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14.1: transformações afins


Geometria afim estuda o assim chamado estrutura de incidência do plano euclidiano. A estrutura de incidência vê apenas quais pontos estão em quais linhas e nada mais; ele não vê distâncias, medidas de ângulos e muitas outras coisas diretamente.

Uma bijeção do plano euclidiano para si mesmo é chamada transformação afim se mapeia linhas em linhas; ou seja, a imagem de qualquer linha é uma linha. Portanto, podemos dizer que a geometria afim estuda as propriedades do plano euclidiano preservadas sob transformações afins.

Exercício ( PageIndex {1} )

Mostre que uma transformação afim do plano euclidiano envia qualquer par de linhas paralelas a um par de linhas paralelas.

Dica

Assuma que as duas linhas distintas ( ell ) e (m ) são mapeadas para as linhas que se cruzam ( ell ') e (m' ). Suponha que (P ') denota seu ponto de intersecção.

Seja (P ) a imagem inversa de (P '). Pela definição de mapa afim, ele deve estar em ( ell ) e (m ); ou seja, ( ell ) e (m ) estão se cruzando. Daí o resultado.

A observação abaixo segue uma vez que as linhas são definidas usando apenas a métrica.

Observação ( PageIndex {1} )

Qualquer movimento do plano euclidiano é uma transformação afim.

O exercício a seguir fornece exemplos mais gerais de transformações afins.

Exercício ( PageIndex {2} )

Os seguintes mapas de um plano de coordenadas para si mesmo são transformações afins:

(a) Mapa de cisalhamento definido por ((x, y) mapsto (x + k cdot y, y) ) para uma constante (k ).

(b) Escala definida por ((x, y) mapsto (a cdot x, a cdot y) ) para uma constante (a ne 0 ).

(c) (x ) - escala e (y ) - escala definida respectivamente por

((x, y) mapsto (a cdot x, y) ), e ((x, y) mapsto (x, a cdot y) )

para uma constante (a ne 0 ).

(d) Uma transformação definida por

((x, y) mapsto (a cdot x + b cdot y + r, c cdot x + d cdot y + s) )

para constantes (a, b, c, d, r, z ) tal que a matriz ( begin {matriz} a & b c & d end {matriz} ) é invertível.

Dica

Em cada caso, verifique se o mapa é uma bijeção e aplique o Exercício 7.6.3

Do teorema fundamental da geometria afim (Teorema 14.3.1), segue-se que qualquer transformação afim pode ser escrita na forma (d).

Lembre-se de que os pontos são colinear se eles se encontram em uma linha.

Exercício ( PageIndex {3} )

Suponha que (P mapsto P ') seja uma bijeção do plano euclidiano que mapeia triplos colineares de pontos em triplos colineares. Mostre que (P mapsto P ') mapeia triplos não colineares em não colineares.

Conclua que (P mapsto P ') é uma transformação afim.

Dica

Escolha uma linha ((AB) ).

Suponha que (X ' in (A'B') ) para algum (X não in (AB) ). Uma vez que (P mapsto P ') mapeia pontos colineares, as três linhas ((AB), (AX) ) e ((BX) ) são mapeadas para ((A'B') ). Além disso, qualquer linha que conecte um par de pontos nessas três linhas também é mapeada para ((A'B ') ). Use-o para mostrar que todo o plano está mapeado para ((A'B ') ). Este último contradiz que o mapa é uma bijeção.

Por suposição, se (X in (AB) ), então (X ' in (A'B') ). A forma acima do inverso também é válida. Use-o para provar a segunda afirmação.


O procedimento DISTANCE

A medição de algum atributo de um conjunto de objetos é o processo de atribuição de números ou outros símbolos aos objetos de forma que as propriedades dos números ou símbolos reflitam as propriedades do atributo que está sendo medido. Existem diferentes níveis de medição que envolvem diferentes propriedades (relações e operações) dos números ou símbolos. Associado a cada nível de medição está um conjunto de transformações das medições que preservam as propriedades relevantes, essas transformações são chamadas de transformações permitidas. Uma maneira particular de atribuir números ou símbolos para medir algo é chamada de escala de medição.

