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3.7: Exercícios (Conceitos) - Matemática


  1. Considere o sistema de votação ponderada ([q: 7, 3, 1] )
    1. Quais valores de (q ) resultam em um ditador (liste todos os valores possíveis)
    2. Qual é o menor valor para (q ) que resulta em exatamente um jogador com poder de veto, mas sem ditadores?
    3. Qual é o menor valor para (q ) que resulta em exatamente dois jogadores com poder de veto?
  2. Considere o sistema de votação ponderada ([q: 9, 4, 2] )
    1. Quais valores de (q ) resultam em um ditador (liste todos os valores possíveis)
    2. Qual é o menor valor para (q ) que resulta em exatamente um jogador com poder de veto?
    3. Qual é o menor valor para (q ) que resulta em exatamente dois jogadores com poder de veto?
  3. Usando o método Shapley-Shubik, é possível que um manequim seja fundamental?
  4. Se um sistema específico de votação ponderada exigir uma votação unânime para a aprovação de uma moção:
    1. Qual jogador será fundamental em qualquer coalizão sequencial?
    2. Quantas coalizões vencedoras haverá?
  5. Considere um sistema de votação ponderada com três jogadores. Se o Jogador 1 é o único jogador com poder de veto, não há ditadores e não há manequins:
    1. Encontre a distribuição de energia Banzhaf.
    2. Encontre a distribuição de energia Shapley-Shubik
  6. Considere um sistema de votação ponderada com três jogadores. Se os jogadores 1 e 2 têm poder de veto, mas não são ditadores, e o jogador 3 é um manequim:
    1. Encontre a distribuição de energia Banzhaf.
    2. Encontre a distribuição de energia Shapley-Shubik
  7. Um conselho executivo consiste em um presidente (P) e três vice-presidentes ( left ( mathrm {V} _ {1}, mathrm {V} _ {2}, mathrm {V} _ {3} certo)). Para uma moção ser aprovada, ela deve ter três votos sim, um dos quais deve ser o presidente. Encontre um sistema de votação ponderada para representar esta situação.
  8. Em um time de basquete universitário, a decisão de se um aluno pode jogar é feita por quatro pessoas: o treinador principal e os três treinadores assistentes. Para poder jogar, o aluno precisa da aprovação do treinador principal e de pelo menos um treinador adjunto. Encontre um sistema de votação ponderada para representar esta situação.
  9. Em uma corporação, os acionistas recebem 1 voto para cada ação que detêm, o que geralmente é baseado na quantidade de dinheiro investido na empresa. Suponha que uma pequena empresa tenha duas pessoas que investiram $ 30.000 cada, duas pessoas que investiram $ 20.000 cada e uma pessoa que investiu $ 10.000. Se eles receberem uma ação para cada $ 1000 investidos, e quaisquer decisões exigirem uma votação majoritária, estabeleça um sistema de votação ponderada para representar os votos dos acionistas desta corporação.
  10. Um grupo de negociações de contrato consiste em 4 trabalhadores e 3 gerentes. Para que uma proposta seja aceita, a maioria dos trabalhadores e a maioria dos gerentes devem aprová-la. Calcule a distribuição de energia de Banzhaf para esta situação. Quem tem mais poder: um trabalhador ou um gerente?
  11. O Conselho de Segurança das Nações Unidas é composto por 15 membros, 10 dos quais são eleitos e 5 dos quais são membros permanentes. Para que uma resolução seja aprovada, 9 membros devem apoiá-la, o que deve incluir todos os 5 membros permanentes. Configure um sistema de votação ponderada para representar o Conselho de Segurança da ONU e calcular a distribuição de poder do Banzhaf.

3.7: Exercícios (Conceitos) - Matemática

Observamos que $ Z_n $ não é um subconjunto de $ Z $ e, em particular, $ Z_n = <[0], [1], ldots, [n-1] > $ não é igual a $ <0,1, ldots, n-1 > $. Os dois conjuntos certamente estão intimamente relacionados, no entanto $ [a] = [b] $ se e somente se $ a $ e $ b $ têm o mesmo resto quando divididos por $ n $, e os números em $ <0,1 , ldots, n-1 > $ são precisamente todos os restos possíveis & mdash é exatamente por isso que os escolhemos para serem os representantes "padrão '' quando escrevemos $ Z_n $. Isso tudo é para indicar que qualquer coisa envolvendo $ Z_n $ pode ser considerado "sobre '' restos. O principal resultado nesta seção, o Teorema do Restante Chinês, é um fato interessante sobre a relação entre $ Z_n $ para diferentes valores de $ n $.

