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1.1: Soluções e Operações Elementares


Problemas práticos em muitos campos de estudo - como biologia, negócios, química, ciência da computação, economia, eletrônica, engenharia, física e ciências sociais - muitas vezes podem ser reduzidos à resolução de um sistema de equações lineares. A álgebra linear surgiu de tentativas de encontrar métodos sistemáticos para resolver esses sistemas, portanto, é natural começar este livro estudando equações lineares.

Se (a ), (b ) e (c ) forem números reais, o gráfico de uma equação da forma [ax + by = c ] é uma linha reta (if (a ) e (b ) não são ambos zero), então tal equação é chamada de linear equação nas variáveis ​​ (x ) e (y ). No entanto, geralmente é conveniente escrever as variáveis ​​como (x_1, x_2, pontos, x_n ), particularmente quando mais de duas variáveis ​​estão envolvidas. Uma equação da forma [a_1x_1 + a_2x_2 + dots + a_nx_n = b ] é chamada de a equação linear nas variáveis ​​ (n ) (x_1, x_2, pontos, x_n ). Aqui (a_1, a_2, dots, a_n ) denotam números reais (chamados de coeficientes de (x_1, x_2, pontos, x_n ), respectivamente) e (b ) também é um número (chamado de termo constante da equação). Uma coleção finita de equações lineares nas variáveis ​​ (x_1, x_2, pontos, x_n ) é chamada de sistema de equações lineares nessas variáveis. Portanto, [2x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 7 ] é uma equação linear; os coeficientes de (x_1 ), (x_2 ) e (x_3 ) são (2 ), (- 3 ) e (5 ), e o termo constante é (7 ). Observe que cada variável em uma equação linear ocorre apenas na primeira potência.

Dada uma equação linear (a_1x_1 + a_2x_2 + dots + a_nx_n = b ), uma sequência (s_1, s_2, dots, s_n ) de (n ) números é chamada de solução para a equação se [a_1s_1 + a_2s_2 + dots + a_ns_n = b ] ou seja, se a equação for satisfeita quando as substituições (x_1 = s_1, x_2 = s_2, dots, x_n = s_n ) forem feitas. Uma sequência de números é chamada uma solução para um sistema de equações se for uma solução para todas as equações do sistema.

Por exemplo, (x = -2 ), (y = 5 ), (z = 0 ) e (x = 0 ), (y = 4 ), (z = -1 ) são ambas as soluções para o sistema [ arraycolsep = 1pt begin {array} {rrrrrrr} x & + & y & + & z & = & 3 2x & + & y & + & 3z & = & 1 end {array} ] Um sistema pode não ter solução alguma, ou pode ter uma solução única, ou pode ter uma família infinita de soluções. Por exemplo, o sistema (x + y = 2 ), (x + y = 3 ) não tem solução porque a soma de dois números não pode ser 2 e 3 simultaneamente. Um sistema que não tem solução é chamado inconsistente; um sistema com pelo menos uma solução é chamado consistente. O sistema no exemplo a seguir possui infinitas soluções.

000722 Mostre que, para valores arbitrários de (s ) e (t ), [ begin {alinhados} x_1 & = t - s + 1 x_2 & = t + s + 2 x_3 & = s x_4 & = t end {alinhado} ] é uma solução para o sistema [ arraycolsep = 1pt begin {array} {rrrrrrr} x_1 & - & 2x_2 & + 3x_3 & + x_4 & = & -3 2x_1 & - & x_2 & + 3x_3 & - x_4 & = & 0 end {array} ]

Basta substituir esses valores de (x_1 ), (x_2 ), (x_3 ) e (x_4 ) em cada equação. [ começar {alinhado} x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 & = (t - s + 1) - 2 (t + s + 2) + 3s + t = -3 2x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 & = 2 (t - s + 1) - (t + s + 2) + 3s - t = 0 end {alinhado} ] Como ambas as equações são satisfeitas, é uma solução para todas as escolhas de (s ) e (t ).

As quantidades (s ) e (t ) no Exemplo [exa: 000722] são chamadas parametros, e o conjunto de soluções, descrito desta forma, é dito ser dado em forma paramétrica e é chamado de solução geral para o sistema. Acontece que as soluções para cada sistema de equações (se houver está soluções) podem ser fornecidas na forma paramétrica (ou seja, as variáveis ​​ (x_1 ), (x_2 ), ( pontos ) são fornecidas em termos de novas variáveis ​​independentes (s ), (t ), etc.). O exemplo a seguir mostra como isso acontece nos sistemas mais simples, onde apenas uma equação está presente.

000739 Descreva todas as soluções para (3x - y + 2z = 6 ) na forma paramétrica.

Resolvendo a equação para (y ) em termos de (x ) e (z ), obtemos (y = 3x + 2z -6 ). Se (s ) e (t ) são arbitrários, então, definindo (x = s ), (z = t ), obtemos soluções [ begin {alinhados} x & = s y & = 3s + 2t -6 quad s mbox {e} t mbox {arbitrário} z & = t end {alinhado} ] Claro que poderíamos ter resolvido para (x ): (x = frac {1} {3} (y -2z + 6) ). Então, se tomarmos (y = p ), (z = q ), as soluções são representadas da seguinte forma: [ begin {array} {rlll} x & = & frac {1} {3} (p - 2q + 6) & y & = & p & p mbox {e} q mbox {arbitrário} z & = & q & end {array} ] A mesma família de soluções pode “ olhar ”bem diferente!

