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1.2: Mecânica de Newton - Queda Livre


As dimensões são úteis não apenas para desmascarar argumentos incorretos, mas também para gerar argumentos corretos. Como um exemplo contrário que mostra o que não fazer, aqui está quantos livros didáticos de cálculo apresentam um problema clássico em movimento:

Uma bola inicialmente em repouso cai de uma altura de h pés e atinge o solo a uma velocidade de v pés por segundo. Encontre v assumindo uma aceleração gravitacional de g pés por segundo ao quadrado e negligenciando a resistência do ar.

As unidades como pés ou pés por segundo são destacadas em negrito porque sua inclusão é tão frequente que não pode ser notada de outra forma, e sua inclusão cria um problema significativo. Como a altura é h pés, a variável h não contém as unidades de altura: h é, portanto, adimensional. (Para h ter dimensões, o problema simplesmente declararia que a bola cai de uma altura h; então, a dimensão do comprimento pertenceria a h.) Uma especificação explícita semelhante de unidades significa que as variáveis ​​ge v também são adimensionais. Como g, h e v são adimensionais, qualquer comparação de v com as quantidades derivadas de geh é uma comparação entre as quantidades adimensionais. É, portanto, sempre dimensionalmente válido, portanto a análise dimensional não pode nos ajudar a adivinhar a velocidade do impacto.

Desistir da valiosa ferramenta das dimensões é como lutar com uma das mãos amarrada nas costas. Desse modo, devemos resolver a seguinte equação diferencial com as condições iniciais:

[ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} = -g, text {com} y (0) = h text {e} dy / dt = 0 text {at} t = 0, rótulo {1,1} ]

onde y (t) é a altura da bola, dy / dt é a velocidade da bola e g é a aceleração gravitacional.

Problema 1.3 Solução de cálculo

Use o cálculo para mostrar que a equação diferencial em queda livre (d ^ {2} y / dt ^ {2} ) = −g com as condições iniciais y (0) = he dy / dt = 0 em t = 0 tem a seguinte solução:

[ frac {dy} {dt} = -gt text {e} y = - frac {1} {2} gt ^ {2} + h. label {1.2} ]

Pergunta

Usando as soluções para a posição e velocidade da bola no Problema 1.3, qual é a velocidade do impacto?

Quando y (t) = 0, a bola encontra o solo. Assim, o tempo de impacto t é ( sqrt {2h / g} ). A velocidade de impacto é −gt (_ {0} ) ou - ( sqrt {2gh} ). Portanto, a velocidade de impacto (a velocidade sem sinal) é ( sqrt {2gh} ).

Esta análise convida a vários erros de álgebra: esquecer de tirar uma raiz quadrada ao resolver para (t_ {0} ), ou dividir em vez de multiplicar por g ao encontrar a velocidade de impacto. Em outras palavras, praticar, fazer e corrigir muitos erros reduz sua prevalência em problemas simples, mas problemas complexos com muitas etapas permanecem campos minados. Gostaríamos de métodos menos sujeitos a erros.

Uma alternativa robusta é o método de análise dimensional. Mas esta ferramenta requer que pelo menos uma quantidade entre v, g e h tenham dimensões. Caso contrário, cada velocidade de impacto candidata, não importa o quão absurda, equivale a quantidades adimensionais e, portanto, tem dimensões válidas.

Portanto, vamos reafirmar o problema da queda livre para que as quantidades mantenham suas dimensões:

  • Uma bola inicialmente em repouso cai de uma altura he atinge o solo com velocidade v. Encontre v assumindo uma aceleração gravitacional ge desprezando a resistência do ar.

A reformulação é, em primeiro lugar, mais curta e nítida do que a frase original:

  • Uma bola inicialmente em repouso cai de uma altura de h pés e atinge o solo a uma velocidade de v pés por segundo. Encontre v assumindo uma aceleração gravitacional de g pés por segundo ao quadrado e desprezando a resistência do ar.

Em segundo lugar, a reformulação é mais geral. Não faz suposições sobre o sistema de unidades, por isso é útil mesmo que metros, côvados ou estádios sejam a unidade de comprimento. Mais importante ainda, a reformulação dá dimensões para h, g e v. Suas dimensões irão determinar quase exclusivamente a velocidade de impacto - sem a nossa necessidade de resolver uma equação diferencial.

As dimensões da altura h são simplesmente comprimento ou, para resumir, L. As dimensões da aceleração gravitacional g são comprimento por tempo ao quadrado ou (LT ^ {- 2} ), onde T representa a dimensão do tempo. Uma velocidade tem dimensões de (LT ^ {- 1} ), então v é uma função de geh com dimensões de (LT ^ {- 1} ).

Problema 1.4 Dimensões de quantidades familiares

Em termos das dimensões básicas comprimento L, massa M e tempo T, quais são as dimensões de energia, potência e torque?

Pergunta

Que combinação de g e h tem dimensões de velocidade?

A combinação ( sqrt {gh} ) tem dimensões de velocidade.

(( underbrace { mathrm {LT} ^ {- 2}} _ { mathrm {g}} times underbrace { mathrm {L}} _ { mathrm {h}}) ^ {1/2 } = sqrt { mathrm {L} ^ {2} mathrm {~ T} ^ {- 2}} = underbrace { mathrm {LT} ^ {- 1}} _ { text {velocidade}}. ) [ label {1.3} ]

Pergunta

É ( sqrt {gh} ) a única combinação de g e h com dimensões de velocidade?

Para decidir se ( sqrt {gh} ) é a única possibilidade, use a propagação de restrição [43]. A restrição mais forte é que a combinação de geh, sendo uma velocidade, deve ter dimensões de tempo inverso ( (T ^ {- 1} )). Como h não contém dimensões de tempo, ele não pode ajudar a construir (T ^ {- 1} ).

Como g contém (T ^ {- 2} ), o (T ^ {- 1} ) deve vir de ( sqrt {g} ). A segunda restrição é que a combinação contém (L ^ {1} ). O ( sqrt {g} ) já contribui (L ^ {1/2} ), então o (L ^ {1/2} ) ausente deve vir de ( sqrt {h} ) . As duas restrições, portanto, determinam exclusivamente como g e h aparecem na velocidade de impacto v.

A expressão exata para v, entretanto, não é única. Pode ser ( sqrt {gh} ), ( sqrt {2gh} ), ou, em geral, ( sqrt {gh} ) × constante adimensional. O idioma da multiplicação por uma constante adimensional ocorre com frequência e merece uma notação compacta semelhante ao sinal de igual:

[v∼ sqrt {gh} label {1.4} ]

Incluindo esta notação ∼, temos várias espécies de igualdade:

∝ igualdade, exceto talvez para um fator com dimensões,

∼ igualdade, exceto talvez para um fator sem dimensões,

≈ igualdade, exceto talvez para um fator próximo a 1.

