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12.1: De sistemas lineares a equações matriciais - Matemática


Começamos esta seção revisando a definição e a notação de matrizes. Este ponto de vista tem uma longa história de exploração, e vários dispositivos computacionais - incluindo várias linguagens de programação de computador - foram desenvolvidos e otimizados especificamente para analisar equações matriciais.

Sejam (m, n in mathbb {Z} _ {+} ) números inteiros positivos e, como de costume, ( mathbb {F} ) denotam ( mathbb {R} ) ou ( mathbb {C} ). Então começamos definindo um (m vezes n ) matriz (A ) para ser uma matriz retangular de números

[A = (a_ {ij}) _ {i, j = 1} ^ {m, n} = (A ^ {(i, j)}) _ {i, j = 1} ^ {m, n} = ,
deixou.
begin {bmatrix}
a_ {1 1} & cdots & a_ {1 n}
vdots & ddots & vdots
a_ {m 1} & cdots & a_ {m n}
end {bmatrix}
certo}
m mbox {números}
hspace {-5,675cm}
underbrace {
fantasma{
begin {bmatrix}
a & a & a & a_ {a_ {a}}
a & a & a
a & a & a
a & a & a
end {bmatrix}
}
} _ { estilo de texto n mbox {números}}
]

onde cada elemento (a_ {i j} in mathbb {F} ) na matriz é chamado de entrada de (A ) (especificamente, (a_ {i j} ) é chamado de `` (i, j ) entrada ''). Dizemos que (i ) indexa o filas de (A ), uma vez que varia ao longo do conjunto ( {1, ldots, m } ) e que (j ) indexa o colunas de (A ) uma vez que varia ao longo do conjunto ( {1, ldots, n } ). Também dizemos que a matriz (A ) tem Tamanho (m vezes n ) e observe que é uma sequência (finita) de números duplamente subscritos para os quais os dois subscritos de forma alguma dependem um do outro.

Definição A.1.1. Dados inteiros positivos (m, n in mathbb {Z} _ {+} ), usamos ( mathbb {F} ^ {m times n} ) para denotar o conjunto de todos (m vezes n ) matrizes com entradas sobre ( mathbb {F}. )

Exemplo A.1.2. A matriz (A = begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 -1 & 3 & i end {bmatrix} in mathbb {C} ^ {2 times 3} ), mas (A notin mathbb {R} ^ {2 times 3} ) visto que a entrada " (2,3 )" 'de (A ) não está em ( mathbb {R}. )

Dada a onipresença das matrizes na matemática abstrata e aplicada, um rico vocabulário foi desenvolvido para descrever várias propriedades e características das matrizes. Além disso, há também um rico conjunto de notações equivalentes. Para os fins dessas notas, usaremos a notação acima, a menos que o tamanho da matriz seja entendido a partir do contexto ou não seja importante. Neste caso, deixaremos de lado muito dessa notação e denotaremos uma matriz simplesmente como

[A = (a_ {i j}) mbox {ou} A = (a_ {i j}) _ {m vezes n}. ]

Para ter uma noção do vocabulário essencial, suponha que temos uma matriz (m vezes n ) (A = (a_ {i j}) ) com (m = n ). Então chamamos (A ) a quadrado matriz. Os elementos (a_ {1 1}, a_ {2 2}, ldots, a_ {n n} ) em uma matriz quadrada formam o diagonal principal de (A ), e os elementos (a_ {1 n}, a_ {2, n-1}, ldots, a_ {n 1} ) formam o que às vezes é chamado de enviesar diagonal principal de (A ). As entradas que não estão na diagonal principal também são frequentemente chamadas fora da diagonal entradas, e uma matriz cujas entradas fora da diagonal são todas zero é chamada de matriz diagonal. É comum chamar (a_ {1 2}, a_ {2 3}, ldots, a_ {n-1, n} ) o superdiagonal de (A ) e (a_ {2 1}, a_ {3 2}, ldots, a_ {n, n-1} ) o subdiagonal de (A ). A motivação para esta terminologia deve ser clara se você criar uma matriz quadrada de amostra e rastrear as entradas dentro dessas subsequências particulares da matriz.

As matrizes quadradas são importantes porque são fundamentais para as aplicações da Álgebra Linear. Em particular, virtualmente todo uso de Álgebra Linear envolve matrizes quadradas diretamente ou as emprega de alguma maneira indireta. Além disso, praticamente todo uso também envolve a noção de vetor, onde aqui queremos dizer uma matriz (m vezes 1 ) (a.k.a. ~ a vetor coluna) ou uma matriz (1 vezes n ) (a.k.a. a vetor linha).

