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7.1: Valores próprios e vetores próprios de uma matriz


objetivos de aprendizado

  1. Descreva os valores próprios geométrica e algebricamente.
  2. Encontre autovalores e autovetores para uma matriz quadrada.

A Teoria Espectral se refere ao estudo dos autovalores e autovetores de uma matriz. É de fundamental importância em muitas áreas e é o assunto de nosso estudo neste capítulo.

Definição de vetores próprios e valores próprios

Nesta seção, trabalharemos com todo o conjunto de números complexos, denotados por ( mathbb {C} ). Lembre-se de que os números reais, ( mathbb {R} ) estão contidos nos números complexos, portanto, as discussões nesta seção se aplicam a números reais e complexos.

Para ilustrar a ideia por trás do que será discutido, considere o seguinte exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Autovetores e autovalores

Vamos [A = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) ] Calcule o produto (AX ) para [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right), X = left ( begin {array} { r} 1 0 0 end {array} right) ] O que você nota sobre (AX ) em cada um desses produtos?

Solução

Primeiro, calcule (AX ) para [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right) ]

Este produto é fornecido por [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} -5 -4 3 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -50 -40 30 end {array} right) = 10 left ( begin {array} {r} -5 -4 3 end {array} right) ]

Neste caso, o produto (AX ) resultou em um vetor que é igual a (10 ​​) vezes o vetor (X ). Em outras palavras, (AX = 10X ).

Vamos ver o que acontece no próximo produto. Calcule (AX ) para o vetor [X = left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) ]

Este produto é fornecido por [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) = 0 left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) ]

Neste caso, o produto (AX ) resultou em um vetor igual a (0 ) vezes o vetor (X ), (AX = 0X ).

Talvez esta matriz seja tal que (AX ) resulte em (kX ), para todo vetor (X ). No entanto, considere [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 1 1 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -5 38 -11 end {array} right ) ] Neste caso, (AX ) não resultou em um vetor da forma (kX ) para algum escalar (k ).

Há algo especial sobre os dois primeiros produtos calculados no Exemplo [exa: autovetores e valores originais]. Observe que para cada um, (AX = kX ) onde (k ) é algum escalar. Quando esta equação vale para alguns (X ) e (k ), chamamos o escalar (k ) de autovalor de (A ). Freqüentemente, usamos o símbolo especial ( lambda ) em vez de (k ) quando nos referimos aos autovalores. No Exemplo [exa: eigenvectorsandeigenvalues], os valores (10 ​​) e (0 ) são os próprios valores da matriz (A ) e podemos rotulá-los como ( lambda_1 = 10 ) e ( lambda_2 = 0 ).

Quando (AX = lambda X ) para algum (X neq 0 ), chamamos tal (X ) um autovetor da matriz (A ). Os autovetores de (A ) estão associados a um autovalor. Portanto, se ( lambda_1 ) é um autovalor de (A ) e (AX = lambda_1 X ), podemos rotular este autovetor como (X_1 ). Observe novamente que para ser um autovetor, (X ) deve ser diferente de zero.

Também há um significado geométrico para os vetores próprios. Quando você tem um diferente de zero vetor que, quando multiplicado por uma matriz resulta em outro vetor que é paralelo ao primeiro ou igual a 0, esse vetor é chamado de autovetor da matriz. Este é o significado quando os vetores estão em ( mathbb {R} ^ {n}. )

A definição formal de autovalores e autovetores é a seguinte.

Definição ( PageIndex {1} ): Valores próprios e vetores próprios

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ) e seja (X in mathbb {C} ^ {n} ) uma vetor diferente de zero para qual

[AX = lambda X label {eigen1} ] para algum escalar ( lambda. ) Então ( lambda ) é chamado de autovalor da matriz (A ) e (X ) é chamado de autovetor de (A ) associado a ( lambda ), ou a ( lambda ) - autovetor de (A ).