NB (em latim significa "Preste atenção! ''): Nas próximas duas seções $ (,) $ denota um par ordenado, não um mdc.

Exemplo 3.7.1 Ambos $ Z_ <12> $ e $ Z_3 times Z_4 $ têm 12 elementos. Na verdade, existe uma maneira natural de associar os elementos de $ Z_ <12> $ e $ Z_3 times Z_4 $ dado pelo seguinte: $ begin [0] & leftrightarrow & ([0], [0]) && [6] & leftrightarrow & ([6], [6]) = ([0], [2]) [1] & leftrightarrow & ( [1], [1]) && [7] & leftrightarrow & ([7], [7]) = ([1], [3]) [2] & leftrightarrow & ([2], [2] ) && [8] & leftrightarrow & ([8], [8]) = ([2], [0]) [3] & leftrightarrow & ([3], [3]) = ([0], [3]) && [9] & leftrightarrow & ([9], [9]) = ([0], [1]) [4] & leftrightarrow & ([4], [4]) = ([ 1], [0]) && [10] & leftrightarrow & ([10], [10]) = ([1], [2]) [5] & leftrightarrow & ([5], [5]) = ([2], [1]) && [11] & leftrightarrow & ([11], [11]) = ([2], [3]) end $ A relação usada aqui, $ [x] leftrightarrow ([x], [x]) $, é a mais simples que se poderia imaginar, e esta é uma daquelas circunstâncias felizes em que a escolha simples e óbvia é aquela que funciona. Certifique-se de entender que o objetivo deste exemplo é notar que todos os pares em $ Z_3 times Z_4 $ aparecem exatamente uma vez. Quando dois conjuntos são pareados desta forma, de modo que cada elemento de cada conjunto apareça em exatamente um par, dizemos que há um correspondência um para um entre os conjuntos. Observe também que na expressão $ [x] leftrightarrow ([x], [x]) $, o símbolo $ [x] $ significa três coisas diferentes nos três lugares em que aparece, a saber, $ [x] in Z_ <12> $, $ [x] in Z_ <3> $ e $ [x] in Z_ <4> $, respectivamente. Este é um exemplo de fenômeno geral. $ square $

Teorema 3.7.2 (Teorema do Restante Chinês) Suponha $ n = ab $, com $ a $ e $ b $ relativamente primos. Para $ x = 0,1, & hellip, n-1 $, associe $ [x] in Z_$ com $ ([x], [x]) in Z_a times Z_b $ (observe que o símbolo $ [x] $ significa coisas diferentes em $ Z_n $, $ Z_a $ e $ Z_b $) . Isso dá uma correspondência um a um entre $ Z_n $ e $ Z_a times Z_b $.

Prova. Observe que os dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos. Se pudermos mostrar que associar $ [x] $ com $ ([x], [x]) $ não associa quaisquer dois elementos distintos de $ Z_n $ com o mesmo par ordenado em $ Z_a times Z_b $, então, cada elemento de $ Z_n $ terá que ser associado a exatamente um elemento de $ Z_a times Z_b $, e vice-versa.

Suponha que $ [x_1] $ e $ [x_2] $ sejam atribuídos ao mesmo par em $ Z_a times Z_b $. Queremos mostrar que $ [x_1] = [x_2] $. Temos $ <> equiv x_2 pmod a quad e quad <> equiv x_2 pmod b, $ em outras palavras, tanto $ a $ quanto $ b $ devem dividir $ <> -x_2 $. Como $ a $ e $ b $ são relativamente primos, seu produto, $ n $, também divide $ <> -x_2 $. (Veja o exercício 3.) Ou seja, $ <> equiv x_2 pmod n $ então $ [x_1] = [x_2] $. $ qed $

Exemplo 3.7.3 O teorema produz uma correspondência entre $ Z_ <168> $ e $ Z_8 times Z_ <21> $. Esta correspondência, por exemplo, leva $ [97] $ a $ ([97], [97]) = ([1], [13]) $. $ square $

Dado um elemento de $ Z_n $, é fácil encontrar o elemento correspondente de $ Z_a times Z_b $: simplesmente reduza o módulo $ a $ e $ b $. Existe uma maneira de reverter isso? Em outras palavras, dado $ ([y], [z]) in Z_a times Z_b $, podemos encontrar o elemento de $ Z_n $ ao qual ele corresponde? Na verdade, é fácil usar o onipresente Algoritmo Euclidiano Estendido.

