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19: Construções geométricas


As construções geométricas têm grande valor pedagógico como uma introdução às provas matemáticas. As construções geométricas foram introduzidas no final do Capítulo 5 e desde aquele momento foram utilizadas em todas as partes do livro.

Neste capítulo, discutimos brevemente as construções geométricas clássicas.


19: Construções geométricas

Muitas classificações na Marinha envolvem trabalhos que requerem a construção ou subdivisão de figuras geométricas. Por exemplo, os materiais devem ser cortados nas formas desejadas, linhas perpendiculares devem ser traçadas, etc. Além dessas habilidades, algumas classificações da Marinha exigem a capacidade de reconhecer várias figuras sólidas e calcular seus volumes e áreas de superfície.

Do ponto de vista da geometria, uma CONSTRUÇÃO pode envolver tanto o processo de construção de uma figura quanto o de decomposição de uma figura em partes menores. Algumas construções típicas são listadas a seguir:

1. Dividindo uma linha em segmentos iguais.
2. Erguer a bissetriz perpendicular de uma linha.
3. Erguer uma perpendicular em qualquer ponto de uma linha.
4. Divisão de um ângulo.
5. Construindo um ângulo.
6. Encontrar o centro de um círculo.
7. Construindo uma elipse.

IGUALDADE DE DIVISÕES EM LINHA

Uma linha pode ser dividida em qualquer número desejado de segmentos iguais pelo método mostrado na figura 18-1.

Figura 18-1.-Dividindo uma linha em segmentos iguais.

Suponha que a linha AB (fig. 18-1) seja dividida em sete segmentos iguais. Desenhe a linha AC em qualquer ângulo conveniente com AB e marque sete espaços de algum comprimento conveniente, digamos 1/2 polegada, nele. Estenda a CA, se necessário, para obter sete intervalos do comprimento escolhido. Isso produz os pontos a, b, c, d, e, f e g, conforme mostrado na figura 18-1. Desenhe uma linha de g até B e, em seguida, desenhe linhas paralelas a gB, começando em cada um dos pontos a, b, c, d, e e f. Os segmentos de AB cortados por essas linhas são iguais em comprimento.

Freqüentemente, é necessário regular um número predeterminado de linhas em uma folha de material em branco. Isso pode ser feito por um método baseado na discussão anterior. Por exemplo, sup 18-2 deve ser dividido em 24 espaços iguais. A régua de 12 polegadas é colocada sobre o papel em um ângulo, de forma que as pontas do

Figura 18-2.-Determinando espaços iguais em uma folha de papel

régua coincidir com as bordas superior e inferior do papel. Existem 24 espaços, cada um com 1/2 polegada de largura, em uma régua de la polegadas. Portanto, marcamos o papel ao lado de cada marcador de divisão de l / a polegada na régua. Após remover a régua, traçamos uma linha através de cada uma das marcas no papel, paralela às bordas superior e inferior do papel.

BISETOR PERPENDICULAR DE UMA LINHA

Cortar ao meio uma linha ou ângulo significa dividi-lo em duas partes iguais. Uma linha pode ser cortada ao meio de forma satisfatória por medição, ou por um geo não atingir o comprimento total da linha, proceda da seguinte forma:

1. Começando em uma extremidade, meça cerca de metade do comprimento da linha e faça uma marca.

2. Começando na outra extremidade, meça exatamente a mesma distância de antes e faça uma segunda marca.

3. A bissetriz da linha fica a meio caminho entre essas duas marcas.

O método geométrico de dividir uma linha ao meio não depende da medição. Baseia-se no fato de que todos os pontos igualmente distantes das extremidades de uma linha reta se encontram na bissetriz perpendicular da linha.

A divisão geométrica de uma linha requer o uso de uma bússola matemática, que é um instrumento para desenhar círculos e comparar distâncias. Se uma linha AB deve ser cortada ao meio como na figura 18-3, a bússola é aberta até que a distância entre seus pontos seja mais da metade do comprimento de AB. Em seguida, um curto arco é desenhado acima do centro aproximado da linha e outro abaixo, usando A como o centro do círculo dos arcos. (Veja a fig. 18-3.)