O conjunto de todos os valores próprios de uma matriz (n times n ) (A ) é denotado por ( sigma left (A right) ) e é referido como o espectro de (A. )

Os autovetores de uma matriz (A ) são aqueles vetores (X ) para os quais a multiplicação por (A ) resulta em um vetor na mesma direção ou direção oposta a (X ). Como o vetor zero (0 ) não tem direção, isso não faria sentido para o vetor zero. Como observado acima, (0 ) nunca pode ser um autovetor.

Vejamos os autovetores com mais detalhes. Suponha que (X ) satisfaça [eigen1]. Então [ begin {array} {c} AX - lambda X = 0 mbox {ou} left (A- lambda I right) X = 0 end {array} ] para alguns (X neq 0. ) Equivalentemente, você poderia escrever ( left ( lambda IA ​​ right) X = 0 ), que é mais comumente usado. Portanto, quando estamos procurando autovetores, estamos procurando soluções não triviais para este sistema homogêneo de equações!

Lembre-se de que as soluções para um sistema homogêneo de equações consistem em soluções básicas e as combinações lineares dessas soluções básicas. Neste contexto, chamamos as soluções básicas da equação ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) autovetores básicos. Segue-se que qualquer combinação linear (diferente de zero) de autovetores básicos é novamente um autovetor.

Suponha que a matriz ( left ( lambda I - A right) ) seja invertível, de forma que ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} ) exista. Então, a seguinte equação seria verdadeira. [ begin {alinhado} X & = & IX & = & left ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( lambda I - A right) right) X & = & left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( left ( lambda I - A right) X right) & = & left ( lambda I - A direita) ^ {- 1} 0 & = & 0 end {alinhado} ] Isso afirma que (X = 0 ). No entanto, exigimos que (X neq 0 ). Portanto ( left ( lambda I - A right) ) não pode ter um inverso!

Lembre-se de que se uma matriz não é invertível, então seu determinante é igual a (0 ). Portanto, podemos concluir que [ det left ( lambda I - A right) = 0 label {eigen2} ] Observe que isso é equivalente a ( det left (A- lambda I right) = 0 ).

A expressão ( det left ( lambda I-A right) ) é um polinômio (na variável (x )) chamado de polinômio característico de (A ), e ( det left ( lambda I-A right) = 0 ) é chamado de equação característica. Por esta razão, também podemos nos referir aos autovalores de (A ) como valores característicos, mas o primeiro é freqüentemente usado por razões históricas.

O seguinte teorema afirma que as raízes do polinômio característico são os autovalores de (A ). Assim, quando [eigen2] é válido, (A ) tem um autovetor diferente de zero.

Teorema ( PageIndex {1} ): A existência de um vetor próprio

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ) e suponha que ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) para algum ( lambda in mathbb {C } ).
Então ( lambda ) é um autovalor de (A ) e, portanto, existe um vetor diferente de zero (X in mathbb {C} ^ {n} ) tal que (AX = lambda X ) .

Prova

Para a matriz (A ) uma (n times n ), o método de Expansão de Laplace demonstra que ( det left ( lambda I - A right) ) é um polinômio de grau (n. ) Como tal, a equação [eigen2] tem uma solução ( lambda in mathbb {C} ) pelo Teorema Fundamental da Álgebra. O fato de que ( lambda ) é um autovalor é deixado como um exercício.

Encontrando Vectores Próprios e Valores Próprios

Agora que os autovalores e autovetores foram definidos, estudaremos como encontrá-los para uma matriz (A ).

Primeiro, considere a seguinte definição.

Definição ( PageIndex {2} ): Multiplicidade de um valor próprio

Seja (A ) uma matriz (n times n ) com polinômio característico dado por ( det left ( lambda I - A right) ). Então, a multiplicidade de um autovalor ( lambda ) de (A ) é o número de vezes que ( lambda ) ocorre como uma raiz daquele polinômio característico.

