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12.E: Exercícios - Matemática


1. Em cada um dos seguintes, encontre as matrizes (A, x, ) e (b ) de modo que o sistema de equações lineares possa ser expresso como a equação de matriz única (Ax = b. )

[(a) ~~ left. begin {array} {ccccccc} 2x_1 & - & 3x_2 & + & 5x_3 & = & 7 9x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & -1 x_1 & + & 5x_2 & + & 4x_3 & = & 0 end {array} right } ~~~ (b) ~~ left. begin {array} {ccccccccc} 4x_1 &&& - & 3x_3 & + & x_4 & = & 1 5x_1 & + & x_2 &&& - & 8x_4 & = & 3 2x_1 & - & 5x_2 & + & 9x_3 & - & x_4 & = & 0 && 3x_2 & - & x 7x_4 & = & 2 end {array} right } ]

2. Em cada um dos itens a seguir, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.

[(a) left [ begin {array} {ccc} 3 & -1 & 2 4 & 3 & 7 -2 & 1 & 5 end {array} right] left [ begin { array} {c} x_1 x_2 x_3 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 2 -1 4 end {array} right] ~~ ~ (b) left [ begin {array} {cccc} 3 & -2 & 0 & 1 5 & 0 & 2 & -2 3 & 1 & 4 & 7 -2 & 5 & 1 & 6 end {array} right] esquerda [ begin {array} {c} w x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 0 0 end {array} right] ]

3. Suponha que (A, B, C, D, ) e (E ) sejam matrizes sobre ( mathbb {F} ) com os seguintes tamanhos:

[A { it {~ is ~}} 4 vezes 5, ~~ B { it {~ is ~}} 4 vezes 5, ~~ C { it {~ is ~}} 5 vezes 2 , ~~ D { it {~ is ~}} 4 vezes 2, ]

Determine se as seguintes expressões de matriz são definidas e, para aquelas que são definidas, determine o tamanho da matriz resultante.

[(a) ~ BA ~~~ (b) ~ AC + D ~~~ (c) ~ AE + B ~~~ (d) ~ AB + B ~~~ (e) ~ E (A + B) ~~~ (f) E (AC) ]

4. Suponha que (A, B, C, D, ) e (E ) sejam as seguintes matrizes:

[A = left [ begin {array} {cc} 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 end {array} right], ~ B = left [ begin {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} right], ~ C = left [ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 end {array} right], D = left [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} right], { it {~ e ~} } E = left [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} right]. ]

Determine se as seguintes expressões de matriz são definidas e, para aquelas que são definidas, calcule a matriz resultante.

((a) ~ D + E ~~ (b) ~ D - E ~~ (c) ~ 5A ~~ (d) ~ -7C ~~ (e) ~ 2B - C
(f) ~ 2E - 2D ~~ (g) ~ -3 (D + 2E) ~~ (h) ~ A - A ~~ (i) ~ AB ~~ (j) ~ BA
(k) ~ (3E) D ~~ (l) ~ (AB) C ~~ (m) ~ A (BC) ~~ (n) ~ (4B) C + 2B ~~ (o) ~ D - 3E
(p) ~ CA + 2E ~~ (q) ~ 4E - D ~~ (r) ~ DD )

5. Suponha que (A, B, ) e (C ) sejam as seguintes matrizes e que (a = 4 ) e (b = 7. )

[A = left [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} right], B = left [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} right], { it {~ and ~}} C = left [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} right]. ]

Verifique computacionalmente que
((a) ~ A + (B + C) = (A + B) + C ~~~ (b) ~ (AB) C = A (BC)
(c) ~ (a + b) C = aC + bC ~~~ (d) ~ a (B - C) = aB - aC
(e) ~ a (BC) = (aB) C = B (aC) ~~~ (f) A (B - C) = AB - AC
(g) ~ (B + C) A = BA + CA ~~~ (h) a (bC) = (ab) C
(i) ~ B - C = -C + B )

6. Suponha que (A ) seja a matriz
[A = left [ begin {array} {cc} 3 & 1 2 & 1 end {array} right] ]
Calcule (p (A) ), onde (p (z) ) é dado por
((a) ~ p (z) = z - 2 ~~~ (b) ~ p (z) = 2z ^ 2 - z + 1
(c) ~ p (z) = z ^ 3 - 2z + 4 ~~~ (d) ~ p (z) = z ^ 2 - 4z + 1 )