A velocidade exata do impacto é ( sqrt {2gh} ), então o resultado das dimensões ( sqrt {gh} ) contém toda a dependência funcional! Falta apenas o fator adimensional ( sqrt {2} ), e esses fatores geralmente não são importantes. Neste exemplo, a altura pode variar de alguns centímetros (um salto de pulga) a alguns metros (um gato saltando de uma saliência). A variação do fator de 100 na altura contribui com uma variação do fator de 10 na velocidade de impacto. Da mesma forma, a aceleração gravitacional pode variar de 0,27 m (s ^ {- 2} ) (no asteróide Ceres) a 25 m (s ^ {- 2} ) (em Júpiter). A variação do fator de 100 em g contribui com outra variação do fator de 10 na velocidade de impacto. Muita variação na velocidade de impacto, portanto, não vem do fator adimensional ( sqrt {2} ), mas sim dos fatores simbólicos que são calculados exatamente pela análise dimensional. Além disso, não calcular a resposta exata pode ser uma vantagem. As respostas exatas possuem todos os fatores e termos, permitindo informações menos importantes, como o fator adimensional, como ( sqrt {gh} ). Como William James aconselhou, “A arte de ser sábio é a arte de saber o que ignorar” [19, Capítulo 22].

Problema 1.5 Lançamento vertical

Você joga uma bola diretamente para cima com velocidade v0. Use a análise dimensional para estimar quanto tempo a bola leva para retornar à sua mão (negligenciando a resistência do ar). Em seguida, encontre o tempo exato resolvendo a equação diferencial de queda livre. Qual fator adimensional estava faltando no resultado da análise dimensional?


2.1: Introdução à Mecânica Newtoniana

  • Contribuição de Douglas Cline
  • Professor (Física) na Universidade de Rochester

Supõe-se que o leitor foi apresentado à mecânica newtoniana aplicada a um ou dois objetos pontuais. Este capítulo revisa a mecânica newtoniana para o movimento de sistemas de muitos corpos, bem como para corpos de tamanho macroscópico. A Lei da Gravitação de Newton e Rsquos também é revisada. O objetivo desta revisão é garantir que o leitor tenha uma base sólida de mecânica newtoniana elementar sobre a qual construir as poderosas abordagens analíticas lagrangianas e hamiltonianas da dinâmica clássica.

A mecânica newtoniana é baseada na aplicação das Leis do movimento de Newton & Rsquos, que assumem que os conceitos de distância, tempo e massa são absolutos, ou seja, o movimento está em um referencial inercial. A ideia newtoniana da separação completa de espaço e tempo, e o conceito de absolutez do tempo, são violados pela Teoria da Relatividade, conforme discutido no capítulo (17 ). No entanto, para a maioria das aplicações práticas, os efeitos relativísticos são desprezíveis e a mecânica newtoniana é uma descrição adequada em baixas velocidades. Portanto, os capítulos (2-16 ) assumirão as velocidades para as quais as leis de movimento de Newton & rsquos são aplicáveis.


Definição de queda livre

O uso diário do termo "queda livre" não é o mesmo que a definição científica. No uso comum, um pára-quedista é considerado em queda livre ao atingir a velocidade terminal sem um pára-quedas. Na verdade, o peso do pára-quedista é sustentado por uma almofada de ar.

A queda livre é definida de acordo com a física newtoniana (clássica) ou em termos da relatividade geral. Na mecânica clássica, a queda livre descreve o movimento de um corpo quando a única força que age sobre ele é a gravidade. A direção do movimento (para cima, para baixo, etc.) não é importante. Se o campo gravitacional for uniforme, ele atua igualmente em todas as partes do corpo, tornando-o "sem peso" ou experimentando "0 g". Embora possa parecer estranho, um objeto pode estar em queda livre mesmo quando se move para cima ou no topo de seu movimento. Um pára-quedista que salta de fora da atmosfera (como um salto HALO) quase atinge a velocidade terminal verdadeira e a queda livre.

Em geral, desde que a resistência do ar seja insignificante em relação ao peso de um objeto, ele pode atingir uma queda livre. Exemplos incluem:

  • Uma nave espacial no espaço sem um sistema de propulsão engajado
  • Um objeto jogado para cima
  • Um objeto caído de uma torre ou tubo de queda
  • Uma pessoa pulando

Em contraste, objetos não em queda livre incluem:

  • Um pássaro voando
  • Uma aeronave voadora (porque as asas fornecem sustentação)
  • Usando um pára-quedas (porque ele neutraliza a gravidade com arrasto e, em alguns casos, pode fornecer sustentação)
  • Um pára-quedista que não usa pára-quedas (porque a força de arrasto é igual a seu peso na velocidade terminal)

Na relatividade geral, queda livre é definida como o movimento de um corpo ao longo de uma geodésica, com a gravidade descrita como curvatura do espaço-tempo.


Força de restauração linear

Uma classe importante de problemas envolve uma força restauradora linear, ou seja, eles obedecem Lei Hooke e rsquos. A equação de movimento para este caso é

Então a equação do movimento pode ser escrita como

[ etiqueta ddot + omega_0 ^ 2 x = 0 ]

que é a equação do oscilador harmônico. Os exemplos são pequenas oscilações de uma massa em uma mola, vibrações de uma corda de piano esticada, etc.

A solução desta equação de segunda ordem é

[ etiqueta x (t) = A sin ( omega _0 t - delta) ]

Este é o conhecido comportamento senoidal do deslocamento para o oscilador harmônico simples. A frequência angular ( omega_0 )

Observe que, para este sistema linear sem forças dissipativas, a energia total é uma constante de movimento, conforme discutido anteriormente. Ou seja, é um sistema conservador com uma energia total (E ) dada por

O primeiro termo é a energia cinética e o segundo termo é a energia potencial. O teorema Virial fornece que para a força de restauração linear a energia cinética média é igual à energia potencial média.


1.2: Mecânica de Newton - Queda Livre

De acordo com o Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST) - que é a agência governamental dos EUA que investigou a destruição do World Trade Center - as Torres Gêmeas caíram "essencialmente em queda livre". 1

A teoria dos colapsos do NIST depende da ideia de que a seção superior de cada torre poderia acelerar continuamente através dos andares inferiores quase à taxa de gravidade, enquanto no processo desmembrava completamente as armações de aço e pulverizava quase todo o concreto em um pó fino .

Ainda assim, o NIST não forneceu modelagem ou cálculos para demonstrar que tal comportamento era possível. Em vez disso, o NIST interrompeu arbitrariamente sua análise no momento da “iniciação do colapso”, afirmando que o colapso total era “inevitável” uma vez que os colapsos começassem. 2

Surpreendentemente, toda a explicação do NIST sobre por que as seções inferiores falharam em parar ou mesmo retardar a descida das seções superiores é limitada a meia página de seu relatório de 10.000 páginas, em uma seção intitulada "Eventos após a iniciação do colapso", 3 que afirma:

“A estrutura abaixo do nível de iniciação do colapso forneceu resistência mínima à queda da massa do edifício na zona de impacto e acima dela. A energia potencial liberada pelo movimento descendente da grande massa do edifício excedeu em muito a capacidade da estrutura intacta abaixo de absorvê-la por meio da energia de deformação.