Por exemplo, suponha que o polinômio característico de (A ) seja dado por ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 ). Resolvendo as raízes deste polinômio, definimos ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 = 0 ) e resolvemos para ( lambda ). Descobrimos que ( lambda = 2 ) é uma raiz que ocorre duas vezes. Portanto, neste caso, ( lambda = 2 ) é um autovalor de (A ) de multiplicidade igual a (2 ).

Veremos agora como encontrar os autovalores e autovetores para uma matriz (A ) em detalhes. As etapas usadas são resumidas no procedimento a seguir.

Procedimento ( PageIndex {1} ): Encontrando valores próprios e vetores próprios

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ).

  1. Primeiro, encontre os autovalores ( lambda ) de (A ) resolvendo a equação ( det left ( lambda I -A right) = 0 ).
  2. Para cada ( lambda ), encontre os autovetores básicos (X neq 0 ) encontrando as soluções básicas para ( left ( lambda I - A right) X = 0 ).

Para verificar seu trabalho, certifique-se de que (AX = lambda X ) para cada ( lambda ) e autovetor associado (X ).

Exploraremos essas etapas mais detalhadamente no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontre os autovalores e autovetores

Let (A = left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) ). Encontre seus autovalores e autovetores.

Solução

Usaremos o procedimento [proc: findeigenvaluesvectors]. Primeiro, encontramos os autovalores de (A ) resolvendo a equação [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

Isso dá [ begin {alinhados} det left ( lambda left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin { array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) & = & 0 det left ( begin {array} {cc} lambda + 5 & ​​-2 7 & lambda -4 end {array} right) & = & 0 end {alinhado} ]

Calculando o determinante como de costume, o resultado é [ lambda ^ 2 + lambda - 6 = 0 ]

Resolvendo esta equação, descobrimos que ( lambda_1 = 2 ) e ( lambda_2 = -3 ).

Agora precisamos encontrar os autovetores básicos para cada ( lambda ). Primeiro, encontraremos os vetores próprios para ( lambda_1 = 2 ). Queremos encontrar todos os vetores (X neq 0 ) tais que (AX = 2X ). Estas são as soluções para ((2I - A) X = 0 ). [ begin {alinhado} left (2 left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} right) left ( begin {array} {rr} 7 e -2 7 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} direita) end {alinhado} ]

A matriz aumentada para este sistema e os correspondentes são fornecidos por [ left ( begin {array} {rr | r} 7 & -2 & 0 7 & -2 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( begin {array} {rr | r} 1 & - frac {2} {7} & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

A solução é qualquer vetor da forma [ left ( begin {array} {c} frac {2} {7} s s end {array} right) = s left ( begin {array } {r} frac {2} {7} 1 end {array} right) ]

Multiplicando este vetor por (7 ) obtemos uma descrição mais simples para a solução para este sistema, dada por [t left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

Isso fornece o autovetor básico para ( lambda_1 = 2 ) como [ left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

Para verificar, verificamos que (AX = 2X ) para este autovetor básico.

[ left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 2 7 end {array } right) = left ( begin {array} {r} 4 14 end {array} right) = 2 left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} certo )]

Isso é o que queríamos, então sabemos que esse autovetor básico está correto.

Em seguida, repetiremos esse processo para encontrar o autovetor básico para ( lambda_2 = -3 ). Queremos encontrar todos os vetores (X neq 0 ) tais que (AX = -3X ). Estas são as soluções para (((- 3) I-A) X = 0 ). [ begin {alinhados} left ((-3) left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} right) left ( begin {array} {rr} 2 & -2 7 & -7 end {array } right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} direita) end {alinhado} ]

A matriz aumentada para este sistema e os correspondentes são dados por [ left ( begin {array} {rr | r} 2 & -2 & 0 7 & -7 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( begin {array} {rr | r} 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

A solução é qualquer vetor da forma [ left ( begin {array} {c} s s end {array} right) = s left ( begin {array} {r} 1 1 end {array} right) ]

Isso fornece o autovetor básico para ( lambda_2 = -3 ) como [ left ( begin {array} {r} 1 1 end {array} right) ]

Para verificar, verificamos que (AX = -3X ) para este autovetor básico.

