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3.5: Resolvendo Equações Trigonométricas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Resolva equações trigonométricas lineares em seno e cosseno.
  • Resolva equações envolvendo uma única função trigonométrica.
  • Resolva equações trigonométricas usando uma calculadora.
  • Resolva equações trigonométricas de forma quadrática.
  • Resolva equações trigonométricas usando identidades fundamentais.
  • Resolva equações trigonométricas com vários ângulos.
  • Resolva problemas do triângulo retângulo.

Tales de Mileto (cerca de 625–547 aC) é conhecido como o fundador da geometria. A lenda é que ele calculou a altura da Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, usando a teoria de triângulos semelhantes, que ele desenvolveu medindo a sombra de sua equipe. Baseada em proporções, essa teoria tem aplicações em várias áreas, incluindo geometria fractal, engenharia e arquitetura. Freqüentemente, o ângulo de elevação e o ângulo de depressão são encontrados usando triângulos semelhantes.

Nas seções anteriores deste capítulo, vimos as identidades trigonométricas. Nesta seção, começamos nosso estudo de equações trigonométricas para estudar cenários do mundo real, como encontrar as dimensões das pirâmides.

Resolvendo Equações Trigonométricas Lineares em Seno e Cosseno

As equações trigonométricas são, como o nome indica, equações que envolvem funções trigonométricas. Semelhante em muitos aspectos para resolver equações polinomiais ou equações racionais, apenas valores específicos da variável serão soluções, se é que existem soluções. Freqüentemente, resolveremos uma equação trigonométrica em um intervalo especificado. No entanto, com a mesma frequência, seremos solicitados a encontrar todas as soluções possíveis e, como as funções trigonométricas são periódicas, as soluções são repetidas em cada período. Em outras palavras, as equações trigonométricas podem ter um número infinito de soluções. Além disso, como as equações racionais, o domínio da função deve ser considerado antes de assumirmos que qualquer solução é válida. O período de ambas as funções seno e cosseno é (2 pi ). Em outras palavras, a cada (2 pi ) unidades, o y-valores repetem. Se precisarmos encontrar todas as soluções possíveis, devemos adicionar (2 pi k ), onde (k ) é um inteiro, à solução inicial. Lembre-se da regra que fornece o formato para declarar todas as soluções possíveis para uma função em que o período é (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

Existem regras semelhantes para indicar todas as soluções possíveis para as outras funções trigonométricas. Resolver equações trigonométricas requer as mesmas técnicas que resolver equações algébricas. Lemos a equação da esquerda para a direita, horizontalmente, como uma frase. Procuramos padrões conhecidos, fatoramos, encontramos denominadores comuns e substituímos certas expressões por uma variável para tornar a solução um processo mais direto. No entanto, com as equações trigonométricas, também temos a vantagem de usar as identidades que desenvolvemos nas seções anteriores.

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica linear que envolve a função cosseno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

Solução

Do círculo unitário, sabemos que

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3}, space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

Estas são as soluções no intervalo ([0,2 pi] ). Todas as soluções possíveis são fornecidas por

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {e} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

onde (k ) é um número inteiro.

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Resolvendo uma equação linear envolvendo a função seno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação ( sin t = dfrac {1} {2} ).

Solução

Resolver todos os valores possíveis de (t ) significa que as soluções incluem ângulos além do período de (2 pi ). Na seção sobre Identidades de Soma e Diferença, podemos ver que as soluções são (t = dfrac { pi} {6} ) e (t = dfrac {5 pi} {6} ). Mas o problema é pedir todos os valores possíveis que resolvam a equação. Portanto, a resposta é

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {e} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k não numérico ]

onde (k ) é um número inteiro.

Howto: dada uma equação trigonométrica, resolva usando álgebra

  1. Procure um padrão que sugira uma propriedade algébrica, como a diferença de quadrados ou uma oportunidade de fatoração.
  2. Substitua a expressão trigonométrica por uma única variável, como (x ) ou (u ).
  3. Resolva a equação da mesma forma que uma equação algébrica seria resolvida.
  4. Substitua a expressão trigonométrica de volta pela variável nas expressões resultantes.
  5. Resolva o ângulo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolva a equação trigonométrica linear

Resolva a equação exatamente: (2 cos theta − 3 = −5 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Use técnicas algébricas para resolver a equação.