Mais dois arcos curtos são desenhados, um acima e um abaixo do centro aproximado da linha AB, desta vez usando B como o centro do círculo dos arcos.

Os dois arcos acima da linha AB são estendidos até se cruzarem, formando o ponto C, e os dois arcos abaixo da linha AB se cruzam para formar o ponto D. A linha que une o ponto C e o ponto D é a bissetriz perpendicular da linha AB.


Construções Geo.1 e Transformações Rígidas

Nesta unidade, os alunos primeiro exploram informalmente as propriedades geométricas usando construções de régua e compasso. Isso permite que eles construam conjecturas e observações antes de definirem rotações, reflexões e traduções formalmente. No ensino médio, os alunos estudaram transformações de figuras no plano de coordenadas. Nesta unidade, eles fazem a transição para definições mais formais que não dependem do plano de coordenadas e o foco muda da transformação de figuras inteiras para uma análise mais ponto a ponto. Os alunos então começam a usar as definições rigorosas que desenvolveram para provar afirmações envolvendo ângulos e distâncias, preparando-os para provas de congruência na próxima unidade.

Um gráfico de referência em branco é fornecido para os alunos e um gráfico de referência preenchido para os professores. O objetivo do quadro de referência é ser um recurso para os alunos consultarem enquanto apresentam argumentos formais. Os alunos continuarão a fazer acréscimos ao longo do curso. Referir-se Sobre estes materiais no curso de Geometria para mais informações.


Geometria na Construção 2019

Geometria em Construção (GiC) é um programa de ensino médio, iniciado em 2005 em Loveland, CO, que integra o aprendizado contextualizado em aulas de geometria e construção, cursadas simultaneamente por alunos do ensino médio. Os professores de geometria e tecnologia de construção trabalham em colaboração para integrar os currículos e o ensino ao longo do ano. Apresentado por Tom Moore e Scott Burke, desenvolvedores e instrutores do programa GiC original, este desenvolvimento profissional de quatro dias fornece aos professores o currículo de um ano necessário para replicar o programa GiC nas escolas do Texas. Os professores participarão de aulas práticas integrando matemática com construção diretamente do currículo GiC.

Visite a página da web Conceitos de aprendizagem contextual para obter detalhes adicionais: http://contextuallc.com/geometry-in-construction/

Participantes Elegíveis & ndash Equipes de professores do ensino médio interessados ​​em implementar o programa de Geometria na Construção podem participar. As equipes de professores devem consistir em um professor de geometria e um professor CTE preparado para ensinar Tecnologia da Construção, Mecânica Agrícola, Arquitetura ou um curso CTE semelhante. Os administradores interessados ​​em participar com professores são incentivados a comparecer no dia 29 de julho, entre 9h00 e 13h00 para uma visão geral do programa.

Professores: $ 1.695,00 por participante (workshop de 4 dias)

Certificados de participação - Os certificados de 26 horas de Educação Profissional Continuada (créditos CPE) adquiridos serão enviados eletronicamente após o participante ter concluído a avaliação do curso online. Quaisquer dúvidas sobre certificados devem ser dirigidas à pessoa de contato listada nesta página.

Notas de registro -
As taxas de inscrição cobrem café da manhã, almoço e materiais de treinamento.
Os pagamentos são devidos antes deste evento.
Reembolsos não serão emitidos para cancelamentos ou não comparecimento.
Evento limitado a 40 participantes.

OS PARTICIPANTES DEVEM CRIAR UM UTEID E UMA SENHA PARA SE INSCREVER EM QUALQUER EVENTO.

Quando você estiver pronto para se registrar, será solicitado que você faça o login. Você precisará fazer o login com seu UTEID e senha. Se você não se lembra do seu UTEID e senha, pode clicar no link & ldquoI esqueci meu UTEID ou senha & rdquo ou se precisar de um UTEID criado, clique em & ldquoI preciso de um UTEID & rdquo na tela de login (sob o ponto laranja no centro da página) . Para mais informações UTEID Clique aqui.

