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2.3: Gráficos trigonométricos básicos


objetivos de aprendizado

  • Represente graficamente as seis relações trigonométricas como funções no plano cartesiano.
  • Identifique o domínio e o alcance dessas seis funções trigonométricas.
  • Identifique a medida de radianos e graus, bem como as coordenadas dos pontos no círculo unitário e gráfico para o ângulo crítico.

A primeira função que iremos representar graficamente é a função seno. Descreveremos uma forma geométrica de criar o gráfico, usando o círculo unitário. Este é o círculo de raio (1 ) no (xy ) - plano que consiste em todos os pontos ((x, y) ) que satisfazem a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) .

Vemos na Figura 5.1.1 que qualquer ponto no círculo unitário tem coordenadas ((x, y) = ( cos ; theta, sin ; theta) ), onde ( theta ) é o ângulo que o segmento de linha do
origem para ((x, y) ) faz com o eixo (x ) - positivo (por definição de seno e cosseno). Assim, à medida que o ponto ((x, y) ) gira em torno do círculo, sua coordenada (y ) é ( sin ; theta ).

Obtemos assim uma correspondência entre as coordenadas (y ) de pontos no círculo unitário e os valores (f ( theta) = sin ; theta ), conforme mostrado pelas linhas horizontais do círculo unitário ao gráfico de (f ( theta) = sin ; theta ) na Figura 5.1.2 para os ângulos ( theta = 0 ), ( tfrac { pi} {6} ) , ( tfrac { pi} {3} ), ( tfrac { pi} {2} ).

Podemos estender a imagem acima para incluir ângulos de (0 ) a (2 pi ) radianos, como na Figura 5.1.3. Isso ilustra o que às vezes é chamado de definição de círculo unitário da função seno.

Como as funções trigonométricas se repetem a cada (2 pi ) radianos ( (360 ^ circ )), obtemos, por exemplo, o seguinte gráfico da função (y = sin ; x ) para (x ) no intervalo ([- 2 pi, 2 pi] ):

Para representar graficamente a função cosseno, poderíamos novamente usar a ideia do círculo unitário (usando a coordenada (x ) de um ponto que se move ao redor do círculo), mas existe uma maneira mais fácil. Lembre-se da Seção 1.5 que ( cos ; x = sin ; (x + 90 ^ circ) ) para todos (x ). Portanto, ( cos ; 0 ^ circ ) tem o mesmo valor que ( sin ; 90 ^ circ ), ( cos ; 90 ^ circ ) tem o mesmo valor que ( sin ; 180 ^ circ ), ( cos ; 180 ^ circ ) tem o mesmo valor que ( sin ; 270 ^ circ ) e assim por diante. Em outras palavras, o gráfico da função cosseno é apenas o gráfico da função seno deslocada para o deixou por (90 ^ circ = pi / 2 ) radianos, como na Figura 5.1.5:

Para representar graficamente a função tangente, use ( tan ; x = frac { sin ; x} { cos ; x} ) para obter o seguinte gráfico:



Figura 2.3.6 Gráfico de (y = tan x )

Lembre-se de que a tangente é positiva para ângulos em QI e QIII e negativa em QII e QIV, e isso é de fato o que mostra o gráfico da Figura 5.1.6. Sabemos que ( tan ; x ) não é definido quando ( cos ; x = 0 ), ou seja, em múltiplos ímpares de ( frac { pi} {2} ): (x = pm , frac { pi} {2} ), ( pm , frac {3 pi} {2} ), ( pm , frac {5 pi} { 2} ), etc. Podemos descobrir o que acontece perto esses ângulos olhando para as funções seno e cosseno. Por exemplo, para (x ) em QI próximo a ( frac { pi} {2} ), ( sin ; x ) e ( cos ; x ) são ambos positivos, com ( sin ; x ) muito próximo de (1 ) e ( cos ; x ) muito próximo de (0 ), então o quociente ( tan ; x = frac { sin ; x} { cos ; x} ) é um número positivo muito grande. E quanto mais perto (x ) chega de ( frac { pi} {2} ), maior se torna ( tan ; x ). Assim, (x = frac { pi} {2} ) é um assíntota vertical do gráfico de (y = tan ; x ).

Da mesma forma, para (x ) em QII muito próximo de ( frac { pi} {2} ), ( sin ; x ) é muito próximo de (1 ) e ( cos ; x ) é negativo e muito próximo de (0 ), então o quociente ( tan ; x = frac { sin ; x} { cos ; x} ) é um número negativo que é muito grande, e fica maior na direção negativa quanto mais perto (x ) chega de ( frac { pi} {2} ). O gráfico mostra isso. Da mesma forma, obtemos assíntotas verticais em (x = - frac { pi} {2} ), (x = frac {3 pi} {2} ) e (x = - frac { 3 pi} {2} ), como na Figura 5.1.6. Observe que o gráfico da função tangente se repete a cada ( pi ) radianos, ou seja, duas vezes mais rápido do que os gráficos de repetição de seno e cosseno.

Os gráficos das funções trigonométricas restantes podem ser determinados observando os gráficos de suas funções recíprocas. Por exemplo, usando ( csc ; x = frac {1} { sin ; x} ) podemos apenas olhar para o gráfico de (y = sin ; x ) e inverter os valores. Obteremos assíntotas verticais quando ( sin ; x = 0 ), ou seja, em múltiplos de ( pi ): (x = 0 ), ( pm , pi ), ( pm , 2 pi ), etc. A Figura 5.1.7 mostra o gráfico de (y = csc ; x ), com o gráfico de (y = sin ; x ) (o traço curva) para referência.