Exemplo A.1.3. Suponha que (A = (a_ {ij}) ), (B = (b_ {ij}) ), (C = (c_ {ij}) ), (D = (d_ {ij} ) ), e (E = (e_ {ij}) ) são as seguintes matrizes sobre ( mathbb {F} ):

[A = left [
begin {array} {r}
3 \
-1 \
1
end {array}
direita] hspace {-. 1cm}, hspace {.1cm}
B =
deixou[
begin {array} {rr}
4 & -1 \
0 & 2
end {array}
direita] hspace {-. 1cm}, hspace {.1cm}
C =
deixou[
begin {array} {rrr}
1, & 4, & 2
end {array}
direita] hspace {-. 1cm}, hspace {.1cm}
D =
deixou[
begin {array} {rrr}
1 & 5 & 2 \
-1 & 0 & 1 \
3 & 2 & 4
end {array}
direita] hspace {-. 1cm}, hspace {.1cm}
E =
deixou[
begin {array} {rrr}
6 & 1 & 3 \
-1 & 1 & 2 \
4 & 1 & 3
end {array}
right] hspace {-. 1cm}.
]

Então dizemos que (A ) é uma matriz (3 vezes 1 ) (também conhecida como ~ um vetor coluna), (B ) é uma matriz quadrada (2 vezes 2 ), (C ) é uma matriz (1 vezes 3 ) (também conhecida como vetor linha), e ambas as matrizes (D ) e (E ) são quadradas (3 vezes 3 ). Além disso, apenas (B ) é uma matriz triangular superior (conforme definido abaixo), e nenhuma das matrizes neste exemplo são matrizes diagonais.

Podemos discutir entradas individuais em cada matriz. Por exemplo.,

  1. a linha (2 ^ { text {th}} ) de (D ) é (d_ {2 1} = -1 ), (d_ {2 2} = 0 ), e ( d_ {2 3} = 1 ).
  2. a diagonal principal de (D ) é a sequência (d_ {1 1} = 1, d_ {2 2} = 0, d_ {3 3} = 4 ).
  3. a diagonal principal de inclinação de (D ) é a sequência (d_ {1 3} = 2, d_ {2 2} = 0, d_ {3 1} = 3 ).
  4. as entradas fora da diagonal de (D ) são (por linha) (d_ {1 2} ), (d_ {1 3} ), (d_ {2 1} ), (d_ { 2 3} ), (d_ {3 1} ) e (d_ {3 2} ).
  5. a coluna (2 ^ { text {th}} ) de (E ) é (e_ {1 2} = e_ {2 2} = e_ {3 2} = 1 ).
  6. o superdiagonal de (E ) é a sequência (e_ {1 2} = 1, e_ {2 3} = 2 ).
  7. a subdiagonal de (E ) é a sequência (e_ {2 1} = -1, e_ {3 2} = 1 ).

Uma matriz quadrada (A = (a_ {i j}) in mathbb {F} ^ {n vezes n} ) é chamada triangular superior (resp. triangular inferior) if (a_ {ij} = 0 ) para cada par de inteiros (i, j in {1, ldots, n } ) tal que (i> j ) (resp. ( i

[
begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & a_ {1 3} & cdots & a_ {1 n}
0 & a_ {2 2} & a_ {2 3} & cdots & a_ {2 n}
0 & 0 & a_ {3 3} & cdots & a_ {3 n}
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & a_ {n n}
end {bmatrix}

text {ou}

begin {bmatrix}
a_ {1 1} & 0 & 0 & cdots & 0
a_ {2 1} & a_ {2 2} & 0 & cdots & 0
a_ {3 1} & a_ {3 2} & a_ {3 3} & cdots & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
a_ {n 1} & a_ {n 2} & a_ {n 3} & cdots & a_ {n n}
end {bmatrix}.
]

Observe que uma matriz diagonal é simultaneamente uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior.