[ begin {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva exatamente a seguinte equação linear no intervalo ([0,2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

Responder

(x = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6} )

Resolvendo Equações Envolvendo uma Única Função Trigonométrica

Quando recebemos equações que envolvem apenas uma das seis funções trigonométricas, suas soluções envolvem o uso de técnicas algébricas e do círculo unitário (ver [link]). Precisamos fazer várias considerações quando a equação envolve funções trigonométricas diferentes de seno e cosseno. Problemas envolvendo os recíprocos das funções trigonométricas primárias precisam ser vistos de uma perspectiva algébrica. Em outras palavras, escreveremos a função recíproca e resolveremos os ângulos usando a função. Além disso, uma equação envolvendo a função tangente é ligeiramente diferente de uma que contém uma função seno ou cosseno. Primeiro, como sabemos, o período da tangente é ( pi ), não (2 pi ). Além disso, o domínio da tangente são todos os números reais com exceção de múltiplos inteiros ímpares de ( dfrac { pi} {2} ), a menos, é claro, que um problema coloque suas próprias restrições no domínio.

Resolvendo um problema envolvendo uma única função trigonométrica

Resolva o problema exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Como esse problema não é facilmente fatorado, vamos resolvê-lo usando a propriedade da raiz quadrada. Primeiro, usamos álgebra para isolar ( sin theta ). Então encontraremos os ângulos.

[ begin {align *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 theta & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4}, espaço dfrac {3 pi} {4}, espaço dfrac {5 pi} {4}, espaço dfrac {7 pi} {4 }
end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {3B} ): Resolvendo uma Equação Trigonométrica Envolvendo Cosecant

Resolva a seguinte equação exatamente: ( csc theta = −2 ), (0≤ theta <4 pi ).

Solução

Queremos todos os valores de ( theta ) para os quais ( csc theta = −2 ) no intervalo (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, espaço dfrac {11 pi} {6}, espaço dfrac {19 pi} {6}, espaço dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

Análise

Como ( sin theta = - dfrac {1} {2} ), observe que todas as quatro soluções estão no terceiro e quarto quadrantes.

Exemplo ( PageIndex {3C} ): Resolvendo uma Equação Envolvendo a Tangente

Resolva a equação exatamente: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Lembre-se de que a função tangente tem um período de ( pi ). No intervalo ([0, pi) ), e no ângulo de ( dfrac { pi} {4} ), a tangente tem um valor de (1 ). No entanto, o ângulo que queremos é ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). Assim, se ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), então

[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k pi end {align *} ]

No intervalo ([0,2 pi) ), temos duas soluções:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) e ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre todas as soluções para ( tan x = sqrt {3} ).

Responder

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Identifique todas as soluções para a equação envolvendo tangente

Identifique todas as soluções exatas para a equação (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ), (0≤x <2 pi ).

Solução

Podemos resolver essa equação usando apenas álgebra. Isole a expressão ( tan x ) no lado esquerdo do sinal de igual.

Existem dois ângulos no círculo unitário que têm um valor tangente de (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) e ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

Resolva equações trigonométricas usando uma calculadora

Nem todas as funções podem ser resolvidas exatamente usando apenas o círculo unitário. Quando tivermos de resolver uma equação envolvendo um ângulo diferente de um dos ângulos especiais, precisaremos usar uma calculadora. Certifique-se de que está definido para o modo adequado, graus ou radianos, dependendo dos critérios do problema fornecido.

Exemplo ( PageIndex {5A} ): Usando uma calculadora para resolver uma equação trigonométrica envolvendo seno

Use uma calculadora para resolver a equação ( sin theta = 0,8 ), onde ( theta ) está em radianos.

Solução

Certifique-se de que o modo esteja definido para radianos. Para encontrar ( theta ), use a função inversa do seno. Na maioria das calculadoras, você precisará empurrar o 2WL e, em seguida, o botão SIN para abrir a função ({ sin} ^ {- 1} ). O que é mostrado na tela é ({ sin} ^ {- 1} ). A calculadora está pronta para a entrada entre parênteses. Para este problema, inserimos ({ sin} ^ {- 1} (0,8) ) e pressionamos ENTER. Assim, para quatro casas decimais,

({ sin} ^ {- 1} (0,8) ≈0,9273 )

A solução é

( theta≈0,9273 pm 2 pi k )

A medição do ângulo em graus é

[ begin {align *} theta & approx 53,1 ^ { circ} theta & approx 180 ^ { circ} -53,1 ^ { circ} & approx 126,9 ^ { circ} end {alinhar*}]

Análise

Observe que uma calculadora retornará apenas um ângulo nos quadrantes I ou IV para a função seno, uma vez que esse é o intervalo do seno inverso. O outro ângulo é obtido usando ( pi− theta ).