Da mesma forma, a Figura 5.1.8 mostra o gráfico de (y = sec ; x ), com o gráfico de (y = cos ; x ) (a curva tracejada) para referência. Observe as assíntotas verticais em (x = pm , frac { pi} {2} ), ( pm , frac {3 pi} {2} ). Observe também que o gráfico é apenas o gráfico da função cossecante deslocada para a esquerda por ( frac { pi} {2} ) radianos.

O gráfico de (y = cot ; x ) também pode ser determinado usando ( cot ; x = frac {1} { tan ; x} ). Alternativamente, podemos usar a relação ( cot ; x = - tan ; (x + 90 ^ circ) ) da Seção 1.5, de modo que o gráfico da função cotangente seja apenas o gráfico da função tangente deslocado para a esquerda por ( frac { pi} {2} ) radianos e então refletido sobre o eixo (x ), como na Figura 5.1.9:


MathHelp.com

O gráfico é parecido com este:

Você vê que este segundo gráfico é três vezes mais alto que o primeiro gráfico? A amplitude mudou de 1 no primeiro gráfico para 3 no segundo, assim como o multiplicador na frente do seno mudou de 1 para 3. Essa relação é sempre verdadeira: qualquer número A é multiplicado na função trigonométrica fornece a amplitude (ou seja, a & quottallness & quot ou & quothorthortness & quot do gráfico) neste caso, esse número de amplitude era 3.

Qual é a amplitude de y(t) = 0.5cos(t) ?

Para esta função, o valor do multiplicador de amplitude A é dado por 0,5, então a função terá uma amplitude de:

Qual é a amplitude de y(x) = & ndash2cos(x) ?

Para esta função, o valor do multiplicador de amplitude A é & ndash2, então a amplitude é:

. e, por falar nisso, o gráfico também ficaria invertido, por causa do sinal "menos".

Tecnicamente, a amplitude é o valor absoluto de tudo o que é multiplicado na função trigonométrica. A amplitude apenas diz como & quottall & quot ou & quotshort & quot é a curva, cabe a você notar se há um & quotminus & quot nesse multiplicador e, portanto, se a função está ou não na orientação normal, ou de cabeça para baixo.

Lembre-se do primeiro gráfico, sendo a onda senoidal "regular":

Você vê como este terceiro gráfico é espremido dos lados, em comparação com o primeiro gráfico? Você vê que a onda senoidal está ciclando duas vezes mais rápido, de modo que seu período é apenas a metade? Esta relação é sempre verdadeira: qualquer valor B é multiplicado na variável (dentro da função trigonométrica), você usa esse valor para encontrar o período & ômega ("omega", não "double-u") da função trigonométrica, de acordo com este Fórmula:

Para senos e cossenos (e seus recíprocos), o período & quot regular & quot é 2 & pi, então sua fórmula é:

fórmula de período para senos e cossenos amp:

Para tangentes e cotangentes, o período & quotregular & quot é & ​​pi, então sua fórmula é:

fórmula de período para tangentes e cotangentes amp:

Na onda senoidal representada no gráfico acima, o valor do multiplicador de período B era 2. (Às vezes, o valor de B dentro da função será negativo, razão pela qual existem barras de valor absoluto no denominador.) Como resultado, seu período foi 2 & pi / 2 = & pi.

Qual é o período de f(t) = cos(3t) ?

A fórmula para senos e cossenos diz que o período regular é 2 & pi. Em cos(3t), B = 3, então esta função terá um período de:

Qual é o período de g(x) = bronzeado(x/2) ?

A fórmula para tangentes e cotangentes diz que o período regular é & pi. Para bronzeado(t/ 2), o valor de B é 1/2, então a função terá um período de:

Lembre-se novamente do primeiro gráfico, sendo a onda senoidal "regular":

Você vê que o gráfico (mostrado em azul no gráfico acima) é deslocado para a direita por & pi / 3 unidades do gráfico regular (mostrado em cinza)? Esta relação é sempre verdadeira: se o argumento da função (aquilo que você está conectando à função) tiver a forma & quot (variável) & ndash (número) = (variável) & ndash C & quot, o gráfico será alterado para a certo por esse (número) de unidades (ou seja, por unidades C) se o argumento for da forma & quot (variável) + (número) = (variável) + C & quot, então o gráfico é deslocado para o deixou por esse (número) de unidades (novamente, por unidades C). Este deslocamento para a direita ou para a esquerda é chamado de & quot deslocamento de fase & quot.

Qual é a mudança de fase?

Dentro do argumento (ou seja, dentro dos parênteses da função), a & pi / 4 é adicionado à variável. Isso significa que C = & pi / 4. Porque este valor é adicionado para a variável, então a mudança é para o deixou. Então, a mudança de fase é:

Qual é a mudança de fase de

O número C dentro da variável é 2 & pi / 3, então esta será a mudança de fase. Este número é subtraído da variável, então a mudança será para o certo.

Vamos lembrar novamente o gráfico da onda senoidal "regular":

Você vê como o gráfico foi aumentado em três unidades? Essa relação é sempre verdadeira: se um número D for adicionado fora da função, então o gráfico será deslocado para cima naquele número de unidades se um número D for subtraído, então o gráfico será deslocado para baixo naquele número de unidades.

Em que quantidade é o gráfico de h(t) = cos(t) & ndash 2 mudou, e em que direção?

A parte da função trigonométrica é a cos(t) a parte de deslocamento para cima ou para baixo é D = & ndash2. Não há mais nada acontecendo dentro da função, nem multiplicado na frente dela, então esta é a onda cosseno regular, mas é:

deslocou duas unidades para baixo

Em que quantidade é o gráfico de t(x) = bronzeado(x) + 0,6 deslocada e em que direção?

A parte da função trigonométrica é a bronzeado(x) a parte de deslocamento para cima ou para baixo é + 0,6. Portanto, esta é a curva tangente regular, mas:

deslocado para cima em 6/10 = 3/5 de uma unidade.

