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1.1: Introdução às Equações Lineares


objetivos de aprendizado

  • Qual é um dos hábitos irritantes dos matemáticos?
  • Qual é a diferença entre constantes e coeficientes?
  • Um coeficiente em uma equação linear pode ser (0 )?

Começaremos esta seção examinando um problema que você provavelmente já sabe como resolver.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Suponha que uma jarra contenha bolinhas vermelhas, azuis e verdes. É-lhe dito que há um total de 30 berlindes no jarro; há duas vezes mais bolinhas vermelhas do que verdes; o número de bolinhas azuis é igual à soma das bolinhas vermelhas e verdes. Quantas bolinhas de cada cor existem?

Solução

Poderíamos tentar resolver isso com algumas tentativas e erros e provavelmente obteríamos a resposta correta sem muito trabalho. No entanto, isso não servirá para aprender uma boa técnica para resolver problemas maiores, então sejamos mais matemáticos sobre isso.

Vamos (r ) representar o número de berlindes vermelhos, e deixe (b ) e (g ) denotar o número de berlindes azuis e verdes, respectivamente. Podemos usar as declarações fornecidas sobre as bolas de gude no jarro para criar algumas equações.

Como sabemos que há 30 berlindes no jarro, sabemos que [ label {eq: rbg30} r + b + g = 30. ] Além disso, somos informados de que há duas vezes mais berlindes vermelhos do que verdes, então sabemos que [ label {eq: r2g} r = 2g. ] Finalmente, sabemos que o número de bolinhas azuis é igual à soma das bolinhas vermelhas e verdes, então temos [ label { eq: brg} b = r + g. ]

A partir deste estágio, não existe uma maneira "certa" de proceder. Em vez disso, existem muitas maneiras de usar essas informações para encontrar a solução. Uma maneira é combinar ideias de equações ( eqref {eq: r2g} ) e ( eqref {eq: brg} ); em ( eqref {eq: brg} ) substitua (r ) por (2g ). Isso nos dá [ label {eq: b3g} b = 2g + g = 3g. ] Podemos então combinar as equações ( eqref {eq: rbg30} ), ( eqref {eq: r2g} ) e ( eqref {eq: b3g} ) substituindo (r ) em ( eqref {eq: rbg30} ) por (2g ) como fizemos antes, e substituindo (b ) por (3g ) para obter [ begin {align} r + b + g & = 30 notag 2g + 3g + g & = 30 notag 6g & = 30 notag label {eq: g5} g & = 5 end {align} ]

Agora podemos usar a equação ( eqref {eq: g5} ) para encontrar (r ) e (b ); sabemos de ( eqref {eq: r2g} ) que (r = 2g = 10 ) e, desde (r + b + g = 30 ), podemos facilmente descobrir que (b = 15 ) .

Os matemáticos costumam ver soluções para determinados problemas e, em seguida, perguntam "E se ( ldots )?" É um hábito irritante que faríamos bem em desenvolver - devemos aprender a pensar como um matemático. Quais são os tipos certos de perguntas “e se” a serem feitas? Aqui está outro hábito irritante dos matemáticos: eles costumam fazer perguntas "erradas". Ou seja, eles costumam fazer perguntas e descobrir que a resposta não é particularmente interessante. Mas fazer perguntas suficientes geralmente leva a algumas boas perguntas “certas”. Portanto, não tenha medo de fazer algo "errado"; nós, matemáticos, fazemos isso o tempo todo.

Então, qual é uma boa pergunta a se fazer depois de ver o Exemplo ( PageIndex {1} )? Aqui estão duas perguntas possíveis:

  1. Nós realmente tivemos que chamar as bolas vermelhas de “ (r )”? Podemos chamá-los de “ (q )”?

  2. E se tivéssemos 60 bolas no início em vez de 30?

Vejamos a primeira pergunta. A solução para o nosso problema mudaria se chamássemos as bolas vermelhas de (q )? Claro que não. No final, descobriríamos que (q = 10 ) e saberíamos que isso significava que tínhamos 10 bolas vermelhas.

Agora vamos olhar para a segunda pergunta. Suponha que tivéssemos 60 bolas, mas os outros relacionamentos continuassem os mesmos. Como a situação e a solução mudariam? Vamos comparar as equações "originais" com as "novas" equações.

OriginalNovo
(r + b + g = 30 ) (r + b + g = 60 )
(r = 2g ) (r = 2g )
(b = r + g ) (b = r + g )

Tabela ( PageIndex {1} )

Ao examinar essas equações, vemos que nada mudou, exceto a primeira equação. Não é demais imaginar que resolveríamos este novo problema exatamente da mesma maneira que resolvemos o original, exceto que teríamos o dobro de cada tipo de bola.

Uma conclusão de responder a essas duas perguntas é a seguinte: não importa como chamamos nossas variáveis, e embora mudar as constantes nas equações mude a solução, elas realmente não mudam o método de como resolvemos essas equações.

Na verdade, é uma grande descoberta perceber que tudo o que nos preocupa são os constantes e a coeficientes das equações. Manipulando sistematicamente isso, podemos resolver qualquer conjunto de equações lineares de uma maneira muito boa. Antes de prosseguirmos, devemos primeiro definir o que é uma equação linear.

