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8.6: Resolvendo Equações Radicais


objetivos de aprendizado

  • Resolva equações envolvendo raízes quadradas.
  • Resolva equações envolvendo raízes cúbicas

Equações Radicais

Uma equação radical é qualquer equação que contém um ou mais radicais com uma variável no radicand. A seguir estão alguns exemplos de equações radicais, as quais serão resolvidas nesta seção:

( begin {array} {c} { sqrt {x-1} = 5} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt [3] {x ^ {2 } +4} -2 = 0} end {array} )

Começamos com a propriedade do quadrado da igualdade; dados números reais uma e b, temos o seguinte:

Se (a = b ), então (a ^ {2} = b ^ {2} )

Em outras palavras, a igualdade é mantida se elevarmos ao quadrado os dois lados de uma equação.

( begin {array} {rlrl} {- 3 = -3} & { Rightarrow} & {(-3) ^ {2}} & {= (- 3) ^ {2}} {} & {} & {9} & {= 9} : : color {Cerulean} { checkmark} end {array} )

O inverso, por outro lado, não é necessariamente verdadeiro:

Isso é importante porque usaremos essa propriedade para resolver equações radicais. Considere uma equação radical muito simples que pode ser resolvida por inspeção:

( sqrt {x} = 3 )

Aqui podemos ver que (x = 9 ) é uma solução. Para resolver esta equação algebricamente, use a propriedade do quadrado da igualdade e o fato de que (( sqrt {a}) ^ {2} = sqrt {a ^ {2}} = a ) quando uma é positivo. Elimine a raiz quadrada quadrando ambos os lados da equação da seguinte forma:

( begin {alinhados} color {Cerúleo} {(} color {preto} { sqrt {x}} color {Cerúleo} {) ^ {2}} & color {preto} {=} color {Cerúleo} {(} color {preto} {3} color {Cerúleo} {) ^ {2}} x & = 9 end {alinhado} )

Como verificação, podemos ver que ( sqrt {9} = 3 ) conforme o esperado. Como o inverso da propriedade do quadrado da igualdade não é necessariamente verdadeiro, as soluções para a equação ao quadrado podem não ser soluções para o original. Portanto, colocar os dois lados de uma equação em quadratura apresenta a possibilidade de soluções estranhas ou soluções que não resolvem a equação original. Por esse motivo, devemos verificar as respostas que resultam do quadrado de ambos os lados de uma equação.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolver:

( sqrt {x-1} = 5 )

Solução:

Podemos eliminar a raiz quadrada aplicando a propriedade do quadrado da igualdade.

Em seguida, devemos verificar.

( begin {alinhados} color {black} { sqrt { color {OliveGreen} {26} -1}} & = 5 sqrt {25} & = 5 5 & = 5 : : color {Cerulean} { checkmark} end {alinhado} )

Responder:

A solução é 26.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolver:

Solução:

Comece elevando os dois lados da equação ao quadrado.

Você fica com uma equação quadrática que pode ser resolvida por fatoração.

( begin {array} {cc} {x + 5 = 0} & { text {or} quad x-1 = 0} {x = -5} & {x = 1} end {array } )

Como você elevou os dois lados ao quadrado, deve verificar suas soluções.

Depois de verificar, você pode ver que (x = −5 ) era estranho; não resolveu a equação radical original. Ignore essa resposta. Isso deixa (x = 1 ) como a única solução.

Responder:

A solução é (x = 1 ).

Nos dois exemplos anteriores, observe que o radical está isolado em um lado da equação. Normalmente, esse não é o caso. As etapas para resolver equações radicais envolvendo raízes quadradas são descritas no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolver:

( sqrt {2 x-5} + 4 = x )

Solução:

Passo 1: Isole a raiz quadrada. Comece subtraindo 4 de ambos os lados da equação.

Passo 2: Quadrado ambos os lados. O quadrado de ambos os lados elimina a raiz quadrada.

Etapa 3: Resolva a equação resultante. Aqui você fica com uma equação quadrática que pode ser resolvida por fatoração.

( begin {array} {cc} {x-3 = 0} & { text {or} quad x-7 = 0} {x = 3} & {x = 7} end {array} )

Passo 4: Verifique as soluções na equação original. A quadratura de ambos os lados introduz a possibilidade de soluções estranhas; portanto, a verificação é necessária.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = 3} & { text {Check} x = 7} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} & { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} { 3}} & { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} {7}} { sqrt {6-5 } + 4 = 3} & { sqrt {14-5} + 4 = 7} { sqrt {1} + 4 = 3} & { sqrt {9} + 4 = 7} {1+ 4 = 3} & {3 + 4 = 7} {5 = 3 : : color {red} {x}} & {7 = 7 : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Depois de verificar, podemos ver que (x = 3 ) é uma raiz estranha; não resolve a equação radical original. Isso deixa (x = 7 ) como a única solução.

Responder:

A solução é (x = 7 ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolver:

Solução:

Comece isolando o termo com o radical

Apesar de o termo do lado esquerdo ter um coeficiente, ainda é considerado isolado. Lembre-se de que os termos são separados por operadores de adição ou subtração.

( begin {alinhados} 3 sqrt {x + 1} & = 2 x (3 sqrt {x + 1}) ^ {2} & = (2 x) ^ {2} qquad color { Cerúleo} {Quadrado : ambos : lados.} 9 (x + 1) & = 4 x ^ {2} end {alinhado} )

Resolva a equação quadrática resultante.

( begin {array} {rlrl} {4 x + 3} & {= 0} & { text {or}} & {x-3 = 0} {4 x} & {= -3} && {x = 3} {x} & {= - frac {3} {4}} end {array} )

Uma vez que elevamos os dois lados ao quadrado, devemos verificar nossas soluções.

Depois de verificar, podemos ver que (x = - frac {3} {4} ) era estranho.

Responder:

A solução é 3.

Às vezes, ambas as soluções possíveis são estranhas.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolver:

Solução:

Comece isolando o radical.

Uma vez que elevamos os dois lados ao quadrado, devemos verificar nossas soluções.

Como as duas soluções possíveis são estranhas, a equação não tem solução.

Responder:

Sem solução, Ø

A propriedade de igualdade ao quadrado se estende a qualquer potência inteira positiva n. Dados números reais uma e b, temos o seguinte:

Se (a = b ), então (a ^ {n} = b ^ {n} )

Isso é freqüentemente referido como a propriedade de poder da igualdade. Use esta propriedade, junto com o fato de que (( sqrt [n] {a}) ^ {n} = sqrt [n] {a ^ {n}} = a ), quando uma é positivo, para resolver equações radicais com índices maiores que 2.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Resolver:

( sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0 )

Solução:

Isole o radical e cubra ambos os lados da equação.

( begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & { text {or}} & {x-2 = 0} {x} & {= -2} & {} & {x = 2} end {array} )

Verificar.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = -2} & { text {Check} x = 2} { sqrt [3] {x ^ {2} +4 } -2 = 0} & { sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 2} color {black } {)} ^ {2} +4} -2 = 0} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} & { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} { sqrt [3] {8} - 2 = 0} & { sqrt [3] {8} -2 = 0} {2-2 = 0} & {2-2 = 0} {0 = 0 : : color {Cerúleo } { checkmark}} & {0 = 0 : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Responder:

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolver:

( sqrt {2 x-1} + 2 = x )

Responder

(x = 5 ) ( (x = 1 ) é estranho)

Pode ser que a equação tenha duas expressões radicais.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolver:

( sqrt {3 x-4} = sqrt {2 x + 9} )

Solução:

Ambos os radicais são considerados isolados em lados separados da equação.

Verifique (x = 13 ).

( begin {align} sqrt {3 x-4} & = sqrt {2 x + 9} sqrt {3 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} - 4 } & = sqrt {2 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} + 9} sqrt {39-4} & = sqrt {26 + 9} sqrt { 35} & = sqrt {35} quad color {Cerulean} { checkmark} end {alinhado} )

Responder:

A solução é 13.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Resolver:

( sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50} )

Solução:

Elimine os radicais dividindo os dois lados em cubos.

( begin {array} {rlrl} {x + 8} & {= 0} & { text {or}} & {x-8 = 0} {x} & {= -8} && {x = 8} end {array} )

Verificar.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = -8} & { text {Check} x = 8} { sqrt [3] {x ^ {2} + x -14} = sqrt [3] {x + 50}} & { sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50}} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} + 50}} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} { )} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} {) } +50}} { sqrt [3] {64-8-14} = sqrt [3] {42}} & { sqrt [3] {64 + 8-14} = sqrt [3] {58}} { sqrt [3] {42} = sqrt [3] {42} : : color {Cerulean} { checkmark}} & { sqrt [3] {58} = sqrt [3] {58} : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Responder:

Aprenderemos como resolver algumas das equações radicais mais avançadas no próximo curso, Álgebra Intermediária.

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolver:

( sqrt {3 x + 1} = sqrt {2 x-3} )

Responder

Sem solução para x

Principais vantagens

  • Resolva as equações que envolvem raízes quadradas isolando primeiro o radical e depois elevando os dois lados ao quadrado. Quadrar uma raiz quadrada elimina o radical, deixando-nos com uma equação que pode ser resolvida usando as técnicas aprendidas anteriormente em nosso estudo de álgebra. No entanto, colocar os dois lados de uma equação em quadratura apresenta a possibilidade de soluções estranhas, portanto, verifique suas respostas na equação original.
  • Resolva equações envolvendo raízes cúbicas isolando primeiro o radical e, em seguida, cubando ambos os lados. Isso elimina o radical e resulta em uma equação que pode ser resolvida com técnicas que você já domina.

Exercício ( PageIndex {3} ) Resolvendo Equações Radicais

Resolver.

  1. ( sqrt {x} = 2 )
  2. ( sqrt {x} = 7 )
  3. ( sqrt {x} + 7 = 8 )
  4. ( sqrt {x} + 4 = 9 )
  5. ( sqrt {x} + 6 = 3 )
  6. ( sqrt {x} + 2 = 1 )
  7. (5 sqrt {x} −1 = 0 )
  8. (3 sqrt {x} −2 = 0 )
  9. ( sqrt {x − 3} = 3 )
  10. ( sqrt {x + 5} = 6 )
  11. ( sqrt {3x + 1} = 2 )
  12. ( sqrt {5x − 4} = 4 )
  13. ( sqrt {7x + 4} + 6 = 11 )
  14. ( sqrt {3x − 5} + 9 = 14 )
  15. ( sqrt {2x − 1} −3 = 0 )
  16. ( sqrt {3x + 1} −2 = 0 )
  17. ( sqrt [3] {x} = 2 )
  18. ( sqrt [3] {x} = 5 )
  19. ( sqrt [3] {2x + 9} = 3 )
  20. ( sqrt [3] {4x − 11} = 1 )
  21. ( sqrt [3] {5x + 7} + 3 = 1 )
  22. ( sqrt [3] {3x − 6} + 5 = 2 )
  23. (2 sqrt [3] {x + 2} −1 = 0 )
  24. (2 sqrt [3] {2x − 3} −1 = 0 )
  25. ( sqrt {8x + 11} = sqrt {3x + 1} )
  26. (2 sqrt {3 x-4} = sqrt {2 (3 x + 1)} )
  27. ( sqrt {2 (x + 10)} = sqrt {7 x-15} )
  28. ( sqrt {5 (x − 4)} = sqrt {x + 4} )
  29. ( sqrt [3] {5 x-2} = sqrt [3] {4 x} )
  30. ( sqrt [3] {9 (x − 1)} = sqrt [3] {3 (x + 7)} )
  31. ( sqrt [3] {3 x + 1} = sqrt [3] {2 (x-1)} )
  32. ( sqrt [3] {9x} = sqrt [3] {3 (x − 6)} )
  33. ( sqrt {4 x + 21} = x )
  34. ( sqrt {8x + 9} = x )
  35. ( sqrt {4 (2x − 3)} = x )
  36. ( sqrt {3 (4x − 9)} = x )
  37. (2 sqrt {x-1} = x )
  38. (3 sqrt {2x − 9} = x )
  39. ( sqrt {9 x + 9} = x + 1 )
  40. ( sqrt {3x + 10} = x + 4 )
  41. ( sqrt {x − 1} = x − 3 )
  42. ( sqrt {2x − 5} = x − 4 )
  43. ( sqrt {16−3x} = x − 6 )
  44. ( sqrt {7−3x} = x − 3 )
  45. (3 sqrt {2 x + 10} = x + 9 )
  46. (2 sqrt {2x + 5} = x + 4 )
  47. (3 sqrt {x − 1} -1 = x )
  48. (2 sqrt {2x + 2} −1 = x )
  49. ( sqrt {10x + 41} −5 = x )
  50. ( sqrt {6 (x + 3)} - 3 = x )
  51. ( sqrt {8x ^ {2} −4x + 1} = 2x )
  52. ( sqrt {18x ^ {2} −6x + 1} = 3x )
  53. (5 sqrt {x + 2} = x + 8 )
  54. (4 sqrt {2 (x + 1)} = x + 7 )
  55. ( sqrt {x ^ {2} −25} = x )
  56. ( sqrt {x ^ {2} +9} = x )
  57. (3+ sqrt {6x − 11} = x )
  58. (2+ sqrt {9x − 8} = x )
  59. ( sqrt {4x + 25} -x = 7 )
  60. ( sqrt {8x + 73} −x = 10 )
  61. (2 sqrt {4x + 3} −3 = 2x )
  62. (2 sqrt {6x + 3} −3 = 3x )
  63. (2x − 4 = sqrt {14−10x} )
  64. (3x − 6 = 3 sqrt {3−24x} )
  65. ( sqrt [3] {x ^ {2} −24} = 1 )
  66. ( sqrt [3] {x ^ {2} −54} = 3 )
  67. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 6x} + 1 = 4 )
  68. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 2x} + 5 = 7 )
  69. ( sqrt [3] {25x ^ {2} −10x − 7} = - 2 )
  70. ( sqrt [3] {9x ^ {2} −12x − 23} = - 3 )
  71. ( sqrt {2 x ^ {2} -15 x + 25} = sqrt {(x + 5) (x-5)} )
  72. ( sqrt {x ^ {2} −4x + 4} = sqrt {x (5 − x)} )
  73. ( sqrt [3] {2 left (x ^ {2} +3 x-20 right)} = sqrt [3] {(x + 3) ^ {2}} )
  74. ( sqrt [3] {3x ^ {2} + 3x + 40} = sqrt [3] {(x − 5) ^ {2}} )
  75. (x ^ {1/2} −10 = 0 )
  76. (x ^ {1/2} −6 = 0 )
  77. (x ^ {1/3} + 2 = 0 )
  78. (x ^ {1/3} + 4 = 0 )
  79. ((x − 1) ^ {1/2} −3 = 0 )
  80. ((x + 2) ^ {1/2} −6 = 0 )
  81. ((2x − 1) ^ {1/3} + 3 = 0 )
  82. ((3x − 1) ^ {1/3} −2 = 0 )
  83. ((4x + 15) ^ {1/2} −2x = 0 )
  84. ((3x + 2) ^ {1/2} −3x = 0 )
  85. ((2x + 12) ^ {1/2} −x = 6 )
  86. ((4x + 36) ^ {1/2} −x = 9 )
  87. (2 (5x + 26) ^ {1/2} = x + 10 )
  88. (3 (x − 1) ^ {1/2} = x + 1 )
  89. A raiz quadrada de 1 menor que duas vezes um número é igual a 2 menor que o número. Encontre o número.
  90. A raiz quadrada de 4 menor que duas vezes um número é igual a 6 menor que o número. Encontre o número.
  91. A raiz quadrada de duas vezes um número é igual a metade desse número. Encontre o número.
  92. A raiz quadrada de duas vezes um número é igual a um terço desse número. Encontre o número.
  93. A distancia, d, medido em milhas, uma pessoa pode ver um objeto é dado pela fórmula (d = sqrt { frac {3h} {2} ) onde h representa a altura da pessoa acima do nível do mar, medida em pés. Qual deve ser a altura de uma pessoa para ver um objeto a 5 milhas de distância?
  94. O actual, eu, medido em amperes, é dado pela fórmula (I = sqrt { frac {P} {R}} ) onde P é o uso de energia, medido em watts e R é a resistência, medida em ohms. Se uma lâmpada requer 1/2 ampere de corrente e usa 60 watts de potência, então qual é a resistência da lâmpada?
Responder