Os níveis de medição mais comumente discutidos são os seguintes:

Dois objetos são atribuídos ao mesmo símbolo se tiverem o mesmo valor do atributo. As transformações permitidas são qualquer transformação um para um ou muitos para um, embora uma transformação muitos para um perca informações.

Os objetos recebem números de forma que a ordem dos números reflita uma relação de ordem definida no atributo. Dois objetos xey com valores de atributo e são atribuídos a números e de forma que se, então. As transformações permitidas são qualquer transformação crescente monótona, embora uma transformação que não seja estritamente crescente perca informação.

Os objetos recebem números de forma que as diferenças entre os números reflitam as diferenças do atributo. Se então . As transformações permitidas são qualquer transformação afim, onde c e d são constantes, outra maneira de dizer isso é que a origem e a unidade de medida são arbitrárias.

Os objetos recebem números de forma que as proporções entre os números reflitam as proporções do atributo. Se então . As transformações permitidas são qualquer transformação de potência, onde c e d são constantes.

Os objetos recebem números de forma que as diferenças e proporções entre os números reflitam as diferenças e proporções do atributo. As transformações permitidas são qualquer transformação linear (similaridade), onde c é uma constante, outra maneira de dizer isso é que a unidade de medida é arbitrária.

Os objetos recebem números de forma que todas as propriedades dos números reflitam propriedades análogas do atributo. A única transformação permitida é a transformação da identidade.

As medidas de proximidade fornecidas no procedimento DISTANCE aceitam quatro níveis de medição: nominal, ordinal, intervalo e razão. Variáveis ​​ordinais são transformadas em variáveis ​​de intervalo antes do processamento. Isso é feito substituindo os dados por suas pontuações de classificação e assumindo que as classes de uma variável ordinal são espaçadas igualmente ao longo da escala de intervalo. Consulte a opção RANKSCORE = na seção Instrução PROC DISTANCE para as opções de atribuição de pontuações a variáveis ​​ordinais. Existem também diferentes abordagens sobre como transformar uma variável ordinal em uma variável de intervalo. Veja Anderberg (1973) para alternativas.


Exemplos visuais de transformações afins

Em cada exemplo, o antes é vermelho e sólido e o após é azul e tracejada. Os cantos do triângulo de exemplo serão rotulados da seguinte forma: o primeiro terá um pequeno disco, o segundo terá um pequeno quadrilátero e o terceiro vértice terá um pequeno objeto de cinco lados. Todas essas etiquetas estarão em cinza translúcido. O triângulo original será (0,0), (1,0) e (0,1), em cada exemplo.

Tradução

Dimensionamento

Reflexão

Uma reflexão sobre uma linha infinita passando por (0, 1) (0,1) (0, 1) com uma inclinação de - 1 2 - frac12 - 2 1:

Rotação

Uma rotação sobre a origem através de um ângulo de 2 3 π frac23 pi 3 2 π radianos:

Cisalhamento ou cisalhamento

Um corte sobre a origem através de um ângulo de arctan (1 2) text( frac12) arctan (2 1) radianos:


Transformações afins

Agora que temos um bom contexto sobre as transformações lineares, é hora de chegar ao tópico principal desta pós - transformações afins.

Para um espaço afim (falaremos sobre o que é exatamente em uma seção posterior), toda transformação afim é da forma em que é uma matriz que representa uma transformação linear e é um vetor. Em outras palavras, uma transformação afim combina uma transformação linear com um tradução.

Obviamente, toda transformação linear é afim (apenas configurada para o vetor zero). No entanto, nem toda transformação afim é linear. Para um diferente de zero, as regras de linearidade não conferem. Vamos dizer que:

Então, se tentarmos adicioná-los, obteremos:

A violação da regra de multiplicação escalar pode ser verificada de forma semelhante.

Vamos examinar a transformação afim que estica um vetor por um fator de dois (semelhante ao S transformação que discutimos antes) e a traduz em 0,5 para ambas as dimensões:

Aqui está esta transformação visualizada:

Com algum aumento inteligente, podemos representar transformações afins como uma multiplicação por uma única matriz, se adicionarmos outra dimensão aos vetores [5]:

O vetor de translação é marcado no lado direito da matriz de transformação, com 1 para a dimensão extra (a matriz recebe 0s nessa dimensão). O resultado sempre terá um 1 na dimensão final, que podemos ignorar.

