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23: 12 Tarefa Pré-Aula - Espaços Matrix - Matemática


23: 12 Tarefa Pré-Aula - Espaços Matrix - Matemática

Cursos em MATEMÁTICA (MATEMÁTICA)

O catálogo online inclui as mudanças mais recentes nos requisitos de cursos e diplomas que foram aprovadas pelo Senado do Corpo Docente, incluindo mudanças que ainda não estão em vigor. Os cursos que mostram duas entradas com o mesmo número indicam que as informações do curso estão mudando. A versão aprovada mais recentemente é mostrada primeiro, seguida pela versão mais antiga, em cinza, com seu último termo efetivo precedendo o título do curso. Os cursos mostrados em cinza com apenas uma entrada do número do curso estão sendo descontinuados. As ofertas de cursos por período podem ser acessadas clicando nos links dos períodos ao visualizar um catálogo específico do campus.

Matemática (MATEMÁTICA)

100 Basic Mathematics 2 Course Pré-requisito: Uma pontuação mínima de 1% em matemática no ALEKS. Revisão de aritmética básica e álgebra elementar. Nenhum crédito obtido para o diploma. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

101 Álgebra intermediária 3 Operações e conceitos algébricos fundamentais. Nenhum crédito obtido para o diploma.

103 Métodos de Álgebra e Introdução às Funções 3 Pré-requisito do curso: MATH 100 com um S, MATH 101 com um C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 40%. Operações e conceitos algébricos fundamentais, sistemas lineares e desigualdades, funções polinomiais e racionais, introdução às funções exponenciais e logarítmicas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

105 [QUAN] Explorando Matemática 3 Pré-requisito do curso: MATH 101, 103 ou 251, cada um com C ou melhor, ou STAT 212 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 45%. Natureza e âmbito da matemática moderna e suas relações com outras disciplinas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

106 Pré-requisito do curso de Álgebra 3 da faculdade: MATH 101 com C ou melhor, ou MATH 103 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 70%. Gráficos, propriedades e aplicações de funções polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

108 Trigonometria 2 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 106 com um C ou melhor. Gráficos, propriedades e aplicações de funções trigonométricas. Crédito normalmente não concedido para MATH 108 e 107. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

110 Matemática Aceleração 1 (0-3) Pré-requisito do curso: Uma pontuação mínima de colocação em matemática no ALEKS de 25%. Instrução individualizada em habilidades matemáticas para aprimorar a base matemática necessária para o sucesso em um dos MATH 103, 106 ou 171. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

111 Tutorial de Matemática para MATH 201 1 Pré-requisito do curso: Matrícula simultânea MATH 107. Tutorial de grupo centrado no aluno com foco no aprimoramento de habilidades para obter sucesso no MATH 201. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

115 Math 105 Tutorial 2 Tutorial para MATH 105 com foco no desenvolvimento de conceito e proficiência de habilidade de domínio. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

116 Math 106 Tutorial 2 Tutorial para MATH 106 com foco no desenvolvimento de conceito e proficiência de habilidade de domínio. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

140 [QUAN] Cálculo para a Vida Cientistas 4 (3-3) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 106 com C ou melhor e MATEMÁTICA 108 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima em matemática no ALEKS de 80%. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para MATH 171 ou 202, exceto por consentimento do departamento. Cálculo diferencial e integral com ênfase em aplicações em ciências da vida. Com o consentimento do departamento, o crédito pode ser concedido para dois dos MATH 140, 171 ou 202. Normalmente oferecidos no outono e na primavera.

171 [QUAN] Cálculo I 4 (3-3) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 106 com C ou melhor e MATEMÁTICA 108 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 83%. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para o MATH 140 ou 202, exceto por consentimento do departamento. Cálculo diferencial e integral de uma variável com geometria analítica associada. Com o consentimento do departamento, o crédito pode ser concedido para dois dos MATH 140, 171 ou 202. Normalmente oferecidos no outono, primavera e verão.

172 Cálculo II 4 (3-3) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 171 com C ou melhor. Técnicas e aplicações de séries de estimativas de cálculo de uma variável, derivadas de uma função vetorial. Crédito não concedido para MATH 172 e 182. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

182 Honors Calculus II 4 (3-3) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 171 com um C ou melhor somente pela permissão do departamento. Cálculo de uma única variável, séries, com ênfase no desenvolvimento conceitual e na resolução de problemas. Crédito não concedido para MATH 172 e 182. Normalmente oferecido no outono.

201 Matemática para Negócios e Economia 3 Pré-requisito do curso: MATH 101 com C ou melhor, MATH 103 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 65%. Análise matemática usando sistemas lineares de funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas, programação linear e matemática de finanças, para modelagem e aplicações comerciais / econômicas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

202 [QUAN] Cálculo para Negócios e Economia 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 106 com C ou melhor, MATH 201 com C ou melhor, ou uma pontuação mínima de colocação em matemática ALEKS de 80%. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para MATH 140 ou 171, exceto por consentimento do departamento. O cálculo diferencial das funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas enfoca a otimização irrestrita e restrita, diferenciação única e parcial. Com o consentimento do departamento, o crédito pode ser concedido para dois dos MATH 140, 171 ou 202. Normalmente oferecidos no outono, primavera e verão.

216 Estruturas Discretas 3 Pré-requisito do curso: MATH 108 com um C ou melhor, ou MATH 140, 171, 172, 182 ou MATH 202 ou inscrição simultânea. Matemática discreta, árvores, gráficos, lógica elementar e combinatória com aplicação à ciência da computação. Preparação recomendada: Curso de programação. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

220 Introdutório Álgebra Linear 2 Pré-requisito do curso: MATH 171 ou matrícula simultânea. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para MATH 225 ou 230. Resolvendo sistemas lineares, matrizes, determinantes, subespaços, autovalores, ortogonalidade. Crédito não concedido para mais de um dos MATH 220, 225 e 230. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

225 Álgebra Linear com Aplicações Modernas 3 Pré-requisitos do curso: MATH 106 ou superior. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para MATH 220 ou 230. Resolvendo sistemas lineares, matrizes, determinantes, subespaços, autovalores, ortogonalidade, aprendizado de máquina, IA, computação gráfica e modelos econômicos. Crédito não concedido para mais de um dos MATH 220, 225 e 230. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

230 Honras Introdutória Álgebra Linear 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 171 ou matrícula simultânea. A inscrição não é permitida se o crédito já foi obtido para MATH 220 ou 225. Uma introdução à álgebra linear com ênfase no desenvolvimento conceitual. Crédito não concedido para mais de um dos MATH 220, 225 e 230. Normalmente oferecido Spring.

251 Fundamentos de Matemática Elementar I 3 (2-2) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 101, 103, 105 ou 106, cada um com C ou melhor, ou STAT 212 com C ou melhor, ou pontuação mínima em matemática ALEKS de 45 % Desenvolvimento abrangente de sistemas numéricos enfatizando valor de posição, números inteiros, números racionais e métodos de algoritmos associados de resolução de problemas. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

252 [QUAN] Fundamentos de Matemática Elementar II 3 (2-2) Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 251 com C ou melhor. Abordagem baseada em investigação para conceitos fundamentais: medição, construções geométricas, similaridade, congruência, simetria, probabilidade, princípios de contagem, medidas de tendência central e distribuições. Preparação necessária: Um ano de geometria do ensino médio. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

273 Cálculo III 2 Pré-requisito do curso: MATH 172 com um C ou melhor, ou MATH 182 com um C ou melhor. Cálculo de funções de várias variáveis. Crédito não concedido para MATH 273 e 283. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

283 Honors Calculus III 2 Pré-requisito do curso: MATH 182 ou com permissão do departamento. Cálculo multivariável com ênfase no desenvolvimento conceitual e resolução de problemas. Crédito não concedido para MATH 273 e 283. Normalmente oferecido Spring.

300 Mathematical Computing 3 Curso Pré-requisito: MATH 220 ou MATH 230. Exame de algum software de computador atual para resolver problemas matemáticos. Preparação recomendada: MATEMÁTICA 315. Normalmente oferecido no outono e no verão.

301 Introdução ao Raciocínio Matemático 3 Pré-requisito do curso: MATH 220 com C ou melhor, ou MATH 230 com C ou melhor. Argumentos matemáticos e redação de provas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

302 Teoria dos Números 3 Pré-requisito do curso: MATH 172 com C ou melhor, ou MATH 182 com C ou melhor MATH 301 com C ou melhor. Propriedades de divisibilidade de congruências de inteiros Equações diofantinas resíduos quadráticos. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera.

303 [M] Geometria para o professor do ensino médio 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 252. Tópicos em geometria 2D e 3D incluindo raciocínio e exploração baseados em tecnologia, argumentos dedutivos, raciocínio transformacional e proporcional e geometrias não euclidianas. Normalmente oferecido no outono.

315 Equações Diferenciais 3 Pré-requisito do curso: MATH 273 com C ou melhor ou Math 283 com C ou melhor e MATH 220 com C ou melhor ou inscrição simultânea, ou MATH 230 com C ou melhor ou inscrição simultânea. Equações diferenciais lineares e séries de sistemas, aplicações de abordagens numéricas e qualitativas. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

320 [M] Álgebra Moderna Elementar 3 Pré-requisito do curso: MATH 220 com C ou melhor ou MATH 230 com C ou melhor. Álgebra como sistema dedutivo, numera grupos, anéis e campos. Normalmente oferecido na primavera.

325 Combinatória Elementar 3 Pré-requisito do curso: MATH 220 com C ou melhor ou MATH 230 com C ou melhor. Introdução à teoria combinatória: métodos de contagem, coeficientes binomiais e identidades, funções geradoras, relações de ocorrência, métodos de inclusão-exclusão. Normalmente oferecido no outono.

330 Métodos de Ensino de Matemática no Ensino Médio 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 301 ou matrícula simultânea. Novos currículos e técnicas pedagógicas para a matemática do ensino médio. Normalmente oferecido no outono.

340 Introdução à Biologia Matemática 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 140 com C ou melhor, ou MATH 172 com C ou melhor, ou MATH 182 com C ou melhor BIOLOGIA 101, BIOLOGIA 102, BIOLOGIA 106 ou BIOLOGIA 107. Biologia matemática e desenvolvimento de modelagem matemática para soluções de problemas nas ciências da vida. (Curso na lista cruzada oferecido como MATH 340, BIOLOGY 340). Normalmente oferecido na primavera.

351 Pensamento Algébrico para o Professor do Ensino Médio 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 252 com C ou melhor. Raciocínio algébrico, classes de funções, tradução entre modelos, regra analítica, tabelas de dados, contexto e gráficos de coordenadas. Normalmente oferecido na primavera.

352 Probabilidade e análise de dados para professores do ensino médio 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 251 MATEMÁTICA 252. Probabilidade e estatísticas em relação à matemática do ensino médio e problemas do mundo real por meio de visualização, atividades práticas e tecnologia. Normalmente oferecido na primavera.

364 Princípios de Otimização 3 Pré-requisito do curso: MATH 202, MATH 220 ou MATH 230. Álgebra de desigualdades lineares, gráficos de dualidade, redes de transporte, programação linear, algoritmos especiais, programação não linear, aplicativos selecionados. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

375 Análise vetorial 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 315. Integrais de linha, gradiente, curvatura, divergência Teorema de Stokes, funções potenciais. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

398 Instantâneos Matemáticos 1 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 172 ou MATEMÁTICA 182. Caráter, obra de vida e importância histórica de matemáticos de várias épocas e ramos da matemática. Normalmente oferecido na primavera.

401 [M] Introdução à Análise I 3 Pré-requisito do curso: MATH 301 com um C ou melhor. Propriedades de conjuntos e sequências de limites de números reais, continuidade, diferenciação e integração de funções espaços métricos. Normalmente oferecido no outono.

402 [M] Introdução à Análise II 3 Pré-requisito do curso: MATH 401. Sequências de funções, séries de potências, cálculo multivariável, teoremas de função inversa e implícita, multiplicadores de Lagrange, mudança de variável em integrações múltiplas. Normalmente oferecido na primavera.

403 Geometria Euclidiana e Não Euclidiana 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 301 com C ou melhor. A geometria como sistema dedutivo de sistemas lógicos postulacionais geometrias projetivas e não euclidianas. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono.