Exemplo 3.7.4 Qual elemento de $ Z_ <168> $ corresponde ao par $ ([7], [5]) in Z_8 times Z_ <21> $? Se aplicarmos o Algoritmo Euclidiano Estendido a 8 e 21, obteremos $ 1 = 8 cdot 8 + (-3) cdot 21 $. Observe que $ 8 cdot 8 = 64 $ é congruente com 0 mod 8 e 1 mod 21, e $ (- 3) cdot 21 = -63 $ é congruente com 1 mod 8 e 0 mod 21. Portanto, $ eqalign <5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) equiv 5 cdot 0 +7 cdot 1 & = 7 pmod 8, cr 5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) equiv 5 cdot 1 +7 cdot 0 & = 5 pmod <21>, cr> $ so $ 5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) = - 121 equiv 47 pmod <168> $ funciona, ou seja, $ [47] leftrightarrow ([7], [5]) $. $ square $

Este último exemplo pode ser formulado de uma maneira um pouco diferente. Dados $ 7 $ e $ 5 $, estamos perguntando se as duas congruências simultâneas $ x equiv 7 pmod 8 $ e $ x equiv 5 pmod <21> $ podem ser resolvidas, ou seja, há um inteiro $ x $ que tem o restante $ 7 $ quando dividido por $ 8 $ e o restante $ 5 $ quando dividido por $ 21 $. Isso faz com que o nome "Teorema do Remanescente Chinês" pareça um pouco mais apropriado.

O Teorema do Remanescente Chinês é uma ferramenta útil na teoria dos números (vamos usá-lo na seção 3.8), e também se mostrou útil no estudo e desenvolvimento de sistemas criptográficos modernos.


Fator de escala

O número usado para multiplicar os comprimentos de uma figura para esticá-la ou reduzi-la em uma imagem semelhante.

Um fator de escala maior que 1 aumentará uma figura. Um fator de escala entre 0 e 1 reduzirá uma figura.

O fator de escala de duas figuras semelhantes é dado por uma razão que compara os lados correspondentes:
comprimento de um lado na imagem / comprimento de um lado no original.

Exemplo

Se usarmos um fator de escala de 1 /2, todos os comprimentos nas imagens são 1 /2 contanto que os comprimentos correspondentes no original.

A base do triângulo original é de 3 unidades.

A base da imagem é 1,5 unidades.


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Triângulos

A maior parte da matemática no trabalho de Escher está relacionada à geometria. Um dos objetos fundamentais da geometria é o triângulo, e nesta seção exploraremos várias maneiras de classificar triângulos.

Primeiro, apresentamos duas noções de "mesmice" para triângulos:

Triângulos congruentes Dois triângulos são congruente se eles tiverem os mesmos comprimentos laterais e medidas de ângulo. Eles são do mesmo tamanho e formato. Triângulos semelhantes Dois triângulos são semelhante se eles têm as mesmas medidas de ângulo. Eles têm o mesmo formato, mas podem ser de tamanhos diferentes.

Uma classificação simples vem considerando os ângulos:

Não é difícil ver que cada triângulo se enquadra exatamente em uma dessas três classes. Todo triângulo é agudo, obtuso ou direito.

Considerando os comprimentos laterais, leva a outras classes de triângulo:

Triângulo Equilateral An Triângulo Equilátero é aquele em que todos os três lados têm o mesmo comprimento. Triângulo de isoceles An triângulo de isoceles é aquele em que os dois lados têm o mesmo comprimento. Triângulo escaleno A Triângulo escaleno é aquele em que todos os três lados têm comprimentos diferentes.