1. (4)

3. (1)

5. (Ø )

7. ( frac {1} {25} )

9. (12)

11. (1)

13. (3)

15. (5)

17. (8)

19. (9)

21. (−3)

23. (- frac {15} {8} )

25. (Ø )

27. (7)

29. (2)

31. (−3)

33. (7)

35. (2, 6)

37. (2)

39. (−1, 8)

41. (5)

43. (Ø )

45. (−3, 3)

47. (2, 5)

49. (4, −4)

51. ( frac {1} {2} )

53. (2, 7)

55. (Ø )

57. (10)

59. (−6, −4)

61. (- frac {1} {2}, frac {3} {2} )

63. (Ø )

65. (−5, 5)

67. (−9, 3)

69. ( frac {1} {5} )

71. (5, 10)

73. (−7, 7)

75. (100)

77. (−8)

79. (10)

81. (−13)

83. ( frac {5} {2} )

85. (−6, −4)

87. (−2, 2)

89. (5)

91. (8)

93. (16 frac {2} {3} ) pés

Exercício ( PageIndex {4} ) Resolvendo Equações Radicais

O período, T, de um pêndulo em segundos é dado pela fórmula

(T = 2π sqrt {L / 32} )

Onde eu representa o comprimento em pés. Para cada problema abaixo, calcule o comprimento de um pêndulo, dado o período. Forneça o valor exato e o valor aproximado arredondado para o décimo de pé mais próximo.

  1. (1 segundo
  2. (2 segundos
  3. ( frac {1} {2} ) segundo
  4. ( frac {1} {3} ) segundo
Responder

1. ( frac {8} { pi ^ {2}} ≈0,8 ) pé

3. ( frac {2} { pi ^ {2}} ≈0,2 ) pé

Exercício ( PageIndex {5} ) Resolvendo Equações Radicais

A Hora, t, em segundos, um objeto está em queda livre é dado pela fórmula

(s = 16 cdot t ^ {2} )

Onde s representa a distância em pés em que o objeto caiu. Para cada problema abaixo, calcule a distância que um objeto cai, considerando a quantidade de tempo.

  1. 1 segundo
  2. 2 segundos
  3. ( frac {1} {2} ) segundo
  4. ( frac {1} {4} ) segundo
Responder

1. 16 pés

3. 4 pés

Exercício ( PageIndex {6} ) Resolvendo Equações Radicais

O x-interceptos para qualquer gráfico têm a forma ((x, 0) ), onde x é um número real. Portanto, para encontrar x-intercepta, defina (y = 0 ) e resolva para x. Encontre o x-intercepta para cada um dos seguintes.

  1. (y = sqrt {x − 3} −1 )
  2. (y = sqrt {x + 2} −3 )
  3. (y = sqrt [3] {x − 1} +2 )
  4. (y = sqrt [3] {x + 1} −3 )
Responder

1. ((4, 0))

3. ((−7, 0))

Exercício ( PageIndex {7} ) Quadro de discussão

  1. Discuta as razões pelas quais às vezes obtemos soluções estranhas ao resolver equações radicais. Existem condições em que não precisamos verificar se há soluções estranhas? Por quê?
Responder

1. As respostas podem variar


Álgebra II: Resolvendo Equações Radicais

Uma maneira de resolver essa equação é substituir e, posteriormente, por:

Resolva a equação quadrática resultante fatorando a expressão:

Defina cada binômio linear como sero e resolva:

- esta é a única solução.

Nenhuma das respostas afirma que essa é a única solução.

Exemplo de pergunta # 2: Resolvendo equações radicais

Resolva a seguinte equação radical.

Podemos simplificar a fração:

Conectar isso à equação nos deixa com:

Observação: Por serem termos semelhantes, podemos adicioná-los.

Exemplo de pergunta no. 1: Resolvendo e criando gráficos de radicais

Resolva a seguinte equação radical.

Para resolver esta equação, precisamos saber que

Como? Por causa destes dois fatos:

Com isso em mente, podemos resolver a equação:

Para eliminar o radical, temos que quadrá-lo. O que fazemos de um lado, devemos fazer do outro.