405 Introdução à Matemática Financeira 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 172 ou 182. Introdução à matemática financeira, incluindo o básico de anuidades, ações, títulos e derivados financeiros. Normalmente oferecido no outono.

415 Equações Diferenciais Intermediárias 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 315. Teoria qualitativa de sistemas lineares (existência, unicidade, estabilidade, periodicidade) aplicações de problemas de valor limite. Normalmente oferecido na primavera.

416 Simulações Numéricas para Modelos Probabilísticos 3 Pré-requisito do curso: STAT 360 CPT S 121, CPT S 251 ou MATH 300. Geração eficiente de análise estatística de variáveis ​​aleatórias e técnicas de validação de redução de variância. Cadeia de Markov. Métodos de Monte Carlo Computação bayesiana. Crédito não concedido para MATH 416 e MATH 516. A preparação necessária deve incluir probabilidade e estatística e experiência em programação. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

420 Linear Algebra 3 Course Pré-requisito: MATH 220 com um C ou melhor, ou MATH 230 com um C ou melhor MATH 301 com um C ou melhor. Espaços vetoriais, transformações lineares, diagonalizabilidade, matrizes normais, espaços de produtos internos, ortogonalidade, projeções ortogonais, mínimos quadrados, SVD. Normalmente oferecido no outono.

421 [M] Estruturas algébricas 3 Pré-requisito do curso: MATH 301 com um C ou melhor. Propriedades das estruturas algébricas e seus homomorfismos, semigrupos, grupos, anéis, domínios únicos de fatoração, campos. Normalmente oferecido na primavera.

425 Aspectos Conceituais de Matemática 3 Pré-requisito do curso: Com permissão do instrutor. Exploração de modelos conceituais para pensar sobre atividades de idéias matemáticas e discussões sobre pensamento e instrução matemática. (Curso de lista cruzada oferecido como TCH LRN 425, MATH 425).

431 Intersecções de Cultura e Matemática 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 301 com C ou melhor. Diferenças de gênero / raça / etnia consequências sociais influências culturais no desenvolvimento e aprendizagem do papel matemático das mulheres, pessoas de cor na matemática. Crédito não concedido para MATH 431 e 531. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

432 [CAPS] Matemática para professores universitários e secundários 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 301 com um C ou melhor. Pré-álgebra, funções de álgebra e geometria examinadas de uma perspectiva avançada, para professores universitários de nível médio e inferior. Normalmente oferecido na primavera.

440 Matemática Aplicada I: PDEs 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 315. Equações diferenciais parciais aplicadas Funções de Bessel da série de Fourier e polinômios de Legendre como harmônicos para discos e bolas Equações de Laplace, calor e separação de variáveis ​​e fórmula de D'Alambert. Crédito não concedido para MATH 440 e MATH 540. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

441 Matemática Aplicada II: Variáveis ​​Complexas 3 Pré-requisito do Curso: MATEMÁTICA 315. Números complexos e funções de valor complexo de funções analíticas de uma variável complexa e diferenciação de equações de Cauchy-Riemann e integração de contorno Teorema integral de Cauchy Aplicações de mapeamento conformado de resíduos da série de Taylor e Laurent à teoria potencial . Crédito não concedido para MATH 441 e MATH 541. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

448 Análise Numérica 3 Pré-requisito do curso: MATH 315 com C ou melhor um dos CPT S 121, 131, ou MATH 300, com C ou melhor. Fundamentos de computação numérica localização de zeros de funções, aproximação e integração numérica de interpolação (quadratura) solução numérica de equações diferenciais ordinárias. (Curso na lista cruzada oferecido como MATH 448, MATH 548, CPT S 430, CPT S 530). A preparação necessária deve incluir equações diferenciais e um curso de programação. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

453 Teoria dos Grafos 3 Pré-requisito do curso: MATH 220 ou MATH 230. Gráficos e suas aplicações, grafos direcionados, árvores, redes, caminhos Eulerianos e Hamiltonianos, representações de matrizes, construção de algoritmos. (Curso da lista cruzada oferecido como MATH 453, MATH 553, CPT S 453, CPT S 553). A preparação necessária deve incluir álgebra linear. Preparação recomendada: MATEMÁTICA 301. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

456 Introdução à Teoria Estatística 3 Pré-requisito do curso: STAT 430 ou 443. Teste de hipóteses de distribuição de amostragem e estimativa de razão de verossimilhança máxima testa a teoria de quadrados mínimos não paramétricos. (Curso na lista cruzada oferecido como STAT 456, MATH 456). Crédito não concedido para mais de um STAT / MATH 456 ou STAT 556. Preparação recomendada: Um STAT de nível 400 de 3 créditos ou curso de probabilidade. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido na primavera.

464 [CAPS] Otimização Linear 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 273 ou MATEMÁTICA 283. Aplicações de problemas de otimização de programação linear e inteira a estratégias econômicas e militares teoria de minimax de jogos retangulares. Preparação recomendada: MATEMÁTICA 301. Normalmente oferecido na Primavera.

466 Otimização em Redes 3 Pré-requisito do curso: MATH 364.Formulação e solução de problemas de otimização de rede, incluindo caminho mais curto, fluxo máximo, fluxo de custo mínimo, atribuição, cobertura, carteiro e vendedor. Crédito não concedido para MATH 466 e MATH 566. A preparação necessária deve incluir programação linear. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

486 Métodos Matemáticos em Ciências Naturais 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 315. Introdução à modelagem matemática de métodos de processos naturais incluem análise dimensional e escalonamento, teoria de perturbação, teoria de campo da mecânica contínua, cálculo de variações e aplicações de cadeias de Markov para física, química, biologia e engenharia. Crédito não concedido para MATH 486 e MATH 586. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

490 Tópicos em Matemática V 1-3 Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 9 horas. Pré-requisito do curso: Com permissão do instrutor. Tópicos especiais em matemática. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão.

494 Seminário de Biologia Matemática 1 Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 4 horas. Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 140 com C ou melhor, ou MATH 172 com C ou melhor, ou MATH 182 com C ou melhor BIOLOGIA 101, BIOLOGIA 102, BIOLOGIA 106 ou BIOLOGIA 107. Apresentação oral de abordagens de pesquisa, resultados de pesquisa e revisão da literatura de biologia matemática, incluindo modelagem matemática de sistemas biológicos. (Curso de lista cruzada oferecido como MATEMÁTICA 494, BIOLOGIA 494). Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI. Classificação S, F.

497 Prática instrutiva V 1-2 Pode ser repetida para um máximo de 2 horas de crédito cumulativo. Pré-requisito do curso: Com permissão do instrutor. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

499 Problemas Especiais V 1-4 Pode ser repetido para crédito. O estudo independente conduzido sob a jurisdição de um membro do corpo docente que o aprovou pode incluir estudos de pesquisa independente na seleção de problemas técnicos ou especializados e na análise do desenvolvimento de leituras específicas de um projeto criativo ou experiências de campo. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, F.

500 Proseminar 1 Pode ser repetido para crédito cumulativo máximo de 2 horas. Normalmente oferecido no outono. Classificação S, F.

501 Análise Real 3 Espaços métricos, convergência, funções contínuas, séries infinitas, diferenciação e integração de funções de uma e várias variáveis. A preparação necessária deve incluir cálculo avançado ou análise real. Normalmente oferecido no outono.

502 Introdução à Análise Funcional 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 501. Espaços lineares normados, espaços de Banach, introdução ao espaço de Hilbert, operadores lineares. Preparação necessária: Álgebra linear avançada. Normalmente oferecido na primavera.

503 Complex Analysis 3 Pré-requisito do curso: MATH 501. Funções analíticas, integração complexa, séries de Taylor e Laurent, mapeamento conformado, superfícies de Riemann e continuação analítica. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

504 Medida e integração 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 501. Medida Lebesque, integração Lebesque, diferenciação, espaços L, medida geral e integração, Teorema Radon-Nikodym, medida externa e medidas de produto. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

505 Abstract Algebra 3 Grupos, anéis, campos e álgebra homológica. A preparação necessária deve incluir álgebra abstrata. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

507 Teoria Avançada dos Números 3 Pode ser repetida para um máximo de 6 horas de crédito cumulativo. Teoria analítica e algébrica dos números. Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

508 Métodos Matemáticos Avançados para Física e Engenharia 3 Tratamento avançado de aplicações usando técnicas de análise fundamental, convexidade, teoria da função analítica, assintóticas e equações diferenciais. Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

511 Álgebra Linear Avançada 3 Teoria espectral, teorema de Schur, normalidade, formas canônicas de Jordan, matrizes hermitianas, desigualdades variacionais, normas de matriz, localização de valores próprios, teoria de perturbação de matriz. A preparação necessária deve incluir álgebra linear de graduação de segundo nível. Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

512 Equações Diferenciais Ordinárias 3 Existência de soluções de comportamento qualitativo de sistemas lineares, especialmente soluções periódicas de estabilidade. A preparação necessária deve incluir uma sequência de um ano em cálculo avançado ou análise real. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

516 Simulações numéricas para modelos probabilísticos 3 Geração eficiente de análise estatística de variáveis ​​aleatórias e técnicas de validação de redução da variância Cadeia de Markov Os aplicativos dos métodos Monte Carlo incluem sistemas complexos, modelos financeiros e computação bayesiana. Crédito não concedido para MATH 416 e MATH 516. A preparação necessária deve incluir probabilidade e estatística e experiência em programação. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

524 Topologia Algébrica 3 As técnicas algébricas (grupos, homomorfismos, etc.) para estudar os tópicos de conectividade de espaços incluem complexos simpliciais, homologia, homologia relativa, sequências de Meyer-Vietoris, categorias e functores, cohomologia e dualidade em variedades. Preparação recomendada: análise real e álgebra abstrata. Normalmente oferecido no outono.

525 Topologia geral 3 Conjuntos, espaços métricos, mapeamentos contínuos de espaços topológicos, compactação, conectividade, propriedades locais, espaços funcionais e grupos fundamentais. A preparação necessária deve incluir uma sequência de um ano em cálculo avançado ou análise real. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

529 Topologia Computacional 3 Técnicas topológicas combinadas com algoritmos para encontrar estrutura em complexos simpliciais de dados de nuvens de pontos, algoritmos para homologia e homologia persistente, mapeador e análise de dados topológicos, problemas de homologia ótima. Preparação recomendada: maturidade matemática em nível de graduação sênior e alguma experiência com programação de computadores. Normalmente oferecido na primavera.