7. Defina as matrizes (A, B, C, D, ) e (E ) por

[A = left [ begin {array} {cc} 3 & 1 2 & 1 end {array} right], ~ B = left [ begin {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} right], ~ C = left [ begin {array} {ccc} 2 & -3 & 5 9 & -1 & 1 1 & 5 & 4 end {array} right] , D = left [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} right], { it {~ e ~ }} E = left [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} right]. ]

(a) Fatore cada matriz em um produto de matrizes elementares e uma matriz RREF.
(b) Encontre, se possível, a fatoração LU de cada matriz.
(c) Determine se cada uma dessas matrizes é ou não invertível e, se possível, calcule o inverso.

8. Suponha que (A, B, C, D, ) e (E ) sejam as seguintes matrizes:

[A = left [ begin {array} {cc} 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 end {array} right], ~ B = left [ begin {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} right], ~ C = left [ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 end {array} right], D = left [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} right], { it {~ e ~} } E = left [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} right]. ]

Determine se as seguintes expressões de matriz são definidas e, para aquelas que são definidas, calcule a matriz resultante.

((a) ~ 2A ^ T + C ~~~ (b) ~ D ^ T - E ^ T ~~~ (c) ~ (D - E) ^ T
(d) ~ B ^ T + 5C ^ T ~~~ (e) ~ frac {1} {2} C ^ T - frac {1} {4} A ~~~ (f) ~ BB ^ T
(g) ~ 3E ^ T - 3D ^ T ~~~ (h) ~ (2E ^ T - 3D ^ T) ^ T ~~~ (i) ~ CC ^ T
(j) ~ (DA) ^ T ~~~ (k) ~ (C ^ TB) A ^ T ~~~ (l) ~ (2D ^ T - E) A
(m) ~ (BA ^ T - 2C) ^ T ~~~ (n) ~ B ^ T (CC ^ T - A ^ TA) ~~~ (o) ~ D ^ TE ^ T - (ED) ^ T
(p) ~ trace (DD ^ T) ~~~ (q) ~ trace (4E ^ T - D) ~~~ (r) ~ trace (C ^ TA ^ T + 2E ^ T) )

1. Seja (n in mathbb {Z} _ + ) um número inteiro positivo e (a_ {i, j} in mathbb {F} ) seja escalar para (i, j = 1, ldots, n. ) Prove que
as duas declarações a seguir são equivalentes:
(a) A solução trivial (x_1 = cdots = x_n = 0 ) é a única solução para o sistema homogêneo de equações
[ deixou. begin {array} {ccc} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {1, k} x_k & = & 0 & vdots & sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {n, k} x_k & = & 0 end {array} right }. ]

(b) Para cada escolha de escalares (c_1, ldots, c_n in mathbb {F}, ) há uma solução para o sistema de equações [ left. begin {array} {ccc} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {1, k} x_k & = & c_1 & vdots & sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {n, k} x_k & = & c_n end {array} right }. ]
2. Sejam (A ) e (B ) quaisquer matrizes.
(a) Prove que se (AB ) e (BA ) são de fi nidos, então (AB ) e (BA ) são matrizes quadradas.
(b) Prove que se (A ) tem tamanho (m vezes n ) e (ABA ) é definido, então (B ) tem tamanho (n vezes m. )
3. Suponha que (A ) seja uma matriz que satisfaça (A ^ T A = A. ) Prove que (A ) é uma matriz simétrica e que (A = A ^ 2. )
4. Suponha que (A ) seja uma matriz triangular superior e que (p (z) ) seja qualquer polinômio. Prove ou dê um contra-exemplo: (p (A) ) é uma matriz triangular superior.


Para os dados a seguir, de quantas maneiras os dados podem ser arranjados (incluindo o arranjo original) de forma que a vantagem da média do Grupo Experimental sobre a média do Grupo de Controle seja tão grande ou maior que o arranjo original?

Experimental Ao controle
5 1
10 2
15 3
16 4
17 9

Para os dados do Problema 1, de quantas maneiras os dados podem ser reorganizados?

Qual é a probabilidade unilateral para um teste de diferença?

