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1.1: O Teorema de Pitágoras - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Use o teorema de Pitágoras para determinar se um triângulo é um triângulo retângulo.
  • Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo.
  • Use a fórmula da distância para determinar a distância entre dois pontos no plano de coordenadas.

Lembre-se das seguintes definições da geometria elementar:

  1. Um ângulo é agudo se estiver entre (0 ° ) e (90 ° ).
  2. Um ângulo é um ângulo certo se for igual a (90 ° ).
  3. Um ângulo é obtuso se estiver entre (90 ° ) e (180 ° ).
  4. Um ângulo é um ângulo reto se for igual a (180 ° ).

Figura 1.1.1 Tipos de ângulos

Na geometria elementar, os ângulos são sempre considerados positivos e não maiores que (360 ^ circ ). Por enquanto, consideraremos apenas esses ângulos. As seguintes definições serão usadas ao longo do texto:

  1. Dois ângulos agudos são complementar se sua soma for igual a (90 ^ ◦ ). Em outras palavras, se (0 ^ ◦ ≤ ∠ A, ∠B ≤ 90 ^ ◦ text {então} ∠ A text {e} ∠B ) são complementares se (∠ A + ∠B = 90 ^ ◦ ).
  2. Dois ângulos entre (0 ^ ◦ text {e} 180 ^ ◦ ) são suplementar se sua soma for igual a (180 ^ ◦ ). Em outras palavras, se (0 ^ ◦ ≤ ∠ A, ∠B ≤ 180 ^ ◦ text {então} ∠ A text {e} ∠B ) são suplementares se (∠ A + ∠B = 180 ^ ◦ ).
  3. Dois ângulos entre (0 ^ ◦ text {e} 360 ^ ◦ ) são conjugado (ou complementar) se sua soma for igual a (360 ^ ◦ ). Em outras palavras, se (0 ^ ◦ ≤ ∠ A, ∠B ≤ 360 ^ ◦ texto {então} ∠ A texto {e} ∠B texto {são conjugados se} ∠ A + ∠B = 360 ^ ◦ )

Figura 1.1.2 Tipos de pares de ângulos

Em vez de usar a notação de ângulo (∠ A ) para denotar um ângulo, às vezes usaremos apenas uma letra maiúscula (por exemplo, (A, B, C )) ou um nome de variável em minúsculas (por exemplo, (x, y, t )). Também é comum usar letras (maiúsculas ou minúsculas) do alfabeto grego, mostrado na tabela abaixo, para representar ângulos:

Tabela 1.1 O alfabeto grego

Na geometria elementar, você aprendeu que a soma dos ângulos em um triângulo é igual a (180 ^ ◦ ), e que um Triângulo isósceles é um triângulo com dois lados de igual comprimento. Lembre-se disso em um triângulo retângulo um dos ângulos é um ângulo reto. Assim, em um triângulo retângulo, um dos ângulos é (90 ^ ◦ ) e os outros dois ângulos são ângulos agudos cuja soma é (90 ^ ◦ ) (ou seja, os outros dois ângulos são ângulos complementares).

[ não numérico α + 3α + α = 180 ^ ◦ ⇒ 5α = 180 ^ ◦ ⇒ α = 36 ^ ◦ ⇒ fbox { (X = 36 ^ ◦, , Y = 3 × 36 ^ ◦ = 108 ^ ◦ , , Z = 36 ^ ◦ )} ]

QED

Ao conhecer os comprimentos dos dois lados de um triângulo retângulo, o comprimento do terceiro lado pode ser determinado usando o Teorema de Pitágoras:

(a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 )

O quadrado do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de suas pernas.

Lembre-se de que os triângulos são semelhante se seus ângulos correspondentes são iguais, e essa semelhança implica que os lados correspondentes são proporcionais. Assim, uma vez que ( triângulo , ABC ) é semelhante a ( triângulo , CBD ), pela proporcionalidade dos lados correspondentes vemos que

[ nonumber overline {AB} ~ text {is to} ~ overline {CB} ~ text {(hipotenusas)} text {as}
overline {BC} ~ text {is to} ~ overline {BD} ~ text {(pernas verticais)}
quad Rightarrow quad frac {c} {a} ~ = ~ frac {a} {d} quad Rightarrow quad cd ~ = ~ a ^ 2 ~. ]

Uma vez que ( triângulo , ABC ) é semelhante a ( triângulo , ACD ), comparar pernas horizontais e hipotenus dá