Esta classificação é de natureza diferente da classificação do ângulo porque os triângulos equiláteros também são considerados isoceles. Ou seja, a classe dos triângulos equiláteros está contida na classe dos triângulos isoceles. Nessa classificação, nem todo triângulo cai exatamente em uma das classes.

Como uma nota lateral, um triângulo com dois ângulos iguais deve ser isoceles, e um triângulo com três ângulos iguais (equiângulo) deve ser equilátero.


Probabilidade de um complemento

Hora de pagar um complemento: O complemento UMA' de um conjunto são simplesmente todos os elementos no espaço de amostra que NÃO estão no conjunto UMA.

(Observação: eu estava brincando acima. Observe que a grafia é diferente em elogio e complemento.)

1) Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de que os dados sejam números diferentes?

A = evento os dois dados são diferentes.

A ’= evento em que os dois dados não são diferentes (devem ser iguais)

2) Suponha que dois dados justos sejam lançados. Encontre a probabilidade de que a soma dos números lançados seja maior que 3.

A = evento de uma soma maior que 3.

A ’= evento de uma soma não maior que 3. <(1,1), (1,2), (2,1)>, n (A’) = 3

P (A) = 1-3 / 36 = 33/36 = 11/12

3) Os exemplos anteriores poderiam ter sido resolvidos sem o uso do complemento. Este problema força você a usar o complemento. Caso contrário, você terá que fazer muitos, muitos cálculos. Oito cartas são retiradas de um baralho de cartas padrão. Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta de rosto?

Solução: n (S) = 52C8

E é o evento de obter pelo menos 1 carta de rosto

E 'é o caso de não receber uma carta de figura.

P (E & # 8217) pode ser calculado usando combinações (elas vêm depois). Depois de encontrar P (E & # 8217), então P (E) é 1-P (E & # 8217)

Podemos fazer isso mais tarde.

Aqui está outra aplicação interessante do complemento.

Problema de aniversário: Leia o problema de aniversário no texto. Observe como o complemento é utilizado.

Quantas pessoas você selecionaria aleatoriamente para esperar que houvesse 97% de chance de duas ou mais fazerem aniversário no mesmo dia? (excluindo gêmeos etc)

A = evento de dois ou mais fazendo aniversário no mesmo dia. A & # 8217 = evento ninguém com o mesmo aniversário.

É muito mais fácil encontrar P (A & # 8217) do que P (A). Então podemos encontrar P (A) = 1 & # 8211 P (A & # 8217)

Podemos fazer isso mais tarde.


Exercícios 4.3

Ex 4.3.1 Decida se as seguintes funções de $ R $ a $ R $ são injeções, sobreposições ou ambas.

a) $ 2x + 1 $d) $ (x + 1) ^ 3 $
b) $ 1/2 ^ x $e) $ x ^ 3-x $
c) $ sin x $f) $ | x | $

a) Encontre um exemplo de uma injeção $ f dois pontos A para B $ e uma sobreposição $ g , dois pontos B para C $ tal que $ g circ f $ não é nem injetiva nem sobrejetiva.

b) Encontre um exemplo de uma sobrejeção $ f dois pontos A para B $ e uma injeção $ g , dois pontos B para C $ tal que $ g circ f $ não é nem injetiva nem sobrejetiva.

a) Suponha que $ A $ e $ B $ sejam conjuntos finitos e $ f dois pontos A a B $ sejam injetivos. Que conclusão é possível sobre o número de elementos em $ A $ e $ B $? Justifique sua resposta.

b) Se, em vez de injetivo, assumirmos que $ f $ é sobrejetivo, que conclusão é possível? Justifique sua resposta.

Ex 4.3.4 Suponha que $ A $ seja um conjunto finito. Podemos construir uma função $ f dois pontos A a A $ que seja injetiva, mas não sobrejetiva? Surjetiva, mas não injetiva?

a) Encontre uma função $ f colon N to N $ que seja injetiva, mas não sobrejetiva.

b) Encontre uma função $ g , colon N to N $ que seja sobrejetiva, mas não injetiva.

Ex 4.3.6 Suponha que $ A $ e $ B $ sejam conjuntos não vazios com elementos $ m $ e $ n $ respectivamente, onde $ m le n $. Quantas funções injetivas existem de $ A $ a $ B $?