Definição: Equação Linear

UMA equação linear é uma equação que pode ser escrita na forma [a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n = c ] em que (x_i ) são variáveis ​​(as incógnitas), (a_i ) são coeficientes e (c ) é uma constante.
UMA sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares que envolvem as mesmas variáveis.
UMA solução para um sistema de equações lineares é um conjunto de valores para as variáveis ​​ (x_i ) de modo que cada equação no sistema seja satisfeita.

Portanto, em Exemplo ( PageIndex {1} ), quando respondemos "quantas bolinhas de cada cor existem?", Também respondíamos "encontre uma solução para um determinado sistema de equações lineares".

A seguir estão exemplos de equações lineares:

[ begin {align} begin {alinhados} 2x + 3y-7z & = 29 x_1 + frac72x_2 + x_3-x_4 + 17x_5 & = sqrt [3] {- 10} y_1 + 14 ^ 2y_4 + 4 & = y_2 + 13-y_1 sqrt {7} r + pi s + frac {3t} {5} & = cos (45 ^ circ) end {alinhado} end {alinhar} ]

Observe que os coeficientes e constantes podem ser frações e números irracionais (como ( pi ), ( sqrt [3] {- 10} ) e ( cos (45 ^ circ) )). As variáveis ​​vêm apenas na forma de (a_ix_i ); ou seja, apenas uma variável multiplicada por um coeficiente. (Observe que ( frac {3t} {5} = frac35t ), apenas uma variável multiplicada por um coeficiente.) Além disso, realmente não importa de que lado da equação colocamos as variáveis ​​e as constantes, embora na maioria das vezes, nós os escrevemos com as variáveis ​​à esquerda e as constantes à direita.

Não consideraríamos a coleção de equações acima como constituindo um sistema de equações, uma vez que cada equação usa variáveis ​​com nomes diferentes. Um exemplo de sistema de equações lineares é [ begin {align} begin {alinhados} x_1-x_2 + x_3 + x_4 & = 1 2x_1 + 3x_2 + x_4 & = 25 x_2 + x_3 & = 10 end { alinhado} end {align} ]

É importante notar que nem todas as equações usaram todas as variáveis ​​(é mais preciso dizer que os coeficientes podem ser 0, então a última equação poderia ter sido escrita como (0x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 10 ) ) Além disso, só porque temos quatro incógnitas não significa que temos que ter quatro equações. Poderíamos ter tido menos, mesmo apenas um, e poderíamos ter tido mais.

Para ter uma ideia melhor do que é uma equação linear, apontamos alguns exemplos do que são não equações lineares.

[ begin {align} begin {alinhados} 2xy + z & = 1 5x ^ 2 + 2y ^ 5 & = 100 frac1x + sqrt {y} + 24z & = 3 sin ^ 2x_1 + cos ^ 2x_2 & = 29 2 ^ {x_1} + ln x_2 & = 13 end {alinhado} end {align} ]

O primeiro exemplo não é uma equação linear, pois as variáveis ​​ (x ) e (y ) são multiplicadas juntas. A segunda não é uma equação linear porque as variáveis ​​são elevadas a potências diferentes de 1; isso também é um problema na terceira equação (lembre-se de que (1 / x = x ^ {- 1} ) e ( sqrt {x} = x ^ {1/2} )). Nossas variáveis ​​não podem ser o argumento de uma função como ( sin ), ( cos ) ou ( ln ), nem podem nossas variáveis ​​ser elevadas como um expoente.

Neste estágio, ainda temos que discutir como encontrar de forma eficiente uma solução para um sistema de equações lineares. Essa é uma meta para as próximas seções. No momento, nos concentramos em identificar equações lineares. Também é útil “agilizar” resolvendo alguns sistemas de equações usando qualquer método que tenhamos à mão para refrescar nossa memória sobre o processo básico.


Kansas State University

Este vídeo cobre:
* Palavras do vocabulário: Linear, Primeiro Grau, Equação, Solução
* A diferença entre expressões e equações
* As propriedades da igualdade
* As etapas para resolver equações lineares, incluindo o objetivo geral

Exemplos:

1.2 Exemplos de Resolução de Equações Lineares

Este vídeo cobre:
* Trabalhando em todas as etapas de resolução de equações lineares
* Detalhes passo a passo de como verificar sua solução
* Mostrando várias maneiras de resolver equações lineares
* Lembrete de que frações impróprias são melhores do que frações mistas e / ou decimais

Exemplos:

1.3 Exemplos básicos de resolução de equações racionais lineares

Este vídeo cobre:
* O que significa racional
* Revisão das etapas para resolver equações lineares
* Revisão das operações básicas de fração
* Revisão do processo de verificação de soluções

Exemplos:

1.4 Exemplos avançados de resolução de uma equação racional linear

Este vídeo cobre:
* Revisão das etapas para resolver uma equação racional linear
* Revisão das operações básicas de fração

Exemplos:

1.5 Resolvendo Equações Racionais Lineares usando o truque de mágica

Este vídeo cobre:
* As etapas para utilizar o método do truque de mágica
* Revisão de como encontrar o LCD (menos denominador comum)
* As etapas para resolver equações racionais, eliminando todos os denominadores das frações
* Por que o método do truque de mágica é melhor do que os métodos de fração

Exemplos:

1.6 Usando o truque de mágica com variáveis ​​no denominador

Este vídeo cobre:
* Revisão do motivo pelo qual o método do truque de mágica é melhor do que os métodos de fração
* Por que você deve verificar as respostas se existem variáveis ​​no denominador
* Revisão das etapas para usar o truque de mágica
* Revisão de como a subtração entre as frações age de forma diferente da adição
* Como lidar com mais de um termo nos denominadores individuais
* O que acontece quando sua solução não verifica corretamente
* A diferença entre nenhuma solução e indefinido