15cm

Quando apenas duas variáveis ​​estão envolvidas, as soluções para sistemas de equações lineares podem ser descritas geometricamente porque o gráfico de uma equação linear (ax + by = c ) é uma linha reta se (a ) e (b ) não são ambos zero. Além disso, um ponto (P (s, t) ) com coordenadas (s ) e (t ) encontra-se na linha se e somente se (as + bt = c ) - ou seja, ( x = s ), (y = t ) é uma solução para a equação. Daí as soluções para um sistema de equações lineares correspondem aos pontos (P (s, t) ) que se encontram em tudo as linhas em questão.

Em particular, se o sistema consiste em apenas uma equação, deve haver um número infinito de soluções porque há um número infinito de pontos em uma linha. Se o sistema tiver duas equações, existem três possibilidades para as linhas retas correspondentes:

  1. As linhas se cruzam em um único ponto. Então o sistema tem um solução única correspondente a esse ponto.

  2. As linhas são paralelas (e distintas) e, portanto, não se cruzam. Então o sistema tem nenhuma solução.

  3. As linhas são idênticas. Então o sistema tem infinitas soluções—Um para cada ponto na linha (comum).

Essas três situações são ilustradas na Figura [fig: 000759]. Em cada caso, os gráficos de duas linhas específicas são traçados e as equações correspondentes são indicadas. No último caso, as equações são (3x - y = 4 ) e (- 6x + 2y = -8 ), que possuem gráficos idênticos.

Com três variáveis, o gráfico de uma equação (ax + by + cz = d ) pode ser mostrado como um plano (consulte a Seção [sec: 4_2]) e, portanto, novamente fornece uma “imagem” do conjunto de soluções. No entanto, este método gráfico tem suas limitações: Quando mais de três variáveis ​​estão envolvidas, nenhuma imagem física dos gráficos (chamados de hiperplanos) é possível. É necessário recorrer a um método de solução mais “algébrico”.

Antes de descrever o método, apresentamos um conceito que simplifica os cálculos envolvidos. Considere o seguinte sistema [ arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrlrcr} 3x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & + & x_4 & = & -1 2x_1 & & & - & x_3 & + & 2x_4 & = & 0 3x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & + & 5x_4 & = & 2 end {array} ] de três equações em quatro variáveis. A matriz de números1 [ leftB begin {array} {rrrr | r} 3 & 2 & -1 & 1 & -1 2 & 0 & -1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 & 5 & 2 end {array} rightB ] ocorrendo no sistema é chamado de matriz aumentada do sistema. Cada linha da matriz consiste nos coeficientes das variáveis ​​(em ordem) da equação correspondente, junto com o termo constante. Para maior clareza, as constantes são separadas por uma linha vertical. A matriz aumentada é apenas uma maneira diferente de descrever o sistema de equações. A matriz de coeficientes das variáveis ​​ [ leftB begin {array} {rrrr} 3 & 2 & -1 & 1 2 & 0 & -1 & 2 3 & 1 & 2 & 5 end {array } rightB ] é chamado de matriz de coeficiente do sistema e ( leftB begin {array} {r} -1 0 2 end {array} rightB ) é chamado de matriz constante do sistema.

Operações Elementares

O método algébrico para resolver sistemas de equações lineares é descrito a seguir. Dois desses sistemas seriam equivalente se eles tiverem o mesmo conjunto de soluções. Um sistema é resolvido escrevendo uma série de sistemas, um após o outro, cada um equivalente ao sistema anterior. Cada um desses sistemas tem o mesmo conjunto de soluções do original; o objetivo é chegar a um sistema fácil de resolver. Cada sistema da série é obtido do sistema anterior por uma simples manipulação escolhida de forma que não mude o conjunto de soluções.

Como ilustração, resolvemos o sistema (x + 2y = -2 ), (2x + y = 7 ) desta maneira. Em cada estágio, a matriz aumentada correspondente é exibida. O sistema original é [ begin {array} {lcl} arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrcr} x & + & 2y & = & -2 2x & + & y & = & 7 end { matriz} & quad & leftB begin {array} {rr | r} 1 & 2 & -2 2 & 1 & 7 end {array} rightB end {array} ] Primeiro, subtraia duas vezes o primeira equação da segunda. O sistema resultante é [ begin {array} {lcl} arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrcr} x & + & 2y & = & -2 & - & 3y & = & 11 end {array } & quad & leftB begin {array} {rr | r} 1 & 2 & -2 0 & -3 & 11 end {array} rightB end {array} ] que é equivalente ao original (ver Teorema [thm: 000789]). Neste estágio, obtemos (y = - frac {11} {3} ) multiplicando a segunda equação por (- frac {1} {3} ). O resultado é o sistema equivalente [ begin {array} {lcl} arraycolsep = 1pt begin {array} {rcr} x + 2y & = & -2 y & = & - frac {11} {3 } end {array} & quad & leftB begin {array} {rr | r} 1 & 2 & -2 0 & 1 & - frac {11} {3} end {array} rightB end {array} ] Finalmente, subtraímos duas vezes a segunda equação da primeira para obter outro sistema equivalente. [ begin {array} {lcl} def arraystretch {1.5} arraycolsep = 1pt begin {array} {rcr} x & = & frac {16} {3} y & = & - frac {11} {3} end {array} & quad quad & def arraystretch {1.5} leftB begin {array} {rr | r} 1 & 0 & frac {16} {3} 0 & 1 & - frac {11} {3} end {array} rightB end {array} ] Agora isto sistema é fácil de resolver! E por ser equivalente ao sistema original, ele fornece a solução para esse sistema.