Ex 4.3.7 Encontre uma injeção $ f colon N times N to N $. (Dica: use fatorações primárias.)

Ex 4.3.8 Se $ f colon A to B $ é uma função, $ A = X cup Y $ e $ f vert_X $ e $ f vert_Y $ são ambos injetivos, podemos concluir que $ f $ é injetivo?


3.2: Complementos, Intersecções e Uniões

Básico

  1. Para o espaço amostral (S = ) identificar o complemento de cada evento dado.
    1. (A = )
    2. (B = )
    3. (S )
    1. (R = )
    2. (T = )
    3. ( varnothing ) (o conjunto & ldquoempty & rdquo que não possui elementos)
    1. Liste os resultados que compreendem (H ) e (M ).
    2. Liste os resultados que compreendem (H cap M ), (H cup M ) e (H ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre (P (H cap M) ), (P (H cup M) ) e (P (H ^ c) ).
    4. Determine se (H ^ c ) e (M ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (T ) e (G ).
    2. Liste os resultados que compreendem (T cap G ), (T cup G ), (T ^ c ) e ((T cup G) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre (P (T cap G) ), (P (T cup G) ) e (P (T ^ c) ).
    4. Determine se (T ) e (G ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (B ), (R ) e (N ).
    2. Liste os resultados que compreendem (B cap R ), (B copo R ), (B cap N ), (R copo N ), (B ^ c ) e ((B cup R) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre as probabilidades dos eventos na parte anterior.
    4. Determine se (B ) e (N ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (Y ), (I ) e (J ).
    2. Liste os resultados que compreendem (Y cap I ), (Y cup J ), (I cap J ), (I ^ c ) e ((Y cup J) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre as probabilidades dos eventos na parte anterior.
    4. Determine se (I ^ c ) e (J ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A ^ c ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra de Probabilidade para Complementos.
    4. (P (A cap B) ).
    5. (P (A xícara B) ) Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A xícara B ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de Probabilidade.
    1. O diagrama de Venn fornecido mostra um espaço de amostra e dois eventos (A ) e (B ). Suponha que (P (a) = 0,32, P (b) = 0,17, P (c) = 0,28, text P (d) = 0,23 ). Confirme se as probabilidades dos resultados somam (1 ) e, em seguida, calcule as probabilidades a seguir.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A ^ c ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra de Probabilidade para Complementos.
    4. (P (A cap B) ).
    5. (P (A xícara B) ) Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A xícara B ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de Probabilidade.
    1. Confirme se as probabilidades na tabela de contingência bidirecional somam (1 ) e, em seguida, use-a para encontrar as probabilidades dos eventos indicados.
    1. (P (A), P (B), P (A cap B) ).
    2. (P (U), P (W), P (U cap W) ).
    3. (P (U xícara W) ).
    4. (P (V ^ c) ).
    5. Determine se os eventos (A ) e (U ) são mutuamente exclusivos os eventos (A ) e (V ).
    1. Confirme se as probabilidades na tabela de contingência bidirecional somam (1 ) e, em seguida, use-a para encontrar as probabilidades dos eventos indicados.
    1. (P (R), P (S), P (R cap S) ).
    2. (P (M), P (N), P (M cap N) ).
    3. (P (R xícara S) ).
    4. (P (R ^ c) ).
    5. Determine se os eventos (N ) e (S ) são mutuamente exclusivos os eventos (N ) e (T ).

    Formulários

    1. Faça uma declaração em inglês comum que descreva o complemento de cada evento (não insira simplesmente a palavra & ldquonot & rdquo).
      1. No lançamento de um dado: & ldquofive ou mais. & Rdquo
      2. No lançamento de um dado: & ldquoan número par. & Rdquo
      3. Em dois lançamentos de uma moeda: & ldquo pelo menos uma cara. & Rdquo
      4. Na seleção aleatória de um estudante universitário: & ldquoNão é um calouro. & Rdquo
      1. No lançamento de um dado: & ldquotwo ou menos. & Rdquo
      2. No lançamento de um dado: & ldquoone, três ou quatro. & Rdquo
      3. Em dois lançamentos de uma moeda: & ldquoat mais uma cara. & Rdquo
      4. Na seleção aleatória de um estudante universitário: & ldquoNem um calouro nem um veterano. & Rdquo
      1. Pelo menos uma criança é uma menina.
      2. No máximo, uma criança é uma menina.
      3. Todas as crianças são meninas.
      4. Exatamente duas das crianças são meninas.
      5. O primogênito é uma menina.
      1. A pessoa é do sexo masculino.
      2. A pessoa não é a favor.
      3. A pessoa é do sexo masculino ou a favor.
      4. A pessoa é feminina e neutra.