Para os dados a seguir, de quantas maneiras os dados podem ser reorganizados?

T1 T2 Ao controle
7 14 0
8 19 2
11 21 5

Em geral, os testes de randomização por classificação ou os testes de randomização são mais poderosos?

Qual é a vantagem dos testes de randomização por classificação sobre os testes de randomização?

Teste se as diferenças entre as condições para os dados no Problema 1 são significativas (uma cauda) no nível (0,01 ) usando um teste de randomização de classificação.


12.3: Gráficos de dispersão

Q 12.3.1

A Paridade do Poder de Compra do Produto Interno Bruto é uma indicação do valor da moeda de um país em comparação com outro país. A tabela mostra o PIB PPC de Cuba em comparação com o dólar americano. Construa um gráfico de dispersão dos dados.

Ano Cuba & rsquos PPP Ano Cuba & rsquos PPP
1999 1,700 2006 4,000
2000 1,700 2007 11,000
2002 2,300 2008 9,500
2003 2,900 2009 9,700
2004 3,000 2010 9,900
2005 3,500

S 12.3.1

Q 12.3.2

A tabela a seguir mostra as taxas de pobreza e o uso de telefone celular nos Estados Unidos. Construir um gráfico de dispersão dos dados

Ano Taxa de pobreza Uso de celular per capita
2003 12.7 54.67
2005 12.6 74.19
2007 12 84.86
2009 12 90.82

Q 12.3.3

O custo mais alto da mensalidade se traduz em empregos com melhor remuneração? A tabela lista as dez principais faculdades com base no salário no meio da carreira e os custos anuais associados com as mensalidades. Construa um gráfico de dispersão dos dados.

Escola Salário de meio de carreira (em milhares) Mensalidade anual
Princeton 137 28,540
Harvey Mudd 135 40,133
CalTech 127 39,900
US Naval Academy 122 0
Ponto oeste 120 0
MIT 118 42,050
Lehigh University 118 43,220
NYU-Poly 117 39,565
Babson College 117 40,400
Stanford 114 54,506

S 12.3.3

Para gráfico: verifique a solução do aluno e rsquos. Observe que a mensalidade é a variável independente e o salário é a variável dependente.

Q 12.3.4

Se o nível de significância for 0,05 e o (p text <-value> ) for 0,06, que conclusão você pode tirar?

Q 12.3.5

Se houver 15 pontos de dados em um conjunto de dados, qual é o número do grau de liberdade?

S 12.3.5


Seção 1
20 questões

Tempo total para esta seção: 35 minutos
Você pode usar uma calculadora básica nesta seção.

Quantidade A

Quantidade B

O menor fator principal de 77

O menor fator principal de 136

C. As duas quantidades são iguais.

D. O relacionamento não pode ser determinado a partir das informações fornecidas.

2- 4 por cento de (x ) é igual a 6 por cento de (y ), onde (x ) e (y ) são números positivos.


(1). MITIHANI ILIYOPITA / PAST PAPERS

SHULE ZA MSINGI KAWAIDA (DRS I - VII) & amp; ESCOLAS PRIMÁRIAS MÉDIAS DE INGLÊS DST I - VII

MASWALI NA MAJIBU / PERGUNTAS e RESPOSTAS

(2) MITIHANI YA TAIFA ILIYOPITA (DRS 3 e amp 4)

1998 --- 2019 --- MASWALI NA MAJIBU

--- NUKUU ZA SOMO - DARASA LA 3 e amp 4 - MUUNDO MPYA

(3). EXAMES NACIONAIS ANTERIORES (STD 3 e amp 4) - PERGUNTAS E RESPOSTAS --- 1998--2019

--- PADRÃO QUATRO (STD 4) AVALIAÇÃO NACIONAL (SFNA) - NECTA 2019 --- 1998, 2019 - PAPÉIS PASSADOS-MATEMÁTICA, INGLÊS, KISWAHILI, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE amp, ESTUDOS SOCIAIS, CÍVICOS E EDUCAÇÃO MORAL - PERGUNTAS COM RESPOSTAS - NOVO FORMATO - CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

--- PADRÃO QUATRO (STD 3 & amp 4) - NOTAS DE ESTUDO - NOVO FORMATO - CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS.