Observe que, em cada estágio, uma determinada operação é realizada no sistema (e, portanto, na matriz aumentada) para produzir um sistema equivalente.

Operações Elementares000779 As seguintes operações, chamadas operações elementares, pode ser executado rotineiramente em sistemas de equações lineares para produzir sistemas equivalentes.

  1. Troque duas equações.

  2. Multiplique uma equação por um número diferente de zero.

  3. Adicione um múltiplo de uma equação a uma equação diferente.

000789 Suponha que uma sequência de operações elementares seja executada em um sistema de equações lineares. Então, o sistema resultante tem o mesmo conjunto de soluções que o original, então os dois sistemas são equivalentes.

A prova é dada no final desta seção.

As operações elementares realizadas em um sistema de equações produzem manipulações correspondentes do filas da matriz aumentada. Assim, multiplicar uma linha de uma matriz por um número (k ) significa multiplicar cada entrada da linha por (k ). Adicionar uma linha a outra significa adicionar cada entrada dessa linha para a entrada correspondente da outra linha. A subtração de duas linhas é feita de maneira semelhante. Observe que consideramos duas linhas iguais quando as entradas correspondentes são iguais.

Em cálculos manuais (e em programas de computador), manipulamos as linhas da matriz aumentada em vez das equações. Por esta razão, reafirmamos essas operações elementares para matrizes.

Operações de linha elementares000795 Os seguintes são chamados operações elementares de linha em uma matriz.

  1. Troque duas linhas.

  2. Multiplique uma linha por um número diferente de zero.

  3. Adicione um múltiplo de uma linha a uma linha diferente.

Na ilustração acima, uma série de tais operações levou a uma matriz da forma [ leftB begin {array} {rr | r} 1 & 0 & * 0 & 1 & * end {array} rightB ] onde os asteriscos representam números arbitrários. No caso de três equações em três variáveis, o objetivo é produzir uma matriz da forma [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & * 0 & 1 & 0 & * 0 & 0 & 1 & * end {array} rightB ] Isso nem sempre acontece, como veremos na próxima seção. Aqui está um exemplo em que isso acontece.

000809 Encontre todas as soluções para o seguinte sistema de equações. [ arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrcr} 3x & + & 4y & + & z & = & 1 2x & + & 3y & & & = & 0 4x & + & 3y & - & z & = & -2 end {array} ]

A matriz aumentada do sistema original é [ leftB begin {array} {rrr | r} 3 & 4 & 1 & 1 2 & 3 & 0 & 0 4 & 3 & -1 & -2 end {array} rightB ] Para criar um (1 ) no canto superior esquerdo, poderíamos multiplicar a linha 1 por ( frac {1} {3} ). No entanto, o (1 ) pode ser obtido sem a introdução de frações subtraindo a linha 2 da linha 1. O resultado é [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 0 & 0 4 & 3 & -1 & -2 end {array} rightB ] O canto superior esquerdo (1 ) agora é usado para “limpar” a primeira coluna, ou seja, criar zeros em as outras posições nessa coluna. Primeiro subtraia (2 ) vezes a linha 1 da linha 2 para obter [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & -2 4 & 3 & -1 & -2 end {array} rightB ] Em seguida, subtraia (4 ) vezes a linha 1 da linha 3. O resultado é [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & -2 0 & -1 & -5 & -6 end {array} rightB ] Isso completa o trabalho na coluna 1. Agora usamos o (1 ) na segunda posição da segunda linha para limpar a segunda coluna subtraindo a linha 2 da linha 1 e, em seguida, adicionando a linha 2 à linha 3. Por conveniência, ambas as operações de linha são feitas em uma etapa. O resultado é [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 3 & 3 0 & 1 & -2 & -2 0 & 0 & -7 & -8 end {array } rightB ] Observe que as duas últimas manipulações não afetou a primeira coluna (a segunda linha tem um zero ali), portanto, nosso esforço anterior não foi prejudicado. Finalmente, limpamos a terceira coluna. Comece multiplicando a linha 3 por (- frac {1} {7} ) para obter [ leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 3 & 3 0 & 1 & -2 & -2 0 & 0 & 1 & frac {8} {7} end {array} rightB ] Agora subtraia (3 ) vezes a linha 3 da linha 1 e, em seguida, adicione (2 ) vezes da linha 3 à linha 2 para obter [ def arraystretch {1.5} leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & - frac {3} {7} 0 & 1 & 0 & frac {2} {7} 0 & 0 & 1 & frac {8} {7} end {array} rightB ] As equações correspondentes são (x = - frac {3} { 7} ), (y = frac {2} {7} ), e (z = frac {8} {7} ), que fornecem a solução (única).