Exemplos:

1.7 Usando o truque de mágica com polinômios no denominador

Este vídeo cobre:
* Como os polinômios no denominador enfatizam a primeira etapa da fatoração
* Revisão das etapas para usar o truque de mágica
* Revisão de como a subtração entre as frações age de forma diferente da adição
* Como lidar com mais de um termo nos denominadores individuais

Exemplos:


Solução

Podemos descobrir quais dos pontos dados estão na linha $ y = 2x + 1 $ vendo se as coordenadas $ x $ e $ y $ satisfazem a equação. Para o primeiro ponto, com $ y = 1 $ e $ x = 0 $, vemos

o que é verdade, e assim o ponto $ (0,1) $ está na linha. No entanto, para $ (2, -1) $, substituindo $ x = 2 $ e $ y = -1 $, temos

e então $ (2, -1) $ não está na linha.

Continuando desta forma, vemos que $ (0,1), (2,5), (1 / 2,2) $, e $ (- 1, -1) $ são pontos na linha e $ (2, - 1) $ e $ (. 5,1) $ não são pontos na linha.

Podemos encontrar mais três pontos escolhendo arbitrariamente o valor para $ x $ e usando a equação da reta para encontrar os valores $ y $ correspondentes: $ (- 2, -3), (1, 3), (-1/2 , 0) $.

Ao escolher valores arbitrários de $ x $, como $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $, $ x = -1 $ e $ x = -2 $, encontramos o $ y $ correspondente valores e têm vários pontos que se encontram no gráfico da função:

Traçando esses pontos, chegamos ao seguinte gráfico:

Uma função linear pode ser escrita na forma $ y = mx + b $, e esta equação não foi escrita nessa forma. Podemos nos perguntar se ele poderia ser escrito dessa forma usando algum truque inteligente que ainda não pensamos. Se fosse uma função linear, seu gráfico seria uma linha reta. O gráfico de $ y = 2x ^ 2 + 1 $ contém os cinco pontos acima, e esses cinco pontos não estão em uma linha. Portanto, não é uma função linear.

Abaixo está uma lista das diferenças entre essas duas funções. As respostas possíveis podem incluir algumas, todas ou mais diferenças.

  • O primeiro gráfico é uma linha reta, o segundo gráfico é curvo.
  • O termo $ x $ é elevado ao quadrado na segunda função, e não na primeira.
  • A primeira função tem valores $ y $ negativos e positivos, e a segunda função nunca terá valores $ y $ negativos.
  • À medida que $ x $ aumenta em quantidades iguais, os valores de $ y $ na primeira função também aumentam em quantidades iguais (a taxa de mudança é constante) mas os valores de $ y $ da segunda função aumentam em quantidades cada vez maiores (taxa de mudança está aumentando) conforme $ | x | $ fica maior.
  • A primeira função tem uma inclinação constante (inclinação). A inclinação da segunda função muda.
  • A segunda função é simétrica em relação ao eixo $ y $, e a primeira função não é.
  • A primeira função cruza o eixo $ x $ (em $ (- 1 / 2,0) $), e a segunda função nunca cruza o eixo $ x $.
  • Cada valor $ y $ na primeira função tem exatamente um valor $ x $. Na segunda função, a maioria dos valores $ y $ tem 2 valores $ x $ possíveis (exemplo: $ (- 2,9) $ e $ (2,9) $ ambos estão no segundo gráfico).

Axiomagick

1.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 23/03/2012

Este capítulo define equações lineares, sistemas de equações lineares, como representá-los usando matrizes e como usar operações de linha elementares em uma matriz para encontrar o conjunto de soluções para o sistema de equações correspondente.

Existem 13 exercícios, eu & # 8217m fazendo o número 8 e o número 10.

8
Considere o sistema de equações

Mostre que, para esse sistema ser consistente, as constantes, e devem satisfazer.

O sistema é consistente se tiver pelo menos uma solução. Podemos adicionar uma equação a outra sem alterar o conjunto de solução do sistema, então vamos & # 8217s tentar isso. Adicionar a primeira equação à segunda produz

O lado esquerdo desta equação é idêntico ao da terceira equação. Isso significa que para que exista uma solução que resolva ambas as equações, seus lados direitos devem ser iguais, o que implica.

10

Para quais valores da constante o sistema

não tem soluções? Exatamente uma solução? Infinitamente muitas soluções? Explique seu raciocínio.

Primeiro, multiplique a primeira equação por 2. Isso não muda o conjunto de soluções do sistema. Agora, os lados esquerdo de ambas as equações são iguais, e é fácil ver que o sistema tem infinitas soluções se (já que as equações então são iguais), e nenhuma solução se (já que isso implica). Não há valor para isso produzirá exatamente uma solução.


Exemplo 3

Quais são as variáveis ​​independentes e dependentes? O que é y-intercept e qual é a inclinação? Interprete-os usando frases completas.

A variável independente (x) é o número de horas de tutoria de Svetlana em cada sessão.

A variável dependente (y) é a quantia, em dólares, que Svetlana ganha por cada sessão.

O y-intercept é 25 (uma = 25).
No início da sessão de tutoria, Svetlana cobra uma taxa única de $ 25 (quando x = 0).

