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2.5: Completando o Quadrado


Nesta seção, discutiremos outra maneira de escrever uma função quadrática por meio de um processo chamado completar o quadrado. Uma vez que aparece com tanta frequência em cursos posteriores, é uma boa ideia dominar essa habilidade agora.

As ideias por trás das técnicas que usaremos para completar o quadrado são construídas a partir de nossas ideias de expansão. Observamos padrões comuns e um dos que discutimos foi

[(u + v) ^ 2 = u ^ 2 + 2uv + v ^ 2 ]

Usaremos esse padrão para nos ajudar a mudar as funções quadráticas de (x ) para a forma ((x + a) ^ 2 + b ). Se usarmos esse padrão de expansão, vemos que

[(x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 rótulo {quadrado} ]

Usaremos o coeficiente no termo (x ) de nossa função quadrática para nos ajudar a encontrar (a ). Uma vez que temos (a ), podemos calcular (a ^ 2 ) e usá-lo para nos ajudar a determinar o que (b ) precisa ser para escrever nossa quadrática na forma ((x + a) ^ 2 + b ). Vamos tentar.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Completando o quadrado

Escreva (f (x) = x ^ 2 + 4x + 6 ) na forma ((x + a) ^ 2 + b ).

Solução

Vimos na equação ( eqref {quadrado} ) que ((x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 ). Usaremos o coeficiente em (x ) de nossa função para determinar (a ).

Em (f (x) ), (x ) tem um coeficiente de (4 ) e no padrão expandido (x ) tem um coeficiente de (2a ). Queremos que eles correspondam, então obtemos (4 = 2a ), ou (a = 2 ). Vamos ver como fica nosso padrão com (a = 2 ):

[(x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 ]

Isso é muito próximo da aparência de (f (x) ); a única diferença é o termo constante. Lembre-se, nosso objetivo final é escrever (f (x) ) na forma ((x + a) ^ 2 + b ). Já descobrimos (a ); agora precisamos descobrir (b ). Com a adição de (b ), podemos expandir nosso formulário de objetivo para obter

[(x + a) ^ 2 + b = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 + b ]

Isso nos diz que (b ) influencia nosso termo constante. Queremos que os termos constantes correspondam, então temos (6 = a ^ 2 + b ). Sabemos (a = 2 ), então realmente temos (6 = 4 + b ), o que nos dá (b = 2 ). Isso significa que temos

[f (x) = (x + 2) ^ {2} +2 ]

Este exemplo mostra a linha de pensamento que usamos com este problema, mas é uma explicação bastante prolixa. Os matemáticos gostam de manter as coisas concisas, então vamos ver como poderíamos mostrar este trabalho matematicamente, sem usar muito de uma descrição verbal. Normalmente, você verá um trabalho assim:

[ begin {align} begin {alinhados} f (x) & = x ^ 2 + 4x + 6 & = x ^ 2 + 2 (2x) +6 & = x ^ 2 + 2 (2x ) + (2 ^ 2) - (2 ^ 2) + 6 & = (x + 2) ^ 2 - (2 ^ 2) + 6 & = (x + 2) ^ 2 -4 + 6 & = (x + 2) ^ 2 +2 end {alinhado} end {alinhar} ]

Este trabalho mostra os mesmos passos que fizemos acima, mas de uma forma diferente, e sem dizer explicitamente o que são (a ) e (b ). No entanto, você pode ver que essas etapas estão funcionando na forma que desejamos, usando nosso padrão. Na segunda linha, escrevemos (2 (2x) ) em vez de (4x ) para descobrir (a ). Então, como sabemos que temos (a ^ 2 ) como parte de nossa constante, adicionamos (2 ^ 2 ) e subtraímos (2 ^ 2 ) na mesma etapa. Por quê? Bem, isso garante que adicionemos zero, que não mudemos o significado da função, apenas a maneira como está escrita. Então, temos o padrão correto para escrever os três primeiros termos como ((x + 2) ^ 2 ). Por último, simplificamos as constantes fora dos parênteses para encontrar (b ).

Na prática, a maioria dos matemáticos pode combinar algumas das etapas em uma, mas até que você realmente se sinta confortável com essa linha de pensamento, é melhor escrever todas as etapas.

A maioria das pessoas aprende a completar o quadrado como um algoritmo, um conjunto de etapas que deve ser executado exatamente como descrito e na ordem correta para obter a resposta final. Estamos evitando intencionalmente esse algoritmo aqui; algoritmos podem ser difíceis de memorizar, mas são fáceis de esquecer. Se você, em vez disso, pensar nisso como um quebra-cabeça onde você descobre uma parte de cada vez, é mais provável que ainda seja capaz de completar o quadrado com precisão em cursos posteriores.

Vimos um exemplo de preenchimento do quadrado que tinha todos os números "legais", agora vamos dar uma olhada em um que é um pouco mais confuso.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Completando o quadrado

Complete o quadrado para (g (t) = t ^ 2 -7t + 10 ).

Solução

Há uma grande diferença entre este problema e nosso exemplo anterior: nossa variável de entrada mudou. Isso significa que em vez de nosso objetivo se parecer com ((x + a) ^ 2 + b ), nosso objetivo se parece com ((t + a) ^ 2 + b ). Independentemente disso, seguiremos o mesmo processo de pensamento que usamos no exemplo anterior. Sabemos que, se expandirmos nossa forma de objetivo, obteremos ((t + a) ^ 2 + b = t ^ 2 + 2at + a ^ 2 + b ). Como antes, vamos descobrir um valor para (a ) primeiro e, em seguida, um valor para (b ). Para encontrar (a ), usaremos o termo (t ). A forma de meta expandida tem (2at ) e (g (t) ) tem (- 7t ). Isso nos diz que (2a = -7 ), ou (a = - frac {7} {2} ). Na forma de meta expandida, o termo constante é (a ^ 2 + b ); sabemos (a ) agora, então realmente temos ( frac {49} {4} + b ). Observe que quando elevamos ao quadrado (a ), obtemos um número positivo (pense nos parênteses invisíveis de que falamos anteriormente). Em (g (t) ), nosso termo constante é (10 ​​). Combinar nossos termos constantes nos dá a igualdade ( frac {49} {4} + b = 10 ). Se subtrairmos ( frac {49} {4} ) de ambos os lados, obtemos (b = - frac {9} {4} ).

Ao todo, temos (a = - frac {7} {2} ) e (b = - frac {9} {4} ), então temos

[g (t) = left (t- frac {7} {2} right) ^ {2} - frac {9} {4} ]

2.5.1: Uma variação no preenchimento do quadrado

Em todos os exemplos que discutimos nesta seção, o termo ao quadrado tem um coeficiente de 1. No entanto, às vezes nos deparamos com situações em que esse coeficiente não é 1 e precisaremos ser capazes de trabalhar com essas situações. Quando uma quadrática em (x ) (significando uma função quadrática que tem (x ) como sua variável) tem um coeficiente líder (o coeficiente no termo de maior potência) diferente de 1, podemos escrevê-lo como (c (x + a) ^ 2 + b ). Isso significa que teremos três parâmetros que precisamos encontrar: (a ), (b ) e (c ). Em nossos exemplos anteriores, encontramos (a ) primeiro porque apenas ele apareceu no termo (x ), e o termo (x ^ 2 ) já foi cuidado, pois ele tinha automaticamente um coeficiente de 1. Aqui, queremos encontrar (c ) primeiro, pois ele aparece no termo quadrático e afeta o termo linear e o termo constante. Esta é uma técnica de solução comum em matemática: comece trabalhando com os termos de maior potência primeiro e, em seguida, passe para os termos de grau inferior. Antes de examinarmos um exemplo de problema, vejamos como fica essa forma modificada após a expansão. Nós temos