Informações e instruções de pagamento

Os únicos dois métodos de pagamento aceitos são o crédito cartão e cheque. NÃO usamos / aceitamos ordens de compra.

Pagar com cartão de crédito garantirá instantaneamente seu único registro e / ou concederá a você acesso imediato a quaisquer licenças / códigos adquiridos.

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Os cheques devem ser feitos para & ldquoThe University of Texas at Austin& rdquo e enviado aos cuidados de Nathalie Beausoleil, juntamente com a fatura impressa, para o endereço abaixo.

Universidade do Texas em Austin
Texas Advanced Computing Center
a / c Nathalie Beausoleil
PRC, ROC 1.101 (R8700)
10100 Burnet Road
Austin, TX 78758-4497

Logística

Hospedagem e Transporte

Todos os participantes são responsáveis ​​por seus próprios arranjos e pagamentos de transporte e hospedagem.

Se sua instituição está pagando por sua hospedagem, uma cópia do formulário de isenção de impostos de ocupação de hotéis no Texas é fornecida e deve ser impressa e entregue em seu hotel na chegada.

Cronograma

29 de julho de 2019 - 1 de agosto de 2019

Chegando la

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Geometria

Blocos de construção de geometria

Os blocos de construção de geometria revê conceitos elementares sobre o assunto, incluindo a definição de termos relacionados a formas como linhas, ângulos, triângulos, polígonos e círculos. Os tópicos incluem:

  • Três termos indefinidos: ponto, linha e plano
  • Contra-exemplo
  • Escrevendo uma boa definição
  • Postulado, Axioma, Conjectura
  • Conversar
  • Segmentos de linha
  • Raios
  • Linhas paralelas e enviesadas
  • Pontos médios e segmentos congruentes
  • Planos e linhas paralelas
  • Vértice e diagonais
  • Calculando o Ponto Médio
  • Ângulos: Tipos e Rotulagem
  • Usando um transferidor
  • Divisores de Ângulo
  • Ângulos Suplementares e Complementares
  • Polígonos
  • Tipos de Triângulos
  • Perímetro
  • Partes de um Círculo

Raciocínio, Diagonais, Ângulos e Linhas Paralelas

Raciocínio, diagonais, ângulos e linhas paralelas abrange aplicações de raciocínio indutivo e dedutivo à geometria, bem como as definições de ângulos e linhas paralelas. Os tópicos incluem:

  • Raciocínio indutivo
  • Raciocínio dedutivo
  • Número de diagonais em um polígono
  • Número de apertos de mão em uma festa
  • Ângulos Adjacentes
  • Ângulos verticais
  • Ângulos correspondentes
  • Ângulos Interiores Alternativos
  • Ângulos Externos Alternativos
  • Ângulos internos do mesmo lado e ângulos externos do mesmo lado
  • Teorema do Converse of Parallel Lines

Construções

Construções abrange métodos elementares relacionados à perpendicularidade, paralelismo, bissetores, ângulos, polígonos, círculos e centros de um triângulo. Os tópicos incluem:

  • Duplicando um segmento de linha
  • Duplicando um Ângulo
  • Construindo o Bissetor Perpendicular
  • Construindo uma Perpendicular a uma Linha
  • Construindo um Bissetor de Ângulo
  • Construindo Linhas Paralelas
  • Construindo Altitudes
  • Construindo uma mediana
  • Construindo um Triangle Midsegment
  • Ponto de Simultaneidade
  • Círculos e polígonos circunscritos e inscritos
  • Construindo o Incenter
  • Construindo o Circuncentro
  • Construindo o Ortocentro
  • Construindo o Centroid
  • Construindo uma Perpendicular em um Ponto em uma Linha

Triângulos

Triângulos abrange definições e teoremas básicos, incluindo as relações entre lados e ângulos, bem como as propriedades dos triângulos isósceles. Os tópicos incluem:

  • Soma do ângulo do triângulo
  • Triângulos Isósceles
  • Desigualdades do lado do triângulo
  • Desigualdades do lado do triângulo e do ângulo
  • Ângulos internos remotos
  • SSS e SAS
  • ASA e AAS
  • HL
  • Por que SSA e AAA não funcionam como atalhos de congruência
  • CPCTC
  • Provas de duas colunas
  • Provas de fluxograma
  • Propriedades especiais do triângulo isósceles

