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Identidades trigonométricas - matemática


Identidades Pitagóricas

( cos ^ 2 x + sin ^ 2 x = 1 )

( sec ^ 2 x - tan ^ 2 x = 1 )

Identidades de ângulo duplo

( sin 2x = 2 sin x cos x )

( cos 2x = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x = 1 - 2 sin ^ 2 x = 2 cos ^ 2 x - 1 )

Identidades de meio-ângulo

( cos ^ 2 x = dfrac {1+ cos 2x} {2} )

( sin ^ 2 x = dfrac {1- cos 2x} {2} )

Soma angular e identidades de diferença

( sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) )

( sin (α - β) = sin (α) cos (β) - cos (α) sin (β) )

( cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) )

( cos (α - β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) )


Identidades trigonométricas

Na matemática, Identidades trigonométricas são igualdades que têm uma função trigonométrica e são verdadeiras para todos os valores das variáveis ​​ocorrentes onde ambos os lados da igualdade são definidos. Geometricamente, são identidades com funções específicas de um ou mais ângulos. Eles são um tanto semelhantes às identidades de triângulo, que são identidades potencialmente tendo ângulos, mas também tendo comprimentos laterais ou outros comprimentos de um triângulo.

Em matemática, um & # 8220identidade & # 8221 é uma equação sempre verdadeira. Estes podem ser trivialmente corretos, pois & # 8220x = x & # 8221 ou utilmente verdadeiro, como o Teorema de Pitágoras & # 8217s & # 8220a² + b² = c² & # 8221 para triângulos retângulos. Essas identidades desempenham um papel vital na simplificação de uma expansão que possui uma identidade trignométrica. Existem tantas identidades trigonométricas, mas as que mencionamos abaixo são as que você mais vê.

  1. cosec (x) = 1 / sin (x)
  2. sec (x) = 1 / cos (x)
  3. cos (x) = 1 / s (x)
  4. cot (x) = 1 / tan (x) = cos (x) / sin (x)
  5. sin (x) = 1 / csc (x)
  6. tan (x) = 1 / cot (x)

Deve-se ter em mente que seno e tangente são funções ímpares, sendo simétricas em relação à origem, enquanto cosseno é uma função par, sendo simétricas em relação ao eixo y.

Existem algumas identidades adicionais relacionadas ao status funcional das razões trigonométricas.

  1. sin (–t) = –sin (t)
  2. cos (–t) = cos (t)
  3. tan (–t) = –tan (t)

As identidades que mencionamos abaixo são conhecidas & # 8220 Identidades pitagóricas & # 8221.


`tan theta = (sen theta) / (cos theta)`

`sin ^ 2 teta + cos ^ 2 teta = 1`

`tan ^ 2 teta + 1 = seg ^ 2 teta`

`1 + berço ^ 2 teta = csc ^ 2 teta`

  1. Aprenda bem as fórmulas fornecidas acima (ou pelo menos, saiba como encontrá-las rapidamente). Quanto melhor você conhecer as identidades básicas, mais fácil será reconhecer o que está acontecendo nos problemas.
  2. Trabalhe no mais complexo lado e simplifique-o para que tenha a mesma forma que o lado mais simples.
  3. Não presumir a identidade para provar a identidade. Isso significa que não trabalhe em ambos os lados do lado igual e tente se encontrar no meio. Comece de um lado e faça com que pareça do outro lado.
  4. Muitos deles saem facilmente se você expressar tudo no lado mais complexo em termos de seno e cosseno só.
  5. Na maioria dos exemplos em que você vê o poder 2 (ou seja, 2), isso envolverá o uso da identidade pecado 2 & theta + cos 2 & theta = 1 (ou uma das outras 2 fórmulas que derivamos acima).

Usando essas sugestões, você pode simplificar e provar expressões que envolvem identidades trigonométricas.

Exemplo 1

Expressamos tudo em termos de `sin y` e` cos y` e depois simplificamos.

(& quotLHS & quot significa & quot lado esquerdo & quot da equação e & quotRHS & quot significa & quot lado direito & quot.)


CBSE Classe 10 Matemática Capítulo 1 Identidades trigonométricas

A trigonometria é um dos ramos mais importantes da história da matemática e é postulada por um matemático grego, Hiparco. O termo & # x2018Trigon & # x2019 em trigonometria significa triângulo e & # x2018metria & # x2019 significa medição. A trigonometria é, portanto, o estudo de triângulos.

As identidades trigonométricas podem ser descobertas considerando um triângulo retângulo. Usando identidades trigonométricas, podemos expressar cada razão trigonométrica em termos de outras razões trigonométricas. Se os valores dessas proporções são conhecidos por nós, então podemos encontrar os valores de outras proporções trigonométricas.

Funções trigonométricas importantes

As seis funções trigonométricas importantes para um triângulo retângulo são calculadas usando as fórmulas. Os princípios básicos da trigonometria têm três funções principais, a saber, seno, cosseno e tangente.

Razões trigonométricas (razões T)

Tomemos um triângulo retângulo ABC que tem & # x2220BAC = & # x3B8. As relações trigonométricas para o ângulo & # x3B8 são as seguintes:

Abreviação

Relação com os lados de um triângulo retângulo

Lado oposto a & # x3B8 / Hypotenuse

Lado oposto a & # x3B8 / Lado adjacente a & # x3B8

Lado adjacente a & # x3B8 / Hypotenuse

Hipotenusa / lado oposto a & # x3B8

Hipotenusa / lado adjacente a & # x3B8

Lado adjacente a & # x3B8 / Lado oposto a & # x3B8

Identidades trigonométricas

Existem basicamente três identidades trigonométricas no capítulo de trigonometria. Eles estão:

Abaixo está um exemplo de um & # x394ABC em ângulo reto, com o qual você pode provar essas identidades.