[ begin {align} begin {alinhados} c (x + a) ^ 2 + b & = c (x ^ 2 + 2ax + a ^ 2) + b & = cx ^ 2 + 2acx + ca ^ 2 + b end {alinhado} label {var} end {align} ]

Existem alguns recursos-chave que precisamos observar que serão úteis ao lidar com esses tipos de quadráticas. Nesta forma, (c ) impacta os termos (x ^ 2 ), (x ) e constantes. Para este formulário, começaremos “combinando” os coeficientes com o termo (x ^ 2 ), depois com o termo (x ) e, em seguida, com o termo constante. Vamos dar uma olhada:

Exemplo ( PageIndex {3} ): Completando o Quadrado - Variação

Escreva (f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 ) na forma (c (x + a) ^ 2 + b )

Solução

Visto que queremos nossa resposta na forma (c (x + a) ^ 2 + b ), usaremos a equação ( eqref {var} ). Na equação ( eqref {var} ), vemos que o coeficiente em (x ^ 2 ) na forma expandida é (c ). Para (f (x) ), o coeficiente (x ^ 2 ) é (4 ), então temos (c = 4 ).

A seguir, vamos trabalhar com o termo (x ). Na equação ( eqref {var} ), o termo (x ) tem um coeficiente de (2ac ). Estamos usando (c = 4 ), então realmente este coeficiente é (2a (4) = 8a ). Para (f (x) ), o coeficiente (x ) é (12 ), então obtemos (8a = 12 ), ou (a = frac {3} {2} ) .

Por fim, trabalharemos com os termos constantes. Na equação ( eqref {var} ), a constante é (ca ^ 2 + b ). Uma vez que temos (a = frac {3} {2} ) e (c = 4 ), esta constante realmente é (4 ( frac {3} {2}) ^ 2 + b = 9 + b ). Em (f (x) ), a constante é (- 3 ), então temos (9 + b = -3 ), ou (b = -12 ).

Agora encontramos todos os três parâmetros, então terminamos e temos isso

[f (x) = 4 left (x + frac {3} {2} right) ^ {2} -12 ]

Também poderíamos resolver esse problema de maneira um pouco diferente. Poderíamos começar fatorando o coeficiente no termo (x ^ 2 ) e, em seguida, completando o quadrado do que resta. Vamos dar uma olhada:

Exemplo ( PageIndex {4} ): Completando o Quadrado - Variação

Escreva (f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 ) na forma (c (x + a) ^ 2 + b ).

Solução

Vamos começar fatorando 4 da equação e completando o quadrado do fator quadrático restante. Ao fatorar 4, (x ^ 2 ) terá um coeficiente de 1 e podemos trabalhar como fizemos em nossos exemplos anteriores. [ begin {align} begin {alinhados} begin {split} f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 & = 4 Bigg [x ^ 2 + 3x- frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [x ^ 2 + 2 bigg ( frac {3} {2} bigg) x + bigg ( frac {3} {2} bigg) ^ 2 - bigg ( frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {9} {4} - frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {12} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - 3 Bigg] end {split} end { alinhado} end {align} ]

Estamos próximos da forma que desejamos, mas temos um conjunto extra de parênteses. Precisamos redistribuir o 4 para o resto da instrução para que fique na forma correta. Isso nos dá

[f (x) = 4 left (x + frac {3} {2} right) ^ {2} -12 ]

Como você pode ver, terminamos com a mesma resposta exata de qualquer maneira, mas usamos um método diferente. Com o primeiro método, expandimos a forma geral que queríamos e encontramos os valores de a, b e c um por um. Com o segundo método, começamos com nossa função específica (f (x) ) e a reorganizamos para se parecer com a forma que desejamos. Com o segundo método, os valores de a, b e c podem ser identificados a partir de nossa resposta final.

Ao tentar reescrever uma função em uma forma diferente, é muito importante prestar atenção em como o formulário é escrito, especialmente se esse formulário for usado como parte de uma regra que você precisa para resolver totalmente o problema no qual está trabalhando. Os parâmetros podem nem sempre estar em ordem alfabética e misturar os valores dos parâmetros pode alterar drasticamente sua resposta final. Além disso, alguns livros nem sempre usam as mesmas letras nas mesmas posições, mesmo que seja a mesma regra. Muitas regras reutilizarão as mesmas letras como parâmetros, mas frequentemente estão preenchendo funções diferentes.


Completando o quadrado

Olá, bem-vindo a este vídeo sobre o processo de Completando o quadrado. Este processo algébrico é importante no estudo de equações quadráticas e suas principais características. Especificamente, completar o quadrado nos ajuda a identificar o vértice de um gráfico quadrático e nos permite encontrar as raízes de uma equação quadrática usando o método da “raiz quadrada”. Neste vídeo, exploraremos esse processo e trabalharemos com alguns problemas de exemplo para lhe dar alguma prática.

Conforme mencionado, o processo de preenchimento do quadrado nos permite identificar o vértice de uma quadrática, que é o valor máximo ou mínimo da função. Antes de atacarmos o processo, vamos revisar os fundamentos das funções quadráticas e seus gráficos.

Os gráficos de funções quadráticas são chamados parábolas. O vértice de uma parábola é o valor máximo ou mínimo da função. Se a parábola abrir “para cima”, o vértice é o ponto mínimo da função e pode ser visualizado como o fundo de um vale. Se a função abrir “para baixo”, o vértice é o ponto máximo da função, como se estivesse no topo de uma colina.

Existem muitas aplicações que requerem o conhecimento de onde uma função está em seu valor máximo ou mínimo, portanto, ser capaz de identificar esse ponto rapidamente é uma habilidade importante.

Equações quadráticas são normalmente escritas na forma padrão, (y = ax ^ 2 + bx + c ), onde c é uma constante que identifica a interceptação y do gráfico em (0, c) Este ponto é útil para representar graficamente a função, mas não nos diz onde o gráfico alcançará seu valor máximo ou mínimo. É aqui que entra o processo de “completar o quadrado”. O processo de completar o quadrado resulta em um quadrático escrito na forma de vértice. Como o nome sugere, é o vértice, notado (h, k), que é claramente identificável: (y = a (x-h) ^ 2 + k ).

Considere este visual para a expressão quadrática de forma padrão, (x ^ 2 + 6x + 2 ):

Você vê como isso se relaciona com a expressão? O termo principal é (x ^ 2 ), há um total de seis x termos, e há dois termos “1”.

Suponha que tenhamos que mudar esse arranjo retangular para tomar a forma de um quadrado. Bem, como existem seis termos “x”, poderíamos mover metade deles abaixo de (x ^ 2 ), conforme mostrado aqui:

Também podemos mover os dois "1s" no lugar para preencher o canto inferior direito do quadrado. Mas não há termos “1” suficientes! Para completar a configuração quadrada, teríamos que adicionar sete "1s" adicionais, conforme mostrado em azul escuro.

Bom! Criamos um quadrado perfeito, mas agora temos que contabilizar os sete "1s" que tivemos que adicionar para completar o quadrado. Felizmente, é um ajuste simples de subtrair os sete "1s" do binômio ao quadrado, assim: ((x + 3) ^ 2-7 ). Em outras palavras, adicionaríamos 7 para criar um quadrado perfeito, mas então tínhamos que subtrair 7 para manter as expressões equivalentes.

O resultado é o forma de vértice da expressão quadrática, ((x + 3) ^ 2-7 ).