“Uma vez que as histórias abaixo do nível de iniciação do colapso forneceram pouca resistência à tremenda energia liberada pela massa do edifício em queda, a seção do edifício acima caiu essencialmente em queda livre, como pode ser visto nos vídeos.” - p. 146, NIST NCSTAR 1

Em 2007, um grupo de cientistas, um arquiteto e dois membros da família do 11 de setembro entraram com um “Pedido de Correção” ao relatório do NIST sob a Lei de Qualidade da Informação. Eles argumentaram que, entre outras coisas, o NIST falhou em estabelecer a causa técnica provável das falhas de construção porque não explicou por que, após o início do colapso, ocorreu o colapso total. 4 Eles escreveram:

“Aqui, o NIST não ofereceu nenhuma explicação sobre por que (ou seja, a causa técnica de) a história abaixo da zona de colapso não foi capaz de interromper o movimento descendente dos andares superiores. A afirmação “conforme evidenciado pelos vídeos de vários pontos de vista” é apenas uma explicação do que ocorreu, mas não dá ao leitor absolutamente nenhuma ideia do porquê. Os princípios básicos de engenharia (por exemplo, o princípio da conservação do momento) ditariam que a estrutura de aço não danificada abaixo da zona de colapso iria, no mínimo, resistir e retardar o movimento descendente das histórias acima…. As famílias dos bombeiros e funcionários do WTC que ficaram presos nas escadarias quando todas as torres do WTC desabaram em cima deles certamente apreciariam uma explicação adequada de por que a estrutura inferior não conseguiu prender ou mesmo resistir ao colapso dos andares superiores. ” - p. 20, Pedido de Correção

O NIST respondeu ao Pedido de Correção com a admissão notável de que não foi capaz de fornecer uma explicação completa do colapso total: 5

“O NIST levou sua análise ao ponto em que os edifícios atingiram a instabilidade global. Neste ponto, devido à magnitude das deflexões e ao número de falhas ocorridas, os modelos de computador não são capazes de convergir para uma solução…. Não podemos fornecer uma explicação completa do colapso total. ” - p. 3-4, Resposta NIST ao Pedido de Correção

Colapso total explicado

Embora o NIST tenha falhado em fornecer uma explicação para o colapso total das Torres Gêmeas, vários pesquisadores independentes aceitaram esse desafio.

A seção superior da Torre Norte.

O ponto central de sua análise foi medir o movimento descendente da seção superior do WTC 1 (a Torre Norte). Dois artigos em particular descobriram que, nos quatro segundos antes de a seção superior desaparecer de vista, a taxa de aceleração permaneceu constante, em aproximadamente 64% da queda livre, 6 e nunca houve uma desaceleração observável. 7

Com base na Terceira Lei do Movimento de Newton, que afirma que para cada ação há uma reação igual e oposta, sabemos que teria ocorrido uma desaceleração da seção superior do WTC 1 se tivesse impactado e esmagado a estrutura intacta abaixo dela. A ausência de desaceleração é uma prova incontestável de que outra força (ou seja, explosivos) deve ter sido responsável pela destruição da estrutura inferior antes que a seção superior a alcançasse.

Figura 1: Este gráfico de "Destruição da Torre Norte e Física Fundamental do World Trade Center" de David Chandler (Journal of 9/11 Studies, fevereiro de 2010) mostra que a seção superior da Torre Norte viajou a uma aceleração descendente quase uniforme de -6,31 m / s 2 ( com um valor de R 2 de 0,997), ou 64% de queda livre.

Em 2011, o ASCE's Journal of Engineering Mechanics publicou um artigo do Dr. Zdeněk Bažant e Jia-Liang Le intitulado "Por que a história do movimento observado das torres do World Trade Center é suave", 8 no qual os autores tentaram argumentar que a desaceleração da seção superior era "muito pequena para ser perceptível ”, explicando por que o movimento observado é“ suave ”. Especificamente, eles calcularam, a desaceleração era "três ordens de magnitudes menores do que o erro de um vídeo amador e, portanto, indetectável".

Em resposta, os pesquisadores Tony Szamboti e Richard Johns enviaram um documento de discussão para o Journal of Engineering Mechanics em maio de 2011. 9 Seu artigo argumentou que Bažant e Le usaram valores incorretos para (1) a resistência das colunas, (2) a massa do piso da estrutura inferior e (3) a massa total da seção superior. Szamboti e Johns mostraram que quando os valores corretos são aplicados, a análise de Bažant e Le realmente prova que a desaceleração da seção superior teria sido significativa e detectável (se fosse um verdadeiro colapso progressivo induzido pelo fogo), e que o colapso teria preso em três segundos.

Infelizmente, o Journal of Engineering Mechanics rejeitou inexplicavelmente o artigo de Discussão de Szamboti e Johns como "fora do escopo" depois de mantê-lo em revisão por 27 meses. Então, Szamboti e Johns, junto com o Dr. Gregory Szuladziński, um especialista de renome mundial em mecânica estrutural, escreveram outro artigo refutando a análise de Bažant e Le e o submeteram ao International Journal of Protective Structures. Esse documento, intitulado “Alguns mal-entendidos relacionados à análise do colapso do WTC” 10, foi publicado em junho de 2013.

Tão pouca pesquisa foi publicada sobre por que as Torres Gêmeas passaram por total colapso que o artigo de 2011 de Bažant e Le, e os três artigos anteriores de Bažant sobre o assunto, são a única análise que existe para apoiar a explicação oficial de um colapso progressivo induzido pelo fogo. Essa análise foi agora indiscutivelmente desmascarada por Szamboti, Johns, Szuladziński e outros.

Notas finais

[1] NIST: Relatório Final da Equipe Nacional de Segurança da Construção sobre os desmoronamentos das torres do World Trade Center (1 de dezembro de 2005), p.146. (NIST NCSTAR 1)

[2] NIST NCSTAR 1, p.xxxvii, p. 82

[8] Bažant, Zdeněk e Le, Jia-Liang: “Por que a história do movimento observado das torres do World Trade Center é suave”, Journal of Engineering Mechanics (Janeiro de 2011).

[10] Szuladziński, Gregory e Szamboti, Tony e Johns, Richard: “Alguns mal-entendidos relacionados à análise de colapso do WTC”, International Journal of Protective Structures (Junho de 2013).


ANSHS Physics Classroom-xanmechanics

Quão rápido?
As coisas caem por causa da força da gravidade. Quando um objeto em queda está livre de todas as restrições - sem atrito, ar ou outro - e cai sob a influência apenas da gravidade, ele está em queda livre.
Velocidade adquirida = aceleração x tempo
Para um objeto caindo do repouso, a velocidade instantânea v em qualquer momento t pode ser expressa em notação abreviada como v = gt.
A letra v simboliza velocidade e velocidade.
Quão longe?
A distância percorrida pelo objeto em aceleração uniforme a partir do repouso é
Distância = 1 / 2gt2. Onde d é a distância em que o objeto cai, g é a aceleração e t é o tempo de queda em segundos.
Problemas de amostra
1.
uma. Quanto tempo leva para uma bola cair de um telhado ao solo 7,0 m abaixo?
b. Com que velocidade atinge o solo?
RESPONDER:
Em problemas de cinemática, comece com uma mesa davfvit. Use este formato para listar as informações fornecidas e identificar a quantidade que está sendo resolvida. Em seguida, identifique a relação entre as quantidades fornecidas e as desconhecidas, substitua os valores na relação e resolva a partir da incógnita.