531 Intersecções de Cultura e Matemática 3 Diferenças de gênero / raça / etnia consequências sociais influências culturais no desenvolvimento e aprendizagem do papel matemático das mulheres, pessoas de cor na matemática. Crédito não concedido para MATH 431 e 531. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

532 Advanced Mathematical Thinking 3 Course Pré-requisito: Graduate standing in mathematics. Teorias atuais sobre como os humanos aprendem a pensar matematicamente em nível avançado. Normalmente oferecido até mesmo anos - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

533 Teaching College Mathematics 1 Pode ser repetido para crédito acumulado de no máximo 3 horas. Pré-requisito do curso: Graduação em matemática ou ciências estatísticas. Teoria e prática do ensino de matemática em nível colegial. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

534 Teorias de Aprendizagem em Matemática 3 Teorias de aprendizagem de matemática, incluindo behaviorismo, processamento de informação, construtivismo, cognição situada, influência de comunidades de prática no ensino e aprendizagem de matemática. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

535 Paradigmas de Pesquisa em Educação Matemática 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 534. Paradigmas de pesquisa atuais em projetos de pesquisa crítica de pesquisa em educação matemática usados ​​na concepção de artigos de pesquisa em educação matemática atuais e na realização de um projeto de pesquisa. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

536 Computação Estatística 3 (2-3) Pré-requisito do curso: STAT 556. Geração de variáveis ​​aleatórias, simulação de Monte Carlo, métodos de bootstrap e jackknife, algoritmo EM, métodos de Monte Carlo de cadeia de Markov. (Curso na lista cruzada oferecido como STAT 536, MATH 536). Preparação recomendada: Um curso de probabilidade de nível 400 de 3 créditos ou STAT. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

540 Matemática Aplicada I: PDEs 3 Equações diferenciais parciais aplicadas Funções de Bessel da série de Fourier e polinômios de Legendre como harmônicos para discos e bolas Equações de Laplace, calor e separação de variáveis ​​e fórmula de D'Alambert. Crédito não concedido para MATH 440 e MATH 540. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

541 Matemática Aplicada II: Variáveis ​​Complexas 3 Números complexos e funções de valor complexo de funções analíticas de uma variável complexa e diferenciação de equações de Cauchy-Riemann e integração de contorno Teorema integral de Cauchy com aplicações de mapeamento de resíduos da série de Taylor e Laurent conforme a teoria do potencial. Crédito não concedido para MATH 441 e MATH 541. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

543 Métodos Numéricos Estáveis ​​Usando Ortogonalidade 3 Métodos computacionais para estabilizar problemas de equações diferenciais e integrais difíceis e mal postas usando sistemas de funções e aplicações de técnicas de regularização para técnicas de problemas diretos e inversos incluem o uso de wavelets e polinômios ortogonais. A preparação necessária deve incluir uma análise numérica. Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

544 Computações matriciais avançadas 3 Tópicos avançados na solução de sistemas lineares, decomposição de valores singulares e cálculo de valores próprios e vectores próprios (algoritmo de Francis). (Curso na lista cruzada oferecido como MATH 544, CPT S 531). A preparação necessária deve incluir uma análise numérica. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

545 Análise numérica de PDEs parabólicos e hiperbólicos 3 Soluções numéricas de equações diferenciais parciais parabólicas e hiperbólicas com ênfase em tópicos de métodos de diferenças finitas incluem: estabilidade de diferenças finitas, consistência e conservação de choques de convergência de formas. A preparação necessária deve incluir uma análise numérica. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

546 Análise numérica de PDEs elípticos 3 Soluções numéricas de equações diferenciais parciais elípticas com ênfase em métodos de elementos finitos análise de erro por diferença finita. A preparação necessária deve incluir uma análise numérica. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

548 Análise Numérica 3 Fundamentos de computação numérica localização de zeros de funções, aproximação e interpolação integração numérica (quadratura) solução numérica de equações diferenciais ordinárias. (Curso na lista cruzada oferecido como MATH 448, MATH 548, CPT S 430, CPT S 530). A preparação necessária deve incluir equações diferenciais e um curso de programação. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

553 Teoria dos grafos 3 Grafos e suas aplicações, grafos direcionados, árvores, redes, caminhos eulerianos e hamiltonianos, representações matriciais, construção de algoritmos. (Curso da lista cruzada oferecido como MATH 453, MATH 553, CPT S 453, CPT S 553). A preparação necessária deve incluir álgebra linear. Preparação recomendada: MATEMÁTICA 301. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

555 Tópicos em Combinatória 3 Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 6 horas. Combinatória, funções geradoras, relações de recorrência, inclusão-exclusão, projeto experimental da teoria da codificação, teoria dos grafos. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

560 Equações diferenciais parciais I 3 Equações diferenciais parciais e outras equações funcionais: teoria geral, métodos de solução, aplicações. A preparação necessária deve incluir uma sequência de um ano em cálculo avançado ou análise real. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

561 Equações Diferenciais Parciais II 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 560. Continuação da MATEMÁTICA 560. Normalmente oferecido em anos ímpares - Primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

563 Genética Matemática 3 Abordagens matemáticas à genética de populações e teorias de análise de genoma e análises estatísticas de parâmetros genéticos. (Curso na lista cruzada oferecido como MATEMÁTICA 563, BIOLOGIA 566). A preparação necessária deve incluir cálculo multivariado, genética e estatística. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

564 Otimização convexa e não linear 3 Operações de conjuntos e funções convexas preservando convexidade linear, quadrática e otimização cônica teoria da dualidade métodos de ponto interno de otimização suave irrestrita. A preparação necessária deve incluir cálculo multivariado avançado e uma linguagem de programação. Preparação recomendada: Conhecimentos em otimização linear e álgebra linear numérica. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

565 Análise Nonsmooth e otimização com aplicativos 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 564. Subgradiente de convexidade e continuidade de funções de valor real estendido, funções conjugadas e condição de otimização minimização alternada métodos de subgradiente projetados métodos de direção alternada de aplicações de multiplicadores em aprendizagem estatística. A preparação necessária deve incluir uma análise real e o domínio de uma linguagem de programação. Normalmente oferecido até mesmo anos - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

566 Otimização em Redes 3 Formulação e solução de problemas de otimização de rede incluindo caminho mais curto, fluxo máximo, fluxo de custo mínimo, atribuição, cobertura, carteiro e vendedor. Crédito não concedido para MATH 466 e MATH 566. A preparação necessária deve incluir programação linear. Oferecido nos níveis 400 e 500. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

567 Otimização Inteira e Combinatória 3 Teoria e aplicações de otimização inteira e combinatória incluindo enumerativa, plano de corte, redução de base, relaxação e métodos de correspondência. A preparação necessária deve incluir a otimização linear. Normalmente oferecido em anos ímpares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

568 Teoria Estatística I 3 Espaços de probabilidade, combinatória, variáveis ​​aleatórias multidimensionais, função característica, distribuições especiais, teoremas limite, processos estocásticos, estatísticas de ordem. (Curso na lista cruzada oferecido como STAT 548, MATH 568). Preparação recomendada: Cálculo III e um curso de probabilidade de nível 400 com 3 créditos. Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

569 Teoria Estatística II 3 Pré-requisito do curso: STAT 548 ou MATH 568. Estimativa de inferências estatísticas e teste de hipóteses, análise de regressão, análise sequencial e métodos não paramétricos. (Curso na lista cruzada oferecido como STAT 549, MATH 569). Normalmente oferecido na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

570 Mecânica Contínua 3 Apresentação unificada dos princípios comuns a todos os ramos da mecânica dos sólidos e fluidos: fluidos viscosos, elasticidade, viscoelasticidade e plasticidade. (Curso da lista cruzada oferecido como ME 501, MATH 570.) Cooperativa: Aberta a alunos que buscam um diploma da UI.

571 Fundamentos matemáticos da mecânica contínua II 3 Pré-requisito do curso: MATEMÁTICA 570. Continuação da MATEMÁTICA 570. Normalmente oferecido em anos pares - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

574 Tópicos em Otimização 3 Podem ser repetidos para um máximo de 12 horas de crédito acumulado. Tópicos avançados na teoria e metodologia de computação em otimização com ênfase em implementações algorítmicas da vida real. A preparação necessária deve incluir cálculo multivariável avançado e uma linguagem de programação. Normalmente oferecido até mesmo anos - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

575 Precificação de Ativos em Engenharia Financeira 3 Métodos matemáticos para diversos modelos de avaliação de ações e opções, com rigorosa análise matemática de precificação e técnicas de hedge. Preparação recomendada: Cálculo avançado e algum conhecimento em equações diferenciais. Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

576 Quantitative Risk Management 3 Conceitos fundamentais em teoria de risco moderna e métodos matemáticos em gestão de risco quantitativa medidas de risco coerentes, modelagem de volatilidade, análise de dependência multivariada usando cópulas, agregação e alocação de risco e teoria de valor extremo. Normalmente oferecido até mesmo anos - primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

579 Modelagem Matemática nas Ciências Biológicas e da Saúde 3 Técnicas, teoria e literatura atual em modelagem matemática nas ciências biológicas e da saúde, incluindo simulação computacional. (Curso oferecido como BIOLOGIA 579, MATEMÁTICA 579). Normalmente oferecido em anos ímpares - outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

581 Tópicos em Matemática V 1-3 Pode ser repetido para crédito. Tópicos em matemática. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

583 Tópicos em Matemática Aplicada V 1-3 Pode ser repetido para crédito. Tópicos em matemática aplicada. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

586 Métodos Matemáticos em Ciências Naturais 3 Introdução à modelagem matemática de métodos de processos naturais incluem análise dimensional e escalonamento, teoria de perturbação, teoria de campo da mecânica contínua, cálculo de variações e aplicações de cadeias de Markov para física, química, biologia e engenharia. Crédito não concedido para MATH 486 e MATH 586. A preparação necessária deve incluir equações diferenciais. Oferecido nos níveis 400 e 500.Normalmente oferecido no outono. Cooperativa: aberta a alunos que buscam um diploma de UI.

587 Tópicos em Álgebra e Álgebra Linear V 1-3 Pode ser repetido para crédito. Tópicos avançados de álgebra e álgebra linear. Preparação recomendada: dois semestres de álgebra linear e um semestre de álgebra abstrata. Normalmente oferecido no outono.

588 Tópicos em Matemática Computacional V 1-3 Pode ser repetido para crédito. Tópicos avançados em matemática computacional. Preparação recomendada: um semestre de análise numérica. Normalmente oferecido na primavera.

588 (em vigor até o verão de 2021) Tópicos em matemática computacional V 1-3 Podem ser repetidos para crédito. Tópicos avançados de álgebra e álgebra linear. Preparação recomendada: um semestre de análise numérica. Normalmente oferecido na primavera.

589 Tópicos em Análise V 1-3 Tópicos avançados em análise matemática. Preparação recomendada: um semestre de análise de graduação. Normalmente oferecido na primavera.

590 Tópicos em Educação Matemática V 1-3 Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 6 horas. Tópicos em educação matemática. Normalmente oferecido no outono e na primavera.

591 Seminário de Biologia Matemática 1º Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 10 horas. Pesquisa atual em biologia matemática. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, F.

592 Seminário em Análise 1 Pode ser repetido para crédito acumulado de no máximo 10 horas. Pesquisa atual em análise. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

593 Seminário em Combinatória, Álgebra Linear e Teoria dos Números 1 Pode ser repetido para crédito acumulado de no máximo 10 horas. Pesquisa atual em combinatória, álgebra linear e teoria dos números. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, F.

594 Seminário de Educação Matemática 1 Pode ser repetido para crédito acumulado máximo de 10 horas. Pesquisa atual em educação matemática. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, F.

597 Seminário de Instrução de Matemática 1 Pode ser repetido para crédito acumulado de no máximo 5 horas. Introdução ao ensino de matemática universitária. Normalmente oferecido no outono e na primavera. Classificação S, F.

600 Projetos Especiais ou Estudo Independente V 1-18 Pode ser repetido para obter crédito. Estudo independente, projetos especiais e / ou estágios. Os alunos devem ter o status de candidato a diploma de pós-graduação e devem verificar com seu orientador principal antes de se inscrever no crédito de 600, que não pode ser usado para os créditos básicos necessários para um diploma de pós-graduação. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, F.

702 Problemas Especiais do Mestrado, Estudo Dirigido e / ou Exame V 1-18 Pode ser repetido para crédito. Pesquisa independente em problemas especiais, estudo dirigido e / ou crédito de exame para alunos em um programa de mestrado não relacionado à tese. Os alunos devem ter status de pós-graduação em busca de diploma e devem verificar com seu conselheiro principal / presidente do comitê antes de se inscrever para obter 702 créditos. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, U.

800 Pesquisa de Doutorado, Dissertação e / ou Exame V 1-18 Pode ser repetido para obter crédito. Pré-requisito do curso: Inscrito no programa de Doutorado em Matemática. Pesquisa independente e estudo avançado para alunos trabalhando em sua pesquisa de doutorado, dissertação e / ou exame final. Os alunos devem ter status de pós-graduação em busca de diploma e devem verificar com seu conselheiro principal / presidente do comitê antes de se inscrever para 800 créditos. Normalmente oferecido no outono, primavera e verão. Classificação S, U.


Nota bene.

Esta resposta tem 20 votos positivos agora, mas é não pretende ser um endosso de std :: valarray .

Na minha experiência, é melhor gastar tempo instalando e aprendendo a usar uma biblioteca de matemática completa, como a Eigen. Valarray tem menos recursos do que a concorrência, mas não é mais eficiente ou particularmente mais fácil de usar.

Se você só precisa de um pouco de álgebra linear e está decidido a não adicionar nada à sua cadeia de ferramentas, talvez valarray se encaixe. Mas ficar preso e incapaz de expressar a solução matematicamente correta para o seu problema é uma posição muito ruim para se estar. A matemática é implacável e implacável. Use a ferramenta certa para o trabalho.