Para verificar nosso trabalho, simplificamos a expressão da forma de vértice da seguinte maneira:

Etapa 1: expandir o termo binomial ao quadrado. Nossa forma de vértice era: ((x + 3) ^ 2-7 ). Portanto, queremos expandir o ((x + 3) ^ 2 ) para ser ((x + 3) (x + 3) - 7 ).

Etapa 2: multiplique os binômios. Obteremos (x ^ 2 + 3x + 3x + 9-7 ).

Etapa 3: Combine termos semelhantes na expressão. (x ^ 2 + 3x + 3x + 9-7 )

Aqui podemos combinar nossos 3x e nossos 3x, então teremos (x ^ 2 + 6x ), e então 9-7 é +2.

Este resultado é a expressão da forma padrão original, então sabemos que nosso trabalho está correto!

Aqui está outro problema de exemplo visual para você verificar sua compreensão do processo de conclusão do quadrado.

Primeiro, precisamos escrever a expressão quadrática de forma padrão que corresponda a este visual.

Então, precisamos descobrir quantas caixas amarelas são necessárias para completar o quadrado. Neste caso, são dois.

Agora, precisamos escrever a expressão quadrática em forma de vértice. Lembre-se, precisaremos ajustar a expressão para remover os blocos amarelos que foram necessários para completar o quadrado!

Finalmente, vamos verificar nosso trabalho multiplicando os binômios e combinando termos semelhantes. Temos nosso ((x + 2) ^ 2-2 ), que então expandimos para ser ((x + 2) (x + 2) -2 ). Fomos enganados para multiplicar essas duas expressões.

E simplifique. (x ^ 2 ) mais, (2x + 2x ) nos dá 4xe 4-2 nos dá +2.
(x ^ 2 + 4x + 2 )

Como podemos ver, nossa resposta corresponde ao resultado da forma padrão.

Agora vamos abordar o trabalho algébrico de completar o quadrado. O objetivo é criar um “trinômio quadrado perfeito” a partir dos coeficientes da forma quadrática padrão. Fator de trinômios quadrados perfeitos para ((x + h) ^ 2 ) ou ((x-h) ^ 2 ), onde “h”É o coeficiente do termo x dividido pela metade.

Vamos praticar a construção de um trinômio quadrado perfeito antes de prosseguir. Suponha que você tenha uma expressão quadrática, (x ^ 2 + 6x ). Para criar o trinômio quadrado perfeito, dividimos o coeficiente do termo x por 2 e elevamos o resultado ao quadrado, ( frac <6> <2> ^ 2 ), para um valor de 9. Quando adicionamos isso valor para a expressão original, temos um trinômio quadrado perfeito, (x ^ 2 + 6x + 9 ), que fatora para ((x + 3) ^ 2 ). Lembre-se de que essa é a mesma estratégia usada com a representação visual de completar o quadrado. Teríamos que adicionar nove "1s" para completar o canto inferior direito do quadrado.

Agora, para o ajuste para adicionar esses 9 quadrados: Assim como fizemos antes, simplesmente subtraia o valor que foi adicionado do binômio ao quadrado, ((x + 3) ^ 2-9 ). Você acabou de converter uma expressão quadrática de forma padrão na forma de vértice!

Vamos trabalhar em outro exemplo de problema.

Reescreva a equação quadrática da forma padrão, (y = x ^ 2-4x-7 ), na forma de vértice completando o quadrado.

Primeiro, identifique os coeficientes uma, b, e a constante, c. uma = 1, b = -4, c = -7.

Por enquanto, ignoraremos a constante, -7, e criaremos o trinômio quadrado perfeito com os termos (x ^ 2 ) e (- 4x ).

Em seguida, determine o valor necessário para criar o trinômio quadrado perfeito, (( frac <-4> <2>) ^ 2 ), que simplifica para ((- 2) ^ 2 ), que é igual a 4.

Agora, adicione 4 aos primeiros dois termos para criar o quadrado perfeito: (y = x ^ 2-4x + 4-7 )

Em seguida, fatorar o trinômio quadrado perfeito que você criou: (y = (x-2) ^ 2-7 )

Ajuste a expressão subtraindo 4: (y = (x-2) ^ 2-7-4 )

Finalmente, simplifique para mostrar a equação quadrática na forma de vértice: (y = (x-2) ^ 2-11 )

Combinar esta equação da forma de vértice com a forma geral, (y = a (xh) ^ 2 + k ), indica que o coeficiente, (a = 1 ), e o vértice da parábola está no par ordenado , ((2, -11) ). Porque uma> 0, a parábola abre “para cima”, significando que o vértice é o valor mínimo da função. Como você provavelmente pode imaginar, quando uma Mostre a resposta

Normalmente você verá equações quadráticas na forma padrão (y = ax ^ 2 + bx + c ). No entanto, as equações quadráticas também podem ser escritas na forma de vértices. O benefício da forma de vértice é que o vértice da parábola ((h, k) ) é claramente identificável. Forma do vértice: (y = a (x-h) ^ 2 + k )


A quadrática a seguir é escrita em forma de vértice. Qual é o vértice da parábola?


5.5 Completando The Square

Hoje combinamos ambas as atribuições de nossa última aula tornando um polinomial fatorável (adicionando o quadrado de b / 2) e, em seguida, fazendo o enraizamento quadrado. Coisas legais. Ele nos permite resolver QUALQUER equação quadrática. Aqui estão algumas notas e a tarefa # 25. Este tópico é o Benchmark 8.2, que abordaremos na próxima segunda-feira.

A seguir: benchmarks na segunda-feira

Postagem para Questões de Pontos:

Descreva resumidamente as etapas a serem resolvidas competindo na quadratura com suas próprias palavras. Dê um exemplo que acompanha cada etapa.

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Assim:

Relacionado

20 respostas para & ldquo5.5 Completando The Square& rdquo

Passos para completar o quadrado:
Primeiro: verifique se a equação é fatorável, se não, prossiga para as próximas etapas

1. mova a constante para o outro lado do sinal de igual
x ^ 2 + 6x = 1

2. Divida pelo número que representa & # 8220a & # 8221 (se não houver nada lá, pule essa etapa)

3. Para ambos os lados, adicione (b / 2) ^ 2
(6/2)^2 3^2=9
x ^ 2 + 6x + 9 = 1 + 9
x ^ 2 + 6x + 9 = 10

4. Fatore a equação
(x + 3) ^ 2 = 10

5. Resolva a equação por enraizamento quadrado
(raiz quadrada de) (x + 3) ^ 2 = (raiz quadrada de) 10
x = -3 (+ -) (raiz quadrada de) 10

1) Fator, se possível
2) Certifique-se de que a constante está terminada, a equação está nesta forma ax ^ 2 + bx = c
3) Divida o & # 8220a & # 8221
4) Adicione (b / 2) ^ 2 a cada lado
5) Fator
6) Fazer root ao quadrado

1) Mova o -12
x ^ 2 + 6x = 12

2) Não & # 8220a & # 8221 para dividir, então continue para a etapa 3.

3) Adicione (6/2) ^ 2 a cada lado
(6/2)^2 = (3)^2 = 9
x ^ 2 + 6x + 9 = 21

5) Raiz quadrada para resolver
x + 3 = (+/-) raiz quadrada de 21

Subtraia 3 de cada lado para obter sua resposta.
x = -3 (+/-) raiz quadrada de 21

x ^ 2 + 20x + 104 = 0 & # 8230 Subtraia 104, pois a equação não é & # 8217t fatorável
x ^ 2 + 20x = -104 & # 8230 Deve encontrar o último termo fatorável
20/2 = 10 ^ 2 & # 8230x ^ 2 + 20x + 100 = -104 + 100
(x + 10) ^ 2 = -4 & # 8230ROOT quadrado
x + 10 = + ou- 2i
x = -10 + 2i e -10-2i!