Cada operação de linha elementar pode ser invertido por outra operação de linha elementar do mesmo tipo (chamada de inverso) Para ver como, examinamos os tipos I, II e III separadamente:

lX [5] [itm: tipos] e
Tipo I & A troca de duas linhas é invertida trocando-as novamente.
&
Tipo II & Multiplicar uma linha por um número diferente de zero (k ) é revertido multiplicando por (1 / k ).
&
Tipo III & Adicionar (k ) vezes linha (p ) a uma linha diferente (q ) é revertido adicionando (- k ) vezes linha (p ) à linha (q ) (no novo matriz). Observe que (p neq q ) é essencial aqui.
&

Para ilustrar a situação do Tipo III, suponha que haja quatro linhas na matriz original, denotadas (R_1 ), (R_2 ), (R_3 ) e (R_4 ), e que (k ) vezes (R_2 ) é adicionado a (R_3 ). Então, a operação reversa adiciona (- k ) vezes (R_2 ), a (R_3 ). O diagrama a seguir ilustra o efeito de fazer a operação primeiro e depois o inverso: [ leftB begin {array} {c} R_1 R_2 R_3 R_4 end {array} rightB rightarrow leftB começar {matriz} {c} R_1 R_2 R_3 + kR_2 R_4 fim {matriz} direitaB seta direita esquerdaB iniciar {matriz} {c} R_1 R_2 (R_3 + kR_2) - kR_2 R_4 end {array} rightB = leftB begin {array} {c} R_1 R_2 R_3 R_4 end {array} rightB ] A existência de inversos para operações de linha elementares e portanto, para operações elementares em um sistema de equações, dá:

Suponha que um sistema de equações lineares seja transformado em um novo sistema por uma sequência de operações elementares. Então, cada solução do sistema original é automaticamente uma solução do novo sistema porque adicionar equações, ou multiplicar uma equação por um número diferente de zero, sempre resulta em uma equação válida. Da mesma forma, cada solução do novo sistema deve ser uma solução para o sistema original porque o sistema original pode ser obtido do novo por outra série de operações elementares (os inversos dos originais). Conclui-se que o sistema original e o novo têm as mesmas soluções. Isso prova o Teorema [thm: 000789].

Exercícios para 1

soluções

2

Em cada caso, verifique se as seguintes são soluções para todos os valores de (s ) e (t ).

  1. ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rcl} x & = & 19t - 35 y & = & 25 - 13t z & = & t end {array} )

    é uma solução de

    ( arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrcr} 2x & + & 3y & + & z & = & 5 5x & + & 7y & - & 4z & = & 0 end {array} )

  2. ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rcl} x_1 & = & 2s + 12t + 13 x_2 & = & s x_3 & = & -s - 3t - 3 x_4 & = & t end {array} )

    é uma solução de

    ( arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrlrcr} 2x_1 & + & 5x_2 & + & 9x_3 & + & 3x_4 & = & -1 x_1 & + & 2x_2 & + & 4x_3 & & & = & 1 fim {array} )

  1. (2 (2s + 12t + 13) + 5s + 9 (-s - 3t - 3) + 3t = -1 ); ((2s + 12t + 13) + 2s + 4 (-s - 3t - 3) = 1 )

Encontre todas as soluções para o seguinte na forma paramétrica de duas maneiras.

(3x + y = 2 ) (2x + 3y = 1 ) (3x - y + 2z = 5 ) (x - 2y + 5z = 1 )

  1. (x = t ), (y = frac {1} {3} (1 - 2t) ) ou (x = frac {1} {2} (1 - 3s) ), ( y = s )

  2. (x = 1 + 2s - 5t ), (y = s ), (z = t ) ou (x = s ), (y = t ),
    (z = frac {1} {5} (1 - s + 2t) )

Em relação a (2x = 5 ) como a equação (2x + 0y = 5 ) em duas variáveis, encontre todas as soluções na forma paramétrica.

Com relação a (4x - 2y = 3 ) como a equação (4x - 2y + 0z = 3 ) em três variáveis, encontre todas as soluções na forma paramétrica.

(x = frac {1} {4} (3 + 2s) ), (y = s ), (z = t )

Encontre todas as soluções para o sistema geral (ax = b ) de uma equação em uma variável (a) quando (a = 0 ) e (b) quando (a neq 0 ).

  1. Sem solução se (b neq 0 ). Se (b = 0 ), algum (x ) é uma solução.

  2. (x = frac {b} {a} )

Mostre que um sistema que consiste em exatamente uma equação linear pode não ter solução, uma solução ou infinitas soluções. Dar exemplos.

Escreva a matriz aumentada para cada um dos seguintes sistemas de equações lineares.

( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} x & - & 3y & = & 5 2x & + & y & = & 1 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} x & + & 2y & = & 0 & & y & = & 1 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrlrcr} x & - & y & + & z & = & 2 & & x & - & z & = & 1 & & y & + & 2x & = & 0 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} x & + & y & = & 1 y & + & z & = & 0 z & - & x & = & 2 end {array } )

  1. ( leftB begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 end {array} rightB )

  2. ( leftB begin {array} {rrr | r} 1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 2 end {array} rightB )

Escreva um sistema de equações lineares que tenha cada uma das seguintes matrizes aumentadas.