A inclinação é 15 (b = 15).
Para cada sessão, Svetlana ganha $ 15 para cada hora que ela ensina.

Tente

Ethan conserta eletrodomésticos como lava-louças e geladeiras. Para cada visita, ele cobra US $ 25 mais US $ 20 por hora de trabalho. Uma equação linear que expressa a quantidade total de dinheiro que Ethan ganha por visita é y = 25 + 20x.

Quais são as variáveis ​​independentes e dependentes? O que é y-interceptar e qual é a inclinação? Interprete-os usando frases completas.

A variável independente (x) é o número de horas que Ethan trabalha em cada visita.

A variável dependente (y) é a quantia, em dólares, que Ethan ganha por cada visita.

A interceptação em y é 25 (a = 25).
No início de uma visita, Ethan cobra uma taxa única de $ 25 (quando x = 0).

A inclinação é 20 (b = 20).
Para cada visita, Ethan ganha US $ 20 para cada hora de trabalho.


1.1: Introdução às Equações Lineares

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Editor de Expressão Matemática

Resolvemos sistemas de equações em duas e três variáveis ​​e interpretamos os resultados geometricamente.

SYS-0010: Introdução aos Sistemas de Equações Lineares

Você certamente estudou equações lineares por muitos anos. Talvez a maneira mais fácil de caracterizar equações lineares seja que elas são equações polinomiais em que cada termo é uma constante ou tem grau 1.

Um -tuple é um solução à equação, desde que ela transforme a equação em uma afirmação verdadeira. O conjunto de todas as duplas que são soluções para uma dada equação é chamado de gráfico da equação. O gráfico de uma equação linear em duas variáveis ​​é uma reta em. O gráfico de uma equação linear em três variáveis ​​é um plano em. Em for, dizemos que o gráfico de uma equação linear é um hiperplano. Um hiperplano não pode ser visualizado, mas ainda podemos falar sobre interseções de hiperplanos e seus outros atributos em termos algébricos.

Na álgebra linear, muitas vezes procuramos soluções para sistemas de equações lineares ou sistemas lineares. Um sistema linear de equações e incógnitas é normalmente escrito da seguinte forma

UMA solução para um sistema de equações lineares em variáveis ​​é uma -tupla que satisfaz todas as equações do sistema. Todas as soluções para um sistema de equações, tomadas em conjunto, formam um conjunto de solução. Focaremos nos métodos algébricos para encontrar conjuntos de soluções, mas também consideraremos o aspecto geométrico dos sistemas para obter insights adicionais.

Álgebra de Sistemas Lineares

Você provavelmente está familiarizado com dois métodos algébricos para resolver sistemas de equações lineares. Um método exige que resolvamos uma variável em termos da (s) outra (s) e, em seguida, substitua. O segundo método envolve a adição de múltiplos de uma equação a outra equação para eliminar uma das variáveis. O segundo método formará a base para um algoritmo que desenvolveremos para resolver sistemas lineares e realizar outros cálculos relacionados a sistemas. Problema de exploração init: systwoeqs1 ilustra como o segundo método funciona.

Finalmente, podemos mudar a ordem das equações para exibi-las na linha superior. Isso nos dá

Esta solução pode ser escrita como um par ordenado.

Para obter a solução para o Problema de Exploração init: systwoeqs1, utilizamos três operações elementares de linha. Essas operações são:

  • Mudando a ordem de duas equações
  • Multiplicando ambos os lados de uma equação pela mesma constante diferente de zero
  • Adicionando um múltiplo de uma equação a outra

Em cada estágio do processo, o sistema de equações parecia diferente do sistema original, mas uma verificação rápida o convencerá de que todos os seis sistemas têm a mesma solução:. Sistemas (eq: etapa 1) - (eq: etapa 6) são considerados equivalente.

Acontece que se um sistema de equações for transformado em outro sistema por meio de uma sequência de operações elementares de linha, o novo sistema será equivalente ao sistema original, ou seja, ambos os sistemas terão o mesmo conjunto de soluções. Vamos formalizar essa declaração na última seção deste módulo.

  • Alternando linha e linha:
  • Multiplicando ambos os lados da equação pela mesma constante diferente de zero e substituindo a equação pelo resultado:
  • Adicionando tempos linha a linha e substituindo linha pelo resultado:

Faremos isso usando uma variável conveniente em uma linha para “apagar” essa variável das outras duas linhas. Por exemplo, podemos usar na terceira equação para apagar na primeira equação e na segunda equação. Para fazer isso, multiplique a terceira linha por e adicione-a à linha superior, então multiplique a terceira linha por e adicione-a à segunda linha. Temos agora: Na etapa anterior, era uma variável conveniente de usar porque o coeficiente na frente de era 1. Não temos mais uma variável com coeficiente 1. Poderíamos criar um coeficiente de 1 usando a divisão, mas isso levaria a frações, tornando os cálculos complicados. Em vez disso, iremos subtrair duas vezes a segunda linha da primeira linha. Isso nos dá:

Em seguida, adicionamos sete vezes a primeira linha à segunda linha e subtraímos quatro vezes a primeira linha da terceira linha.

Agora dividimos os dois lados da segunda linha por.

Adicionar vezes a segunda linha à primeira linha e subtrair vezes a segunda linha da terceira linha nos dá

Por fim, reorganizar as linhas nos dá

Assim, o sistema possui uma solução única.