Passos:
0) verifique se pode ser fatorado
1) certifique-se de que está no formato padrão
2) dividir por & # 8220A & # 8221
3) adicione (b / 2) ^ a ambos os lados
4) fator
5) resolver por enraizamento quadrado

Ex) y ^ + 6y-1 = 0 adicione um a ambos os lados
y ^ + 6y__ = 1 6/2 = (3) ^ = 9
y ^ + 6y + 9 = 10 (y + 3) ^ = quadrado rt 10
subtraia 3 de ambos os lados
+
y = -3 & # 8211 Square rt 10

1. fator (se possível)
2. mova constante sobre ax ^ 2 + bx = c
3. divida por & # 8220a & # 8221- x ^ 2 + b / a x = c / a
4. adicione (b / 2) ^ 2 a ambos os lados
5. fator
6. resolver por enraizamento quadrado
7. resolver

y6 ^ 2 + 6y-1 = 0
y ^ 2 + 6y ___ = 1 etapa2
(6/2) ^ 2 = (3) ^ 2 = 9 não & # 8220a & # 8221 para dividir por
y ^ 2 + 6y + 9 = 10 etapa4
(y = 3) ^ 2 = 10 etapa 5
y + 3 = + - sqrt de 10 etapa 6
y = -3 + -sq rt 10 step7

Pré-etapa: Verifique se a equação é fatorável, = 0

1) Mova a constante sobre - & gt ax ^ 2 + bx = c
Ex) x ^ 2 + 6x-8 = 0 & # 8212 & gt x ^ 2 + 6x = 8

2) Divida por & # 8220a & # 8221
Ex) a = 1 não há necessidade de dividir

3) Adicione (b / 2) ^ 2 a ambos os lados
Ex) x ^ 2 + 6x + 9 = 8 + 9

5) Raiz quadrada
Ex) x + 3 = + / - raiz quadrada de 17

Subtraia 3 de ambos os lados
Resposta: x = -3 +/- raiz quadrada de 17

degraus:
1ª etapa: mova a constante sobre ax ^ 2 + bx = c
2ª etapa: dividir por & # 8220a & # 8221
3ª etapa: adicione (b / 2) ^ 2 a ambos os lados
4ª etapa: fator
5º passo: resolver por enraizamento quadrado
Exemplo:
y ^ 2 + 6y-1 = 0
adicione 1 em ambos os lados
y ^ 2 + 6y + 9 = 1 + 9
(6/2)=3^2=9
raiz quadrada (y + 3) ^ 2 = raiz quadrada 10
y = 3 = +/- raiz quadrada 10
Resposta: y = -3 +/- raiz quadrada de 10

Completando o quadrado
Passos:
* Verifique se fatorável = 0
1) Mova a constante sobre - & gt ax ^ 2 + bx = c
2) Divida por & # 8220a & # 8221
3) Adicione b / 2 ^ 2 a ambos os lados
4) Fator
5) Resolva por enraizamento quadrado

Problema:
y ^ 2 + 4y-1 = 0
O problema não pode ser fatorado porque não há número no topo de nossas cabeças que vá para quatro e um.
y ^ 2 + 4x = 1
Eu adicionei o 1 e trouxe para o outro lado.
(4/2)^2=4
y ^ 2 + 4y + 4 = 4 + 1
Adicione o 4 a ambos os lados.
(y + 2) ^ 2 = 5
Raiz quadrada em ambos os lados.
y + 2 = raiz quadrada de 5
Subtraia os dois.
y = -2 mais ou menos radical (raiz quadrada) 5

(verifique se fatorável) ax ^ 2 + bx + c = 0
1. mova o último número para o outro lado
x ^ 2 + 2x = 6
2. dividir por & # 8220a & # 8221
3. em seguida, adicione (b / 2) ^ 2 a ambos os lados
x ^ 2 + 2x + 1 = 7
4. fator
(x + 1) ^ 2 = 7
5. resolver por enraizamento quadrado
x + 1 = (+ -) raiz quadrada de 7
x = -1 (+ -) raiz quadrada de 7

* verifique se você pode fatorar antes de iniciar o problema!
1. Mova a constante se ainda não for
(ax ^ 2 + bx = c)
2. Divida por um
3. Adicione b / 2 ^ 2 a cada lado
4. Fator
5. Resolva por & # 8220 enraizamento quadrado & # 8221

1. x ^ 2 + 6x-3 = 0
x ^ 2 + 6x = 3
2. A etapa 2 foi ignorada devido a nenhum & # 8220a & # 8221 estar presente.
3. x ^ 2 + 6x + (6/2) ^ 2 = 3 + (6/2) ^ 2
x ^ 2 + 6x + 1 = 12
4. x ^ 2 + 6x + 9 = 12
(x + 3) ^ 2 = 12
5. (x + 3) ^ 2 = 12
x + 3 = + - raiz quadrada de 12
x = -3 + - raiz quadrada de 12

1) verifique se possível (fatorado)
2) dividir por & # 8220a & # 8221
3) adicione -b / 2a ao problema
4) fator
5) raiz quadrada
exemplo
1) 1/2 (x-3) ^ 2 = 5
2) (x-3) ^ 2 = 10
3) a raiz quadrada de (x-3) = a raiz quadrada de 10
4) x-3 = (- +) a raiz quadrada de 10
5) 3 (+ -) a raiz quadrada 10

Não tenho certeza se realmente entendi, mas vou tentar.
1.Fatorar, se possível.
2. Divida por & # 8220a & # 8221
3. Adicione -b / 2a
4.Fator
5. Raiz quadrada.

Não tenho certeza de como resolver o problema.

Aqui estão as etapas para uma equação como
a seria = 2, b = 4 e c = -3
2x ^ 2 + 4x-3. Primeiro, verifique se é fatorável. Neste caso, não é & # 8217t.
2x ^ 2 + 4x = 3 agora você traz c para o outro lado da equação.
x ^ 2 + 4x = 3/2 dividido por & # 8220a & # 8221 (neste caso 2)
x ^ 2 + 4x + 4 = 11/2 ok, agora você tem (b / 2) ^ 2 b sendo 4, e você deve adicioná-lo a ambos os lados.
(x + 2) ^ 2 = 11/2 agora você fatorar
x + 2 = + e -a raiz quadrada de 11/2
x = 2 + e - a raiz quadrada de 11/2

1 * fator se possível
2 * a equação deve estar neste formato ax ^ 2 + bx = c
3 * divida o a
4 * adicione (b / 2) ^ 2 a cada lado
5 * fator
6 * raiz quadrada

Ei, essa coisa de completar o quadrado é meio confusa para mim!

O site moodle está bagunçado porque quando eu coloco a resposta certa ele diz que ainda está incorreto quando eu tenho exatamente a mesma resposta que ele diz. Você pode checar?

