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5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva equações na forma quadrática

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Fator por substituição: (y ^ {4} -y ^ {2} -20 ).
  2. Fator por substituição: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) +15 ).
  3. Simplificar
    1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {1} {4}} )
    2. ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} )
    3. ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} )

Resolva equações na forma quadrática

Às vezes, quando fatoramos os trinômios, o trinômio não parecia estar na forma (ax ^ {2} + bx + c ). Assim, fatoramos por substituição, permitindo-nos fazê-lo caber na forma (ax ^ {2} + bx + c ). Usamos o padrão (u ) para a substituição.

Para fatorar a expressão (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), notamos que a parte variável do termo do meio é (x ^ {2} ) e seu quadrado, (x ^ {4} ), é a parte variável do primeiro termo. (Sabemos ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) Então, deixamos (u = x ^ {2} ) e fatorado.

( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right) -5 )
Deixe (u = x ^ {2} ) e substitua.
Fatore o trinômio. ((u + 1) (u-5) )
Substitua (u ) por (x ^ {2} ). ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) )

Da mesma forma, às vezes uma equação não está na forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), mas se parece muito com uma equação quadrática. Então, muitas vezes podemos fazer uma substituição cuidadosa que nos permitirá ajustá-la à forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Se pudermos ajustá-lo à forma, poderemos usar todos os nossos métodos para resolver equações quadráticas.

Observe que na equação quadrática (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), o termo do meio tem uma variável, (x ), e seu quadrado, (x ^ {2} ), é a parte variável do primeiro termo. Procure essa relação ao tentar encontrar uma substituição.

Novamente, usaremos o padrão (u ) para fazer uma substituição que colocará a equação na forma quadrática. Se a substituição nos der uma equação da forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), dizemos que a equação original era de forma quadrática.

O próximo exemplo mostra as etapas para resolver uma equação na forma quadrática.

Exemplo ( PageIndex {1} ) Como resolver equações na forma quadrática

Resolva: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )

Solução:

Passo 1: Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.Como ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ), deixamos (u = x ^ {2} ).
Passo 2: Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.

Reescreva para se preparar para a substituição.

Substitua (u = x ^ {2} ).

etapa 3: Resolva a equação quadrática para (u ).

Podemos resolver por fatoração.

Use a propriedade Zero Product.

( begin {alinhado} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 2 u = 1,3 u & = 2 u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {alinhado} )
Passo 4: Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.Substitua (u ) por (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
Etapa 5: Resolva para a variável original.Resolva para (x ), usando a propriedade de raiz quadrada.

( begin {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} & {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} { x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Existem quatro soluções.

( begin {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} {x = - frac { sqrt {2}} {2}} & {x = - frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Etapa 6: Verifique as soluções.Verifique todas as quatro soluções. Mostraremos um cheque aqui.

Deixamos os outros cheques para você!

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

Responder

(x = sqrt {2}, x = - sqrt {2}, x = 2, x = -2 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

Responder

(x = sqrt {7}, x = - sqrt {7}, x = 2, x = -2 )

Resumimos as etapas para resolver uma equação na forma quadrática.

Resolva equações na forma quadrática

  1. Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.
  2. Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.
  3. Resolva a equação quadrática para (u ).
  4. Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.
  5. Resolva para a variável original.
  6. Verifique as soluções.

No próximo exemplo, o binômio no termo do meio, ((x-2) ) é elevado ao quadrado no primeiro termo. Se deixarmos (u = x-2 ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

Responder

(x = 3, x = 1 )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

Responder

(y = -1, y = 1 )

No próximo exemplo, notamos que (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Além disso, lembre-se de que, quando elevamos ao quadrado os dois lados de uma equação, podemos introduzir raízes estranhas. Certifique-se de verificar suas respostas!

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

Solução:

O ( sqrt {x} ) no meio termo, é elevado ao quadrado no primeiro termo (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Se deixarmos (u = sqrt {x} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Deixe (u = sqrt {x} ) e substitua.
Resolva por fatoração.
Substitua (u ) por ( sqrt {x} ).
Resolva para (x ), elevando ao quadrado ambos os lados.

Verificar:

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

Responder

(x = 9, x = 16 )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

Responder

(x = 4, x = 16 )

As substituições de expoentes racionais também podem nos ajudar a resolver uma equação na forma quadrática. Pense nas propriedades dos expoentes ao começar o próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva: (x ^ { frac {2} {3}} - 2 x ^ { frac {1} {3}} - 24 = 0 ).

Solução:

O (x ^ { frac {1} {3}} ) no termo do meio é elevado ao quadrado no primeiro termo ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2 } = x ^ { frac {2} {3}} ). Se deixarmos (u = x ^ { frac {1} {3}} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Vamos (u = x ^ { frac {1} {3}} )
Resolva por fatoração.

((u-6) (u + 4) = 0 )

(u-6 = 0, quad u + 4 = 0 )

(u = 6, quad u = -4 )

Substitua (u ) por (x ^ { frac {1} {3}} ).

(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = - 4 )

Resolva para (x ) dividindo os dois lados ao cubo.

( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad left (x ^ { frac {1} {3}} direita) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

(x = 216, quad x = -64 )

Verificar:

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva: (x ^ { frac {2} {3}} - 5 x ^ { frac {1} {3}} - 14 = 0 ).