Juntando tudo em termos de onda senoidal, temos a função seno geral:

. onde | A | é a amplitude, B fornece o período, D fornece o deslocamento vertical (para cima ou para baixo) e C / B é usado para encontrar o deslocamento de fase.

& quotEspere! & quot, eu ouço você gritar & quotPor que não usamos apenas C para a mudança de fase? & quot Porque às vezes mais coisas envolventes estão acontecendo dentro da função. Lembre-se de que a mudança de fase vem do que é adicionado ou subtraído diretamente para a variável. Se a variável não estiver sozinha (ou seja, se houver algo multiplicado diretamente nela), há outra etapa a seguir.

Por exemplo, se você tem algo como:

. a mudança de fase é não unidades & pi! Em vez disso, primeiro você deve isolar o que está acontecendo com a variável por fatoração, assim:

Agora você pode ver que a mudança de fase será & pi / 2 unidades, não & pi unidades. Portanto, a mudança de fase, como uma fórmula, é encontrada dividindo C por B.

Para F(t) = A f(Bt & ndash C) + D, onde f(t) é uma das funções trigonométricas básicas, temos:

(Observação: livros diferentes usam letras diferentes para representar a fórmula do período. Em sua classe, use o que seu livro ou instrutor usar.)

Encontre a amplitude, período, mudança de fase e mudança vertical de

A amplitude é dada pelo multipler na função trigonométrica. Nesse caso, há um & ndash2.5 multiplicado diretamente na tangente. Este é o & quot A & quot da fórmula e me diz que a amplitude é 2,5. (Se eu fosse fazer um gráfico, precisaria observar que o gráfico dessa tangente também ficaria de cabeça para baixo.)

O período regular para tangentes é & pi. Nesta função particular, há um 4 multiplicado na variável, então B = 4. Conectando-se à fórmula do período, eu entendo.

Para encontrar a mudança de fase, preciso isolar a variável com o valor da mudança, então preciso fatorar o 4 (também conhecido como & quot C & quot) que é multiplicado na variável. A fatoração é:

Então a mudança de fase é. Porque o valor do deslocamento é subtraído da variável, a mudança é Para a direita.

(Eu também poderia ter usado o método mais simples, diretamente da fórmula, de dividir C por B. Isso teria me dado o mesmo valor, mas mais rapidamente e com menos chance de erro na fatoração. Tente você mesmo dos dois modos, e descubra qual você gosta mais. Em seguida, pratique bem antes do próximo teste!)

O deslocamento vertical vem do valor inteiramente fora da função trigonométrica, a saber, o 4 externo (também conhecido como & quot D & quot, na fórmula). Porque este 4 é subtraído da tangente, a mudança será de quatro unidades para baixo da linha central usual, o x-eixo.

mudança de fase: à direita por

deslocamento vertical: para baixo em 4

Até agora, vimos encontrando as informações necessárias para a representação gráfica. Agora vamos ver como é esse processo na prática, porque há uma maneira de fazer o desenho desses gráficos um inteira muito mais fácil do que o que eles mostram no livro.


Transformação de gráficos trigonométricos

Os diagramas a seguir mostram como determinar a transformação de um gráfico trigonométrico a partir de sua equação. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.


Amplitude das funções trigonométricas

A amplitude de uma função trigonométrica é o deslocamento máximo no gráfico dessa função.

No caso das funções sen e cos, este valor é o coeficiente líder da função.

Se y = A sen x, então a amplitude é | A |.

No caso de tan, cot, sec e csc, a amplitude seria infinitamente grande, independentemente do valor de A. No entanto, para um domínio limitado, o valor de A determinaria a altura máxima dessas funções.

Período de função trigonométrica

O período de uma função é o deslocamento de x no qual o gráfico da função começa a se repetir.

O valor x = 2π é o ponto em que o gráfico começa a se repetir o do primeiro quadrante. O coeficiente de x é a constante que determina o período.

A forma geral é y = A sen Bx onde | A | é a amplitude e B determina o período.

Para as funções sin, cos, sec e csc, o período é encontrado por P = 2π / B

Exemplo:
Encontre o período do gráfico y = sin 2x e esboce o gráfico de y = sin 2x para 0 ≤ 2x ≤ π.

Solução:
Como B = 2, o período é P = 2π / B = 2π / 2 = π

Mudança de fase de funções trigonométricas

A forma geral para a equação da função trigonométrica seno é
y = A sen B (x + C)
onde A é a amplitude, o período é calculado pela constante B e C é o deslocamento de fase.

O gráfico y = sin x pode ser movido ou deslocado para a esquerda ou para a direita. Se C for positivo, o deslocamento será para a esquerda; se C for negativo, o deslocamento será para a direita.

Uma forma geral semelhante pode ser obtida para as outras funções trigonométricas.

Exemplo:
Encontre a amplitude, período e mudança de fase de

Solução:
Reescrever

A amplitude é 2, o período é π e o deslocamento de fase é π / 4 unidades para a esquerda.

Função Seno Básica
Definição de funções periódicas, período, deslocamento de fase, amplitude, deslocamento vertical.
Uma função periódica é uma função cujo gráfico se repete de forma idêntica da esquerda para a direita.
O período de uma função é a distância horizontal necessária para um ciclo completo.
O período de uma função seno e cosseno básica é 2π.
A frequência de uma função é a recíproca do período.
A mudança de fase de uma função é a mudança horizontal de uma função periódica.
A amplitude de uma função é a metade da distância entre os valores máximo e mínimo de uma função periódica. A amplitude é sempre positiva.
O deslocamento vertical de uma função é o deslocamento vertical de uma função periódica ao longo do eixo y.

