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5.5: Perpendicular é o mais curto


Lemma ( PageIndex {1} )

Suponha que (Q ) seja o pé de (P ) na linha ( ell ). Então a desigualdade

(PX> PQ )

vale para qualquer ponto (X ) em ( ell ) distinto de (Q ).

Se (P, Q ) e ( ell ) forem como acima, então (PQ ) é chamada de distância de (P ) a ( ell ).

Prova

Se (P in ell ), então o resultado segue desde (PQ = 0 ). Além disso, assumimos que (P not in ell ).

Seja (P ') o reflexo de (P ) através da linha ( ell ). Observe que (Q ) é o ponto médio de ([PP '] ) e ( ell ) é a bissetriz perpendicular de ([PP'] ). Portanto

(PX = P'X ) e (PQ = P'Q = dfrac {1} {2} cdot PP ')

Observe que ( ell ) atende ([PP '] ) apenas no ponto (Q ). Portanto, (X não in [PP '] ); pela desigualdade do triângulo e Corolário 4.4.1,

(PX + P'X> PP ')

e, portanto, o resultado: (PX> PQ ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Suponha que ( ângulo ABC ) seja direito ou obtuso. Mostra isso

(AC> AB. )

Dica

Se ( angle ABC ) está certo, a declaração segue do Lema ( PageIndex {1} ). Portanto, podemos assumir que ( ângulo ABC ) é obtuso.

Desenhe uma linha ((BD) ) perpendicular a ((BA) ). Como ( ângulo ABC ) é obtuso, os ângulos (DBA ) e (DBC ) têm sinais opostos.

Pelo corolário 3.4.1, (A ) e (C ) encontra-se em lados opostos de ((BD) ). Em particular, ([AC] ) intercepta ((BD) ) em um ponto; denote-o por (X ).

Observe que (AX

Exercício ( PageIndex {2} )

Suponha que ( triângulo ABC ) tenha um ângulo reto em (C ). Mostre que para qualquer (X in [AC] ) a distância de (X ) a ((AB) ) é menor que (AB ).

Dica

Seja (Y ) o ponto do pé de (X ) em ((AB) ). Aplique o Lemma ( PageIndex {1} ) para mostrar que (XY


SOLUÇÃO: A distância mais curta entre o ponto (& amp # 87225,5) e a linha y = 3x & amp # 87222 é?

Você pode colocar esta solução no SEU site!
A distância mais curta entre o ponto e a linha é a distância perpendicular entre um ponto e a linha.

Resolvido pelo solucionador plugável: Encontrando uma distância entre um ponto dado pelas coordenadas (x, y) e uma linha dada pela equação y = ax + b
Queremos encontrar a distância perpendicular entre um ponto dado por coordenadas (,)
e uma linha dada pela equação

Primeiro, vamos desenhar um diagrama da situação geral com o ponto P (xo, yo) e
linha EU: y = a.x + b. A distância exigida é PC. (no diagrama abaixo)

Metodologia
Iremos primeiro encontrar os vértices do triângulo para obter os comprimentos laterais e, em seguida, aplicando
Regra do Seno no triângulo retângulo PAB e PBC vamos calcular a distância desejada PC.


Passo 1
Cálculo dos vértices do triângulo PAB:

Desenhe uma linha vertical passando pelo ponto 'P'. Esta linha cortará a linha dada 'L'
no ponto 'A'. A coordenada X de A (x1) será o mesmo que. Para encontrar a coordenada Y de
'A' usaremos o fato de que o ponto 'A' encontra-se na linha 'L' dada e satisfaz a equação
da linha 'L'
.
Agora, conecte isso à equação da linha: y = 3 * x + -2


De forma similar,
Desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto 'P'. Esta linha cortará a linha dada 'L'
no ponto 'B'. A coordenada Y de B (y2) será o mesmo que. Para encontrar a coordenada X de
B vamos usar o fato de que o ponto 'B' encontra-se na linha 'L' dada e satisfaz a equação
da linha 'L'
.
Agora, conecte isso à equação da linha: y = 3 * x + -2


Agora, temos todos os vértices do triângulo PAB


Passo 2
Cálculo dos comprimentos laterais usando a fórmula da distância:


Portanto, os comprimentos laterais PA, PB e AB são

Etapa 3
Aplicar Regra senoidal no ângulo comum B no triângulo PAB e triângulo PBC.
Ambos os triângulos PAB e triângulo PBC são triângulo retângulo e os pontos 'A', 'B' e 'C' estão na linha L.


PC é a distância perpendicular necessária do ponto P (-5, 5) da linha fornecida
linhaL1: y = 3 * x + -2.


Eu tenho uma linha passando pelos pontos B e C, como faço para encontrar a distância perpendicular a A?

Intuitivamente, você quer a distância entre o ponto A e o ponto na linha BC que está mais próximo de A. E o ponto na linha que você está procurando é exatamente a projeção de A na linha. A projeção pode ser calculada usando o produto escalar (que às vezes é referido como "produto de projeção").