1.
d 7,0 m [para baixo]
a 9,8 m / s2 [para baixo]
vf
vi 0
t?
PROBLEMAS DE ACIONAMENTO
Os problemas de arremesso referem-se a situações em que a velocidade inicial de um objeto é oposta à sua aceleração. A chave é escolher um quadro de referência. Por exemplo, se & # 8220up & # 8221 for +, então & # 8220down & # 8221 é -. O quadro de referência deve ser usado de forma consistente em todo o processo de resolução.
RESPONDER:
2. quadro de referência: para baixo = +
d 7,0 m
a 9,8 m / s2
vf
vi & # 8211 2,0 m / s *
t?
Agora podemos ver que precisamos de um relacionamento entre d, a, vi e t

(7,0 m) = (-2,00) t + (0,5) (9,8) t2
t = <1,42, -1,01>
Uma vez que t & lt 0 não tem significado,
t = 1,42 s

Em problemas de catch-up, dois objetos com movimentos diferentes acabam no mesmo lugar ao mesmo tempo. Às vezes, esses problemas parecem não ter informações suficientes para serem resolvidos. No entanto, confiamos na física.


Esses problemas são complexos porque descrevem dois movimentos diferentes. A abordagem usada é simplificar o problema dividindo-o em problemas simples. Isso é diminuído usando duas colunas na tabela davfvit: uma coluna para cada movimento.


EXEMPLO
3. Uma bola é lançada de um telhado para o solo 8,0 m abaixo. Uma pedra é lançada do telhado 0,600 s depois. Se os dois atingiram o solo ao mesmo tempo, qual foi a velocidade inicial da rocha?

RESPONDER:
3.
bola de rock
d 8,0 m [baixo] 8,0 m [baixo]
a 9,8 m / s2 [para baixo] 9,8 m / s2 [para baixo]
vf
vi 0?
t? ?

Precisamos de tempo para encontrar velocidade. Como temos mais informações sobre a bola, começamos a resolver o tempo para a bola.
Agora podemos ver que precisamos de um relacionamento entre d, a, vi e t

d = vit + (0,5) at2
8,0 = (0) t + (0,5) (9,8 m / s2) t2

t = 1.28s
O tempo de deslocamento da pedra é 0,600 s menor do que o da bola. Agora nossa tabela se parece com isto:
bola de rock
d 8,0 m [baixo] 8,0 m [baixo]
a 9,8 m / s2 [para baixo] 9,8 m / s2 [para baixo]
vf
vi 0?
t 1,28 s 0,68 s

Para a rocha, precisamos de uma relação entre d, a, vi e t

d = vit + (0,5) at2
8,0 = vi (0,68 s) + (0,5) (9,8 m / s2) (0,68 s) 2
vi = 8,43 m / s


6 Respostas 6

é porque a Força em ação aqui (gravidade) também depende da massa

a gravidade atua em um corpo com massa m com

você conectará isso a $ F = ma $ e obterá

e isso é verdade para todos os corpos, não importa qual seja a massa. Como são acelerados da mesma forma e começam com as mesmas condições iniciais (em repouso e caídos de uma altura h), eles atingirão o solo ao mesmo tempo.

Este é um aspecto peculiar da gravidade e subjacente a isso está a igualdade da massa inercial e da massa gravitacional (aqui apenas a proporção deve ser a mesma para que isso seja verdade, mas Einstein depois mostrou que eles são realmente iguais, ou seja, a proporção é 1 )

A força gravitacional de Newton é proporcional à massa de um corpo, $ F = frac times m $, onde no caso em que você está pensando em $ M $ é a massa da Terra, $ R $ é o raio da Terra e $ G $ é a constante gravitacional de Newton.

Consequentemente, a aceleração é $ a = frac= frac$, que é independente da massa do objeto. Conseqüentemente, quaisquer dois objetos que estão sujeitos apenas à força da gravidade cairão com a mesma aceleração e, portanto, atingirão o solo ao mesmo tempo.

O que eu acho que você estava faltando é que a força $ F $ nos dois corpos não é a mesma, mas as acelerações está o mesmo.

Existem duas maneiras em que a massa pode afetar o tempo do impacto:

(1) Um objeto muito grande tem uma atração mais forte pela Terra. Logicamente, isso pode fazer o objeto cair mais rápido e assim atingir o solo mais cedo.

(2) Um objeto muito grande é difícil de se mover. (Isto é, tem uma inércia muito alta.) Assim, pode-se esperar logicamente que o objeto muito grande seja mais difícil de se mover e, portanto, perca a corrida.

O milagre é que no mundo em que vivemos, esses dois efeitos se equilibram exatamente e assim a massa mais pesada atinge o solo ao mesmo tempo.

Agora, deixe-me dar uma explicação simples de por que é natural que isso aconteça. Suponha que temos duas massas muito pesadas. Se os soltarmos separadamente, eles demoram algum tempo para cair. Por outro lado, se os unirmos, eles levarão o mesmo tempo? Pense em uma esfera dividida em duas metades:

Duas duas metades da esfera cairiam com a mesma velocidade uma da outra. Então, se você os largasse um ao lado do outro, eles cairiam juntos. E deixá-los cair um ao lado do outro não vai ser diferente de aparafusá-los e deixá-los cair juntos. Ou seja, não haverá força nos parafusos. Portanto, a esfera combinada (ou aparafusada) deve cair na mesma proporção que a esfera dividida.


Queda Livre com Exemplos

A queda livre é um tipo de movimento que todos podem observar no dia a dia. Deixamos cair algo acidentalmente ou propositalmente e vemos seu movimento. No início tem velocidade baixa e até o final ganha velocidade e antes da colisão atinge sua velocidade máxima. Quais fatores afetam a velocidade do objeto enquanto ele está em queda livre? Como podemos calcular a distância que leva, o tempo que leva durante a queda livre? Lidamos com esses assuntos nesta seção. Primeiro, deixe-me começar com a origem do aumento da velocidade durante a queda. Como você pode imaginar, as coisas caem por causa da gravidade. Assim, nossos objetos ganham velocidade de aproximadamente 10 m / s por segundo enquanto caem por causa da gravitação. Chamamos isso de aceleração na física aceleração gravitacional e mostre com & ldquog & rdquo. O valor de g é 9,8m / s & sup2 no entanto, em nossos exemplos, assumimos que é 10 m / s & sup2 para cálculos simples. Agora é hora de formular o que dissemos acima. Falamos sobre o aumento da velocidade que é igual à quantidade de g por segundo. Assim, nossa velocidade pode ser encontrada pela fórmula

V = g.t onde g é a aceleração gravitacional e t é o tempo.

Veja o exemplo abaixo e tente entender o que tentei explicar acima.