( leftB begin {array} {rrr | r} 1 & -1 & 6 & 0 0 & 1 & 0 & 3 2 & -1 & 0 & 1 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrr | r} 2 & -1 & 0 & -1 -3 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 end {array} rightB )

  1. ( arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrcr} 2x & - & y & & & & = & -1 -3x & + & 2y & + & z & = & 0 & & y & + & z & = & 3 end {array} )
    ou ( arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrlrcr} 2x_1 & - & x_2 & & & = & -1 -3x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 0 & & x_2 & + & x_3 & = & 3 end {array} )

Encontre a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares usando matrizes aumentadas.

( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} x & - & 3y & = & 1 2x & - & 7y & = & = & 3 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} x & + & 2y & = & 1 3x & + & 4y & = & -1 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr} 2x & + & 3y & = & -1 3x & + & 4y & = & 2 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrcr } 3x & + & 4y & = & 1 4x & + & 5y & = & -3 end {array} )

  1. (x = -3 ), (y = 2 )

  2. (x = -17 ), (y = 13 )

Encontre a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares usando matrizes aumentadas.

( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrlrcr} x & + & y & + & 2z & = & -1 2x & + & y & + & 3z & = & 0 & - & 2y & + & z & = & 2 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rlrlrcr} 2x & + & y & + & z & = & -1 x & + & 2y & + & z & = & 0 3x & & & - & 2z & = & 5 end {array} )

  1. (x = frac {1} {9} ), (y = frac {10} {9} ), (z = - frac {7} {3} )

Encontre todas as soluções (se houver) dos seguintes sistemas de equações lineares.

( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rcr} 3x - 2y & = & 5 -12x + 8y & = & - 20 end {array} ) ( arraycolsep = 1pt begin {array} [t] {rcr} 3x - 2y & = & 5 -12x + 8y & = & 16 end {array} )

  1. Sem solução

Mostre que o sistema [ left { arraycolsep = 3.5pt begin {array} {rlrlrcr} x & + & 2y & - & z & = & a 2x & + & y & + & 3z & = & b x & - & 4y & + & 9z & = & c end {array} right. ] é inconsistente, a menos que (c = 2b - 3a ).

Examinando as posições possíveis das linhas no plano, mostre que duas equações em duas variáveis ​​podem ter zero, uma ou infinitas soluções.

2

Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo2 mostrar que é falso.

  1. Se um sistema linear tiver (n ) variáveis ​​e (m ) equações, a matriz aumentada terá (n ) linhas.

  2. Um sistema linear consistente deve ter infinitas soluções.

  3. Se uma operação de linha for feita em um sistema linear consistente, o sistema resultante deve ser consistente.

  4. Se uma série de operações de linha em um sistema linear resultar em um sistema inconsistente, o sistema original é inconsistente.

  1. F. (x + y = 0 ), (x - y = 0 ) tem uma solução única.

  2. T. Teorema [thm: 000789].

Encontre um (a + bx + cx ^ 2 ) quadrático de modo que o gráfico de (y = a + bx + cx ^ 2 ) contenha cada um dos pontos ((- 1, 6) ), ( (2, 0) ) e ((3, 2) ).

Resolva o sistema ( left { arraycolsep = 1pt begin {array} {rlrcr} 3x & + & 2y & = & 5 7x & + & 5y & = & 1 end {array} right. ) alterando as variáveis ​​ ( left { arraycolsep = 1pt begin {array} {rcrlr} x & = & 5x ^ prime & - & 2y ^ prime y & = & -7x ^ prime & + & 3y ^ prime end {array} right. ) E resolvendo as equações resultantes para (x ^ prime ) e (y ^ prime ).

(x ^ prime = 5 ), (y ^ prime = 1 ), então (x = 23 ), (y = -32 )

Encontre (a ), (b ) e (c ) de modo que [ frac {x ^ 2 - x + 3} {(x ^ 2 + 2) (2x - 1)} = frac {ax + b} {x ^ 2 + 2} + frac {c} {2x - 1} ] [Dica: Multiplique por ((x ^ 2 + 2) (2x - 1) ) e iguale os coeficientes de potências de (x ).]

(a = - frac {1} {9} ), (b = - frac {5} {9} ), (c = frac {11} {9} )

Um tratador deseja dar a um animal 42 mg de vitamina A e 65 mg de vitamina D por dia. Ele tem dois suplementos: o primeiro contém 10% de vitamina A e 25% de vitamina D; a segunda contém 20% de vitamina A e 25% de vitamina D. Quanto de cada suplemento ele deve dar ao animal por dia?

Os trabalhadores John e Joe ganham um total de $ 24,60 quando John trabalha 2 horas e Joe trabalha 3 horas. Se John trabalhar 3 horas e Joe trabalhar 2 horas, eles recebem $ 23,90. Encontre suas taxas horárias.

$4.50, $5.20

Um biólogo quer criar uma dieta a partir de peixes e refeições contendo 183 gramas de proteínas e 93 gramas de carboidratos por dia. Se o peixe contém 70% de proteína e 10% de carboidrato, e a refeição contém 30% de proteína e 60% de carboidrato, quanto de cada alimento é necessário por dia?


  1. Uma matriz retangular de números é chamada de matriz. As matrizes serão discutidas com mais detalhes no Capítulo [cap: 2] .↩

  2. Esse exemplo é chamado de contra-exemplo. Por exemplo, se a afirmação é que “todos os filósofos têm barbas”, a existência de um filósofo sem barba seria um contra-exemplo provando que a afirmação é falsa. Isso é discutido novamente no Apêndice [cap: appbproofs] .↩


Operação de linha elementar

Operações elementares de linha (ou coluna) em matrizes inteiras são importantes porque permitem a padronização de matrizes inteiras em formas mais simples, como formas triangulares e diagonais.