[ left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 1 end {array } right) = left ( begin {array} {r} -3 -3 end {array} right) = -3 left ( begin {array} {r} 1 1 end {array} right) ]

Isso é o que queríamos, então sabemos que esse autovetor básico está correto.

A seguir está um exemplo usando o Procedimento [proc: findeigenvaluesvectors] para uma matriz (3 vezes 3 ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontre os autovalores e autovetores

Encontre os autovalores e autovetores para a matriz [A = left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array } certo )]

Solução

Usaremos o procedimento [proc: findeigenvaluesvectors]. Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de (A ). Lembre-se de que são as soluções da equação [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

Neste caso, a equação é [ det left ( lambda left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) = 0 ]

que se torna

[ det left ( begin {array} {ccc} lambda - 5 & 10 & 5 -2 & lambda - 14 & -2 4 & 8 & lambda - 6 end {array} direita) = 0 ]

Usando a Expansão de Laplace, calcule este determinante e simplifique. O resultado é a seguinte equação. [ left ( lambda -5 right) left ( lambda ^ {2} -20 lambda +100 right) = 0 ]

Resolvendo esta equação, descobrimos que os valores próprios são ( lambda_1 = 5, lambda_2 = 10 ) e ( lambda_3 = 10 ). Observe que (10 ​​) é uma raiz da multiplicidade dois devido a [ lambda ^ {2} -20 lambda + 100 = left ( lambda -10 right) ^ {2} ] Portanto, ( lambda_2 = 10 ) é um autovalor de multiplicidade dois.

Agora que encontramos os autovalores para (A ), podemos calcular os autovetores.

Primeiro, encontraremos os autovetores básicos para ( lambda_1 = 5. ) Em outras palavras, queremos encontrar todos os vetores diferentes de zero (X ) de forma que (AX = 5X ). Isso requer que resolvamos a equação ( left (5 I - A right) X = 0 ) para (X ) como segue. [ left (5 left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) left ( begin {array} {r } x y z end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

Ou seja, você precisa encontrar a solução para [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 10 & 5 -2 & -9 & -2 4 & 8 & -1 end {array} right) left ( begin {array} {r} x y z end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

Agora, este é um problema familiar. Você configura a matriz aumentada e a redução de linha para obter a solução. Assim, a matriz que você deve reduzir a linha é [ left ( begin {array} {rrr | r} 0 & 10 & 5 & 0 -2 & -9 & -2 & 0 4 & 8 & -1 & 0 end {array} right) ] O é [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & - frac {5} {4} & 0 0 & 1 & frac {1} {2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

e então a solução é qualquer vetor da forma [ left ( begin {array} {c} frac {5} {4} s - frac {1} {2} s s end { array} right) = s left ( begin {array} {r} frac {5} {4} - frac {1} {2} 1 end {array} right) ] onde (s in mathbb {R} ). Se multiplicarmos este vetor por (4 ), obtemos uma descrição mais simples para a solução para este sistema, dada por [t left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) label {basiceigenvect} ] onde (t in mathbb {R} ). Aqui, o autovetor básico é dado por [X_1 = left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ]

Observe que não podemos deixar (t = 0 ) aqui, porque isso resultaria no vetor zero e os autovetores nunca são iguais a 0! Além desse valor, todas as outras opções de (t ) em [basiceigenvect] resultam em um autovetor.

É uma boa ideia verificar o seu trabalho! Para fazer isso, tomaremos a matriz original e multiplicaremos pelo autovetor básico (X_1 ). Verificamos para ver se obtemos (5X_1 ). [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { array} {r} 5 -2 4 end {array} right) = left ( begin {array} {r} 25 -10 20 end {array} right) = 5 left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ] Isso é o que queríamos, então sabemos que nossos cálculos estavam corretos.