[ nonumber frac {b} {cd} ~ = ~ frac {c} {b} quad Rightarrow quad b ^ 2 ~ = ~ c ^ 2 ~ - ~ cd ~ = ~ c ^ 2 ~ - ~ a ^ 2
quad Rightarrow quad a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2 ~ = ~ c ^ 2 ~. textbf {QED} ]

Nota: Os símbolos ( perp ) e ( sim ) denotam perpendicularidade e similaridade, respectivamente. Por exemplo, na prova acima tínhamos (, overline {CD} perp overline {AB} , ) e (, triângulo , ABC sim triângulo , CBD sim triângulo , ACD ).

Para triângulo ( triângulo , ABC ), o Teorema de Pitágoras diz que

[ nonumber a ^ 2 ~ + ~ 4 ^ 2 ~ = ~ 5 ^ 2 quad Rightarrow quad a ^ 2 ~ = ~ 25 ~ - ~ 16 ~ = ~ 9 quad Rightarrow quad
fbox { (a ~ = ~ 3 )} ~. ]

Para triângulo ( triangle , DEF ), o Teorema de Pitágoras diz que

[ nonumber e ^ 2 ~ + ~ 1 ^ 2 ~ = ~ 2 ^ 2 quad Rightarrow quad e ^ 2 ~ = ~ 4 ~ - ~ 1 ~ = ~ 3 quad Rightarrow quad
fbox {$ e ~ = ~ sqrt {3} $} ~. ]

Para triângulo ( triangle , XYZ ), o Teorema de Pitágoras diz que

[ nonumber 1 ^ 2 ~ + ~ 1 ^ 2 ~ = ~ z ^ 2 quad Rightarrow quad z ^ 2 ~ = ~ 2 quad Rightarrow quad
fbox {$ z ~ = ~ sqrt {2} $} ~. ]

Seja (h ) a altura em que a escada toca a parede. Podemos supor que o chão forma um ângulo reto com a parede, como na foto à direita. Então vemos que a escada, o solo e a parede formam um triângulo retângulo com uma hipotenusa de comprimento 17 pés (o comprimento da escada) e pernas com comprimentos de 8 pés e (h ) pés. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, nós tenho

[ nonumber h ^ 2 ~ + ~ 8 ^ 2 ~ = ~ 17 ^ 2 quad Rightarrow quad h ^ 2 ~ = ~ 289 ~ - ~ 64 ~ = ~ 225 quad Rightarrow quad
fbox {$ h ~ = ~ 15 ~ text {ft} $} ~. ]

Determinando a distância usando o teorema de Pitágoras

Você pode usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos.

Considere os pontos (-1, 6) e (5, -3). Se plotarmos esses pontos em uma grade e os conectarmos, eles formarão uma linha diagonal. Desenhe uma linha vertical abaixo de (-1, 6) e uma linha horizontal à esquerda de (5, -3) para fazer um triângulo retângulo.

Agora podemos encontrar a distância entre esses dois pontos usando as distâncias verticais e horizontais que determinamos no gráfico.

( begin {alinhado} 9 ^ 2 + (- 6) ^ 2 & = d ^ 2 81 + 36 & = d ^ 2 117 & = d ^ 2 sqrt {117} & = d 3 sqrt {13} & = d end {alinhado} )

Observe que os valores de x foram subtraídos uns dos outros para encontrar a distância horizontal e os valores de y foram subtraídos uns dos outros para encontrar a distância vertical. Se este processo for generalizado para dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ), o Fórmula de distância é derivado.

((x_1 − x_2) ^ 2 + (y_1 − y_2) ^ 2 = d ^ 2 )

Este é o Teorema de Pitágoras com as diferenças verticais e horizontais entre ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ). Tirar a raiz quadrada de ambos os lados resolverá o lado direito de d, a distância.

( sqrt {(x_1 − x_2) ^ 2 + (y_1 − y_2) ^ 2} = d )

Esta é a fórmula da distância.


1.1: O Teorema de Pitágoras - Matemática

O Teorema de Pitágoras

· Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido de um triângulo retângulo.

· Resolver problemas de aplicação envolvendo o Teorema de Pitágoras.

Há muito tempo, um matemático grego chamado Pitágoras descobriu uma propriedade interessante sobre triângulos retângulos: a soma dos quadrados dos comprimentos de cada um dos triângulos pernas é o mesmo que o quadrado do comprimento do triângulo hipotenusa. Esta propriedade - que tem muitas aplicações em ciência, arte, engenharia e arquitetura - agora é chamada de Teorema de Pitágoras.