Exemplo O menino deixa cair a bola de um telhado da casa que leva 3 segundos para atingir o solo. Calcule a velocidade antes de a bola cair no chão. (g = 10m / s e sup2)


V = 10m / s & sup2.3s = 30m / s

Aprendemos como encontrar a velocidade do objeto em um determinado momento. Agora aprenderemos como encontrar a distância percorrida durante o movimento. Dou algumas equações para calcular a distância e outras quantidades. Galileu encontrou uma equação para a distância de seus experimentos.

Usando esta equação, podemos encontrar a altura da casa no exemplo dado acima. Vamos & rsquos descobrir a altura em que a bola caiu? Usamos 10 m / s & sup2 para g.

Acho que a fórmula agora está um pouco mais clara em sua mente. Vamos resolver mais problemas relacionados a este tópico. Agora, pense que se eu jogar a bola para cima com uma velocidade inicial. Quando ele para e cai de volta no chão? Nós respondemos a essas perguntas agora.


A imagem mostra as magnitudes da velocidade na parte inferior e na parte superior. Como você pode ver, a bola é lançada para cima com uma velocidade inicial v, no topo sua velocidade torna-se zero e muda sua direção e começa a cair, o que é uma queda livre. Finalmente, na parte inferior, antes do acidente, ele atinge sua velocidade máxima, que é mostrada como V & rsquo. Já falamos sobre a quantidade de aumento na velocidade em queda livre. Aumenta 9,8m / s a ​​cada segundo devido à aceleração gravitacional. Nesse caso, também há g, mas a direção da bola e rsquos é para cima, então o sinal de g é negativo. Assim, nossa velocidade diminui em 9,8m / s a ​​cada segundo até que a velocidade se torne zero. No topo, por causa da velocidade zero, a bola muda de direção e começa a cair em queda livre. Antes de resolver os problemas, gostaria de apresentar os gráficos do movimento de queda livre.

Como você pode ver nos gráficos, nossa velocidade aumenta linearmente com uma aceleração & ldquog & rdquo, os segundos gráficos nos dizem que a aceleração é constante em 9,8m / s & sup2 e, finalmente, o terceiro gráfico é a representação da mudança em nossa posição. No início temos um deslocamento positivo e com o passar do tempo ele diminui e finalmente se torna zero. Agora podemos resolver problemas usando esses gráficos e explicações.

Exemplo John joga a bola para cima e após 1 segundo ela atinge sua altura máxima e então faz um movimento de queda livre que leva 2 segundos. Calcule a altura e velocidade máximas da bola antes que ela se choque contra o solo. (g = 10m / s e sup2)

Exemplo Um objeto faz um movimento de queda livre. Ele atinge o solo após 4 segundos. Calcule a velocidade do objeto após 3 segundos e antes de atingir o solo. Qual pode ser a altura em que é lançada?

Dois exemplos dados acima tentam mostrar como usar as equações de queda livre. Podemos encontrar a velocidade, distância e tempo a partir dos dados fornecidos. Agora, darei mais três equações e concluirei o assunto Cinemática 1D. As equações são


A primeira equação é usada para encontrar a velocidade do objeto com velocidade e aceleração iniciais. O segundo é usado para calcular a distância do objeto com velocidade inicial e aceleração. A terceira e última equação é a equação de velocidade atemporal. Se a distância, a velocidade inicial e a aceleração do objeto forem conhecidas, você poderá encontrar a velocidade final do objeto. Agora vamos resolver alguns problemas usando essas equações para compreender o assunto em detalhes.

Exemplo Calcule a velocidade do carro que tem velocidade inicial de 24m / se aceleração de 3m / s e sup2 após 15 segundos.

Usamos a primeira equação para resolver esta questão.

Exemplo O carro que está inicialmente em repouso tem uma aceleração de 7m / s e sup2 e percorre 20 segundos. Encontre a distância que cobre durante este período.


Queda livre

Em cada um desses exemplos, a aceleração foi o resultado da gravidade. Seu objeto estava acelerando porque a gravidade o estava puxando para baixo. Até mesmo o objeto jogado para cima está caindo - e começa a cair no minuto em que deixa sua mão. Se não fosse, teria continuado se afastando de você em linha reta. Isto é o .

Quais são os fatores que afetam essa aceleração da gravidade? Se você perguntasse isso a uma pessoa típica, ela provavelmente diria "peso", o que na verdade significa "massa" (mais sobre isso mais tarde). Ou seja, objetos pesados ​​caem rápido e objetos leves caem lentamente. Embora isso possa parecer verdade à primeira vista, não responde à minha pergunta original. & quotQuais são os fatores que afetam a aceleração devido à gravidade? & quot A massa não afeta a aceleração devido à gravidade de nenhuma maneira mensurável. As duas quantidades são independentes uma da outra. Objetos leves aceleram mais lentamente do que objetos pesados ​​apenas quando outras forças além da gravidade também estão em ação. Quando isso acontece, um objeto pode estar caindo, mas não está em queda livre. ocorre sempre que um objeto sofre a ação apenas da gravidade.

  • Obtenha um pedaço de papel e um lápis. Segure-os na mesma altura acima de uma superfície nivelada e solte-os simultaneamente. A aceleração do lápis é visivelmente maior do que a aceleração do pedaço de papel, que se agita e flutua ao descer.

Outra coisa está atrapalhando aqui - e essa coisa é a resistência do ar (também conhecida como resistência aerodinâmica). Se pudéssemos de alguma forma reduzir esse arrasto, teríamos um experimento real. Sem problemas.

  • Repita o experimento, mas antes de começar, enrole o pedaço de papel na bola mais apertada possível. Agora, quando o papel e o lápis são liberados, deve ser óbvio que suas acelerações são idênticas (ou pelo menos mais semelhantes do que antes).

We're getting closer to the essence of this problem. If only somehow we could eliminate air resistance altogether. The only way to do that is to drop the objects in a vacuum. It is possible to do this in the classroom with a vacuum pump and a sealed column of air. Under such conditions, a coin and a feather can be shown to accelerate at the same rate. (In the olden days in Great Britain, a coin called a guinea was used and so this demonstration is sometimes called the "guinea and feather".) A more dramatic demonstration was done on the surface of the moon — which is as close to a true vacuum as humans are likely to experience any time soon. Astronaut David Scott released a rock hammer and a falcon feather at the same time during the Apollo 15 lunar mission in 1971. In accordance with the theory I am about to present, the two objects landed on the lunar surface simultaneously (or nearly so). Only an object in free fall will experience a pure acceleration due to gravity.

The leaning tower of Pisa

Let's jump back in time for a bit. In the Western world prior to the 16th century, it was generally assumed that the acceleration of a falling body would be proportional to its mass — that is, a 10 kg object was expected to accelerate ten times faster than a 1 kg object. The ancient Greek philosopher Aristotle of Stagira (384–322 BCE), included this rule in what was perhaps the first book on mechanics. It was an immensely popular work among academicians and over the centuries it had acquired a certain devotion verging on the religious. It wasn't until the Italian scientist Galileo Galilei (1564–1642) came along that anyone put Aristotle's theories to the test. Unlike everyone else up to that point, Galileo actually tried to verify his own theories through experimentation and careful observation. He then combined the results of these experiments with mathematical analysis in a method that was totally new at the time, but is now generally recognized as the way science gets done. For the invention of this method, Galileo is generally regarded as the world's first scientist.