Então você pode calcular o vetor de direção $ mathbb$ da linha $ BC $. Esta é a diferença de $ B $ e $ C $, dividida por sua distância:

Então você pode definir um vetor de $ B $ a $ A $:

Calculando o produto escalar entre este vetor e o vetor de direção, você obterá a distância entre $ B $ e a projeção de $ A $ em $ BC $:

A projeção real $ P $ de $ A $ em $ BC $ é então dada como

E, finalmente, a distância que você está procurando é

Claro, isso poderia ser escrito em uma forma um pouco mais curta. Ele tem a vantagem de fornecer exatamente o ponto mais próximo da linha (o que pode ser um ótimo complemento para calcular apenas a distância) e pode ser implementado facilmente. Algum pseudocódigo:

Se você estiver familiarizado com produtos cruzados, poderá obter a distância necessária calculando $ frac <| overrightarrow times overrightarrow|> <| overrightarrow|>$

Você pode parametrizar a linha (e você nem precisa se preocupar com o fato de que é um segmento):

$ B-C = langle 0, -2,1 rangle $ então a linha é $ langle 1,0,1 rangle + t langle 0, -2,1 rangle $

Então, para algum valor de $ t $, chame-o de $ k $, o vetor de $ A $ a $ langle 1, -2k, 1 + k rangle $ é ortogonal a $ langle 0, -2,1 rangle $. Desse modo

$ ( langle 1, -2k, 1 + k rangle- langle 4,2,1 rangle) cdot langle 0, -2,1 rangle = 0 $

$ langle -3, -2k-2, k rangle cdot langle 0, -2,1 rangle = 0 $

então agora você deve ser capaz de encontrar o ponto.

Ponto arbitrário na linha: $ (1, 2t, -t) $ para $ t in mathbb R $. A linha é paralela ao vetor $ vec = & lt0,2, -1 & gt $.

Se $ D (1, 2t_0, -t_0) $ é o ponto na linha mais próximo de $ A $, devemos ter $ vec bullet vec = 0 $ (porque $ vec$ deve ser perpendicular à linha)

Por tradução, podemos assumir que um dos pontos (digamos $ C $) é a origem (ou seja, considere $ A-C $ e $ B-C $). Então, a questão é qual é a distância entre um vetor $ A $ e a projeção ortogonal de $ A $ no subespaço medido pelo vetor $ B $. Seja $ s = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) / (b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2) $. Então, a distância é a seguinte fórmula: $ sqrt <(a_1-sb_1) ^ 2 + (a_2-sb_2) ^ 2 + (a_3-sb_3) ^ 2> $. Este é $ lVert A- fracB rVert $.

Outra abordagem (uma solução de tecnologia muito baixa). Pelo teorema de Pitágoras temos $ AB = sqrt <13>, qquad AC = sqrt <10>, qquad BC = sqrt <5> tag <1> $ portanto $ ABC $ é um triângulo agudo (uma vez que $ AB ^ 2 & ltAC ^ 2 + BC ^ 2 $ e assim por diante) e chamando $ H_A $ a projeção de $ A $ em $ BC $, também temos $ H_A B ^ 2 - H_A C ^ 2 = AB ^ 2 - AC ^ 2 = 3 tag <2> $ Como $ H_A B + H_A C = BC = sqrt <5> $, de $ (2) $ segue-se que $ H_A B-H_A C = frac <3> < sqrt <5>> $, então: $ H_A B = frac <4 sqrt <5>> <5> qquad H_A C = frac < sqrt <5>> <5> tag <3> $ e: $ boxed < phantom < sum_^> H_A = frac <4> <5> C + frac <1> <5> B = color<5>frac<8><5>frac<1> <5> right)>, qquad AH_A ^ 2 = AC ^ 2-H_A C ^ 2 = color <5>> phantom < sum_^>> tag <4> $

Semelhante à resposta de Jack, podemos usar o conceito de vetor e produto escalar.
De $ B = (1,0,1) $ e $ C = (1,2,0) $, obtemos o segmento de linha $ B-C = (0, -2,1) $ que consideramos como um vetor. Então, de $ A = (4,2,1) $ se a linha perpendicular a esta linha interceptar esta linha em $ (x, y, z) $, obtemos outro vetor $ (4-x, 2-y, 1-z ) $. Agora, como esses dois vetores $ (0, -2,1) $ e $ (4-x, 2-y, 1-z) $ são perpendiculares um ao outro, seu produto escalar será zero, então obtemos a primeira equação

$ (4-x) .0+ (2-y). (- 2) + (1-z) .1 = 0 $, então obtemos $ 2y-z = 3 $ obtemos as outras equações na forma $ dfrac= dfrac <-2> <1> $, então $ y + 2z = 2 $ e $ dfrac= dfrac <0> <-2> $

Então, temos três equações $ 2y-z = 3 $, $ y + 2z = 2 $ e $ x-1 = 0 $,
obtemos $ x = 1, y = 8/5, z = 1/5 $ e a partir disso calculamos a distância.

Desta forma, sempre obtemos três equações lineares de $ x, y, z $ que podemos resolver por um processo de eliminação simples.

Brincando com as soluções, construí esta simulação uma delas:

Usando uma equação vetorial da reta que passa por $ BC $. E o teorema de Pitágoras para obter a distância de $ A $ a um ponto na linha.

Minimizado usando o ponto onde a derivada é igual a 0.


Vamos começar com a linha Machado + De + C = 0 e rotule-o DE. Possui inclinação `-A / B`.

Temos um ponto P com coordenadas (m, n) Queremos encontrar a distância perpendicular do ponto P para a linha DE (ou seja, distância `PQ`).

Agora fazemos um truque para tornar as coisas mais fáceis para nós mesmos (a álgebra é realmente horrível de outra forma). Construímos uma linha paralela a DE através de (m, n) Esta linha também terá inclinação `-A / B`, pois é paralela a DE. Vamos chamar essa linha de FG.

Agora vamos construir outra linha paralela a PQ passando pela origem.

Esta reta terá inclinação `B / A`, pois é perpendicular a DE.

Vamos chamá-lo de linha RS. Nós o estendemos para a origem `(0, 0)`.

Encontraremos a distância RS, que espero que concorde é igual à distância PQ que queríamos no início.

Uma vez que FG passa por (m, n) e tem inclinação `-A / B`, sua equação é` y-n = -A / B (x-m) `ou

A linha RS tem a equação `y = B / Ax.`

A linha FG cruza com a linha RS quando

Então, depois de substituir isso de volta em `y = B / Ax,` encontramos que o ponto R é

Usuários de telefone

NOTA: Se você estiver em um telefone, pode rolar qualquer equações amplas nesta página para a direita ou esquerda para ver a expressão completa.