Vamos dar uma olhada em como este teorema pode ajudá-lo a aprender mais sobre a construção de triângulos. E a melhor parte - você nem precisa falar grego para aplicar a descoberta de Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras

Pitágoras estudou triângulos retângulos e as relações entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo retângulo, antes de derivar sua teoria.

O Teorema de Pitágoras

Se uma e b são os comprimentos das pernas de um triângulo retângulo e c é o comprimento da hipotenusa, então a soma dos quadrados dos comprimentos das pernas é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.

Essa relação é representada pela fórmula:

Na caixa acima, você deve ter notado a palavra “quadrado”, bem como os pequenos 2s no canto superior direito das letras em. Para quadrado um número significa multiplicá-lo por si mesmo. Então, por exemplo, para elevar o número 5 ao quadrado, você multiplica 5 • 5, e para elevar o número 12 ao quadrado, você multiplica 12 • 12. Alguns quadrados comuns são mostrados na tabela abaixo.

Quando você vê a equação, você pode pensar nisso como "o comprimento do lado uma vezes ele mesmo, mais o comprimento do lado b vezes em si é o mesmo que o comprimento do lado c o próprio tempo. ”

Vamos experimentar todo o teorema de Pitágoras com um triângulo retângulo real.

Este teorema é verdadeiro para este triângulo retângulo - a soma dos quadrados dos comprimentos de ambas as pernas é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa. E, de fato, isso vale para todos os triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras também pode ser representado em termos de área. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado tirada da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que são tiradas das duas pernas. Você pode ver isso ilustrado abaixo no mesmo triângulo retângulo 3-4-5.

Observe que o Teorema de Pitágoras só funciona com certo triângulos.

Encontrando o Comprimento da Hipotenusa

Você pode usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo se você souber o comprimento dos outros dois lados do triângulo, chamados de pernas. Dito de outra forma, se você conhece a extensão do uma e b, você pode encontrar c.

No triângulo acima, você recebe medidas para as pernas uma e b: 5 e 12, respectivamente. Você pode usar o Teorema de Pitágoras para encontrar um valor para o comprimento de c, a hipotenusa.

Substituir valores conhecidos por uma e b.

Simplificar. Para encontrar o valor de c, pense em um número que, quando multiplicado por ele mesmo, é igual a 169. 10 funciona? Que tal 11? 12? 13? (Você pode usar uma calculadora para multiplicar se os números não forem familiares.)

A raiz quadrada de 169 é 13.

Usando a fórmula, você descobre que o comprimento de c, a hipotenusa, é 13.

Neste caso, você não sabia o valor de c- você recebeu o quadrado do comprimento da hipotenusa e teve que calculá-lo a partir daí. Quando você recebe uma equação como e é solicitado a encontrar o valor de c, isso é chamado de encontrar o raiz quadrada de um número. (Observe que você encontrou um número, c, cujo quadrado era 169.)

Encontrar uma raiz quadrada requer alguma prática, mas também requer conhecimento de multiplicação, divisão e um pouco de tentativa e erro. Veja a tabela abaixo.

Número y que, quando multiplicado por si mesmo, é igual a número x


Exemplos

Dado um triângulo retângulo com comprimentos de perna de 5 e 12, qual é o comprimento da hipotenusa?

Aqui está um exemplo que motiva a fórmula da distância:

Dado um triângulo com comprimentos laterais de 5, 12 e 14, como você classificaria o maior ângulo do triângulo? O diagrama acima mostra um grande gramado retangular cortado em dois retângulos menores, pela linha B C BC B C, com dimensões 3 × 12 3 vezes 12 3 × 1 2 e 6 × 12 6 vezes 12 6 × 1 2 cada. Qual é o comprimento de A D? DE ANÚNCIOS? DE ANÚNCIOS ? O círculo O O O está inscrito em △ A B C, triângulo ABC, △ A B C, conforme mostrado na figura acima. Os pontos de tangência estão em D, E, D, E, D, E e F F F. Dado que A D = 2 AD = 2 A D = 2 e D C = 3 DC = 3 D C = 3, encontre a área de △ A B C triângulo ABC △ A B C. Você tem um triângulo retângulo com lados inteiros. Leia as seguintes afirmações sobre esse triângulo: Qual dessas afirmações é (são) corretas? Bônus: Você pode calcular sem usar a regra do cosseno? Encontre o raio do círculo no diagrama. Abaixo está um triângulo isósceles. Encontre o comprimento da base, x. x. x.

