homens receberam medalhas em todos os três esportes, quantos receberam medalhas em exatamente dois dos três esportes? Ans 9

    Q 16 Num grupo de 200 alunos, verificou-se que 120 estudam matemática, 90 estudam Física, 70 estudam Química, 40 estudam Matemática e Física, 30 estudam Física e Química, 50 estudam Química e Matemática e 20 estudam todas as três disciplinas. Encontre o número de alunos.

    (i) Quem estuda todos os três assuntos? Ans 20

    (ii) Quem estuda apenas matemática? Ans a = 50

    (iii) Quem estuda um dos três assuntos? Ans 100

    (iv) Quem estuda duas das três disciplinas? Ans 60

    Q 17 De 100 alunos, 15 foram aprovados em Inglês, 12 em Matemática, 8 em Ciências, 6 em Inglês e Matemática, 7 em Matemática e Ciências, 4 em Inglês e Ciências, 4 em todos os três. Descubra quantos passaram em

    (i) Inglês e matemática, mas não em ciências Resp 2

    (ii) Matemática e Ciências, mas não em Inglês Ans 3

    (iv) Mais de um sujeito, apenas Resposta 9

    Q 18 Em um grupo de 50 alunos, 17 alunos estudando francês, 13 inglês, 15 sânscrito, 9 estudando francês e inglês, 4 estudando inglês e sânscrito, 5 estudando francês e sânscrito, 3 estudando todas as três matérias. Encontre o número de alunos que estudam.


    Teoria dos Conjuntos e Suas Aplicações Comerciais

    A teoria dos conjuntos desempenha um papel vital na matemática moderna e também é usada em outras disciplinas.

    3.1 TEORIA DE AJUSTE

    Um conjunto S é uma coleção de objetos definidos e bem definidos. Esses objetos são chamados de elementos do conjunto.

    3.2 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS

    A representação de um conjunto pode ser feita de duas maneiras:

    3.2.1 Método de Tabulação

    Os elementos individuais de um conjunto são listados e separados por vírgulas e colocados entre colchetes.

    Um conjunto de números naturais menores que sete é representado como A =

    3.2.2 Formulário do Construtor de Conjuntos

    O conjunto é descrito declarando uma propriedade comum de seu membro.

    O conjunto de números ímpares menor que.

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    Perguntas comuns e merdas que eu posso ter perdido

    Questões? Sim, você, com as calças molhadas de mijo.

    “Mas Aaron. Não tenho acesso ao kit especializado. O que eu devo fazer?"

    Suspirar. Bem. Eu entendo que este é um problema comum. Deixe-me dizer que se você está procurando fazer uma competição, encontre uma academia para a qual possa viajar pelo menos uma vez a cada duas semanas durante o seu tempo de preparação e que tenha pelo menos alguns dos equipamentos de que você precisa.

    Caminhadas de fazendeiros com halteres são boas, mas não é como o torpedo com o qual eles fazem você correr no dia da competição. Existe um cruzamento, mas por que deixá-lo ao acaso? Muito pode ser feito com um conjunto de Fat Gripz, suas próprias faixas elásticas para amarrar placas de peso juntas para emular pedras ou escudos e um barril de cerveja (cheio de água ou areia) ou saco de areia em seu galpão de jardim. Invista um pouco. Vale a pena. Pule a próxima noite de curry do trabalho se o dinheiro estiver apertado. Foda-se esses caras, eles não ajudam você a levantar merda legal.

    “Só posso comprar um par de sapatos. Qual é o melhor sapato de homem forte completo? ”

    “Eu vi muitos homens fortes amarrados como se fossem o Stay Puff Marshmallow Man em roids. Preciso de alças, mangas, bandagens, cintos, etc.? ”

    Resposta curta, sim. Mas eu competi meus primeiros 18 meses sem qualquer equipamento auxiliar, exceto tiras para levantamento terra para repetições, e consegui vencer o atleta britânico mais forte novato na BodyPower UK. Portanto, você não precisa de tudo no início. No entanto, conforme os pesos ficam cada vez maiores, definitivamente se torna útil e mais seguro equipar - não para cada série e repetição, mas em suas séries de trabalho definitivamente não faz mal.

    Hahaha. I like pizza. Look, eat for your goal like you train for your goal. Good meats, tasty carbs, and Budweiser on a Friday.


    Is $ in , , 1, 2>$?

    I recently picked up Robert R. Stoll's book, 'Set Theory and Logic' and whilst reading chapter 1.3, I came into the question posted above. It's salient to note that my mathematical knowledge in general rivals that of a 2nd grader (no offense to any 2nd graders), so this question brought me some trouble.

    From what I learned in the book hitherto, a set is a collection of unique elements ou members, so for example: $a in < a, b, c >$ is true because $a$ is an element within the given set. However, the brackets in the original question are throwing me off a bit because I am not too sure whether the $1$ and $2$ have to be within its own brackets e.g. $< 1, 2>.$

    In any case, I would have said that $< 1, 2 >$ is indeed within $< < 1, 2, 3 >, < 1, 3 >, 1, 2 >,$ but that answer is said with soft conviction and some confusion. Hopefully someone with more mathematical prowess can help me. Thanks in advance.


    Assista o vídeo: Conjuntos: Introdução Aula 1 de 4 (Outubro 2021).