A biblioteca padrão fornece std :: valarray & ltdouble & gt. std :: vector & lt & gt, sugerido por alguns outros aqui, destina-se a ser um contêiner de uso geral para objetos. valarray, menos conhecido porque é mais especializado (não usando "especializado" como o termo C ++), tem várias vantagens:

  • Ele não aloca espaço extra. Um vetor é arredondado para a potência de dois mais próxima ao alocar, portanto, você pode redimensioná-lo sem realocar todas as vezes. (Você ainda pode redimensionar um valarray, ele ainda é tão caro quanto realloc ().)
  • Você pode cortá-lo para acessar linhas e colunas facilmente.
  • Os operadores aritméticos funcionam conforme o esperado.

Obviamente, a vantagem de usar C é que você não precisa gerenciar a memória. As dimensões podem residir na pilha ou em um objeto de fatia.


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OK. Esta é a aula onze de álgebra linear. E no final da aula dez, eu estava falando sobre alguns espaços vetoriais, mas eles - as coisas nesses espaços vetoriais não eram o que normalmente chamamos de vetores.

No entanto, você pode adicioná-los e multiplicá-los por números, para que possamos chamá-los de vetores.

Acho que o exemplo com que estava trabalhando eram matrizes.

Então o - então nós tínhamos como um espaço de matriz, o espaço de todas as três por três matrizes.

E eu gostaria de pegar nisso, porque - nós fomos muito específicos sobre o espaço n dimensional aqui, e você realmente quer ver que as mesmas ideias funcionam, contanto que você possa somar e multiplicar por escalares.

Então, esses novos espaços vetoriais, o exemplo que peguei foi o espaço M de todas as matrizes três por três.

Posso adicioná-los, posso multiplicar por escalares.

Posso multiplicar dois deles juntos, mas não faço isso.

Isso não faz parte da imagem do espaço vetorial.

A parte do espaço vetorial está apenas adicionando as matrizes e multiplicando por números.

E tudo bem, ficamos dentro desse espaço de três por três matrizes.

E eu tinha alguns subespaços que eram interessantes, como o simétrico, o subespaço de matrizes simétricas, simétrico três por três.

Ou o subespaço do triangular superior três por três.

Agora eu, uso a palavra subespaço porque segue a regra.

Se eu adicionar duas matrizes simétricas, ainda sou simétrico.

Se eu multiplicar duas matrizes simétricas, o produto é automaticamente simétrico?

Mas não estou multiplicando matrizes.

Da mesma forma, se eu adicionar duas matrizes triangulares superiores, ainda sou triangular superior.

Agora, quero apenas tomar isso como exemplo e perguntar, bem, qual é a base para esse subespaço?

Qual é a dimensão desse subespaço?

E qual é a dimensão bd de todo o espaço?

Portanto, há uma base natural para todas as matrizes três por três, e por que simplesmente não a escrevemos?

Novamente, todos os três em três.

E então contarei quantos membros estão nessa base e conhecerei a dimensão.

E tudo bem, vai demorar um pouco.

Na verdade, qual é a dimensão?

Alguma ideia do que vou fazer a seguir?

Quantos números são necessários para especificar essa matriz três por três?

Nove. Nove é a dimensão que vou encontrar.

E a base mais óbvia seria a matriz que é essa matriz e então essa matriz com um ali e esses são dois deles, devo colocar no terceiro, e depois em diante, e o último talvez terminaria com um.

OK. Essa é a base padrão.

Na verdade, nosso espaço é praticamente igual ao espaço de nove dimensões.

São apenas os nove números escritos em um quadrado em vez de em uma coluna.

Mas de alguma forma é diferente e deve ser pensado como natural por si mesmo.

Porque agora e quanto ao três por três simétrico?

Vamos apenas pensar, qual é a dimensão desse subespaço e qual é a base para esse subespaço.

OK. E eu acho que essa pergunta me ocorre.

Se eu olhar para este subespaço de três por três simétricos, bem, quantos desses membros da base original pertencem ao subespaço?

Eu acho que apenas três deles fazem.

Este último é simétrico.

E aquele no meio com um, com um naquela posição - na posição dois dois, seria simétrico.

Mas então eu tenho três destes nove originais são simétricos, mas, então este é um exemplo onde - mas isso não é tudo, certo?

Vamos anotar as dimensões.

A dimensão de, de M, era nove.

Qual é a dimensão de - devemos chamar isso de S - é o quê?

Qual é a dimensão disso?

Estou pegando exemplos simples em que podemos, podemos localizar a resposta a essas perguntas.

Então, quantos - se eu tiver um simétrico - pense em todas as matrizes simétricas como um subespaço, quantos parâmetros devo escolher em três por três matrizes simétricas?

Se eu escolher a diagonal que é três e as três entradas acima da diagonal, então sei quais são as três entradas abaixo.

Eu acho que a dimensão disso aqui?

Vamos chamar esse espaço de U para triangular superior.

Então, qual é a dimensão desse espaço de todos os triangulares superiores três por três?

E, mas não temos - não vimos - bem, na verdade, talvez tenhamos uma base aqui para os triangulares superiores.

Acho que seis desses caras, um, dois, três, quatro e um, e mais alguns, seriam triangulares superiores.

Portanto, há um caso acidental em que a grande base contém uma base para o subespaço.

Mas com o cara simétrico, não tinha.

O cara simétrico, a base - você vê - uma base é a base para o grande espaço, geralmente precisamos pensar tudo de novo para obter uma base para o subespaço.

E então como obtenho outros subespaços?

Bem, já falamos sobre o subespaço, as matrizes simétricas e o triangular superior.

Isso é simétrico e triangular superior.

Qual é, qual é a dimensão desse espaço?

Então, o que é - se uma matriz é simétrica e também triangular superior, isso a torna diagonal.

Portanto, isso é o mesmo que as matrizes diagonais, diagonais três por três.

E a dimensão disso, de S cruza U, certo - você está bem com esse símbolo?

Ou seja, esses são os vetores que estão em S e U, e isso é D.

Portanto, S intersecta U são as diagonais.

E a dimensão das matrizes diagonais é três.

E nós temos uma base, sem problemas.

Ok, enquanto escrevo isso, acho, ok, que tal colocar - então isso é tipo, essa interseção - é pegar todos os vetores que estão em ambos, que são simétricos e também triangulares superiores.

Agora olhamos para o sindicato.

Suponha que eu pegue as matrizes simétricas ou triangulares superiores.

O que - por que isso não era bom?

Então, por que não - por que não estou interessado na união, reunindo esses dois subespaços?

Então isso, essas são matrizes que estão em S ou em U, ou possivelmente em ambas, então elas, as diagonais incluídas.

É como pegar, você sabe, algumas linhas no avião e parar ali.

Uma linha - isto é - então há um subespaço tridimensional de um espaço nove dimensional, há - ooh, desculpe, seis.

Há um subespaço de seis dimensões de um espaço de nove dimensões.

Mas eles estão indo em direções diferentes, então nós, não podemos simplesmente colocá-los juntos.

Para obter esse espaço maior que vou escrever com um sinal de mais, são combinações de coisas em S e coisas em U.

Então esse é o espaço final que vou apresentar.

Eu tenho alguns subespaços.

Posso pegar o cruzamento deles.

E agora estou interessado não em sua união, mas em sua soma.

Portanto, esta seria a, esta é a interseção e esta será a soma deles.

Então, o que eu preciso para um subespaço aqui?

Eu aceito qualquer coisa em S mais qualquer coisa em U.

Eu não pego apenas coisas que estão em S e aparecem também, separadamente, coisas que estão em U.

Esta é a soma de qualquer elemento de S, ou seja, qualquer matriz simétrica, mais qualquer em U, qualquer elemento de U.

OK. Agora, desde que tenhamos um exemplo aqui, diga-me o que temos.

Se eu pegar todas as matrizes simétricas, pegar todas as matrizes simétricas e adicioná-las a todas as matrizes triangulares superiores, então terei muitas matrizes e é um subespaço.

E o que é - é um espaço vetorial, e que espaço vetorial eu teria então?

Alguma ideia do quê, que matrizes posso obter de um triangular simétrico mais um triangular superior?

Eu consigo todos os três em três.

Vale a pena pensar nisso.

É como esticar um pouco a sua mente para pensar nesses subespaços e em qual é sua interseção e qual é sua soma.

E agora posso lhe dar um pouco - bem, vamos descobrir a dimensão.

Então, qual é a dimensão de S mais U?

Neste exemplo, é nove, porque obtivemos todos os três em três.

Assim, os espaços originais tinham, o espaço simétrico original tinha dimensão seis e o espaço triangular superior original tinha dimensão seis.

E na verdade estou vendo aqui uma boa fórmula.

Que a dimensão de S mais a dimensão de U - se eu tiver dois subespaços, a dimensão de um mais a dimensão do outro - é igual à dimensão de sua interseção mais a dimensão de sua soma.

Seis mais seis são três mais nove.

Isso é meio que satisfatório, que essas operações naturais - e nós - é isso, na verdade, este é o conjunto de coisas naturais para fazer, com subespaços.

Isso, as dimensões saem de um jeito bom.

OK. Talvez eu pegue apenas mais um exemplo de um espaço vetorial que não contém vetores.

Vem de equações diferenciais.

Portanto, este é mais um novo espaço vetorial ao qual daremos apenas alguns minutos.

Suponha que eu tenha uma equação diferencial como d ^ 2y / dx ^ 2 + y = 0. OK.

Eu vejo as soluções para essa equação.

Então, quais são as soluções para essa equação?

y = cos (x) é uma solução. y = sin (x) é uma solução.

y é igual a - bem, e para (ix) é uma solução, se você quiser, se me permitir colocá-la.

Mas por que eu deveria colocar isso?

Veja, estou realmente olhando para um espaço nulo aqui.

Estou olhando para o espaço nulo de uma equação diferencial.

E descreva o espaço de solução, todas as soluções para esta equação diferencial.

Portanto, a equação é y '' + y = 0. Cosseno, cosseno é uma solução, seno é uma solução.

Agora me diga todas as soluções.

Eles são - então eu não preciso de e ^ (ix). Esqueça isso.

Quais são todas as soluções completas?

A solução completa é y igual a algum múltiplo do cosseno mais algum múltiplo do seno.

Qual é a dimensão desse espaço?

Qual é a base para esse espaço?

OK, deixe-me perguntar primeiro uma base.

Se eu pegar o conjunto de soluções para essa equação diferencial de segunda ordem - aí está, essas são as soluções.

Qual é a base para esse espaço?

Agora lembre-se, qual é, que pergunta eu

Perguntando? Porque se você sabe o que estou perguntando, você verá a resposta.

Uma base significa que todos os caras no espaço são combinações desses vetores de base.

Bem, esta é uma base. sen x, cos x existe uma base.

Esses dois - eles são como as soluções especiais, certo?

Tínhamos soluções especiais para Ax = b.

Agora temos soluções especiais para equações diferenciais.

Desculpe, tínhamos soluções especiais para Ax = 0, falei mal.

As soluções especiais eram para o espaço nulo, assim como aqui estamos falando sobre o espaço nulo.

Você vê que aqui está um - aqueles dois - e qual é a dimensão do espaço da solução?

Quantos vetores nesta base?

Essa é a única base para este espaço?

De jeito nenhum. e ^ (ix) e e ^ (- ix) seriam outra base.

Mas você vê que realmente o que é um curso em diferencial - em equações diferenciais lineares é encontrar uma base para o espaço de solução.

A dimensão do espaço de solução sempre será - será dois, porque temos uma equação de segunda ordem.

Então isso é, como se houvesse 18,03 em - cinco minutos de 18,06 é o suficiente para, para cuidar de 18,03. Portanto, há um - este é mais um exemplo.

E, claro, o ponto do exemplo é que essas coisas não parecem vetores.

Mas podemos chamá-los de vetores, porque podemos adicioná-los e podemos multiplicar por constantes, então podemos tomar combinações lineares.

É tudo o que devemos fazer.

Então é realmente por isso que essa ideia de álgebra linear e base e dimensão e assim por diante desempenha um papel mais amplo do que - nossas discussões constantes de matrizes m por n.

Isso é o que eu queria dizer sobre esse assunto.

Agora, é claro, a chave, número associado a matrizes, para voltar a esse número, é a classificação.

E a classificação, o que sabemos sobre a classificação?