O ponto S é a interseção das linhas `y = B / Ax` e Machado + De + C = 0, que pode ser escrito `y = - (Ax + C) / B`.

Isso ocorre quando (ou seja, estamos resolvendo-os simultaneamente)

Resolvendo para x

Encontrando y substituindo de volta em

A distância RS, usando a fórmula da distância,

O sinal de valor absoluto é necessário, pois a distância deve ser um valor positivo e certas combinações de A, m, B, n e C pode produzir um número negativo no numerador.

Portanto, a distância do ponto (m, n) para a linha Machado + De + C = 0 é dado por:

Exemplo 1

Encontre a distância perpendicular do ponto (5, 6) à linha e menos 2x + 3y + 4 = 0, usando a fórmula que acabamos de encontrar.

Aqui está o gráfico da situação. Podemos ver que nossa resposta de pouco mais de 3 unidades é razoável.


SOLUÇÃO: Geometria Analítica 10. Determine a menor distância do ponto (5, 2) à reta representada por y = 2x + 1. Use um diagrama para verificar sua resposta. Você pode me ajudar com isso?

A distância de um ponto a uma linha é o comprimento do segmento de linha entre o ponto dado e o ponto de intersecção de uma linha perpendicular à linha dada que contém o ponto dado com a linha dada.

Passo 1: Resolva a equação fornecida para colocar a equação na forma de interceptação da inclinação (isso já foi feito para você) e, em seguida, determine a inclinação da linha dada inspecionando o coeficiente em.

para calcular a inclinação de uma linha perpendicular à linha dada.

Passo 3: Escreva uma equação da linha perpendicular à linha dada que passa pelo ponto dado usando a forma ponto-inclinação da equação de uma linha:

Etapa 4: usando a equação da linha dada e a equação da linha que acabou de ser derivada na etapa 3, resolva o sistema de equações para o ponto de intersecção.

Etapa 5: Use a fórmula da distância para calcular a distância entre o ponto de interseção derivado na Etapa 4 e o ponto fornecido.


Linhas Perpendiculares e Inclinações

Linhas perpendiculares são linhas que se cruzam em ângulos retos.

Se você multiplicar as inclinações de duas retas perpendiculares no plano, obterá & menos 1. Ou seja, as inclinações das linhas perpendiculares são recíprocas opostas.

(Exceção: as linhas horizontais e verticais são perpendiculares, embora você não possa multiplicar suas inclinações, pois a inclinação de uma linha vertical é indefinida.)

Podemos escrever a equação de uma linha perpendicular a uma determinada linha se conhecermos um ponto na linha e a equação da linha dada.

Escreva a equação de uma linha que passa pelo ponto (1, 3) e é perpendicular à linha y = 3 x + 2.

Linhas perpendiculares são linhas que se cruzam em ângulos retos.

A inclinação da linha com a equação y = 3 x + 2 é 3. Se você multiplicar as inclinações de duas retas perpendiculares, obterá & menos 1.

Portanto, a reta perpendicular a y = 3 x + 2 tem a inclinação e menos 1 3.

Agora use a forma de inclinação de ponto para encontrar a equação.

Temos que encontrar a equação da reta que tem inclinação & menos 1 3 e passa pelo ponto (1, 3). Portanto, substitua m por & menos 1 3, x 1 por 1 ey 1 por 3.

Portanto, a linha y = & menos 1 3 x + 10 3 é perpendicular à linha y = 3 x + 2 e passa pelo ponto (1, 3).


5.5.1.4.1. Seguidor de parede vetorial perpendicular¶

Este algoritmo usa um pouco de álgebra linear de vetores para encontrar um ponto para dirigir que mantenha de forma que uma parede seja seguida. Ele requer que o robô tenha cinco sensores de distância (um na frente e dois em cada lado do robô apontando em cerca de 45 e 90 graus para o robô).

Deixe que os pontos finais dos dois primeiros sensores de distância na lateral do robô em direção à parede sejam pontos e no quadro de coordenadas mundiais. Dada a pose do robô, podemos encontrar um vetor do robô para apontar , . Também podemos definir um vetor entre pontos e , . Vetor geralmente define a direção que o robô deve viajar, mas mais especificamente, desejamos dirigir em direção a um ponto distância do ponto mais próximo ao longo do vetor para o robô. O ponto mais próximo é do ponto , Onde é um valor escalar que precisamos encontrar e é um (vetor unitário) normalizado de . Usaremos um vetor, , do robô para para encontrar o ponto de direção alvo.

Desde vetores e devem ser perpendiculares, o produto escalar entre os vetores deve ter um valor igual a zero.

Desde é um vetor unitário, . Vetores de produtos escalares também podem ser invertidos, se desejado.

Agora o vetor, definir a direção de direção do robô é dada por

A posição atual do robô é subtraída porque está no quadro de coordenadas globais. Como mencionado antes, esse vetor de direção deve ser combinado com o vetor para evitar obstáculos.


5.5: Perpendicular é o mais curto

No trabalho de levantamento, muitas vezes é necessário estabelecer ângulos retos ou linhas perpendiculares no campo. Nas seções a seguir, alguns métodos práticos indicam como isso pode ser feito. Esses métodos incluem:

- o método 3-4-5: usado para estabelecer um ângulo reto a partir de um certo ponto na linha de base

- o método da corda: usado para traçar uma linha perpendicular à linha de base, a partir de um ponto que não está na linha de base

- o quadrado prismático único e o quadrado prismático duplo: usado para definir os ângulos retos e as linhas perpendiculares.

Para definir os ângulos retos no campo, uma fita métrica, dois pólos de alcance, pinos e três pessoas são necessários.

