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12.3: Eigenspaces - Matemática


f No exemplo anterior, encontramos dois vetores próprios

[ begin {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} mbox {e} begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} ]

para (L ), ambos com autovalor (1 ). Notar que

[ begin {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} + begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} = begin {pmatrix} 0 1 1 end {pmatrix} ]

também é um autovetor de (L ) com autovalor (1 ). Na verdade, qualquer combinação linear

[r begin {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} + s begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} ]

desses dois vetores próprios será outro vetor próprio com o mesmo valor próprio.

Mais geralmente, sejam ( {v_ {1}, v_ {2}, ldots } ) os autovetores de alguma transformação linear (L ) com o mesmo autovalor ( lambda ). A ( textit {combinação linear} ) do (v_ {i} ) pode ser escrita (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots ) para algumas constantes ( {c ^ {1}, c ^ {2}, ldots } ). Então:

begin {eqnarray *}
L (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots) & = & c ^ {1} Lv_ {1} + c ^ {2} Lv_ {2} + cdots textit {por linearidade de L}
& = & c ^ {1} lambda v_ {1} + c ^ {2} lambda v_ {2} + cdots textit {desde (Lv_ {i} = lambda v_ {i} )}
& = & lambda (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots).
end {eqnarray *}

Portanto, cada combinação linear de (v_ {i} ) é um autovetor de (L ) com o mesmo autovalor ( lambda ). Em termos simples, qualquer soma de autovetores é novamente um autovetor ( textit {se eles compartilham o mesmo autovalor} ).

O espaço de todos os vetores com autovalor ( lambda ) é chamado de ( textit {eigenspace} ). É, na verdade, um espaço vetorial contido no espaço vetorial maior (V ): contém (0_ {V} ), uma vez que (L0_ {V} = 0_ {V} = lambda 0_ {V } ), e é fechado sob adição e multiplicação escalar pelo cálculo acima. Todas as outras propriedades do espaço vetorial são herdadas do fato de que o próprio (V ) é um espaço vetorial. Em outras palavras, o teorema do subespaço, 9.1.1 capítulo 9, garante que (V _ { lambda}: = {v in V | Lv = 0 } ) é um subespaço de (V ).


O espaço próprio associado ao valor próprio $ lambda $ será o conjunto de todas as soluções para a equação $ (A- lambda I) x = 0 $

Um de seus autovalores é $ 3 $, vamos dar uma olhada nele.

O que precisamos fazer aqui é resolver $ (A-3I) x = 0 $

Agora resolvemos a equação da matriz aumentada:

A partir daqui, vemos que $ z $ é nossa variável livre. Portanto, seja $ z = t, t in Bbb R $. Agora podemos escrever a solução:

Portanto, o espaço próprio associado ao valor próprio $ 3 $ é $ operatorname(-1,1,1)$.

Resolva duas equações semelhantes para encontrar os outros dois autoespaços desta matriz.


Solução.

Por definição, o espaço próprio $ E_2 $ correspondente ao valor próprio $ 2 $ é o espaço nulo da matriz $ A-2I $.
Ou seja, nós temos
[E_2 = calN (A-2I). ]

Assim, as soluções $ mathbf$ de $ (A-2I) mathbf= mathbf <0> $ satisfazer $ x_1 = 2x_2 + x_3 $.
Assim, o espaço nulo $ calN (A-2I) $ consiste em vetores
[ mathbf= begin
2x_2 + x_3
x_2
x_3
fim= x_2 begin
2 \
1 \
0
fim+ x_3 begin
1 \
0 \
1
fim] para quaisquer escalares $ x_2, x_3 $.

É simples ver que os vetores $ begin
2 \
1 \
0
fim, começar
1 \
0 \
1
fim$ são linearmente independentes, portanto, eles formam uma base de $ E_2 $.


Como você encontra os autovalores e os autovetores correspondentes de uma matriz?

Passo 2: Calcule o determinante de # (lambdaI_n-A) #. Eu uso uma matriz de 5 colunas e a regra de Sarrus para calcular os determinantes.