Análise

Pense no que você aprendeu sobre o Teorema de Pitágoras e responda verdadeiro ou falso para as seguintes perguntas.

1. O Teorema de Pitágoras funcionará para um triângulo agudo com todos os ângulos de 60 graus.

2. O Teorema de Pitágoras funcionará para um triângulo retângulo.

3. O Teorema de Pitágoras só funcionará se o triângulo for um triângulo retângulo.

4. O pernas de um triângulo retângulo são considerados os dois lados mais curtos do triângulo retângulo.

5. A hipotenusa é o lado mais longo de um triângulo retângulo.

6. O inverso do Teorema de Pitágoras é usado para encontrar as medidas dos ângulos de um triângulo obtuso.

7. A Triplo Pitagórico é quando você multiplica todas as medidas do ângulo por três.

8. Você pode usar o Teorema de Pitágoras para descobrir se os comprimentos dos lados de um triângulo o tornam um triângulo retângulo ou não.

Identifique se cada um dos seguintes valores é ou não um Triplo Pitagórico. Escreva sim ou não para sua resposta.


O Teorema de Pitágoras em sua Forma Verdadeira

Esta imagem revela a chave do Teorema de Pitágoras & # 8217. Observe o que é formado no centro dos três quadrados. Sim, um triângulo retângulo. Novamente, a fórmula do teorema reflete os quadrados que constituem o triângulo tanto quanto o próprio triângulo. Aqui está ele em sua totalidade:

Por falar em teoremas, esta imagem é a prova de que o Teorema de Pitágoras não é uma 2 + b 2 = c 2 Em vez de, uma 2 + b 2 = c 2 é uma fórmula para provar que seu teorema está correto. Seu teorema afirmava basicamente que a área do quadrado criada pelo lado mais longo do triângulo (hipotenusa) é igual às áreas dos quadrados, criadas pelas duas pernas do triângulo (os dois lados mais curtos), somadas. Então, com a fórmula, c 2 é igual à área do quadrado que compõe o lado c. Quando o valor de c 2 for encontrado, a raiz quadrada desse número é a medição de c.


Aplicações (problemas de palavras) com o teorema de Pitágoras

Existem muitos tipos diferentes de problemas da vida real que podem ser resolvidos usando o teorema de Pitágoras. A maneira mais fácil de ver se você deve aplicar esse teorema é desenhando uma imagem de qualquer situação descrita.

Exemplo

Dois caminhantes saem de uma cabana ao mesmo tempo, um indo para o sul e o outro para o oeste. Depois de uma hora, o caminhante que caminha para o sul percorreu 4,5 quilômetros e o caminhante que caminha para o oeste percorreu 5,0 milhas. Nesse momento, qual é a distância mais curta entre os dois caminhantes?

Solução

Primeiro, faça um esboço das informações fornecidas. Rotule qualquer valor desconhecido com um nome de variável, como x.

O sul e o oeste formam um ângulo reto, e a distância mais curta entre dois pontos quaisquer é uma linha reta. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras e escrever:

Aqui, você precisará usar uma calculadora para simplificar o lado esquerdo:

Agora use sua calculadora para obter a raiz quadrada. Você provavelmente precisará arredondar sua resposta.

Como você pode ver, caberá a você determinar que um ângulo reto faz parte da situação dada na palavra problema. Se não for & # 8217t, você não poderá usar o teorema de Pitágoras.


Teorema de Pitágoras

A soma das áreas dos dois quadrados nas pernas ($ a $ e $ b $) é igual à área do quadrado na hipotenusa $ c $.

Podemos imaginar algo assim:

Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons AmericanXplorer13

Triângulo egípcio

O triângulo direito cujo comprimento dos lados é igual a $ 3, 4 $ e $ 5 $ é chamado de triângulo egípcio.

Vamos esquecer que sabemos que o comprimento da hipotenusa é igual a $ 5 $ e tentar calculá-lo usando Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

E é válido em ordem diferente:

Se o quadrado da hipotenusa for igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, o triângulo terá um ângulo reto.

$ c ^ 2 = 4 ^ 2 + 3 ^ 2 $
$ c ^ 2 = 16 + 9 $
$ c ^ 2 = 25 $
$ c = 5 $

Se sabemos os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo retângulo, podemos usar este teorema para encontrar rapidamente o terceiro.