In a tale that may be apocryphal, Galileo (or an assistant, more likely) dropped two objects of unequal mass from the Leaning Tower of Pisa. Quite contrary to the teachings of Aristotle, the two objects struck the ground simultaneously (or very nearly so). Given the speed at which such a fall would occur, it is doubtful that Galileo could have extracted much information from this experiment. Most of his observations of falling bodies were really of round objects rolling down ramps. This slowed things down enough to the point where he was able to measure the time intervals with water clocks and his own pulse (stopwatches and photogates having not yet been invented). This he repeated "a full hundred times" until he had achieved "an accuracy such that the deviation between two observations never exceeded one-tenth of a pulse beat."

With results like that, you'd think the universities of Europe would have conferred upon Galileo their highest honor, but such was not the case. Professors at the time were appalled by Galileo's comparatively vulgar methods even going so far as to refuse to acknowledge that which anyone could see with their own eyes. In a move that any thinking person would now find ridiculous, Galileo's method of controlled observation was considered inferior to pure reason. Imagine that! I could say the sky was green and as long as I presented a better argument than anyone else, it would be accepted as fact contrary to the observation of nearly every sighted person on the planet.

Galileo called his method "new" and wrote a book called Discourses on Two New Sciences wherein he used the combination of experimental observation and mathematical reasoning to explain such things as one dimensional motion with constant acceleration, the acceleration due to gravity, the behavior of projectiles, the speed of light, the nature of infinity, the physics of music, and the strength of materials. His conclusions on the acceleration due to gravity were that…

the variation of speed in air between balls of gold, lead, copper, porphyry, and other heavy materials is so slight that in a fall of 100 cubits a ball of gold would surely not outstrip one of copper by as much as four fingers. Having observed this I came to the conclusion that in a medium totally devoid of resistance all bodies would fall with the same speed.

For I think no one believes that swimming or flying can be accomplished in a manner simpler or easier than that instinctively employed by fishes and birds. When, therefore, I observe a stone initially at rest falling from an elevated position and continually acquiring new increments of speed, why should I not believe that such increases take place in a manner which is exceedingly simple and rather obvious to everybody?

I greatly doubt that Aristotle ever tested by experiment.

Galileo Galilei, 1638

Despite that last quote, Galileo was not immune to using reason as a means to validate his hypothesis. In essence, his argument ran as follows. Imagine two rocks, one large and one small. Since they are of unequal mass they will accelerate at different rates — the large rock will accelerate faster than the small rock. Now place the small rock on top of the large rock. What will happen? According to Aristotle, the large rock will rush away from the small rock. What if we reverse the order and place the small rock below the large rock? It seems we should reason that two objects together should have a lower acceleration. The small rock would get in the way and slow the large rock down. But two objects together are heavier than either by itself and so we should also reason that they will have a greater acceleration. This is a contradiction.

Here's another thought problem. Take two objects of equal mass. According to Aristotle, they should accelerate at the same rate. Now tie them together with a light piece of string. Together, they should have twice their original acceleration. But how do they know to do this? How do inanimate objects know that they are connected? Let's extend the problem. Isn't every heavy object merely an assembly of lighter parts stuck together? How can a collection of light parts, each moving with a small acceleration, suddenly accelerate rapidly once joined? We've argued Aristotle into a corner. The acceleration due to gravity is independent of mass.

Galileo made plenty of measurements related to the acceleration due to gravity but never once calculated its value (or if he did, I have never seen it reported anywhere). Instead he stated his findings as a set of proportions and geometric relationships — lots of them. His description of constant speed required one definition, four axioms, and six theorems. All of these relationships can now be written as the single equation in modern notation.

Algebraic symbols can contain as much information as several sentences of text, which is why they are used. Contrary to the common wisdom, mathematics makes life easier.

Location, location, location

The generally accepted value for the acceleration due to gravity on and near the surface of the Earth is…

g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 feet/s 2

It is useful to memorize this number (as millions of people around the globe already have), however, it should also be pointed out that this number is not a constant. Although mass has no effect on the acceleration due to gravity, there are three factors that do. They are location, location, location.

Everyone reading this should be familiar with the images of the astronauts hopping about on the moon and should know that the gravity there is weaker than it is on the Earth — about one sixth as strong or 1.6 m/s 2 . That's why the astronauts were able to hop around on the surface easily despite the weight of their space suits. In contrast, gravity on Jupiter is stronger than it is on Earth — about two and a half times stronger or 25 m/s 2 . Astronauts cruising through the top of Jupiter's thick atmosphere would find themselves struggling to stand up inside their space ship.

On the Earth, gravity varies with latitude and altitude (to be discussed in a later chapter). The acceleration due to gravity is greater at the poles than at the equator and greater at sea level than atop Mount Everest. There are also local variations that depend upon geology. The value of 9.8 m/s 2 — with only two significant digits — is true for all places on the surface of the Earth and holds for altitudes up to +10 km (the altitude of commercial jet airplanes) and depths down to 󔼜 km (far below the deepest mines).

How crazy are you for accuracy? For most applications, the value of 9.8 m/s 2 is more than sufficient. If you're in a hurry, or don't have access to a calculator, or just don't need to be that accurate rounding g on Earth to 10 m/s 2 is often acceptable. During a multiple choice exam where calculators aren't allowed, this is often the way to go. If you need greater accuracy, consult a comprehensive reference work to find the accepted value for your latitude and altitude.

If that's not good enough, then obtain the required instruments and measure the local value to as many significant digits as you can. You may learn something interesting about your location. I once met a geologist whose job it was to measure g across a portion of West Africa. When I asked him who he worked for and why he was doing this, he basically refused to answer other than to say that one could infer the interior structure of the Earth from a prepared from his findings. Knowing this, one might then be able to identify structures where valuable minerals or petroleum might be found.

Like all professions, those in the gravity measuring business () have their own special jargon. The SI unit of acceleration is the meter per second squared [m/s 2 ]. Split that into a hundred parts and you get the centimeter per second squared [cm/s 2 ] also known as the [Gal] in honor of Galileo. Note that the word for the unit is all lowercase, but the symbol is capitalized. The gal is an example of a Gaussian unit.

00 1 Gal = 1 cm/s 2 = 0.01 m/s 2
100 Gal = 100 cm/s 2 = 1 m/s 2 .

Split a gal into a thousand parts and you get a [mGal].

1 mGal = 0.001 Gal = 10 𕒹 m/s 2

Since Earth's gravity produces a surface acceleration of about 10 m/s 2 , a milligal is about 1 millionth of the value we're all used to.

1 g ≈ 10 m/s 2 = 1,000 Gal = 1,000,000 mGal

Measurements with this precision can be used to study changes in the Earth's crust, sea levels, ocean currents, polar ice, and groundwater. Push it a little bit further and it's even possible to measure changes in the distribution of mass in the atmosphere. Gravity is a weighty subject that will be discussed in more detail later in this book.