Exemplo ( PageIndex {5B} ): Usando uma calculadora para resolver uma equação trigonométrica envolvendo secante

Use uma calculadora para resolver a equação ( sec θ = −4, ) dando sua resposta em radianos.

Solução

Podemos começar com alguma álgebra.

[ begin {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {alinhar*}]

Verifique se o MODO está em radianos. Agora use a função cosseno inversa

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & approx 1.8235 theta & aproximadamente 1.8235 + 2 pi k end {alinhar*}]

Como ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) e ( pi≈3.14 ), (1.8235 ) está entre esses dois números, portanto, ( theta≈1.8235 ) está no quadrante II . O cosseno também é negativo no quadrante III. Observe que a calculadora retornará apenas um ângulo nos quadrantes I ou II para a função cosseno, uma vez que esse é o intervalo do cosseno inverso. Veja a Figura ( PageIndex {2} ).

Portanto, também precisamos encontrar a medida do ângulo no quadrante III. No quadrante III, o ângulo de referência é ( theta '≈ pi − 1,8235≈1,3181 ). A outra solução no quadrante III é ( theta '≈ pi + 1,3181≈4,4597 ).

As soluções são ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) e ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva ( cos theta = −0,2 ).

Responder

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) e ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

Resolvendo Equações Trigonométricas na Forma Quadrática

Resolvendo um Equação quadrática pode ser mais complicado, mas, mais uma vez, podemos usar a álgebra como faríamos com qualquer equação quadrática. Observe o padrão da equação. Existe mais de uma função trigonométrica na equação ou apenas uma? Qual função trigonométrica é elevada ao quadrado? Se houver apenas uma função representada e um dos termos for elevado ao quadrado, pense na forma padrão de um quadrático. Substitua a função trigonométrica por uma variável como (x ) ou (u ). Se a substituição faz a equação parecer uma equação quadrática, então podemos usar os mesmos métodos para resolver quadráticas para resolver as equações trigonométricas.

Exemplo ( PageIndex {6A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica na forma quadrática

Resolva a equação exatamente: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Começamos usando a substituição e substituindo ( cos theta ) por (x ). Não é necessário usar substituição, mas pode tornar o problema mais fácil de ser resolvido visualmente. Seja ( cos theta = x ). Nós temos

(x ^ 2 + 3x − 1 = 0 )

A equação não pode ser fatorada, então usaremos o Fórmula quadrática: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 pm sqrt {13}} {2} end {align *} ]

Substitua (x ) por ( cos theta ) e resolva.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

Observe que apenas o sinal + é usado. Isso ocorre porque obtemos um erro quando resolvemos ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) em uma calculadora , uma vez que o domínio da função cosseno inversa é ([−1,1] ). No entanto, existe uma segunda solução:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & approx 1,26 end { alinhar*}]

Este lado terminal do ângulo encontra-se no quadrante I. Uma vez que o cosseno também é positivo no quadrante IV, a segunda solução é

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & approx 5.02 end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Resolvendo uma equação trigonométrica na forma quadrática por fatoração

Resolva a equação exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ), (0≤ theta≤2 pi ).

Solução

Usando o agrupamento, essa quadrática pode ser fatorada. Faça a substituição real, ( sin theta = u ), ou imagine-a, enquanto fatoramos:

[ begin {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {Agora defina cada fator igual a zero.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {alinhar *} ]

Em seguida, resolva para ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ), pois o intervalo da função seno é ([−1,1] ). Porém, ( sin theta = 1 ), dando a solução ( theta = dfrac { pi} {2} ).

Análise

Certifique-se de verificar todas as soluções no domínio fornecido, pois alguns fatores não têm solução.

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ), (0≤ theta≤2 pi ). [Dica: faça uma substituição para expressar a equação apenas em termos de cosseno.]