As transformações afins podem ser compostas de forma semelhante às transformadas lineares, usando a multiplicação de matrizes. Isso também os torna associativos. Como exemplo, vamos compor a transformação de escala + translação discutida mais recentemente com a transformação de rotação mencionada anteriormente. Esta é a matriz aumentada para a rotação:

A transformação composta será. Sua matriz é:


O que é uma transformação afim?

    Uma transformação que pode ser expressa na forma de um multiplicação da matriz (transformação linear) seguida por um adição de vetor (tradução).

Do exposto, podemos usar uma transformação afim para expressar:

  1. Rotações (transformação linear)
  2. Traduções (adição de vetor)
  3. Operações de escala (transformação linear)

você pode ver que, em essência, uma transformação afim representa um relação entre duas imagens.

A maneira usual de representar uma transformação afim é usando uma matriz (2 vezes 3 ).

Considerando que queremos transformar um vetor 2D (X = beginx y end) usando (A ) e (B ), podemos fazer o mesmo com:

(T = A cdot beginx y end + B ) ou (T = M cdot [x, y, 1] ^)

Como obtemos uma transformação afim?

  1. Mencionamos que uma transformação afim é basicamente uma relação entre duas imagens. As informações sobre essa relação podem vir, grosso modo, de duas maneiras:
    1. Conhecemos tanto (X ) quanto T e também sabemos que eles estão relacionados. Então nossa tarefa é encontrar (M )
    2. Sabemos (M ) e (X ). Para obter (T ), só precisamos aplicar (T = M cdot X ). Nossa informação para (M ) pode ser explícita (ou seja, ter a matriz 2 por 3) ou pode vir como uma relação geométrica entre pontos.

    Vamos explicar isso de uma maneira melhor (b). Como (M ) relaciona 2 imagens, podemos analisar o caso mais simples em que relaciona três pontos em ambas as imagens. Observe a figura abaixo:

    os pontos 1, 2 e 3 (formando um triângulo na imagem 1) são mapeados na imagem 2, ainda formando um triângulo, mas agora eles mudaram notoriamente. Se encontrarmos a Transformação Afim com esses 3 pontos (você pode escolhê-los como quiser), então podemos aplicar esta relação encontrada a todos os pixels em uma imagem.


    Uma transformação afim é uma transformação linear + um vetor de translação.

    Pode ser aplicado a pontos individuais ou a linhas ou mesmo a curvas de Bézier. Para linhas, ele preserva a propriedade de que as linhas paralelas permanecem paralelas. Para curvas de Bézier, ele preserva a propriedade do casco convexo dos pontos de controle.

    Multiplicado, ele produz 2 equações para produzir um par de coordenadas "transformado" $ (x ', y') $ do par original $ (x, y) $ e uma lista de constantes $ (a, b, c, d , e, f) $. $ x '= a cdot x + c cdot y + e y' = b cdot x + d cdot y + f $

    Convenientemente, a transformação linear e o vetor de translação podem ser colocados juntos em uma matriz 3D que pode operar sobre coordenadas homogêneas 2D.

    O que produz as mesmas 2 equações acima.

    Muito convenientemente, as próprias matrizes podem ser multiplicadas juntas para produzir uma terceira matriz (de constantes) que realiza a mesma transformação que as 2 originais realizariam em sequência. Simplificando, as multiplicações de matrizes são associativas.

    Alternativamente, você pode considerar alguns tipos básicos de transformação e compor qualquer transformação mais complexa combinando-os (multiplicando-os).

    * Nota: uma reflexão pode ser realizada com os parâmetros de escala $ (S_x, S_y) = (-1,1) $ ou $ (1, -1) $.

    $ begin cos theta & amp -sin theta & amp 0 sin theta & amp cos theta & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end $

    [Observe que mostrei a forma de Matrix aqui, que aceita um vetor linha no deixou. A transposição dessas matrizes funcionará com um vetor coluna à direita.]