A primeira pessoa segura junto, entre o polegar e o indicador, a marca zero e a marca de 12 metros da fita. A segunda pessoa segura entre o polegar e o dedo a marca dos 3 metros da fita e a terceira pessoa segura a marca dos 8 metros.

Quando todos os lados da fita são esticados, um triângulo com comprimentos de 3 m, 4 me 5 m é formado (ver Fig. 20), e o ângulo próximo à pessoa 1 é um ângulo reto.

NOTA: Em vez de 3 m, 4 me 5 m, pode ser escolhido um múltiplo: por ex. 6 m, 8 m e 10 m ou e. 9 m, 12 me 15 m.

EXEMPLO: Estabelecendo um ângulo reto

Na Fig. 2 la, a linha de base é definida pelos pólos (A) e (B) e um ângulo reto deve ser estabelecido a partir do pino (C). Peg (C) está na linha de base.

Fig. 21a Definindo um ângulo reto, Etapa 1

Três pessoas seguram a fita da maneira explicada acima. A primeira pessoa segura a marca zero da fita junto com a marca de 12 m no topo da cavilha (C). A segunda pessoa segura a marca dos 3 m em linha com a vara (A) e a estaca (C), na linha de base. A terceira pessoa segura a marca dos 8 me, após esticar a fita, coloca uma estaca no ponto (D). O ângulo entre a linha que conecta o pino (C) e o pino (D) e a linha de base é um ângulo reto (ver Fig. 21b). A linha CD pode ser estendida avistando pólos de alcance.

Em vez de uma fita métrica, pode ser usada uma corda de 12 m de comprimento com marcas claras a 3 me 8 m.

Uma linha deve ser estabelecida perpendicularmente à linha de base do pino (A). Peg (A) não está na linha de base.

Uma corda longa com um laço em ambas as extremidades e uma fita métrica são usados. A corda deve ser alguns metros mais longa do que a distância da estaca (A) à linha de base.

Um laço da corda é colocado em volta da estaca (A). Passe uma estaca pelo outro laço da corda e faça um círculo no chão, mantendo a corda reta. Este círculo cruza a linha de base duas vezes (ver Fig. 22a). As estacas (B) e (C) são colocadas onde o círculo cruza a linha de base.

A estaca (D) é colocada exatamente no meio entre as estacas (B) e (C). Use uma fita métrica para determinar a posição da cavilha (D). As estacas (D) e (A) formam a linha perpendicular à linha de base e o ângulo entre a linha CD e a linha de base é um ângulo reto (ver Fig. 22b).

Fig. 22a Estabelecendo uma linha perpendicular, Etapa 1

Fig 22b Estabelecendo uma linha perpendicular, Etapa 2

Os quadrados ópticos são instrumentos de mira simples usados ​​para definir ângulos retos. Eles podem ser fornecidos com espelhos ou com um ou dois prismas. Devido a dificuldades práticas no uso de quadrados com espelhos, eles foram substituídos por quadrados com prismas: & quotquadrados prismáticos & quot. Existem dois tipos principais de quadrados prismáticos: quadrados prismáticos simples e quadrados prismáticos duplos, ambos serão tratados nas seções que se seguem.

O prisma do quadrado prismático único é encaixado em uma estrutura de metal com uma alça. Preso à alça está um gancho ao qual um prumo pode ser conectado (ver Fig. 23). A construção especial do prisma permite ver em ângulos retos ao olhar através do instrumento. O quadrado prismático único ou o prisma único podem ser usados ​​para definir ângulos retos e linhas perpendiculares.

Fig. 23 Um único quadrado prismático

Na Fig. 24, o pino (C) está na linha de base, que é definida pelos pólos (A) e (B). Um ângulo reto deve ser estabelecido, começando no pino (C).

Fig. 24 Estabelecendo um ângulo reto

O procedimento a seguir é:

O quadrado prismático deve ser colocado verticalmente acima do pino (C). Isso pode ser feito usando um prumo. O instrumento pode ser segurado manualmente pelo operador, mas melhor ainda é instalá-lo em um tripé (ver Fig. 24a).

Fig. 24a Definindo um ângulo reto, Etapa 1

O instrumento é girado lentamente até que a imagem do pólo A possa ser vista ao olhar através do instrumento (ver Fig. 24b).

Um assistente deve segurar a haste (D) de forma que ela possa ser vista ao olhar pela abertura logo acima do prisma. Por indicação do operador, o pólo (D) é ligeiramente movido de forma que o pólo (D) forme uma linha (ao olhar através do instrumento) com a imagem do pólo (A) (ver Fig. 24c). A linha que conecta o pólo (D) e o pino (C) forma um ângulo reto com a linha de base.

Na Fig. 25, a linha de base é definida pelos pólos (A) e (B). Uma linha perpendicular à linha de base deve ser estabelecida a partir do pólo (C), o pólo (C) não está na linha de base.

O procedimento a seguir é:

O operador deve ficar com o instrumento na linha de base (conectando A e B). Para verificar isso, o assistente, de pé atrás do poste (A) (ou B), verifica se o prumo, preso ao instrumento, está alinhado com os postes (A) e (B) (ver Fig. 25a). O operador então gira o instrumento até que a imagem do pólo (A) possa ser vista.

O operador então move o instrumento ao longo da linha de base até encontrar uma posição para a qual (ao olhar através do instrumento) o pólo (C) está alinhado com a imagem do pólo (A) (ver Fig. 25b). Enquanto busca a posição correta, o operador deve manter o instrumento sempre alinhado com os pólos (A) e (B). Isso é feito sob a orientação do assistente que está atrás do mastro (A).

Quando a posição correta do instrumento for encontrada, o pino (D) é colocado logo abaixo do prumo. A linha que conecta o pólo (C) e o pino (D) é uma linha perpendicular à linha de base (ver Fig. 25c).