Dois exemplos particularmente importantes de matrizes diagonais são definidos como segue: Dado qualquer número inteiro positivo (n in mathbb {Z} _ {+} ), podemos construir o matriz de identidade (I_ {n} ) e o matriz zero (0_ {n vezes n} ) pela configuração

[
I_ {n} =
begin {bmatrix}
1 e 0 e 0 & cdots e 0 e 0
0 e 1 e 0 & cdots e 0 e 0
0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 e 0 e 0 & cdots e 1 e 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1
end {bmatrix}
mbox {e}
0_ {n vezes n} =
begin {bmatrix}
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
end {bmatrix},
]

onde cada uma dessas matrizes é entendida como uma matriz quadrada de tamanho (n vezes n ). A matriz zero (0_ {m vezes n} ) é definida de forma análoga para qualquer (m, n in mathbb {Z} _ {+} ) e tem tamanho (m vezes n ). Ou seja,

[
0_ {m vezes n} =
deixou.
begin {bmatrix}
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
end {bmatrix}
certo}
m mbox {linhas}
hspace {-5,675cm}
underbrace {
fantasma{
begin {bmatrix}
a & a & a & a_ {a_ {a}} & a_ {a}
a & a & a
a & a & a
a & a & a
a & a & a
a & a & a
a & a & a
end {bmatrix}
}
} _ { textstyle n mbox {colunas}}
]

Sejam (m, n in mathbb {Z} _ {+} ) números inteiros positivos. Então uma sistema de (m ) equações lineares em (n ) desconhecidos (x_ {1}, ldots, x_ {n} ) parece

begin {equation}
label {eqn: GenericLinearSystem}
deixou.
begin {alinhado}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} + a_ {1 3} x_ {3} + cdots + a_ {1 n} x_ {n} & = b_ {1}
a_ {2 1} x_ {1} + a_ {2 2} x_ {2} + a_ {2 3} x_ {3} + cdots + a_ {2 n} x_ {n} & = b_ {2}
a_ {3 1} x_ {1} + a_ {3 2} x_ {2} + a_ {3 3} x_ {3} + cdots + a_ {3 n} x_ {n} & = b_ {3}
& , vdots
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} + a_ {m 3} x_ {3} + cdots + a_ {m n} x_ {n} & = b_ {m}
end {alinhado}
right }, tag {A.1.1}
end {equação}

onde cada (a_ {ij}, b_ {i} in mathbb {F} ) é um escalar para (i = 1, 2, ldots, m ) e (j = 1, 2, ldots, n ). Em outras palavras, cada escalar (b_ {1}, ldots, b_ {m} in mathbb {F} ) está sendo escrito como uma combinação linear das incógnitas (x_ {1}, ldots, x_ {n} ) usando coeficientes do campo ( mathbb {F} ). Para resolver Sistema (A.1.1) significa descrever o conjunto de todos os valores possíveis para (x_ {1}, ldots, x_ {n} ) (quando pensado como escalares em ( mathbb {F} )), tais que cada uma das equações (m ) no Sistema (A.1.1) seja satisfeita simultaneamente.

Em vez de lidar diretamente com um determinado sistema linear, geralmente é conveniente codificar primeiro o sistema usando uma notação menos complicada. Especificamente, o Sistema (A.1.1) pode ser resumido usando exatamente três matrizes. Primeiro, coletamos os coeficientes de cada equação na matriz (m vezes n ) (A = (a_ {ij}) in mathbb {F} ^ {m vezes n} ), que chamamos a matriz de coeficiente para o sistema linear. Da mesma forma, montamos as incógnitas (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n} ) em um vetor de coluna (n vezes 1 ) (x = (x_ {i}) em mathbb {F} ^ {n} ), e os lados direitos (b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {m} ) da equação são usados ​​para formar um ( m vezes 1 ) vetor coluna (b = (b_ {i}) in mathbb {F} ^ {m} ). Em outras palavras,

[
A =
begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & cdots & a_ {1 n}
a_ {2 1} & a_ {2 2} & cdots & a_ {2 n}
vdots & vdots & ddots & vdots
a_ {m 1} & a_ {m 2} & cdots & a_ {m n}
end {bmatrix},
x =
begin {bmatrix}
x_ {1}
x_ {2}
vdots
x_ {n}
end {bmatrix},
text {e}
b =
begin {bmatrix}
b_ {1}
b_ {2}
vdots
b_ {m}
end {bmatrix}.
]

Então, o lado esquerdo da equação (i ^ { text {th}} ) no Sistema (A.1.1) pode ser recuperado tomando o produto escalar (a.k.a. Produto interno euclidiano) de (x ) com a linha (i ^ { text {th}} ) em (A ):

[
begin {bmatrix}
a_ {i 1} & a_ {i 2} & cdots & a_ {i n}
end {bmatrix}
cdot x
=
sum_ {j = 1} ^ {n} a_ {i j} x_ {j}
=
a_ {i 1} x_ {1} + a_ {i 2} x_ {2} + a_ {i 3} x_ {3} + cdots + a_ {i n} x_ {n}.
]