Bem, sabemos que não é maior do que me não é maior do que n.

Então, eu gostaria de ter uma pequena discussão sobre a classificação.

Portanto, estou pegando esse tópico de matrizes de classificação um.

E o motivo pelo qual estou interessado em matrizes de classificação um é que elas devem ser simples.

Se a classificação for apenas uma, a matriz não pode fugir de

nós. Por exemplo, deixe-me ver - deixe-me criar uma matriz de classificação um.

OK. Suponha que seja três - suponha que seja dois por três.

E deixe-me dar a você a primeira linha.

O que pode ser a segunda linha?

Diga-me uma possível segunda linha aqui, pois, para esta matriz ter a classificação um.

A segunda linha é um múltiplo da primeira linha.

Então me diga uma base para - oh sim, desculpe por continuar trazendo essas mesmas questões.

Depois do teste, vou parar, mas por enquanto, diga-me uma base para o espaço de linha.

Uma base para o espaço de linha dessa matriz é a primeira linha,

certo? A primeira fila, um quatro cinco.

Uma base para o espaço da coluna desta matriz é?

Qual é a dimensão do espaço da coluna?

A dimensão do espaço da coluna também é um,

certo? Porque também é a classificação.

A dimensão - você lembra que a dimensão do espaço da coluna é igual à classificação é igual à dimensão do espaço da coluna da transposta, que é o espaço da linha de A.

OK, e neste caso é um, r é um.

E com certeza, todas as colunas são - todas as outras colunas são múltiplos dessa coluna.

Agora há - deve haver uma boa maneira de ver isso, e aqui está.

Posso escrever essa matriz como sua coluna pivô, um dois, vezes seu - vezes um quatro cinco.

Uma coluna vezes uma linha, uma coluna vezes uma linha me dá uma matriz, certo?

Se eu multiplicar uma coluna por uma linha, isso, g- é uma matriz dois por um vezes uma matriz um por três, e o resultado da multiplicação é dois por três.

Então o que eu quero - meu ponto é as matrizes de classificação um que toda matriz de classificação tem a forma alguma coluna vezes alguma linha.

Então U é um vetor coluna, V é um vetor coluna - mas eu o transformo em uma linha colocando em V transposta.

Então esse é o quadro completo das matrizes de classificação um.

Estaremos interessados ​​em matrizes de classificação um.

Mais tarde encontraremos, oh, seu determinante, isso será fácil, seus autovalores, isso será interessante.

Matrizes de classificação um são como os blocos de construção de todas as matrizes.

E, na verdade, talvez você possa adivinhar.

Se eu pegasse qualquer matriz, uma matriz de cinco por dezessete de classificação quatro, então parece bastante provável - e é verdade, que eu poderia quebrar essa matriz de cinco por dezessete como uma combinação de matrizes de classificação um.

E provavelmente de quantos deles eu precisaria?

Se eu tiver uma matriz de cinco por dezessete de classificação quatro, vou precisar de quatro delas, certo.

Portanto, as matrizes de classificação um são os blocos de construção.

E fora - eu posso produzir cada, posso produzir cada cinco por - cada matriz de classificação quatro de quatro matrizes de classificação um.

Isso me leva a uma pergunta, é claro.

As matrizes de classificação quatro formariam um subespaço?

Deixe-me pegar todas as matrizes de cinco por dezessete e pensar sobre a classificação quatro - o subconjunto das matrizes de classificação quatro.

Deixe-me - vou anotar isso.

Parece que estou revisando para o questionário, porque estou fazendo o tipo de perguntas que são curtas o suficiente, mas - que revelam, você sabe o que essas palavras significam.

Então eu pego - meu espaço de matriz M agora é todas as matrizes de cinco por dezessete.

E agora a pergunta que faço é o subconjunto de matrizes de classificação quatro, isso é um subespaço?

Se eu adicionar uma matriz de - então, se eu multiplicar uma matriz de classificação quatro por - de classificação quatro ou menos, digamos, porque eu tenho que deixar a matriz zero entrar se for um subespaço.

Mas, mas isso não só porque a matriz zero entrou lá não significa que eu tenho um subespaço.

Portanto, se eu - então, a questão realmente se resume a - se eu adicionar duas matrizes de classificação quatro, a soma é classificação quatro?

Se eu adicionar duas matrizes de quatro ordens, a soma é provavelmente - o que eu poderia dizer sobre a soma?

Bem, na verdade, bem, a classificação pode ser cinco.

É um fato geral, na verdade, que a classificação de A mais B não pode ser maior do que a classificação de A mais a classificação de B.

Então, isso diria que se eu adicionasse dois deles, a classificação não poderia ser maior do que oito, mas eu sei que na verdade a classificação não poderia ser tão grande quanto oito de qualquer maneira.

Qual - quão grande poderia ser a classificação, para, para a classificação de uma matriz em M?

Pode ser tão grande quanto cinco, certo, certo.

Então, eles são todos tipo de ideias naturais.

Portanto, são matrizes de classificação quatro ou matrizes de classificação um - deixe-me, deixe-me mudar isso para a classificação um.

Deixe-me pegar o subconjunto das matrizes de classificação um.

Se eu adicionar uma matriz de classificação um a uma matriz de classificação um?

É mais provável que tenha a segunda posição.

Então, isso é - eu apenas farei isso.

OK. OK. Esses são tópicos que eu queria, apenas preencher as, as palestras anteriores.

Vou fazer mais uma pergunta de subespaço, um, um mais, um mais, exemplo provável.

Suponha que eu esteja dentro - deixe-me colocar, coloque este exemplo em um novo quadro.

Suponha que eu esteja em R, em R ^ 4. Portanto, meu vetor típico em R ^ 4 tem quatro componentes, v1, v2, v3 e v4. Suponha que eu pegue o subespaço de vetores cujos componentes somam zero.

Então, eu deixo S ser todo v, todos os vetores v no espaço quadridimensional com v1 + v2 + v3 + v4 = 0.

Então, eu só quero considerar esse monte de vetores.

É um subespaço, em primeiro lugar?

O que é - como vemos isso?

I - formalmente devo verificar.

Se eu tiver um vetor cujas componentes somam zero e multiplico esse vetor por seis - as componentes ainda somam zero, apenas seis vezes como - seis vezes zero.

Se eu tiver alguns v e um we adicioná-los, os, os componentes ainda somam zero.

Qual é a dimensão desse espaço e qual é a base dele?

Então você vê como posso apenas descrever um espaço e nós - podemos pedir a dimensão - pedimos primeiro a base e a dimensão.

Claro, a dimensão é aquela que é fácil de me dizer em uma única palavra.

Qual é a dimensão do nosso subespaço S aqui?

E uma base me diga - alguns vetores nela.

Bem, vou pedir novamente para adivinhar a dimensão.

Agora, como isso se conecta ao nosso Ax = 0? Este é o espaço nulo de algo?

Esse é o espaço nulo de uma matriz?

E então podemos olhar para a matriz e sabemos tudo sobre esses subespaços.

Este é o espaço nulo de qual matriz?

Qual é a matriz onde o espaço nulo é Ab = 0. Então, eu quero que essa equação seja Ab = 0. b agora é o vetor.

E qual é a matriz que estamos vendo lá?

É a matriz de quatro unidades.

Você vê que isso é - que se eu olhar para Ab = 0 para esta matriz A, eu multiplico por be recebo este requisito, que os componentes somam zero.

Portanto, estou realmente falando sobre S - estou falando sobre o espaço nulo dessa matriz.

Digamos que agora temos uma matriz, queremos seu espaço nulo.

Bem, nós - diga-me a sua classificação primeiro.

A classificação dessa matriz é uma, obrigado.

Qual é a fórmula geral para a dimensão do espaço nulo?

A dimensão do espaço nulo de uma matriz é - em geral, uma matriz m por n de posto r?

Quantos caras independentes no espaço nulo? n-r, certo? n-r. Nesse caso, n é quatro, quatro colunas.

A classificação é um, então o espaço nulo tem três dimensões.

Então, é claro, você poderia ver isso neste caso, mas também pode ver aqui em nossa maneira sistemática de lidar com os quatro subespaços fundamentais de uma matriz. Então, o que realmente, quais são os quatro subespaços

então? O espaço da linha está livre.

O espaço da linha está em R ^ 4. Sim, podemos pegar os quatro subespaços fundamentais desta matriz?

Vamos apenas matar este exemplo.

O espaço da linha é unidimensional.

É tudo múltiplo disso, dessa linha.

O espaço nulo é tridimensional.

Oh, é melhor você me dar uma base para o espaço nulo.

Então, qual é a base para o espaço nulo?

Para encontrar as soluções especiais, procuro as variáveis ​​livres.

As variáveis ​​livres aqui são - aí está o pivô.

As variáveis ​​livres são dois, três e quatro.

Portanto, a base, base para S, para S será - estou esperando três vetores, três soluções especiais.

Eu dou o valor um para aquela variável livre, e qual é a variável pivô se - isto vai ser um vetor em S?

Agora eles são sempre adicionados a - as entradas somam zero.

A segunda solução especial tem um na segunda variável livre e, novamente, um menos um o torna correto.

O terceiro tem um na terceira variável livre e, novamente, um menos o torna correto.

Essa é a resposta que eu estaria procurando.

A - uma base para este subespaço S, você apenas listaria três vetores, e esses seriam os três naturais a serem listados.

Não os únicos três possíveis, mas esses são os três especiais.

OK, fale-me sobre o espaço de coluna, qual é o espaço de coluna desta matriz A?

Portanto, o espaço da coluna é um subespaço de R ^ 1, porque m é apenas um.

As colunas possuem apenas um componente.

Então, o espaço de coluna de S, o espaço de coluna de A está em algum lugar no espaço R ^ 1, porque nós só temos - essas colunas são curtas.

E qual é o espaço da coluna, na verdade?

Eu só estou falando com essas palavras.

O espaço da coluna para essa matriz é R ^ 1. O espaço da coluna para essa matriz são todos os múltiplos dessa coluna.

E todos os múltiplos fornecem R ^ 1. E o que é, o quarto espaço restante, o espaço nulo de A transposta é o quê?

Procuramos combinações das colunas agora que dão zero para uma transposta.

A única coisa, a única combinação dessas linhas para dar a linha zero é a combinação zero.

OK. Então, vamos apenas verificar as dimensões.

O espaço nulo tem dimensão três.

O espaço da linha tem dimensão um.

O espaço da coluna tem dimensão um, e qual é a dimensão deste, tipo, o menor espaço possível?

Qual é a dimensão do espaço zero?

Quer dizer, vamos - temos que aceitar uma resposta razoável - e a única resposta razoável é zero.

Então, um mais zero dá - este era n, o número de colunas, e este é m, o número de linhas.

E vamos apenas, deixe-me dizer novamente então o, o, o subespaço que tem apenas aquele ponto, aquele ponto é dimensional zero, é claro.

E a base está vazia, porque se a dimensão for zero, não deveria haver ninguém na base.

Portanto, a base desse menor subespaço é o conjunto vazio.

E o número de membros no conjunto vazio é zero, então essa é a dimensão.

Agora tenho apenas cinco minutos para falar sobre - bem, na verdade, sobre alguns, alguns, alguns, este é agora, este último tópico de pequenos gráficos de mundo e leva a uma palestra sobre gráficos e álgebra linear.

Mas deixe-me dizer-lhe - nestes últimos minutos o gráfico que me interessa.

É o gráfico onde - então, o que é um gráfico?

Melhor dizer isso primeiro.

Não estamos, não estou pensando em alguma curva sinusoidal.

A palavra gráfico é usada de uma maneira completamente diferente.

É um conjunto de, um monte de nós e arestas, arestas conectando os nós.

Portanto, tenho nós como cinco nós e arestas - colocarei algumas arestas, poderia colocar, incluir todos eles.

Há - bem, deixe-me acrescentar mais alguns.

Há um grafo com cinco nós e um dois três quatro cinco seis arestas.

E uma matriz de cinco por seis vai nos dizer tudo sobre esse gráfico.

Deixe-me deixar essa matriz para a próxima vez e falar sobre a questão na qual estou interessado.

Suponha, suponha que o gráfico não seja justo, apenas não tenha apenas cinco nós, mas suponha que cada, suponha que cada pessoa nesta sala seja um nó.