O quadrado prismático duplo, também chamado de prisma duplo, possui dois prismas. Os dois prismas são colocados de forma que seja possível olhar ao mesmo tempo em um ângulo reto para a esquerda e para a direita, além disso, o observador pode olhar diretamente para a frente do instrumento através das aberturas acima e abaixo dos prismas (ver Fig. 26). Assim, é possível ver a linha de base e a linha perpendicular ao mesmo tempo, nenhum assistente é necessário para verificar se o operador está em pé sobre a linha de base, como é o caso do quadrado prismático único.

Na Fig. 27, o pino (C) está na linha de base conectando os pólos (A) e (B). Um ângulo reto deve ser estabelecido a partir de (C).

O observador segura o instrumento verticalmente acima do pino (C) na linha de base. Isso pode ser verificado com o prumo (ver Fig. 27a). O instrumento é girado lentamente até que a imagem do mastro (A) esteja alinhada com a imagem do mastro (B) (ver Fig. 27a).

O observador dirige então o assistente, segurando o pólo (D), de forma que, visto através do instrumento, o pólo (D) forme uma linha com as imagens dos pólos (A) e (B) (ver Fig. 27b). a linha que conecta o pólo (D) e o pino (C) forma um ângulo reto com a linha de base.

Na Fig. 28, a linha de base é definida pelos pólos (A) e (B). Uma linha perpendicular à linha de base deve ser estabelecida a partir do pólo (C) que não está na linha de base.

Olhando através do instrumento, o observador se move lentamente tentando encontrar uma posição na linha de base. Quando as imagens de ambos os pólos (A) e (B) aparecem, o observador para e gira o instrumento lentamente até que as imagens dos pólos (A) e (B) formem uma linha (ver Fig. 28a). O instrumento é então alinhado com os pólos (A) e (B) da linha de base.

O observador se move ao longo da linha de base em direção ao pólo (A) ou ao pólo (B). Ele para quando o pólo (C) pode ser visto através do instrumento e forma uma linha com as imagens dos pólos (A) e (B) (ver Fig. 28b).

Quando a posição correta do instrumento é encontrada, a cavilha (D) é cravada no solo logo abaixo do prumo. O pino (D) e o pólo (C) formam a linha perpendicular à linha de base (ver Fig. 28c).


Conteúdo

O nome é derivado da palavra latina medieval equador, na frase circulus aequator diei et noctis, significando 'círculo igualando dia e noite ', da palavra latina aequare que significa 'tornar igual'. [2]

A latitude do equador da Terra é, por definição, 0 ° (zero graus) de arco. O equador é um dos cinco círculos notáveis ​​de latitude na Terra; os outros quatro são círculos polares (o Círculo Ártico e o Círculo Antártico) e ambos os círculos tropicais (o Trópico de Câncer e o Trópico de Capricórnio). O equador é a única linha de latitude que também é um grande círculo - isto é, aquele cujo plano passa pelo centro do globo. O plano do equador da Terra, quando projetado para fora da esfera celestial, define o equador celestial.

No ciclo das estações da Terra, o plano equatorial atravessa o Sol duas vezes por ano: nos equinócios em março e setembro. Para uma pessoa na Terra, o Sol parece viajar acima do equador (ou ao longo do equador celestial) nesses momentos. Os raios de luz do centro do Sol são perpendiculares à superfície da Terra no ponto do meio-dia solar no equador.

As localizações no equador apresentam o menor nascer e pôr do sol porque o caminho diário do Sol é quase perpendicular ao horizonte na maior parte do ano. A duração da luz do dia (do nascer ao pôr do sol) é quase constante ao longo do ano, sendo cerca de 14 minutos a mais que a noite devido à refração atmosférica e ao fato de que o nascer do sol (ou o pôr do sol termina) como o membro superior, não o centro, do Sol o disco entra em contato com o horizonte.

A Terra incha ligeiramente no equador, o diâmetro "médio" da Terra é 12.750 km (7.922 mi), mas o diâmetro no equador é cerca de 43 km (27 mi) maior do que nos pólos. [1]

Locais próximos ao equador, como o Centro Espacial da Guiana em Kourou, Guiana Francesa, são bons locais para espaçoportos, pois têm a velocidade de rotação mais rápida de qualquer latitude, 460 m (1.509 pés) / s. A velocidade adicional reduz o combustível necessário para lançar a espaçonave para o leste (na direção da rotação da Terra) para orbitar, ao mesmo tempo evitando manobras caras para achatar a inclinação durante missões como o pouso da Apollo na lua. [3]

Local preciso Editar

A localização precisa do equador não é realmente fixa - o plano equatorial verdadeiro é perpendicular ao eixo de rotação da Terra, que oscila cerca de 9 metros (30 pés) durante um ano. Este efeito deve ser contabilizado em medições geofísicas detalhadas. [ citação necessária ]

Amostras geológicas mostram que o equador mudou significativamente de posição entre 12 e 48 milhões de anos atrás, conforme os sedimentos depositados pelas correntes termais oceânicas no equador mudaram. Os depósitos por correntes térmicas são determinados pelo eixo da Terra, que determina a cobertura solar da superfície terrestre. Mudanças no eixo da Terra também podem ser observadas no layout geográfico das cadeias de ilhas vulcânicas, que são criadas pela mudança de pontos quentes sob a crosta terrestre à medida que o eixo e a crosta se movem. [4] Isso se correlaciona com a queda da placa indiana na Ásia e também com a elevação do Himalaia.