Transformação de sen e cos com amplitude e deslocamento vertical
f (x) = A sen (Bx + C) + D
Expandir verticalmente quando | A | & gt 1
Contraia verticalmente quando | A | & lt 1
Refletir quando A & lt 1
Amplitude = | A |

Transformação de sin e cos com período e mudança de fase
f (x) = A sen (Bx + C) + D
Contraia horizontalmente quando | B | & gt 1
Expanda horizontalmente quando 0 & lt | B | & lt 1
Período = (2π) / | B |

Exemplos de transformação de funções básicas de seno e cosseno
f (x) = A sen (Bx + C) + D
Mude para cima verticalmente quando D & gt 0
Desloque para baixo verticalmente quando D & lt 0

Demonstrações de transformações de gráficos trigonométricos: amplitude, período e mudança de fase

Funções trigonométricas do gráfico (seno, cosseno e tangente) com todas as transformações
Os vídeos explicaram como as mudanças de amplitude e período e quais números nas equações.
Parte 1: Veja o que uma translação vertical, translação horizontal e uma reflexão se comportam em três exemplos separados.
Exemplo 1: esboce o gráfico de y = 3 + sin 2x
Exemplo 2: esboce o gráfico de y = -1 + cos (x - π)

Funções trigonométricas do gráfico (seno, cosseno e tangente) com todas as transformações
Neste conjunto de vídeos, vemos como a linha de equilíbrio é afetada por um deslocamento vertical e como o ponto de partida é afetado por um deslocamento horizontal (fase). As mudanças nos gráficos para cima e para baixo também são chamadas de traduções.

Parte 2: Um exemplo de como o gráfico tangente e suas assíntotas são afetadas por diferentes transformações. Um exemplo que inclui todo tipo de transformação possível, tudo em um problema, é mostrado.
Exemplo 1: esboce o gráfico de y = -3 tan x + 5
Exemplo 2: esboce o gráfico y = 2 + 3 cos 4π (x + 1/4)

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Ângulo de fase nem sempre é definido da mesma forma que mudança de fase.

A fase ângulo para a curva senoidal y = uma pecado(bx + c) geralmente é considerado o valor de c e a fase mudança geralmente é dado por `-c / b`, como vimos acima.

Lembrete: Na última seção, vimos como expressar curvas seno em termos de frequência.

Exemplo: Os engenheiros eletrônicos separam os termos "ângulo de fase" e "mudança de fase" e usam uma mistura de radianos e graus. Podemos ter uma corrente expressa da seguinte forma:

Isso significa que a amplitude é `50 & quotA & quot`, a frequência é` 100 & quotHz & quot` e o ângulo de fase é `30 & deg`.

Veja uma aplicação do ângulo de fase em Uma aplicação para circuitos CA no capítulo de números complexos.

Além disso, veja uma discussão sobre esse assunto em Mudança de fase ou ângulo de fase? no blog de matemática.

Para manter as coisas simples por enquanto, usaremos principalmente o termo mudança de fase neste capítulo.


2.8.2: Gráficos Tangentes

Ajuste o comprimento da curva, ou a distância antes da repetição dos valores y, de (2 pi ).

Sua missão, caso decida aceitá-la, como Trigonometria do Agente é encontrar o ponto e os zeros da função (y = dfrac <1> <2> tan 4x ).

Gráfico de uma função tangente

O gráfico do função tangente é muito diferente das funções seno e cosseno. Primeiro, lembre-se de que a proporção da tangente é ( tan theta = dfrac < text> < text> ). Em radianos, a coordenada para a função tangente seria (( theta, tan theta) )

Depois de ( pi ), os valores de y se repetem, tornando a função tangente periódica com um período de ( pi ).

Figura ( PageIndex <1> )

A parte vermelha do gráfico representa as coordenadas da tabela acima. Repetindo esta parte, obtemos todo o gráfico tangente. Observe que existem assíntotas verticais em (x = & minus dfrac <3 pi> <2> ), (& minus dfrac < pi> <2> ), ( dfrac < pi> <2 > ) e ( dfrac <3 pi> <2> ). Se tivéssemos que estender o gráfico em qualquer direção, continuaria a haver assíntotas verticais nos múltiplos ímpares de pi 2. Portanto, o domínio são todos números reais, (x neq n pi pm dfrac < pi> <2> ), onde (n ) é um número inteiro. O intervalo seria composto de todos os números reais. Assim como com as funções de seno e cosseno, você pode alterar a amplitude, a mudança de fase e a mudança vertical.

A forma padrão da equação é (y = a tan b (x & minush) + k ) onde (a ), (b ), (h ) e (k ) são iguais como são para as outras funções trigonométricas. Para simplificar, não abordaremos as mudanças de fase (k) neste conceito.

Vamos representar graficamente (y = 3 tan x + 1 ) de ([& menos2 pi, 2 pi] ) e declarar o domínio e o intervalo.

Primeiro, a amplitude é 3, o que significa que cada valor y será triplicado. Em seguida, mudaremos a função uma unidade para cima.

Figura ( PageIndex <2> )

Observe que as assíntotas verticais não mudaram. O período desta função ainda é ( pi ). Portanto, se mudássemos o período de uma função tangente, usaríamos uma fórmula diferente daquela que usamos para seno e cosseno. Para alterar o período de uma função tangente, use a fórmula ( dfrac < pi> < mid b mid> ).

O domínio será todos os números reais, exceto onde ocorrem as assíntotas. Portanto, o domínio desta função será (x em R ), (x não em n pi pm dfrac < pi> <2> ). O intervalo é composto por todos os números reais.

Agora, vamos representar graficamente (y = & menos tan 2 pi ) de ([0,2 pi] ), declarar o domínio e o intervalo e encontrar todos os zeros dentro deste domínio.

O período desta função tangente será ( dfrac < pi> <2> ) e as curvas serão refletidas sobre o eixo x.