Responder

(x = -8, x = 343 )

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

Responder

(x = 81, x = 625 )

No próximo exemplo, precisamos ter em mente a definição de um expoente negativo, bem como as propriedades dos expoentes.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolva: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

Solução:

O (x ^ {- 1} ) no termo do meio é elevado ao quadrado no primeiro termo ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ). Se deixarmos (u = x ^ {- 1} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Deixe (u = x ^ {- 1} ) e substitua.
Resolva por fatoração. ((3 u-1) (u-2) = 0 )
(3 u-1 = 0, quad u-2 = 0 )
Substitua (u ) por (x ^ {- 1} ).
Resolva para (x ) tomando o recíproco, pois (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

Verificar:

Exercício ( PageIndex {9} )

Resolva: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

Responder

(x = frac {4} {3}, x = 2 )

Exercício ( PageIndex {10} )

Resolva: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

Responder

(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática na resolução de equações quadráticas.

  • Resolvendo Equações na Forma Quadrática

Conceitos chave

  • Como resolver equações na forma quadrática.
    1. Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.
    2. Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.
    3. Resolva a equação quadrática para (u ).
    4. Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.
    5. Resolva para a variável original.
    6. Verifique as soluções.

Equação quadrática e suas soluções

As soluções para a equação quadrática x ^ 2 = 5 são root (5) e -root (5), uma vez que (root (5)) ^ 2 = 5 e (-root (5)) ^ 2 = 5. Em geral, a seguinte regra é válida.

Se x ^ 2 = a (a & gt0), então x = root (a) ou x = -root (a). Podemos escrever x = + - root (a)

Exemplos

Resolva as seguintes equações quadráticas.

x = + - root (17) Tenha em mente que a expressão x = + - root (17) representa as duas equações, x = root (17) e x = -root (17)

(x + 9) ^ 2 = 10/9 Divida ambos os lados por 2.

O exemplo também pode ser escrito como segue para enfatizar que existem duas soluções.

2 (x + 9) ^ 2 = 20/9 (x + 9) ^ 2 = 10/9 x + 9 = raiz (10/9) ou x + 9 = -root (10/9) x = -9 + root (10) / 3 x = -9-root (10) / 3

Não há número real cujo quadrado seja negativo. Então, para resolver equações como x ^ 2 = -4 e (x - 3) ^ 2 = -10, números chamados números complexos são precisos. Esses números serão discutidos no próximo curso de álgebra.

O que deve ser adicionado a x ^ 2 - 8x para obter um trinômio quadrado perfeito? A resposta é 16.

Este procedimento é chamado Completando o quadrado e foi discutido em outra seção. Podemos usar este procedimento para resolver equações quadráticas. Por exemplo, para resolver a equação x ^ 2 - 6x + 4 = 0, podemos tentar fatorar, como na seção anterior, mas x ^ 2 - 6x + 4 não será fatorado. A técnica de resolvendo ao completar o quadrado é explicado nos exemplos a seguir. O coeficiente de x ^ 2, o coeficiente líder, deve ser 1 para que a técnica funcione.

Exemplos

x ^ 2-6x = -4 -4 é adicionado a ambos os lados da equação.

x ^ 2-6x + 9 = -4 + 9 9 é adicionado a ambos os lados da equação. O lado esquerdo agora é um trinômio quadrado perfeito.

(x-3) ^ 2 = 5 Simplifique. x-3 = + - root (5) Encontre raízes quadradas. x = 3 + -root (5) Resolva para x.

2. x ^ 2 + 5x = 7 Complete o quadrado à esquerda.

x ^ 2 + 5x + 25/4 = 7 + 25/4 1/2 * 5 = 5/2 e (5/2) ^ 2 = 25/4

(x + 5/2) ^ 2 = 53/4 Simplifique x + 5/2 = + - root (53/4) Encontre as raízes quadradas. x = -5 / 2 + -root (53/4) Resolva para x. x = -5 / 2 + -root (53) / 2 Propriedade especial de raízes quadradas

root (a / b) = root (a) / root (b) para a & gt0 e b & gt0

6x ^ 2 + 12x = 9 Adicione 9 a ambos os lados da equação.

(6x ^ 2) / 6 + (12x) / 6 = 9/6 Divida cada termo por 6 para que o coeficiente principal seja 1.

x ^ 2 + 2x = 3/2 O coeficiente líder é 1.

x ^ 2 + 2x + 1 = 3/2 + 1 Complete o quadrado, 1/2 * 2 = 1 e 1 ^ 2 = 1

x + 1 = + - root (5/2) Encontre raízes quadradas.

x = -1 + -root (5) / root (2) * root (2) / root (2) Racionalize o denominador.

2x ^ 2 + 5x = 8 Adicione 8 a ambos os lados da equação.

(2x ^ 2) / 2 + (5x) / 2 = 8/2 Divida cada termo por 2 para que o coeficiente líder seja 1.

x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 = 4 + 25/16 Complete o quadrado, 1/2 * 5/2 = 5/4 e (5/4) ^ 2 = 25/16

x + 5/4 = + - root (89/16) Encontre as raízes quadradas.

x = -5 / 4 + -root (89) / 4 Resolva para x, também root (89/16) = root (89) / root (16) = root (89) / 4

x ^ 2 + 8x + 16 = -4 + 16 Complete o quadrado.

x + 4 = + - root (12) Encontre raízes quadradas.

x = -4 + -2root (3) root (12) = root (4) * root (3) = 2root (3) por propriedade especial

root (ab) = root (a) * root (b) para a & gt0 e b & gt0.