# | (cor (vermelho) (lambda), cor (verde) (- 4), cor (azul) (0), lambda, -4), (1, cor (vermelho) (lambda + 4), cor (verde) ( 0), cor (azul) (1), lambda + 4), (0,0, cor (vermelho) (lambda + 2), cor (verde) (0), cor (azul) (0)) | = #

Subtraia as diagonais menores:

# | (lambda, -4, cor (azul) (0), cor (verde) (lambda), cor (vermelho) (- 4)), (1, cor (azul) (lambda + 4), cor (verde) ( 0), cor (vermelho) (1), lambda + 4), (cor (azul) (0), cor (verde) (0), cor (vermelho) (lambda + 2), 0, cor (azul) ( 0)) | = #

# color (red) (lambda (lambda + 4) (lambda + 2)) + color (green) (4 (0) (0)) + color (blue) (0 (1) (0)) - color (blue) ) (0 (lambda + 4) (0)) - cor (verde) (lambda (0) (0)) - cor (vermelho) (- 4 (1) (lambda + 2)) = lambda ^ 3 + 6lambda ^ 2 + 12lambda + 8 #

Etapa 3: Defina o polinômio característico igual a zero e resolva para os valores próprios:

# lambda ^ 3 + 6lambda ^ 2 + 12lambda +8 = 0 #

A equação característica é um cubo perfeito, portanto, tem apenas uma raiz:

#lambda = -2 larr # este é o autovalor.

Passo 4: Defina a matriz multiplicada por um vetor 3D igual aos autovalores multiplicados por esse vetor:

Esta é a soma de dois vetores:

# vecv = a [(- 2), (1), (0)] + b [(0), (0), (1)] a, binRR larr # este é o espaço do vetor próprio


Equações diferenciais

Integrando, xy + $ frac <1> <2> $ y 2 & ndash $ frac <1> <2> $ x 2 = c & rsquo.

Ou, d (xy) + xy.dx = 0 [x.dy + y.dx = d (xy)]

Ou, (x 2 & ndash ay) .dx & ndash (ax & ndash y 2) .dy = 0

Ou x 2 .dx + y 2 .dy & ndash a (y.dx + x.dy) = 0

Ou $ frac <1> <3> $ .dx 3 + $ frac <1> <3> $ dy 3 & ndash ad (xy) = 0

Portanto, x 3 & ndash 3axy + y 3 = C [C = 3C & rsquo]

Ou, sinx.cosx.dx + siny.cosy.dy = 0

Integrando, sin 2 x + sin 2 y = 0

Integrando, sen 2 x + sen 2 y = 0.

Ou seg 2 y.dy = cosec 2 x.dx

Integrando, tany = -cotx + c

Ou, (x + 2y & ndash 3) .dy & ndash (2x & ndash y + 1) .dx = 0

Ou x.dy + 2y.dy & ndash 3.dy & ndash 2x.dx + y.dx & ndash dx = 0

Ou, (xdy + ydx) + 2ydy & ndash 3dy & ndash 2xdx & ndash dx = 0

Ou, d (xy) + d (y 2) & ndash 3dy & ndash d (x 2) & ndash dx = 0

Ou d (xy + y 2 & ndash 3y & ndash x 2 & ndash x) = 0

Ou xy + y 2 & ndash 3y & ndash x 2 & ndash x = c.

Portanto, xy + y 2 & ndash x 2 & ndash 3y & ndash x = c.

Ou, y.dy & ndash xdy + 5dy = ydx & ndash xdx + dx

Ou $ frac <1> <2> $ dy 2 & ndash (xdy + ydx) + $ frac <1> <2> $ .dx 2 + 5dy & ndash dx = 0.


12.3: Eigenspaces - Matemática

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A extensão dos autovetores associados a um autovalor fixo define o autovalor correspondente a esse autovalor.

Observe que a dimensão do espaço próprio correspondente a um determinado valor próprio deve ser pelo menos 1, uma vez que os espaços próprios devem conter vetores diferentes de zero por definição.