Responder

( cos theta = −1 ), ( theta = pi )

Exemplo ( PageIndex {7A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica usando álgebra

Resolva exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0; espaço 0≤ theta <2 pi )

Solução

Este problema deve parecer familiar, pois é semelhante a um quadrático. Seja ( sin theta = x ). A equação se torna (2x ^ 2 + x = 0 ). Começamos fatorando:

[ begin {align *}
2x ^ 2 + x & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {Defina cada fator igual a zero.}
x & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
Em seguida, substitua de volta na equação a expressão original ( sin theta ) por (x ). Desse modo,
[ begin {align *} sin theta & = 0
theta & = 0, pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6}
end {align *} ]

As soluções dentro do domínio (0≤ theta <2 pi ) são ( theta = 0, pi, dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} )

Se preferirmos não substituir, podemos resolver a equação seguindo o mesmo padrão de fatoração e definindo cada fator igual a zero.

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0, pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

Análise

Podemos ver as soluções no gráfico da Figura ( PageIndex {3} ). No intervalo (0≤ theta <2 pi ), o gráfico cruza o (x )-eixo quatro vezes, nas soluções anotadas. Observe que as equações trigonométricas que estão na forma quadrática podem produzir até quatro soluções em vez das duas esperadas encontradas com as equações quadráticas. Neste exemplo, cada solução (ângulo) correspondente a um valor de seno positivo produzirá dois ângulos que resultariam nesse valor.

Podemos verificar as soluções no círculo unitário por meio do resultado na seção sobre Identidades de Soma e Diferença também.

Exemplo ( PageIndex {7B} ): Resolvendo uma equação trigonométrica quadrática na forma

Resolva a equação quadrática na forma exata: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Podemos fatorar usando agrupamento. Os valores da solução de ( theta ) podem ser encontrados no círculo unitário.

[ begin {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva a equação quadrática (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).

Responder

( dfrac { pi} {2}, space dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space dfrac {3 pi} {2} )

Resolvendo equações trigonométricas usando identidades fundamentais

Embora a álgebra possa ser usada para resolver várias equações trigonométricas, também podemos usar as identidades fundamentais porque elas tornam a solução de equações mais simples. Lembre-se de que as técnicas que usamos para resolver não são as mesmas que usamos para verificar identidades. As regras básicas da álgebra se aplicam aqui, ao contrário de reescrever um lado da identidade para combinar com o outro lado. No próximo exemplo, usamos duas identidades para simplificar a equação.

Exemplo ( PageIndex {8A} ): Use identidades para resolver uma equação

Use identidades para resolver exatamente a equação trigonométrica no intervalo (0≤x <2 pi ).

( cos x cos (2x) + sin x sin (2x) = dfrac { sqrt {3}} {2} )

Solução

Observe que o lado esquerdo da equação é a fórmula da diferença para o cosseno.

[ begin {align *} cos x cos (2x) + sin x sin (2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} cos (x-2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {Fórmula de diferença para cosseno} cos (-x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {Use a identidade do ângulo negativo.} cos x & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ]

Do círculo unitário na seção sobre identidades de soma e diferença, vemos que ( cos x = dfrac { sqrt {3}} {2} ) quando (x = dfrac { pi} {6} , space dfrac {11 pi} {6} ).

Exemplo ( PageIndex {8B} ): Resolvendo a equação usando uma fórmula de ângulo duplo

Resolva a equação exatamente usando uma fórmula de ângulo duplo: ( cos (2 theta) = cos theta ).

Solução

Temos três opções de expressões para substituir o ângulo duplo do cosseno. Como é mais simples resolver para uma função trigonométrica de cada vez, escolheremos a identidade de ângulo duplo envolvendo apenas o cosseno:

[ begin {align *} cos (2 theta) & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta-1 & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta - cos theta-1 & = 0 (2 cos theta + 1) ( cos theta-1) & = 0 2 cos theta + 1 & = 0 cos theta & = - dfrac {1} {2} cos theta-1 & = 0 cos theta & = 1 end {align *} ]

Portanto, se ( cos theta = - dfrac {1} {2} ), então ( theta = dfrac {2 pi} {3} pm 2 pi k ) e ( theta = dfrac {4 pi} {3} pm 2 pi k ); se ( cos theta = 1 ), então ( theta = 0 pm 2 pi k ).

Exemplo ( PageIndex {8C} ): Resolvendo uma equação usando uma identidade

Resolva a equação exatamente usando uma identidade: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Se reescrevermos o lado direito, podemos escrever a equação em termos de cosseno:

[ begin {align *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta
3 cos theta + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 theta)
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0
2 cos theta + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3}, espaço dfrac {4 pi} {3}
cos theta + 1 & = 0
cos theta & = -1
theta & = pi
end {align *} ]

Nossas soluções são ( theta = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space pi ).