$ a ^ 2 = c ^ 2 & # 8211 b ^ 2 $
$ a ^ 2 = 100 & # 8211 64 $
$ a ^ 2 = 36 $
$ a = 6 $

Se tivermos qualquer outro triângulo, também podemos usar o teorema de Pitágoras.

Se tivermos comprimento de $ b $ e $ v_a $, e $ a = 12 $, podemos descobrir outros comprimentos neste triângulo:


Conteúdo

Cada um dos dois quadrados grandes mostrados na figura contém quatro triângulos idênticos, e a única diferença entre os dois quadrados grandes é que os triângulos estão dispostos de maneira diferente. Portanto, o espaço em branco dentro de cada um dos dois grandes quadrados deve ter área igual. Equacionar a área do espaço em branco resulta no teorema de Pitágoras, Q.E.D. [2]

Heath dá essa prova em seu comentário sobre a Proposição I.47 em Euclides Elementos, e menciona as propostas de Bretschneider e Hankel de que Pitágoras pode ter conhecido esta prova. O próprio Heath defende uma proposta diferente para uma prova pitagórica, mas reconhece desde o início de sua discussão "que a literatura grega que possuímos pertencente aos primeiros cinco séculos após Pitágoras não contém nenhuma declaração especificando esta ou qualquer outra grande descoberta geométrica particular para ele. " [3] Estudos recentes lançaram dúvidas crescentes sobre qualquer tipo de papel para Pitágoras como criador da matemática, embora o debate sobre isso continue. [4]

Se c denota o comprimento da hipotenusa e uma e b denotam os comprimentos dos outros dois lados, o teorema de Pitágoras pode ser expresso como a equação de Pitágoras:

Se os comprimentos de ambos uma e b são conhecidos, então c pode ser calculado como

Se o comprimento da hipotenusa c e de um lado (uma ou b) são conhecidos, então o comprimento do outro lado pode ser calculado como

A equação pitagórica relaciona os lados de um triângulo retângulo de maneira simples, de modo que, se os comprimentos de quaisquer dois lados forem conhecidos, o comprimento do terceiro lado poderá ser encontrado. Outro corolário do teorema é que em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior do que qualquer um dos outros lados, mas menor do que sua soma.

Uma generalização desse teorema é a lei dos cossenos, que permite o cálculo do comprimento de qualquer lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos dos outros dois lados e o ângulo entre eles. Se o ângulo entre os outros lados for um ângulo reto, a lei dos cossenos se reduz à equação pitagórica.

Este teorema pode ter mais provas conhecidas do que qualquer outro (a lei da reciprocidade quadrática sendo outro contendor por essa distinção). A proposição pitagórica contém 370 provas. [5]

Prova usando triângulos semelhantes

Essa prova é baseada na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, ou seja, no fato de que a proporção de quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Deixar abc representam um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, conforme mostrado na figura. Desenhe a altitude do ponto C, e ligar H sua intersecção com o lado AB. Apontar H divide o comprimento da hipotenusa c em partes d e e. O novo triângulo ACH é semelhante ao triângulo abc, porque ambos têm um ângulo reto (por definição da altitude) e compartilham o ângulo em UMA, o que significa que o terceiro ângulo será o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Por um raciocínio semelhante, o triângulo CBH também é semelhante a abc. A prova de semelhança dos triângulos requer o postulado do triângulo: a soma dos ângulos em um triângulo são dois ângulos retos e é equivalente ao postulado do paralelo. A similaridade dos triângulos leva à igualdade das proporções dos lados correspondentes:

O primeiro resultado iguala os cossenos dos ângulos θ, enquanto o segundo resultado iguala seus senos.

Essas proporções podem ser escritas como

Somando essas duas igualdades resulta em

que, após simplificação, expressa o teorema de Pitágoras:

O papel dessa prova na história é objeto de muita especulação. A questão subjacente é por que Euclides não usou essa prova, mas inventou outra. Uma conjectura é que a prova por triângulos semelhantes envolveu uma teoria das proporções, um tópico não discutido até mais tarde no Elementos, e que a teoria das proporções precisava de mais desenvolvimento naquela época. [6] [7]

Prova de euclides

Em linhas gerais, aqui está como a prova em Euclides Elementos continua. O grande quadrado é dividido em um retângulo esquerdo e direito. É construído um triângulo que tem metade da área do retângulo esquerdo. Em seguida, outro triângulo é construído com metade da área do quadrado do lado esquerdo. Esses dois triângulos são congruentes, provando que este quadrado tem a mesma área do retângulo esquerdo. Este argumento é seguido por uma versão semelhante para o retângulo direito e o quadrado restante. Juntando os dois retângulos para reformar o quadrado da hipotenusa, sua área é igual à soma da área dos outros dois quadrados. Os detalhes seguem.