(4). MITIHANI YA TAIFA ILIYOPITA (DRS LA 5, 6 e amp 7--1989 --- 2018 - MASWALI NA MAJIBU.

--- NUKUU ZA SOMO --- DARASA LA 5, 6 e amp 7 - MUUNDO MPYA

(5). EXAMES NACIONAIS ANTERIORES - STD 5,6 & amp 7-
1989--2019

---- PADRÃO 5, 6 e 7 - NOTAS DE ESTUDO - NOVO FORMATO - CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

(6) .MITIHANI YA MAZOEZI / MAJARIBIO / UTAMILIFU / KUJIPIMA / EXAMES DE ENSAIOS / TRABALHOS DE ENSAIO --- DRS I --- VII / STD I - VII --- MASWALI NA MAJIBU.

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Q12.33

Aplicar o Grande Teorema da Ortogonalidade,

para (C_ <3v> ) grupo de pontos dado em que

[ Gamma_E = [E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6] ]

( (h ) é o número de elementos de ( Gamma_i ) e (d_i ) é o comprimento da diagonal do elemento da matriz de ( Gamma_i ))

S12.33

Se assumirmos que (i = j = E_i ) e que (m = m ', n = n' ), a equação geral se parece com

devemos escolher o mesmo elemento de cada matriz, elevá-lo ao quadrado e adicioná-los todos juntos. Todos eles devem ser iguais a (/ frac=3).

para casos desiguais, ( (m neq m ') e (n neq n' )) podemos usar os produtos dos elementos e eles devem somar zero.

Q12.34

Usando o Grande Teorema da Ortogonalidade, vamos i = j, m = n, e m '= n' e somar n e n 'para mostrar que

S12.34

Lembre-se de que ( chi_(chapéu) ) é definido como o personagem do ja representação irredutível de ( hat), que em termos de elementos de matriz, é dado por

Agora usamos o grande teorema da ortogonalidade para encontrar a equação somada:

Q12.35

Determine a tabela de caracteres para (C_i ) que tem os elementos de simetria E e eu.

S12.35

Como há dois elementos de simetria, há duas linhas na tabela de caracteres também para ter um 2x2. A primeira linha é completamente simétrica para ambas as operações, enquanto a segunda é anti-simétrica em relação ao centro de inversão. Portanto, a tabela de caracteres é mostrada abaixo.

Q12-36

A tabela de caracteres do grupo de pontos (C_i ) é fornecida por

Mostre que a base para este grupo de pontos são as funções pares e ímpares em um intervalo (-a, a). Avalie as integrais deste conjunto de base usando a teoria dos grupos a fim de estabelecer princípios de simetria.

S12-36

Aplicando o operador de inversão a uma função,

Isso demonstra que f (par) pertence a Ag ef (ímpar) pertence a Au. Como resultado, essas funções são a base do grupo de pontos (C_i ).

$ RS_= int<>> ^ * R phi_ d tau = S_= int < phi_> ^ * phi_ d tau $ com o valor de Sij inalterado pela operação de simetria do grupo de pontos.

Derive os orbitais de simetria para os orbitais de butadieno aplicando o operador de geração

ao orbital atômico 2pz em cada átomo de carbono. Identifique a representação irredutível à qual pertence cada orbital de simetria resultante. Derive o determinante secular de Huckel.

S12.37

O butadieno pertence ao grupo de pontos C2h. Denote o orbital 2pz em $ C_$ por $ psi_$

Usando Psi 1 e 2 (as coisas ficam muito confusas após esta linha, especialmente a parte da equação & quot = 0 ( alpha psi_ <1> - psi_ <4> )? -RM)

O processo não é muito claro sobre como você chegou à solução. talvez explique um pouco melhor como a matemática funciona.

Q12.41

Uma molécula tetraédrica arbitrária ( (AB_ <4> )) pertencente ao Td grupo de pontos tem a representação redutível: ( Gamma ) = 4 1 0 0 2. Mostre que:

  1. os elementos de simetria do grupo de pontos dão esta representação, e
  2. pode ser reduzido como ( Gamma ) = (A_ <1> + T_ <2> ).

Finalmente, prove que um sp 3 orbital com Td simetria pode ser formada.