Se for um par ordenado, você deve ter um espaço entre o número e a vírgula, assim
(5, 2) em vez de (5,2)

1. verifique se possível (fatorado)
2. divida por “a”
3. adicione -b / 2a ao problema
4. fator
5. raiz quadrada
exemplo
1,2 (x-5) ^ 2 = 10
2. (x-5) ^ 2 = 5
3. raiz quadrada (x-5) = raiz quadrada 2
4.x-5 = (- +) raiz quadrada 2
5,5 (+ -) raiz quadrada de 10

Passos:
1) Verifique se é fatorável e execute o restante dessas etapas.
2) Mova a constante.
y ^ 2 + 6y-1 = 0_y ^ 2 + 6y = 1
3) Divida por & # 8220A & # 8221
y ^ 2 + 6y = 1
4) Adicione (b / 2a) ^ 2 a ambos os lados
6/2(1)^2=9
5) Fator
y ^ 2 + 6y + 9 = 1 + 9
6) Resolva por enraizamento quadrado
raiz quadrada (y + 3) ^ 2 = raiz quadrada 1o
y + 3 = raiz quadrada de 10
-3 -3
y = -3 + ou raiz quadrada de 10

1. Fatore se você puder.
2. Transforme-o nesta forma ax ^ 2 + bx = c
3. Divida o a em ambos os lados.
4. Conecte (b / 2) ^ 2 em ambos os lados
5. Fator
6. Quadrar
ex.
y ^ 2 + 8x-1 = 0
(8/2)^2=16
y ^ 2 + 8x + 16 = 15
(y + 4) ^ 2 = 15
y = -4 e raiz quadrada de +/- 15


Completando o quadrado para polinômios quadráticos

Os zeros de um polinômio de variável única são os valores daquela variável na qual o polinômio é igual. 0

Completar o quadrado é um método que podemos usar para encontrar os zeros de um polinômio quadrático.

Outra maneira de dizer isso é que completar o quadrado é um método que podemos usar para resolver a equação quadrática correspondente (a equação que tem o polinômio quadrático de um lado e 0. do outro lado).

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As soluções de qualquer equação polinomial são chamadas de raízes dessa equação. Portanto, os zeros de um polinômio quadrático são numericamente iguais às raízes da equação quadrática correspondente.

Completar o quadrado é um método útil quando não é possível resolver para as raízes por fatoração, porque completar o quadrado cria um trinômio que podemos fatorar como o quadrado de um binômio.

A maneira formal de escrever um polinômio quadrático é. ax ^ 2 + bx + c. Onde . uma. é o coeficiente de. x ^ 2. termo,. b. é o coeficiente de. x. prazo, e. c. é o termo constante.

Estas são as etapas que seguiremos sempre que quisermos completar o quadrado para encontrar as raízes de uma equação quadrática. ax ^ 2 + bx + c = 0.

Antes de seguirmos as etapas, no entanto, primeiro dividiremos os dois lados da equação por. uma. (if. a ne1.), porque será mais fácil resolver a equação se o coeficiente do. x ^ 2. termo é. 1. Se tivermos que fazer essa divisão, não definiremos. b. e . c. até depois de fazermos isso. Isso é, . b. será o coeficiente do novo . x. prazo, e. c. será o novo termo constante. Então, na verdade, começaremos com uma equação da forma. x ^ 2 + bx + c = 0.

1. Mova o termo constante para o lado direito da equação, subtraindo. c. de ambos os lados.

2. Encontre. (b / 2) ^ 2. Pegue o coeficiente de. x. termo, divida por. 2. e então ao quadrado o resultado.

. x ^ 2 + bx + left ( frac<2> right) ^ 2 = -c + left ( frac<2> right) ^ 2.

3. Fatore o lado esquerdo, que agora é

Para fatorar este polinômio quadrático, temos que encontrar um par de fatores de. (b / 2) ^ 2. cuja soma é. b. O único par de fatores com essa propriedade é. b / 2. e . b / 2. Portanto, o lado esquerdo da equação torna-se

. left (x + frac<2> direita) esquerda (x + frac<2> right).

Observe que o trinômio

fatores como o quadrado do binômio. x + (b / 2).

. x ^ 2 + bx + left ( frac<2> right) ^ 2 = left (x + frac<2> direita) esquerda (x + frac<2> right) = left (x + frac<2> right) ^ 2.

Portanto, a equação que temos que resolver é

. left (x + frac<2> right) ^ 2 = -c + left ( frac<2> right) ^ 2.

4. Raiz quadrada de ambos os lados da equação. Lembre-se de que o lado direito agora incluirá a. PM. assinar.

5. Resolva para. x. para obter as raízes da equação quadrática original, subtraindo. b / 2. de ambos os lados.


Lane ORCCA (2020–2021): Recursos Abertos para Álgebra do Community College

Nesta seção, aprenderemos como “completar o quadrado” com uma expressão quadrática. Este tópico é muito útil para resolver equações quadráticas e colocar funções quadráticas na forma de vértice.

Subseção 11.2.1 Resolvendo Equações Quadráticas Completando o Quadrado

Quando temos uma equação como ((x + 5) ^ 2 = 4 text <,> ), podemos resolvê-la rapidamente usando a propriedade da raiz quadrada:

O método de nos permite resolver algum equação quadrática usando a propriedade da raiz quadrada. O desafio é que a maioria das equações quadráticas não vem com um quadrado perfeito já de um lado. Vamos explorar como fazer isso observando alguns trinômios quadrados perfeitos para ver o padrão.

Existe um padrão importante aqui. Observe que com cada coeficiente do meio à direita, você pode cortá-lo pela metade para obter o termo constante no binômio do lado esquerdo. E então você pode elevar o número ao quadrado para obter o termo constante de volta no lado direito. Matematicamente, isso diz:

Usaremos esse fato para fazer trinômios quadrados perfeitos.

Fato 11.2.1. O Termo que Completa o Quadrado.

Para um polinômio (x ^ 2 + bx text <,> ) o termo constante necessário para fazer um trinômio quadrado perfeito é ( left ( frac<2> right) ^ 2 text <.> )

Exemplo 11.2.2.

Resolva a equação quadrática (x ^ 2 + 6x = 16 ) completando o quadrado.

Para resolver a equação quadrática (x ^ 2 + 6x = 16 text <,> ) no lado esquerdo, podemos completar o quadrado adicionando ( left ( frac<2> right) ^ 2 text <> ) observe que (b = 6 ) neste caso, o que torna ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<6> <2> right) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 text <.> ) Adicionamos a ambos os lados para manter a igualdade.

Agora que completamos o quadrado, podemos resolver a equação usando a propriedade da raiz quadrada.

Agora vamos ver o processo para completar o quadrado quando a equação quadrática é dada na forma padrão.

Exemplo 11.2.3.

Resolva (x ^ 2-14x + 11 = 0 ) completando o quadrado.

Vamos resolver (x ^ 2-14x + 11 = 0 text <.> ) Vemos que o polinômio do lado esquerdo não é um trinômio quadrado perfeito, então precisamos completar o quadrado. Subtraímos (11 ) de ambos os lados para que possamos adicionar o termo ausente à esquerda.

Em seguida, vem a etapa de completar a quadratura. Precisamos adicionar o número correto a ambos os lados da equação para fazer do lado esquerdo um quadrado perfeito. Lembre-se de que o Fato 11.2.1 afirma que precisamos usar ( left ( frac<2> right) ^ 2 ) para isso. Em nosso caso, (b = -14 text <,> ) então ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<-14> <2> right) ^ 2 = 49 )

Aqui estão mais alguns exemplos.

Exemplo 11.2.4.

Complete o quadrado para resolver para (y ) em (y ^ 2-20y-21 = 0 text <.> )

Para completar o quadrado, primeiro moveremos o termo constante para o lado direito da equação. Então usaremos o Fato 11.2.1 para encontrar ( left ( frac<2> right) ^ 2 ) para adicionar a ambos os lados.