      O registro de uma parte é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

      1. A peça estava com defeito.
      2. A peça era de alta qualidade ou pelo menos utilizável de duas maneiras: (i) adicionando números na tabela e (ii) usando a resposta para (a) e a Regra de probabilidade para complementos.
      3. A peça estava com defeito e veio do fornecedor (B ).
      4. A peça estava com defeito ou veio do fornecedor (B ), de duas maneiras: encontrando na tabela as células que correspondem a este evento e somando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de Probabilidade.
      1. Indivíduos com uma condição médica específica foram classificados de acordo com a presença ( (T )) ou ausência ( (N )) de uma toxina potencial em seu sangue e o início da condição ( ( text)). A repartição de acordo com esta classificação é apresentada na tabela de contingência bidireccional.

      Um desses indivíduos é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

      1. A pessoa apresentou início precoce da doença.
      2. O início da condição foi médio ou tardio, de duas maneiras: (i) adicionando números na tabela e (ii) usando a resposta para (a) e a Regra de Probabilidade para Complementos.
      3. A toxina está presente no sangue da pessoa.
      4. A pessoa apresentou início precoce da doença e a toxina está presente no sangue da pessoa.
      5. A pessoa experimentou o início precoce da doença ou a toxina está presente no sangue da pessoa, de duas maneiras: (i) encontrando as células na tabela que correspondem a este evento e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de probabilidade.
      1. A repartição dos alunos matriculados em um curso universitário por turma ( ( text)) e especialização acadêmica ( ( text)) é mostrado na tabela de classificação de duas vias.

      Um aluno matriculado no curso é selecionado aleatoriamente. Junte os totais das linhas e colunas à tabela e use a tabela expandida para encontrar a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

      1. O aluno é um calouro.
      2. O aluno é formado em artes liberais.
      3. O aluno é um calouro graduado em artes liberais.
      4. O aluno é calouro ou graduado em artes liberais.
      5. O aluno não é formado em artes liberais.
      1. A tabela relaciona a resposta a um apelo de arrecadação de fundos por uma faculdade aos seus ex-alunos ao número de anos desde a formatura.

      Um ex-aluno é selecionado aleatoriamente. Junte os totais das linhas e colunas à tabela e use a tabela expandida para encontrar a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

      1. O ex-aluno respondeu.
      2. O ex-aluno não respondeu.
      3. O ex-aluno se formou há pelo menos (21 ) anos atrás.
      4. O ex-aluno se formou há pelo menos (21 ) anos atrás e respondeu.

      Exercícios Adicionais

      1. O espaço de amostra para jogar três moedas é (S = )
        1. Liste os resultados que correspondem à afirmação & ldquoTodas as moedas são cara. & Rdquo
        2. Liste os resultados que correspondem à afirmação & ldquoNem todas as moedas dão cara. & Rdquo
        3. Liste os resultados que correspondem à declaração & ldquoTodas as moedas não são cara. & Rdquo