De forma mais geral, se for uma transformação linear e um autovalor de, então o autoespaço de correspondente a é

Desta forma, fixar uma base para identifica os autoespaços de (in) com os autoespaços da representação matricial de (in).


Lição: Lição 12.3

b. Eu sei que uma fração pode mostrar partes de um todo e partes de um conjunto.

c. Eu sei que quando um todo é dividido em partes iguais, o denominador representa o número de partes iguais.

d. Eu sei que o numerador de uma fração é a contagem do número de partes iguais que estão sombreadas ou diferentes das outras partes.

2. Posso usar uma reta numérica para representar frações.

3. Posso comparar frações observando o tamanho das peças e o número das peças.

4. a. Posso usar uma reta numérica para determinar se duas frações são equivalentes

b. Posso usar modelos visuais para descobrir frações equivalentes.

c. Posso explicar por que as frações são equivalentes usando modelos visuais

5. a. Posso escrever um número inteiro como uma fração.

b. Eu sei que uma fração é o mesmo que divisão

6. a. Posso comparar o tamanho de duas frações com o mesmo numerador ou o mesmo denominador.

b. Eu sei que só posso comparar frações quando elas são do mesmo todo.


Em algum momento, muitos de nós sentamos na aula de matemática e nos perguntamos: & ldquoQuando vou usar isso? & Rdquo Podemos não ter acreditado, mas a resposta em uma variedade de profissões é & ldquoTodos os dias! pensamento crítico, raciocínio matemático e técnicas de resolução de problemas para situações que realmente ocorrem no local de trabalho de hoje. Embora as pessoas possam usar calculadoras e tabelas de conversão para ajudar com os problemas da avaliação, ainda são necessárias habilidades matemáticas para pensar sobre eles.

Existem cinco níveis de dificuldade. O nível 3 é o menos complexo e o nível 7 é o mais complexo. Os níveis se complementam, cada um incorporando as habilidades avaliadas nos níveis anteriores. Por exemplo, no Nível 5, os indivíduos precisam das habilidades dos Níveis 3, 4 e 5. Exemplos estão incluídos na descrição de cada nível.

Nível 3

Características dos Itens

  • Traduza facilmente de um problema de palavras para uma equação matemática
  • Todas as informações necessárias são apresentadas em ordem lógica
  • Sem informação extra

Habilidades

  • Resolva problemas que requerem um tipo de operação matemática. Eles adicionam ou subtraem números positivos ou negativos (como 10 ou -2). Eles se multiplicam ou dividem usando apenas números positivos (como 10).
  • Converta uma fração familiar (como & frac12 ou & frac14 em um decimal) e converta de um decimal em uma fração comum OU converta entre decimais em porcentagens (como 0,75 a 75%).
  • Converta entre unidades familiares de dinheiro e tempo (como uma hora é igual a 60 minutos ou & frac12 de um dólar é igual a 0,50).
  • Some os preços de vários produtos para encontrar o total e calcule o troco correto para um cliente.

Nível 4

Características dos Itens

  • As informações podem ser apresentadas fora de ordem
  • Pode incluir informações extras desnecessárias
  • Pode incluir um gráfico simples, diagrama ou gráfico

Habilidades

  • Resolva problemas que requerem uma ou duas operações matemáticas. Eles podem somar, subtrair ou multiplicar usando números positivos ou negativos (como 10 ou -2) e podem dividir números positivos (como 10).
  • Calcule a média ou média de um conjunto de números (como (10 + 11 + 12) / 3)). Para isso, eles podem usar números inteiros e decimais.
  • Descubra proporções simples (como & frac34), proporções simples (como 10/100 casos) ou taxas (como 10 mph).
  • Adicione frações, decimais ou porcentagens comumente conhecidas (como & frac12, 0,75 ou 25%).
  • Adicione ou subtraia frações com um denominador comum (como & frac14 + & frac34 + & frac14).
  • Multiplique um número misto (como 12 1/8) por um número inteiro ou decimal.
  • Coloque as informações na ordem certa antes de realizar os cálculos.

