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19.3: Construções com um esquadro - Matemática


Um esquadro é uma ferramenta de construção mostrada na imagem - pode produzir uma linha através de um determinado ponto que faz os ângulos ( tfrac pi2 ) ou ( pm tfrac pi4 ) para uma determinada linha e também pode ser usado como uma régua; ou seja, pode produzir uma linha através de um determinado par de pontos.

Exercício ( PageIndex {1} )

Trissecione um determinado segmento com um quadrado definido.

Dica

Observe que, com um quadrado definido, podemos construir uma linha paralela a uma linha dada através do ponto dado. Resta modificar a construção no Exercício 14.2.1.

Vamos considerar as construções quadradas. Seguindo as mesmas linhas da seção anterior, podemos definir números quadrados construtíveis e provar o seguinte análogo do Teorema 19.2.1:

Teorema ( PageIndex {1} )

Teorema Suponha que a configuração inicial de uma construção geométrica é dada pelos pontos (A_1 = (0,0) ), (A_2 = (1,0) ), (A_3 = (x_3, y_3), pontos, A_n = (x_n, y_n) ). Então, um ponto (X = (x, y) ) pode ser construído usando uma construção quadrada se e somente se ambas as coordenadas (x ) e (y ) podem ser expressas a partir dos números inteiros e ( x_3 ), (y_3 ), (x_4 ), (y_4, dots, x_n ), (y_n ) usando as operações aritméticas " (+ )", " (- ) "," ( cdot ) "e" (/ ) "apenas.

Vamos aplicar este teorema para mostrar a impossibilidade de algumas construções com um quadrado definido.

Observe que se todas as coordenadas (x_3, y_3, pontos, x_n, y_n ) são números racionais, então o teorema acima implica que com um quadrado definido, só se pode construir os pontos com coordenadas racionais. Um ponto com ambas as coordenadas racionais é chamado racional, e se pelo menos uma das coordenadas for irracional, o ponto é chamado irracional.

Exercício ( PageIndex {2} )

Mostre que um triângulo equilátero no plano euclidiano tem pelo menos um ponto irracional.

Conclua que, com um quadrado definido, não se pode construir um triângulo equilátero com uma base dada.

Dica

Suponha que dois vértices tenham coordenadas racionais, digamos ((a_1, b_1) ) e ((a_2, b_2) ). Encontre as coordenadas do terceiro vértice. Use que o número ( sqrt {3} ) é irracional para mostrar que o terceiro vértice é um ponto irracional.


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Como usar a regra 3 4 5 para construir cantos quadrados

Este artigo foi coautor de Mark Spelman. Mark Spelman é um empreiteiro geral baseado em Austin, Texas. Com mais de 30 anos de experiência em construção, Mark é especializado na construção de interiores, gerenciamento de projetos e estimativa de projetos. É profissional da construção civil desde 1987.

O wikiHow marca um artigo como aprovado pelo leitor assim que recebe feedback positivo suficiente. Este artigo recebeu 16 depoimentos e 92% dos leitores que votaram o consideraram útil, ganhando nosso status de aprovado como leitor.

Este artigo foi visto 986.163 vezes.

Um dos desafios ao criar cantos é deixá-los retos. Embora seu quarto não precise ser perfeitamente quadrado, é melhor obter os cantos o mais próximo possível de 90 graus. Caso contrário, qualquer ladrilho ou carpete colocado ficará visivelmente "deslocado" de um lado para o outro da sala. O método 3-4-5 também é útil para projetos de carpintaria menores, garantindo que todas as suas peças se encaixem conforme planejado.


Variância de tempo até a falha

De acordo com a Seção 18.4.6, o tempo médio para falha é (1 / p ) para um processo que falha durante qualquer hora com probabilidade (p ). E quanto à variação?

então tudo o que precisamos é uma fórmula para ( text[C ^ 2] ).