Em seguida, encontraremos os autovetores básicos para ( lambda_2, lambda_3 = 10. ) Esses vetores são as soluções básicas para a equação, [ left (10 left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) left ( begin {array} {r} x y z end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ] Isto é, você deve encontrar as soluções para [ left ( begin {array} {rrr} 5 & 10 & 5 -2 & -4 & -2 4 & 8 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {c} x y z end {array} direita) = esquerda ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

Considere a matriz aumentada [ left ( begin {array} {rrr | r} 5 & 10 & 5 & 0 -2 & -4 & -2 & 0 4 & 8 & 4 & 0 end { array} right) ] O para esta matriz é [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ] e assim os autovetores são da forma [ left ( begin {array} {c} -2s-t s t end {array} right ) = s left ( begin {array} {r} -2 1 0 end {array} right) + t left ( begin {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] Observe que você não pode escolher (t ) e (s ) iguais a zero porque isso resultaria no vetor zero e os vetores próprios nunca serão iguais a zero.

Aqui, existem dois autovetores básicos, dados por [X_2 = left ( begin {array} {r} -2 1 0 end {array} right), X_3 = left ( begin { matriz} {r} -1 0 1 end {matriz} direita) ]

Tomar qualquer combinação linear (diferente de zero) de (X_2 ) e (X_3 ) também resultará em um autovetor para o autovalor ( lambda = 10. ) Como no caso de ( lambda = 5 ) , verifique sempre o seu trabalho! Para o primeiro autovetor básico, podemos verificar (AX_2 = 10 X_2 ) como segue. [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { array} {r} -1 0 1 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -10 0 10 end {array} right) = 10 left ( begin {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] Isso é o que queríamos. Verificar o segundo autovetor básico, (X_3 ), é deixado como um exercício.

É importante lembrar que, para qualquer autovetor (X ), (X neq 0 ). No entanto, é possível ter autovalores iguais a zero. Isto é ilustrado no exemplo seguinte.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Um valor próprio zero

Vamos [A = left ( begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end {array} right) ] Encontre o autovalores e autovetores de (A ).

Solução

Primeiro encontramos os autovalores de (A ). Faremos isso usando Definição [def: eigenvaluesandeigenvectors].

Para encontrar os autovalores de (A ), resolvemos a seguinte equação. [ det left ( lambda I -A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -2 & -2 & 2 -1 & lambda - 3 & 1 1 & -1 & lambda -1 end {array} right) = 0 ]

Isso se reduz a ( lambda ^ {3} -6 lambda ^ {2} +8 lambda = 0 ). Você pode verificar se as soluções são ( lambda_1 = 0, lambda_2 = 2, lambda_3 = 4 ). Observe que, embora os autovetores nunca possam ser iguais a (0 ), é possível ter um autovalor igual a (0 ).

Agora encontraremos os autovetores básicos. Para ( lambda_1 = 0 ), precisamos resolver a equação ( left (0 I - A right) X = 0 ). Esta equação se torna (- AX = 0 ), e então a matriz aumentada para encontrar as soluções é dada por [ left ( begin {array} {rrr | r} -2 & -2 & 2 & 0 -1 & -3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 0 end {array} right) ] O é [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ] Portanto, os vetores próprios são da forma (t left ( begin { array} {r} 1 0 1 end {array} right) ) onde (t neq 0 ) e o autovetor básico é dado por [X_1 = left ( begin {array} {r} 1 0 1 end {array} right) ]

Podemos verificar se este autovetor está correto verificando se a equação (AX_1 = 0 X_1 ) é válida. O produto (AX_1 ) é dado por [AX_1 = left ( begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end { array} right) left ( begin {array} {r} 1 0 1 end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

Isso é claramente igual a (0X_1 ), então a equação é válida. Portanto, (AX_1 = 0X_1 ) e, portanto, (0 ) é um autovalor de (A ).