A Fórmula Quadrática

A fórmula quadrática é um método geral para resolver equações de segundo grau da forma ax ^ 2 + bx + c = 0, onde a, b e c podem ser quaisquer números reais. A fórmula quadrática é uma fórmula muito antiga que os matemáticos babilônios conheciam por volta de 2000 a.C. No entanto, os matemáticos babilônios e, mais tarde, gregos sempre descartaram as soluções negativas das equações quadráticas porque achavam que essas soluções não tinham significado físico. Os matemáticos gregos sempre tentaram interpretar seus problemas algébricos de um ponto de vista geométrico e, portanto, o desenvolvimento do método geométrico de "completar o quadrado".

Considere a seguinte equação: x ^ 2 + 6x = 7. Uma figura geométrica é construída com áreas x ^ 2, 3x e 3x. Observe que, em ordem

para fazer a figura um quadrado, uma seção de 3 por 3 (área = 9) deve ser adicionada. Assim, 9 deve ser adicionado a ambos os lados da equação para restaurar a igualdade. Desse modo,

Portanto, o quadrado com o lado x + 3 agora tem uma área de 16 unidades quadradas. Portanto, os lados devem ter comprimento 4, o que significa x + 3 = 4.

Observe que, na verdade, o conjunto de solução da equação original é <1, -7>, já que (-7) ^ 2 + 6 (- 7) = 49 - 42 = 7. Assim, os matemáticos gregos "perderam" a solução negativa por causa de sua interpretação estritamente geométrica das equações quadráticas. Havia, portanto, muitas equações quadráticas que os matemáticos gregos não conseguiam resolver porque ambas as soluções eram números negativos ou complexos. As soluções negativas para as equações foram quase completamente ignoradas até o início dos anos 1500, durante o Renascimento.

Desenvolvimento da Fórmula Quadrática

Agora estamos interessados ​​em desenvolver uma fórmula que seja útil na resolução de equações quadráticas de qualquer forma. Esta fórmula sempre funcionará, mas o aluno não deve esquecer as técnicas de fatorar e completar as quadraturas porque podem ser mais fáceis de aplicar do que a fórmula.
A equação quadrática geral é

Queremos resolver a equação quadrática geral para x em termos dos coeficientes a, b e c. A técnica é para complete o quadrado, tratando a, bec como constantes.

ax ^ 2 + bx = -c Adicione -c a ambos os lados.

(ax ^ 2) / a + (bx) / a = -c / a Divida cada termo por a.

x ^ 2 + b / a x = -c / a Simplifique: (bx) / a = b / a x

x ^ 2 + b / a x + (b / (2a)) ^ 2 = (b / (2a)) ^ 2 + (- c) / a Complete o quadrado, 1/2 (b / a) = b / ( 2a)

(x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) + (- c * 4a) / (a ​​* 4a) O denominador comum é 4a ^ 2

x + b / (2a) = + - root ((b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2)) Encontre as raízes quadradas.

x + b / (2a) = + - root (b ^ 2-4ac) / + - root (4a ^ 2) Use a relação raiz (a / b) = root (a) / root (b) se a, b & gt0

x = (- b) / (2a) + - root (b ^ 2-4ac) / (2a) Resolva para x.

x = (- b + -root (b ^ 2-4ac)) / (2a) A FÓRMULA QUADRÁTICA

Nota especial: A expressão b ^ 2 - 4ac é chamada de discriminante. Se b ^ 2 - 4ac & lt 0, então não há soluções de números reais. Uma discussão sobre discriminantes negativos é dada em cursos posteriores de álgebra.

Agora, as soluções para as equações quadráticas podem ser encontradas indo diretamente para a fórmula.

Exemplos

Resolva as seguintes equações quadráticas usando a Fórmula Quadrática.

É assim que nossa equação quadrática, passo a passo, soluciona o problema acima. Você pode ver problemas semelhantes resolvidos clicando no botão 'Resolver semelhantes'.


O que é equação quadrática?

Uma equação quadrática é uma expressão algébrica do segundo grau em x. A forma padrão de uma equação quadrática é ax 2 + bx + c = 0, onde a, b são os coeficientes, x é a variável ec é o termo constante. A primeira condição para que uma equação seja quadrática é que o coeficiente de x 2 seja um termo diferente de zero (a ≠ 0). Para escrever uma equação quadrática na forma padrão, o termo x 2 é escrito primeiro, seguido pelo termo x e, finalmente, o termo constante é escrito. Os valores numéricos de a, b, c geralmente não são escritos como frações ou decimais, mas são escritos como valores integrais.

Além disso, em problemas matemáticos reais, as equações quadráticas são apresentadas em diferentes formas: (x - 1) (x + 2) = 0, -x 2 = -3x + 1, 5x (x + 3) = 12x, x 3 = x ( x 2 + x - 3). Todas essas equações precisam ser transformadas na forma padrão da equação quadrática antes de realizar outras operações.


5. Equações na forma quadrática

Nesta seção, encontraremos equações que são na verdade quadráticas, mas podem não parecer à primeira vista.

Usaremos um dos seguintes métodos para resolver essas equações:

Exemplo 1

Aqui, se deixarmos você = x 2 , podemos reescrever a equação para que se pareça com uma equação quadrática comum:

Então, as soluções para você são 16 ou 4.

x = & menos 4 ou 4 x = & menos 2 ou 2

Portanto, o conjunto completo de soluções é: `x = & menos4, & menos2, 2, 4`.