    Uma matriz composta puramente de escala, rotação e translação pode ser decomposta de volta nesses três componentes.


    Uso com pacotes de dados GIS

    Conjuntos de dados raster georreferenciados usam transformações afins para mapear de coordenadas de imagem para coordenadas mundiais. O affine.Affine.from_gdal () O método de classe ajuda a converter GDAL GeoTransform, sequências de 6 números em que o primeiro e o quarto são os deslocamentos xey e o segundo e o sexto são os tamanhos de pixel xey.

    Usando uma matriz de transformação de conjunto de dados GDAL, as coordenadas mundiais (x, y) correspondente ao canto superior esquerdo do pixel 100 linhas abaixo da origem pode ser facilmente calculado.


    Transformação afim

    um mapeamento pontual de valor único e mútuo de um plano (espaço) sobre si mesmo, no qual linhas retas são transformadas em linhas retas. Se um sistema de coordenadas cartesiano é dado em um plano, então qualquer transformação afim deste plano pode ser definida por meio de uma chamada transformação linear não-lingual das coordenadas. x e y dos pontos deste plano. Essa transformação é dada pelas fórmulas x& rsquo = machado + de + p e y& rsquo = cx + tingir + q com o requisito adicional de que . Analogamente, qualquer transformação afim de um espaço pode ser definida por meio de transformações lineares não singulares das coordenadas de pontos no espaço. O conjunto de todas as transformações afins de um plano (espaço) em si mesmo forma um grupo de transformações afins. Isso denota, em particular, que a execução sucessiva de duas transformações afins é equivalente a alguma única transformação afim.

    Exemplos de transformações afins são a transformação ortogonal & mdasha movimento de um plano ou espaço ou movimento com uma reflexão, a transformação de similitude e & ldquocompressão uniforme. & Rdquo Uma & ldquocompressão & rdquo uniforme com coeficiente k do avião & pi em direção a uma linha reta uma localizado nele é uma transformação em que os pontos de uma permanecer estacionário e cada ponto M do avião & pi que não se encontra em uma é exibido ao longo de um raio que passa M perpendicularmente a uma até um ponto M & rsquo de modo que a proporção das distâncias de M e M & rsquo para uma é igual a k. Analogamente, define-se uma & ldquocompressão & rdquo uniforme de espaço para um plano. Cada transformação afim do plano pode ser obtida realizando uma certa transformação ortogonal e uma sucessiva & ldquocompressão & rdquo em cerca de duas linhas perpendiculares. Qualquer transformação afim do espaço pode ser realizada por meio de uma certa transformação ortogonal e sucessivas & ldquocompressões & rdquo em cerca de três linhas mutuamente perpendiculares. Em uma transformação afim, linhas e planos paralelos são transformados em linhas e planos paralelos. As propriedades da transformação afim são amplamente utilizadas em vários ramos da matemática, mecânica e física teórica. Assim, em geometria, a transformação afim é usada para a chamada classificação afim de figuras. Em mecânica, é usado no estudo de pequenas deformações de meios contínuos em tais deformações, pequenos elementos do meio na primeira aproximação sofrem transformações afins.


    A álgebra gerada depende do vetor em que se baseia, não apenas em quantas dimensões ela tem, mas também se essas dimensões são quadradas com escalares positivos, negativos ou zero.

    Portanto, podemos definir uma álgebra geométrica por sua assinatura da forma: Gp, q, r

    • p = número de vetores de base que se elevam ao quadrado em um número positivo
    • q = número de vetores de base que se elevam ao quadrado em um número negativo
    • r = número de vetores de base que chegam a zero

    Esta página explica isso e também define outras subálgebras.


    O procedimento MDS

    O escalonamento multidimensional (MDS) refere-se a uma classe de métodos. Esses métodos estimam coordenadas para um conjunto de objetos em um espaço de dimensionalidade especificada. Os dados de entrada são medidas de distâncias entre pares de objetos. Uma variedade de modelos pode ser usada, incluindo diferentes maneiras de calcular distâncias e várias funções que relacionam as distâncias aos dados reais. O procedimento MDS se ajusta a modelos de escalonamento multidimensionais métricos e não métricos de duas ou três vias.