E suponha que haja uma borda entre dois nós se essas duas pessoas forem amigas.

Então, eu descrevi um gráfico?

É um gráfico bem grande, cem, cem nós.

E não sei quantas arestas existem.

Há uma vantagem se vocês são amigos.

Então esse é o gráfico para esta classe.

A, um gráfico semelhante que você poderia obter para todo o país, então duzentos e sessenta milhões de nós.

E limites entre amigos.

E a questão para esse gráfico é quantos passos são necessários para ir de uma pessoa para outra?

Quais são as duas pessoas mais distantes neste gráfico de amizade, digamos, para os EUA?

Por mais distante, quero dizer a distância de - bem, vou lhe contar minha distância até Clinton.

Acontece que fui para a faculdade com alguém que conhece Clinton.

Portanto, minha distância para Clinton não é única, porque eu não, felizmente ou não, não o conheço.

Mas eu conheço alguém que sabe.

Ele é um senador, então presumo que o conheça.

Não sei qual é a sua - bem, qual é a sua distância até Clinton?

Bem, não mais do que três, certo.

Eu levo o crédito por reduzir sua distância de Clinton para três - qual é a sua distância para Monica.

Não, qualquer pessoa abaixo - abaixo de quatro está com problemas aqui.

Então - e qual é a distância de Hillary para Monica?

Não acho melhor gravarmos isso aqui.

Eu não - bem, não vamos pensar mais sobre isso.

Então, na verdade, a verdadeira questão é o que são grandes distâncias?

Como, a que distância as pessoas poderiam ser separadas?

E mais ou menos esse número seis graus de separação apareceu como o título do filme, como o título do livro, e tem esse significado.

Isso grosso modo - seis pode ser bastante - não muitas pessoas.

Se você se sentar ao lado de alguém em um avião, você começa a falar com ele.

Você começa a discutir amigos em comum para descobrir, OK, quais conexões você tem, e muito freqüentemente descobrirá que está conectado em, tipo, duas, três ou quatro etapas.

E você observa, é um mundo pequeno, e foi assim que surgiu essa expressão mundo pequeno.

Mas seis, não sei se você conseguiria encontrar - se levasse seis, não sei se você conseguiria descobrir esses seis em uma, em uma conversa de avião.

Mas aqui está a questão matemática, e vou deixá-la para a próxima, para a aula doze, e fazer um monte de álgebra linear na aula doze.

Mas o interessante é que, com alguns atalhos, as distâncias diminuem drasticamente.

Isso, quero dizer, todas as suas distâncias até Clinton caem imediatamente para três ao se estudar álgebra linear.

Isso é, tipo, um bônus extra por estudar álgebra linear.

E para entender matematicamente o que há com esses gráficos - ou como os gráficos da World Wide Web.

Muitas pessoas gostariam de entender e modelar a web.

O que - onde as bordas estão os links e os nós, sites, websites.

Vou deixá-los com esse gráfico, e vejo vocês - tenham um bom fim de semana e nos vemos na segunda-feira.


Tutorial básico e referência rápida do MathJax

Para ver como qualquer fórmula foi escrita em qualquer pergunta ou resposta, incluindo esta, clique com o botão direito do mouse na expressão e escolha & quotMostrar matemática como & gt Comandos do TeX & quot. (Quando você faz isso, o '

23: 12 Tarefa Pré-Aula - Espaços Matrix - Matemática

Esta seção pretende ser um resumo de muitos dos conceitos básicos que são usados ​​ocasionalmente no trabalho com sistemas de equações diferenciais. Não haverá muitos detalhes nesta seção, nem trabalharemos muitos exemplos. Além disso, em muitos casos, não estaremos olhando para o caso geral, uma vez que não precisamos que os casos gerais em nossas equações diferenciais funcionem.

Vamos começar com algumas notações básicas para matrizes. Um (n vezes m ) (frequentemente chamado de Tamanho ou dimensão da matriz) matriz é uma matriz com (n ) linhas e (m ) colunas e a entrada no (i ^ < texto> ) linha e (j ^ < text> ) coluna é denotada por (a_). Um método curto para escrever uma matriz geral (n vezes m ) é o seguinte.

O tamanho ou dimensão de uma matriz é subscrito conforme mostrado, se necessário. Se não for necessário ou claro do problema, o tamanho subscrito é frequentemente retirado da matriz.

Matrizes Especiais

Existem algumas matrizes “especiais” por aí que podemos usar ocasionalmente. A primeira matriz especial é a matriz quadrada. Uma matriz quadrada é qualquer matriz cujo tamanho (ou dimensão) é (n vezes n ). Em outras palavras, possui o mesmo número de linhas que colunas. Em uma matriz quadrada, a diagonal que começa na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita é muitas vezes chamada de diagonal principal.

As próximas duas matrizes especiais que queremos examinar são a matriz zero e a matriz de identidade. O matriz zero, denotado (0_), é uma matriz cujas entradas são zeros. O matriz de identidade é uma matriz quadrada (n vezes n ), denotada (I_), cujas diagonais principais são todas 1's e todos os outros elementos são zero. Aqui estão o zero geral e as matrizes de identidade.

Na aritmética de matrizes, essas duas matrizes atuarão no trabalho matricial como zero e um atuará no sistema de números reais.

As duas últimas matrizes especiais que veremos aqui são as matriz de coluna e a matriz de linha. Essas são matrizes que consistem em uma única coluna ou uma única linha. Em geral, eles são,

Frequentemente nos referiremos a eles como vetores.

Aritmética

Em seguida, precisamos dar uma olhada na aritmética envolvendo matrizes. Vamos começar com Adição e subtração de duas matrizes. Então, suponha que temos duas matrizes (n vezes m ), (A ) e (B ). A soma (ou diferença) dessas duas matrizes é, então,

A soma ou diferença de duas matrizes do mesmo tamanho é uma nova matriz de tamanho idêntico cujas entradas são a soma ou diferença das entradas correspondentes das duas matrizes originais. Observe que não podemos adicionar ou subtrair entradas com tamanhos diferentes.

A seguir, vamos dar uma olhada multiplicação escalar. Na multiplicação escalar, vamos multiplicar uma matriz (A ) por uma constante (às vezes chamada de escalar) ( alpha ). Neste caso, obtemos uma nova matriz cujas entradas foram todas multiplicadas pela constante, ( alpha ).

Não há muito a fazer aqui além do trabalho.

Primeiro multiplicamos todas as entradas de (B ) por 5, em seguida, subtraímos as entradas correspondentes para obter as entradas na nova matriz.

A operação de matriz final que veremos é multiplicação da matriz. Aqui começaremos com duas matrizes, (A_) e B_

). Observe que (A ) deve ter o mesmo número de colunas que (B ) tem linhas. Se isso não for verdade, não podemos fazer a multiplicação. Se for verdade, podemos realizar a seguinte multiplicação.

A nova matriz terá o tamanho (n vezes m ) e a entrada no (i ^ < text> ) linha e (j ^ < text> ) coluna, (c_), é encontrado multiplicando-se a linha (i ) da matriz (A ) pela coluna (j ) da matriz (B ). Isso nem sempre faz sentido em palavras, então vejamos um exemplo.

A nova matriz terá tamanho (2 vezes 4 ). A entrada na linha 1 e coluna 1 da nova matriz será encontrada multiplicando a linha 1 de (A ) pela coluna 1 de (B ). Isso significa que multiplicamos as entradas correspondentes da linha de (A ) e da coluna de (B ) e, em seguida, somamos os resultados. Aqui estão algumas das entradas calculadas até o fim.

[começar> & = left (2 right) left (1 right) + left (<- 1> right) left (<- 4> right) + left (0 right) left (0 direita) = 6 > & = left (2 right) left (<- 1> right) + left (<- 1> right) left (1 right) + left (0 right) left (0 direita) = - 3 > & = left (<- 3> right) left (2 right) + left (6 right) left (0 right) + left (1 right) left (<- 2> direita) = - 8 fim]

Aqui está a solução completa.

Neste último exemplo, observe que não poderíamos ter feito o produto BA uma vez que o número de colunas de (B ) não corresponde ao número de linhas de (A ). É importante notar que só porque podemos calcular (AB ) não significa que podemos calcular (BA ). Da mesma forma, mesmo que possamos calcular (AB ) e (BA ), eles podem ou não ser a mesma matriz.

Determinante

O próximo tópico que precisamos dar uma olhada é o determinante de uma matriz. O determinante é na verdade uma função que pega uma matriz quadrada e a converte em um número. A fórmula real para a função é um tanto complexa e definitivamente está além do escopo desta revisão.

O principal método para calcular determinantes de qualquer matriz quadrada é chamado de método de cofatores. Uma vez que vamos lidar quase exclusivamente com matrizes (2 vezes 2 ) e a matriz ocasional (3 vezes 3 ), não entraremos no método aqui. Podemos fornecer fórmulas simples para cada um desses casos. A notação padrão para o determinante da matriz (A ) é.

[ det left (A right) = left | A right | ]

Aqui estão as fórmulas para o determinante das matrizes (2 vezes 2 ) e (3 vezes 3 ).

Para o (2 vezes 2 ), não há muito a fazer além de inseri-lo na fórmula.

[ det left (A right) = left | < begin<*<20>> <- 9> & amp <- 18> 2 & amp4 end> right | = left (<- 9> right) left (4 right) - left (<- 18> right) left (2 right) = 0 ]

Para o caso (3 vezes 3 ), poderíamos inseri-lo na fórmula, entretanto, ao contrário do caso (2 vezes 2 ), esta não é uma fórmula fácil de lembrar. Existe uma maneira mais fácil de obter o mesmo resultado. Uma maneira mais rápida de obter o mesmo resultado é fazer o seguinte. Primeiro, escreva a matriz e prenda uma cópia das duas primeiras colunas no final da seguinte maneira.

Agora, observe que há três diagonais que vão da esquerda para a direita e três diagonais que vão da direita para a esquerda. O que fazemos é multiplicar as entradas em cada diagonal para cima e se a diagonal for da esquerda para a direita nós as somamos e se a diagonal for da direita para a esquerda nós as subtrairemos.

Aqui está o trabalho para esta matriz.

[começar det left (B right) & = left | < begin<*<20>> 2 & amp3 & amp1 <- 1> & amp <- 6> & amp7 4 & amp5 & amp <- 1> end> right | , , , , begin<*<20>> 2 & amp3 <- 1> & amp <- 6> 4 & amp5 end & amp = left (2 right) left (<- 6> right) left (<- 1> right) + left (3 right) left (7 right) left (4 right) + left (1 right) left (<- 1> right) left (5 right) - & amp hspace <0.25in> hspace <0.25in> hspace <0.25in> left (3 right) left (<- 1> right) left (<- 1> right) - left (2 right) left (7 right) left (5 right) - left (1 right) left (<- 6> right) left (4 right) & amp = 42 end]

Você pode usar a fórmula ou o atalho para obter o determinante de a (3 vezes 3 ).

Se o determinante de uma matriz é zero, chamamos essa matriz singular e se o determinante de uma matriz não é zero, chamamos a matriz não singular. A matriz (2 vezes 2 ) no exemplo acima era singular, enquanto a matriz (3 vezes 3 ) é não singular.

Matrix inversa

Em seguida, precisamos dar uma olhada no inverso de uma matriz. Dada uma matriz quadrada, (A ), de tamanho n x (n ) se pudermos encontrar outra matriz do mesmo tamanho, (B ) tal que,

então chamamos de (B ) o inverso de (A ) e denote-o por (B = A ^ <-1> ).

Calcular o inverso de uma matriz, (A ), é bastante simples. Primeiro, formamos uma nova matriz,

e, em seguida, use as operações de linha da seção anterior e tente converter esta matriz na forma,

Se pudermos, então (B ) é o inverso de (A ). Se não pudermos, então não há inverso da matriz (A ).

Primeiramente, formamos a nova matriz anexando a matriz de identidade (3 vezes 3 ) a esta matriz. Isso é

Agora usaremos operações de linha para tentar converter as três primeiras colunas para a identidade (3 vezes 3 ). Em outras palavras, queremos um 1 na diagonal que começa no canto superior esquerdo e zeros em todas as outras entradas nas três primeiras colunas.