Em nosso caso, (b = -20 text <,> ) então ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<-20> <2> right) ^ 2 = 100 )

Até agora, o valor de (b ) tem sido igual a cada vez, o que faz com que ( frac<2> ) um número inteiro. Quando (b ) for ímpar, acabaremos adicionando uma fração em ambos os lados. Aqui está um exemplo.

Exemplo 11.2.5.

Complete o quadrado para resolver para (z ) em (z ^ 2-3z-10 = 0 text <.> )

Primeiro moveremos o termo constante para o lado direito da equação:

Em seguida, para completar o quadrado, precisaremos encontrar o número certo para somar aos dois lados. De acordo com o Fato 11.2.1, precisamos dividir o valor de (b ) por (2 ) e, em seguida, elevar ao quadrado o resultado para encontrar o número certo. Primeiro, divida por (2 text <:> )

e então elevamos o resultado ao quadrado:

Agora podemos adicionar o ( frac <9> <4> ) da Equação (11.2.2) a ambos os lados da equação para completar o quadrado.

Agora, para fatorar a expressão aparentemente complicada à esquerda, apenas saiba que ela deve sempre fatorar usando o número da primeira etapa na conclusão do processo de quadratura, Equação (11.2.1).

Em cada um dos exemplos anteriores, o valor de (a ) era igual a (1 text <.> ) Isso é necessário para que nossa fórmula de termo ausente funcione. Quando (a ) não é igual a (1 ), dividiremos os dois lados por (a text <.> ). Vejamos um exemplo disso.

Exemplo 11.2.6.

Resolva para (r ) em (2r ^ 2 + 2r = 3 ) completando o quadrado.

Como existe um coeficiente inicial de (2 text <,> ), dividiremos os dois lados por (2 text <.> )

A seguir, vamos completar o quadrado. Uma vez que (b = 1 text <,> ) primeiro,

e em seguida, ajustando isso, temos

Então, vamos adicionar ( frac <1> <4> ) da Equação (11.2.4) para ambos os lados da equação:

Aqui, lembre-se de que sempre fatoramos com o número encontrado na primeira etapa de preenchimento do quadrado, Equação (11.2.3).

Subseção 11.2.2 Derivando a Fórmula do Vértice e a Fórmula Quadrática Completando o Quadrado

Na Seção 9.6, aprendemos uma fórmula para encontrar o vértice. Na Seção 9.3, aprendemos a Fórmula Quadrática. Você deve estar se perguntando de onde eles vieram, e agora que sabemos como completar o quadrado, podemos derivá-los. Resolveremos a equação da forma padrão (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) para (x text <.> )

Primeiro, subtraímos (c ) de ambos os lados e dividimos ambos os lados por (a text <.> )

A seguir, vamos completar o quadrado pegando metade do coeficiente do meio e elevando-o ao quadrado. Primeiro,

e, em seguida, quadrando que temos

Nós adicionamos o ( frac<4a ^ 2> ) da Equação (11.2.6) para ambos os lados da equação:

Remember that the left side always factors with the value we found in the first step of the completing the square process from Equation (11.2.5). So we have:

To find a common denominator on the right, we multiply by (4a) in the numerator and denominator on the second term.

Now that we have completed the square, we can see that the (x)-value of the vertex is (-frac<2a> ext<.>) That is the vertex formula. Next, we will solve the equation using the square root property to find the Quadratic Formula.

Note on the (pm) Form.

Because of the complexity of the formula we choose to use the (pm) symbol rather than write out each solution separately. An expression of the form (x=Apm B) really means “either (x=A-B) or (x=A+B ext<.>)”

This shows us that the solutions to the equation (ax^2+bx+c=0) are (frac<-bpmsqrt><2a> ext<.>)

Subsection 11.2.3 Putting Quadratic Functions in Vertex Form

In Section 11.1, we learned about the vertex form of a parabola, which allows us to quickly read the coordinates of the vertex. We can now use the method of completing the square to put a quadratic function in vertex form. Completing the square with a function is a little different than with an equation so we will start with an example.

Example 11.2.7 .

Write a formula in vertex form for the function (q) defined by (q(x)=x^2+8x)

The formula is in the form (x^2+bx ext<,>) so we will need to add (left(frac<2> ight)^2) to complete the square by Fact 11.2.1. When we had an equation, we could add the same quantity to both sides. But now we do not wish to change the left side, since we are trying to end up with a formula that still says (q(x)=ldots ext<.>) Instead, we will add and subtract the term from the right side in order to maintain equality. Nesse caso,

To maintain equality, we will both add e subtract (16) on the same side of the equation. It is functionally the same as adding (0) on the right, but the (16) makes it possible to factor the expression in a particular way:

Now that we have completed the square, our function is in vertex form. The vertex is ((-4,-16) ext<.>) One way to verify that our work is correct is to graph the original version of the function and check that the vertex is where it should be.

Let's look at a function that has a constant term and see how to complete the square.

Example 11.2.9 .

Write a formula in vertex form for the function (f) defined by (f(x)=x^2-12x+3)

To complete the square, we need to add and subtract (left(-frac<12><2> ight)^2=(-6)^2=36) on the right side.

In the first two examples, (a) was equal to (1 ext<.>) When (a) is not equal to one, we have an additional step. Since we are working with an expression where we intend to preserve the left side as (f(x)=ldots ext<,>) we cannot divide both sides by (a ext<.>) Instead we will factor (a) out of the first two terms. Let's look at an example of that.

Example 11.2.10 .

Write a formula in vertex form for the function (g) defined by (g(x)=5x^2+20x+25)

Before we can complete the square, we will factor the (highlight<5>) out of the first two terms.

Now we will complete the square inside the parentheses by adding and subtracting (left(frac<4><2> ight)^2=2^2=4 ext<.>)

Notice that the constant that we subtracted is inside the parentheses, but it will not be part of our perfect square trinomial. In order to bring it outside, we need to multiply it by (5 ext<.>) We are distributing the (5) to that term so we can combine it with the outside term.

Here is an example that includes fractions.

Example 11.2.11 .

Write a formula in vertex form for the function (h) defined by (h(x)=-3x^2-4x-frac<7><4>)

First, we will factor the leading coefficient out of the first two terms.

Next, we will complete the square for (x^2+frac<4><3>x) inside the grouping symbols by adding and subtracting the right number. To find that number, we divide the value of (b) by two and square the result. That looks like:

Adding and subtracting the value from Equation (11.2.8), we have:

Remember that when completing the square, the expression should always factor with the number found in the first step of the completing-the-square process, Equation (11.2.7).

The vertex is (left(-frac<2><3>,-frac<5><12> ight) ext<.>)

Completing the square can also be used to find a minimum or maximum in an application.

Example 11.2.12 .

In Example 6.5.18, we learned that artist Tyrone's annual income from paintings can be modeled by (I(x)=-100x^2+1000x+20000 ext<,>) where (x) is the number of times he will raise the price per painting by ($20.00 ext<.>) To maximize his income, how should Tyrone set his price per painting? Find the maximum by completing the square.

To find the maximum is essentially the same as finding the vertex, which we can find by completing the square. To complete the square for (I(x)=-100x^2+1000x+20000 ext<,>) we start by factoring out the (-100) from the first two terms:

Next, we will complete the square for (x^2-10x) by adding and subtracting (left(-frac<10><2> ight)^2=(-5)^2=highlight<25> ext<.>)

começar I(x)amp=-100left(x^2-10xaddright<25>subtractright<25> ight)+20000 amp=-100left(highlight ight)>-25 ight)+20000 amp=-100highlight ight)>-left(100cdot-25 ight)+20000 amp=-100(x-5)^2+2500+20000 amp=-100(x-5)^2+22500 end

The vertex is the point ((5,22500) ext<.>) This implies Tyrone should raise the price per painting (substitute<5>) times, which is (substitute<5>cdot20=100) dollars. He would sell (100-5(substitute<5>)=75) paintings. This would make the price per painting (200+100=300) dollars, and his annual income from paintings would become ($22500) by this model.