Definição 2.2.1.8

Qualquer operação de linha elementar em uma matriz de valor inteiroPé definido como qualquer um dos seguintes: Tipo-1: Troque duas linhas.Modelo-2: Multiplique uma linha por uma constante de número inteiro diferente de zero c.Modelo-3: Adicione um múltiplo inteiro de uma linha a outra linha.

Essas operações podem ser representadas por pré-multiplicação P com uma matriz quadrada apropriada chamada de matriz elementar. Para ilustrar essas operações elementares, considere os exemplos a seguir. (Por convenção, as linhas e colunas são numeradas começando com zero em vez de um.) O primeiro exemplo é uma matriz elementar Tipo 1 que intercambia linha 0 e linha 3, que tem a forma

O segundo exemplo é uma matriz elementar Tipo 2 que multiplica os elementos na linha 1 por c ≠ 0, que tem a forma

O terceiro exemplo é uma matriz elementar Tipo 3 que substitui a linha 3 pela linha 3 + (uma * linha 0), que tem a forma

Todos os três tipos de matrizes polinomiais elementares são matrizes unimodulares de valor inteiro.


Introdução

Assim como um edifício precisa de uma base sólida para sustentá-lo, seu estudo de álgebra precisa ter uma base sólida. Para garantir isso, começamos este livro com uma revisão das operações aritméticas com números inteiros, inteiros, frações e decimais, para que você tenha uma base sólida que apoiará seu estudo de álgebra.

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  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Álgebra Elementar 2e
    • Data de publicação: 22 de abril de 2020
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction

    © 22 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    Perguntas sobre matrizes elementares

    • Parte 1
      Qual das alternativas a seguir é elementar? Explique. [A = begin 0 e 1 1 e 0 fim , quad B = begin 1 e 0 e 0 0 e 0 e 1 0 e 1 e 0 fim , quad C = begin 1 e 0 4 e 1 fim , quad D = begin 1 e 0 e 0 0 e 1 e 0 -5 e 0 e 1 fim , quad E = begin 1 e 0 e 0 1 e 1 e 0 1 e 0 e 1 fim , quad F = begin 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 7 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end ]
    • Parte 2
      Qual é a matriz elementar dos sistemas da forma [A X = B ] para as seguintes operações de linha?
      A) A é 2 por 2 matriz, some 3 vezes a linha (1) à linha (2)?
      B) A é uma matriz de 3 por 3, multiplique a linha (3) por - 6.
      C) A é a matriz 5 por 5, multiplique a linha (2) por 10 e adicione-a à linha 3.


    Começamos com a matriz A e a anotamos com uma Matriz de Identidade I ao lado dela:


    (Isso é chamado de & quot Matriz Aumentada & quot)

    Matriz de identidade

    A & quot Matriz de identidade & quot é a matriz equivalente ao número & quot1 & quot:

    • É & quotsquare & quot (tem o mesmo número de linhas que colunas),
    • Tem 1s na diagonal e 0s em todos os outros lugares.
    • Seu símbolo é a letra maiúscula eu.

    Agora fazemos o nosso melhor para transformar & quotA & quot (a Matriz à esquerda) em uma Matriz de Identidade. O objetivo é fazer com que a Matriz A tenha 1s na diagonal e 0s em outro lugar (uma matriz de identidade). e o lado direito vem para o passeio, com todas as operações sendo feitas nele também.

    Mas nós só podemos fazer isso & quotOperações de linha elementar & quot:

    • troca filas
    • multiplicar ou divida cada elemento em uma linha por uma constante
    • substitua uma linha por adicionando ou subtraindo um múltiplo de outra linha a ele

    E devemos fazer isso para o fileira inteira, assim:

    Começar com UMA ao lado de eu

    Em seguida, pegue 2 vezes a primeira linha e subtraia da segunda linha,

    Multiplique a segunda linha por -1/2,

    Agora troque a segunda e a terceira linha,

    Por último, subtraia a terceira linha da segunda linha,

    E matriz UMA foi transformado em uma matriz de identidade.

    . e ao mesmo tempo uma Matriz de Identidade foi transformada em A -1

    FEITO! Como mágica e tão divertido quanto resolver qualquer quebra-cabeça.

    E observe: não existe uma & quot maneira certa & quot de fazer isso, apenas continue brincando até que tenhamos sucesso!

    (Compare esta resposta com a que obtivemos em Inverso de uma Matriz usando Minors, Cofactors e Adjugate. É o mesmo? Qual método você prefere?)


    Tipos de Soluções

    Existem três tipos de soluções que são possíveis ao resolver um sistema de equações lineares

    Independente

    • Consistente
    • Solução Única
    • Uma matriz com redução de linha tem o mesmo número de linhas diferentes de zero que variáveis
    • O lado esquerdo é geralmente a matriz de identidade, mas não necessariamente
    • Deve haver pelo menos tantas equações quanto variáveis ​​para obter uma solução independente.

    Quando você converte a matriz aumentada de volta na forma de equação, obtém x = 3, y = 1 e z = 2.