O cálculo dos outros autovetores básicos é deixado como um exercício.

Nas seções a seguir, examinaremos maneiras de simplificar esse processo de localização de autovalores e autovetores usando propriedades de tipos especiais de matrizes.

Valores próprios e vetores próprios para tipos especiais de matrizes

Existem três tipos especiais de matrizes que podemos usar para simplificar o processo de encontrar autovalores e autovetores. Ao longo desta seção, discutiremos matrizes semelhantes, matrizes elementares e também matrizes triangulares.

Começamos com uma definição.

Definição ( PageIndex {2} ): Matrizes semelhantes

Sejam (A ) e (B ) matrizes (n vezes n ). Suponha que exista uma matriz invertível (P ) tal que [A = P ^ {- 1} BP ] Então (A ) e (B ) são chamados matrizes semelhantes.

Acontece que podemos usar o conceito de matrizes semelhantes para nos ajudar a encontrar os autovalores das matrizes. Considere o seguinte lema.

Lemma ( PageIndex {1} ): Matrizes e valores próprios semelhantes

Sejam (A ) e (B ) matrizes semelhantes, de modo que (A = P ^ {- 1} BP ) onde (A, B ) são matrizes (n vezes n ) e (P ) é invertível. Então (A, B ) têm os mesmos autovalores.

Prova

Precisamos mostrar duas coisas. Primeiro, precisamos mostrar que se (A = P ^ {- 1} BP ), então (A ) e (B ) têm os mesmos autovalores. Em segundo lugar, mostramos que se (A ) e (B ) têm os mesmos autovalores, então (A = P ^ {- 1} BP ).

Aqui está a prova da primeira afirmação. Suponha que (A = P ^ {- 1} BP ) e ( lambda ) seja um autovalor de (A ), ou seja (AX = lambda X ) para algum (X neq 0 . ) Então [P ^ {- 1} BPX = lambda X ] e então [BPX = lambda PX ]

Como (P ) é um para um e (X neq 0 ), segue-se que (PX neq 0 ). Aqui, (PX ) desempenha o papel do autovetor nesta equação. Assim, ( lambda ) também é um autovalor de (B ). Pode-se verificar da mesma forma que qualquer autovalor de (B ) também é um autovalor de (A ) e, portanto, ambas as matrizes têm os mesmos autovalores desejados.

Provar a segunda afirmação é semelhante e é deixado como um exercício.

Observe que esta prova também demonstra que os vetores próprios de (A ) e (B ) serão (geralmente) diferente. Vemos na prova que (AX = lambda X ), enquanto (B left (PX right) = lambda left (PX right) ). Portanto, para um valor próprio ( lambda ), (A ) terá o vetor próprio (X ) enquanto (B ) terá o vetor próprio (PX ).

O segundo tipo especial de matrizes que discutimos nesta seção são as matrizes elementares. Lembre-se da definição [def: elementarymatricesandrowops] que uma matriz elementar (E ) é obtida aplicando uma operação de linha à matriz de identidade.

É possível usar matrizes elementares para simplificar uma matriz antes de pesquisar seus autovalores e autovetores. Isto é ilustrado no exemplo seguinte.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Simplifique o uso de matrizes elementares

Encontre os valores próprios para a matriz [A = left ( begin {array} {rrr} 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right ) ]

Solução

Esta matriz tem números grandes e, portanto, gostaríamos de simplificar o máximo possível antes de calcular os autovalores.