`y = x ^ 4 - 20x ^ 2 + 64`, mostrando interseções com o x-eixo

Podemos ver de onde o gráfico corta o x-eixo que as soluções estão corretas.

Exemplo 2

Aqui, se escrevermos `u = sqrt (x)` temos:

PERIGO! Sempre pense cuidadosamente sobre sua resposta. Muitas vezes você pode obter respostas que não são soluções verdadeiras.

Verifique por substituição: `4 (1/16) +3 (1/4) = 1`. OK.

Mas `sqrt (x) = - 1` não é possível (` sqrt (x) `é sempre` & ge 0`).

Concluímos que há apenas uma raiz: `x = 1 / 16`

Para dar uma idéia melhor de como é a nossa solução, vamos dar uma olhada no gráfico de `y = 4x + 3sqrt (x) - 1`.

A interseção com o x-eixo nos dirá a solução para a equação original.


Recursos abertos para álgebra de faculdades comunitárias

Subseção 7.5.1 Resolvendo Equações Quadráticas Usando uma Raiz Quadrada

Na Seção 7.1, cobrimos como resolver equações quadráticas usando a propriedade da raiz quadrada e como usar o Teorema de Pitágoras.

Exemplo 7.5.1. Resolução de equações quadráticas usando a propriedade de raiz quadrada.

Resolva para (w ) em (3 (2-w) ^ 2-24 = 0 text <.> )

É importante aqui suprimir qualquer desejo que você possa ter de expandir o binômio ao quadrado. Começamos isolando a expressão quadrada.

Agora que temos a expressão quadrada isolada, podemos usar a propriedade da raiz quadrada.

O conjunto de soluções é ( left <2 sqrt <2> + 2, -2 sqrt <2> +2 right > text <.> )

Exemplo 7.5.2. O Teorema de Pitágoras.

Faven estava trabalhando com madeira em sua garagem. Ela precisava cortar um pedaço triangular de madeira para seu projeto que tinha uma hipotenusa de (16 ) polegadas, e os lados do triângulo deveriam ter o mesmo comprimento. Quanto tempo ela deve fazer seus lados?

Vamos começar representando o comprimento do triângulo, medido em polegadas, pela letra (x text <.> ) Isso também faria o outro lado (x ) polegadas de comprimento.

Faven agora deve configurar o teorema de Pitágoras em relação à imagem. Isso seria

Resolvendo essa equação, temos:

Faven deve fazer os lados de seu triângulo com cerca de (11,3 ) polegadas de comprimento para forçar a hipotenusa a ter (16 ) polegadas de comprimento.

Subseção 7.5.2 A Fórmula Quadrática

Na Seção 7.2, cobrimos como usar a fórmula quadrática para resolver qualquer equação quadrática.

Exemplo 7.5.4. Resolvendo Equações Quadráticas com a Fórmula Quadrática.

Resolva as equações usando a fórmula quadrática.

Primeiro, devemos mudar a equação para a forma padrão.

Em seguida, verificamos e vemos que não podemos fatorar o lado esquerdo ou usar a propriedade da raiz quadrada, portanto, devemos usar a fórmula quadrática. Nós identificamos que ( substitute text <,> ) ( substitute text <,> ) e ( substitute text <.> ) Vamos substituí-los na fórmula quadrática:

Portanto, o conjunto de soluções é ( left <- 2+ sqrt <10>, -2- sqrt <10> right > text <.> )

Uma vez que a equação (5x ^ 2-2x + 1 = 0 ) já está na forma padrão, verificamos e vemos que não podemos fatorar o lado esquerdo ou usar a propriedade da raiz quadrada, portanto, devemos usar a fórmula quadrática. Nós identificamos que ( substitute text <,> ) ( substitute text <,> ) e ( substitute text <.> ) Vamos substituí-los na fórmula quadrática:

Como as soluções têm raízes quadradas de números negativos, devemos concluir que não há soluções reais.

Subseção 7.5.3 Soluções Complexas para Equações Quadráticas

Na Seção 7.3, cobrimos o que são tanto os números imaginários quanto os complexos, e também como resolver equações quadráticas em que as soluções são números imaginários ou complexos.

Exemplo 7.5.5. Números imaginários.

Simplifique a expressão ( sqrt <-12> ) usando o número imaginário, (i text <.> )

Comece dividindo (- 1 ) de (12 ) e procurando o maior fator de quadrado perfeito de (- 12 text <,> ) que por acaso é (4 text <. > )

Exemplo 7.5.6. Resolvendo Equações Quadráticas com Soluções Imaginárias.

Resolva para (m ) em (2m ^ 2 + 16 = 0 text <,> ) onde (p ) é um número imaginário.

Não há termo (m ), então usaremos o método da raiz quadrada.

O conjunto de solução é ( left <- firsthighlight <2> secondhighlight sqrt <2>, firsthighlight <2> secondhighlight sqrt <2> right > text <.> )

Exemplo 7.5.7. Resolvendo Equações Quadráticas com Soluções Complexas.

Resolva a equação (3 (v-2) ^ 2 + 54 = 0 text <,> ) onde (v ) é um número complexo.