Raciocinar sobre (C ) usando expectativa condicional funcionou bem na Seção 18.4.6 para encontrar o tempo médio para a falha, e uma abordagem semelhante funciona para (C ^ 2 ). Ou seja, o valor esperado de (C ^ 2 ) é a probabilidade, (p ), de falha na primeira hora (1 ^ 2 ), mais a probabilidade, ((1-p) ), de não falha na primeira hora vezes o valor esperado de ((C + 1) ^ 2 ). Então

[começar exto[C ^ 2] & amp = p cdot 1 ^ 2 + (1-p) text[(C + 1) ^ 2] & amp = p + (1-p) left ( text[C ^ 2] + frac <2>

+ 1 direita) & amp = p + (1-p) texto[C ^ 2] + (1-p) left ( frac <2>

+ 1 direita), quad text fim]

Combinar isso com ( ref <19.3.2>) prova

Lema 19.3.3. Se as falhas ocorrerem com probabilidade (p ) independentemente em cada etapa, e (C ) for o número de etapas até a primeira falha 2, então


TRÊS FORMAS DIMENSIONAIS

As formas tridimensionais (3-D) também são chamadas de formas sólidas. Eles têm comprimento, largura e altura, ao contrário das formas 2-D que têm apenas comprimento e largura. Exemplos de formas 3-D são cubos, cuboides, cilindros, prismas, pirâmides e esferas. Eles também são chamados de sólidos geométricos.

Face: uma superfície de forma sólida

Borda: uma linha em um sólido onde duas faces se encontram

Vértice (vértices plurais): um ponto ou vértice em um sólido, geralmente onde as bordas se encontram

Rede: uma forma plana que você pode dobrar para fazer um sólido

Cubóides e cubos

Um cubo possui as seguintes propriedades

  1. Possui 12 bordas retas
  2. Tem 8 vértices
  3. Tem 6 faces quadradas
  4. Sua rede consiste em 6 faces quadradas unidas
  5. Um cubóide

Um cubóide tem as seguintes propriedades:

  1. Possui 12 bordas retas
  2. Tem 8 vértices
  3. Ele também tem 6 faces retangulares
  4. Sua rede consiste em 6 faces retangulares

Cilindros e Prismas

  1. Um cilindro tem duas faces circulares
  2. Possui 1 superfície curva
  3. Possui 2 arestas curvas
  4. Sua rede consiste em duas faces circulares e 1 face retangular, ou seja, sua rede consiste em 2 círculos e 1 retângulo.

A rede de um cilindro tem dois círculos e um retângulo

Prisma

As faces inferior e superior de um prisma têm sempre a mesma forma. Os nomes dos prismas vêm do formato de suas faces inferior e superior.

Triangular Prism Prisma hexagonal

Cones e pirâmides

Um cone é uma forma sólida com corpo curvo, base circular e uma extremidade pontiaguda.

Uma pirâmide é uma forma sólida com uma base plana e faces triangulares que se elevam para se encontrar em um ponto comum chamado seu vértice. Existem muitos tipos de pirâmide. Os diferentes tipos são nomeados de acordo com as formas das bases que possuem:

Pirâmide retângulo Pirâmide trapézio

Uma esfera é uma forma sólida com superfície perfeitamente redonda. Os exemplos são laranja, bola, lançamento de peso, etc.

Volumes de sólidos

Volume de cubóides

O volume de sólidos é uma medida da quantidade de espaço que ocupa. Um objeto sólido também é chamado de objeto tridimensional (3-D). O cubo é usado como forma básica para estimar o volume do sólido. Portanto, o volume é medido em unidades cúbicas. Um cubo com uma aresta de 1cm tem um volume de um centímetro cúbico (1cm3).

O volume de um cubóide é dado por:

Volume = comprimento x largura x altura, ou seja, V = l x w x h

Na fórmula acima, A = l x w onde A = área de base do cubóide

Por isso: Volume de um cubóide = área de base x altura

Quando todas as arestas de um cuboide são iguais, ele é chamado de cubo. Se uma aresta tiver 1 unidade de comprimento, então

Volume de um cubo = comprimento x altura x largura

Um cubo com uma borda de 3 cm terá um volume de 3 x 3 x 3 = 27 cm 3.