Em geral, podemos estender o produto escalar entre dois vetores para formar o produto de quaisquer duas matrizes (como na Seção A.2.2). Para os fins desta seção, entretanto, é suficiente simplesmente definir o produto da matriz (A in mathbb {F} ^ {m vezes n} ) e o vetor (x in mathbb {F } ^ {n} ) para ser

begin {equation}
label {eqn: MatrixVectorProduct}
Axe =
begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & cdots & a_ {1 n}
a_ {2 1} & a_ {2 2} & cdots & a_ {2 n}
vdots & vdots & ddots & vdots
a_ {m 1} & a_ {m 2} & cdots & a_ {m n}
end {bmatrix}
begin {bmatrix}
x_ {1}
x_ {2}
vdots
x_ {n}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} + cdots + a_ {1 n} x_ {n}
a_ {2 1} x_ {1} + a_ {2 2} x_ {2} + cdots + a_ {2 n} x_ {n}
vdots
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} + cdots + a_ {m n} x_ {n}
end {bmatrix}. tag {A.1.2}
end {equação}

Então, como cada entrada no vetor coluna (m times 1 ) resultante (Ax in mathbb {F} ^ {m} ) corresponde exatamente ao lado esquerdo de cada equação em Sistema (A. 1.1), codificamos efetivamente o Sistema (A.1.1) como o único equação da matriz

begin {equation}
Axe =
begin {bmatrix}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} + cdots + a_ {1 n} x_ {n}
a_ {2 1} x_ {1} + a_ {2 2} x_ {2} + cdots + a_ {2 n} x_ {n}
vdots
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} + cdots + a_ {m n} x_ {n}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
b_ {1}
vdots
b_ {m}
end {bmatrix}
= b. tag {A.1.3}
end {equação}

Exemplo A.1.4. O sistema linear
[
deixou.
begin {array} {rrrrrrrrrrrr}
x_ {1} & + & 6 x_ {2} & ~ & ~ & ~ & + & 4 x_ {5} & - & 2 x_ {6} & = & 14
~ & ~ & ~ & ~ & ~ & x_ {3} & ~ & + & 3 x_ {5} & + & x_ {6} & = & -3
~ & ~ & ~ & ~ & ~ & x_ {4} & + & 5 x_ {5} & + & 2 x_ {6} & = & 11
end {array}
certo}.
]

tem três equações e envolve as seis variáveis ​​ (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {6} ). Pode-se verificar que possíveis soluções para este sistema incluem

[
begin {bmatrix}
x_ {1}
x_ {2}
x_ {3}
x_ {4}
x_ {6}
x_ {6}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
14 \
0 \
-3 \
11 \
0 \
0
end {bmatrix}
text {e}
begin {bmatrix}
x_ {1}
x_ {2}
x_ {3}
x_ {4}
x_ {6}
x_ {6}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
6 \
1 \
-9 \
-5 \
2 \
3
end {bmatrix}.
]

Observe que, ao descrever essas soluções, usamos as seis incógnitas (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {6} ) para formar o vetor coluna (6 vezes 1 ) ( x = (x_ {i}) in mathbb {F} ^ {6} ). Podemos formar de forma semelhante a matriz de coeficientes (A in mathbb {F} ^ {3 times 6} ) e o vetor coluna (3 times 1 ) (b in mathbb {F} ^ { 3} ), onde

[A =
begin {bmatrix}
1 & 6 & 0 & 0 & 4 & -2 \
0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 2
end {bmatrix}
text {e}
begin {bmatrix}
b_ {1}
b_ {2}
b_ {3}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
14 \
-3 \
11
end {bmatrix}.
]

Você deve verificar se, dadas essas matrizes, cada uma das soluções fornecidas acima satisfaz a Equação (A.1.3).