Resolvendo Equações Trigonométricas com Vários Ângulos

Às vezes, não é possível resolver uma equação trigonométrica com identidades que têm um ângulo múltiplo, como ( sin (2x) ) ou ( cos (3x) ). Quando confrontado com essas equações, lembre-se de que (y = sin (2x) ) é uma compressão horizontal por um fator de 2 da função (y = sin x ). Em um intervalo de (2 pi ), podemos representar graficamente dois períodos de (y = sin (2x) ), em oposição a um ciclo de (y = sin x ). Esta compressão do gráfico nos leva a acreditar que pode haver o dobro x-interceptações ou soluções para ( sin (2x) = 0 ) em comparação com ( sin x = 0 ). Essas informações nos ajudarão a resolver a equação.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Resolvendo uma equação trigonométrica de múltiplos ângulos

Resolva exatamente: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) em ([0,2 pi) ).

Solução

Podemos ver que esta equação é a equação padrão com um múltiplo de um ângulo. Se ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ), sabemos que ( alpha ) está nos quadrantes I e IV. Enquanto ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) só produzirá soluções nos quadrantes I e II, reconhecemos que as soluções para a equação ( cos theta = dfrac {1} {2} ) estará nos quadrantes I e IV.

Portanto, os ângulos possíveis são ( theta = dfrac { pi} {3} ) e ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). Portanto, (2x = dfrac { pi} {3} ) ou (2x = dfrac {5 pi} {3} ), o que significa que (x = dfrac { pi} {6 } ) ou (x = dfrac {5 pi} {6} ). Isso faz sentido? Sim, porque ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

Existem outras respostas possíveis? Voltemos ao nosso primeiro passo.

No quadrante I, (2x = dfrac { pi} {3} ), então (x = dfrac { pi} {6} ) conforme observado. Vamos girar em torno do círculo novamente:

[ begin {align *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {Mais uma rotação produz}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
end {align *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ), então este valor para (x ) é maior do que (2 pi ), então não é uma solução em ( [0,2 pi) ).

No quadrante IV, (2x = dfrac {5 pi} {3} ), então (x = dfrac {5 pi} {6} ) conforme observado. Vamos girar em torno do círculo novamente:

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

então (x = dfrac {11 pi} {6} ).

Mais uma rotação produz

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ), então este valor para (x ) é maior do que (2 pi ), então não é uma solução em ( [0,2 pi) ).

Nossas soluções são (x = dfrac { pi} {6}, space dfrac {5 pi} {6}, space dfrac {7 pi} {6} ) e ( dfrac {11 pi} {6} ). Observe que sempre que resolvermos um problema na forma de (sin (nx) = c ), devemos dar a volta no círculo unitário (n ) vezes.

Resolvendo Problemas do Triângulo Direito

Agora podemos usar todos os métodos que aprendemos para resolver problemas que envolvem a aplicação de propriedades de triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras. Começamos com o conhecido Teorema de Pitágoras,

[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {Pitagórico} ]

e modelar uma equação para se ajustar a uma situação.

Exemplo ( PageIndex {10A} ): Usando o Teorema de Pitágoras para Modelar uma Equação

Um dos cabos que prendem o centro da roda gigante London Eye Ferris ao solo deve ser substituído. O centro da roda gigante está a (69,5 ) metros acima do solo, e a segunda âncora no solo está a (23 ) metros da base da roda gigante. Aproximadamente, qual é o comprimento do cabo e qual é o ângulo de elevação (do solo até o centro da roda gigante)? Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Solução

Use o Teorema de Pitágoras (Equação ref {Pythagorean}) e as propriedades dos triângulos retângulos para modelar uma equação que se encaixe no problema. Usando as informações fornecidas, podemos desenhar um triângulo retângulo. Podemos encontrar o comprimento do cabo com o Teorema de Pitágoras.

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 {(23)} ^ 2 + {(69,5)} ^ 2 & approx 5359 sqrt {5359} & approx 73,2 space m end {align *} ]

O ângulo de elevação é ( theta ), formado pela segunda âncora no solo e o cabo alcançando o centro da roda. Podemos usar a função tangente para encontrar sua medida. Arredonde para duas casas decimais.

[ begin {align *} tan theta & = 69.523 { tan} ^ {- 1} (69.523) & approx 1.2522 & approx 71.69 ^ { circ} end {align *} ]

O ângulo de elevação é de aproximadamente (71,7 ° ) e o comprimento do cabo é de (73,2 ) metros.