A fórmula acima pode ser usada para encontrar a borda de um cubo quando o volume é fornecido.

Calcule o volume de um tanque retangular com dimensões de 20 cm por 15 cm por 12 cm.

Volume = comprimento x largura x altura

Um cuboide com 12 cm de comprimento e 8 cm de largura tem um volume de 624 cm 3. Encontre a altura do cubóide.

Substituindo V = 624cm 3, l = 12cm ew = 8cm

Comprimento x largura x altura = volume

Divida os dois lados por 96, h = = 6,5 cm

A altura do cuboide = 6,5 cm

Um tanque de água em forma de cubo tem uma base quadrada. Se a profundidade da água no tanque for 3m de altura e o volume de água dentro do cuboide for 243m 2. Calcule a largura do tanque.

Volume de um cubóide = área de base x altura

Uma vez que tem uma base quadrada, a área da base = l 2, ou seja, l = w.

A largura do tanque é de 9m

  1. Um volume de cubo de um cubo é dado como 512cm 3
  2. Qual é o comprimento de uma aresta do cubo?
  3. Quantos cubos pequenos de 2cm de borda podem ser colocados juntos para fazer este cubo?
  4. Um cuboide tem uma área de base de 35 cm 2 e uma altura de 3,5 cm. Qual é o volume do cubóide?

Perguntas gerais de avaliação / revisão

  1. Um prisma retangular (cubóide) tem um volume de 680cm 3 e sua altura é de 20cm. Qual é a área da base do prisma?
  2. A base de uma piscina tem 192 m 2. A profundidade da piscina é de 1,8 m. encontre o volume de água que a piscina pode conter.
  3. Um livro mede 18 cm por 12 cm por 3 cm. Calcule seu volume

Tarefa de Leitura

Tarefa de fim de semana

  1. Qual é o volume de um cubo de 5cm de borda. (a) 15cm 3 (b) 75cm 3 (c) 125cm 3 (d) 25cm 3
  2. Encontre o volume de ar em um recipiente cujas dimensões são: comprimento = 25cm, largura = 20cm e altura = 10cm (a) 5000cm 3 (b) 2500cm 3 (c) 4500cm 3 (d) 500cm 3
  3. O volume de um cubo é de 512 cm 3. Qual é o comprimento de uma aresta do cubo? (a) 10cm (b) 6cm (c) 4cm (d) 8cm
  4. Quantos cubos pequenos de 2cm de borda podem ser colocados juntos para fazer o cubo da questão 3 acima? (a) 66 (b) 32 (c) 64 (d) 128
  5. Calcule o volume de um cuboide com dimensões de 18 cm por 12 cm por 8 cm. (a) 1728 cm 3 (b) 512 cm 3 (c) 144 cm 3 (d) 1872 cm 3
  1. A base de um cuboide tem um lado igual a 10cm e o outro lado é 5cm mais comprido. Se a altura do cubóide for 7 cm, encontre o volume do cubóide.
  2. Um cubóide mede xcm por 3xcm por 5xcm
  3. Calcule o volume do cubóide em termos de x
  4. Qual é o volume do cubóide se x = 10cm?

As três construções clássicas impossíveis de geometria

As pessoas tentaram por séculos encontrar essas construções. Foi somente com o desenvolvimento da "álgebra abstrata" no século XIX que ficou provado que essas construções eram impossíveis.

Para aqueles de vocês que estão interessados, a ideia básica da prova é a seguinte.

Uma vez que as únicas formas que você pode desenhar com um compasso e régua são segmentos de linha e círculos (ou partes de círculos), as únicas maneiras de construir novos pontos a partir de pontos antigos para tomar a intersecção de duas linhas, dois círculos ou uma linha e um círculo. Agora, se você escrever as equações gerais para essas interseções e tentar resolver para uma das coordenadas do ponto de interseção, você terminará com uma equação linear ou quadrática. Os coeficientes da equação envolvem as coordenadas dos pontos antigos (ou várias somas, diferenças, produtos ou quocientes deles).