Polígonos

Polígonos abrange termos e fórmulas relacionados a formas poligonais comuns, especialmente aquelas de quadriláteros como: quadrados, retângulos, trapézio, losango, paralelogramos. Os tópicos incluem:

  • Soma do ângulo do polígono
  • Soma Poligonal Equiangular
  • Ângulos Externos de um Polígono
  • Propriedades do papagaio
  • Propriedades do trapézio
  • Propriedades do segmento médio do triângulo
  • Propriedades do segmento médio trapézio
  • Propriedades do paralelogramo
  • Problema de desenho de painel e arco trapézio
  • Propriedades de losango
  • Propriedades de retângulo e quadrado

Círculos

Círculos abrange termos e fórmulas, incluindo ângulos centrais e inscritos e as relações entre tangentes, arcos, secantes, cordas e circunferência. Os tópicos incluem:

  • Locus e definição de um círculo e esfera
  • Ângulos Centrais e Arcos Interceptados
  • Chords and a Circle & # 39s Center
  • Raios para Tangentes
  • Segmentos tangentes a um círculo
  • Ângulos inscritos
  • Ângulos em semicírculos e acordes em tangentes
  • Quadriláteros cíclicos e linhas paralelas em círculos
  • Circunferência
  • Comprimento do arco
  • Secantes

Transformações

Transformações abrange a prática de transformações geométricas, envolvendo reflexos, rotações e translações, entre outros. Os tópicos incluem:

A área cobre fórmulas relacionadas a formas comuns, como triângulos, quadriláteros, polígonos, círculos e as superfícies de algumas formas 3D. Os tópicos incluem:

  • Área de paralelogramos
  • Área dos Triângulos
  • Área dos trapézios
  • Resolvendo Fórmulas
  • Área de pipas e losangos
  • Centro e Apótema de Polígonos Regulares
  • Área de polígonos regulares
  • Área dos Círculos
  • Área de um Setor
  • Área de um Segmento
  • Área de um anel
  • Regiões entre círculos e quadrados
  • Área de Superfície de Prismas
  • Área de superfície dos cilindros
  • Superfície das pirâmides
  • Área de Superfície dos Cones
  • Área de superfície de sólidos unidos

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras cobre provas, fórmulas e aplicações relacionadas a este teorema frequentemente usado. Os tópicos incluem:

  • Provas do teorema de Pitágoras
  • Operações de raiz quadrada
  • Usando o teorema de Pitágoras para encontrar uma hipotenusa ausente
  • Usando o teorema de Pitágoras para encontrar uma perna perdida
  • Diagonais do Espaço
  • Converse do Teorema de Pitágoras
  • 45-45-90 Triângulos
  • 30-60-90 Triângulos
  • Fórmula de distância
  • Equação de um Círculo
  • Calculando Coordenadas no Círculo de Unidade

Volume

O volume cobre termos e fórmulas relacionados a formas 3D, particularmente aquelas de prismas e cilindros. Os tópicos incluem:

Similaridade

Similaridade cobre como resolver proporções básicas, as propriedades de similaridade, atalhos de similaridade e como usar proporções de área e volume para encontrar informações ausentes. Os tópicos incluem:

Trigonometria Básica

A trigonometria básica cobre as definições e fórmulas para as proporções trigonométricas básicas, bem como os teoremas fundamentais e algumas aplicações. Os tópicos incluem:


19: Construções geométricas

Artigo de Daniel Scher, Square or Not? Avaliação de construções em um ambiente de software de geometria interativa discute seu projeto de pesquisa em que os alunos tiveram acesso a software de construção geométrica interativa e foram convidados a construir um quadrado usando o programa fornecido. Cada aluno no estudo foi filmado usando duas câmeras, uma registrando os movimentos dos olhos e outra registrando os cliques do mouse usados ​​para completar a tarefa e o filme resultante foi então estudado. O autor descobriu que os alunos, que nunca haviam usado o Sketchpad do Geometer antes, em geral não construíam construções matematicamente rigorosas, mas suas construções ou desenhos resultantes frequentemente exibiam "comportamento quadrado" (Scher 119), indicando alguma compreensão das características de um quadrado. Em outras palavras, as tentativas reais dos alunos não estavam caindo nas categorias teóricas exclusivas de desenhos versus construções, como os teóricos da educação matemática haviam previsto anteriormente. As respostas reais dos alunos muitas vezes caem em formas intermediárias que não eram inteiramente desenhos nem construções inteiramente rigorosas.