Encerramos esta seção mencionando outras convenções comuns para codificação de sistemas lineares. Especificamente, em vez de tentar resolver a Equação (A.1.1) diretamente, pode-se olhar para o problema equivalente de descrição de todos os coeficientes (x_ {1}, ldots, x_ {n} in mathbb {F} ) para o qual o seguinte equação vetorial é satisfeito:

begin {equation}
label {eqn: GenericVectorSystem}
x_ {1}
begin {bmatrix}
a_ {1 1}
a_ {2 1}
a_ {3 1}
vdots
a_ {m 1}
end {bmatrix}
+ x_ {2}
begin {bmatrix}
a_ {1 2}
a_ {2 2}
a_ {3 2}
vdots
a_ {m 2}
end {bmatrix}
+ x_ {3}
begin {bmatrix}
a_ {1 3}
a_ {2 3}
a_ {3 3}
vdots
a_ {m 3}
end {bmatrix}
+ cdots + x_ {n}
begin {bmatrix}
a_ {1 n}
a_ {2 n}
a_ {3 n}
vdots
a_ {m n}
end {bmatrix}
=
begin {bmatrix}
b_ {1}
b_ {2}
b_ {3}
vdots
b_ {m}
end {bmatrix}. tag {A.1.4}
end {equação}

Esta abordagem enfatiza a análise dos chamados vetores de coluna (A ^ {( cdot, j)} ) (j = 1, ldots, n ) da matriz de coeficientes (A ) na equação da matriz (A x = b ). (Veja na Seção A.2.1 para mais detalhes sobre como a Equação (A.1.4). Por outro lado, também é comum encontrar diretamente a Equação (A.1.4) ao estudar certas questões sobre vetores em ( mathbb {F} ^ { n} ).

É importante notar que o Sistema (A.1.1) difere das Equações (A.1.3) e (A.1.4) apenas em termos de notação. O aspecto comum dessas diferentes representações é que o lado esquerdo de cada equação em Sistema (A.1.1) é uma soma linear. Por causa disso, também é comum reescrever System (A.1.1) usando uma notação mais compacta, como

[
sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {1 k} x_ {k} = b_ {1},
sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {2 k} x_ {k} = b_ {2},
sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {3 k} x_ {k} = b_ {3},
ldots,
sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {m k} x_ {k} = b_ {m}.
]


SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications

Neste artigo, desenvolvemos um novo solucionador super rápido para sistemas Toeplitz de equações lineares. Para resolver os sistemas Toeplitz, muitas pessoas usam métodos de equação de deslocamento. Com estruturas de deslocamento, as matrizes de Toeplitz podem ser transformadas em matrizes do tipo Cauchy usando o FFT ou outras transformações trigonométricas. Essas matrizes do tipo Cauchy têm uma propriedade especial, ou seja, seus blocos fora da diagonal possuem pequenas classificações numéricas. Esta propriedade de baixa classificação desempenha um papel central em nosso solucionador Toeplitz super rápido. Isso nos permite aproximar rapidamente as matrizes do tipo Cauchy por matrizes estruturadas chamadas sequencialmente semi-separável (SSS) matrizes. O trabalho principal das construções dessas formas SSS pode ser feito em pré-computações (independente das entradas da matriz de Toeplitz). Essas representações SSS são compactas devido à propriedade de baixa classificação. Os sistemas SSS do tipo Cauchy podem ser resolvidos em tempo linear com armazenamento linear. Excluindo os pré-computações, as principais operações são a resolução do sistema FFT e SSS, que são ambos muito eficientes. Nosso novo solver Toeplitz é estável na prática. Exemplos numéricos são apresentados para ilustrar a eficiência e a estabilidade prática.


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Matrizes Aumentadas de Sistemas Lineares Consistentes

Portanto, meu livro de equações lineares tem problemas em fazer referência a matrizes aumentadas, mas não consigo encontrar onde ele fala sobre isso. Encontrei alguns exemplos, mas quero saber o que é uma matriz aumentada e por que as seguintes são ou não. A Wikipedia não foi útil. (também, este é meu primeiro dia de aula e nós apenas revisamos o plano de estudos, mas eu quero colocar algumas coisas no meu currículo para que eu possa fazer as perguntas do meu AP na discussão de quarta-feira).

começar1 & amp h & amp 2 - 5 & amp 20 & amp -12 end A matriz acima é a matriz aumentada de um sistema linear consistente se $ h ne4 $

começar1 & amp 4 & amp -2 2 & amp h & amp -4 end A matriz acima é a matriz aumentada de um sistema linear consistente.

começar-8 & amp 24 & amp h 2 & amp -6 & amp 7 end A matriz acima é a matriz aumentada de um sistema linear consistente se $ h ne-28 $

Então, os problemas do livro também não tenho as respostas, mas este se baseia em matrizes aumentadas:

começar1 & amp -3 & amp 7 & amp h 0 & amp 2 & amp -8 & amp g -2 & amp 4 & amp -6 & amp k end Como o quê? Como faço para começar? Posso assumir com segurança que x-3y + 7z = g?