S12.41

a.) Aplicando os elementos de simetria, vemos que:

  • (chapéu) deixa todos os 4 vínculos inalterados
  • (chapéu> ) deixa 1 vínculo inalterado
  • (chapéu> ) deixa 0 vínculos inalterados
  • (chapéu> ) deixa 0 vínculos inalterados
  • ( hat < sigma_> ) deixa 2 ligações inalteradas

O resultado é a representação redutível ( Gamma ) = 4 1 0 0 2.

b.) Reescrevendo os elementos de simetria em termos das representações irredutíveis, vemos que:

  • (alfa_> = dfrac <1> <24> (4 + 8 + 0 + 0 + 12) = 1 )
  • (alfa_> = dfrac <1> <24> (4 + 8 + 0 + 0-12) = 0 )
  • (alfa_ = dfrac <1> <24> (8-8 + 0 + 0 + 0) = 0 )
  • (alfa_> = dfrac <1> <24> (12 + 0 + 0 + 0-12) = 0 )
  • (alfa_> = dfrac <1> <24> (12 + 0 + 0 + 0 + 12) = 1 )

Usando ( alpha ) como um coeficiente e tomando a soma dessas 5 equações, podemos reescrever a representação redutível como ( Gamma ) = (A_ <1> + T_ <2> ).

c.) Todos os orbitais 2 p têm simetria (T_ <2> ) para a (T_) molécula, para que possam se combinar para formar um orbital (T_ <2> ) híbrido. Todos os orbitais s são totalmente simétricos devido ao seu formato esférico, tornando-os (A_ <1> ). A soma dos orbitais 3 p e um orbital s dará um orbital híbrido da simetria desejada (A_ <1> + T_ <2> ).

- Pergunta interessante. Eu gosto da explicação de como um orbital Sp3 com simetria (T_2 ) pode ser formado

Q12.42

Considere uma molécula octaédrica XY 6 cujo grupo de pontos é Oh. Prove a representação irredutível de Oh é ( Gamma ) = A1g + Eg + T1u.

S12.43

Q12.43

Considere uma molécula octaédrica XY 6 cujo grupo de pontos é Oh. Prove a representação irredutível de Oh é ( Gamma ) = A1g + Eg + T1u.

S12.43

Portanto, a representação irredutível torna-se ( Gamma = A_1 + A_2 + E ) & # 65279


Exercícios, problemas e investigações matemáticas

A qualidade da matemática que os alunos aprendem depende das tarefas ou atividades matemáticas que permitimos que nossos alunos participem.

As atividades / tarefas matemáticas podem ser categorizadas em três tipos: exercícios, resolução de problemas e investigações matemáticas.

Exercícios padrão

Estas são atividades com procedimento / estratégia e objetivo claramente definidos. Os exercícios padrão são usados ​​para o domínio de uma habilidade computacional recém-aprendida & # 8211, uso de um instrumento e até mesmo novos termos ou vocabulário. Estas são atividades de aprendizagem importantes, mas devem ser usadas com moderação. Se nosso ensino for dominado por essas atividades, os alunos começarão a pensar que a matemática trata apenas de aprender fatos e procedimentos. Isso é muito perigoso.

Atividade de resolução de problemas

Essas são atividades que envolvem objetivos claramente definidos, mas as soluções ou estratégias não são imediatamente aparentes. O aluno toma a decisão sobre o último. Se os alunos já sabem como resolver o problema, então não é mais um problema. É um exercício. Clique aqui para ver os recursos de boas tarefas de resolução de problemas. Diz-se que a resolução de problemas está no cerne da matemática. Você pode imaginar matemática sem resolução de problemas?

Investigações matemáticas

Essas são atividades que envolvem a exploração de situações matemáticas abertas. O aluno é livre para escolher quais aspectos da situação gostaria de fazer e como fazê-lo. Os alunos apresentam seus próprios problemas para resolvê-los e estendê-los às direções que desejam seguir. Nesta atividade, os alunos vivenciam como os matemáticos trabalham e como conduzir uma pesquisa matemática. Eu sei que existem alguns pais e professores que não gostam de investigação matemática. Aqui estão alguns motivos pelos quais precisamos deixar nossos alunos passarem por isso.