Deixar UMA, B, C ser os vértices de um triângulo retângulo, com um ângulo reto em UMA. Solte uma perpendicular de UMA para o lado oposto à hipotenusa no quadrado da hipotenusa. Essa linha divide o quadrado da hipotenusa em dois retângulos, cada um com a mesma área de um dos dois quadrados nas pernas.

Para a prova formal, exigimos quatro lemas elementares:

  1. Se dois triângulos têm dois lados de um igual a dois lados do outro, um em relação a cada um, e os ângulos incluídos por esses lados são iguais, então os triângulos são congruentes (lado-ângulo-lado).
  2. A área de um triângulo é a metade da área de qualquer paralelogramo na mesma base e com a mesma altitude.
  3. A área de um retângulo é igual ao produto de dois lados adjacentes.
  4. A área de um quadrado é igual ao produto de dois de seus lados (segue de 3).

Em seguida, cada quadrado superior está relacionado a um triângulo congruente com outro triângulo relacionado, por sua vez, a um dos dois retângulos que constituem o quadrado inferior. [8]

  1. Seja ACB um triângulo retângulo com um ângulo reto CAB.
  2. Em cada um dos lados BC, AB e CA, os quadrados são desenhados, CBDE, BAGF e ACIH, nessa ordem. A construção de quadrados requer os teoremas imediatamente anteriores em Euclides e depende do postulado do paralelo. [9]
  3. De A, desenhe uma linha paralela a BD e CE. Ele cruzará perpendicularmente BC e DE em K e L, respectivamente.
  4. Junte CF e AD, para formar os triângulos BCF e BDA.
  5. Os ângulos CAB e BAG são ambos ângulos retos, portanto C, A e G são colineares.
  6. Os ângulos CBD e FBA são ambos ângulos retos, portanto, o ângulo ABD é igual ao ângulo FBC, uma vez que ambos são a soma de um ângulo reto e do ângulo ABC.
  7. Como AB é igual a FB, BD é igual a BC e o ângulo ABD é igual ao ângulo FBC, o triângulo ABD deve ser congruente com o triângulo FBC.
  8. Como AKL é uma linha reta, paralela a BD, então o retângulo BDLK tem duas vezes a área do triângulo ABD porque eles compartilham a base BD e têm a mesma altitude BK, ou seja, uma linha normal à sua base comum, conectando as linhas paralelas BD e AL. (lema 2)
  9. Como C é colinear com A e G, e esta linha é paralela a FB, então o quadrado BAGF deve ter duas vezes a área do triângulo FBC.
  10. Portanto, o retângulo BDLK deve ter a mesma área que o quadrado BAGF = AB 2.
  11. Aplicando os passos 3 a 10 ao outro lado da figura, pode ser mostrado de forma semelhante que o retângulo CKLE deve ter a mesma área do quadrado ACIH = AC 2.
  12. Adicionando esses dois resultados, AB 2 + AC 2 = BD × BK + KL × KC
  13. Uma vez que BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
  14. Portanto, AB 2 + AC 2 = BC 2, uma vez que CBDE é um quadrado.

Esta prova, que aparece no livro de Euclides Elementos como a da Proposição 47 no Livro 1, [10] demonstra que a área do quadrado na hipotenusa é a soma das áreas dos outros dois quadrados. [11] Isso é bastante distinto da prova por semelhança de triângulos, que se conjectura ser a prova usada por Pitágoras. [7] [12]

Provas por dissecção e rearranjo

Já discutimos a prova pitagórica, que era uma prova por rearranjo. A mesma ideia é transmitida pela animação mais à esquerda abaixo, que consiste em um grande quadrado, lado uma + b , contendo quatro triângulos retângulos idênticos. Os triângulos são mostrados em dois arranjos, o primeiro dos quais deixa dois quadrados uma 2 e b 2 descoberto, o segundo dos quais deixa quadrado c 2 descobertos. A área abrangida pelo quadrado externo nunca muda, e a área dos quatro triângulos é a mesma no início e no final, então as áreas do quadrado preto devem ser iguais, portanto uma 2 + b 2 = c 2 .