    Dependente

    • Consistente
    • Muitas soluções
    • Escreva a resposta na forma paramétrica
    • Uma matriz com redução de linha tem mais variáveis ​​do que linhas diferentes de zero
    • Não precisa haver uma linha de zeros, mas geralmente há.
    • Isso também pode acontecer quando há menos equações do que variáveis.

    A primeira equação será x + 3z = 4. Resolvendo x dá x = 4 - 3z.

    A segunda equação será y - 2z = 3. Resolvendo para y, obtém-se y = 3 + 2z.

    A coluna z não é limpa (todos os zeros exceto um número), portanto, as outras variáveis ​​serão definidas em termos de z. Portanto, z será o parâmetro t e a solução é.

    Inconsistente

    • Sem solução
    • Uma matriz com redução de linha tem uma linha de zeros no lado esquerdo, mas o lado direito não é zero.

    Não há solução aqui. Você pode escrever isso como o conjunto nulo & Oslash, o conjunto vazio <> ou nenhuma solução.


    O que é Eliminação Gaussiana?

    A Eliminação Gaussiana é um método estruturado de resolução de um sistema de equações lineares. Portanto, é um algoritmo e pode ser facilmente programado para resolver um sistema de equações lineares. O principal objetivo da Eliminação de Gauss-Jordan é:

    • para representar um sistema de equações lineares em um forma de matriz aumentada
    • em seguida, realizar as operações de $ 3 $ linha nele até o forma escalonada de linha reduzida (RREF) é alcançado
    • Por último, podemos reconhecer facilmente as soluções do RREF

    Vamos ver o que é uma forma de matriz aumentada, as operações de $ 3 $ linha que podemos fazer em uma matriz e a forma escalonada de linha reduzida de uma matriz.

    Matriz Aumentada

    Um sistema de equações lineares é mostrado abaixo:

    Vamos escrever o matriz aumentada deste sistema usando os coeficientes das equações e escrevendo-o no estilo mostrado abaixo:

    Um exemplo usando equações simultâneas $ 3 $ é mostrado abaixo:

    Representando este sistema como uma matriz aumentada:

    Operações de linha em uma matriz

    Existem $ 3 $ operações elementares de linha que podemos fazer em matrizes. Isso não mudará a solução do sistema. Eles estão:

    1. Trocar $ 2 $ linhas
    2. Multiplique uma linha por um escalar diferente de zero ($ neq 0 $)
    3. Adicione ou subtraia o múltiplo escalar de uma linha para outra linha.

    Forma de escalonamento de linha reduzida

    O objetivo principal da Eliminação de Gauss Jordan & # 8217s é usar as operações de linha elementar de $ 3 $ em uma matriz aumentada para reduzi-la na forma escalonada de linha reduzida (RREF). Diz-se que uma matriz está em forma escalonada de linha reduzida , também conhecido como forma canônica de linha, se as seguintes $ 4 $ condições forem satisfeitas:

    1. As linhas com zero entradas (todos os elementos dessa linha são $ 0 $ s) estão na parte inferior da matriz.
    2. O entrada principal (a primeira entrada diferente de zero em uma linha) de cada linha diferente de zero é para o certo da linha & # 8217s entrada principal diretamente acima dela.
    3. A entrada principal em qualquer linha diferente de zero é $ 1 $.
    4. Todas as entradas na coluna que contém a entrada principal ($ 1 $) são zeros.

    Inversão de matriz por operações de linha elementares

    Os exemplos a seguir ilustram as etapas para encontrar o inverso de uma matriz usando operações elementares de linha (Eros):

    • Adicione um múltiplo de uma linha a outra (rowadd ())
    • Multiplique uma linha por uma constante (rowmult ())
    • Troque duas linhas (rowswap ())

    These have the properties that they do not change the inverse. The method used here is sometimes called the Gauss-Jordan method, a form of Eliminação gaussiana. Another term is (row-reduced) echelon form.

    1. Adjoin the identity matrix to the right side of A, to give the matrix ([A | I])
    2. Apply row operations to this matrix until the left ( (A) ) side is reduced to (I)
    3. The inverse matrix appears in the right ( (I) ) side

    Why this works: The series of row operations transforms [ [A | I] Rightarrow [A^ <-1>A | A^ <-1>I] = [I | A^<-1>]]

    If the matrix is does not have an inverse (is singular) a row of all zeros will appear in the left ( (A) ) side.


    ACUITY® by Tyto Athene Partners with MicroAutomation to Launch ACUITY NG 9-1-1 Solution

    Herndon, VA – February 26, 2021– Tyto Athene, LLC, a full-service systems integrator and inventor of ACUITY by Tyto Athene, is excited to announce in partnership with MicroAutomation, a leading provider of contact center and 911 solutions, including Omni911, the launch of the ACUITY Next Generation 9-1-1 Continuity of Operations Plan (COOP) solution.

    Tyto Athene’s ACUITY Micro Data Center was developed to deliver mission-critical edge processing, analytics and unified communications in a turn-key solution that only weighs 30 pounds. Before ACUITY, setting up communications in adverse conditions required truckloads of equipment and up to 20 or more personnel. Tactical teams were often forced to use ad-hoc solutions that were not interoperable, leaving even more issues to resolve – taking hours or even days to operationalize. By creating ACUITY NG 9-1-1 COOP, Tyto Athene and MicroAutomation come together to bring 9-1-1 and emergency response a full Continuity of Operations Plan (COOP) to the tactical edge with full standard E-911 and NG 9-1-1 functions via Omni911.