Subsection 11.2.4 Graphing Quadratic Functions by Hand

Now that we know how to put a quadratic function in vertex form, let's review how to graph a parabola by hand.

Example 11.2.13 .

Graph the function (h) defined by (h(x)=2x^2+4x-6) by determining its key features algebraically.

To start, we'll note that this function opens upward because the leading coefficient, (2 ext<,>) is positive.

Now we will complete the square to find the vertex. We will factor the (2) out of the first two terms, and then add and subtract (left(frac<2><2> ight)^2=1^2=highlight<1>) on the right side.

The vertex is ((-1,-8)) so the axis of symmetry is the line (x=-1 ext<.>)

To find the (y)-intercept, we'll replace (x) with (0) or read the value of (c) from the function in standard form:

The (y)-intercept is ((0,-6)) and we will find its symmetric point on the graph, which is ((-2,-6) ext<.>)

Next, we'll find the horizontal intercepts. We see this function factors so we will write the factored form to get the horizontal intercepts.

The (x)-intercepts are ((1,0)) and ((-3,0) ext<.>)

Now we will plot all of the key points and draw the parabola.

Example 11.2.15 .

Write a formula in vertex form for the function (p) defined by (p(x)=-x^2-4x-1 ext<,>) and find the graph's key features algebraically. Then sketch the graph.

In this function, the leading coefficient is negative so it will open downward. To complete the square we first factor (-1) out of the first two terms.

Now, we add and subtract the correct number on the right side of the function: (left(frac<2> ight)^2=left(frac<4><2> ight)^2=2^2=highlight<4> ext<.>)

The vertex is ((-2,3)) so the axis of symmetry is the line (x=-2 ext<.>)

We find the (y)-intercept by looking at the value of (c ext<,>) which is (-1 ext<.>) So, the (y)-intercept is ((0,-1)) and we will find its symmetric point on the graph, ((-4,-1) ext<.>)

The original expression, (-x^2-4x-1 ext<,>) does not factor so to find the (x)-intercepts we need to set (p(x)=0) and complete the square or use the quadratic formula. Since we just went through the process of completing the square above, we can use that result to save several repetitive steps.

The (x)-intercepts are approximately ((-3.7,0)) and ((-0.3,0) ext<.>) Now we can plot all of the points and draw the parabola.


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2.5: Completing the Square

In this section, we will devise a method for rewriting any quadratic equation of the form

This process is called completing the square The process of rewriting a quadratic equation in the form ( x − p ) 2 = q . . As we have seen, quadratic equations in this form can easily be solved by extracting roots. We begin by examining perfect square trinomials:

The last term, 9, is the square of one-half of the coefficient of x. In general, this is true for any perfect square trinomial of the form x 2 + b x + c .

In other words, any trinomial of the form x 2 + b x + c will be a perfect square trinomial if

It is important to point out that the leading coefficient must be equal to 1 for this to be true.

Example 1: Complete the square: x 2 + 8 x + ? = ( x + ? ) 2 .

Solução: In this example, the coefficient of the middle term b = 8, so find the value that completes the square as follows:

The value that completes the square is 16.

Answer: x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4 ) 2

Example 2: Complete the square: x 2 + 3 x + ? = ( x + ? ) 2 .

Solução: Aqui b = 3, so find the value that will complete the square as follows:

The value 9/4 completes the square:

Answer: x 2 + 3 x + 9 4 = ( x + 3 2 ) 2

We can use this technique to solve quadratic equations. The idea is to take any quadratic equation in standard form and complete the square so that we can solve it by extracting roots. The following are general steps for solving a quadratic equation with a leading coefficient of 1 in standard form by completing the square.

Example 3: Solve by completing the square: x 2 + 14 x + 46 = 0 .

Passo 1: Add or subtract the constant term to obtain the equation in the form x 2 + b x = c . In this example, subtract 46 to move it to the right side of the equation.

Passo 2: Use ( b 2 ) 2 to determine the value that completes the square. Aqui b = 14:

Etapa 3: Add ( b 2 ) 2 to both sides of the equation and complete the square.

Passo 4: Solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 7 − 3 or − 7 + 3 . The check is optional.

Example 4: Solve by completing the square: x 2 − 18 x + 72 = 0 .

Solução: Begin by subtracting 72 from both sides.

Next, find the value that completes the square using b = −18.

To complete the square, add 81 to both sides, complete the square, and then solve by extracting the roots.

At this point, separate the “plus or minus” into two equations and solve each.

Answer: The solutions are 6 and 12.

Note that in the previous example the solutions are integers. If this is the case, then the original equation will factor.

If it factors, we can solve it by factoring. However, not all quadratic equations will factor.

Example 5: Solve by completing the square: x 2 + 10 x + 1 = 0 .

Solução: Begin by subtracting 1 from both sides of the equation.

Aqui b = 10, and we determine the value that completes the square as follows:

To complete the square, add 25 to both sides of the equation.

Factor and then solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 5 − 2 6 and − 5 + 2 6 .

Sometimes quadratic equations do not have real solutions.

Example 6: Solve by completing the square: x 2 − 2 x + 3 = 0 .

Solução: Begin by subtracting 3 from both sides of the equation.

At this point we see that extracting the root leads to the square root of a negative number.

Experimente isso! Solve by completing the square: x 2 − 2 x − 27 = 0 .

Video Solution

O coeficiente de x is not always divisible by 2.

Example 7: Solve by completing the square: x 2 + 3 x − 2 = 0 .

Solução: Begin by adding 2 to both sides.

Usar b = 3 to find the value that completes the square:

To complete the square, add 9/4 to both sides of the equation.

Solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 3 ± 17 2 .

So far, all of the examples have had a leading coefficient of 1. The formula ( b 2 ) 2 determines the value that completes the square only if the leading coefficient is 1. If this is not the case, then simply divide both sides by the leading coefficient.

Example 8: Solve by completing the square: 2 x 2 + 5 x − 1 = 0 .

Solução: Notice that the leading coefficient is 2. Therefore, divide both sides by 2 before beginning the steps required to solve by completing the square.

Begin by adding 1/2 to both sides of the equation.

Aqui b = 5/2, and we can find the value that completes the square as follows:

To complete the square, add 25/16 to both sides of the equation.

Next, solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 5 ± 33 4 .

Experimente isso! Solve: 2 x 2 − 2 x − 3 = 0 .

Video Solution

Principais vantagens

  • Solve any quadratic equation by completing the square.
  • You can apply the square root property to solve an equation if you can first convert the equation to the form ( x − p ) 2 = q .
  • To complete the square, first make sure the equation is in the form x 2 + b x = c . Then add the value ( b 2 ) 2 to both sides and factor.
  • The process for completing the square always works, but it may lead to some tedious calculations with fractions. This is the case when the middle term, b, is not divisible by 2.

Topic Exercises

Part A: Completing the Square

Solve by factoring and then solve by completing the square. Check answers.

Solve by completing the square.