Exemplo de pergunta # 4: resolvendo equações radicais

Resolva a seguinte equação radical.

Para resolver esta equação, precisamos saber que

Nota: Isso se deve à regra de potência dos expoentes.

Com isso em mente, podemos resolver a equação:

Para nos livrarmos do radical, nós o corrigimos. Lembre-se do que fazemos de um lado, devemos fazer do outro.

Exemplo de pergunta # 5: Resolvendo equações radicais

Para resolver, execute as operações inversas, tendo em mente a ordem das operações:

Exemplo de pergunta # 6: Resolvendo equações radicais

Para resolver, execute as operações inversas, tendo em mente a ordem das operações:

tire a raiz quadrada de ambos os lados

subtraia 19 de ambos os lados

Exemplo de pergunta # 7: Resolvendo equações radicais

Para resolver, use as operações inversas tendo em mente a ordem das operações:

Exemplo de pergunta # 8: Resolvendo equações radicais

Para nos livrarmos do radical, ajustamos os dois lados.

Exemplo de pergunta # 9: Resolvendo equações radicais

Para nos livrar do radical, precisamos ajustar os dois lados ao quadrado. A questão é que os radicais não geram números negativos, a menos que falemos sobre números imaginários. Nesse caso, nossa escolha de resposta deve ser nenhuma resposta.

Exemplo de pergunta # 10: Resolvendo equações radicais

Faça o quadrado de ambos os lados para se livrar do radical.

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8.6: Resolvendo Equações Radicais

Equações radicais são equações que contêm variáveis ​​no Radicand (a expressão sob um símbolo radical), como

As equações radicais podem ter um ou mais termos radicais e são resolvidas eliminando cada radical, um de cada vez. Temos que ter cuidado ao resolver equações radicais, pois não é incomum encontrar soluções estranhas, raízes que não são, de fato, soluções para a equação. Essas soluções não são devidas a um erro no método de solução, mas resultam do processo de elevar ambos os lados de uma equação a uma potência. No entanto, verificar cada resposta na equação original irá confirmar as soluções verdadeiras.

Uma nota geral: equações radicais

Uma equação contendo termos com uma variável no radical é chamada de equação radical.

Como: Dada uma equação radical, resolva-a.

  1. Isole a expressão radical de um lado do sinal de igual. Coloque todos os termos restantes do outro lado.
  2. Se o radical for uma raiz quadrada, eleve ao quadrado ambos os lados da equação. Se for uma raiz cúbica, eleve ambos os lados da equação à terceira potência. Em outras palavras, para um nradical raiz, elevar ambos os lados para o no poder. Isso elimina o símbolo radical.
  3. Resolva a equação restante.
  4. Se um termo radical ainda permanecer, repita as etapas 1–2.
  5. Confirme as soluções substituindo-as na equação original.

Exemplo 6: Resolvendo uma equação com um radical

Solução

O radical já está isolado no lado esquerdo do lado igual, então avance para o quadrado de ambos os lados.

Vemos que a equação restante é quadrática. Defina igual a zero e resolva.

As soluções propostas são [latex] x = -5 [/ latex] e [latex] x = 3 [/ latex]. Vamos verificar cada solução de volta à equação original. Primeiro, verifique [latex] x = -5 [/ latex].

Esta é uma solução estranha. Embora nenhum erro tenha sido cometido ao resolver a equação, encontramos uma solução que não satisfaz a equação original.

A solução é [latex] x = 3 [/ latex].

Experimente 5

Resolva a equação radical: [latex] sqrt= 3x - 1 [/ latex]

Exemplo 7: Resolvendo uma equação radical contendo dois radicais

Solução

Como essa equação contém dois radicais, isolamos um radical, o eliminamos e, em seguida, isolamos o segundo radical.

Use a fórmula do quadrado perfeito para expandir o lado direito: [latex] < left (a-b right)> ^ <2> = ^ <2> -2ab +^ <2> [/ latex].

Agora que ambos os radicais foram eliminados, defina o quadrático igual a zero e resolva.

As soluções propostas são [latex] x = 3 [/ latex] e [latex] x = 83 [/ latex]. Verifique cada solução na equação original.

Uma solução é [latex] x = 3 [/ latex].

A única solução é [latex] x = 3 [/ latex]. Vemos que [latex] x = 83 [/ latex] é uma solução estranha.

Experimente 6

Resolva a equação com dois radicais: [latex] sqrt <3x + 7> + sqrt= 1 [/ latex].


Exemplos de como resolver equações radicais

Exemplo 1: Resolva a equação radical

O radical está sozinho em um lado, portanto, não há problema em elevar o quadrado a ambos os lados das equações para se livrar do símbolo do radical. Em seguida, prossiga com as etapas usuais na resolução de equações lineares.

Você deve SEMPRE verificar suas respostas para verificar se elas são & # 8220 verdadeiramente & # 8221 as soluções. Algumas respostas de seus cálculos podem ser estranhas. Substituto x = 16 de volta à equação radical original para ver se ela produz uma afirmação verdadeira.

Sim, verifica, então x = 16 é uma solução.

Exemplo 2: Resolva a equação radical

A configuração parece boa porque o radical está novamente isolado de um lado. Portanto, posso elevar ao quadrado os dois lados para eliminar aquele símbolo de raiz quadrada. Tenha cuidado ao lidar com o lado direito ao elevar ao quadrado o binômio (x − 1). Você deve aplicar o método FOIL corretamente.

Movemos todos os termos para o lado direito da equação e então procedemos à fatoração do trinômio. Aplicando a propriedade de produto zero, obtemos os valores de x = 1 e x = 3.

Cuidado : Sempre verifique seus valores calculados a partir da equação radical original para ter certeza de que são respostas verdadeiras e não respostas estranhas ou & # 8220false & # 8221.

Parece bom para ambos os nossos valores resolvidos de x após a verificação, então nossas soluções são x = 1 e x = 3.

Exemplo 3: Resolva a equação radical

Precisamos reconhecer que o símbolo radical não está isolado ainda no lado esquerdo. Isso significa que temos que livre-se disso -1 antes de elevar os dois lados da equação ao quadrado. Uma etapa simples de adicionar ambos os lados por 1 deve resolver esse problema. Depois de fazer isso, a equação & # 8220new & # 8221 é semelhante às que examinamos até agora.

Nossas soluções possíveis são x = −2 e x = 5. Observe que uso a palavra & # 8220possível & # 8221 porque ela não é final até que realizemos nosso processo de verificação de verificação de nossos valores em relação à equação radical original.

Uma vez que chegamos a uma declaração falsa quando x = −2, portanto, esse valor de x é considerado estranho então nós o desconsideramos! Nos deixando com uma resposta verdadeira, x = 5.