Comprimento exato Editar

A Associação Internacional de Geodésia (IAG) e a União Astronômica Internacional (IAU) usam um raio equatorial de 6.378,1366 km (3.963,1903 mi) (codificado como o valor IAU 2009). [5] Este raio equatorial também está nas Convenções IERS de 2003 e 2010. [6] É também o raio equatorial usado para o elipsóide IERS 2003. Se fosse realmente circular, o comprimento do equador seria exatamente 2π vezes o raio, ou seja, 40.075,0142 km (24.901,4594 mi). O GRS 80 (Geodetic Reference System 1980) conforme aprovado e adotado pelo IUGG em sua reunião em Canberra, Austrália, em 1979, tem um raio equatorial de 6.378.137 km (3.963.191 mi). O WGS 84 (World Geodetic System 1984), que é um padrão para uso em cartografia, geodésia e navegação por satélite, incluindo GPS, também tem um raio equatorial de 6.378.137 km (3.963.191 mi). Para GRS 80 e WGS 84, isso resulta em um comprimento para o equador de 40.075,0167 km (24.901,4609 mi).

A milha geográfica é definida como um minuto de arco do equador, portanto, tem valores diferentes dependendo de qual raio é assumido. Por exemplo, pelo WSG-84, a distância é 1.855,3248 metros (6.087.024 pés), enquanto pelo IAU-2000, é 1.855,3257 metros (6.087.027 pés). Esta é uma diferença de menos de um milímetro (0,039 pol.) Sobre a distância total (aproximadamente 1,86 quilômetros ou 1,16 milhas).

A Terra é comumente modelada como uma esfera achatada 0,336% ao longo de seu eixo. Isso torna o equador 0,16% mais longo que um meridiano (um grande círculo passando pelos dois pólos). O meridiano padrão IUGG é, para o milímetro mais próximo, 40.007,862917 quilômetros (24.859,733480 mi), um minuto de arco dos quais é 1.852,216 metros (6.076,82 pés), explicando a padronização SI da milha náutica como 1.852 metros (6.076 pés), mais que 3 metros (9,8 pés) a menos que a milha geográfica.

A superfície da Terra ao nível do mar (o geóide) é irregular, então o comprimento real do equador não é tão fácil de determinar. Semana da Aviação e Tecnologia Espacial em 9 de outubro de 1961 relatou que as medições usando o satélite Transit IV-A mostraram que o diâmetro equatorial da longitude 11 ° oeste a 169 ° leste era 1.000 pés (305 m) maior do que seu diâmetro a noventa graus de distância. [ citação necessária ]

O equador passa por terras de 11 países. A Indonésia é o país que ocupa a maior extensão da linha equatorial, tanto em terra quanto no mar. Começando no Meridiano Principal e indo para o leste, o equador passa por:

Apesar do nome, nenhuma parte da Guiné Equatorial fica no equador. No entanto, sua ilha de Annobón fica 155 km (96 milhas) ao sul do equador, e o resto do país fica ao norte.

As estações resultam da inclinação do eixo da Terra em comparação com o plano de sua revolução em torno do sol. Ao longo do ano, os hemisférios norte e sul são alternadamente voltados para ou para longe do sol, dependendo da posição da Terra em sua órbita. O hemisfério voltado para o sol recebe mais luz do sol e está no verão, enquanto o outro hemisfério recebe menos sol e está no inverno (ver solstício).

Nos equinócios, o eixo da Terra é perpendicular ao sol, em vez de inclinado para frente ou para trás, o que significa que o dia e a noite têm cerca de 12 horas de duração em toda a Terra.

Perto do equador, isso significa que a variação na intensidade da radiação solar é diferente em relação à época do ano do que em latitudes mais altas: a radiação solar máxima é recebida durante os equinócios, quando um lugar no equador está sob o ponto subsolar em alto meio-dia, e as estações intermediárias de primavera e outono ocorrem em latitudes mais altas, e o mínimo ocorre durante Ambas solstícios, quando um dos pólos está inclinado para perto ou para longe do sol, resultando em verão ou inverno em ambos os hemisférios. Isso também resulta em um movimento correspondente do equador para longe do ponto subsolar, que é então situado sobre ou próximo ao círculo trópico relevante. No entanto, as temperaturas são altas o ano todo devido à inclinação axial da Terra de 23,5 ° não ser suficiente para criar uma declinação mínima do meio-dia para enfraquecer suficientemente os raios do sol, mesmo durante os solstícios.

Perto do equador, há pouca mudança de temperatura ao longo do ano, embora possa haver diferenças dramáticas na precipitação e umidade. Os termos verão, outono, inverno e primavera geralmente não se aplicam. As terras baixas ao redor do equador geralmente têm um clima de floresta tropical, também conhecido como clima equatorial, embora as correntes oceânicas frias façam com que algumas regiões tenham climas de monções tropicais com uma estação seca no meio do ano e a Corrente Somali gerada pela monção asiática devido ao aquecimento continental através do alto planalto tibetano, faz com que a Grande Somália tenha um clima árido, apesar de sua localização equatorial.