Neste ponto, você pode estar se perguntando se sempre será possível pegar um sistema de três equações e três incógnitas e usar operações de linha elementares para transformá-lo em um sistema da forma. A resposta curta a esta pergunta é não. A existência de um sistema equivalente desta forma implica que o sistema original tem uma solução única. No entanto, é possível que um sistema não tenha soluções ou tenha infinitas soluções. Vamos estudar essas diferentes possibilidades de uma perspectiva algébrica em módulos subsequentes. Por enquanto, tentaremos obter um insight sobre a existência e a singularidade das soluções por meio da geometria.

Geometria de Sistemas Lineares em Duas Variáveis

Problema de exploração init: systwoeqs1 oferece um exemplo de um sistema linear de duas equações e duas incógnitas com uma solução única.

Geometricamente, o gráfico de cada equação é uma linha em. O ponto é uma solução para ambas as equações, portanto, deve estar em ambas as linhas. O gráfico abaixo mostra as duas linhas que se cruzam em.

Dado um sistema de duas equações com duas incógnitas, existem três resultados geométricos possíveis. Primeiro, os gráficos das duas equações se cruzam em um ponto. Nesse caso, o sistema possui exatamente uma solução. Dizemos que o sistema é consistente e tem um solução única.

Em segundo lugar, as duas linhas podem não ter pontos em comum. Se for esse o caso, o sistema não tem soluções. Dizemos que o sistema é inconsistente.

Finalmente, as duas linhas podem coincidir. Nesse caso, existem infinitos pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Dizemos que o sistema é consistente e tem infinitas soluções.

Ao contrário da situação no Exemplo ex: systwoeqs2, existem valores de e que satisfazem a segunda equação. Na verdade, qualquer par ordenado que satisfaça a primeira equação irá satisfazer a segunda equação. Assim, o conjunto de soluções para este sistema é o mesmo que o conjunto de todas as soluções de.

Quando plotamos as duas equações do sistema original, descobrimos que as duas linhas coincidem.

Dado um sistema linear em duas variáveis ​​e mais de duas equações, temos uma variedade de possibilidades geométricas. Três deles são descritos abaixo. Primeiro, é possível que os gráficos de todas as equações do sistema se cruzem em um único ponto, o que nos dá uma solução única.

Em segundo lugar, é possível que os gráficos não tenham pontos em comum.

Se for esse o caso, o sistema é inconsistente.

Geometria de Sistemas Lineares em Três Variáveis

No Exemplo ex: threeeqthreevars1 resolvemos o seguinte sistema linear de três equações e três incógnitas. Descobrimos que o sistema tem uma solução única. O gráfico de cada equação é um plano. Os três planos se cruzam em um único ponto, como mostrado na figura.

Dado um sistema linear de três equações e três variáveis, existem três maneiras pelas quais o sistema pode ser consistente. Primeiro, os três planos podem se cruzar em um único ponto, dando-nos uma solução única.

Em segundo lugar, os três planos podem se cruzar em uma linha, formando um formato de roda de pás. Nesse caso, cada ponto ao longo da linha de interseção é uma solução para o sistema, dando-nos um número infinito de soluções.

Finalmente, os três planos podem coincidir. Se for esse o caso, existem infinitas soluções.

Existem quatro maneiras de um sistema ser inconsistente. Eles são descritos abaixo.

Sistemas Equivalentes e Operações Elementares de Linha

No Problema de Exploração init: systwoeqs1, introduzimos operações de linha elementares e sistemas equivalentes. Agora tornamos essas definições formais.

Não é difícil ver que a execução de uma sequência de operações elementares de linha em um sistema de equações produz um sistema equivalente. Podemos justificar isso considerando as operações de linha uma de cada vez. Claramente, a ordem das equações para baixo não afeta o conjunto de soluções, portanto, item: rowswap produz um sistema equivalente. Em seguida, você aprendeu anos atrás que multiplicar os dois lados de uma equação por uma constante diferente de zero não altera seu conjunto de solução, que estabelece aquele item: constantmult produz um sistema equivalente. Também é verdade que item: addrow produz um sistema equivalente. Para ver isso, observe que um múltiplo de uma equação ainda é uma equação, então, se adicionarmos um múltiplo de uma equação a outra equação no sistema, estamos adicionando a mesma coisa a ambos os lados, o que não altera o conjunto de solução de dessa equação, nem do sistema.


O tipo mais básico de associação é uma associação linear. Este tipo de relacionamento pode ser definido algebricamente pelas equações usadas, numericamente com valores de dados reais ou previstos ou graficamente a partir de uma curva traçada. (As linhas são classificadas como curvas retas.) Algebricamente, uma equação linear normalmente assume a forma y = mx + b, Onde m e b são constantes, x é a variável independente, y é a variável dependente. Em um contexto estatístico, uma equação linear é escrita na forma y = a + bx, Onde umae b são as constantes. Este formulário é usado para ajudar os leitores a distinguir o contexto estatístico do contexto algébrico. Na equação y = a + bx, a constante b que multiplica o x variável (b é chamado de coeficiente) é chamado de inclinação. A inclinação descreve a taxa de mudança entre as variáveis ​​independentes e dependentes em outras palavras, a taxa de mudança descreve a mudança que ocorre na variável dependente conforme a variável independente é alterada. Na equação y = a + bx, a constante a é chamada de y-interceptar. Graficamente, o y-intercept é o y coordenada do ponto onde o gráfico da linha cruza o y eixo. Neste ponto x = 0.