Nossa discussão em sala de aula não se concentrou em nenhum tópico em grande profundidade, mas em vários tópicos curtos, geralmente trazidos pelo Dr. Leatham. A tarefa descrita neste artigo, ele apontou, não era sobre o que eles sabiam sobre quadrados, mas sim sobre como eles os construíram. Além disso, o papel do entrevistador parecia espelhar o papel do professor como deveria ser na sala de aula. Os entrevistadores garantiram aos alunos que o teste não era para descobrir o software, mas sobre as características das formas geométricas. Da mesma forma, os professores que usam a tecnologia costumam responder de maneira diferente às perguntas dos alunos que lidam com a tecnologia de uma maneira muito diferente da investigação dos alunos sobre matemática. Em uma sala de aula de matemática, o foco está na matemática e não necessariamente na tecnologia e, portanto, o professor pode ser mais explícito sobre como resolver as dificuldades técnicas. Por outro lado, uma aula de tecnologia pode fornecer as equações ou matemática, mas permite que os alunos lutem com a tecnologia, uma vez que esse é o foco principal daquele ambiente específico. Nossa discussão em classe também se concentrou no quadrado do normando, o que mostrou que ele entendeu algumas das características do quadrado, embora não tenha criado uma construção rigorosa da figura. Como classe, discutimos a ideia de que, ao avaliar esses resultados em uma tarefa semelhante em sala de aula, o que avaliaríamos seria muito diferente, dado o contexto da aula e o conhecimento prévio dos alunos, que não foi explicitamente explicado no artigo. Como uma tarefa exploratória, isso mostraria que Norman entendia as características, mas como uma avaliação somativa em construções, Norman teria uma boa pontuação. Depende, decidimos, de quais eram nossos objetos e, portanto, do que estávamos procurando.

Achei difícil generalizar as informações do artigo devido ao que parecia ser a falta de detalhes sobre o contexto da situação para o artigo de pesquisa. Onde, por exemplo, estavam os alunos em seu estudo de geometria neste ponto de suas carreiras matemáticas? Pela minha experiência limitada, a maioria dos alunos tem geometria por volta do 9º ano e fomos informados de que se tratava de alunos do quinto e sexto ano. Por que os autores escolheram alunos do quinto e sexto ano? Eles esperariam o mesmo tipo de resultados de alunos de matemática que estavam em um curso de geometria ou que já haviam concluído a geometria? A maioria dos alunos da quinta série parece saber pouco mais do que reconhecimento de formas e características isoladas. Mais especificamente, eles parecem ter estado no Nível 2 da hierarquia van Hiele para geometria. De acordo com Marguerite Mason, Professora Assistente de Educação Matemática na Universidade da Virgínia, o progresso de um nível para o próximo depende principalmente da instrução escolar, embora não do desenvolvimento cognitivo baseado na idade (para mais leitura, veja seu FAQ de van Hiele). Os resultados são mais uma indicação de seu aprendizado escolar e currículo ou dos alunos como um todo?