        Respostas

          1. ()
          2. ()
          3. ( varnothing )
          1. (H = , M = )
          2. (H cap M = , H xícara M = H, H ^ c = )
          3. (P (H cap M) = 4/8, P (H xícara M) = 7/8, P (H ^ c) = 1/8 )
          4. Mutuamente exclusivos porque não têm elementos em comum.
          1. (B = , R = , N = )
          2. (B cap R = varnothing, B cup R = , B cap N = , R xícara N = , B ^ c = , (B xícara R) ^ c = )
          3. (P (B cap R) = 0, P (B copo R) = 8/16, P (B cap N) = 2/16, P (R copo N) = 10/16 , P (B ^ c) = 12/16, P ((B xícara R) ^ c) = 8/16 )
          4. Não são mutuamente exclusivos porque têm um elemento em comum.
          1. (0.36)
          2. (0.78)
          3. (0.64)
          4. (0.27)
          5. (0.87)
          1. (P (A) = 0,38, P (B) = 0,62, P (A cap B) = 0 )
          2. (P (U) = 0,37, P (W) = 0,33, P (U cap W) = 0 )
          3. (0.7)
          4. (0.7)
          5. (A ) e (U ) não são mutuamente exclusivos porque (P (A cap U) ) é o número diferente de zero (0,15 ). (A ) e (V ) são mutuamente exclusivos porque (P (A cap V) = 0 ).
          1. & ldquofour ou menos & rdquo
          2. & ldquoan número ímpar & rdquo
          3. & ldquono cara & rdquo ou & ldquoall coroa & rdquo
          4. & ldquoa calouro & rdquo
          1. & ldquoTodas as crianças são meninos. & rdquo Evento: (), Complemento: ()
          2. & ldquoPelo menos duas das crianças são meninas & rdquo ou & ldquoHá duas ou três meninas. & rdquo Evento: (), Complemento: ()
          3. & ldquoPelo menos uma criança é um menino. & rdquo Evento: (), Complemento: ()
          4. & ldquoNão há meninas, exatamente uma menina ou três meninas. & rdquo Evento: (), Complemento: ()
          5. & ldquoO primogênito é um menino. & rdquo Evento: (), Complemento: ()
          1. (0.0023)
          2. (0.9977)
          3. (0.0009)
          4. (0.3014)
          1. (920/1671)
          2. (668/1671)
          3. (368/1671)
          4. (1220/1671)
          5. (1003/1671)
          1. ()
          2. ()
          3. ()

          Idéias para matemática ao ar livre

          Contagem, reconhecimento de números, correspondência individual e # 8211

          Conte as pinhas

          Sob nossos pinheiros, temos milhares de pequenas pinhas. Então, seguindo uma ideia da Peaceful Parenting, desenhei caixas com os números de 1 a 20 na entrada da garagem. Então, meu recém-formado Quatro trabalhou para preencher os números até 10 e meu Cinco contou pinhas para os números maiores.

          Classificação, medição e # 8211 Classificar palitos por tamanho

          Apesar do meu nervosismo em torno de meninos e gravetos muito compridos, meus Quatro e Cinco adoram colecionar os gravetos grandes que encontram em nosso quintal e a pequena área arborizada nos fundos. Eles tocaram a campainha para me mostrar todos os gravetos que haviam coletado & # 8230 e classificados por tamanho. Você também pode pedir ao seu filho que coloque os gravetos em ordem do mais curto para o mais comprido. Você poderia fazer a mesma coisa com folhas ou flores silvestres.

          Measurement & # 8211 Very Big & amp Very Small Hunt

          Na primavera passada, imprimi este conjunto de cartas de ação e pedi aos meus filhos (com idades entre 2,4 e 5 anos na época) que caçassem objetos no quintal. Eles adoraram essa caça ao tesouro muito ativa e foi ótimo para ensinar meu filho de quase três anos sobre tamanho. Acho que teremos que retirá-lo novamente este ano! Saiba mais e obtenha seus cartões de ação gratuitos para impressão nesta postagem.

          Padrões & # 8211 Criar padrões da natureza

          Adição, subtração, reconhecimento de número e # 8211

          Balão de água matemática

          Este jogo pode ser modificado de muitas maneiras diferentes. Prepare alguns balões de água e escreva um único número ou um fato de adição ou subtração em cada um. Em seguida, escreva números correspondentes (ou respostas para os problemas de adição e subtração) em sua calçada ou calçada. Quando seu filho escolhe um balão, ele o joga sobre o número ou resposta correspondente.

          Meus filhos adoraram aprender e manter a calma ao mesmo tempo!

          Frações e frações gigantes # 8211 na garagem

          Frações pode ser um conceito difícil, mas esta curta lição pareceu funcionar para meus Cinco. Desenhei um grande retângulo na calçada. Conversamos sobre como esse era um retângulo inteiro. Então eu o dividi em duas partes iguais (ok, eles não eram exatamente iguais, mas as crianças não perceberam). Eu coloquei meu estande Cinco em uma parte para mostrar & # 8220 uma metade. & # 8221 Então sua irmã ficou na outra metade para mostrar & # 8220 uma metade. & # 8221 Nós conversamos sobre como duas metades formam um todo.