Gee, Wally

Don't confuse the phenomenon of acceleration due to gravity with the unit of a similar name. O quantidade g has a value that depends on location and is aproximadamente

almost everywhere on the surface of the Earth. O unidade g has the exact value of…

They also use slightly different symbols. The defined unit uses the roman or upright g while the natural phenomenon that varies with location uses the itálico or oblique g. Don't confuse g with g.

As mentioned earlier, the value of 9.8 m/s 2 with only two significant digits is valid for most of the surface of the Earth up to the altitude of commercial jet airliners, which is why it is used throughout this book. The value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits is the so called or . It's a value that works for latitudes around 45° and altitudes not too far above sea level. It's approximately the value for the acceleration due to gravity in Paris, France — the hometown of the International Bureau of Weights and Measures. The original idea was to establish a standard value for gravity so that units of mass, weight, and pressure could be related — a set of definitions that are now obsolete. The Bureau chose to make this definition work for where their laboratory was located. The old unit definitions died out, but the value of standard gravity lives on. Now it's just an agreed upon value for making comparisons. It's a value close to what we experience in our everyday lives — just with way too much precision.

Some books recommend a compromise precision of 9.81 m/s 2 with three significant digits for calculations, but this book does not. At my location in New York City, the acceleration due to gravity is 9.80 m/s 2 . Rounding standard gravity to 9.81 m/s 2 is wrong for my location. The same is true all the way south to the equator where gravity is 9.780 m/s 2 at sea level — 9.81 m/s 2 is just too big. Head north of NYC and gravity gets closer and closer to 9.81 m/s 2 until eventually it is. This is great for Canadians in southern Quebec, but gravity keeps keeps increasing as you head further north. At the North Pole (and the South Pole too) gravity is a whopping 9.832 m/s 2 . The value 9.806 m/s 2 is midway between these two extremes, so it's sort of true to say that…

This is not the same thing as an average, however. For that, use this value that someone else derived…

Here are my suggestions. Use the value of 9.8 m/s 2 with two significant digits for calculations on the surface of the Earth unless a value of gravity is otherwise specified. That seems reasonable. Use the value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits only when you want to convert m/s 2 to g. That is the law.

The unit g is often used to measure the acceleration of a reference frame. This is technical language that will be elaborated upon later in another section of this book, but I will explain it with examples for now. As I write this, I'm sitting in front of my computer in my home office. Gravity is drawing my body down into my office chair, my arms toward the desk, and my fingers toward the keyboard. This is the normal 1 g (one gee) world we're all accustomed to. I could take a laptop computer with me to an amusement park, get on a roller coaster, and try to get some writing done there. Gravity works on a roller coaster just as it does at home, but since the roller coaster is accelerating up and down (not to mention side to side) the sensation of normal Earth gravity is lost. There will be times when I feel heavier than normal and times when I fell lighter than normal. These correspond to periods of more than one g and less than one g. I could also take my laptop with me on a trip to outer space. After a brief period of 2 or 3 g (two or three gees) accelerating away from the surface of the Earth, most space journeys are spent in conditions of apparent weightlessness or 0 g (zero gee). This happens not because gravity stops working (gravity has infinite range and is never repulsive), but because a spacecraft is an accelerating reference frame. As I said earlier, this concept will be discussed more thoroughly in a later section of this book.


A motion is said to be uniformly accelerated when, starting from rest, it acquires during equal time intervals, equal increments of speed.

Let us first look more closely at Galileo's proposed definition.

Is this the only possible way of defining uniform acceleration? De jeito nenhum! Galileo says that at one time he thought a more useful definition would be to use the term uniform acceleration for motion in which speed increased in proportion to the distance traveled, D d, rather than to the time fit. Notice that both definitions met Galileo's requirement of simplicity. (In fact, both definitions had been discussed since early in the fourteenth century.)
Furthermore, both definitions seem to match our common sense idea of acceleration about equally well. When we say that a body is "accelerating," we seem to imply "the farther it goes, the faster it goes," and also "the longer time it goes, the faster it goes." How should we choose between these two ways of putting it? Which definition will be more useful in the description of nature? This is where experimentation becomes important. Galileo chose to define uniform acceleration as the motion in which the change of speed v is proportional to elapsed time D t, and then demonstrate that this matches the behavior of real moving bodies, in laboratory situations as well as in ordinary, "un-arranged," experience. As you will see later, he made the right choice. But he was not able to prove his case by direct or obvious means, as you shall also see.

Describe uniform speed without referring to dry-ice pucks and strobe photography or to arty particular object or technique of measurement.

Express Galileo's definition of uniformly accelerated motion in words and in the form of an equation.

What two conditions did Galileo want his definition of uniform acceleration to meet?

Galileo cannot test his hypothesis directly

After Galileo defined uniform acceleration so that it would match the way he believed freely falling objects behaved, his next task was to devise a way of showing that the definition for uniform acceleration was useful for describing observed motions.

Suppose we drop a heavy object from several different heights say, from windows on different floors of a building. We want to check whether the final speed increases in proportion to the time it takes to fall-that is, whether D v is "proportional to" D t, or what amounts to the same thing, whether D v/ D t is constant. In each trial we must observe the time of fall and the speed just before the object strikes the ground.

But there's the rub. Practically, even today, it would be very difficult to make a direct measurement of the speed reached by an object just before striking the ground. Furthermore, the entire time intervals of fall (less than 3 seconds even from the top of a 10-story building) are shorter than Galileo could have measured accurately with the clocks available to him. So a direct test of whether D v/ D t is constant was not possible for Galileo.

Which of these are valid reasons why Galileo could not test directly whether the final speed reached by a freely falling object is proportional to the time of fall?
(a) His definition was wrong.
(b) He could not measure the speed attained by an object just before it hit the ground.
(c) There existed no instruments for measuring time.
(d) He could not measure ordinary distances accurately enough.
(e) Experimentation was not permitted in Italy.

Looking for logical consequences of Galileo's hypothesis

Large distances of fall and large time intervals for fall are, of course, easier to measure than the small values of D d and D t that would be necessary to find the final speed just before the falling body hits. So Galileo tried to find, by reasoning, how total fall distance ought to increase with total fall time if objects did fall with uniform acceleration. You already know how to find total distance from total time for motion at constant speed. Now we will derive a new equation that relates total fall distance to total time of fall for motion at constant acceleration. In this we shall not be following Galileo's own derivation exactly, but the results will be the same. First, we recall the definition of average speed as the distance traversed D d divided by the elapsed time D t:

vav = D d/ D t
This is a general definition and can be used to compute the average speed from measurement of D d and D t, no matter whether D d and D t are small or large. We can rewrite the equation as
D d = vav x D t
This equation, still being really a definition of vav is always true. For the special case of motion at a constant speed v, then vav = v and therefore, D d = v x D t. When the value of v is known (as, for example, when a car is driven with a steady reading of 60 mph on the speedometer), this equation can be used to figure out how far ( D d) the car would go in any given time interval ( D t). But in uniformly accelerated motion the speed is continually changing-so what value can we use for vav?