Vários outros pontos do artigo podem fornecer diferentes explicações para os resultados encontrados. Scher afirma que “Cada aluno participou de duas sessões de entrevistas realizadas em dias distintos, cujas sessões individuais duraram aproximadamente duas horas” (Scher 114). Certamente, esse período de quatro horas não consistiu apenas na construção de um quadrado. O que mais os alunos foram instruídos a fazer durante esse tempo? Em que ordem as tarefas foram dadas? Aqueles localizados no início ou no final podem ser submetidos a um período de "aquecimento" ou diminuição da atenção, respectivamente, o que pode inibir o desejo dos alunos de buscar uma solução mais rigorosa. Se as tarefas foram atribuídas em uma ordem aleatória para cada tarefa e as respostas dos outros alunos revelaram resultados semelhantes aos relatados no artigo, então talvez pudéssemos justificar as conclusões do autor. O autor também afirma que, ao fazer uma figura que parecia ser um quadrado, "David e Ben [deram] uns aos outros um cumprimentando-se com um high-five e [passaram] para o próximo desafio" (Scher 122). A seção sobre a construção de Norman não menciona nenhuma outra criança, mas David e Ben parecem estar trabalhando como um par. Os alunos puderam escolher os intervalos ou alguns foram simplesmente designados a pares ou pequenos grupos? Os autores descobriram, além disso, que esses grupos ou trabalho em pares realizaram as tarefas melhor do que os alunos que trabalham sozinhos? Em ambos os casos, os alunos trabalham em pares de maneira diferente do que trabalham sozinhos, e o fato de David e Ben estarem juntos pode ser responsável por seu sucesso, já que um pode trocar ideias com o outro. Outro elemento potencialmente confuso é se os alunos escolhidos aleatoriamente ou os professores simplesmente escolheram um determinado tipo de aluno. Em outras palavras, se esses não fossem alunos "típicos", então os alunos não poderiam reagir de forma que os resultados pudessem ser generalizados para situações de sala de aula maiores. É bem possível que os alunos escolhidos fossem os que estavam adiantados em seu trabalho e, portanto, fossem mais talentosos ou criativos do que o aluno médio.
Apesar desses detalhes, achei que a discussão em sala de aula sobre a avaliação desse trabalho do aluno foi particularmente convincente. Como vários alunos apontaram, este tipo de trabalho tecnológico foi um indicativo das características e conhecimentos que os alunos fez saber, mesmo que não fosse uma avaliação justa das habilidades de construção em um programa de computador desconhecido. Se os alunos tivessem uma compreensão dos conceitos básicos de construção de bússola e régua, por outro lado (como ser mostrado como construir um triângulo isósceles e uma linha perpendicular e, em seguida, ser solicitado a construir o quadrado), então a avaliação com base nos resultados finais seria apropriado. No final, precisamos ser claros com os alunos sobre o que eles serão testados e ter certeza de que, com o contexto do que eles sabem, essa será uma avaliação justa de seu entendimento. Dadas as informações que temos sobre os alunos, não poderíamos atribuir de forma justa uma nota que reflita seu entendimento, porque simplesmente não entendemos o suficiente para fazê-lo.

Embora o aspecto da construção deste artigo tenha sido interessante, fui mais impactado pela compreensão das avaliações de nossa discussão em classe deste artigo. Nós nos concentramos muito nas formas de avaliação somativa graças aos testes padronizados, mas o bom ensino é em grande parte alimentado pela avaliação formativa formal e informal. À medida que avaliamos a compreensão de nossos alunos, pode ser necessário mais reflexão e profundidade para descobrir sua compreensão, como descobrimos em nossa longa discussão em sala de aula. Por outro lado, esse tipo de avaliação revela uma variedade maior de tons de cinza do que se supunha anteriormente, se estivermos classificando com base na "correção" pura. Como Scher disse, "Teoricamente, as diferenças entre essas categorias criam um esquema inequívoco para classificar as tentativas de construção dos alunos. Na prática. Os esforços dos alunos em construir formas geométricas a partir do zero às vezes desafiavam categorizações como 'certas' ou 'erradas'. A estrutura de classificação prevalecente, embora útil, não leva em conta as técnicas de construção criativas "(Scher 123). Na verdade, os professores devem trabalhar para encontrar abordagens multifacetadas voltadas para a avaliação da compreensão do aluno. Caso contrário, insights matemáticos como os descobertos por Ben, David e Nathan passariam despercebidos.