Nível 5

Características dos Itens

  • Os problemas requerem várias etapas de lógica e cálculo (por exemplo, o problema pode envolver o preenchimento de um formulário de pedido totalizando o pedido e, em seguida, calculando o imposto)

Habilidades

  • Decida quais informações, cálculos ou conversões de unidades usar para encontrar a resposta para um problema.
  • Adicione e subtraia frações com denominadores diferentes (como & frac12 - & frac14).
  • Converta unidades dentro ou entre sistemas de medição (por exemplo, tempo, medição, quantidade) onde o fator de conversão é dado no problema ou na folha de fórmula.
  • Resolva problemas que exigem operações matemáticas usando unidades mistas (como adicionar 6 pés e 4 polegadas a 3 pés e 10 polegadas ou subtrair 4 horas e 30 minutos de 3,5 horas).
  • Identifique o melhor negócio usando cálculos de uma ou duas etapas que atendam às condições estabelecidas.
  • Calcule o perímetro ou circunferência de uma forma básica ou calcule a área de uma forma básica.
  • Calcule uma determinada porcentagem de um determinado número e, em seguida, use essa porcentagem para encontrar a solução para um problema (por exemplo, encontre a porcentagem e use-a para encontrar o desconto, margem de lucro ou imposto).
  • Identifique onde ocorreu um erro em um cálculo (como identificar a linha em uma planilha onde ocorreu um problema).

Nível 6

Características dos Itens

  • Pode exigir uma tradução considerável da forma verbal para a expressão matemática
  • Geralmente requerem configuração considerável e envolvem cálculos de várias etapas

Habilidades

  • Use frações com denominadores diferentes e calcule porcentagens reversas.
  • Converta unidades dentro ou entre sistemas de medição (por exemplo, tempo, medição e quantidade) onde as conversões de várias etapas são necessárias e as fórmulas são fornecidas, como a conversão de quilômetros para metros para pés.
  • Identifique por que ocorreu um erro em uma solução.
  • Encontre a melhor oferta em um grupo de soluções e use o resultado para outro cálculo.
  • Encontre a área de formas básicas quando for necessário reorganizar uma fórmula, converter unidades de medida nos cálculos ou usar o resultado em outros cálculos.
  • Calcule o volume de sólidos retangulares (por exemplo, cubos).
  • Calcule taxas, taxas de produção, taxas por tempo (por exemplo, taxa de produção é 59 copos produzidos por hora, quantos serão produzidos em um turno de 8 horas).
  • Identifique a equação correta para resolver um problema.

Nível 7

Características dos Itens

  • O conteúdo ou formato pode ser incomum
  • As informações podem estar incompletas ou implícitas
  • Os problemas geralmente envolvem várias etapas de lógica e cálculo

Habilidades

  • Resolva problemas que incluem razões, taxas ou proporções com pelo menos uma das quantidades é uma fração.
  • Identifique o motivo de um erro.
  • Converta entre unidades de medida usando frações, números mistos, decimais e porcentagens.
  • Calcule volumes de esferas, cilindros ou cones.
  • Calcule o volume quando for necessário reorganizar a fórmula, converter unidades de medida em cálculos ou usar o resultado em outros cálculos.
  • Configure e manipule proporções, taxas ou proporções em que pelo menos uma das quantidades seja uma fração.
  • Determine o melhor valor econômico de várias alternativas usando gráficos, ou determinando a diferença percentual, ou determinando o custo unitário.
  • Aplique conceitos estatísticos básicos, por exemplo, calcular a média ponderada, interpretar medidas de tendência central ou interpretar medidas de propagação e tolerância.

12.3: Eigenspaces - Matemática

Aqui está uma pergunta cuja resposta se mostra muito útil: dados dois vetores, qual é o ângulo entre eles?