Figura ( PageIndex <3> )

O domínio é composto de todos os números reais, (x não in dfrac < pi> <4>, dfrac <3 pi> <4>, dfrac <5 pi> <4>, dfrac <7 pi> <4>, dfrac < pi> <4> pm dfrac < pi> <2> n ) onde (n ) é qualquer número inteiro. O intervalo é composto por todos os números reais. Para encontrar os zeros, defina (y = 0 ).

Finalmente, vamos representar graficamente (y = dfrac <1> <4> tan dfrac <1> <4> x ) de ([0,4 pi] ) e declarar o domínio e o intervalo.

Esta função tem um período de ( dfrac < pi> < dfrac <1> <4>> = 4 pi ). O domínio é composto de todos os números reais, exceto (2 pi, 6 pi, 10 pi, 2 pi pm 4 pi n ), onde (n ) é qualquer inteiro. O intervalo é composto por todos os números reais.

Figura ( PageIndex <4> )

Anteriormente, você foi solicitado a encontrar o ponto e os zeros da função (y = dfrac <1> <2> tan 4x ).

Os zeros são onde y é zero.

Encontre o período da função (y = & menos4 tan dfrac <3> <2> x ).

Encontre os zeros da função do Exemplo 2, de ([0,2 pi] ).

Os zeros são onde y é zero.

Encontre a equação da função tangente com uma amplitude de 8 e um período de (6 pi ).

A equação geral é (y = a tan bx ). Sabemos que (a = 8 ). Deixe & rsquos usar o período para resolver a frequência ou (b ).

A equação é (y = 8 tan dfrac <1> <6> x ).

Análise

Represente graficamente as seguintes funções tangentes sobre ([0,4 pi] ). Determine o período, domínio e intervalo.

  1. (y = 2 tan x )
  2. (y = & menos dfrac <1> <3> tan x )
  3. (y = & menos tan 3x )
  4. (y = 4 tan 2x )
  5. (y = dfrac <1> [2> tan 4x )
  6. (y = & menos tan dfrac <1> <2> x )
  7. (y = 4 + tan x )
  8. (y = & menos3 + tan 3x )
  9. (y = 1 + dfrac <2> <3> tan dfrac <1> <2> x )
  10. Encontre os zeros da função de # 1.
  11. Encontre os zeros da função de # 3.
  12. Encontre os zeros da função de # 5.

Escreva a equação da função tangente, na forma (y = a tan bx ), com a amplitude e o período dados.


Exemplos Básicos

Encontre uma equação para o seguinte gráfico:

Primeiramente, observe que o valor máximo obtido pelo gráfico é y = 5 y = 5 y = 5 e o valor mínimo obtido pelo gráfico é y = - 1 y = -1 y = - 1. Isso implica que a amplitude do gráfico é 5 - (- 1) 2 = 3 frac <5 - (- 1)> <2> = 3 2 5 - (- 1) = 3, o que implica a multiplicação da constante trigonométrica função é 3 3 3. Se considerarmos a função seno, então o deslocamento vertical do gráfico é o valor máximo menos a amplitude, ou 5 - 3 = 2,5 - 3 = 2,5 - 3 = 2. O período do gráfico é 6 π - (- 2 π) = 8 π 6 pi - (-2 pi) = 8 pi 6 π - (- 2 π) = 8 π.

Uma possível equação do gráfico é então

3 sin ⁡ (x 4 - π) + 2. □ 3 sin left ( frac<4> - pi right) +2. _ Square 3 sin (4 x - π) + 2. □


Domínio e intervalo para funções tangentes

Observe que a função y = tan (x) consiste em assíntotas verticais em . Por isso,

Para & # 8211 y = f (x) = tan (x)

Intervalo: todos os números reais (ou y ∈ R)

Domínio da tangente: Definido para todos os valores reais de x, exceto x ≠ (2n + 1) (π / 2), onde n é qualquer número inteiro.

Tangente é uma função estranha

Como resultado. no domínio e intervalo acima, as alterações afetarão o intervalo, mas afetarão o domínio.

O gráfico da função tan (x)


Trigonometria

No Capítulo 4, vimos que a amplitude, o período e a linha média de um gráfico senoidal são determinados pelos coeficientes de sua fórmula. O (seno e cosseno dos números reais) se comportam da mesma maneira.

Período de subseção, linha média e amplitude

Mudanças na amplitude, período e linha média são chamadas de gráficos básicos de seno e cosseno.

  • Alterar a linha média desloca o gráfico verticalmente.
  • Alterar a amplitude estica ou comprime o gráfico verticalmente.
  • Alterar o período alonga ou comprime o gráfico horizontalmente.

Primeiro, vamos considerar as mudanças na amplitude.

Exemplo 7.1.

Compare os gráficos de (f (x) = 2 sin x ) e (g (x) = 0,5 sin x ) com o gráfico de (y = sin x text <.> )

Com sua calculadora configurada no modo radianos, represente graficamente as três funções na janela ZTrig (pressione ZOOM 7). Os gráficos são mostrados a seguir.

Todos os três gráficos têm o mesmo período ( (2 pi )) e linha média ( (y = 0 )), mas o gráfico de (f ) tem amplitude 2, e o gráfico de (g ) tem amplitude 0,5.

A amplitude de (y = A sin t ) é dada por ( abs A text <,> ) e o mesmo é verdadeiro para (y = A cos t text <.> ) Em No próximo exercício, lembre-se de que a amplitude é sempre um número não negativo.

Ponto de verificação 7.2.

Compare os gráficos de (f (x) = 3 cos x ) e (g (x) = - 3 cos x ) com o gráfico de (y = cos x text <.> )

Ambos os gráficos têm amplitude 3. O gráfico de (g (x) = - 3 cos x ) é refletido sobre o eixo (x ).