  1. Os alunos desenvolvem perguntas, abordagens e resultados, que são, pelo menos para eles, produtos originais
  2. Os alunos usam os mesmos métodos gerais usados ​​por matemáticos de pesquisa. Eles trabalham através de ciclos de coleta de dados, visualização, abstração, conjectura e prova.
  3. Ele dá aos alunos a oportunidade de se comunicar matematicamente: descrevendo seu pensamento, escrevendo definições e conjecturas, usando símbolos, justificando suas conclusões e escrevendo e lendo matemática.
  4. Quando a pesquisa envolve uma classe ou grupo, ela se torna uma "comunidade de matemáticos" compartilhando e construindo sobre as perguntas, conjecturas e teoremas uns dos outros.

Os alunos precisam ser expostos a todos esses tipos de atividades matemáticas. É lamentável que os livros didáticos e muitas aulas de matemática sejam dominados por exercícios em vez de tarefas de resolução de problemas e investigação, criando o equívoco de que a matemática significa dominar habilidades e seguir procedimentos e não uma forma de pensar e se comunicar.

Amostras dessas tarefas são mostradas na imagem abaixo:

Clique aqui e aqui para ver um exemplo de ensino usando investigação matemática.


JSS1 Matemática Perguntas e Respostas Antigas

1. Escreva o seguinte em números: cinco bilhões, quatro milhões, três mil e duzentos.

(a) 543 200 (b) 5.004 004 200 (c) 5 400 300 200

(d) 5 40 330 200 (e) 5 440 330 200

2. Se um número inteiro for dividido em duas partes iguais, cada parte é chamada de ___

(a) parte (b) quarto (c) meio
(d) nenhuma fração (e) um divisor.

3. Se um todo é dividido em quatro partes iguais, cada parte é chamada de ___
(a) uma parte (b) uma fração (c) uma parte
(d) um todo (e) um quarto

4. Em uma fração, se o denominador for maior que o numerador, isso é chamado de ___
(a) fração imprópria (b) fração potente (c) fração adequada
(d) fração mista (e) fração equivalente

5. Converta esses números mistos em frações impróprias
(a) 19/5 (b) 9/5 c) 7/5 (d) 6/5 (e) 15/5

6. Um número que tem apenas 1 e a si mesmo como fatores é chamado de ___
(a) um número primo (b) um fator primo (c) um número impróprio
(d) um número fator (e) um número fatorado

7. Escreva 101dois na base 10
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1

8. Converter 23
(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11

10. Arredonde 65 para a dezena mais próxima.
(a) 40 (b) 50 (c) 60 (d) 70 (e) 80

11. Adicione 111, 101
(a) 1000 (b) 1010 (c) 1001 (d) 1100 (e) 1011

12. Qual é o valor de x? X + 4 = 7
(a) 14 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0

13. Encontre o valor de x. 3x = 36
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 (e) 13

14. Simplifique 6x + 5y + 4x-3y
(a) 6x + 2y (b) 8x + 2y (c) 10x + 2y
(d) 12x + 2y (e) 14x + 2y

15. Resolva a equação 4y / 3 = 4
(a) 6 (b) 5 (c) 4 (d) 3 (e) 2

16. Um cubo tem quantas faces?
(a) 14 (b) 12 (c) 8 (d) 6 (e) 2

17. Um cilindro tem quantas arestas?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 (e) 10

18. A fórmula para calcular a área de um triângulo é
(a) 1 / 5bh (b) 1 / 4bh (c) 1 / 3bh
(d) 1/2bh (e) 2bh.

19. Quando duas ou mais formas planas formam outra forma, a forma formada é chamada
(a) uma forma de campus (b) uma forma composta (c) uma forma de concerto
(d) uma forma de triângulo (e) uma forma de área

20. Um cubo Maggi é um exemplo de quê?
(a) um cuboide (b) um cubo (c) um cilindro
(d) um círculo (e) um trapézio.


Exercícios 3.9

Ex 3.9.1 Para cada $ n $ dado, encontre os conjuntos $ R_d $, $ G_e $ e verifique o Teorema 3.9.4.

Ex 3.9.2 Dê uma prova direta do Teorema 3.9.4 para o caso em que $ n = p ^ a $ ($ p $ prime) use o Teorema 3.8.4.

Ex 3.9.3 Dê uma prova direta do Teorema 3.9.4 para o caso $ n = pq $, onde $ p $ e $ q $ são primos distintos.