Se você pensar bem, esse processo é muito semelhante ao processo que usamos na última seção para resolver sistemas, só vai um pouco além. Aqui está o trabalho para este problema.

Assim, fomos capazes de converter as três primeiras colunas na matriz de identidade (3 vezes 3 ), portanto, o inverso existe e é,

Então, houve um exemplo em que o inverso existia. Vamos dar uma olhada em um exemplo em que o inverso não existe.

Neste caso, iremos adicionar a identidade (2 vezes 2 ) para obter a nova matriz e, em seguida, tentar converter as duas primeiras colunas para a matriz identidade (2 vezes 2 ).

E não precisamos ir mais longe. Para que a identidade (2 vezes 2 ) esteja nas duas primeiras colunas, devemos ter um 1 na segunda entrada da segunda coluna e um 0 na segunda entrada da primeira coluna. No entanto, não há como obter um 1 na segunda entrada da segunda coluna que manterá um 0 na segunda entrada da primeira coluna. Portanto, não podemos obter a identidade (2 vezes 2 ) nas primeiras duas colunas e, portanto, o inverso de (B ) não existe.

Deixaremos de lado essa discussão de inversos com o seguinte fato.

Vou deixar para você verificar esse fato para os dois exemplos anteriores.

Sistemas de Equações Revisitados

Precisamos fazer uma revisão rápida dos sistemas de equações. Vamos começar com um sistema geral de equações.

Agora, converta cada lado em um vetor para obter,

O lado esquerdo desta equação pode ser considerado uma multiplicação de matriz.

Simplificar um pouco a notação dá,

onde, ( vec x ) é um vetor cujos componentes são as incógnitas no sistema de equações original. Chamamos ( eqref) a forma matricial do sistema de equações ( eqref) e resolvendo ( eqref) é equivalente a resolver ( eqref). O processo de resolução é idêntico. A matriz aumentada para ( eqref) é

Assim que tivermos a matriz aumentada, procedemos como fizemos com um sistema que não foi escrito na forma de matriz.

Também temos o seguinte fato sobre soluções para ( eqref).

Dado o sistema de equações ( eqref) temos uma das seguintes três possibilidades de soluções.

    Não haverá soluções.

Na verdade, podemos ir um pouco mais longe agora. Uma vez que estamos assumindo que temos o mesmo número de equações como incógnitas, a matriz (A ) em ( eqref) é uma matriz quadrada e, portanto, podemos calcular seu determinante. Isso dá o seguinte fato.

Dado o sistema de equações em ( eqref) temos o seguinte.

    Se (A ) não for singular, então haverá exatamente uma solução para o sistema.

A forma de matriz de um sistema homogêneo é

onde ( vec 0 ) é o vetor de todos os zeros. No sistema homogêneo, temos a garantia de ter uma solução, ( vec x = vec 0 ). O fato acima para sistemas homogêneos é então,

Dado o sistema homogêneo ( eqref) temos o seguinte.

    Se (A ) não for singular, a única solução será ( vec x = vec 0 ).

Independência Linear / Dependência Linear

Esta não é a primeira vez que vimos este tópico. Também vimos independência linear e dependência linear quando estávamos olhando para equações diferenciais de segunda ordem. Nessa seção, estávamos lidando com funções, mas o conceito é essencialmente o mesmo aqui. Se começarmos com (n ) vetores,

Se pudermos encontrar constantes, (c_ <1> ), (c_ <2> ),…, (c_) com pelo menos dois diferentes de zero, de modo que

então chamamos os vetores de linearmente dependentes. Se as únicas constantes que funcionam em ( eqref) são (c_ <1> = 0 ), (c_ <2> ) = 0,…, (c_= 0 ) então chamamos os vetores de linearmente independentes.

Se ainda fizermos a suposição de que cada um dos (n ) vetores tem (n ) componentes, ou seja, cada um dos vetores parece,

podemos obter um teste muito simples para independência linear e dependência linear. Observe que este não precisa ser o caso, mas em todo o nosso trabalho estaremos trabalhando com (n ) vetores, cada um dos quais possui (n ) componentes.

Dados os vetores (n ), cada um com componentes (n ),

Portanto, a matriz (X ) é uma matriz cujo (i ^ < text> ) coluna é o (i ^ < text> ) vetor, (< vec x_i> ). Então,

    Se (X ) for não singular (ou seja, ( det (X) ) não é zero) então os (n ) vetores são linearmente independentes, e

onde ( vec c ) é um vetor contendo as constantes em ( eqref).

Portanto, a primeira coisa a fazer é formar (X ) e calcular seu determinante.

Esta matriz não é singular e, portanto, os vetores são linearmente independentes.

Como no último exemplo, primeiro forme (X ) e calcule seu determinante.

Portanto, esses vetores são linearmente dependentes. Agora precisamos encontrar a relação entre os vetores. Isso significa que precisamos encontrar constantes que farão ( eqref) verdadeiro.

Então, precisamos resolver o sistema

Aqui está a matriz aumentada e o trabalho de solução para este sistema.

Agora, gostaríamos de valores reais para as constantes, portanto, se usar ( = 3 ) obtemos a seguinte solução ( = - 2),( = 1 ) e ( = 3 ). O relacionamento é então.

Cálculo com Matrizes

Realmente não há muito nisso além de apenas nos certificarmos de que podemos lidar com cálculos com matrizes.

Primeiro, até este ponto, vimos apenas matrizes com números como entradas, mas as entradas em uma matriz também podem ser funções. Então, podemos olhar para as matrizes da seguinte forma,

Agora podemos falar sobre como diferenciar e integrar uma matriz desta forma. Para diferenciar ou integrar uma matriz desta forma, tudo o que fazemos é diferenciar ou integrar as entradas individuais.

Então, quando nos depararmos com esse tipo de coisa, não fique animado com isso. Apenas diferencie ou integre como normalmente faríamos.

Nesta seção, vimos um conjunto muito condensado de tópicos da álgebra linear. Quando voltarmos às equações diferenciais, muitos desses tópicos aparecerão ocasionalmente e você precisará pelo menos saber o que as palavras significam.

O tópico principal da álgebra linear que você deve saber, no entanto, se quiser resolver sistemas de equações diferenciais, é o tópico da próxima seção.


Matemática

Propriedades de números reais que simplificam expressões polinomiais, racionais e radicais, resolvendo equações lineares, quadráticas, racionais e radicais em uma variável, o sistema de coordenadas retangulares que representa graficamente as equações lineares em duas variáveis ​​e resolve sistemas de equações lineares em duas variáveis. Aplicações de conceitos matemáticos. Equivalente a um curso de álgebra do primeiro ano do ensino médio. Ministrado em uma grande aula combinada com formato de laboratório. O software usado requer acesso a um computador com sistema operacional Windows. Classificado. NÃO APLICÁVEL DE GRAU.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G010

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso equivale ao segundo ano de álgebra do ensino médio. É ensinado por meio de palestras em grandes grupos em conjunto com tarefas de computador e trabalho de laboratório. Os tópicos incluem valor absoluto, expoentes racionais, radicais, equações lineares e desigualdades, equações quadráticas e desigualdades, notação funcional, funções lineares e quadráticas, seções cônicas, logaritmos, funções exponenciais e logarítmicas, sistemas lineares em duas e três variáveis, sequências e séries . Será necessária uma calculadora científica. O software usado requer acesso a um computador. Classificado.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G030

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso é equivalente a um curso de álgebra do primeiro e segundo ano do ensino médio acelerado em um semestre. Ministrado em uma grande aula combinada com formato de laboratório. O software usado requer acesso a um computador. É ministrado por meio de aulas em grupo em conjunto com tarefas de computador e trabalho de laboratório. Os tópicos incluem: propriedades de números reais simplificando expressões polinomiais, racionais e radicais, resolvendo equações lineares, quadráticas, racionais e radicais em um gráfico de variável e resolvendo sistemas de equações lineares em duas variáveis, valor absoluto, expoentes racionais, equações quadráticas e desigualdades, funções lineares e quadráticas, seções cônicas, funções exponenciais e logarítmicas, sequências e séries. Será necessária uma calculadora científica. Classificado.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G040

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso é projetado para alunos cujo plano de educação exige MATH G160: Introdução à Estatística. Pode não ser adequado para alunos em um caminho de graduação STEM. Por favor, consulte um conselheiro para mais informações. O curso cobre os tópicos necessários da Álgebra Intermediária, incluindo equações lineares e desigualdades, análise de regressão linear, funções exponenciais, equações exponenciais, estatísticas descritivas, probabilidade, distribuições de amostragem incluindo a distribuição Normal e o uso de calculadoras gráficas e / ou software de computador. Classificado.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G080

Modo de classificação: Aprovado / Não aprovado

Este curso de co-requisito é destinado a alunos que se matriculam em Álgebra Universitária, MATH G115. Ele fornece instrução suplementar em habilidades básicas de álgebra e conceitos necessários para o sucesso em cálculos e aplicações de álgebra universitária. O sucesso neste curso será baseado na frequência e na conclusão satisfatória das tarefas em sala de aula. Requer inscrição simultânea em seções específicas de Álgebra Universitária, MATH G115. Aprovado / Não aprovado. NÃO APLICÁVEL DE GRAU.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G091

Modo de classificação: Aprovado / Não aprovado

Este curso de co-requisitos é destinado a alunos que se matriculam em Trigonometria, MATH G120. Ele fornece instruções suplementares em habilidades básicas de álgebra e conceitos necessários para o sucesso em cálculos e aplicações de trigonometria. O sucesso neste curso será baseado na frequência e na conclusão satisfatória das tarefas em sala de aula. Requer inscrição simultânea em seções específicas de Trigonometria, MATH G120. Aprovado / Não aprovado. NÃO APLICÁVEL DE GRAU.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G092

Modo de classificação: Aprovado / Não aprovado

Este curso de co-requisitos é destinado a alunos que se matriculam no MATH G160. Ele fornece instrução suplementar em habilidades básicas de álgebra e conceitos necessários para o sucesso em cálculos e aplicações de Introdução à Estatística. O sucesso neste curso será baseado na frequência e na conclusão satisfatória das tarefas em sala de aula. Requer inscrição simultânea em seções específicas do MATH G160. Aprovado / Não aprovado. NÃO APLICÁVEL DE GRAU.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G096

Modo de classificação: Carta Padrão

Usando e expandindo o conjunto atual de habilidades algébricas do aluno, este curso oferece ao aluno de artes liberais uma exploração de solução de problemas orientada a aplicativos em uma variedade de campos matemáticos, incluindo geometria, estatística e matemática de negócios. Este curso foi elaborado não apenas para atender aos requisitos gerais de educação da faculdade, mas também para ajudar a gerar uma atitude positiva e interesse pela matemática. Classificado.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G100

Modo de classificação: Carta Padrão

Anteriormente: Elem. Professores de Matemática: 3-Probabilidade e Estatística. Este curso é destinado a futuros professores. Este curso é uma exploração baseada em atividades de estatísticas alinhadas com os Padrões de Matemática do Estado da Califórnia. Os tópicos incluem representação e análise de dados, randomização e amostragem, medidas de tendência central e variabilidade, hipóteses e inferência estatística. Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G103, MATH G160, BIOL G260 e PSYC G140 combinados - crédito máximo, 1 curso.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G103

Modo de classificação: Carta Padrão

Anteriormente: Matemática para Professores do Ensino Fundamental 1. Este curso foi elaborado para o futuro professor do Ensino Fundamental. Os tópicos incluem resolução de problemas, estrutura e aritmética dos números reais e outros sistemas numéricos, teoria dos conjuntos e manipulativos. Este curso foi elaborado para desenvolver e reforçar a compreensão conceitual dos padrões curriculares nacionais e estaduais para a matemática do ensino fundamental, incluindo o núcleo comum. Classificado. C-ID: MATH 120.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G104

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso é projetado para alunos que planejam se inscrever no MATH G140, G150 ou G160. Os tópicos incluem matrizes e determinantes, teoria de equações e sistemas, gráficos de equações e funções, funções logarítmicas e exponenciais e seus gráficos, funções polinomiais e racionais, seções cônicas, sequências e séries, contagem e probabilidade. Recomenda-se uma calculadora científica. Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G115 e MATH G170 combinados - crédito máximo, 1 curso.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G115