Envolvendo os alunos: Resolvendo sistemas lineares de equações com matrizes

Em minha aula fundamental para futuros professores de matemática do ensino médio, peço aos meus alunos que apresentem ideias para noivando seus alunos com diferentes tópicos do currículo de matemática do ensino médio. Em outras palavras, o objetivo da tarefa não era elaborar um plano de aula completo sobre esse tópico. Em vez disso, pedi a meus alunos que pensassem em três maneiras diferentes de fazer com que seus alunos se interessassem pelo tópico em primeiro lugar.

Pretendo compartilhar algumas das melhores dessas ideias neste blog (depois de pedir permissão aos meus alunos & # 8217, é claro).

Esta apresentação do aluno vem do meu ex-aluno Andrew Sansom. Seu tópico, do Álgebra II: resolução de sistemas lineares de equações com matrizes.

A1. Que problemas interessantes (ou seja, não planejados) com palavras usando este tópico seus alunos podem fazer agora? (Você pode achar que recursos como http://www.spacemath.nasa.gov são muito úteis a esse respeito, sinta-se à vontade para sugerir outros.)

The Square em Downtown Denton é um lugar popular para visitar e sair. O novo proprietário de uma empresa precisa decidir em qual estrada deve colocar um anúncio, para que a maioria das pessoas o veja ao passar por ali. Ele não tem recursos suficientes para trafegar em todos os quarteirões e ruas, mas sabe que pode usar a álgebra para resolver aqueles que perdeu. No mapa acima, ele colocou uma caixa azul que contém a quantidade de pessoas que andaram em cada rua durante uma hora. Use um sistema de equações lineares para determinar a quantidade de tráfego em cada rua / quarteirão neste mapa.

DICA: Lembre-se de que em cada cruzamento, o mesmo número de pessoas precisa entrar e sair a cada hora, então escreva uma equação para cada cruzamento que tenha a soma de pessoas entrando é igual ao número de pessoas saindo.
DICA: Lembre-se de que as mesmas pessoas entram e saem de todo o mapa a cada hora. Escreva uma equação que tenha a soma de cada rua que entra no mapa igual à soma de cada rua que sai do mapa.

1. Construa cada equação, conforme sugerido pelas dicas.

2. Reescreva o sistema de equações lineares simultâneas na forma padrão.

3. Reescreva o sistema como uma matriz aumentada

4. Reduza o sistema para a forma escalonada de linha reduzida (usando uma calculadora)


5. Use esta matriz reduzida para encontrar soluções para cada variável

Isso nos dá um mapa completo:


Obviamente, o proprietário da empresa deve anunciar na Hickory Street entre Elm e Locust St (possivelmente em frente ao Beth Marie's).

B1. Como este tópico pode ser usado nos cursos futuros de seus alunos em matemática ou ciências?

Os sistemas de equações lineares simultâneas aparecem com frequência na maioria dos problemas que envolvem a modelagem de mais de uma coisa por vez. No ensino médio, a capacidade de usar matrizes para resolver tais sistemas (especialmente os grandes) simplesmente muitos problemas que apareceriam em exames de Física AP ou IB. A análise de circuitos (incluindo as leis de Kirchhof e Ohm) frequentemente equivale à criação de grandes sistemas de equações simultâneas semelhantes ao problema de tráfego de rede acima Da mesma forma, existem problemas cinemáticos em que múltiplas forças / torques atuando em um objeto que naturalmente se prestam a grandes sistemas de equações.

Em química, os problemas de mistura podem ser resolvidos usando sistemas de equações. Se mais do que uma substância está sendo misturada, o sistema pode se tornar muito grande para ser resolvido de forma eficiente, exceto por Eliminação Gaussiana e operações de matriz. (DeFreese, n.d.)

No nível universitário, aprender a resolver sistemas usando matrizes prepara o aluno para Álgebra Linear, que é útil em quase todas as aulas de matemática feitas depois disso.

D4. Quais são as contribuições de várias culturas para este tópico?

Equações lineares simultâneas foram apresentadas na China Antiga em um texto chamado Jiuzhang Suanshu ou Nove Capítulos da Arte Matemática para resolver problemas envolvendo pesos e quantidades de grãos. O método prescrito envolve listar os coeficientes dos termos em uma matriz é excepcionalmente semelhante à Eliminação Gaussiana.