Portanto, o conjunto de soluções é ( left <2+ firsthighlight <3> secondhighlight sqrt <2>, 2- firsthighlight <3> secondhighlight sqrt <2> right > text <.> )

Subseção 7.5.4 Resolvendo Equações em Geral

Na Seção 2.1, aprendemos como resolver equações lineares. Na Seção 6.4, aprendemos como resolver equações radicais. Na Seção 7.1 e na Seção, aprendemos como resolver equações quadráticas.

Em seguida, na Seção 7.4, examinamos algumas estratégias para resolver equações em geral, muitas vezes contando com as técnicas específicas anteriores.

Exemplo 7.5.8. Equações onde a variável aparece uma vez.

Resolva as equações usando um método eficaz.

Uma vez que a variável (x ) aparece apenas uma vez, podemos aplicar os passos um de cada vez para desfazer todas as operações que são feitas para (x ) e eventualmente isolá-lo.

Portanto, o conjunto de soluções é ( left <4+ sqrt <2>, 4- sqrt <2> right > )

Uma vez que a variável (x ) aparece apenas uma vez, podemos aplicar os passos um de cada vez para desfazer todas as operações que são feitas para (x ) e eventualmente isolá-lo.

Neste ponto, ( frac <47> <3> ) é apenas uma solução potencial. Podemos ter introduzido uma solução estranha no ponto em que elevamos os dois lados ao quadrado. Portanto, devemos verificar.

Portanto, o conjunto de soluções é ( left < frac <47> <3> right > text <.> )

Uma vez que a variável (x ) aparece apenas uma vez, podemos aplicar os passos um de cada vez para desfazer todas as operações que são feitas para (x ) e eventualmente isolá-lo.

O conjunto de soluções é ( left < frac <9> <5> right > text <.> )

Exemplo 7.5.9. Equações com mais de uma instância da variável.

Reconheça que essas equações têm mais de uma instância da variável, portanto, não é possível isolar imediatamente a variável desfazendo as operações que são feitas a ela. Em vez disso, use uma técnica especial para resolver a equação.

Para resolver a equação ((x-4) ^ 2 + 2x = 0 text <,> ) observe que é uma equação quadrática e podemos escrevê-la na forma padrão.

Nesse ponto, percebemos que as soluções são complexas. Continue a simplificar até que sejam completamente reduzidos.

Portanto, o conjunto de soluções é ( left <3-i sqrt <3>, 3 + i sqrt <3> right > text <.> )

Para resolver a equação (16x-2 (3x-1) = 3 ), primeiro notamos que ela é linear. Por ser linear, precisamos apenas seguir as etapas descritas no Processo 2.1.4.

Portanto, o conjunto de soluções é ( left < frac <2> <5> right > text <.> )

Já que a equação ( sqrt= x-4 ) é uma equação radical, devemos isolar o radical (o que já é) e elevar ao quadrado ambos os lados da equação.

Como a equação agora é quadrática, podemos usar a fórmula quadrática 7.2.2 para resolvê-la.

Por se tratar de uma equação radical, devemos verificar nossas soluções e procurar “soluções estranhas”.

Portanto, o conjunto de soluções é ( <7 > text <.> )

Exemplo 7.5.10. Resolvendo uma variável em termos de outras variáveis.

Freqüentemente, nas aulas de ciências, você recebe uma fórmula que precisa ser reorganizada para ser útil em uma situação. Abaixo estão algumas equações da física que descrevem o mundo natural.

Resolva a equação (v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2ax ) para (x text <.> ) (Esta equação descreve o movimento de objetos que estão acelerando.)

Resolva a equação (c ell = ell_0 sqrt) para (v text <.> ) (Esta equação descreve o tamanho das coisas que se movem em velocidades muito rápidas.)

Resolva a equação (y = frac < alpha t ^ 2> <2> + vt ) para (t text <.> ) (Esta é outra equação que descreve o movimento de objetos que estão acelerando.)

Uma vez que (x ) aparece apenas uma vez na equação, só precisamos desfazer as operações que foram feitas nele.

Uma vez que (v ) aparece apenas uma vez na euqação, só precisamos desfazer as operações que foram feitas nele. De acordo com a ordem das operações, no lado direito da equação,

O resultado é adicionado a (c ^ 2 text <.> )

O resultado tem uma raiz quadrada aplicada.

O resultado é multiplicado por ( ell_0 text <.> )

Portanto, fazemos todas as coisas opostas na ordem oposta.

Este é um equação quadrático quando vemos (t ) como a variável. Primeiro, devemos reorganizar a equação para a forma padrão.

É útil com muitas equações para “limpar denominadores”. Nesse caso, isso significa multiplicar cada lado da equação por (2 text <.> )

Exercícios 7.5.5 Exercícios

Resolvendo equações quadráticas usando uma raiz quadrada

Devon está projetando um jardim retangular. A diagonal do jardim deve ser de (64,6 ) pés, e a proporção entre a base e a altura do jardim deve ser (15: 8 text <.> ) Encontre o comprimento da base e a altura do jardim.

A base do jardim é pés e sua altura é.

Tammy está projetando um jardim retangular. A diagonal do jardim deve ser de (13,5 ) pés, e a proporção entre a base do jardim e a altura deve ser (4: 3 text <.> ) Encontre o comprimento da base e a altura do jardim.

A base do jardim é pés e sua altura é.