Uma segunda prova por rearranjo é dada pela animação do meio. Uma grande praça é formada com área c 2, de quatro triângulos retângulos idênticos com lados uma, b e c, montado em torno de uma pequena praça central. Em seguida, dois retângulos são formados com os lados uma e b movendo os triângulos. Combinar o quadrado menor com esses retângulos produz dois quadrados de áreas uma 2 e b 2, que deve ter a mesma área do grande quadrado inicial. [13]

A terceira imagem, mais à direita, também fornece uma prova. Os dois quadrados superiores são divididos conforme mostrado pelo sombreado azul e verde, em peças que, quando reorganizadas, podem ser feitas para caber no quadrado inferior da hipotenusa - ou, inversamente, o quadrado grande pode ser dividido como mostrado em peças que preenchem os outros dois . Essa maneira de cortar uma figura em pedaços e reorganizá-los para obter outra figura é chamada de dissecção. Isso mostra que a área do quadrado grande é igual à dos dois menores. [14]

A prova de Einstein por dissecção sem rearranjo

Albert Einstein deu uma prova por dissecação em que as peças não precisam ser movidas. [15] Em vez de usar um quadrado na hipotenusa e dois quadrados nas pernas, pode-se usar qualquer outra forma que inclua a hipotenusa e duas formas semelhantes, cada uma incluindo uma das duas pernas em vez da hipotenusa (ver Figuras semelhantes no três lados). Na prova de Einstein, a forma que inclui a hipotenusa é o próprio triângulo retângulo. A dissecção consiste em deixar cair uma perpendicular do vértice do ângulo reto do triângulo até a hipotenusa, dividindo assim todo o triângulo em duas partes. Essas duas partes têm a mesma forma que o triângulo retângulo original e têm as pernas do triângulo original como hipotenos, e a soma de suas áreas é a do triângulo original. Como a razão entre a área de um triângulo retângulo e o quadrado de sua hipotenusa é a mesma para triângulos semelhantes, a relação entre as áreas dos três triângulos também é válida para os quadrados dos lados do triângulo grande.

Provas algébricas

O teorema pode ser provado algebricamente usando quatro cópias de um triângulo retângulo com lados uma, b e c, arranjado dentro de um quadrado com o lado c como na metade superior do diagrama. [16] Os triângulos são semelhantes com área 1 2 a b < displaystyle < tfrac <1> <2>> ab>, enquanto o pequeno quadrado tem lado buma e área (buma) 2. A área da grande praça é, portanto,

Mas este é um quadrado com lado c e área c 2, então

Uma prova semelhante usa quatro cópias do mesmo triângulo dispostas simetricamente em torno de um quadrado com o lado c, conforme mostrado na parte inferior do diagrama. [17] Isso resulta em um quadrado maior, com uma + b e área (uma + b) 2. Os quatro triângulos e o lado quadrado c deve ter a mesma área do quadrado maior,

c 2 = (b + a) 2 - 2 a b = b 2 + 2 a b + a 2 - 2 a b = a 2 + b 2. < displaystyle c ^ <2> = (b + a) ^ <2> -2ab = b ^ <2> + 2ab + a ^ <2> -2ab = a ^ <2> + b ^ <2>.>

Uma prova relacionada foi publicada pelo futuro presidente dos EUA James A. Garfield (então um representante dos EUA) (ver diagrama). [18] [19] [20] Em vez de um quadrado, ele usa um trapézio, que pode ser construído a partir do quadrado na segunda das provas acima, dividindo-se ao longo de uma diagonal do quadrado interno, para dar o trapézio conforme mostrado no diagrama. A área do trapézio pode ser calculada como a metade da área do quadrado, ou seja

O quadrado interno é dividido pela metade e há apenas dois triângulos, então a prova procede como acima, exceto por um fator de 1 2 < displaystyle < frac <1> <2> >>, que é removido multiplicando por dois para dar o resultado.

Prova usando diferenciais

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras estudando como as mudanças em um lado produzem uma mudança na hipotenusa e empregando o cálculo. [21] [22] [23]

O triângulo abc é um triângulo retângulo, conforme mostrado na parte superior do diagrama, com AC a hipotenusa. Ao mesmo tempo, os comprimentos do triângulo são medidos como mostrado, com a hipotenusa de comprimento y, o lado AC de comprimento x e o lado AB de comprimento uma, como visto na parte inferior do diagrama.