Dados climáticos para Macapá, Brasil na América do Sul
Mês Jan Fev Mar Abr Poderia Junho Jul Agosto Set Out Nov Dez Ano
Média alta ° C (° F) 29.7
(85.5)
29.2
(84.6)
29.3
(84.7)
29.5
(85.1)
30.0
(86.0)
30.3
(86.5)
30.6
(87.1)
31.5
(88.7)
32.1
(89.8)
32.6
(90.7)
32.3
(90.1)
31.4
(88.5)
30.71
(87.28)
Média diária ° C (° F) 26.5
(79.7)
26.2
(79.2)
26.3
(79.3)
26.4
(79.5)
26.8
(80.2)
26.8
(80.2)
26.8
(80.2)
27.4
(81.3)
27.8
(82.0)
28.1
(82.6)
27.9
(82.2)
27.4
(81.3)
27.03
(80.65)
Média baixa ° C (° F) 23.0
(73.4)
23.1
(73.6)
23.2
(73.8)
23.5
(74.3)
23.5
(74.3)
23.2
(73.8)
22.9
(73.2)
23.3
(73.9)
23.4
(74.1)
23.5
(74.3)
23.5
(74.3)
23.4
(74.1)
23.29
(73.92)
Precipitação média mm (polegadas) 299.6
(11.80)
347.0
(13.66)
407.2
(16.03)
384.3
(15.13)
351.5
(13.84)
220.1
(8.67)
184.8
(7.28)
98.0
(3.86)
42.6
(1.68)
35.5
(1.40)
58.4
(2.30)
142.5
(5.61)
2,571.5
(101.26)
Dias chuvosos médios (≥ 0,1 mm) 23 22 24 24 25 22 19 13 6 5 6 14 203
Média de horas de sol mensais 148.8 113.1 108.5 114.0 151.9 189.0 226.3 272.8 273.0 282.1 252.0 204.6 2,336.1
Fonte: Organização Meteorológica Mundial (ONU), [8] Observatório de Hong Kong [9]
Dados climáticos para Pontianak, Indonésia, na Ásia
Mês Jan Fev Mar Abr Poderia Junho Jul Agosto Set Out Nov Dez Ano
Média alta ° C (° F) 32.4
(90.3)
32.7
(90.9)
32.9
(91.2)
33.2
(91.8)
33.0
(91.4)
33.2
(91.8)
32.9
(91.2)
33.4
(92.1)
32.6
(90.7)
32.6
(90.7)
32.2
(90.0)
32.0
(89.6)
32.7
(90.9)
Média diária ° C (° F) 27.6
(81.7)
27.7
(81.9)
28.0
(82.4)
28.2
(82.8)
28.2
(82.8)
28.2
(82.8)
27.7
(81.9)
27.9
(82.2)
27.6
(81.7)
27.7
(81.9)
27.4
(81.3)
27.2
(81.0)
27.7
(81.9)
Média baixa ° C (° F) 22.7
(72.9)
22.6
(72.7)
23.0
(73.4)
23.2
(73.8)
23.4
(74.1)
23.1
(73.6)
22.5
(72.5)
22.3
(72.1)
22.6
(72.7)
22.8
(73.0)
22.6
(72.7)
22.4
(72.3)
22.7
(72.9)
Precipitação média mm (polegadas) 260
(10.2)
215
(8.5)
254
(10.0)
292
(11.5)
256
(10.1)
212
(8.3)
201
(7.9)
180
(7.1)
295
(11.6)
329
(13.0)
400
(15.7)
302
(11.9)
3,196
(125.8)
Dias chuvosos médios (≥ 0,1 mm) 15 13 21 22 20 18 16 25 14 27 25 22 238
Fonte: Organização Meteorológica Mundial (ONU) [10]
Dados climáticos para Libreville, Gabão na África
Mês Jan Fev Mar Abr Poderia Junho Jul Agosto Set Out Nov Dez Ano
Média alta ° C (° F) 29.5
(85.1)
30.0
(86.0)
30.2
(86.4)
30.1
(86.2)
29.4
(84.9)
27.6
(81.7)
26.4
(79.5)
26.8
(80.2)
27.5
(81.5)
28.0
(82.4)
28.4
(83.1)
29.0
(84.2)
28.58
(83.44)
Média diária ° C (° F) 26.8
(80.2)
27.0
(80.6)
27.1
(80.8)
26.6
(79.9)
26.7
(80.1)
25.4
(77.7)
24.3
(75.7)
24.3
(75.7)
25.4
(77.7)
25.7
(78.3)
25.9
(78.6)
26.2
(79.2)
25.95
(78.71)
Média baixa ° C (° F) 24.1
(75.4)
24.0
(75.2)
23.9
(75.0)
23.1
(73.6)
24.0
(75.2)
23.2
(73.8)
22.1
(71.8)
21.8
(71.2)
23.2
(73.8)
23.4
(74.1)
23.4
(74.1)
23.4
(74.1)
23.30
(73.94)
Precipitação média mm (polegadas) 250.3
(9.85)
243.1
(9.57)
363.2
(14.30)
339.0
(13.35)
247.3
(9.74)
54.1
(2.13)
6.6
(0.26)
13.7
(0.54)
104.0
(4.09)
427.2
(16.82)
490.0
(19.29)
303.2
(11.94)
2,841.7
(111.88)
Dias chuvosos médios (≥ 0,1 mm) 17.9 14.8 19.5 19.2 16.0 3.70 1.70 4.90 14.5 25.0 22.6 17.6 177.4
Média de horas de sol mensais 176.7 182.7 176.7 177.0 158.1 132.0 117.8 89.90 96.00 111.6 135.0 167.4 1,720.9
Fonte: Organização Meteorológica Mundial (ONU), [11] Observatório de Hong Kong [12]

Existe uma tradição marítima generalizada de realizar cerimônias para marcar a primeira travessia do equador por um marinheiro. No passado, essas cerimônias foram notórias por sua brutalidade, especialmente na prática naval. [ citação necessária ] Cerimônias de passagem de linha mais moderadas, normalmente apresentando o Rei Netuno, também são realizadas para entretenimento dos passageiros em alguns transatlânticos civis e navios de cruzeiro. [ citação necessária ]


5.5: Decomposição de uma onda em componentes TE e TM

  • Contribuição de Steven W. Ellingson
  • Professor Associado (Engenharia Elétrica e de Computação) na Virginia Polytechnic & amp State University
  • Proveniente da Iniciativa de Educação Aberta das Bibliotecas da Virginia Tech

Uma ampla gama de problemas em eletromagnetismo envolve o espalhamento de uma onda plana por uma fronteira plana entre meios diferentes. Section 5.1 (&ldquoPlane Waves at Normal Incidence on a Planar Boundary Between Lossless Media&rdquo) addressed the special case in which the wave arrives in a direction which is perpendicular to the boundary (i.e., &ldquonormal incidence&rdquo). Analysis of the normal incidence case is simplified by the fact that the directions of field vectors associated with the reflected and transmitted are the same (except possibly with a sign change) as those of the incident wave. For the more general case in which the incident wave is obliquely incident (i.e., not necessarily normally-incident), the directions of the field vectors will generally be different. This added complexity is easily handled if we take the effort to represent the incident wave as the sum of two waves having particular polarizations. These polarizations are referred to as transverse electric (TE) and transverse magnetic (TM). This section describes these polarizations and the method for decomposition of a plane wave into TE and TM components. We will then be prepared to address the oblique incidence case in a later section.