A Fórmula Quadrática

Um objeto é lançado para cima na altura de (200 ) metros. Sua altura pode ser modelada por

onde (h ) representa a altura do objeto em metros e (t ) representa o tempo decorrido em segundos desde seu lançamento. A altura do objeto será de (240 ) metros duas vezes antes de atingir o solo. Descubra quantos segundos desde o lançamento a altura do objeto seria de (240 ) metros. Arredonde suas respostas para duas casas decimais, se necessário.

A altura do objeto seria (240 ) metros na primeira vez em segundos e, em seguida, na segunda vez em segundos.

Um objeto é lançado para cima na altura de (220 ) metros. Sua altura pode ser modelada por

onde (h ) representa a altura do objeto em metros e (t ) representa o tempo decorrido em segundos desde seu lançamento. A altura do objeto será de (230 ) metros duas vezes antes de atingir o solo. Descubra quantos segundos desde o lançamento a altura do objeto seria de (230 ) metros. Arredonde suas respostas para duas casas decimais, se necessário.

A altura do objeto seria (230 ) metros na primeira vez em segundos e, em seguida, na segunda vez em segundos.

Soluções complexas para equações quadráticas

Simplifique o radical e escreva-o como um número complexo usando (i text <.> )

Simplifique o radical e escreva-o como um número complexo usando (i text <.> )


Como encontrar os zeros de uma função quadrática?

No pré-cálculo, você pode ter usado a propriedade de produto zero para encontrar as raízes de uma equação fatorada. Depois de fatorar um polinômio em seus diferentes conjuntos, você pode identificar cada conjunto igual a zero para resolver as raízes com a propriedade de produto zero.

A propriedade de produto zero prevê que, se vários fatores estão se multiplicando para dar zero, pelo menos um deles deve ser zero.

Seu trabalho é encontrar todos os valores de x que tornam o polinômio igual a zero. Se o polinômio for fatorado, você pode definir cada fator igual a zero e resolver para x.

Então, como encontrar os zeros de uma função quadrática?

Fatorar (x ^ 2 + 3x - 10 = 0 ) dá a você ((x + 5) (x - 2) ).

Seguir em frente é fácil porque cada fator é linear (primeiro grau).

A equação (x + 5 = 0 ) fornece uma solução, (x = –5, ) e

(x - 2 = 0 ) dá a outra solução,

Cada uma dessas respostas se torna uma interceptação x no gráfico do polinômio.

Às vezes, depois que você & rsquove fatorado, um ou ambos os fatores podem ser fatorados novamente; neste caso, você deve continuar a fatorar.

Em outros casos, eles podem ser não fatoráveis. Se um desses fatores for quadrático, você poderá encontrar as raízes apenas usando a forma quadrática.

Por exemplo, (6x ^ 4 - 12x ^ 3 + 4x ^ 2 = 0 ) fatores para (2x ^ 2 (3x ^ 2– 6x + 2) = 0. )

O primeiro termo, (2x ^ 2 = 0, ) pode ser resolvido usando álgebra, mas o segundo fator, (3x ^ 2– 6x + 2 = 0, ) não é fatorável e requer a forma quadrática.

Em outros casos, eles podem não ser fatoráveis ​​e, nesse caso, você só pode resolvê-los usando a forma quadrática.

Considere (f (x) = 3x ^ 2 + 12x + 8 ) na forma geral. Esboce o gráfico de f, encontre seu vértice e encontre os zeros de f.

Um método alternativo de encontrar o vértice

Em alguns casos, completar o quadrado não é o mais simples, graças a encontrar o vértice de uma parábola. Se o gráfico de uma função quadrática tem dois interceptos x, então o caminho da simetria é a linha vertical através do ponto médio dos interceptos x.

As interceptações x do gráfico acima estão em -5 e três.

A linha de simetria passa por -1, que é a média de -5 e três.

Uma vez que todos nós sabemos que o caminho da simetria é (x = -1, ), então todos sabemos que a coordenada primária do vértice é (- 1. )

A segunda coordenada do vértice é freqüentemente encontrada avaliando a função em (x = -1 )

Considere a função (f (x) = x ^ 2 - 6x + 7 ) de forma geral. Esboce o gráfico de f e encontre seus zeros e vértices.

(= (x2 - 6x) + 7. ) Agrupe os termos (x ^ 2 ) ex e complete o quadrado nesses termos.

Precisamos apresentar 9 porque é o quadrado de 1 metade do coeficiente de x, (( frac <-6> <2>) 2 = 9. )

Portanto, estávamos resolvendo uma equação. Simplesmente adicionamos 9 a cada lado da equação. Nesta configuração, adicionamos e subtraímos 9 para não alterar a função.

Vemos que (x ^ 2 - 6x + 9 ) é um quadrado perfeito, a saber ((x - 3) ^ 2. )

Este é o formulário padrão.

A partir deste resultado, pode-se facilmente encontrar o vértice do gráfico de (f ) é ((3, -2). )

Para encontrar os zeros de (f, ), definimos f adequado para 0 e resolvemos para (x. )

Para esboçar o gráfico de f, mudamos o gráfico de (y = x ^ 2 ) três unidades para a direita e duas unidades para baixo.

Se o coeficiente de (x ^ 2 ) for n & # 39t 1, devemos fatorar esse coeficiente dos termos (x ^ 2 ) e (x ) antes de prosseguir.


A Fórmula Quadrática

Você pode resolver qualquer equação quadrática por Completando o quadrado- reescrever parte da equação como um trinômio quadrado perfeito. Se você completar o quadrado da equação genérica [latex] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] e, em seguida, resolver para x, você descobre que [latex] x = frac <-b pm sqrt <<^ <2>> -4ac >> <2a> [/ latex]. Esta equação é conhecida como Fórmula Quadrática.