Pode não ficar imediatamente claro se a pergunta faz sentido, mas não é difícil transformá-la em uma pergunta que faz. Uma vez que os vetores não têm posição, estamos, como sempre, livres para colocar vetores onde quisermos. Se os dois vetores são colocados cauda a cauda, ​​agora há uma interpretação razoável da questão: buscamos a medida do menor ângulo entre os dois vetores, no plano em que se encontram. A Figura 12.3.1 ilustra a situação.

Como o ângulo $ theta $ está em um triângulo, podemos calculá-lo usando um pouco de trigonometria, a saber, a lei dos cossenos. Os comprimentos dos lados do triângulo na figura 12.3.1 são $ | < bf A> | $, $ | < bf B> | $ e $ | < bf A> - < bf B> | $ . Seja $ ds < bf A> = langle a_1, a_2, a_3 rangle $ e $ ds < bf B> = langle b_1, b_2, b_3 rangle $ e $ eqalign <| < bf A > - < bf B> | ^ 2 & = | < bf A> | ^ 2 + | < bf B> | ^ 2-2 | < bf A> || < bf B> | cos theta cr 2 | < bf A> || < bf B> | cos theta & = | < bf A> | ^ 2 + | < bf B> | ^ 2- | < bf A> - < bf B> | ^ 2 cr & = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2- (a_1-b_1) ^ 2- (a_2-b_2) ^ 2 - (a_3-b_3) ^ 2 cr & = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 cr & qquad- (a_1 ^ 2-2a_1b_1 + b_1 ^ 2) - (a_2 ^ 2-2a_2b_2 + b_2 ^ 2) - (a_3 ^ 2-2a_3b_3 + b_3 ^ 2) cr & = 2a_1b_1 + 2a_2b_2 + 2a_3b_3 cr | < bf A> || < bf B> | cos theta & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 cr cos theta & = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) / (| < bf A> || < bf B> |) cr> $ Então, um pouco de A aritmética simples com as coordenadas de $ bf A $ e $ bf B $ nos permite calcular o cosseno do ângulo entre eles. Se necessário, podemos usar o arco-cosseno para obter $ theta $, mas em muitos problemas $ cos theta $ acaba sendo tudo de que realmente precisamos.

O numerador da fração que nos dá $ cos theta $ aumenta muito, então damos a ele um nome e uma notação mais compacta: o chamamos de produto escalare escreva-o como $ < bf A> cdot < bf B> = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. $ Este é o mesmo símbolo que usamos para multiplicação normal, mas nunca deve haver qualquer confusão que você possa dizer pelo contexto se estamos "multiplicando '' vetores ou números. (Também podemos usar o ponto para a multiplicação escalar: $ a cdot < bf V> = a < bf V> $ novamente, é claro o que se entende pelo contexto.)

Exemplo 12.3.1 Encontre o ângulo entre os vetores $ < bf A> = langle 1,2,1 rangle $ e $ < bf B> = langle 3,1, -5 rangle $. Sabemos que $ cos theta = < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = (1 cdot3 + 2 cdot1 + 1 cdot (-5)) / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $, então $ theta = pi / 2 $, ou seja, os vetores são perpendiculares.

Exemplo 12.3.2 Encontre o ângulo entre os vetores $ < bf A> = langle 3,3,0 rangle $ e $ < bf B> = langle 1,0,0 rangle $. Calculamos $ eqalign < cos theta & = (3 cdot1 + 3 cdot0 + 0 cdot0) / ( sqrt <9 + 9 + 0> sqrt <1 + 0 + 0>) cr & = 3 / sqrt <18> = 1 / sqrt2 cr> $ so $ theta = pi / 4 $.