Prova de identidades trigonométricas

Em um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras,

(Perpendicular) 2 + (Base) 2 = (Hipotenusa) 2

Dividindo a equação (1) por AC 2, obtemos,

BC 2 / AC 2 + AB 2 / AC 2 = AC 2 / AC 2

Para todos os ângulos em que 0 & # xB0 & # x2264 & # x3B8 & # x2264 90 & # xB0, (2) a equação é satisfeita. Portanto, a equação (2) é uma identidade trigonométrica.

Novamente, divida a equação (1) por AB 2, obtemos

BC 2 / AB 2 + AB 2 / AB 2 + = AC 2 / AB 2

Como os valores de ambos os lados são iguais. Portanto, também é uma identidade trigonométrica.

Agora, se dividirmos a equação (1) por BC 2, obtemos,

AB 2 / BC 2 + BC 2 / BC 2 = AC 2 / BC 2

Agora, vamos provar essa identidade também.

Se & # x3B8 = 0, então a equação no. (4) pode ser escrito como,

E se & # x3B8 = 90, então a equação no. (4) pode ser escrito como,

Assim, comprovou-se que a equação nº. (4) é uma identidade trigonométrica.

Tabela de proporções de trigonometria

Os ângulos das relações trigonométricas são 0 & # xB0, 30 & # xB0, 45 & # xB0, 60 & # xB0 e 90 & # xB0. Esses valores de razões trigonométricas de ângulos são muito importantes para resolver problemas trigonométricos. Portanto, é necessário lembrar esses valores.

Aplicações da trigonometria

  • Uma das aplicações importantes da trigonometria é no cálculo de altura e distância, como a altura da montanha, encontrando a distância de longos rios, etc.
  • A trigonometria tem aplicações em diversos campos como oceanografia, sismologia, meteorologia, ciências físicas, astronomia, navegação, eletrônica, etc.
  • Alguns dos outros setores onde os conceitos de trigonometria são usados ​​são o departamento de aviação, criminologia, biologia marinha, etc.

Exemplos de perguntas

Pergunta:- Em um triângulo retângulo ABC, que é retângulo em B, temos AB = 12 e BC = 5. Em seguida, encontre sen A e tan A, cos C e cot C

Quando consideramos as relações t de & # x2220A, temos

sinA = Perpendicular / Hipotenusa = 5/13

tanA = Perpendicular / Base = 5/12

Quando consideramos as relações t de & # x2220C, temos

cosC = Base / Hipotenusa = 5/13

cotC = Base / Perpendicular = 5/12

Pergunta: - & # xA0 & # xA0O que você quer dizer com trigonometria?

Resp. A trigonometria em matemática lida com a relação entre os lados de um triângulo com seus ângulos. Existem 6 funções trigonométricas que ajudam a encontrar a relação entre os lados e os ângulos.

Pergunta: - & # xA0Qual é a função primária da trigonometria?

Resp. A trigonometria ajuda a encontrar os ângulos e os lados ausentes de um triângulo com a ajuda de razões trigonométricas.

As 3 funções principais da trigonometria são Seno, Cosseno e Função Tangente.

Pergunta: - & # xA0Quais são as seis funções trigonométricas básicas?


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Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas e são verdadeiras para cada valor único das variáveis ​​ocorrentes. A seguir estão as identidades trigonométricas básicas e são verdadeiras para todos os anjos, exceto aqueles para os quais um dos lados da equação é indefinido:

As seguintes identidades trigonométricas são chamadas de fórmulas de soma e diferença de ângulos

$ cos ( alpha + beta) = cos : alpha : cos : beta - sin : alpha : sin : beta $

$ cos ( alpha- beta) = cos : alpha : cos : beta + sin : alpha : sin : beta $

$ sin ( alpha + beta) = sin : alpha : cos : beta + cos : alpha : sin : beta $

$ sin ( alpha - beta) = sin : alpha : cos : beta - cos : alpha : sin : beta $

As seguintes identidades trigonométricas são chamadas de fórmulas de ângulo duplo

$ sin : 2 Theta = 2sin Theta cos Theta cos : 2 Theta = cos ^ <2> Theta -sin ^ <2> Theta cos : 2 Theta = 1 -2sin ^ <2> Theta cos : 2 Theta = 2cos ^ <2> Theta -1 $

As seguintes identidades trigonométricas são chamadas de fórmulas de meio-ângulo


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Funções trigonométricas são funções periódicas

Uma função periódica é uma função, f, em que algum valor positivo, p, existe de modo que

para todo x no domínio de f, p é o menor número positivo para o qual f é periódico e é referido como o período de f.

Todas as 6 funções trigonométricas são funções periódicas. Não importa em que ponto comecemos no círculo unitário, se viajarmos uma distância de 2 & pi (360 & deg) ao longo do círculo unitário a partir desse ponto, chegaremos de volta ao nosso ponto de partida, o que indica que a função trigonométrica tem o mesmo valor em o ângulo. Isso significa que as funções trigonométricas repetem seus valores.

As funções seno, cosseno, cossecante e secante têm um período de 2 & pi. As funções tangente e cotangente têm um período de & pi.


Assista o vídeo: Identidades Trigonométricas. Introducción (Outubro 2021).