Podemos derivar a fórmula quadrática completando o quadrado. Primeiro, suponha que o coeficiente líder seja positivo, se for negativo, podemos multiplicar a equação por [latex] -1 [/ latex] e obter um resultado positivo uma. Dado [látex] a^ <2> + bx + c = 0 [/ latex], [latex] a ne 0 [/ latex], vamos completar o quadrado da seguinte maneira:

    Primeiro, mova o termo constante para o lado direito do sinal de igual:

Esta fórmula é muito útil para resolver equações quadráticas que são difíceis ou impossíveis de fatorar, e usá-la pode ser mais rápido do que completar o quadrado. A fórmula quadrática pode ser usada para resolver qualquer equação quadrática da forma [latex] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex].

A forma [latex] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] é chamada de forma padrão de uma equação quadrática. Antes de resolver uma equação quadrática usando a fórmula quadrática, ele & # 8217s vital certifique-se de que a equação está neste formato. Se você não fizer isso, poderá usar os valores errados para uma, b, ou c, e então a fórmula fornecerá soluções incorretas.


5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática - Matemática

Resolvendo equações com a Fórmula Quadrática

Esta lição aqui é provavelmente a mais temida pelos alunos de Álgebra! A fórmula quadrática parece uma expressão enorme e assustadora, mas realmente, não é tão ruim.

O Fórmula quadrática é usado para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Usamos o discriminante para descobrir Como as muitas raízes existiam, mas a equação quadrática realmente nos dirá que eles estão. As raízes são os pontos onde a equação é igual a zero, que é o mesmo que os pontos onde o gráfico atinge o eixo x. Lembre-se, pode haver duas raízes reais, uma raiz real ou nenhuma raiz real.

Então você está pronto? Vamos tentar um:

Precisamos encontrar nossos a, b e c, o que significa que precisamos que a equação seja igual a zero. Então, vamos adicionar 1 para cada lado.

Lembre-se de que a forma padrão é (ax ^ 2 + bx + c ), então temos:

Agora, aqui vem a fórmula quadrática. É preciso conectar e simplificar muito o uso de a, b e c.

Fórmula quadrática

O símbolo " ( pm )" significa "mais ou menos", o que significa que esta fórmula é na verdade dois em um! Teremos que dividi-lo mais tarde. Vamos começar a conectar nossos números.

Às vezes, você poderá manter sua resposta neste formulário. Se for solicitada uma forma decimal, teremos que dividir o " ( pm )" e estimar o ( sqrt <21> ).

(x = Large frac <-5 + sqrt <21>> <2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (x = Large frac <-5 + sqrt <21>> <2> )
(x = Large frac <-5 + 4,58> <2> ) (x = Large frac <-5 - 4,58> <2> )
(x = Large frac <-0,42> <2> ) (x = Large frac <-9,58> <2> )
(x = -0,21 ) (x = -4,79 )

Uau! Então, não foi muito difícil, mas definitivamente dá muito trabalho! Vamos praticar e tentar mais um:

Queremos que seja igual a zero, então subtraia 8 e adicione (p ^ 2 ) a ambos os lados.

“B” está faltando! Isso significa apenas que é igual a zero.

E se precisar ser estimado, divida-os!

(p = Large frac <+ sqrt <32>> <-2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (p = Large frac <- sqrt <32>> <-2> )
(p = Large frac <5,66> <-2> ) (p = Large frac <-5,66> <-2> )
(p = -2,83 ) (p = 2,83 )

Feito! Minha sugestão para esses problemas é levar o seu tempo e manter seu trabalho organizado. São problemas longos e um pequeno erro pode causar uma grande confusão! So double-check everything and the quadratic formula won’t seem so bad after all.

Bellow you can baixar algum gratuitamente math worksheets and practice.


5.4: Solve Quadratic Equations in Quadratic Form - Mathematics

In this section we are going to look at equations that are called quadratic in form ou reducible to quadratic in form. What this means is that we will be looking at equations that if we look at them in the correct light we can make them look like quadratic equations. At that point we can use the techniques we developed for quadratic equations to help us with the solution of the actual equation.

It is usually best with these to show the process with an example so let’s do that.

Now, let’s start off here by noticing that

In other words, we can notice here that the variable portion of the first term (ou seja ignore the coefficient) is nothing more than the variable portion of the second term squared. Note as well that all we really needed to notice here is that the exponent on the first term was twice the exponent on the second term.

This, along with the fact that third term is a constant, means that this equation is reducible to quadratic in form. We will solve this by first defining,

Therefore, we can write the equation in terms of (u)’s instead of (x)’s as follows,

[ - 7 + 12 = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in> - 7u + 12 = 0]

The new equation (the one with the (u)’s) is a quadratic equation and we can solve that. In fact, this equation is factorable, so the solution is,

[ - 7u + 12 = left( ight)left( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>u = 3,,,u = 4]

So, we get the two solutions shown above. These aren’t the solutions that we’re looking for. We want values of (x), not values of (u). That isn’t really a problem once we recall that we’ve defined

To get values of (x) for the solution all we need to do is plug in (u) into this equation and solve that for (x). Let’s do that.