Exemplo 12.3.3 Vale a pena examinar alguns casos especiais: Encontre os ângulos entre $ < bf A> $ e $ < bf A> $ $ < bf A> $ e $ < bf -A> $ $ < bf A> $ e $ < bf 0> = langle 0,0,0 rangle $.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf A> / (| < bf A> || < bf A> |) = (a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 ) / ( sqrt sqrt) = 1 $, então o ângulo entre $ < bf A> $ e ele mesmo é zero, o que é claro está correto.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf -A> / (| < bf A> || < bf -A> |) = (- a_1 ^ 2-a_2 ^ 2- a_3 ^ 2) / ( sqrt sqrt) = - 1 $, então o ângulo é $ pi $, ou seja, os vetores apontam em direções opostas, como é claro que já sabíamos.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf 0> / (| < bf A> || < bf 0> |) = (0 + 0 + 0) / ( sqrt sqrt <0 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2>) $, que é indefinido. Por outro lado, observe que, como $ < bf A> cdot < bf 0> = 0 $, parece que $ cos theta $ será zero, o que, como vimos, significa que os vetores são perpendiculares somente quando percebemos que o denominador também é zero é que temos problemas. Uma maneira de "consertar" isso é adotar a convenção de que o vetor zero $ < bf 0> $ é perpendicular a todos os vetores, então podemos dizer em geral que se $ < bf A> cdot < bf B> = 0 $, $ bf A $ e $ bf B $ são perpendiculares.

Generalizando os exemplos, observe os seguintes fatos úteis:

1. Se $ bf A $ for paralelo ou antiparalelo a $ bf B $, então $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> | ) = pm1 $ e, inversamente, se $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 1 $, $ bf A $ e $ bf B $ são paralelos, enquanto se $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = - 1 $, $ bf A $ e $ bf B $ são anti-paralelos. (Os vetores são paralelos se apontam na mesma direção e antiparalelos se apontam em direções opostas.)

2. Se $ bf A $ for perpendicular a $ bf B $, então $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $ e, inversamente, se $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $ então $ bf A $ e $ bf B $ são perpendicular.

Dados dois vetores, muitas vezes é útil encontrar o projeção de um vetor para o outro, porque isso acaba tendo um significado importante em muitas circunstâncias. Mais precisamente, dados $ < bf A> $ e $ < bf B> $, buscamos um vetor paralelo a $ bf B $ mas com comprimento determinado por $ bf A $ de forma natural, como mostrado na figura 12.3.2. $ bf V $ é escolhido de forma que o triângulo formado por $ bf A $, $ bf V $ e $ < bf A> - < bf V> $ seja um triângulo retângulo.

Usando um pouco de trigonometria, vemos que $ | < bf V> | = | < bf A> | cos theta = | < bf A> | << bf A> cdot < bf B> over | < bf A> || < bf B> |> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> |> $ isso às vezes é chamado de projeção escalar de $ bf A $ em $ bf B $. Para obter o próprio $ bf V $, multiplicamos esse comprimento por um vetor de comprimento um paralelo a $ bf B $: $ < bf V> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> |> << bf B> over | < bf B> |> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> | ^ 2> < bf B>. $ Certifique-se de entender por que $ < bf B> / | < bf B> | $ é um vetor de comprimento um (também chamado de vetor unitário) paralelo a $ bf B $.

A discussão até agora implicitamente assumiu que le theta le pi / 2 $. If $ pi / 2 Figura 12.3.3. $ bf V $ é a projeção de $ bf A $ em $ bf B $.

Observe que a frase "projeção em $ bf B

12.3: Eigenspaces - Matemática

Escritório: 125C, Rettaliata Engg.
Telefone: (312) 567-3128
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Serviço de tutoria ARC: tutoria de matemática no Centro de Recursos Acadêmicos.

Prática de Problemas Online: Livro de Álgebra Linear na COW (Calculus on Web).

O Apostila de informações do curso tem ampla descrição do curso - tópicos, livro-texto, política de avaliação do aluno, bem como outras informações relevantes. Leia atentamente!

A carta de final de semestre para os alunos: O que vem a seguir?

Excelente conselho de Doug West sobre como escrever soluções de dever de casa para problemas baseados em provas.
Excelente conselho de Francis Su sobre boa redação matemática.

Por que temos que aprender provas?
Noções básicas sobre matemática - um guia de estudo
Em uma nota mais abstrata, aqui está uma discussão sobre Linguagem e Gramática da Matemática - que é o que você está começando a aprender em um curso como este.