          Em seguida, trabalhamos juntos para mostrar diferentes frações. Na imagem acima, criamos & # 82203/4. & # 8221

          As crianças gostavam de encontrar maneiras de fazer frações sozinhas. Aqui meu Seven está aparecendo & # 82204/4. & # 8221 Isso também nos deu a chance de falar sobre frações equivalentes. & # 82204/4 & # 8221 é a mesma coisa que & # 8220um todo. & # 8221

          My Five gosta de encontrar qualquer oportunidade que possa para demonstrar que está de cabeça para baixo. Isso funcionou bem para & # 82201/4. & # 8221

          Número de reconhecimento, contagem e # 8211

          Sr. Wolf, que horas são?

          Este jogo foi projetado para meu recém-completado Quatro anos, mas não teria sido divertido sem seus irmãos mais velhos jogando junto. Eu havia escrito os números de 1 a 12 em pedaços de cartolina. Eu era o Lobo e fiquei parado no final do quintal. As crianças ficaram de frente para mim do outro lado do quintal.

          Eles ligaram, & # 8220Mr. Wolf, que horas são? & # 8221 Então mostrei um número e eles se revezaram na leitura. Quando mostrei & # 82202, & # 8221 por exemplo, um deles dizia & # 82202: 00! & # 8221 Então eles caminharam em minha direção aquele número de passos.

          Periodicamente, eu abaixava as páginas e gritava & # 8220Hora do almoço! & # 8221 Nesse ponto, as crianças tentavam alcançar a árvore atrás de mim ou corriam de volta para começar, onde estavam & # 8220seguras. & # 8221 Corri atrás eles para tentar pegá-los. Se eles alcançassem a árvore atrás de mim em segurança, eles poderiam ser o próximo Lobo.

          Dica: use sapatos com os quais possa correr. Este é um excelente exercício para a mãe.

          VOCÊ TEM NOSSO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA PRÉ-ESCOLAR?

          Este currículo contém uma ampla seleção de atividades matemáticas sem preparação / sem preocupação para nossos alunos mais jovens!


          Cálculo III

          Aqui estão minhas anotações online para o meu curso de Cálculo III que ensino aqui na Universidade Lamar. Apesar de essas serem minhas “notas de aula”, elas devem ser acessíveis a qualquer pessoa que queira aprender Cálculo III ou que precise se atualizar em alguns dos tópicos da aula.

          Estas notas pressupõem que o leitor tenha um bom conhecimento prático dos tópicos de Cálculo I, incluindo limites, derivadas e integração. Também pressupõe que o leitor tenha um bom conhecimento de vários tópicos de Cálculo II, incluindo algumas técnicas de integração, equações paramétricas, vetores e conhecimento de espaço tridimensional.

          Aqui estão alguns avisos para meus alunos que podem estar aqui para obter uma cópia do que aconteceu em um dia que você perdeu.

            Porque eu queria fazer deste um conjunto de notas bastante completo para qualquer pessoa que queira aprender cálculo III, incluí algum material que normalmente não tenho tempo para cobrir em aula e porque isso muda de semestre para semestre, não é mencionado aqui. Você precisará encontrar um de seus colegas de classe para ver se há algo nessas anotações que não foi abordado em aula.

          Aqui está uma lista (e uma breve descrição) do material que está neste conjunto de notas.

          Espaço tridimensional - Neste capítulo, começaremos a observar o espaço tridimensional. Este capítulo é geralmente um trabalho de preparação para o Cálculo III e, portanto, cobriremos o sistema de coordenadas 3D padrão, bem como alguns sistemas de coordenadas alternativos. Também discutiremos como encontrar as equações de linhas e planos no espaço tridimensional. Veremos algumas superfícies 3D padrão e suas equações. Além disso, apresentaremos funções vetoriais e algumas de suas aplicações (vetores tangentes e normais, comprimento do arco, curvatura e velocidade e aceleração).


          Assista o vídeo: Demonstração do Resultado do Exercício - Questões CESPE (Outubro 2021).