ANSYS 19.1 A guia Geometria mostra a opção DesignModeler, mas não a do spaceClaim

o workbench 19 costumava oferecer duas opções de escolha quando se tratava de esboçar / criar minha geometria (1. spaceClaim e 2. modelador de projeto). Desinstalei o workbench 19 e instalei o workbench 19.1, mas agora a guia de geometria mostra apenas a opção do modelador de projeto.

Ajude-me a descobrir como ativar a opção de reivindicação de espaço porque tenho projetos e arquivos anteriores em spacClaim que preciso continuar trabalhando.

Vale a pena mencionar que, quando clico em ferramentas & gtopções & gtgeometria, Importar & gt
spaceClaim está configurado para ser meu editor de geometria padrão preferido, mas o workbench me leva ao modelador de projeto quando clico na geometria.


Conteúdo

Os primeiros registros da geometria podem ser rastreados até a antiga Mesopotâmia e Egito no segundo milênio aC. [4] [5] A geometria primitiva era uma coleção de princípios descobertos empiricamente relativos a comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para atender a algumas necessidades práticas em topografia, construção, astronomia e vários ofícios. Os primeiros textos conhecidos sobre geometria são os egípcios Rhind Papyrus (2000-1800 AC) e Papiro de Moscou (c. 1890 aC), e as tábuas de argila da Babilônia, como Plimpton 322 (1900 aC). Por exemplo, o Papiro de Moscou fornece uma fórmula para calcular o volume de uma pirâmide truncada, ou tronco. [6] Tabuletas de argila posteriores (350–50 aC) demonstram que os astrônomos babilônios implementaram procedimentos trapézios para calcular a posição e o movimento de Júpiter dentro do espaço de tempo-velocidade. Esses procedimentos geométricos anteciparam os calculadores de Oxford, incluindo o teorema da velocidade média, em 14 séculos. [7] Ao sul do Egito, os antigos núbios estabeleceram um sistema de geometria incluindo as primeiras versões de relógios solares. [8] [9]

No século 7 aC, o matemático grego Tales de Mileto usou a geometria para resolver problemas como o cálculo da altura das pirâmides e a distância dos navios da costa. Ele é creditado com o primeiro uso do raciocínio dedutivo aplicado à geometria, derivando quatro corolários para o teorema de Tales. [10] Pitágoras estabeleceu a Escola Pitagórica, que é creditada com a primeira prova do teorema de Pitágoras, [11] embora a declaração do teorema tenha uma longa história. [12] [13] Eudoxus (408-c. 355 aC) desenvolveu o método de exaustão, que permitia o cálculo de áreas e volumes de figuras curvilíneas, [14] bem como uma teoria de razões que evitava o problema de magnitudes incomensuráveis , que permitiu aos geômetras subsequentes fazerem avanços significativos. Por volta de 300 aC, a geometria foi revolucionada por Euclides, cujo Elementos, amplamente considerado o livro-texto mais bem-sucedido e influente de todos os tempos, [15] introduziu o rigor matemático por meio do método axiomático e é o exemplo mais antigo do formato ainda usado na matemática hoje, o da definição, axioma, teorema e prova. Embora a maior parte do conteúdo do Elementos já eram conhecidos, Euclides os organizou em uma estrutura lógica única e coerente. [16] O Elementos era conhecido por todas as pessoas instruídas no Ocidente até meados do século 20 e seus conteúdos ainda são ensinados nas aulas de geometria hoje. [17] Arquimedes (c. 287-212 aC) de Siracusa usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com o somatório de uma série infinita, e deu aproximações notavelmente precisas de pi. [18] Ele também estudou a espiral que leva seu nome e obteve fórmulas para os volumes das superfícies de revolução.