To begin, we define the ray-fixed coordinate system shown in Figure (PageIndex<1>).

Figure (PageIndex<1>): Coordinate system for TE-TM decomposition. Since both (hat>^) and (hat<f>) lie in the plane of the page, this is also the plane of incidence. ( CC BY-SA 4.0 C. Wang)

In this figure, (hat<f k>^i) is a unit vector indicating the direction in which the incident wave propagates. The unit normal (hat<f n>) is perpendicular to the boundary, and points into the region from which the wave is incident. We now make the following definition:

The plane of incidence is the plane in which Ambas the normal to the surface ((hat<f n>)) and the direction of propagation ((hat<f k>^i)) lie.

The TE-TM decomposition consists of finding the components of the electric and magnetic fields which are perpendicular (&ldquotransverse&rdquo) to the plane of incidence. Of the two possible directions that are perpendicular to the plane of incidence, we choose (hat<f e>_), defined as shown in Figure (PageIndex<1>). From the figure, we see that:

Defined in this manner, (hat<f e>_) is a unit vector which is perpendicular to both (hat<f k>^i), and so may serve as a basis vector of a coordinate system which is attached to the incident ray. The remaining basis vector for this ray-fixed coordinate system is chosen as follows:

Defined in this manner, (hat<f e>^i_) is a unit vector which is perpendicular to both (hat<f e>_) and (hat<f k>^i), and parallel to the plane of incidence.

Let us now examine an incident uniform plane wave in the new, ray-fixed coordinate system. We begin with the following phasor representation of the electric field intensity:

where (hat<f e>^i) is a unit vector indicating the reference polarization, (E_0^i) is a complex-valued scalar, and (<f r>) is a vector indicating the position at which (widetilde<f E>^i) is evaluated. We may express (hat<f e>^i) in the ray-fixed coordinate system of Figure (PageIndex<1>) as follows:

The electric field vector is always perpendicular to the direction of propagation, so (hat<f e>^icdothat<f k>^i=0). This leaves:

Substituting this expression into Equation ef, we obtain:

The first term in Equation ef is the transverse electric (TE) component of (widetilde<f E>^i), so-named because it is the component which is perpendicular to the plane of incidence. The second term in Equation ef is the transverse magnetic (TM) component of (widetilde<f E>^i). The term &ldquoTM&rdquo refers to the fact that the magnetic field associated with this component of the electric field is perpendicular to the plane of incidence. This is apparent since the magnetic field vector is perpendicular to both the direction of propagation and the electric field vector.

The TE component is the component for which (widetilde<f E>^i) is perpendicular to the plane of incidence.

The TM component is the component for which (widetilde<f H>^i) is perpendicular to the plane of incidence i.e., the component for which (widetilde<f E>^i) is parallel to the plane of incidence.

Finally, observe that the total wave is the sum of its TE and TM components. Therefore, we may analyze the TE and TM components separately, and know that the result for the combined wave is simply the sum of the results for the TE and TM components.

As stated at the beginning of this section, the utility of the TE-TM decomposition is that it simplifies the analysis of wave reflection. This is because the analysis of the TE and TM cases is relatively simple, whereas direct analysis of the scattering of arbitrarily-polarized waves is relatively difficult.

Note that the nomenclature &ldquoTE&rdquo and &ldquoTM&rdquo is commonly but not universally used. Sometimes &ldquoTE&rdquo is referred to as &ldquoperpendicular&rdquo polarization, indicated using the subscript &ldquo(perp)&rdquo or &ldquos&rdquo (short for senkrecht, German for &ldquoperpendicular&rdquo). Correspondingly, &ldquoTM&rdquo is sometimes referred to as &ldquoparallel&rdquo polarization, indicated using the subscript &ldquo(parallel)&rdquo or &ldquop.&rdquo

Also, note that the TE component and TM component are sometimes referred to as the TE modo and TM modo, respectivamente. While the terms &ldquocomponent&rdquo and &ldquomode&rdquo are synonymous for the single plane wave scenarios considered in this section, the terms are not synonymous in general. For example, the wave inside a waveguide may consist of multiple unique TE modes which collectively comprise the TE component of the field, and similarly the wave inside a waveguide may consist of multiple unique TM modes which collectively comprise the TM component of the field.

Finally, consider what happens when a plane wave is normally-incident upon the boundary i.e., when (hat<f k>^i=-hat<f n>). In this case, Equation ef indicates that (hat<f e>_=0), so the TE-TM decomposition is undefined. The situation is simply that both (<f E>^i) and (<f H>^i) are already both perpendicular to the boundary, and there is no single plane that can be uniquely identified as the plane of incidence. We refer to this case as transverse electromagnetic (TEM).

A wave which is normally-incident on a planar surface is said to be transverse electromagnetic (TEM) with respect to that boundary. There is no unique TE-TM decomposition in this case.

The fact that a unique TE-TM decomposition does not exist in the TEM case is of no consequence, because the TEM case is easily handled as a separate condition (see Section 5.1).


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