As equações lineares podem ser resolvidas por divisão simples: a equação ax = b tem como solução x = b / a. As equações quadráticas podem ser resolvidas usando a fórmula quadrática. Em cada caso, vemos que as únicas operações aritméticas necessárias para calcular a nova coordenada a partir das coordenadas antigas são adição, subtração, multiplicação, divisão e obtenção de raízes quadradas.

Portanto, se você começar com alguns pontos iniciais cujas coordenadas são todos números racionais, em seguida, aplicar qualquer sequência de técnicas de construção de compasso e régua, as coordenadas dos pontos que você terminar serão um tipo muito especial de número: eles serão obtidos dos números racionais por uma seqüência de operações envolvendo apenas adição, subtração, multiplicação, divisão e a extração de raízes quadradas.

A razão pela qual as três construções clássicas são impossíveis é que elas pedem que você seja capaz de construir pontos cujas coordenadas não sejam números desse tipo.

Provar que eles não são números desse tipo requer alguma matemática muito avançada de uma área chamada Teoria de Campo. Vou esboçar algumas das idéias essenciais.

No entanto, essa compreensão intuitiva nem sempre é correta. Por exemplo, +, embora seja obtido usando duas raízes quadradas, é o mesmo que, que envolve apenas uma raiz quadrada. Portanto, o argumento intuitivo serve apenas para mostrar que as afirmações do teorema são razoáveis. Na verdade, provar o teorema (e provar, não apenas que existe alguma equação polinomial irredutível para x cujo grau é uma potência de 2, mas que toda equação polinomial irredutível para x também tem o mesmo grau) envolve muitas idéias avançadas.

Usando o teorema, é fácil provar a impossibilidade das três construções:

Dobrar um cubo é impossível porque se você começar com um cubo de comprimento lateral 1, você precisaria construir um cubo cujo comprimento lateral é a raiz cúbica de 2. Mas a raiz cúbica de 2 é uma solução para a equação irredutível cujo grau , 3, não é uma potência de 2.

Quadrar um círculo é impossível porque se você começar com um círculo de raio 1, você precisará construir um quadrado cujo comprimento lateral seja. Mas este é um assim chamado "número transcendental": não é a solução para nenhuma equação polinomial com coeficientes racionais, muito menos uma cujo grau é uma potência de 2.

A trissecção de um ângulo é impossível porque se você começar com um ângulo de 60 graus (que pode ser facilmente construído), você precisará ser capaz de construir um ângulo de 20 graus. Isso seria equivalente a construir um ponto cujas coordenadas são o cosseno e o seno de 20 graus. Isso é impossível porque cos (20 graus) é uma solução para a equação polinomial irredutível cujo grau, 3, não é uma potência de 2.


PROBLEMAS DE PRÁTICA DE MATEMÁTICA DE 6º GRAU

Como os dois termos têm sinais opostos, temos que subtrair e colocar um sinal de número maior para a resposta.

O perímetro do triângulo equilátero é de 18 cm. Encontre o comprimento de cada

Perímetro do triângulo equilátero & # xa0 = & # xa0 18 cm

Portanto, o comprimento de cada lado é de 6 cm.

Como expressar 5 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa05 usando o expoente?

Qual é o valor de 0 10

O valor de 0 potência qualquer coisa é 0.

O pai é 30 anos mais velho que o filho e, há um ano, tinha quatro vezes a idade do filho. Encontre as idades atuais do pai.

Seja x a idade atual de seu filho.

Idade atual do pai & # xa0 = & # xa0 30 + 11

Portanto, a idade atual do pai é de 43 anos.

O perímetro de um quadrado é de 20 polegadas. Encontre o comprimento lateral do quadrado.

Perímetro do quadrado & # xa0 = & # xa0 20 polegadas

Portanto, o comprimento do lado do quadrado é de 5 polegadas.

Um triângulo tem lados com comprimentos de 19, 3 e 18 metros. Que tipo de triângulo é?