Ex 3.9.4 Mostre que se $ n $ é positivo e $ (a, n) = g $, então $ existe x (ax equiv b pmod n) $ iff $ g | b $.

Suponha que tentemos encontrar todas as soluções para $ ax equiv b pmod n. $ Seja $ g = (a, n) $. Se $ g notdiv b $, então não há soluções, pelo último problema. Caso contrário, $ a = rg $, $ b = sg $ e $ n = n'g $. Portanto, pelo exercício 8 da seção 3.1, $ rx equiv s pmod <>. $ Pelo exercício 4 da seção 3.4, $ r $ e $ n '$ são relativamente primos. Portanto, pelo Teorema 3.4.2 existe um $ t $ tal que $ tr equiv 1 pmod $, e $ x equiv trx equiv ts pmod <>. $ Portanto, se $ x $ é uma solução para $ ax equiv b pmod n $, então $ x equiv ts pmod$. Na verdade, cada $ x $ é realmente uma solução: suponha que $ x = n'q + ts $ para algum $ q $. Então $ eqalign $ so $ ax equiv b pmod$.

Exemplo: $ 12x equiv 10 pmod <28> $ não tem soluções porque $ (12,28) = 4 notdiv 10 $. No entanto, se considerarmos um problema ligeiramente diferente, $ 12x equiv 8 pmod <28>, $ podemos reduzi-lo para $ 3x equiv 2 pmod 7. $ Observe que $ 3 cdot 5 equiv 1 pmod 7 $ , então a resposta é $ x equiv 10 equiv 3 pmod 7, $ ie, $ x in <& hellip, -11, -4,3,10, & hellip > $.

Ex 3.9.5 Resolva as seguintes congruências:

Ex 3.9.6 Suponha que $ n = p_1 ^ cdots p_i ^$, onde $ e_1 $, & hellip, $ e_i $ são positivos $ m = p_1 cdots p_i $ e $ [x] in Z_n $. Mostre que existe um inteiro positivo $ k $ tal que $ [x] ^ k = [0] $ iff $ m vert x $.

O subconjunto de $ Z_n $ consistindo de elementos $ [x] $ tal que $ [x] ^ k = [0] $ para algum $ k $, é chamado de radical de $ Z_n $.

Ex 3.9.7 Se $ [x] $ está no radical de $ Z_n $, mostre que $ [1-x] in U_n $.


Ambiente de exercício MATH246 (beta)

Para qualquer matriz (m vezes m ), (e ^ = N_0 (t) < bf I> + N_1 (t) < bf A> + cdots + N_(t) < bf A> ^), onde (N_0 (t), N_1 (t), cdots, N_(t) ) é o conjunto natural fundamental de soluções para o (m ^) equação diferencial de ordem correspondente à matriz (< bf A> ) (com tempo inicial (0 )).

O conjunto natural fundamental de soluções (N_0 (t), N_1 (t), cdots, N_(t) ) pode ser obtido resolvendo o (m ^) equação diferencial de ordem (p ( Dop) y = 0 ), com condições iniciais gerais de (y (0) = y_0, y & # 39 (0) = y_1, cdots, y ^ <(m -1)> (0) = y_), onde (p (z) ) é o polinômio característico de ( ABld )

A solução para o problema do valor inicial, ( xBld & # 39 = ABld xBld ) com ( xBld (0) = xBld ^ <0> ), é dada por ( xBld (t) = e ^ xBld ^ <0> ).

Verdadeiro ou falso (O seguinte refere-se apenas a matrizes (2 vezes 2 ))

Exercício 2

Se o polinômio característico correspondente à matriz ( ABld ), tem raízes reais simples ( mu pm nu ), então (e ^ = e ^ < mu t> left [ cos ( nu t) < IBld> + frac < sin ( nu t)> < nu> (< ABld> - mu < IBld> )direito]) . (Nota: ( mu pm nu ) é obtido completando os quadrados no polinômio característico (ou seja, ((z- mu) ^ 2 - delta) ) com ( nu = sqrt < delta> ))

Se o polinômio característico correspondente à matriz ( ABld ), tem raízes duplas ( mu ), então (e ^ = e ^ < mu t> left [< IBld> + t (< ABld> - mu < IBld>) right] )