Exemplo 4: Resolva a equação radical

O lado esquerdo parece um pouco confuso porque existem dois símbolos radicais. Mas não é tão ruim assim! Lembre-se sempre das principais etapas sugeridas acima. Uma vez que ambas as raízes quadradas estão em um lado, isso significa que está definitivamente pronto para que toda a equação radical seja quadrada.

Portanto, em nossa primeira etapa, vamos ajustar os dois lados e ver o que acontece.

É perfeitamente normal para esse tipo de problema ver outro símbolo radical após a primeira aplicação de quadratura. A boa notícia é que sobrou apenas um. A partir deste ponto, tente isolar novamente o único radical do lado esquerdo, que deve nos forçar a realocar o resto para o lado oposto.

Como você pode ver, essa equação radical simplificada é definitivamente familiar. Proceda da maneira usual de resolvê-lo e certifique-se de sempre verificar os valores resolvidos de x contra a equação radical original.

Vou deixar para você verificar isso de fato x = 4 é uma solução.

Exemplo 5: Resolva a equação radical

Este problema é muito semelhante ao exemplo 4. A única diferença é que desta vez em torno de ambos os radicais tem expressões binomiais. A abordagem também é quadrar os dois lados, já que os radicais estão de um lado, e simplificar. Mas precisamos realizar a segunda aplicação de quadratura para nos livrarmos totalmente do símbolo da raiz quadrada.

A solução é x = 2. Você pode verificar substituindo o valor de volta na equação radical original e ver se ela produz uma afirmação verdadeira.

Exemplo 6: Resolva a equação radical

Parece que nosso primeiro passo é ajustar os dois lados e observar o que sai depois. Não se esqueça de combinar termos semelhantes toda vez que você elevar os lados ao quadrado. Se acontecer que outro símbolo radical seja gerado após a primeira aplicação do processo de quadratura, então faz sentido fazer isso mais uma vez. Lembre-se de que nosso objetivo é nos livrar dos símbolos radicais para liberar a variável que estamos tentando resolver ou isolar.

Bem, parece que precisaremos elevar os dois lados ao quadrado novamente por causa do novo símbolo radical gerado. Mas devemos isolar o radical primeiro de um lado da equação antes de fazer isso. Vou manter a raiz quadrada à esquerda e isso me obriga a mover tudo para a direita.

Parece bom até agora! Agora é hora de ajustar os dois lados novamente para finalmente eliminar o radical.

No entanto, tenha cuidado ao elevar o lado esquerdo da equação ao quadrado. Você também deve quadrado que -2 à esquerda do radical.

O que temos agora é uma equação quadrática na forma padrão. A melhor maneira de resolver para x é usar a Fórmula Quadrática onde a = 7, b = 8 e c = −44.

Portanto, as soluções possíveis são x = 2 e x = << - 22> over 7>.

Vou deixar para você verificar esses dois valores de & # 8220x & # 8221 de volta à equação radical original. Eu espero que você concorde que x = 2 é a única solução, enquanto o outro valor é uma solução estranha, portanto, desconsidere-o!

Exemplo 7: Resolva a equação radical

Existem duas maneiras de abordar esse problema. Eu poderia imediatamente elevar os dois lados ao quadrado para me livrar dos radicais ou multiplicar os dois radicais primeiro e depois elevar ao quadrado. Ambos os procedimentos devem chegar às mesmas respostas, quando bem executados. Para isso, usarei a segunda abordagem.

Em seguida, mova tudo para o lado esquerdo e resolva a equação quadrática resultante. Você pode usar a fórmula quadrática para resolvê-lo, mas, como é facilmente fatorável, vou fatorá-lo.

As soluções possíveis são x = << - 5> over 2> e x = 3.

Vou deixar para você verificar as respostas. A única resposta deve ser x = 3, o que torna a outra uma solução estranha.


Identificar soluções estranhas

Seguir as regras é importante, mas também prestar atenção à matemática à sua frente - especialmente ao resolver equações radicais. Dê uma olhada neste próximo problema que demonstra uma armadilha potencial de quadratura de ambos os lados para remover o radical.

Exemplo

Escreva a equação simplificada e resolva para uma.

Agora verifique a solução substituindo [latex] a = 9 [/ latex] na equação original.

Responder

Veja isso - a resposta [latex] a = 9 [/ latex] não produz uma afirmação verdadeira quando substituída de volta na equação original. O que aconteceu?

Verifique o problema original: [latex] sqrt= -2 [/ latex]. Observe que o radical é definido igual a [latex] −2 [/ latex] e lembre-se de que a raiz quadrada principal de um número só pode ser positivo. Isso significa que nenhum valor para uma resultará em uma expressão radical cuja raiz quadrada positiva é [latex] −2 [/ latex]! Você deve ter percebido isso imediatamente e concluído que não havia soluções para uma.

Valores incorretos da variável, como aqueles que são introduzidos como resultado do processo de quadratura, são chamados soluções estranhas. Soluções estranhas podem parecer a solução real, mas você pode identificá-las porque elas não criarão uma afirmação verdadeira quando substituídas de volta na equação original. Esta é uma das razões pelas quais verificar seu trabalho é tão importante - se você não verificar suas respostas substituindo-as de volta na equação original, você pode estar introduzindo soluções estranhas para o problema.
No próximo exemplo de vídeo, resolvemos equações mais radicais que podem ter soluções estranhas.

Dê uma olhada no seguinte problema. Observe como o problema original é [latex] x + 4 = sqrt[/ latex], mas depois que ambos os lados são elevados ao quadrado, torna-se [latex] <^ <2>> + 8x + 16 = x + 10 [/ latex]. A quadratura de ambos os lados pode ter introduzido uma solução estranha.

Exemplo

Agora simplifique e resolva a equação. Combine os termos semelhantes e depois fator.

Defina cada fator igual a zero e resolva para x.

Agora verifique ambas as soluções, substituindo-as na equação original.

Visto que [latex] x = −6 [/ latex] produz uma afirmação falsa, é uma solução estranha.


8.6: Resolvendo Equações Radicais

Uma equação radical Qualquer equação que contenha um ou mais radicais com uma variável no radical radicular. é qualquer equação que contém um ou mais radicais com uma variável no radicando. A seguir estão alguns exemplos de equações radicais, as quais serão resolvidas nesta seção:

Começamos com a propriedade do quadrado da igualdade Dados números reais uma e b, onde a = b, então a 2 = b 2. dados números reais uma e b, temos o seguinte:

Em outras palavras, a igualdade é mantida se elevarmos ao quadrado os dois lados de uma equação.