    Omni911 by MicroAutomation is a software-based solution for Public Safety Answering Points (PSAPs) that works seamlessly within ACUITY. Omni911 is a user-centric, feature-rich, highly flexible technology that is used in emergency operation centers which includes Mobile Call Handling and a CAD/mapping solution for Local PSAPs and DoD bases that need to deploy call handling capabilities to remote locations.

    ACUITY NG 9-1-1 COOP was created to assist PSAPs in meeting the NENA Continuity of Operations Plan which mandates that all PSAPs operate a backup center if the primary center is inoperable. ACUITY NG 9-1-1 COOP can operate as a primary or secondary data center and protects teams from network failure and loss of access to critical information and emergency applications.

    The ACUITY NG 9-1-1 COOP is built from the ground up for specific needs and is immediately available for Public Safety users. Omni911’s flexible design allows for easy interface adjustments, expansion, and the adaptation to evolving NG 9-1-1 standards. Omni911 is NENA i3 compliant and has been tested and proven functional at NENA ICE.

    “Adding MicroAutomation and their Omni911 solution to our ACUITY platform is a perfect fit,” said Fabian Plath, Vice President of Sales and Business Development at Tyto Athene. “Especially in cases of natural disaster or emergency response, the ACUITY NG 9-1-1 is a secure, quickly deployable solution. ACUITY NG 9-1-1 can operate as a cloud-based standalone system or create a redundant, geo-diverse configuration of your existing 9-1-1 call center. Overall ACUITY NG 9-1-1 provides the latest technology and tools first responders and tactical teams need when facing life or death situations.”

    “We are excited and proud to partner with Tyto Athene in delivering NG 9-1-1 crucial communications capabilities with state of the art technology that is required by their customers who must be able to deliver life-saving services in diverse and challenging environments” said Keith Blackmon, Senior Vice President of Sales and Marketing at MicroAutomation.

    To learn more about ACUITY NG 9-1-1 solution, please visit www.gotyto.com/acuity.

    About MicroAutomation

    MicroAutomation leverages proven technologies and best practices to create and implement reliable and effective emergency response and enterprise contact center solutions for public safety, healthcare, retail, hospitality, utilities, and other targeted industries. MicroAutomation is the automation and efficiency expert in the contact center industry and promises to choose and implement the right technologies and solutions to meet your business needs and improve your customers’ experience. For more information, visit www.microautomation.com.

    About ACUITY® by Tyto Athene

    ACUITY Micro Data Center combines best-in-class technology with mobility and efficiency in a single form factor. This rugged, agile solution provides 10 credit card servers, WIFI, and LTE, mission-critical edge processing and analytics capabilities, data security, and unified communications in an easy to use, turn-key solution that only weighs 30 pounds.

    ACUITY’s versatility and processing power can be utilized as a portable standalone data center or as an extension of your infrastructure on the edge. Either implementation provides key data center capabilities such as, identity management, session migration, load balancing and failover, micro/hyper-segmentation, virtual machine deployment, container deployment, private/public cloud implementation, and active directory services. To learn more, please visit www.gotyto.com/acuity.

    About Tyto Athene

    Tyto Athene, LLC is a full service systems integrator focused on helping clients accelerate their ability to make decisions by providing secure access to enterprise information throughout their operating environment. We use a wide range of technologies, innovative thinking, and proven processes to deliver successful outcomes for its clients worldwide, including a historically proven track record of success within the Federal marketplace providing turn-key voice, data, networking and UC systems. Tyto Athene is also the inventor and provider of the ACUITY® Micro Data Center product line. To learn more about Tyto Athene please visit www.gotyto.com.

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    Scipy.linalg.solve

    We are mostly interested in linear systems $A mathbf = mathbf$ where there is a unique solution $mathbf$. This is the case when $A$ is a square matrix ($m=n$) and $mathrm(A) ot= 0$. To solve such a system, we can use the function scipy.linalg.solve .

    The function returns a solution of the system of equations $A mathbf = mathbf$. Por exemplo:

    Note that the output $mathbf$ is returned as a 1D NumPy array when the vector $mathbf$ (the right hand side) is entered as a 1D NumPy array. If we input $mathbf$ as a 2D NumPy array, then the output is a 2D NumPy array. Por exemplo:

    Finally, if the right hand side $mathbf$ is a matrix, then the output is a matrix of the same size. It is the solution of $A mathbf = mathbf$ when $mathbf$ is a matrix. Por exemplo:

    Simple Example

    Let's compute the solution of the system of equations

    começar 2x + y &= 1 x + y &= 1 end

    Create the matrix of coefficients:

    We can verify the solution by computing the inverse of $A$:

    And multiply $A^ <-1>mathbf$ to solve for $mathbf$:

    We get the same result. Success!

    Inverse or Solve

    It's a bad idea to use the inverse $A^<-1>$ to solve $A mathbf = mathbf$ if $A$ is large. It's too computationally expensive. Let's create a large random matrix $A$ and vector $mathbf$ and compute the solution $mathbf$ in 2 ways:


    Assista o vídeo: Bajki Gilusia. odcinek 85. Proste działania matematyczne: dodawanie i odejmowanie - zadanie domowe (Outubro 2021).