Os comprimentos laterais do triângulo são 19, 3 e 18.

Verificando o teorema de Pitágoras & # xa0:

Não satisfaz a condição acima, não é um triângulo retângulo. Como as medidas são diferentes, é um triângulo escaleno.

A medida de um ângulo é 77 ​​°. Qual é a medida de um ângulo suplementar?

Dois ângulos & # xa0são complementares & # xa0 quando somam 180 graus.

Portanto, o ângulo necessário é & # xa0 103 °.

Encontre o 21º termo na sequência 2, 4, 6, 8. . .

Na sequência dada, as diferenças comuns são as mesmas. Portanto, é uma progressão aritmética.

Termo geral em progressão aritmética:

Portanto, o 21º termo da sequência é 42.

Um trem está viajando 1 km em 1 minuto e 20 segundos. Se o trem continuar nessa velocidade, quão longe ele irá viajar em uma hora?

O tempo necessário para cobrir a distância de 1 quilômetro é de 1 minuto e 20 segundos.

Portanto, o tempo gasto & # xa0 = & # xa0 60 + 20 & # xa0 == & gt & # xa0 80 segundos

Portanto, a velocidade de deslocamento é de 1 km / 80 segundos.

Para encontrar a distância total percorrida em uma hora, basta formar uma conversão:

(1 km / 80 s) & # xa0 ⋅ & # xa0 3600 s / hora & # xa0 = & # xa0 45 km

Portanto, a distância total percorrida em horas é de 45 km.

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Outros tópicos relacionados

Assim como a inclinação pode ser calculada usando os pontos finais de um segmento, o ponto médio também pode ser calculado. O ponto médio é um conceito importante em geometria, particularmente ao inscrever um polígono dentro de outro polígono com seus vértices tocando o ponto médio dos lados do polígono maior. Isso pode ser obtido usando a calculadora do ponto médio ou simplesmente tomando a média de cada coordenada xe a média das coordenadas y para formar uma nova coordenada.

As inclinações das linhas são importantes para determinar se um triângulo é ou não um triângulo retângulo. Se quaisquer dois lados de um triângulo tiverem inclinações que se multiplicam por -1, então o triângulo é um triângulo retângulo. Os cálculos para isso podem ser feitos à mão ou usando a calculadora do triângulo retângulo. Você também pode usar a calculadora de distância para calcular qual lado de um triângulo é o mais longo, o que ajuda a determinar quais lados devem formar um ângulo reto se o triângulo for reto.

O sinal na frente do gradiente fornecido pela calculadora de inclinação indica se a linha está aumentando, diminuindo, constante ou indefinida. Se o gráfico da linha se mover da esquerda inferior para a direita superior, ele está aumentando e, portanto, é positivo. Se diminuir ao mover da esquerda superior para a direita inferior, o gradiente é negativo.

Como encontrar a inclinação de uma equação?

O método para encontrar a inclinação de uma equação irá variar dependendo da forma da equação na sua frente. Se a forma da equação for y = mx + c, então a inclinação (ou gradiente) é apenas m. Se a equação não estiver neste formato, tente reorganizá-la. Encontrar o gradiente de outros polinômios, você precisará diferenciar a função em relação a x.

Como você calcula a inclinação de uma colina?

  1. Use um mapa para determinar a distância entre o topo e a base da colina como o corvo voa.
  2. Usando o mesmo mapa, ou GPS, encontre a altitude entre o topo e a base da colina. Certifique-se de que os pontos a partir dos quais você mede são os mesmos da etapa 1.
  3. Converta ambas as medidas nas mesmas unidades. Use o Omni Length Converter se não tiver certeza.
  4. Divida a diferença de altitude pela distância entre os dois pontos.
  5. Este número é o gradiente da colina se aumentar linearmente. Caso contrário, repita as etapas, mas onde houver uma mudança perceptível na inclinação.

Como você calcula o comprimento de uma inclinação?