Exemplo ( PageIndex {10B} ): Usando o Teorema de Pitágoras para Modelar um Problema Abstrato

Os regulamentos de segurança da OSHA exigem que a base de uma escada seja colocada a (1 ) pé da parede para cada (4 ) pés de comprimento da escada. Encontre o ângulo que uma escada de qualquer comprimento forma com o solo e a altura em que a escada toca a parede.

Solução

Para qualquer comprimento de escada, a base precisa estar a uma distância da parede igual a um quarto do comprimento da escada. De forma equivalente, se a base da escada for “uma" pés da parede, o comprimento da escada será de (4a ) pés. Veja a Figura ( PageIndex {5} ).

O lado adjacente a ( theta ) é (a ) e a hipotenusa é (4a ). Desse modo,

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {a} {4a} & = dfrac {1} {4} { cos} ^ {- 1} left ( dfrac { 1} {4} right) & approx 75.5 ^ { circ} end {align *} ]

A elevação da escada forma um ângulo de (75,5 ° ) com o solo. A altura em que a escada toca a parede pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2 b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 16a ^ 2- a ^ 2 b ^ 2 & = 15a ^ 2 b & = a sqrt {15} end {alinhar *} ]

Assim, a escada toca a parede a (a sqrt {15} ) pés do solo.

meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com a solução de equações trigonométricas.

  • Resolvendo Equações Trigonométricas I
  • Resolvendo Equações Trigonométricas II
  • Resolvendo Equações Trigonométricas III
  • Resolvendo Equações Trigonométricas IV
  • Resolvendo Equações Trigonométricas V
  • Resolvendo Equações Trigonométricas VI

Conceitos chave

  • Ao resolver equações trigonométricas lineares, podemos usar técnicas algébricas da mesma forma que fazemos ao resolver equações algébricas. Procure padrões, como a diferença de quadrados, forma quadrática ou uma expressão que se presta bem à substituição. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ), Exemplo ( PageIndex {2} ) e Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • Equações envolvendo uma única função trigonométrica podem ser resolvidas ou verificadas usando o círculo unitário. Veja Exemplo ( PageIndex {4} ), Exemplo ( PageIndex {5} ) e Exemplo ( PageIndex {6} ), e Exemplo ( PageIndex {7} ).
  • Também podemos resolver equações trigonométricas usando uma calculadora gráfica. Veja Exemplo ( PageIndex {8} ) e Exemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muitas equações aparecem na forma quadrática. Podemos usar a substituição para fazer a equação parecer mais simples e, em seguida, usar as mesmas técnicas que usamos para resolver uma quadrática algébrica: fatoração, a fórmula quadrática, etc. Veja Exemplo ( PageIndex {10} ), Exemplo ( PageIndex { 11} ), Exemplo ( PageIndex {12} ) e Exemplo ( PageIndex {13} ).
  • Também podemos usar as identidades para resolver a equação trigonométrica. Veja Exemplo ( PageIndex {14} ), Exemplo ( PageIndex {15} ) e Exemplo ( PageIndex {16} ).
  • Podemos usar a substituição para resolver uma equação trigonométrica de múltiplos ângulos, que é uma compressão de uma função trigonométrica padrão. Teremos de levar em consideração a compressão e verificar se encontramos todas as soluções no intervalo determinado. Veja Exemplo ( PageIndex {17} ).
  • Os cenários do mundo real podem ser modelados e resolvidos usando o Teorema de Pitágoras e funções trigonométricas. Veja Exemplo ( PageIndex {18} ).

Você não está perdendo nada: às vezes é possível combinar conjuntos de soluções com eficiência.

Observe que para $ sin x = 0 $, as soluções $ x = 0 + 2k pi $ ($ e então 'adicionando círculos completos') $ vee x = pi + 2k pi $ ($ pi $ e então 'adicionar círculos completos') pode ser combinado como $ x = k pi $ ($ e 'adicionar metade círculos '), onde sempre $ k in mathbb$.

Desenhe as soluções e perceba que você não está "perdendo" nada: as duas maneiras de escrever as soluções contêm exatamente os mesmos ângulos em que você "percorre" os mesmos ângulos.

Isso nem sempre é possível para equações da forma $ sin x = c $ (somente se $ c = k pi $) ou $ cos x = c $ (somente se $ c = pi / 2 + k pi $), mas é sempre possível para $ tan x = c $ uma vez que as soluções $ x = arctan c + 2k pi , vee x = pi + arctan c + 2k pi $ podem sempre ser combinadas como $ x = arctan c + k pi $ Você pode ver isso facilmente desenhando um círculo trigonométrico e visualizando as soluções.