Os matemáticos indianos também deram muitas contribuições importantes para a geometria. O Satapatha Brahmana (Século 3 aC) contém regras para construções geométricas rituais que são semelhantes ao Sulba Sutras. [19] De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), o Śulba Sūtras contêm "a expressão verbal mais antiga existente do teorema de Pitágoras no mundo, embora já fosse conhecido pelos antigos babilônios. Eles contêm listas de triplos pitagóricos, [20] que são casos particulares de equações diofantinas. [21] manuscrito, há um punhado de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valor de casa decimal com um ponto zero." [22] Aryabhatiya (499) inclui o cálculo de áreas e volumes. Brahmagupta escreveu seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta em 628. O capítulo 12, contendo 66 versos sânscritos, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razão e proporção e troca) e "matemática prática" (incluindo mistura, séries matemáticas, figuras planas, empilhar tijolos, serrar madeira e empilhar grãos). [23] Na última seção, ele declarou seu famoso teorema nas diagonais de um quadrilátero cíclico. O Capítulo 12 também incluiu uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron), bem como uma descrição completa dos triângulos racionais (ou seja, triângulos com lados racionais e áreas racionais). [23]

Na Idade Média, a matemática no Islã medieval contribuiu para o desenvolvimento da geometria, especialmente da geometria algébrica. [24] [25] Al-Mahani (n. 853) concebeu a ideia de reduzir problemas geométricos, como a duplicação do cubo, a problemas de álgebra. [26] Thābit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim) (836–901) lidou com operações aritméticas aplicadas a proporções de quantidades geométricas e contribuiu para o desenvolvimento da geometria analítica. [27] Omar Khayyám (1048-1131) encontrou soluções geométricas para equações cúbicas. [28] Os teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam e Nasir al-Din al-Tusi nos quadriláteros, incluindo o quadrilátero de Lambert e o quadrilátero de Saccheri, foram os primeiros resultados em geometria hiperbólica, e junto com seus postulados alternativos, como axioma de Playfair, essas obras tiveram uma influência considerável no desenvolvimento da geometria não euclidiana entre os geômetras europeus posteriores, incluindo Witelo (c. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis e Giovanni Girolamo Saccheri. [ duvidoso - discutir ] [29]

No início do século 17, houve dois desenvolvimentos importantes na geometria. O primeiro foi a criação da geometria analítica, ou geometria com coordenadas e equações, por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). [30] Este foi um precursor necessário para o desenvolvimento do cálculo e uma ciência quantitativa precisa da física. [31] O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). [32] A geometria projetiva estuda propriedades de formas que não são alteradas em projeções e seções, especialmente no que se refere à perspectiva artística. [33]

Dois desenvolvimentos em geometria no século 19 mudaram a maneira como ela era estudada anteriormente. [34] Estas foram a descoberta de geometrias não euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai e Carl Friedrich Gauss e da formulação da simetria como a consideração central no Programa Erlangen de Felix Klein (que generalizou as geometrias euclidiana e não euclidiana ) Dois dos geômetras mestres da época foram Bernhard Riemann (1826-1866), trabalhando principalmente com ferramentas de análise matemática e apresentando a superfície de Riemann, e Henri Poincaré, o fundador da topologia algébrica e da teoria geométrica de sistemas dinâmicos. Como consequência dessas grandes mudanças na concepção da geometria, o conceito de "espaço" tornou-se algo rico e variado, e o pano de fundo natural para teorias tão diferentes como a análise complexa e a mecânica clássica. [35]

A seguir estão alguns dos conceitos mais importantes da geometria. [2] [36] [37]


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Hatches and Fills

In AutoCAD, a hatch is a single, compound object that covers a specified area with a pattern of lines, dots, shapes, a solid fill color, or a gradient fill.

When you start the HATCH command, the ribbon temporarily displays the Hatch Creation tab. On this tab, you can choose from more than 70 industry-standard imperial and ISO hatch patterns, along with many specialized options.

The simplest procedure is to choose a hatch pattern and scale from the ribbon, and click within any area that is completely enclosed by objects. You need to specify the scale factor for the hatch to control its size and spacing.

After you create a hatch, you can move the bounding objects to adjust the hatch area, or you can delete one or more of the bounding objects to create partially bounded hatches:

Here are some examples of how you can use solid-fill hatches:

For overlapping hatches, fills, wide polylines, and text objects, use the DRAWORDER command to determine which objects are on top or below the others. For example, you might want the yellow highway to cross the blue river rather than the other way around.

You can access several draw order options from the Modify panel on the ribbon. Click to expand the Modify panel, and then click the down-arrow as shown below.


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