  1. Meça a diferença entre o topo e a base da encosta em relação aos eixos xey.
  2. Se você só pode medir a mudança em x, multiplique esse valor pelo gradiente para encontrar a mudança no eixo y.
  3. Certifique-se de que as unidades para ambos os valores sejam iguais.
  4. Use o teorema de Pitágoras & # x2019 para encontrar o comprimento da inclinação. Ao quadrado tanto a mudança em x quanto a mudança em y.
  5. Adicione os dois valores juntos.
  6. Encontre a raiz quadrada da soma.
  7. Este novo valor é o comprimento da inclinação.

O que é uma inclinação de 1 em 20?

Uma inclinação de 1/20 é aquela que aumenta em 1 unidade para cada 20 unidades atravessadas horizontalmente. Assim, por exemplo, uma rampa com 200 pés de comprimento e 10 pés de altura teria uma inclinação de 1/20. Uma inclinação de 1/20 é equivalente a um gradiente de 1/20 (estranhamente) e forma um ângulo de 2,86 & # xB0 entre si e o eixo x.

Como você encontra a inclinação de uma curva?

Conforme a inclinação de uma curva muda em cada ponto, você pode encontre a inclinação de uma curva diferenciando a equação em relação a x e, na equação resultante, substituindo x pelo ponto em que você & # x2019deseja encontrar o gradiente.

A taxa de variação é igual à inclinação?

A taxa de variação de um gráfico também é sua inclinação, que também são iguais ao gradiente. A taxa de mudança pode ser encontrada dividindo a mudança na direção y (vertical) pela mudança na direção x (horizontal), se ambos os números estiverem nas mesmas unidades, é claro. A taxa de mudança é particularmente útil se você deseja prever o futuro do valor anterior de algo, pois, ao alterar a variável x, o valor y correspondente estará presente (e vice-versa).

Onde você usa inclinação na vida cotidiana?

Encostas (ou gradientes) têm uma série de utilizações na vida cotidiana. Existem alguns exemplos físicos óbvios - cada colina tem uma inclinação e quanto mais íngreme a colina, maior será o gradiente. Isso pode ser útil se você estiver olhando um mapa e quiser encontrar a melhor colina para descer de bicicleta. Você provavelmente também dorme sob uma encosta, um telhado que é. A inclinação de um telhado mudará dependendo do estilo e de onde você mora. Mas mais importante, se você quiser saber como algo muda com o tempo, você vai acabar traçando um gráfico com uma inclinação.

O que é uma inclinação de 10%?

Uma inclinação de 10% é aquela que aumenta em 1 unidade para cada 10 unidades viajadas horizontalmente (10%). Por exemplo, um telhado com uma inclinação de 10% e 20 m de largura terá 2 m de altura. Isso é o mesmo que um gradiente de 1/10, e um ângulo de 5,71 & # xB0 é formado entre a linha e o eixo x.

Como você encontra a área sob uma encosta?

Para encontre a área sob uma inclinação que você precisa para integrar a equação e subtraia o limite inferior da área do limite superior. Para equações lineares:

  1. Coloque a equação na forma y = mx + c.
  2. Escreva uma nova linha em que adiciona 1 à ordem de x (por exemplo, x torna-se x ^ 2, x ^ 2,5 torna-se x ^ 3,5).
  3. Divida m pelo novo número da ordem e coloque-o na frente do novo x.
  4. Multiplique c por x e adicione isso à nova linha.
  5. Resolva esta nova linha duas vezes, uma em que x é o limite superior da área que você deseja encontrar e outra em que x é o limite inferior.
  6. Subtraia o limite inferior do limite superior.
  7. Parabenize-se por sua conquista.

Em que grau é uma inclinação de 5 para 1?

Uma inclinação de 5 para 1 é aquela que, para cada aumento de 5 unidades horizontalmente, aumenta em 1 unidade. O número de graus entre uma inclinação de 5 a 1 e o eixo x é 11,3 & # xB0. Isso pode ser encontrado calculando primeiro a inclinação, dividindo a mudança na direção y pela mudança na direção x, e então encontrando a tangente inversa da inclinação.