− 3 = − 3 ⇒ ( − 3 ) 2 = ( − 3 ) 2 9 = 9 ✓

O contrário, por outro lado, não é necessariamente verdade,

9 = 9 ( − 3 ) 2 = ( 3 ) 2 ⇒ − 3 ≠ 3 ✗

Isso é importante porque usaremos essa propriedade para resolver equações radicais. Considere uma equação radical muito simples que pode ser resolvida por inspeção,

Aqui podemos ver que x = 25 é uma solução. Para resolver esta equação algebricamente, use a propriedade do quadrado da igualdade e o fato de que (a) 2 = a 2 = a quando uma é não negativo. Elimine a raiz quadrada quadrando ambos os lados da equação da seguinte forma:

Como verificação, podemos ver que 25 = 5 conforme o esperado. Como o inverso da propriedade do quadrado da igualdade não é necessariamente verdadeiro, as soluções para a equação ao quadrado podem não ser soluções para o original. Conseqüentemente, colocar ambos os lados de uma equação ao quadrado introduz a possibilidade de soluções estranhas. Uma solução encontrada corretamente que não resolve a equação original. , que são soluções que não resolvem a equação original. Por exemplo,

Esta equação claramente não tem uma solução de número real. No entanto, colocar ambos os lados em quadratura nos dá uma solução:

Como verificação, podemos ver que 25 ≠ - 5. Por esse motivo, devemos verificar as respostas que resultam do quadrado de ambos os lados de uma equação.

Exemplo 1

Podemos eliminar a raiz quadrada aplicando a propriedade do quadrado da igualdade.

3 x + 1 = 4 (3 x + 1) 2 = (4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 3 x + 1 = 16 S o l v e. 3 x = 15 x = 5

3 ( 5 ) + 1 = 4 15 + 1 = 4 16 = 4 4 = 4 ✓

Há uma interpretação geométrica do exemplo anterior. Represente graficamente a função definida por f (x) = 3 x + 1 e determine onde ela intercepta o gráfico definido por g (x) = 4.

Conforme ilustrado, f (x) = g (x) onde x = 5.

Exemplo 2

Comece elevando os dois lados da equação ao quadrado.

x - 3 = x - 5 (x - 3) 2 = (x - 5) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. x - 3 = x 2 - 10 x + 25

A equação quadrática resultante pode ser resolvida por fatoração.

x - 3 = x 2 - 10 x + 25 0 = x 2 - 11 x + 28 0 = (x - 4) (x - 7) x - 4 = 0 ou x - 7 = 0 x = 4 x = 7

Verificar as soluções após quadrar ambos os lados de uma equação não é opcional. Use a equação original ao realizar a verificação.

x - 3 = x - 5 4 - 3 = 4 - 5 1 = - 1 1 = - 1 ✗

x - 3 = x - 5 7 - 3 = 7 - 5 4 = 2 2 = 2 ✓

Depois de verificar, você pode ver que x = 4 é uma solução estranha que não resolve a equação radical original. Ignore essa resposta. Isso deixa x = 7 como a única solução.

Geometricamente, podemos ver que f (x) = x + 3 é igual ag (x) = x - 5 onde x = 7.

Nos dois exemplos anteriores, observe que o radical está isolado em um lado da equação. Normalmente, esse não é o caso. As etapas para resolver equações radicais envolvendo raízes quadradas são descritas no exemplo a seguir.

Exemplo 3

Passo 1: Isole a raiz quadrada. Comece subtraindo 2 de ambos os lados da equação.

2 x - 1 + 2 = x 2 x - 1 = x - 2

Passo 2: Quadrado ambos os lados. O quadrado de ambos os lados elimina a raiz quadrada.

(2 x - 1) 2 = (x - 2) 2 2 x - 1 = x 2 - 4 x + 4

Etapa 3: Resolva a equação resultante. Aqui, ficamos com uma equação quadrática que pode ser resolvida por fatoração.

2 x - 1 = x 2 - 4 x + 4 0 = x 2 - 6 x + 5 0 = (x - 1) (x - 5) x - 1 = 0 ou x - 5 = 0 x = 1 x = 5

Passo 4: Verifique as soluções na equação original. O quadrado de ambos os lados introduz a possibilidade de soluções estranhas, portanto, a verificação é necessária.

2 x - 1 + 2 = x 2 (1) - 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 3 = 1 ✗

2 x - 1 + 2 = x 2 (5) - 1 + 2 = 5 9 + 2 = 5 3 + 2 = 5 5 = 5 ✓

Depois de verificar, podemos ver que x = 1 é uma solução estranha que não resolve a equação radical original. Isso deixa x = 5 como a única solução.

Às vezes, há mais de uma solução para uma equação radical.

Exemplo 4

Comece isolando o termo com o radical.

2 2 x + 5 - x = 4 A d d x t o b o t h s i d e s. 2 2 x + 5 = x + 4

Apesar de o termo do lado esquerdo ter um coeficiente, ainda o consideramos isolado. Lembre-se de que os termos são separados por operadores de adição ou subtração.

2 2 x + 5 = x + 4 (2 2 x + 5) 2 = (x + 4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 4 (2 x + 5) = x 2 + 8 x + 16

Resolva a equação quadrática resultante.

4 (2 x + 5) = x 2 + 8 x + 16 8 x + 20 = x 2 + 8 x + 16 0 = x 2 - 4 0 = (x + 2) (x - 2) x + 2 = 0 ou x - 2 = 0 x = - 2 x = 2

Uma vez que elevamos os dois lados ao quadrado, devemos verificar nossas soluções.

2 2 x + 5 - x = 4 2 2 (- 2) + 5 - (- 2) = 4 2 - 4 + 5 + 2 = 4 2 1 + 2 = 4 2 + 2 = 4 4 = 4 ✓

2 2 x + 5 - x = 4 2 2 (2) + 5 - (2) = 4 2 4 + 5 - 2 = 4 2 9 - 2 = 4 6 - 2 = 4 4 = 4 ✓

Depois de verificar, podemos ver que ambas são soluções para a equação original.

Resposta: As soluções são ± 2.

Às vezes, ambas as soluções possíveis são estranhas.

Exemplo 5

Comece isolando o radical.

4 - 11 x - x + 2 = 0 I s o l a t e t h e r a d i c a l. 4 - 11 x = x - 2 (4 - 11 x) 2 = (x - 2) 2 S q u a re b o t h s i d e s. 4 - 11 x = x 2 - 4 x + 4 S o l v e. 0 = x 2 + 7 x 0 = x (x + 7)

Uma vez que elevamos os dois lados ao quadrado, devemos verificar nossas soluções.

4 - 11 x - x + 2 = 0 4 - 11 (0) - 0 + 2 = 0 4 + 2 = 0 2 + 2 = 0 4 = 0 ✗

4 - 11 x - x + 2 = 0 4 - 11 (- 7) - (- 7) + 2 = 0 4 + 77 + 7 + 2 = 0 81 + 9 = 0 9 + 9 = 0 18 = 0 ✗

Since both possible solutions are extraneous, the equation has no solution.

The squaring property of equality extends to any positive integer power n. Given real numbers uma e b, we have the following:

This is often referred to as the power property of equality Given any positive integer n and real numbers uma e b where a = b , then a n = b n . . Use this property, along with the fact that ( a n ) n = a n n = a , when uma is nonnegative, to solve radical equations with indices greater than 2.