A seguir, consideraremos as mudanças no período do gráfico.

Exemplo 7.3.

Compare os gráficos de (f (x) = cos 2x ) e (g (x) = cos dfrac <1> <3> x ) com o gráfico de (y = cos x text <.> )

Com sua calculadora configurada no modo radianos, represente graficamente (f (x) = cos 2x ) e (y = cos x ) na mesma janela, como mostrado abaixo.

Ambos os gráficos têm a mesma amplitude ( (1 )) e linha média ( (y = 0 )), mas o gráfico de (f ) completa dois ciclos de (0 ) a (2 pi ) em vez de um. O período de (f (x) = cos alert <2> x ) é ( dfrac <2 pi> < alert <2>> = pi text <.> )

Agora represente graficamente (g (x) = cos dfrac <1> <3> x ) e (y = cos x ) na mesma janela. Defina Xmin (= 0 ) e Xmax (= 6 pi text <.> )

O gráfico de (g (x) = cos alert < dfrac <1> <3>> x ) completa um ciclo entre (0 ) e (6 pi text <.> ) Seu o período é ( dfrac <2 pi> < alert < dfrac <1> <3> >> = 6 pi text <.> )

O período de (y = cos Bt ) é dado por ( dfrac <2 pi> < abs B> text <,> ) e o mesmo é verdadeiro para (y = sin Bt texto <.> )

Ponto de verificação 7.4.
  1. Compare o gráfico de (f (x) = sin 3x ) com o gráfico de (y = sin x text <.> ) Use a janela Xmin (= 0 text <,> ) Xmax (= 2 pi text <,> ) Ymin (= - 2 text <,> ) Ymax (= 2 text <.> )
  2. Compare o gráfico de (g (x) = sin dfrac <1> <4> x ) com o gráfico de (y = sin x text <.> ) Use a janela Xmin (= 0 text <,> ) Xmax (= 8 pi text <,> ) Ymin (= - 2 text <,> ) Ymax (= 2 text <.> )
  1. O gráfico de (f ) completa 3 ciclos de (0 ) a (2 pi text <.> ) Seu período é ( dfrac <2 pi> <3> text <.> )
  2. O gráfico de (g ) completa um ciclo de (0 ) a (8 pi text <.> ) Seu período é (8 pi text <.> )

A seguir, consideraremos as mudanças na linha média.

Exemplo 7.5.

Compare o gráfico de (f (x) = 2 + sin x ) com o gráfico de (y = sin x text <.> )

Represente graficamente as duas funções na janela ZTrig. Os gráficos são mostrados a seguir.

Cada ponto no gráfico de (f (x) = 2 + sin x ) tem (y ) - coordenada 2 unidades mais altas do que o ponto correspondente no gráfico de (y = sin x text <. > ) Assim, o gráfico de (f (x) = 2 + sin x ) é deslocado verticalmente por 2 unidades em relação ao gráfico de (y = sin x text <.> ) Em particular, a linha média de (f (x) = alert <2> + sin x ) é a linha (y = alert <2> text <.> )

Ponto de verificação 7.6.

Compare o gráfico de (g (x) = - 3+ cos x ) com o gráfico de (y = cos x text <.> )

O gráfico de (g ) é deslocado 3 unidades para baixo. Sua linha média é (y = -3 text <.> )

Aqui está um resumo de nossas descobertas.

Amplitude, período e linha média das funções sinusoidais.

Gráficos de subseção de funções sinusoidais

Os valores dos parâmetros (A,

k ) determinar a forma dos gráficos de

Ajustando a amplitude, período e linha média do gráfico de seno ou cosseno, podemos esboçar essas funções senoidais.

Exemplo 7.7.
  1. Declare a amplitude, o período e a linha média de (y = 2 + 3 cos 4t text <.> )
  2. Esboce à mão um gráfico de (y = 2 + 3 cos 4t text <.> )

Uma maneira de fazer um esboço rápido de um gráfico senoidal é usar uma tabela de valores. O truque é escolher valores convenientes para a variável de entrada. Na tabela abaixo, observe que escolhemos os ângulos quadrantais como os valores de entrada para a função trigonométrica.

(t ) (4t ) ( cos 4t ) (3 cos 4t ) (y = 2 + cos 4t )
( hphantom <0000> ) ( alerta <0> ) (1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < dfrac < pi> <2>> ) (0) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < pi> ) (-1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < dfrac <3 pi> <2>> ) (0) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert <2 pi> ) (1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )

Agora, trabalhamos para trás a partir de (4t ) para encontrar os valores de (t text <,> ) e para frente a partir de ( cos 4t ) para encontrar os valores de (y text <.> )

(t ) (4t ) ( cos 4t ) (3 cos 4t ) (y = 2 + cos 4t )
(0) (0) (1) (3) (5)
( blert < dfrac < pi> <8>> ) ( dfrac < pi> <2> ) (0) (0) ( blert <2> )
( blert < dfrac < pi> <4>> ) ( pi ) (-1) (-3) ( blert <-1> )
( blert < dfrac <3 pi> <8>> ) ( dfrac <3 pi> <2> ) (0) (0) ( blert <2> )
( blert < dfrac < pi> <2>> ) (2 pi ) (1) (3) ( blert <5> )

Observe na tabela que o gráfico completa um ciclo de (t = 0 ) a (t = dfrac < pi> <2> text <,> ), o que confirma que o período é ( dfrac < pi> <2> text <.> ) Finalmente, plotamos os pontos ((t, y) ) da tabela e os usamos como "pontos-guia" para esboçar um gráfico senoidal, conforme mostrado abaixo.

Ponto de verificação 7.8.