Mais tarde, no início da Europa moderna, os métodos de eliminação eram conhecidos, mas não eram ensinados nos livros didáticos até Newton publicar tal texto em inglês em 1720, embora ele não tenha usado matrizes nesse texto. Gauss forneceu uma abordagem ainda mais sistemática para resolver equações lineares simultâneas envolvendo mínimos quadrados em 1794, que foi usado em 1801 para encontrar Ceres quando foi avistado e depois perdido. Durante a vida de Gauss e no século que se seguiu, o método de eliminação de Gauss foi uma forma padrão de resolver grandes sistemas para computadores humanos. Além disso, ao adotar colchetes, "Gauss aliviou os computadores do tédio de ter que reescrever equações e, ao fazer isso, permitiu que considerassem a melhor forma de organizar seu trabalho" (Grcar J. F., 2011).


Representação matricial do sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares é o seguinte.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = b 2 & # x22EF am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = bm

Este sistema pode ser representado como a equação matricial A ⋅ x → = b →, onde UMA é a matriz de coeficientes.

A = (a 11… a 1 n & # x22EE ⋱ & # x22EE a m 1 & # x22EF a m n)

b → é o vetor que contém os lados direitos das equações.

Se a solução não for única, linsolve emite um aviso, escolhe uma solução e a retorna.

Se o sistema não tiver uma solução, linsolve emite um aviso e retorna X com todos os elementos definidos como Inf.

Chamar linsolve para matrizes numéricas que não são objetos simbólicos invoca a função MATLAB & # x00AE linsolve. Esta função aceita apenas argumentos reais. Se o seu sistema de equações usa números complexos, use sym para converter pelo menos uma matriz em uma matriz simbólica e depois chame linsolve.


Subseção 2.3.1 A Equação da Matriz

Nesta seção, apresentamos uma maneira muito concisa de escrever um sistema de equações lineares:

são vetores (geralmente de tamanhos diferentes), então primeiro devemos explicar como multiplicar uma matriz por um vetor.

Observação

Neste livro, nós fazemos não reserve as cartas

para o número de linhas e colunas de uma matriz. Se escrevermos “

Definição

é a combinação linear

Exemplo

para fazer sentido, o número de entradas de

tem que ser igual ao número de colunas de

estamos usando as entradas de

como os coeficientes das colunas de

em uma combinação linear. O vetor resultante tem o mesmo número de entradas que o número de filas do

tem esse número de entradas.

Propriedades do produto vetor-matriz
Definição

UMA equação da matriz é uma equação da forma

é um vetor cujos coeficientes

Neste livro, estudaremos duas questões complementares sobre uma equação matricial

    Dada uma escolha específica de

quais são todas as soluções para

A primeira pergunta é mais parecida com as perguntas com as quais você deve estar acostumado em seus cursos anteriores de álgebra; você tem muita prática para resolver equações como

A segunda pergunta talvez seja um novo conceito para você. O teorema da classificação na Seção 2.9, que é o ponto culminante deste capítulo, nos diz que as duas questões estão intimamente relacionadas.

Equações matriciais e vetoriais

Considere a equação vetorial

Isso é equivalente à equação da matriz

é equivalente à equação vetorial

Exemplo
Quatro maneiras de escrever um sistema linear

Agora temos quatro maneiras equivalentes de escrever (e pensar sobre) um sistema de equações lineares:

Em particular, todos os quatro têm o mesmo conjunto de soluções.

Iremos nos mover livremente entre as quatro maneiras de escrever um sistema linear, repetidamente, pelo resto do livro.

Outra maneira de calcular

A definição acima é uma maneira útil de definir o produto de uma matriz com um vetor quando se trata de entender a relação entre as equações matriciais e as equações vetoriais. Aqui, damos uma definição que se adapta melhor a cálculos manuais.

Definição

UMA vetor linha é uma matriz com uma linha. O produtos de um vetor linha de comprimento


O sistema é chamado de sistema consistente com uma única solução. Para determinar a solução do sistema, usamos a regra de Cramer.