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Expressões Racionais

Resolva a equação $ sin (2x) = frac < sqrt <3>>

Encontre todas as soluções da equação $ cos left ( frac <3x> <2> right) = - frac < sqrt <2>> <2> $. Expresse os resultados em graus.

Encontre soluções exatas da equação $ tan left (- frac <4x> <3> right) = 0,4 $. Expresse os resultados em radianos.

Resolva $ 2 sin left (x right) + sqrt <2> = 0

-180 ^ circ leq x leq 180 ^ circ $. Expresse os resultados em graus.

Pesquisa rápida na calculadora

Diga-me como posso melhorar isso.

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7.5 Resolvendo Equações Trigonométricas

Tales de Mileto (cerca de 625–547 aC) é conhecido como o fundador da geometria. A lenda é que ele calculou a altura da Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, usando a teoria de triângulos semelhantes, que ele desenvolveu medindo a sombra de sua equipe. Baseada em proporções, essa teoria tem aplicações em várias áreas, incluindo geometria fractal, engenharia e arquitetura. Freqüentemente, o ângulo de elevação e o ângulo de depressão são encontrados usando triângulos semelhantes.

Nas seções anteriores deste capítulo, vimos as identidades trigonométricas. As identidades são verdadeiras para todos os valores no domínio da variável. Nesta seção, começamos nosso estudo de equações trigonométricas para estudar cenários do mundo real, como encontrar as dimensões das pirâmides.

Resolvendo Equações Trigonométricas Lineares em Seno e Cosseno

As equações trigonométricas são, como o nome indica, equações que envolvem funções trigonométricas. Semelhante em muitos aspectos para resolver equações polinomiais ou equações racionais, apenas valores específicos da variável serão soluções, se é que existem soluções. Freqüentemente, resolveremos uma equação trigonométrica em um intervalo especificado. No entanto, com a mesma frequência, seremos solicitados a encontrar todas as soluções possíveis e, como as funções trigonométricas são periódicas, as soluções são repetidas em cada período. Em outras palavras, as equações trigonométricas podem ter um número infinito de soluções. Além disso, como as equações racionais, o domínio da função deve ser considerado antes de assumirmos que qualquer solução é válida. O período da função seno e da função cosseno é 2 π. 2 π. Em outras palavras, a cada 2 unidades π 2 π, o y-valores repetem. Se precisarmos encontrar todas as soluções possíveis, devemos adicionar 2 π k, 2 π k, onde k k é um inteiro, à solução inicial. Lembre-se da regra que fornece o formato para declarar todas as soluções possíveis para uma função onde o período é 2 π: 2 π:

Existem regras semelhantes para indicar todas as soluções possíveis para as outras funções trigonométricas. Resolver equações trigonométricas requer as mesmas técnicas que resolver equações algébricas. Lemos a equação da esquerda para a direita, horizontalmente, como uma frase. Procuramos padrões conhecidos, fatoramos, encontramos denominadores comuns e substituímos certas expressões por uma variável para tornar a solução um processo mais direto. No entanto, com as equações trigonométricas, também temos a vantagem de usar as identidades que desenvolvemos nas seções anteriores.

Exemplo 1

Resolvendo uma equação trigonométrica linear envolvendo a função cosseno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação cos θ = 1 2. cos θ = 1 2.


Exemplo 1

  • resolva para cos (x)
    cos x = 1/2
  • resolva para x encontrando todos os valores no intervalo [0, 2pi) que satisfaçam a equação trigonométrica acima. In this case, with cosine positive and equal to 1 / 2, there are two values: one in the first quadrant of the unit circle.
    x1 = pi / 3
  • and a second one in the fourth quadrant (see the two solutions in unit circle in figure below).
    x2 = 2*pi - pi / 3 = 5*pi / 3

  • find all solutions using the fact that of cos x has a period of 2pi
    x1 = pi / 3 + 2*k*pi
    x2 = 5*pi / 3 + 2*k*pi
    where k is any integer

Exemplo 2

  • change cos 2 x to 1 - sin 2 x
    -5(1 - sin 2 x) + 9 sin x = -3
  • multiply factors and group to obtain
    5 sin 2 x + 9 sin x -2 = 0
  • let u = sinx and substitute to obtain an quadratic equation.
    5 u 2 + 9 u - 2 = 0
  • use any method to solve for u. By the quadratic formula, we obtain two solutions u1 and u2
    u1 = [ -9 - sqrt(121) ] / 10 = 1 / 5 = -2