Complete a tabela e esboce um gráfico de (y = 4-2 sin dfrac<3> text <.> )

(t ) ( dfrac<3>) ( sin dfrac<3>) (- 2 sin dfrac<3>) (y = 4-2 sin dfrac<3>)
( hphantom <0000> ) ( alerta <0> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < dfrac < pi> <2>> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < pi> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert < dfrac <3 pi> <2>> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( alert <2 pi> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(t ) ( frac<3>) ( sin frac<3>) (- 2 sin frac<3>) (y = 4-2 sin frac<3>)
(0) (0) (0) (0) (4)
( frac <3 pi> <2> ) ( frac < pi> <2> ) (1) (-2) (2)
(3 pi ) ( pi ) (0) (0) (4)
( frac <9 pi> <2> ) ( frac <3 pi> <2> ) (-1) (2) (6)
(6 pi ) (2 pi ) (0) (0) (4)

Modelagem de subseção com funções senoidais

As funções sinusoidais são usadas para modelar uma grande variedade de fenômenos físicos, incluindo ondas de som e luz, marés e órbitas planetárias e os ciclos de vida de plantas e animais. Eles também são freqüentemente usados ​​para aproximar funções periódicas que não são exatamente sinusoidais, como a pressão arterial.

Exemplo 7.9.

A pressão arterial típica de um adulto saudável, medida em milímetros de mercúrio, varia entre 70 e 110, e a frequência cardíaca típica é de 60 batimentos por minuto. Escreva uma função senoidal que se aproxime da pressão sanguínea e esboce seu gráfico.

Gostaríamos de uma função da forma (y = k + a sin Bt text <,> ), então devemos encontrar os valores dos parâmetros (A,

  • A linha média do gráfico é (y = dfrac <70 + 110> <2> = 90 text <,> ) e a amplitude é (110-90 = 20 text <,> ) então ( A = 20 ) e (k = 90 text <.> )
  • O gráfico se repete 60 vezes por minuto, então o período é ( dfrac <1> <60> ) minuto e (B = dfrac <2 pi> < dfrac <1> <60>> = 120 pi text <.> )

O gráfico da função é mostrado abaixo.

Nota 7.10.

No Exemplo 5, poderíamos ter escolhido uma função seno ou cosseno para modelar a pressão sanguínea, ambos descrevem o comportamento periódico descrito. No entanto, se nos for dado, ou quisermos especificar, o ponto de partida para uma função senoidal, uma escolha pode ser mais adequada do que a outra. Considere as funções representadas no gráfico abaixo.

Todas as quatro funções têm a mesma amplitude e período, mas começam em pontos diferentes do ciclo.

  • Os gráficos em (a) e (b) começam na linha média, portanto, são melhor modelados por funções seno.
  • O gráfico em (b) começa diminuindo em vez de aumentar, então o coeficiente (A ) é negativo.
  • The graph in (c) is modeled by a cosine, because it starts at the maximum point, and the graph in (d) starts at the minimum point, so we choose a negative cosine to model it.

(In Section 7.2, we'll consider sinusoidal functions that start at other positions on the cycle.)

In Exercise 5, note the starting point of the graph, and choose the most appropriate sinusoidal function to model the function.

Checkpoint 7.11 .

The graph below shows the voltage of a generator, as seen on an oscilloscope.

  1. Write a sinusoidal function for the voltage level.
  2. What is the frequency of the signal, in cycles per second?

Subsection The Tangent Function

The transformations of shifting and stretching can be applied to the tangent function as well. The graph of (y= an x) does not have an amplitude, but we can see any vertical stretch by comparing the function values at the guidepoints.

Example 7.12 .

Recall that the period of the tangent function is (pi ext<.>) We make a table of values for one cycle of the function, choosing multiples of (dfrac<4>) as the inputs for the tangent function. Then we plot the guidepoints, and sketch a tangent function through them. The graph is shown below.

we see that the graph is stretched vertically by a factor of (A=3 ext<.>) The midline is (y=1 ext<,>) so the graph is shifted up by 1 unit. Finally, the coefficient (B=2) compresses the graph horizontally by a factor of 2, so the period of the graph is (dfrac<2> ext<,>) and there are four cycles between (0) and (2pi)

Checkpoint 7.13 .

Find an equation of the form

Review the following skills you will need for this section.

Algebra Refresher 7.1 .

Algebra Refresher Answers

Subsection Section 7.1 Summary

Subsubsection Vocabulary

Subsubsection Concepts

  1. Changes to the amplitude, period, and midline of the basic sine and cosine graphs are called . Changing the midline shifts the graph vertically, changing the amplitude stretches or compresses the graph vertically, and changing the period stretches or compresses the graph horizontally.
Amplitude, Period, and Midline of Sinusoidal Functions.

Subsubsection Study Questions

  1. Count from (0) to (2pi) by multiples of (dfrac<4> ext<.>)
  2. Count from (0) to (2pi) by multiples of (dfrac<6> ext<.>)
  3. Transformationhe maximum value of a certain sinusoidal function is (M ext<,>) and its minimum value is (m ext<.>) What is the midline of the function? What is its amplitude?
  4. (f(x)=k+A an x ext<,>) and (f(0)=4,

Subsubsection Skills

  1. Identify the amplitude, period, and midline of a circular function #1–8, 23–30
  2. Graph a circular function #9–16, 31–44
  3. Find a formula for the graph of a circular function #17–30
  4. Model periodic phenomena with circular functions #45–52
  5. Graph transformations of the tangent function #535–8
  6. Solve trigonometric equations graphically #59–70

Exercises Homework 7-1

For Problems 1–8, state the amplitude, period, and midline of the graph.

In Problems 9–16, we use transformations to sketch graphs of the functions in Problems 1–8. Sketch one cycle of each graph by hand and label scales on the axes.

For Problems 17–22, write an equation for the graph using sine or cosine.