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso é um estudo das funções circulares e trigonométricas. Os tópicos incluem inversos, gráficos, soluções de triângulos, equações condicionais, identidades, vetores, números complexos, coordenadas polares, equações paramétricas e aplicações desses conceitos. Recomenda-se uma calculadora científica. Classificado. C-ID: MATH 851.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G120

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso é destinado a estudantes de negócios, administração e ciências sociais que precisam de apenas um semestre de cálculo que cobre uma variedade de tópicos que geralmente abrangem partes de três semestres de cálculo. Os tópicos incluem funções, limites e continuidade, diferenciação, integração, gráficos, o cálculo de duas variáveis ​​e aplicações da derivada e integral. Este curso não prepara o aluno para entrar na MATEMÁTICA G180 ou G185. Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G140 e MATH G180 combinados - crédito máximo, 1 curso. C-ID: MATH 140.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G140

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso inclui conceitos e procedimentos de estatísticas descritivas e inferenciais, coleta, classificação, tabulação, representação gráfica de medidas de dados univariados e bivariados de tendências centrais, variação, percentis, probabilidade, binomial, normal, T, qui-quadrado e distribuições F fazendo inferências, decisões e previsões. Este curso desenvolve o pensamento estatístico por meio do estudo e das aplicações a conjuntos de dados nas ciências sociais e comportamentais, negócios e outras disciplinas. O uso de uma calculadora gráfica e / ou programas de computador de análise estatística está integrado no curso. Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G103, MATH G160, BIOL G260 e PSYC G140 combinados - crédito máximo, 1 curso. C-ID: MATH 110, SOCI 125.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G160

Modo de classificação: Carta Padrão

Este curso cobrirá os tópicos necessários para estudar cálculo. Será dada ênfase particular à análise de funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e inversas. Outros tópicos incluem vetores, geometria analítica, sistemas lineares, teoria elementar de equações, coordenadas polares, sequências, séries e números complexos. Este curso é essencial para os alunos que pretendem estudar Matemática G180 (Cálculo 1). Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G115 e MATH G170 combinados - crédito máximo, 1 curso.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G170

Modo de classificação: Carta Padrão

Este é o primeiro curso de uma seqüência de três cursos projetados para especialização em matemática, ciências e engenharia. Os tópicos abordados neste curso incluem limites e continuidade, derivadas de funções algébricas e transcendentais, aplicações de derivadas, integrais indefinidas, integrais definidas, o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicações de integração. Classificado. Limitações de crédito da UC: MATH G140 e MATH G180 combinados - crédito máximo, 1 curso. C-ID: MATEMÁTICA 211, MATEMÁTICA 900S.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G180

Modo de classificação: Carta Padrão

Este é o segundo curso de uma seqüência de três cursos projetados para especialização em matemática, ciências e engenharia. Os tópicos abordados neste curso incluem métodos de integração, aplicações da integral definida, funções polares e paramétricas, integrais impróprios, convergência e divergência de sequências e séries, incluindo séries de potências e seções cônicas. O aluno deve se planejar para completar os três primeiros semestres de cálculo no Golden West College para manter a continuidade. Classificado. C-ID: MATEMÁTICA 221, 900S.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G185

Modo de classificação: Carta Padrão

Anteriormente: MATH G290. Este curso desenvolve as técnicas e teoria necessárias para resolver e classificar sistemas de equações lineares. As técnicas de solução incluem operações de linha, eliminação de Gauss e álgebra de matrizes. Investiga as propriedades dos vetores em duas e três dimensões, levando à noção de um espaço vetorial abstrato. Espaço vetorial e teoria da matriz são apresentados incluindo tópicos como produtos internos, normas, ortogonalidade, valores próprios, espaços próprios e transformações lineares. Aplicações selecionadas de álgebra linear estão incluídas. Classificado. C-ID: MATH 250.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G235

Modo de classificação: Carta Padrão

Este é o terceiro curso de uma seqüência de três cursos, projetado para especialização em matemática, ciências e engenharia. Os tópicos incluem vetores no espaço tridimensional, curvas e superfícies, funções de várias variáveis, diferenciação parcial, o gradiente, a onda, a divergência, integração múltipla, Teorema de Green, Teorema de Gauss (Divergência) e Teorema de Stokes. O aluno deve se planejar para completar os três primeiros semestres de cálculo no Golden West College para manter a continuidade. Classificado. C-ID: MATH 230.

Páginas do programa do catálogo com referência a MATH G280

Modo de classificação: Carta Padrão

Anteriormente: Equações diferenciais ordinárias. Este curso foi elaborado para apresentar aos alunos as áreas de Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Os tópicos incluem equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo separáveis, lineares, homogêneas de grau zero, Bernoulli e exatas com aplicações e métodos numéricos. Soluções para equações diferenciais de ordem superior usando coeficientes indeterminados, variação de parâmetros e séries de potências, com aplicações. Soluções para sistemas lineares e não lineares de equações diferenciais, incluindo soluções numéricas. Álgebra de matrizes, soluções de sistemas lineares de equações e determinantes. Espaços vetoriais, independência linear, base e dimensão, subespaço e espaço interno do produto, incluindo o procedimento de Gram-Schmidt. Transformações lineares, kernel e intervalo, autovalores, autovetores, diagonalização e matrizes simétricas. Classificado. C-ID: MATH 910S, MATH 240.


23: 12 Tarefa Pré-Aula - Espaços Matrix - Matemática

Matemática 2331 - 17040: Álgebra Linear
10h00-12h00 MoTuWeThFr, AH 301, Summer 4, 2018 - Dr. Jiwen He

Tarefa 5 (6 de agosto): 6.1(4,10,14,20) 6.2(6,12,18,24) 6.3(4,8,14,19,20,21,22,23,24)

Tarefa 4 (1º de agosto): 5.1(4,14,20,28) 5.2(6,16,20,24) 5.3(4,16,22,26)

Aula 18 (3 de agosto) 6.1--6.3 Notas sobre os exercícios principais Revisão do Exame 3

Aula 17 (2 de agosto) 6.2 Notas de Conjuntos Ortogonais 6.3 Notas de Projeções Ortogonais

Aula 16 (1º de agosto) 6.1 Produto interno, comprimento e notas de ortogonalidade

Aula 15 (31 de julho) 5.3 Notas de diagonalização 5.1--5.3 Notas dos principais exercícios

Aula 14 (30 de julho) 5.1 Observações sobre vetores e valores próprios 5.2 As notas da equação característica

Tarefa 3 (27 de julho): 4.1(2,8,12,28) 4.2(2,18,26,32) 4.3(8,20,26,34) 4.4(4,14,22,28) 4.5(6,14,24,30) 4.6(2,12,22,30)

Exame 2 (27 de julho): 3.1-3.2, 4.1-4.6

Aula 13 (26 de julho) 4.1--4.6 Notas sobre os principais exercícios Revisão para o exame 2

Aula 12 (25 de julho) 4.5 A dimensão de um espaço vetorial notas 4.6 Notas de classificação

Aula 11 (24 de julho) 4.3 Notas de bases de conjuntos lineares independentes 4.4 Notas de sistemas de coordenadas

Aula 10 (23 de julho) 4.1 Notas sobre Espaços Vetoriais e Subespaços 4.2 Notas sobre Espaços Nulos, Espaços de Coluna e Transformações Lineares

Tarefa 2 (23 de julho): 2.2(6,12,20,34) 2.3(4,16,24,34) 2.2+(13,18,19,21,22,24,25,26) 2.3+(11,12,13,14,18,20,22,35) 3.1(4,16,24,32) 3.2(4,18,28,36)

Aula 9 (20 de julho) 3.1 Notas de Introdução aos Determinantes 3.2 Notas de Propriedades dos Determinantes

Exame 1 (19 de julho): 1,1-1,5, 1,7-1,9, 2,1-2,3

Aula 8 (18 de julho) 2.3 Caracterizações de Matrizes Invertíveis, notas 2.3 - Exercícios Principais Notas 15-24 Revisão para o Exame 1

Aula 7 (17 de julho) 2.1 - Exercícios-chave 13, 17-26 notas 2.2 - Exercícios-chave 11-24, 25 notas

Aula 6 (16 de julho) 2.2 O Inverso de uma Matriz de notas

Tarefa 1 (16 de julho): 1.1(4,10,14,24) 1.2(2,10,22,26) 1.3(6,12,24,32) 1.4(2,10,18,30) 1.5(4,12,24,32) 1.7(2,14,26,36) 1.8(2,8,18,32) 1.9(4,14,22,34) 2.1(2,10,18,30)

Aula 5 (13 de julho) 2.1 Revisão das notas de operações da matriz da semana

Aula 4 (12 de julho) 1.8 Notas de Introdução às Transformações Lineares 1.9 notas de Matriz de uma Transformação Linear

Aula 3 (11 de julho) 1.5 Notas de Conjuntos de Soluções de Sistemas Lineares 1.7 Notas de Independência Linear

Aula 2 (10 de julho) 1.3 Notas de Equações de Vetor 1.4 As notas de Equação de Matriz

Aula 1 (9 de julho) 1.1 Notas sobre Sistemas de Equações Lineares 1.2 Notas sobre Redução de Linha e Formas Escalonadas


23: 12 Tarefa Pré-Aula - Espaços Matrix - Matemática

Criptografia é o estudo da escrita em código secreto que remonta aos tempos antigos. A criptografia moderna cruza as disciplinas de matemática, ciência da computação e engenharia. As aplicações de criptografia incluem cartões ATM, senhas de computador e comércio eletrônico. O primeiro uso documentado de criptografia na escrita data de cerca de 1900 a.C. quando um escriba egípcio usou hieróglifos não padronizados em uma inscrição. Um dos métodos mais antigos e fáceis de codificar mensagem é a cifra de substituição, na qual cada letra do alfabeto é substituída por outra letra / número / símbolo.

A cifra de César é um dos métodos mais fáceis de codificar mensagens, onde cada letra do texto simples é substituída por uma letra com um número fixo de posições abaixo do alfabeto. Esta lição chamada & quotCode Crackers & quot está na publicação Illuminations publicada pelo NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). Para obter mais informações, acesse o seguinte link:

Este projeto descreve um método usando matrizes que torna um código secreto mais seguro. Além disso, combina o conhecimento dos alunos sobre as operações de matrizes enquanto investigam e projetam códigos secretos.

Codificando Mensagens em Matrizes

Mensagem para codificar: “One small step for man”

1) Escreva a mensagem nas colunas das matrizes com três linhas. Usaremos uma matriz 3x4 para codificar a mensagem.

(O número de colunas na matriz não é relevante. No entanto, usar mais de uma matriz pode ser conveniente)

2) Certifique-se de deixar espaços vazios na matriz para indicar um espaço. A mensagem pode ser escrita horizontal ou verticalmente.

O exemplo fornecido neste site irá escrevê-lo verticalmente.

3) Usando o gráfico de codificação fornecido, traduza as letras da matriz em seus equivalentes numéricos.


CBSE Class 12 Maths 2021-22 Question Paper: Divisão do capítulo e esquema de pontuação:

Não.UnidadesNo. de períodosMarcas
EU.Relações e Funções3008
II.Álgebra5010
III.Cálculo8035
4.Vetores e geometria tridimensional3014
V.Programação linear2005
VI.Probabilidade3008
Total24080
Avaliação interna20

Como CBSE 12 Maths Solutions of NCERT são úteis para exames de bordo?


CBSE 12 Maths Solutions ajuda você a garantir notas no exame Board de 12 classes com a mesma eficiência com que esclarecem suas dúvidas conceituais. As soluções NCERT de matemática da classe 12 ajudam os alunos a resolver todos os exercícios dados nos livros didáticos prescritos pelo NCERT, que são fáceis de entender os conceitos e obter boas notas em seu exame de placa. Se os alunos praticarem e revisarem as Soluções de Matemática do CBSE 12 do NCERT de maneira adequada, então você certamente será aprovado nos Exames da Classe 12 com notas acima de 90% na disciplina Matemática. Vê-se que a maioria dos alunos alcançou uma pontuação elevada em matemática ao aprender o CBSE 12 Maths Solutions da NCERT.


Assista o vídeo: Różne rozwiązania w twierdzeniu Kroneckera-Capellego (Outubro 2021).