Example 6

Isolate the radical, and then cube both sides of the equation.

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 I s o l a t e t h e r a d i c a l . 4 x 2 + 7 3 = 2 ( 4 x 2 + 7 3 ) 3 = ( 2 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . 4 x 2 + 7 = 8 S o l v e . 4 x 2 − 1 = 0 ( 2 x + 1 ) ( 2 x − 1 ) = 0 2 x + 1 = 0 or 2 x − 1 = 0 2 x = − 1 2 x = 1 x = − 1 2 x = 1 2

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( − 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

Answer: The solutions are ± 1 2 .

Try this! x − 3 3 x + 1 = 3

Answer: The solution is 33.

It may be the case that the equation has more than one term that consists of radical expressions.

Exemplo 7

Both radicals are considered isolated on separate sides of the equation.

5 x − 3 = 4 x − 1 ( 5 x − 3 ) 2 = ( 4 x − 1 ) 2 S q u a r e b o t h s i d e s . 5 x − 3 = 4 x − 1 S o l v e . x = 2

5 x − 3 = 4 x − 1 5 ( 2 ) − 3 = 4 ( 2 ) − 1 10 − 3 = 8 − 1 7 = 7 ✓

Example 8

Solve: x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 .

Eliminate the radicals by cubing both sides.

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( x 2 + x − 14 3 ) 3 = ( x + 50 3 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . x 2 + x − 14 = x + 50 S o l v e . x 2 − 64 = 0 ( x + 8 ) ( x − 8 ) = 0 x + 8 = 0 or x − 8 = 0 x = − 8 x = 8

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( − 8 ) 2 + ( − 8 ) − 14 3 = ( − 8 ) + 50 3 64 − 8 − 14 3 = 42 3 42 3 = 42 3 ✓

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( 8 ) 2 + ( 8 ) − 14 3 = ( 8 ) + 50 3 64 + 8 − 14 3 = 58 3 58 3 = 58 3 ✓

Answer: The solutions are ± 8 .

It may not be possible to isolate a radical on both sides of the equation. When this is the case, isolate the radicals, one at a time, and apply the squaring property of equality multiple times until only a polynomial remains.

Example 9

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x to both sides of the equation.

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( x + 2 ) 2 = ( x + 1 ) 2 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) x + 2 = x 2 + x + x + 1 x + 2 = x + 2 x + 1

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

x + 2 = x + 2 x + 1 1 = 2 x ( 1 ) 2 = ( 2 x ) 2 1 = 4 x 1 4 = x

Check to see if x = 1 4 satisfies the original equation x + 2 − x = 1 .

1 4 + 2 − 1 4 = 1 9 4 − 1 2 = 1 3 2 − 1 2 = 1 2 2 = 1 1 = 1 ✓

Answer: The solution is 1 4 .

Observação: Because ( A + B ) 2 ≠ A 2 + B 2 , we cannot simply square each term. For example, it is incorrect to square each term as follows.

( x + 2 ) 2 − ( x ) 2 = ( 1 ) 2 I n c o r r e c t !

This is a common mistake and leads to an incorrect result. When squaring both sides of an equation with multiple terms, we must take care to apply the distributive property.

Example 10

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x + 6 to both sides of the equation.

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 x + 10 = x + 6 + 1

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( 2 x + 10 ) 2 = ( x + 6 + 1 ) 2 2 x + 10 = x + 6 + 2 x + 6 + 1 2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6 x + 3 = 2 x + 6 ( x + 3 ) 2 = ( 2 x + 6 ) 2 x 2 + 6 x + 9 = 4 ( x + 6 ) x 2 + 6 x + 9 = 4 x + 24 x 2 + 2 x − 15 = 0 ( x − 3 ) ( x + 5 ) = 0 x − 3 = 0 or x + 5 = 0 x = 3 x = − 5

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( 3 ) + 10 − 3 + 6 = 1 16 − 9 = 1 4 − 3 = 1 1 = 1 ✓

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( − 5 ) + 10 − − 5 + 6 = 1 0 − 1 = 1 0 − 1 = 1 − 1 = 1 ✗


Radical Equations – Example 1:

Add 5 to both sides: (sqrt=20), Square both sides: ((sqrt)^2=20^2→x=400) Plugin the value of 400 for (x) in the original equation and check the answer: (x=400→sqrt-5=sqrt<400>-5=20-5=15), So, the value of 400 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 2:

What is the value of (x) in this equation? (2sqrt=4)

Divide both sides by 2. Then: (2sqrt=4→frac<2sqrt><2>=frac<4><2>→sqrt=2) Square both sides: ((sqrt<(x+1)>)^2=2^2), Then (x+1=4→x=3)
Substitute (x) by 3 in the original equation and check the answer:
( x=3→2sqrt=2sqrt<3+1>=2sqrt<4>=2(2)=4)
So, the value of 3 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 3:

Add 8 to both sides: (sqrt=5)
Square both sides: ((sqrt)^2=5^2→x=25)
Substitute (x) by 25 in the original equation and check the answer:
(x=25→sqrt-8=sqrt<25>-8=-3)
So, the value of 25 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 4:

What is the value of (x) in this equation? (4sqrt=40)

Divide both sides by 4. Then: (4sqrt=40→frac<4sqrt><4>=frac<40><4>→sqrt=10) Square both sides: ((sqrt<(x+3)>)^2=10^2), Then (x+3=100→x=97)
Substitute (x) by 97 in the original equation and check the answer:
( x=97→4sqrt=4sqrt<97+3>=4sqrt<100>=4(10)=40)
So, the value of 97 for (x) is correct.


How to Solve Radical Equations

The video below and our examples explain these steps and you can then try our practice problems below.

Video of How to Solve Radical Equations

Exemplo 1
Exemplo 2

Practice Problems

Problem 1

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Problem 2

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Problem 3

Solve the following radical equation:

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Therefore, reject 4 as a solution, check 5.

$ sqrt <3x -11>= 3x -x sqrt<3 (color<5>) -11> = 3(color<5>) - color <5> sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <4>= 10 2 = 10 color < e >10 $

Therefore, reject 5 as a solution.

Since both our solutions were rejected, there are no real solutions to this equation.


8.6: Solving Radical Equations

Solving Radical Equations

· Solve equations containing radicals.

· Recognize extraneous solutions.

· Solve application problems that involve radical equations as part of the solution.

An equation that contains a radical expression é chamado de radical equation. Solving radical equations requires applying the rules of exponents and following some basic algebraic principles. In some cases, it also requires looking out for errors generated by raising unknown quantities to an even power.

A basic strategy for solving radical equations is to isolate the radical term first, and then raise both sides of the equation to a power to remove the radical. (The reason for using powers will become clear in a moment.) This is the same type of strategy you used to solve other, non-radical equations—rearrange the expression to isolate the variable you want to know, and then solve the resulting equation.