63. x ( x + 1 ) − 11 ( x − 2 ) = 0

64. ( x + 1 ) ( x + 7 ) − 4 ( 3 x + 2 ) = 0

65. y 2 = ( 2 y + 3 ) ( y − 1 ) − 2 ( y − 1 )

66. ( 2 y + 5 ) ( y − 5 ) − y ( y − 8 ) = − 24

68. ( 3 t + 2 ) ( t − 4 ) − ( t − 8 ) = 1 − 10 t

Solve by completing the square and round off the solutions to the nearest hundredth.

71. ( 2 x + 1 ) ( 3 x + 1 ) = 9 x + 4

72. ( 3 x + 1 ) ( 4 x − 1 ) = 17 x − 4

73. 9 x ( x − 1 ) − 2 ( 2 x − 1 ) = − 4 x

74. ( 6 x + 1 ) 2 − 6 ( 6 x + 1 ) = 0

75. Research and discuss the Hindu method for completing the square.

76. Explain why the technique for completing the square described in this section requires that the leading coefficient be equal to 1.


Unfortunately, most quadratics don't come neatly squared like this. For your average everyday quadratic, you first have to use the technique of "completing the square" to rearrange the quadratic into the neat "(squared part) equals (a number)" format demonstrated above. Por exemplo:

Find the x -intercepts of y = 4x 2 &ndash 2x &ndash 5 .

First off, remember that finding the x-intercepts means setting y equal to zero and solving for the x -values, so this question is really asking you to "Solve 4x 2 &ndash 2x &ndash 5 = 0 ".

Now, let's start the completing-the-square process. To begin, we have the original equation (or, if we had to solve first for " = 0 ", the "equals zero" form of the equation). In this case, we were asked for the x -intercepts of a quadratic function, which meant that we set the function equal to zero. So we're good to go. Our starting point is this equation:

Now, contrary to everything we've learned before, we're going to move the constant (that is, the number that is não with a variable) over to the other side of the "equals" sign:

When solving by completing the square, we'll want the x 2 to be by itself, so we'll need to divide through by whatever is multiplied on this term. In this case, we've got a 4 multiplied on the x 2 , so we'll need to divide through by 4 to get rid of this. Our result is:

Now we're going to do some work off on the side. Looking at the quadratic above, we have an x 2 term and an x term on the left-hand side. We're going to work with the coefficient of the x term. In our present case, this value, along with its sign, is:

To created our completed square, we need to divide this numerical coefficient by 2 (or, which is the same thing, multiply it by one-half). In our case, we get:

Now we'll square this derived value. (Of course, this will give us a positive number as a result.)

Okay now we go back to that last step before our diversion:

. and we add that " " to either side of the equation:

We can simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

At this point, we're ready to convert to completed-square form because, by adding that to either side, we had rearranged the left-hand side into a quadratic which is a perfect square. In other words, we can convert that left-hand side into a nice, neat squared binomial. But how?

The simplest way is to go back to the value we got after dividing by two (or, which is the same thing, multipliying by one-half), and using this, along with its sign, to form the squared binomial. In other words, in this case, we get:

Yay! Completed-square form! Now we can square-root either side (remembering the "plus-minus" on the strictly-numerical side):

Now we can solve for the values of the variable:

The "plus-minus" means that we have dois solutions:

The solutions can also be written in rounded form as , or rounded to some reasonable number of decimal places (such as two).

You will need probably rounded forms for "real life" answers to word problems, and for graphing. For instance, for the above exercise, it's a lot easier to graph an intercept at x = -0.9 than it is to try to graph the number in square-root form with a "minus" in the middle. But (warning!) in most other cases, you should assume that the answer should be in "exact" form, complete with all the square roots.

When you complete the square, make sure that you are careful with the sign on the numerical coefficient of the x -term when you multiply that coefficient by one-half. If you lose the sign from that term, you can get the wrong answer in the end because you'll forget which sign goes inside the parentheses in the completed-square form.

Also, don't be sloppy and wait to do the plus/minus sign until the very end. On your tests, you won't have the answers in the back to "remind" you that you "meant" to use the plus-minus, and you will likely forget to put the plus-minus into the answer. Besides, there's no reason to go ticking off your instructor by doing something wrong when it's so simple to do it right.

On the same note, make sure you draw in the square root sign, as necessary, when you square root both sides. Don't wait until the answer in the back of the book "reminds" you that you "meant" to put the square root symbol in there.

If you get in the habit of being sloppy, you'll only hurt yourself!

Resolver x 2 + 6x &ndash 7 = 0 by completing the square.

I'll do the same procedure as in the first exercise, in exactly the same order. (Study tip: Always working these problems in exactly the same way will help you remember the steps when you're taking your tests.)

First, I write down the equation they've given me.

I move the constant term (the loose number) over to the other side of the "equals".

The leading term is already only multiplied by 1 , so I don't have to divide through by anything. So that step is done.

Now I'll grab some scratch paper, and do my computations. First, the coefficient of the "linear" term (that is, the term with just x , not the x 2 term), with its sign, is:

My next step is to square this derived value:

square of derived value: ( +3 ) 2 = 9

Now I go back to my equation, and add this squared value to either side:

I'll simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

And now I'll convert the left-hand side to completed-square form, using the derived value (which I circled in my scratch-work, so I wouldn't lose track of it), along with its sign:

Now that the left-hand side is in completed-square form, I can square-root each side, remembering to put a "plus-minus" on the strictly-numerical side:

. and then I'll solve for my two solutions:

Please take the time to work through the above two exercise for yourself, making sure that you're clear on each step, how the steps work together, and how I arrived at the listed answers. And then take the time to practice extra exercises from your book. With practice, this process can become fairly easy, especially if you're careful to work the exact same steps in the exact same order. Yes, "in real life" you'd use the Quadratic Formula or your calculator, but you should expect at least one question on the next test (and maybe the final) where you're required to show the steps for completing the square.

Note: Because the solutions to the second exercise above were integers, this tells you that we could have solved it by factoring.

Warning: If you are not consistent with remembering to put your plus/minus in as soon as you square-root both sides, then this is an example of the type of exercise where you'll get yourself in trouble. You'll write your answer for the second exercise above as " x = &ndash3 + 4 = 1 ", and have no idea how they got " x = &ndash7 ", because you won't have a square root symbol "reminding" you that you "meant" to put the plus/minus in. In other words, if you're sloppy, these easier problems will embarrass you!

On the next page, we'll do another example, and then show how the Quadratic Formula can be derived from the completing-the-square procedure.


Completing the Square and Solving Quadratic Equations

You transformed the quadratic equation y =4 x 2 &minus 20 x + 24 y equals 4 x squared minus 20 x plus 24 into its vertex form y =4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1 y equals 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1 . Fill in the blanks to find the zeros of the quadratic equation. Use decimals or fractions as needed.

Answer: Correct! Go to question 3. Incorrect. The answer is:

y =4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1 y equals 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1

Set the equation equal to zero ( y =0) y equals zero :
4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1= 0 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1 equals zero

Add 1 to both sides of the equation:
4( x &minus 2.5 ) 2 = 1 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals 1

Divide both sides of the equation by 4:
( x &minus 2.5 ) 2 = 1 4 the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals 1 divided by 4

Square root both sides of the equation:
&radic ( x &minus 2.5 ) 2 =± &radic 1 4 The square root of the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals plus or minus the square root of 1 divided by 4

Simplificar:
x &minus2.5=± 1 2 x minus 2 and 5 tenths equals plus or minus one half

Solve for x :
x = 2.5 ± 1 2 x equals 2 and 5 tenths plus or minus one half
[using fraction: x = 5 2 ± 1 2 ] x equals five halves plus or minus one half

Go to question 3. Incorrect. Refer to the ‘Steps for Solving Quadratic Equations in Vertex Form’ to help you, and try again.


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