[começaru = 3 : & hspace<0.25in>3 = hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x = pm sqrt 3 u = 4 : & hspace<0.25in>4 = hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x = pm sqrt 4 = pm 2end]

So, we have four solutions to the original equation, (x = pm 2) and (x = pm sqrt 3 ).

So, the basic process is to check that the equation is reducible to quadratic in form then make a quick substitution to turn it into a quadratic equation. We solve the new equation for (u), the variable from the substitution, and then use these solutions and the substitution definition to get the solutions to the equation that we really want.

In most cases to make the check that it’s reducible to quadratic in form all that we really need to do is to check that one of the exponents is twice the other. There is one exception to this that we’ll see here once we get into a set of examples.

Also, once you get “good” at these you often don’t really need to do the substitution either. We will do them to make sure that the work is clear. However, these problems can be done without the substitution in many cases.

Okay, in this case we can see that,

and so one of the exponents is twice the other so it looks like we’ve got an equation that is reducible to quadratic in form. The substitution will then be,

Substituting this into the equation gives,

[começar - 2u - 15 & = 0 left( ight)left( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>u = - 3,,,,u = 5end]

Now that we’ve gotten the solutions for (u) we can find values of (x).

So, we have two solutions here (x = - 27) and (x = 125).

For this part notice that,

and so we do have an equation that is reducible to quadratic form. The substitution is,

[começar - 9u + 8 & = 0 left( ight)left( ight) & = 0hspace<0.5in>u = 1,,,u = 8end]

Now, going back to (y)’s is going to take a little more work here, but shouldn’t be too bad.

The two solutions to this equation are (y = 1) and (y = frac<1><2>).

This one is a little trickier to see that it’s quadratic in form, yet it is. To see this recall that the exponent on the square root is one-half, then we can notice that the exponent on the first term is twice the exponent on the second term. So, this equation is in fact reducible to quadratic in form.

The equation then becomes,

[começar - 9u + 14 & = 0 left( ight)left( ight) & = 0hspace<0.25in>u = 2,,,u = 7end]

[começaru = 2: & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>sqrt z = 2hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>z = = 4 u = 7: & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>sqrt z = 7hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>z = = 49end]

The two solutions for this equation are (z = 4) and (z = 49)

Now, this part is the exception to the rule that we’ve been using to identify equations that are reducible to quadratic in form. There is only one term with a (t) in it. However, notice that we can write the equation as,

So, if we use the substitution,

and so it is reducible to quadratic in form.

Now, we can solve this using the square root property. Doing that gives,

Now, going back to (t)’s gives us,

[começaru = 2 : & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in> = 2hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>t = pm sqrt 2 u = - 2 : &hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in> = - 2hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>t = pm sqrt < - 2>= pm sqrt 2 ,,iend]

In this case we get four solutions and two of them are complex solutions. Getting complex solutions out of these are actually more common that this set of examples might suggest. The problem is that to get some of the complex solutions requires knowledge that we haven’t (and won’t) cover in this course. So, they don’t show up all that often.

All of the examples to this point gave quadratic equations that were factorable or in the case of the last part of the previous example was an equation that we could use the square root property on. That need not always be the case however. It is more than possible that we would need the quadratic formula to do some of these. We should do an example of one of these just to make the point.

In this case we can reduce this to quadratic in form by using the substitution,

Using this substitution the equation becomes,

This doesn’t factor and so we’ll need to use the quadratic formula on it. From the quadratic formula the solutions are,

Now, in order to get back to (x)’s we are going to need decimals values for these so,

Now, using the substitution to get back to (x)’s gives the following,

We had to use a calculator to get the final answer for these. This is one of the reasons that you don’t tend to see too many of these done in an Algebra class. The work and/or answers tend to be a little messy.


Examples with Solutions

Exemplo 1

Solução do Exemplo 1:

  • Dado
    x 4 + x 2 - 6 = 0
  • Since (x 2 ) 2 = x 4 , let u = x 2 and rewrite the equation in term of u.
    u 2 + u - 6 = 0
  • Factor the left side.
    (u + 3)(u - 2) = 0
  • Use the zero factor theorem to obtain simple equations.
    a) u + 3 = 0
    b) u - 2 = 0
  • Solve equation a).
    u = -3
  • Solve equation b).
    u = 2
  • Use the fact that u = x 2 , the first solution in u gives,
    u = x 2 = - 3
  • and the second solution gives.
    u = x 2 = 2
  • The square of a real number cannot be negative and therefore the equation x 2 = - 3 does not have any real solutions. The second equation is solved by extracting the square root and gives two solutions.
    x = 𕔆
    x = - 𕔆
  1. x = 𕔆
    Left side of the equation = (𕔆) 4 + (𕔆) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    Right side of the equation = 0.
  2. x = -√(2)
    Left side of the equation = (-√(2)) 4 + (-√(2)) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    Right side of the equation = 0.

Conclusão: The real solutions to the given equation are √(2) and -√(2)

Matched Exercise 1 Find all real solutions to the equation.

Exemplo 2

Solução do Exemplo 2:

  • Dado
    2 x + 3 √x = 5
  • Note that √x implies x has to be positive or zero. Since [ √x ] 2 = x , let u = √x and rewrite the equation in term of u.
    2 u 2 + 3 u = 5
  • Rewrite the equation with the right side equal to 0.
    2u 2 + 3u - 5 = 0

Conclusão:
The real solution to the given equation is x = 1.

Matched Exercise 2. Find all real solutions to the equation.


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