O inclinação de uma linha é um valor que descreve a taxa de mudança entre as variáveis ​​independentes e dependentes. O inclinação nos diz como a variável dependente (y) mudanças para cada aumento de unidade no independente (x) variável, em média. O y-interceptar é usado para descrever a variável dependente quando a variável independente é igual a zero. Graficamente, a inclinação é representada por três tipos de linha nas estatísticas elementares.


Métodos de solução de equações lineares

Jamal H. Abou-Kassem,. M. Rafiq Islam, em Petroleum Reservoir Simulations, 2006

9.2.3 Problemas de fluxo 2D e 3D (matrizes esparsas)

As equações lineares para problemas de fluxo 2D e 3D podem ser obtidas (1) escrevendo a equação de fluxo usando o método CVFD, (2) escrevendo a definição do conjunto ψ n para o bloco n em 2D ou 3D, usando a Figura 3-1 para notação de engenharia de identificação de bloco ou Figura 3-3 para ordenação natural de blocos, conforme explicado nas Seções 3.2.1 e 3.2.2, e a definição do conjunto ξn para o bloco n, e (3) escrever a equação de fluxo em uma forma expandida. Por exemplo, usamos a Eq. 8.1 na etapa 1 para fluxo 3D de um fluido incompressível, produzindo

Se o reservatório não tiver limites de fluxo (ξn = <> e como resultado Σ l ∈ ξ n q s c l, n = 0 para todos os valores de n) e se os poços tiverem taxas de fluxo especificadas, Eq. 9,40 pode ser reorganizado como

Na etapa 2, definimos o bloco n como um bloco no espaço 3D [n ≡ (eu, j, k)]. Assim, ψn é dado como na Figura 3-3c,

desde que os blocos do reservatório sejam ordenados em ordenação natural, com os blocos ordenados no eu direção, o j direção e, finalmente, o k direção. Agora a Eq. 9.41 e a nova definição de ψn dado pela Eq. 9.42 fornecem a equação procurada.

Na etapa 3, expandimos a Eq. 9,41 como

As pressões desconhecidas na Eq. 9.43 são reorganizados na ordem mostrada na Figura 9-2, rendendo

Figura 9-2. Ordenação de incógnitas de blocos vizinhos em equações de fluxo.

Eq. 9,44 é a equação linear para o fluxo 3D de um fluido incompressível. As incógnitas nesta equação são p n - n x n y, p n - n x, p n - 1, p n, p n + 1, p n + n x e p n + n x n y, Eq. 9,44 pode ser expresso como

Se a Eq. 9,45 é escrito para cada bloco n = 1, 2, 3…, N Onde N = nx × ny × nz em um reservatório retangular, a equação da matriz terá sete diagonais (uma matriz de coeficiente heptadiagonal), conforme mostrado na Figura 9-3c. Fluxo de fluido em um reservatório 2D (bn = uman = 0) com limites regulares resulta em uma equação de matriz com cinco diagonais (uma matriz de coeficiente pentadiagonal) como mostrado na Figura 9-3b. Fluxo de fluido em um reservatório 1D (bn = sn = nn = uman = 0) resulta em uma equação de matriz com três diagonais (uma matriz de coeficiente tridiagonal) como mostrado na Figura 9-3a.

Figura 9-3. Matrizes de coeficientes em problemas de fluxo 1D, 2D e 3D.

As soluções dessas equações matriciais podem ser obtidas usando um solucionador de matriz de banda g. Esse solucionador nada mais é do que a eliminação de Gauss usando LU fatoração, que opera apenas em elementos dentro das bandas mais externas da matriz esparsa. Zeros fora das faixas mais externas não são operados. O número de elementos de linha (ou coluna) dentro das bandas mais externas é chamado de largura de banda (2bC + 1), onde bC = 1 para problemas de fluxo 1D, bC = nx para problemas de fluxo 2D, e bC = nx × ny para problemas de fluxo 3D, conforme mostrado na Figura 9-3. O seguinte algoritmo é um algoritmo de banda g. O algoritmo da banda g é executado em três etapas principais: a etapa de inicialização, a etapa de eliminação direta e a etapa de substituição posterior.

Os códigos de computador FORTRAN que usam este algoritmo estão disponíveis na literatura (Aziz e Settari 1979, Abou-Kassem e Ertekin 1992). Tais programas requerem o armazenamento de elementos de matriz dentro das bandas mais externas em linha em um vetor (uma matriz unidimensional).


Detalhes da oficina

Capítulo 1. Introdução, Antecedentes e Regressão Múltipla
1.1 Introdução
1.2 Uma breve introdução à álgebra de matrizes
1.3 Regressão Linear como um Modelo de Equação Estrutural
1.4 Limitações do modelo de regressão múltipla

Capítulo 2. Análise de Caminho: Introdução
2.1 O Modelo de Análise de Caminho
2.2 Identificação do modelo
2.3 Estimativa do Modelo

Capítulo 3. Análise de Caminho: Tópicos Avançados
3.1 Avaliação do ajuste do modelo
3.2 Comparações de Modelos
3.3 Índices de Reespecificação e Modificação do Modelo
3.4 Teste de efeitos diretos e indiretos
3.5 Suposições (auto-estudo)

Capítulo 4. Análise Fatorial Confirmatória
4.1 Análise Fatorial Confirmatória
4.2 Problemas e extensões (autoaprendizado)

Capítulo 5. Modelos de Equações Estruturais com Variáveis ​​Latentes
5.1 Introdução aos Modelos de Equações Estruturais
5.2 Ajustando e Avaliando Modelos de Equações Estruturais
5.3 Considerações adicionais: estimativa com distribuições não normais, poder de computação e modelos equivalentes (auto-estudo)

Este workshop é amplamente voltado para aplicações de pesquisa em ciências comportamentais, da saúde, educacionais e psicológicas, embora os métodos se apliquem a muitas outras disciplinas também. Recomendamos que os participantes tenham um conhecimento prático do modelo de regressão geral. Aqueles que precisam de uma atualização podem verificar os episódios em nossa lista de reprodução de regressão linear no YouTube.