The answer involves just a bit of algebra and some plausible assumptions. Galileo reasoned (as others had before) that for any quantity that changes uniformly, the average value is just halfway between the beginning value and the final value. For uniformly accelerated motion starting from rest (where vinicial = 0 and ending at a speed vfinal this rule tells us that the average speed is halfway. More generally the average speed would be between 0 and vfinal - that is,


vav= 1/2 vfinal.
(More generally, the average velocity would be
vav=(vinicial + vfinal)/2.
If this reasoning is correct, it follows that
D d = 1/2 vfinal x D t for uniformly accelerated motion starting from rest. This relation could not be directly tested either, because the last equation still contains a speed factor. What we are trying to arrive at is an equation relating total distance and total time, without any need to measure speed.
Now we look at Galileo's definition of uniform acceleration: a = D v/ D t. We can rewrite this relationship in the form
D v = a x D t. The value of D v is just vfinal - vinicialr and vinitial = 0 for motion that begins from rest. Therefore we can write
D v=a x D t
vfinal - vinicial = a x D t
vfinal = a x D t
Now we can substitute this expression for vfinal into the equation for D d above. Thus if the motion starts from rest, and if it is uniformly accelerated (and if the average rule is correct, as we have assumed) we can write
D d = 1/2 vfinal x D t
= 1/2 (a x D t) x D t
Or, regrouping terms.
D d = 1/2 a( D t) 2

This is the kind of relation Galileo was seeking-it relates total distance D d to total time D t, without involving any speed term.

Before finishing, though, we will simplify the symbols in the equation to make it easier to use. If we measure distance and time from the position and the instant that the motion starts (dinicial= 0 and tinicial = 0), then the intervals D d and D t have the values given by dfinal and tfinal. Because we will use the expression dfinal/ t 2 final , many times, it is simpler to write it as d/t 2

-it is understood that d and t mean total distance and time interval of motion, starting from rest. The equation above can therefore be written more simply as

dfinal = 1/2 a x t 2 final
Remember that this is a very specialized equation-it gives the total distance fallen as a function of total time of fall but only if the motion starts from rest (vinicial = 0), if the acceleration is uniform (a = constant), and if time and distance are measured from the start (tinicial = 0 and dinicial = 0).

Galileo reached the same conclusion, though he did not use algebraic forms to express it. Since we are dealing only with the special situation in which acceleration a is constant, the quantity 2a is constant also, and we can cast the conclusion in the form of a proportion: in uniform acceleration from rest, the distance traveled is proportional to the square of the time elapsed, or

dfinal / t 2 final
For example, if a uniformly accelerating car starting from rest moves 10 m in the first second, in twice the time it would move four times as far, or 40 m in the first two seconds. In the first 3 seconds it would move 9 times as far-or 90 m. Another way to express this relation is to say that the ratio dfinal to t 2 final has a constant value, that is, dfinal / t 2 final = constant . Thus a logical result of Galileo's original proposal for defining uniform acceleration can be expressed as follows: if an object accelerates uniformly from rest, the ratio d/t 2 should be constant. Conversely, any motion for which this ratio of d and t 2 is found to be constant for different distances and their corresponding times, we may well suppose to be a case of motion with uniform acceleration as defined by Galileo. Of course, we still must test the hypothesis that freely falling bodies actually do exhibit just such motion. Recall that earlier we confessed we were unable to test directly whether D v/ D t has a constant value. Galileo showed that a logical consequence of a constant value of v/ D t would be a constant ratio of dfinal to t 2 final. The values for total time and distance of fall would be easier to measure than the values of short intervals D d and D t needed to find D v. However, measuring the time of fall still remained a difficult task in Galileo's time. So, instead of a direct test of his hypothesis, Galileo went one step further and deduced an ingenious, indirect test.

Why was the equation d = 1/2at 2 more promising for Galileo than a = D v/ D t in testing his hypothesis?

If you simply combined the two equations D d = v x D t and D v = a x D t it looks as if one might get the result D d = a x D t 2 . What is wrong with doing this?

Realizing that a direct quantitative test with a rapidly and freely falling body would not be accurate, Galileo proposed to make the test on an object that was moving less rapidly. He proposed a new hypothesis:

if a freely falling body has an acceleration that is constant, then a perfectly round ball rolling down a perfectly smooth inclined plane will also have a constant, though smaller, acceleration.

Thus Galileo claimed that if d/t 2 is constant for a body falling freely from rest, this ratio will also be constant, although smaller, for a ball released from rest and rolling different distances down a straight inclined plane.

Here is how Salviati described Galileo's own experimental test in Two New Sciences:


This picture painted in 1841 by G. Bezzuoli, attempts to reconstruct an experiment Galileo is alleged to have made during his time as lecturer at Pisa. Off to the left and right are men of ill will: the blasé Prince Giovanni de Medici (Galileo had shown a dredging-machine invented by the prince to be unusable) and Galileo's scientific opponents. These were leading men of the universities they are shown here bending over a book of Aristotle, where it is written in black and white that bodies of unequal weight fall with different speeds. Galileo, the tallest figure left of center in the picture, is surrounded by a group of students and followers.

Angle of Incline
For each angle, the acceleration is found to be a constant. Spheres rolling down planes of increasingly steep inclination. At 90° the inclined plane situation matches free fall. (Actually, the ball will start slipping instead of rolling long before the angle has become that large.)

Free Fall-Galileo Describes Motion

In general, for each angle of incline, the value of d / t1 2 was constant. Galileo did not present his experimental data in the full detail which has become the custom since. However, his experiment has been repeated by others, and they have obtained results which parallel his. This is an experiment which you can perform yourself with the help of one or two other students.
(b) Galileo's second experimental finding relates to what happens when the angle of inclination of the plane is changed. He found that whenever the angle changed, the ratio d / t 2 took on a new value, although for any one angle it remained constant regardless of distance of roll. Galileo confirmed this by repeating the experiment "a full hundred times" for each of many different angles. After finding that the ratio d / t 2 was constant for each angle of inclination for which measurements of t could be carried out conveniently, Galileo was willing to extrapolate. He concluded that the ratio deu / t 2 is a constant even for larger angles, where the motion of the ball is too fast for accurate measurements of t to be made. Finally, Galileo reasoned that in the particular case when the angle of inclination became 90°, the ball would move straight down-and so becomes the case of a falling object. By his reasoning, d/t 2 would still be some constant in that extreme case (even though he couldn't say what the numerical value was.)

Because Galileo had deduced that a constant value of d/t 2 was characteristic of uniform acceleration, he could conclude at last that free fall was uniformly accelerated motion.

Now that you are familiar with the historical concepts of free fall, move on to the experiment. Or you can look at a spreadsheet of some actual student data. The data were collected and manipulated according to the described experiment. It definitely demonstrates that there is a constant acceleration. A good question to ask the students is why there is so much error. Then have your students modify the experiment. When it is all said and done, take the quiz.


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