Se o polinômio característico correspondente à matriz ( ABld ), tem raízes conjugadas complexas ( mu pm i nu ), então (e ^ = e ^ < mu t> left [ cosh ( nu t) < IBld> + frac < sinh ( nu t)> < nu> (< ABld> - mu < IBld> )direito])

Exercício 3

Seja ( ABld ) uma matriz (2 vezes 2 ). Use o Teorema de Caley-Hamilton para derivar a fórmula para o inverso de ( ABld = begin a_ <11> & amp a_ <12> a_ <21> e amp a_ <22> end), [ ABld ^ <-1> = frac <1> < det left ( ABld right)> begin a_ <22> & amp -a_ <12> -a_ <21> e amp a_ <11> end.]

Exercício 4

Exercício 5

Considere a matriz [ ABld = begin 0 & amp 1 & amp 1 1 & amp 0 & amp 1 1 & amp 1 & amp 0 end] Dado que o polinômio característico é (p (z) = z ^ 3 - 3z -2 ), use o Teorema de Caley-Hamilton para encontrar o inverso de ( ABld ).

Exercício 6

No texto foi afirmado que para qualquer matriz ( ABld ) constante (n vezes n ) e qualquer (t ) e (s ), a seguinte propriedade é [e ^ <(t + s) ABld> = e ^e ^. ] Como foi delineado no texto, mostre isso mostrando que ambos os lados da equação satisfazem o mesmo problema de valor inicial.

Para 7–9, verifique que a matriz ( PhiBld (t) ) é uma matriz exponencial (e ^) para algum ( ABld ) verificando se ( PhiBld (t) ) satisfaz o propriedades de uma matriz exponencial, ou seja, ( PhiBld (0) = IBld ) e ( PhiBld (s) PhiBld (t) = PhiBld (t + s) ) para qualquer (t, s ). Use isso para encontre o inverso ( PhiBld (t) ^ <-1> ).

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18

Exercício 19

Para 20-25, encontre a solução para o problema do valor inicial usando (e ^) .

Exercício 20

Exercício 21

Exercício 22

Exercício 23

Exercício 24

Exercício 25

Exercício 26

Resolva os problemas gerais de valor inicial para encontrar as soluções fundamentais naturais dadas nas equações (4.18a), (4.18b), (4.18c) no texto.

Exercício 27

Seja ( ABld ) uma matriz (3 < times> 3 ) da forma [ ABld = begin 0 & amp a_ <12> & amp a_ <13> 0 & amp 0 & amp a_ <23> 0 & amp 0 & amp 0 end. ] Calcule a matriz exponencial em termos de ( ABld ). Como isso se compara à representação em série do exponencial da matriz? Suponha que ( ABld ) seja mais geralmente dado por [ ABld = begin 0 & amp a_ <12> & amp a_ <13> & amp cdots & amp a_ <1n> 0 & amp 0 & amp a_ <23> & amp cdots & amp a_ <2n> vdots & amp vdots & amp ddots & amp ddots & amp vdots 0 & amp 0 & amp cdots & amp 0 & amp a_ <(n-1), n> 0 & amp 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 end ,. ] Você consegue adivinhar a forma da matriz exponencial neste caso? (veja o exercício 30 no suplemento sobre matrizes e vetores para uma dica sobre o aniquilador para ( ABld )).

Exercício 28

Derive ( frac < dee> < dt> e ^ = < ABld> e ^) usando a representação em série de (e ^). (Você pode puxar derivados dentro de somas infinitas sem justificativa).

Exercício 29

Calcule os conjuntos fundamentais naturais de (y & # 39 & # 39 - 6y & # 39 + 5y = 0 ) usando as funções de Green. Confirme que esses são os mesmos conjuntos naturais obtidos no Problema 10.

Exercício 30

Calcule os conjuntos fundamentais naturais de (- y & # 39 & # 39 & # 39 + 4y & # 39 & # 39 - 5y & # 39 + 2y = 0 ) usando funções de Green. (O polinômio característico desta equação tem raízes (z = 1, 1, 2 ).) Confirme que esses são os mesmos conjuntos naturais obtidos no Problema 24.

Calcule (e ^) usando métodos de interpolação Hermite.