Demonstrações de software ao vivo serão fornecidas em R no final de cada dia e demonstrações pré-gravadas em Stata e Mplus serão publicadas todos os dias. Observe que o R pode ser baixado gratuitamente. Embora seja útil ter alguma familiaridade com R, isso não é necessário. As palestras que constituem a maioria do workshop são independentes de software

Nosso objetivo motivador é fornecer uma experiência educacional intensa, mas agradável. Nós nos esforçamos para encontrar um equilíbrio igual entre os conceitos centrais do modelo estatístico subjacente, juntamente com a aplicação prática e interpretação de modelos de equações estruturais ajustados a dados empíricos reais. Nosso workshop foi projetado para fornecer aos participantes os materiais e as instruções necessárias para desenvolver uma compreensão real dos modelos de equações estruturais e para ser capaz de aplicar de forma cuidadosa uma variedade desses modelos aos seus próprios dados.

Dan Bauer e Patrick Curran co-ministram o workshop e dão palestras alternadas ao longo do dia. Fornecemos uma cópia em PDF das notas do curso e um PDF com extensas demonstrações de software, bem como dados e código para todos os exemplos. Os PDFs não têm limite de tempo e podem ser retidos indefinidamente, mas não devem ser distribuídos a terceiros sem a obtenção de permissão prévia.

Por favor, veja cópias de amostra das notas de aula e as notas R de nosso workshop SEM de 5 dias.

As palestras com transmissão ao vivo começarão às 9h e terminarão às 16h. Hora do Leste (EUA) todos os dias. Após as palestras, serão realizadas demonstrações de computador em R das 16h00 às 17h00. Hora do Leste (EUA). Haverá intervalos matinais e vespertinos de 15 minutos e intervalo para almoço de uma hora, cujos horários exatos serão determinados durante a palestra. Local time zones within which the participant is connected must be adjusted to correspond to Eastern Time (US).

Participants can ask text-based questions using a Zoom function that will be monitored by CenterStat staff and conveyed to the instructor. If a question cannot be answered during the lecture, a text response will be provided at a later time.

Because participants are receiving the Livestream from Zoom and not broadcasting video images back, the connectivity requirements are minimal. A minimum of 150kbps (kilobytes per second) is required to participate in a video webinar, and this can be wired or wireless. Given typical home internet connections or personal WiFi access, these requirements are quite low. For example, it is recommended that a 3000kbps (or 3mbps, megabytes per second) connection be used to stream a movie on Netflix. A typical WiFi hotspot on a typical cell phone is 20-30mbps, thus any standard internet connection should allow for uninterrupted participation in the webinar. See https://www.speedtest.net/ to evaluate your own connection speed. Note that a typical source of connectivity problems in the home is linking the device to the WiFi broadcast unit, so be certain your device is has uninterrupted lines of site to the wireless modem see, e.g., https://www.familyhandyman.com/smart-homeowner/9-simple-tips-for-faster-wi-fi/

The Livestream does not have DVR-like controls and thus cannot be paused or rewound during the session itself. However, full recordings of Livestream workshops will be available to rewatch for 14 days following the completion of the workshop.

The recordings cannot be saved by the participant and will not be available after the fourteen day period. You can log in to your account to access these recordings. The recordings cannot be downloaded by the participant and will not be available after access has expired.

CenterStat by Curran-Bauer Analytics is not able to provide technical support for end-user issues with the Livestream. As such, participants are fully responsible for connectivity that supports the Livestream of audio and video. Information will be provided about the minimum required bandwidth and methods for testing connectivity. However, in the low probability that a participant is not able to connect, there will be access to the recorded sessions for 6 months following the completion of the workshop. If you need assistance accessing recordings or with your CenterStat account, please contact support.


Differential Equations and Linear Algebra, 1.1: Overview of Differential Equations

Linear equations include dy/dt = y, dy/dt = –y, dy/dt = 2ty. The equation dy/dt = y*y is nonlinear.

OK. Well, the idea of this first video is to tell you what's coming, to give a kind of outline of what is reasonable to learn about ordinary differential equations. And a big part of the series will be videos on first order equations and videos on second order equations. Those are the ones you see most in applications. And those are the ones you can understand and solve, when you're fortunate.

So first order equations means first derivatives come into the equation. So that's a nice equation that we will solve, we'll spend a lot of time on. The derivative is-- that's the rate of change of y-- the changes in the unknown y-- as time goes forward are partly from depending on the solution itself. That's the idea of a differential equation, that it connects the changes with the function y as it is.

And then you have inputs called q of t, which produce their own change. They go into the system. They become part of y. And they grow, decay, oscillate, whatever y of t does. So that is a linear equation with a right-hand side, with an input, a forcing term.