Excelente conselho para alunos de matemática, especialmente aqueles que planejam fazer pós-graduação, de Terry Tao, medalhista de 2006 Fields. Leitura obrigatória.

Leia este livro sobre uma variedade de experiências na jornada para aprender matemática: Prova de vida

Algumas das principais fontes de informação / discussão para carreiras em Ciências Matemáticas:
MAA - Carreiras
SIAM - Carreiras
INFORMAÇÕES - Carreiras
AMS - Carreiras

  • Quinta-feira, 24/10 : Observe a data do exame final abaixo.
  • Terça-feira, 9/10 : Todas as datas do exame foram anunciadas abaixo.
  • Terça-feira, 20/08 : Verifique esta página da web regularmente para tarefas de casa, anúncios, etc.
  • Exame # 1 : Quinta-feira, 26/09. Tópicos: Todos os tópicos correspondentes a HW # 1, HW # 2, HW # 3, HW # 4.
  • Exame # 2 : Quinta-feira, 24/10. Tópicos: Todos os tópicos correspondentes aos HW # 5, HW # 6, HW # 7.
  • Exame # 3 : Terça-feira, 19/11. Tópicos: Todos os tópicos correspondentes a HW # 8, HW # 9, HW # 10.
  • Exame final : Terça-feira, 03/12, 10h30-12h30. Tópicos: todos os tópicos estudados durante o semestre.

Você só precisa enviar soluções para `Problemas de envio '.
No entanto, resolvendo a maioria das problemas sugeridos é fortemente encorajado. Resolver esses problemas vai melhorar sua compreensão do material do curso e prepará-lo melhor para os exames.
Trabalhe nos problemas de HW no final de semana para que você peça ajuda durante o horário de expediente na segunda-feira com o TA e na terça-feira com o instrutor e o TA.

Os números dos problemas abaixo são baseados na 11ª edição do livro didático. Se você estiver usando uma edição anterior, certifique-se de que está resolvendo os problemas corretos. (As seções 1.1., 1.2, 1.3 do livro estão disponíveis na visualização do livro na Amazon.)

Lembrar: A lição de casa deve ser enviada no início da aula na data de vencimento. As soluções devem ser escritas de forma clara, legível e concisa, e serão avaliadas tanto pela correção matemática quanto pela apresentação. Os pontos serão deduzidos por negligência, explicação incoerente ou insuficiente ou por falta de etapas intermediárias.
Certifique-se de grampear as páginas e escrever seu nome (e o de qualquer colaborador), número do curso, número da tarefa e a data de envio na capa.

  • Terça, 20/08 : Leia o Exemplo 6 na Seção 1.1 e exemplos para as formas de escalão de linha e de escalão de linha reduzida na Seção 1.2.
  • Quinta-feira, 22/08 : Leia os exemplos 1 a 6 na Seção 1.3
    Encontre 2x2 (e 3x3) matrizes A e B de modo que AB não seja igual a BA.
    Leia sobre Matrizes Particionadas e Exemplos 7, 8, 9, 10, 11 e 12 na Seção 1.3.
  • Trabalho de casa # 1 : Vence quinta-feira, 29/08. Soluções HW # 1 distribuídas em aula em 29/8.
    Problemas sugeridos: Seção 1.1: 1, 5, 7, 9, 21 e 26, TF. Seção 1.2: 1, 3, 15, 19, 35, TF. Seção 1.3: 23, 30.
    Problemas de envio: [Comentário: Ao resolver um sistema, configure a matriz aumentada e, em seguida, aplique as operações de linha, rotule claramente cada operação de linha aplicada e mostre todas as etapas intermediárias.]. Seção 1.1: 12, 16b, 20b, TF (e) (f) (g). Seção 1.2: 18, 24ac, 26, 31, 34, 43a. Seção 1.3: 27, 30a.


Assista o vídeo: Jak zobrazować sobie wartości własne i wektory własne (Outubro 2021).