Calculamos $ Delta_> $, o determinante obtido pela substituição da coluna contendo os coeficientes da respectiva variável $ x_ <1> $ pela coluna de termos constantes.
$ Delta_> = begin b_ <1> & a_ <1,2> ​​& a_ <1,3> &. &. & a_ <1, n> b_ <2> & a_ <2,2> & a_ <2,3> &. &. & a_ <2, n> b_ <3> & a_ <3,2> & a_ <3,3> &. &. & a_ <3, n> cdots b_ & uma_ & uma_ &. &. & uma_ fim$

Calculamos $ Delta_> $, o determinante obtido pela substituição da coluna contendo os coeficientes da respectiva variável $ x_ <2> $ pela coluna de termos constantes.
$ Delta_> = begin a_ <1,1> & b_ <1> & a_ <1,3> &. &. & a_ <1, n> a_ <2,1> & b_ <2> & a_ <2,3> &. &. & a_ <2, n> a_ <3,1> & b_ <3> & a_ <3,3> &. &. & a_ <3, n> cdots a_ & b_ & uma_ &. &. & uma_ fim$

Calculamos $ Delta_> $, o determinante obtido pela substituição da coluna contendo os coeficientes da respectiva variável $ x_ <3> $ pela coluna de termos constantes.
$ Delta_> = begin a_ <1,1> & a_ <1,2> ​​& b_ <1> &. &. & a_ <1, n> a_ <2,1> & a_ <2,2> & b_ <2> &. &. & a_ <2, n> a_ <3,1> & a_ <3,2> & b_ <3> &. &. & a_ <3, n> cdots a_ & uma_ & uma_ &. &. & uma_ fim$

Continuamos fazendo isso para as outras variáveis ​​até a última e depois anotamos a solução do sistema.
$ x_= dfrac < Delta_<>>> < Delta> $

Exemplo 53
$ begin 2 cdot x + 3 cdot y -5 cdot z = color<-7> -3 cdot x + 2 cdot y + z = color<-9> 4 cdot x - y + 2 cdot z = color <17> end$

A matriz associada ao sistema é
$ begin 2 & 3 & -5 -3 & 2 & 1 4 & -1 & 2 end$

Calculamos o determinante da matriz e obtemos $ Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $
Calculamos $ Delta_= begin cor <-7> & 3 & -5 color <-9> & 2 & 1 color <17> & -1 e 2 fim= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$

Calculamos $ Delta_= begin 2 & color <-7> & -5 -3 & color <-9> & 1 4 & color <17> e 2 fim=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Calculamos $ Delta_= begin 2 e 3 & color<-7> -3 & 2 & color<-9> 4 & -1 & color <17> end= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Exemplo 54
$ begin 4 cdot x + 5 cdot y -2 cdot z = color<3> -2 cdot x + 3 cdot y - z = color<-3> -1 cdot x - 2 cdot y + 3 cdot z = color <-5> end$

A matriz associada ao sistema é $ begin 4 & 5 & -2 -2 & 3 & -1 -1 & -2 & 3 end$

Calculamos o determinante da matriz e obtemos $ Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49 $

Calculamos $ Delta_= begin cor <3> & 5 e -2 color <-3> & 3 & -1 color <-5> e -2 e 3 end= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$

Calculamos $ Delta_= begin 4 & color <3> & -2 -2 & color <-3> & -1 -1 & color <-5> e 3 end=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Calculamos $ Delta_= begin 4 e 5 & color<3> -2 & 3 & color<-3> -1 & -2 & color <-5> end= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$

Se o sistema for homogêneo, sua solução é <000> porque nos determinantes $ Delta_$, $ Delta_$ e $ Delta_$ existem colunas de 0, então eles também são iguais a 0.

Exemplo 55
$ begin 2 cdot x + 3 cdot y -5 cdot z = color<0> -3 cdot x + 2 cdot y + z = color<0> 4 cdot x - y + 2 cdot z = color <0> fim$

A matriz associada ao sistema é
$ begin 2 & 3 & -5 -3 & 2 & 1 4 & -1 & 2 end$

Calculamos o determinante da matriz e obtemos $ Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $


Resolvendo sistemas lineares

As matrizes podem ser usadas para descrever um sistema linear de equações, bem como resolvê-los usando a multiplicação de matrizes. Digamos que recebamos um sistema de n equações lineares e n incógnitas:

Neste caso, n = 3. Sempre que temos variáveis ​​ausentes, como na última equação, 2x2 - 5x3 = 3, podemos introduzir x artificialmente1 na equação, definindo o coeficiente de x1 para 0. Em outras palavras,

Se organizarmos os coeficientes de x1, x2, e x3 em uma matriz A, obtemos:

Se organizarmos as constantes no lado direito de cada equação em um vetor coluna b, obtemos

Então, na linguagem de multiplicação de matrizes, resolvendo por x1, x2, x3 é o mesmo que encontrar um vetor x = [x1, x2, x3] T tal que

que é equivalente a Ax = b. Podemos usar a eliminação de Gauss na matriz aumentada,


Assista o vídeo: Equações Matriciais e Sistemas Lineares (Outubro 2021).