And here is a nonlinear equation. The derivative of y. The slope depends on y. So it's a differential equation. But f of y could be y squared over y cubed or the sine of y or the exponential of y. So it could be not linear. Linear means that we see y by itself. Here we won't. Well, we'll come pretty close to getting a solution, because it's a first order equation. And the most general first order equation, the function would depend on t and y. The input would change with time. Here, the input depends only on the current value of y.

I might think of y as money in a bank, growing, decaying, oscillating. Or I might think of y as the distance on a spring. Lots of applications coming.

OK. So those are first order equations. And second order have second derivatives. The second derivative is the acceleration. It tells you about the bending of the curve.

If I have a graph, the first derivative we know gives the slope of the graph. Is it going up? Is it going down? Is it a maximum?

The second derivative tells you the bending of the graph. How it goes away from a straight line. So and that's acceleration. So Newton's law-- the physics we all live with-- would be acceleration is some force. And there is a force that depends, again, linearly-- that's a keyword-- on y. Just y to the first power.

And here is a little bit more general equation. In Newton's law, the acceleration is multiplied by the mass. So this includes a physical constant here, the mass.

Then there could be some damping. If I have motion, there may be friction slowing it down. That depends on the first derivative, the velocity.

And then there could be the same kind of forced term that depends on y itself. And there could be some outside force, some person or machine that's creating movement. An external forcing term.

So that's a big equation. And let me just say, at this point, we let things be nonlinear. And we had a pretty good chance. If we get these to be non-linear, the chance at second order has dropped. And the further we go, the more we need linearity and maybe even constant coefficients. m, b, and k. So that's really the problem that we can solve as we get good at it is a linear equation-- second order, let's say-- with constant coefficients. But that's pretty much pushing what we can hope to do explicitly and really understand the solution, because so linear with constant coefficients. Say it again. That's the good equations.

And I think of solutions in two ways. If I have a really nice function like a exponential. Exponentials are the great functions of differential equations, the great functions in this series. You'll see them over and over. Exponentials. Say f of t equals-- e to the t. Or e to the omega t. Or e to the i omega t. That i is the square root of minus 1.

In those cases, we will get a similarly nice function for the solution. Those are the best. We get a function that we know like exponentials. And we get solutions that we know.

Second best are we get some function we don't especially know. In that case, the solution probably involves an integral of f, or two integrals of f. We have a formula for it. That formula includes an integration that we would have to do, either look it up or do it numerically.

And then when we get to completely non-linear functions, or we have varying coefficients, then we're going to go numerically. So really, the wide, wide part of the subject ends up as numerical solutions. But you've got a whole bunch of videos coming that have nice functions and nice solutions.

OK. So that's first order and second order. Now there's more, because a system doesn't usually consist of just a single resistor or a single spring. In reality, we have many equations. And we need to deal with those.

So y is now a vector. y1, y2, to yn. n different unknowns. n different equations. That's n equation. So here that is an n by n matrix. So it's first order. Constant coefficient. So we'll be able to get somewhere. But it's a system of n coupled equations.

And so is this one with a second derivative. Second derivative of the solution. But again, y1 to yn. And we have a matrix, usually a symmetric matrix there, we hope, multiplying y.

So again, linear. Constant coefficients. But several equations at once. And that will bring in the idea of eigenvalues and eigenvectors. Eigenvalues and eigenvectors is a key bit of linear algebra that makes these problems simple, because it turns this coupled problem into n uncoupled problems. n first order equations that we can solve separately. Or n second order equations that we can solve separately. That's the goal with matrices is to uncouple them.

OK. And then really the big reality of this subject is that solutions are found numerically and very efficiently. And there's a lot to learn about that, a lot to learn. And MATLAB is a first-class package that gives you numerical solutions with many options.

One of the options may be the favorite. ODE for ordinary differential equations 4 5. And that is numbers 4, 5. Well, Cleve Moler, who wrote the package MATLAB, is going to create a series of parallel videos explaining the steps toward numerical solution.

Those steps begin with a very simple method. Maybe I'll put the creator's name down. Euler. So you can know that because Euler was centuries ago, he didn't have a computer. But he had a simple way of approximating. So Euler might be ODE 1. And now we've left Euler behind. Euler is fine, but not sufficiently accurate.

ODE 45, that 4 and 5 indicate a much higher accuracy, much more flexibility in that package. So starting with Euler, Cleve Moler will explain several steps that reach a really workhorse package.

So that's a parallel series where you'll see the codes. This will be a chalk and blackboard series, where I'll find solutions in exponential form. And if I can, I would like to conclude the series by reaching partial differential equations.

So I'll just write some partial differential equations here, so you know what they mean. And that's a goal which I hope to reach.

So one partial differential equation would be du dt-- you see partial derivatives-- is second derivative. So I have two variables now. Time, which I always have. And here is x in the space direction. That's called the heat equation. That's a very important constant coefficient, partial differential equation.

So PDE, as distinct from ODE. And so I write down one more. The second derivative of u is the same right-hand side second derivative in the x direction. That would be called the wave equation.

So this is like the first order equation in time. It's like a big system. In fact, it's like an infinite size system of equations. First order in time. Or second order in time. Heat equation. Wave equation.

And I would like to also include a the Laplace equation. Well, if we get there. So those are goals for the end of the series that go beyond some courses in ODEs. But the main goal here is to give you the standard clear picture of the basic differential equations that we can solve and understand.


Assista o vídeo: Aula Combinação Linear - Introdução (Outubro 2021).