There are two key ideas that you will be using to solve radical equations. The first is that if , then . (This property allows you to square both sides of an equation and remain certain that the two sides are still equal.) The second is that if the square root of any nonnegative number x is squared, then you get x: . (This property allows you to “remove” the radicals from your equations.)

Let’s start with a radical equation that you can solve in a few steps: .

Add 3 to both sides to isolate the variable term on the left side of the equation.

Square both sides to remove the radical, since . Make sure to square the 8 also! Then simplify.

x = 64 is the solution to .

To check your solution, you can substitute 64 in for x in the original equation. Does ? Yes—the square root of 64 is 8, and 8 − 3 = 5.

Notice how you combined like terms and then squared both sides of the equation in this problem. This is a standard method for removing a radical from an equation. It is important to isolate a radical on one side of the equation and simplify as much as possible antes squaring. The fewer terms there are before squaring, the fewer additional terms will be generated by the process of squaring.

In the example above, only the variable x was underneath the radical. Sometimes you will need to solve an equation that contains multiple terms underneath a radical. Follow the same steps to solve these, but pay attention to a critical point—square both sides of an equation, not individual terms. Watch how the next two problems are solved.

Notice how the radical contains a binomial: x + 8. Square both sides to remove the radical.

. Now simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 1 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

Begin by subtracting 1 from both sides in order to isolate the radical term. Then square both sides to remove the binomial from the radical.

Simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 11 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

is the solution for .

Solving Radical Equations

Follow the following four steps to solve radical equations.

1. Isolate the radical expression.

2. Square both sides of the equation: If x = y então x 2 = y 2 .

3. Once the radical is removed, solve for the unknown.

Incorrect. Check your answer. If you substitute into the equation, you get , or . This is not correct. Remember to square both sides and then solve for x. The correct answer is .

Incorrect. It looks like you squared both sides but ignored the +22 underneath the radical. Remember to include the entire binomial when you square both sides then solve for x. The correct answer is .

Correto. Squaring both sides, you find becomes , so and .

Incorrect. It looks like you only squared the left side of the equation. Remember to square both sides: , which becomes . Now solve for x. The correct answer is .

Following rules is important, but so is paying attention to the math in front of you—especially when solving radical equations. Take a look at this next problem that demonstrates a potential pitfall of squaring both sides to remove the radical.

Square both sides to remove the term uma – 5 from the radical.

Write the simplified equation, and solve for uma.

Now check the solution by substituting uma = 9 into the original equation.

Look at that—the answer uma = 9 does not produce a true statement when substituted back into the original equation. O que aconteceu?

Check the original problem: . Notice that the radical is set equal to −2, and recall that the principal square root of a number can only be positivo. This means that no value for uma will result in a radical expression whose positive square root is −2! You might have noticed that right away and concluded that there were no solutions for uma. But why did the process of squaring create an answer, uma = 9, that proved to be incorrect?

The answer lies in the process of squaring itself. When you raise a number to an even power—whether it is the second, fourth, or 50 th power—you can introduce a false solution because the result of an even power is always a positive number. Think about it: 3 2 and (−3) 2 are both 9, and 2 4 and (−2) 4 are both 16. So when you squared −2 and got 4 in this problem, you artificially turned the quantity positive. This is why you were still able to find a value for uma—you solved the problem as if you were solving ! (The correct solution to is actually “no solution.”)

Incorrect values of the variable, such as those that are introduced as a result of the squaring process are called extraneous solutions. Extraneous solutions may look like the real solution, but you can identify them because they will not create a true statement when substituted back into the original equation. This is one of the reasons why checking your work is so important—if you do not check your answers by substituting them back into the original equation, you may be introducing extraneous solutions into the problem.

Have a look at the following problem. Notice how the original problem is , but after both sides are squared, it becomes . Squaring both sides may have introduced an extraneous solution.


Issue 2: Check Your Answers

We can always check our solution to an equation by plugging that solution back into the original equation and making sure that it results in a true statement. For instance, in my first example above, " x + 2 = 5 ", I got a solution of x = 3 . I can confirm this solution by plugging it back into the original equation:

You probably did this type of checking back when you first learned about solving linear equations. But eventually you honed your skills, and you quit checking.

The difficulty with solving radical equations is that we may do every step correctly, but still end up with a wrong answer. This is because the very act of squaring the sides can create solutions that never existed before. For instance, I could claim the following:

This is nonsense, of course. But look what happens when I square both sides:

I started with something that was não true, squared both sides of it, and ended with something that was true. This is not good.

Squaring both sides of an equation is an "irreversible" step, in the sense that, having taken the step, we can't necessarily go back to what we'd started with. By squaring, we may have lost some of the original information. (This is just one of many potential errors possible in mathematics.)

To see how this works in our current context, let's look at a very simple radical equation:

This equation is no more true than was the " &ndash2 = 2 " nonsense we looked at previously, and it's nonsense for the exact same reason: no positivo value (in this case, a square root) can ever equal a negative number.

But suppose I hadn't noticed that this equation can't possibly have any solution, and had instead proceeded mindlessly to square both sides:

By squaring both sides, I got rid of the problemmatic "minus" sign, magically creating a solution which had not previously existed and is in fact not valid. But I won't discover this error unless I remembered to check my solution! Plugging my solution value into the left-hand side of the original equation, I check to see if I get the required value of the original right-hand side:

Now I can clearly see that something is amiss. I can't have a negative number equal to a positive number. Now I can see that the actual answer for this equation is:

There is another way to look at this "no solution" difficulty. When we are solving an equation, we can view the process as trying to find where two lines intersect on a graph. The left-hand side of the equation can be graphed as one curve, and the right-hand side of the equation can be graphed as another curve. The solution to the original equation is the intersection of the two curves. (Yes, this means that you can use your graphing calculator to help you check your work.)

When I was solving " x + 2 = 5 " above, you could also say that I was trying to find the intersection of the two curves:

The graph shows where these two lines intersect:

The intersection point is at x = 3 , which was the solution value I'd found earlier. Similarly, when I was solving the equation , you could view this as me trying to find the intersection of the following two curves:

These two functions graph as:

Just as before, the solution is at x = 16 .

But when I was trying to solve the nonsense equation , I was trying to find the intersection of the graph of the radical function and the constant function y2 = &ndash3 , which do not intersect:

So what happened when I squared both sides of that nonsense equation? In a sense, I kind of "squared" both line equations, and got two new lines:

And, as the graph shows, these two new lines actually do intersect!

As you can see, squaring both sides of the original equation created a solution where none belonged. And the after-squaring solution did não work in the before-squaring equation, because the original lines had not intersected. This illustrates why I had to check my solution to figure out that the real answer was "no solution".

Warning: Many instructors do not to show many examples (in class or in the homework) of radical equations for which the solutions don't actually work. But then they'll put one or more of these on the next test. You should expect a "no solution" radical equation on the test, so you remember to check your solutions.


Assista o vídeo: Rozwiązywanie równań II kl 6 (Outubro 2021).