Comentários (2)

Comentário nº 1812 por OS em 30 de janeiro de 2016 às 19:59

Em etiqueta Eu acho que não deveria ser, mas. Existem vários outros locais abaixo onde a mesma mudança seria necessária.

Comentário # 1830 por Johan em 04 de fevereiro de 2016 às 20:32

Hum. não! A questão é que nós sempre quero que nossas categorias estejam divididas em grupóides para estarem na categoria de esquemas terminados. O que você está dizendo é realmente discutido no Lema 76.19.2.


O projeto Stacks

Seja $ i: Z a X $ uma imersão fechada. Vamos $ mathcal subset mathcal_ X $ seja o correspondente feixe quase coerente de ideais. Considere o feixe quase coerente de $ mathcal graduado_ X $ -álgebras $ bigoplus _ mathcal^ n / mathcal^$. Já que as polias $ mathcal^ n / mathcal^$ são aniquilados por $ mathcal$ esta álgebra graduada corresponde a um feixe quase coerente de $ mathcal graduada_ Z $ -álgebras por Morphisms, Lemma 29.4.1. Este quase coerente classificou $ mathcal_ Z $ -álgebra é chamada de álgebra conormal de $ Z $ em $ X $ e geralmente é simplesmente denotado como $ bigoplus _ mathcal^ n / mathcal^$ pelo abuso de notação mencionado em Morfismos, Seção 29.4.

Seja $ f: Z a X $ uma imersão. Definimos a álgebra conormal de $ f $ como o feixe conormal da imersão fechada $ i: Z a X setminus partial Z $, onde $ partial Z = overline setminus Z $. Geralmente é denotado como $ bigoplus _ mathcal^ n / mathcal^$ where $ mathcal$ é o feixe ideal da imersão fechada $ i: Z a X setminus partial Z $.

Definição 31.19.1. Seja $ f: Z a X $ uma imersão. O álgebra conormal $ mathcal_$ de $ Z $ em $ X $ ou o álgebra conormal de $ f $ é o feixe quase coerente de $ mathcal graduado_ Z $ -algebras $ bigoplus _ mathcal^ n / mathcal^$ descrito acima.

Portanto, $ mathcal_ = mathcal_$ é o feixe conormal da imersão. Também $ mathcal_ = mathcal_ Z $ e $ mathcal_$ é um $ mathcal quase coerente_ Z $ -módulo caracterizado pela propriedade

onde $ i: Z para X setminus partial Z $ e $ mathcal$ é o feixe ideal de $ i $ como acima. Por fim, observe que há um mapa sobrejetivo canônico

de quase coerente classificado em $ mathcal_ Z $ -álgebras que é um isomorfismo em graus $ e $ 1 $.

Lema 31.19.2. Seja $ i: Z a X $ uma imersão. A álgebra conormal de $ i $ tem as seguintes propriedades:

Seja $ U subset X $ qualquer aberto tal que $ i (Z) $ seja um subconjunto fechado de $ U $. Vamos $ mathcal subset mathcal_ U $ seja o feixe de ideais correspondentes ao subesquema fechado $ i (Z) subconjunto U $. Então

Para qualquer afinidade, abra $ mathop < mathrm> (R) = U subconjunto X $ tal que $ Z cap U = mathop < mathrm> (R / I) $ há um isomorfismo canônico $ Gamma (Z cap U, mathcal_) = bigoplus _ I ^ n / I ^$.

Prova. Principalmente claro a partir das definições. Observe que dado um anel $ R $ e um $ I $ ideal de $ R $ temos $ I ^ n / I ^ = I ^ n otimes _ R R / I $. Detalhes omitidos. $ square $

ser um diagrama comutativo na categoria de esquemas. Suponha $ i $, $ i '$ imersões. Existe um mapa canônico de $ mathcal graduado_ Z $ -álgebras

caracterizado pela seguinte propriedade: Para cada par de afins abre $ ( mathop < mathrm> (R) = U subconjunto X, mathop < mathrm> (R ') = U' subconjunto X ') $ com $ f (U) subconjunto U' $ tal que $ Z cap U = mathop < mathrm> (R / I) $ e $ Z ' cap U' = mathop < mathrm> (R '/ I') $ o mapa induzido

é aquele induzido pelo mapa de anéis $ f ^ sharp: R ' a R $ que possui a propriedade $ f ^ sharp (I') subconjunto I $.