Faremos isso usando operações de linha. Primeiro, adicione (2 ) vezes a segunda linha à terceira linha. Para fazer isso, multiplique (A ) à esquerda por (E left (2,2 right) ). Em seguida, multiplique (A ) à direita pelo inverso de (E left (2,2 right) ) conforme ilustrado. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 end {array} right) left ( begin {array} {rrr } 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 end {array} right) = left ( begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] Por Lema [lem: matrizes semelhantes], a matriz resultante tem os mesmos autovalores que (A ) onde aqui, a matriz (E left (2,2 direita) ) desempenha o papel de (P ).

Fazemos esta etapa novamente, como segue. Nesta etapa, usamos a matriz elementar obtida adicionando (- 3 ) vezes a segunda linha à primeira linha. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & -3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) left ( begin {array} { rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) = left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) label {elemeigenvalue} ] Novamente por Lemma [lem: similarmatrices], esta matriz resultante tem os mesmos autovalores que (A ). Neste ponto, podemos encontrar facilmente os autovalores. Vamos [B = left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] Então, nós encontre os autovalores de (B ) (e, portanto, de (A )) resolvendo a equação ( det left ( lambda I - B right) = 0 ). Você deve verificar se esta equação se torna [ left ( lambda +2 right) left ( lambda +2 right) left ( lambda - 3 right) = 0 ] Resolver esta equação resulta em autovalores de ( lambda_1 = -2, lambda_2 = -2 ) e ( lambda_3 = 3 ). Portanto, esses também são os autovalores de (A ).

Usando matrizes elementares, fomos capazes de criar uma matriz para a qual encontrar os autovalores foi mais fácil do que para (A ). Neste ponto, você poderia voltar à matriz original (A ) e resolver ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) para obter os autovetores de (A ).

Observe que quando você multiplica à direita por uma matriz elementar, você está fazendo a operação de coluna definida pela matriz elementar. Em [elemeigenvalue], a multiplicação pela matriz elementar à direita envolve apenas pegar três vezes a primeira coluna e adicionar à segunda. Assim, sem se referir às matrizes elementares, a transição para a nova matriz em [elemeigenvalue] pode ser ilustrada por [ left ( begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & -9 & 15 10 & -32 & 30 0 & 0 & - 2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & 0 & -2 end {array} right ) ]

O terceiro tipo especial de matriz que consideraremos nesta seção é a matriz triangular. Lembre-se da Definição [def: matrizes triangulares] que afirma que uma matriz triangular superior (inferior) contém todos os zeros abaixo (acima) da diagonal principal. Lembre-se de que encontrar o determinante de uma matriz triangular é um procedimento simples de obter o produto das entradas na diagonal principal. Acontece que também há uma maneira simples de encontrar os autovalores de uma matriz triangular.

No próximo exemplo, demonstraremos que os valores próprios de uma matriz triangular são as entradas na diagonal principal.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Valores próprios para uma matriz triangular

Let (A = left ( begin {array} {rrr} 1 & 2 & 4 0 & 4 & 7 0 & 0 & 6 end {array} right). ) Encontre os valores próprios de (UMA).

Solução

Precisamos resolver a equação ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) como segue [ begin {alinhado} det left ( lambda I - A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -1 & -2 & -4 0 & lambda -4 & -7 0 & 0 & lambda -6 end {array} right) = left ( lambda -1 right) left ( lambda -4 right) left ( lambda -6 right) = 0 end {alinhado} ]

Resolver a equação ( left ( lambda -1 right) left ( lambda -4 right) left ( lambda -6 right) = 0 ) para ( lambda ) resulta nos autovalores ( lambda_1 = 1, lambda_2 = 4 ) e ( lambda_3 = 6 ). Assim, os valores próprios são as entradas na diagonal principal da matriz original.

O mesmo resultado é verdadeiro para matrizes triangulares inferiores. Para qualquer matriz triangular, os valores próprios são iguais às entradas na diagonal principal. Para encontrar os autovetores de uma matriz triangular, usamos o procedimento usual.

Na próxima seção, exploramos um importante processo envolvendo os autovalores e autovetores de uma matriz.