    Os dados para o procedimento MDS consistem em uma ou mais matrizes quadradas simétricas ou assimétricas de semelhanças ou dissimilaridades entre objetos ou estímulos (Kruskal e Wish 1978, pp. 7-11). Esses dados também são chamados de dados de proximidade. Em aplicações psicométricas, cada matriz normalmente corresponde a um assunto, e os modelos que se ajustam a parâmetros diferentes para cada assunto são chamados de modelos de diferenças individuais.

    Valores ausentes são permitidos. Em particular, se todos os dados estiverem ausentes, exceto dentro de algum retângulo fora da diagonal, a análise é chamada de desdobramento. Existem, no entanto, muitas dificuldades intrínsecas aos modelos de desdobramento (Heiser 1981). PROC MDS não realiza desdobramento externo para análises que requerem desdobramento externo, use o procedimento TRANSREG.

    O procedimento MDS estima os seguintes parâmetros por mínimos quadrados não lineares:

    as coordenadas de cada objeto em um euclidiano (Kruskal e Wish 1978, pp. 17-19) ou espaço euclidiano ponderado (Kruskal e Wish 1978, pp. 61-63) de uma ou mais dimensões

    para cada matriz de dados, os coeficientes que multiplicam cada coordenada do espaço euclidiano comum ou de grupo ponderado para produzir o espaço euclidiano individual não ponderado. Esses coeficientes são as raízes quadradas dos pesos dos sujeitos (Kruskal e Wish 1978, pp. 61-63). Um gráfico dos coeficientes de dimensão pode ser interpretado diretamente, pois mostra como um quadrado unitário no espaço do grupo é transformado em um retângulo em cada espaço individual. Um gráfico de pesos dos sujeitos não tem uma interpretação tão simples. O modelo euclidiano ponderado está relacionado ao modelo INDSCAL (Carroll e Chang 1970).

    intercepte, declive ou expoente em uma transformação linear, afim ou de poder relacionando as distâncias aos dados (Kruskal e Wish 1978, pp. 19-22). Para uma análise não métrica, são utilizadas transformações monótonas que não envolvem parâmetros explícitos (Kruskal e Wish 1978, pp. 22-25). Para uma discussão sobre transformações métricas versus não-métricas, veja Kruskal e Wish (1978, pp. 76-78).

    Dependendo da opção LEVEL =, PROC MDS se ajusta a um modelo de regressão do formulário

    ou um modelo de medição do formulário

    é uma potência predeterminada ou transformação logarítmica especificada pela opção FIT =.

    é uma estimativa ("ótima") de transformação linear, afim, de potência ou monótona especificada pela opção LEVEL =.

    é uma medida da semelhança ou dissimilaridade de dois objetos ou estímulos.

    é uma distância calculada a partir das coordenadas estimadas dos dois objetos e coeficientes de dimensão estimados em um espaço de uma ou mais dimensões. Se não houver coeficientes de dimensão (COEF = IDENTITY), esta é uma distância euclidiana não ponderada. Se os coeficientes de dimensão forem usados ​​(COEF = DIAGONAL), esta é uma distância euclidiana ponderada onde os pesos são os quadrados dos coeficientes de dimensão alternativamente, você pode multiplicar cada dimensão por seu coeficiente e calcular uma distância euclidiana não ponderada.

    é um termo de erro assumido como tendo uma distribuição aproximadamente normal e sendo independente e identicamente distribuído para todos os dados. Sob essas suposições, a estimativa de mínimos quadrados é estatisticamente apropriada.

    Para uma introdução ao escalonamento multidimensional, consulte Kruskal e Wish (1978) e Arabie, Carroll e DeSarbo (1987). Um tratamento mais avançado é dado por Young (1987). Muitas questões práticas de coleta e análise de dados são discutidas em Schiffman, Reynolds e Young (1981). Os fundamentos da medição psicológica, incluindo escalonamento unidimensional e multidimensional, são expostos por Torgerson (1958). A estimativa não linear de mínimos quadrados de modelos PROC MDS é discutida em Null e Sarle (1982).


    Assista o vídeo: 10-2 - Transformações Afins (Outubro 2021).