Exemplo 3

  • subtract cot x from both sides of the equation and simplify
    cot x cos 2 x - cot x = 0
  • Factor cot x
    cot x (cos 2 x - 1) = 0
  • Setting each factor in the above trigonometric equation to zero, we obtain two equations.
    cot x = 0 and cos 2 x - 1 = 0
  • The solutions to equation cot x = 0 are given by
    x = pi / 2 + k*pi , k is am integer.
  • Equation cos 2 x - 1 = 0 gives
    cos x = 1 and cos x = -1
  • The solutions to the above equations are given by
    x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi where k is an integer
  • HOWEVER the above cannot be solution to the given equation since cot x is undefined for x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi.
    conclusion: The solutions to the given equation are.
    x = pi / 2 + k*pi where k is an integer.

Note that many of the techniques used in solving algebraic equations are also used to solve trigonometric equations.


Practice Questions

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

sin 2  x ( sin 2  x - 1)  =  0

Since we choose the values between 0 to 360, the solution will be <0,   π/2,  π, ਃ π/2>.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For negative values of cos, we have to select the angle from 2nd and 3rd quadrants.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For positive value of sin, we have to select angles from 2nd quadrant

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

2sin 2 x - 3 sin x + 1 - 1  =  0

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Find the principal value of the following

Principal value of x must be in  [0, π].  Since cos x is positive the principal value is in the first quadrant.

We have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of x is  π/6.

Find the principal value of the following

Whenever we have cos  θ the p rincipal value of  θ  must be in  [0, π].  We have to choose one of the angles from  the first or second quadrant.

Since the value of cos  θ  is negative, we have to choose the angle from the second quadrant. For that w e have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2. 

Hence the principal value of  θ  is 5 π/6.

Find the principal value of the following

θ lies in the third or fourth quadrant. But principal value must be in  [- π/2,  π/2]

In the first quadrant we get only we get positive values  for all trigonometric ratios.S o we have to choose one of the angles from 0 to  - π/2 that is negative angle.

Now w e have to think about the angle of sin for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of  θ is  - π/3.

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Exemplo 1

Hence the solutions:
┱ = π - θr = π - π/6 = 5π/6
┲ = π + θr = π + π/6 = 7π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 5π/6 + 2nπ , n = 0,

2, .
Below are shown the graphical solutions on the interval [0 , 2π)

Exemplo 2

Hence the solutions:
┱ = π + θr = 7π/6
┲ = 2π - θr = 11π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 7π/6 + 2nπ , n = 0,

Exemplo 3

2, .
We now substitute ┱ and ┲ by the expression 3x + π/4
3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ
and solve for x to obtain the solutions for x.
x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0,

Exemplo 4

2, .
Solve equation (2)
cos x = 1
x 3 = 2nπ , n = 0,


3.5: Solving Trigonometric Equations - Mathematics

If you would like an review of trigonometry, click on trigonometry.


Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem. To solve for x, you must first isolate the sine term.

If we restriction the domain of the sine function to , we can use the inverse sine function to solve for reference angle 3x and then x.

We know that the e function is positive in the first and the second quadrant. Therefore two of the solutions are the angle 3 x that terminates in the first quadrant and the angle that terminates in the second quadrant. We have already solved for 3 x .

The period of the function is This means that the values will repeat every radians in both directions. Therefore, the exact solutions are and where n is an integer.

The approximate solutions are and where n is an integer.

These solutions may or may not be the answers to the original problem. You much check them, either numerically or graphically, with the original equation.

Check the answer x =0.174532925

Since the left side equals the right side when you substitute 0.174532925for x, then 0.174532925 is a solution.


Check the answer x =0.872665

Since the left side equals the right side when you substitute for x, then is a solution.

Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions. You can see that the graph crosses at 0.174532925. Since the period is , it crosses again at 0.174532925+2.094395=2.2689 and at 0.174532925+2(2.094395)=4.3633, etc. The graph crosses at 0.872665.

Since the period is , it will cross again at and at 0.872665+2(2.094395)=5.061455, etc

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

IF you would like to go to the next section, click on Next.

If you would like to go back to the equation table of contents, click on Contents.

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Assista o vídeo: Równania trygonometryczne - najważniejsze wiadomości (Outubro 2021).