  1. State the amplitude, period, and midline of the graph.
  2. Write an equation for the graph using sine or cosine.

In Problems 31–36, we use a table of values to sketch circular functions.

  1. Complete the table of values for the function.
  2. Sketch a graph of the function and label the scales on the axes.
(t) (2t) (cos 2t) (-5cos 2t) (2-5cos 2t)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(t) (3t) (sin 3t) (4sin 3t) (-2+4sin 3t)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(t) (dfrac<2>) (cos dfrac<2>) (3cos dfrac<2>) (1+3cos dfrac<2>)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(t) (dfrac<4>) (sin dfrac<4>) (3sin dfrac<4>) (-2-3sin dfrac<4>)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2pi) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)

For Problems 37–44, label the scales on the axes for the graph.

The height of the tide in Cabot Cove can be approximated by a sinusoidal function. At 5 am on July 23, the water level reached its high mark at the 20-foot line on the pier, and at 11 am, the water level was at its lowest at the 4-foot line.

  1. Sketch a graph of (W(t) ext<,>) the water level as a function of time, from 5 am on July 23 to 5 am on July 24.
  2. Write an equation for the function.

The population of mosquitoes at Marsh Lake is a sinusoidal function of time. The population peaks around June 1 at about 6000 mosquitoes per square kilometer, and is smallest on December 1, at 1000 mosquitoes per square kilometer.

  1. Sketch a graph of (M(t) ext<,>) the number of mosquitoes as a function of the month, where (t=0) on June 1.
  2. Write an equation for the function.

The paddlewheel on the Delta Queen steamboat is 28 feet in diameter, and is rotating once every ten seconds. The bottom of the paddlewheel is 4 feet below the surface of the water.

  1. The ship's logo is painted on one of the paddlewheel blades. At (t=0 ext<,>) the blade with the logo is at the top of the wheel. Sketch a graph of the logo's heightabove the water as a function of (t ext<.>)
  2. Write an equation for the function.

Delbert's bicycle wheel is 24 inches in diameter, and he has a light attached to the spokes 10 inches from the center of the wheel. It is dark, and he is cycling home slowly from work. The bicycle wheel makes one revolution every second.

  1. At (t=0 ext<,>) the light is at its highest point the bicycle wheel. Sketch a graph of the light's height as a function of (t ext<.>)
  2. Write an equation for the function.

For Problems 49–52, write an equation for the sinusoidal function whose graph is shown.

The number of hours of daylight in Salt Lake City varies from a minimum of 9.6 hours on the winter solstice to a maximum of 14.4 hours on the summer solstice. Time is measured in months, starting at the winter solstice.

A weight is 6.5 feet above the floor, suspended from the ceiling by a spring. The weight is pulled down to 5 feet above the floor and released, rising past 6.5 feet in 0.5 seconds before attaining its maximum height of feet. The weight oscillates between its minimum and maximum height.

The voltage used in U.S. electrical current changes from 155V to 155V and back 60 times each second.

Although the moon is spherical, what we see from earth looks like a disk, sometimes only partly visible. The percentage of the moon's disk that is visible varies between 0 (at new moon) to 100 (at full moon), over a 28-day cycle.


2.3: Basic Trigonometric Graphs

The next trig function is the tangent, but that's difficult to show on the unit circle. So let's take a closer look at the sine and cosines graphs, keeping in mind that tan(&theta) = sin(&theta)/cos(&theta) .

The tangent will be zero wherever its numerator (the sine) is zero. This happens at 0 , &pi , 2&pi , 3&pi , etc, and at &ndash&pi , &ndash2&pi , &ndash3&pi , etc. Let's just consider the region from &ndash&pi to 2&pi , for now. So the tangent will be zero (that is, it will cross the x-axis) at &ndash&pi , 0 , &pi , and 2&pi .

The tangent will be undefined wherever its denominator (the cosine) is zero. Thinking back to when you learned about graphing rational functions, a zero in the denominator means you'll have a vertical asymptote. So the tangent will have vertical asymptotes wherever the cosine is zero: at &ndash&pi/2 , &pi/2 , and 3&pi/2 . Let's put dots for the zeroes and dashed vertical lines for the asymptotes:

Now we can use what we know about sine, cosine, and asymptotes to fill in the rest of the tangent's graph: We know that the graph will never touch or cross the vertical asymptotes we know that, between a zero and an asymptote, the graph will either be below the axis (and slide down the asymptote to negative infinity) or else be above the axis (and skinny up the asymptote to positive infinity). Between zero and &pi/2 , sine and cosine are both positive. This means that the tangent, being their quotient, is positive, so the graph slides up the asymptote: Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

Between &pi/2 and &pi , sine is positive but cosine is negative. These opposite signs mean that the tangent quotient will be negative, so it will come up the asymptote from below, to meet the x -eixo em x = &pi :

Since sine and cosine are periodic, then tangent has to be, as well. A quick check of the signs tells us how to fill in the rest of the graph:

  • &ndash&pi to &ndash&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • &ndash&pi/2 to 0 : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative
  • &pi to 3&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • 3&pi/2 to 2&pi : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative

Now we can complete our graph:

The Tangent Graph

As you can see, the tangent has a period of &pi , with each period separated by a vertical asymptote. The concept of "amplitude" doesn't really apply.

For graphing, draw in the zeroes at x = 0 , &pi , 2&pi , etc, and dash in the vertical asymptotes midway between each zero. Then draw in the curve. You can plot a few more points if you like, but you don't generally gain much from doing so.

If you prefer memorizing graphs, then memorize the above. But I always had trouble keeping straight anything much past sine and cosine, so I used the reasoning demonstrated above to figure out the tangent (and the other trig) graphs. As long as you know your sines and cosines very well, you'll be able to figure out everything else.


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