Prova. Seja $ parcial Z '= overline setminus Z '$ e $ partial Z = overline setminus Z $. Esses são subconjuntos fechados de $ X '$ e de $ X $. Substituindo $ X '$ por $ X' setminus parcial Z '$ e $ X $ por $ X setminus big (g ^ <-1> ( parcial Z') xícara parcial Z grande) $ nós veja que podemos assumir que $ i $ e $ i '$ são imersões fechadas.

O fato de que $ g circ i $ fatores através de $ i '$ implica que $ g ^ * mathcal'$ mapeia em $ mathcal$ sob o mapa canônico $ g ^ * mathcal' to mathcal_ X $, consulte Esquemas, Lemas 26.4.6 e 26.4.7. Portanto, obtemos um mapa induzido de feixes quase coerentes $ g ^ * (( mathcal') ^ n / ( mathcal')^) to mathcal^ n / mathcal^$. Puxar $ i $ para trás resulta em $ i ^ * g ^ * (( mathcal') ^ n / ( mathcal')^) para i ^ * ( mathcal^ n / mathcal^) $. Observe que $ i ^ * ( mathcal^ n / mathcal^) = mathcal_$. Por outro lado, $ i ^ * g ^ * (( mathcal') ^ n / ( mathcal')^) = f ^ * (i ') ^ * (( mathcal') ^ n / ( mathcal')^) = f ^ * mathcal_$. Isso dá o mapa desejado.

Verificar se o mapa é descrito localmente como o mapa fornecido $ (I ') ^ n / (I') ^ para I ^ n / I ^$ é uma questão de desenrolar as definições e é omitido. Outra observação é que dado qualquer $ x in i (Z) $ existem vizinhanças abertas afins $ U $, $ U '$ com $ f (U) subset U' $ e $ Z cap U $, bem como $ U ' cap Z' $ fechou de forma que $ x em U $. Prova omitida. Conseqüentemente, o requisito do lema de fato caracteriza o mapa (e poderia ter sido usado para defini-lo). $ square $

ser um diagrama de produto de fibra na categoria de esquemas com $ i $, $ i '$ imersões. Então o mapa canônico $ f ^ * mathcal_ to mathcal_$ do Lema 31.19.3 é sobrejetivo. Se $ g $ for plano, então é um isomorfismo.

Prova. Seja $ R ' to R $ um mapa de anéis, e $ I' subconjunto R '$ um ideal. Defina $ I = I'R $. Então $ (I ') ^ n / (I') ^ otimes _ R para I ^ n / I ^$ é sobrejetiva. Se $ R ' a R $ é plano, então $ I ^ n = (I') ^ n otimes _ R $ e vemos que o mapa é um isomorfismo. $ square $

Definição 31.19.5. Seja $ i: Z a X $ uma imersão de esquemas. O cone normal $ C_ ZX $ de $ Z $ em $ X $ é

consulte Construções, Definições 27.7.1 e 27.7.2. O pacote normal de $ Z $ em $ X $ é o pacote vetorial

consulte Construções, Definições 27.6.1 e 27.6.2.

Assim $ C_ ZX a Z $ é um cone acima de $ Z $ e $ N_ ZX a Z $ é um pacote vetorial acima de $ Z $ (lembre-se que em nossa terminologia isso não implica que o feixe conormal seja um feixe finito localmente livre feixe). Além disso, a sobreposição canônica (31.19.1.2) de álgebras graduadas define uma imersão fechada canônica


Assista o vídeo: Lesson 18 - Shapes. Kształty (Outubro 2021).