Se x é aumentado em uma pequena quantidade dx estendendo o lado AC ligeiramente para D, então y também aumenta em tingir. Eles formam os dois lados de um triângulo, CDE, com que E escolhido assim CE é perpendicular à hipotenusa) é um triângulo retângulo aproximadamente semelhante a abc. Portanto, as proporções de seus lados devem ser as mesmas, ou seja:

Isso pode ser reescrito como y d y = x d x < displaystyle y , dy = x , dx>, que é uma equação diferencial que pode ser resolvida por integração direta:

A constante pode ser deduzida de x = 0, y = uma dar a equação

Esta é mais uma prova intuitiva do que formal: pode ser mais rigorosa se os limites adequados forem usados ​​no lugar de dx e tingir.

O inverso do teorema também é verdadeiro: [24]

Para quaisquer três números positivos uma, b, e c de tal modo que uma 2 + b 2 = c 2, existe um triângulo com lados uma, b e c, e cada triângulo tem um ângulo reto entre os lados dos comprimentos uma e b.

Uma declaração alternativa é:

Para qualquer triângulo com lados uma, b, c, E se uma 2 + b 2 = c 2, então o ângulo entre uma e b mede 90 °.

Este inverso também aparece em Euclides Elementos (Livro I, Proposição 48): [25]

"Se em um triângulo o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos dois lados restantes do triângulo, então o ângulo contido pelos dois lados restantes do triângulo é correto."

Pode ser comprovado usando a lei dos cossenos ou da seguinte forma:

Deixar abc seja um triângulo com comprimentos laterais uma, b, e c, com uma 2 + b 2 = c 2 Construir um segundo triângulo com lados de comprimento uma e b contendo um ângulo reto. Pelo teorema de Pitágoras, segue-se que a hipotenusa deste triângulo tem comprimento c = √ uma 2 + b 2, o mesmo que a hipotenusa do primeiro triângulo. Uma vez que os lados dos dois triângulos têm o mesmo comprimento uma, b e c, os triângulos são congruentes e devem ter os mesmos ângulos. Portanto, o ângulo entre os lados dos comprimentos uma e b no triângulo original é um ângulo reto.

A prova anterior do inverso faz uso do próprio teorema de Pitágoras. O inverso também pode ser provado sem assumir o teorema de Pitágoras. [26] [27]

Um corolário do inverso do teorema de Pitágoras é um meio simples de determinar se um triângulo é reto, obtuso ou agudo, como segue. Deixar c ser escolhido para ser o mais longo dos três lados e uma + b & gt c (caso contrário, não há triângulo de acordo com a desigualdade do triângulo). As seguintes declarações se aplicam: [28]

  • Se uma 2 + b 2 = c 2, então o triângulo está certo.
  • Se uma 2 + b 2 & gt c 2, então o triângulo é agudo.
  • Se uma 2 + b 2 & lt c 2, então o triângulo é obtuso.

Edsger W. Dijkstra afirmou esta proposição sobre triângulos agudos, direitos e obtusos nesta linguagem:

sgn (α + βγ) = sgn (uma 2 + b 2 − c 2 ),

Onde α é o ângulo oposto ao lado uma, β é o ângulo oposto ao lado b, γ é o ângulo oposto ao lado c, e sgn é a função de sinal. [29]

Triplos pitagóricos

Um triplo pitagórico tem três inteiros positivos uma, b, e c, de tal modo que uma 2 + b 2 = c 2 Em outras palavras, um triplo pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. [1] Tal triplo é comumente escrito (uma, b, c) Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um tríplice pitagórico primitivo é aquele em que uma, b e c são coprime (o maior divisor comum de uma, b e c é 1).

A seguir está uma lista de triplos pitagóricos primitivos com valores inferiores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras Recíproco

enquanto o teorema de Pitágoras recíproco [30] ou o teorema de Pitágoras de cabeça para baixo [31] relaciona as duas pernas a, b < displaystyle a, b> à altitude d < displaystyle d>, [32]

A equação pode ser transformada em,

onde os denominadores são quadrados e também para um triângulo heptagonal cujos lados p, q, r < displaystyle p, q, r> são números quadrados.

Comprimentos incomensuráveis

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que os segmentos de linha cujos comprimentos são incomensuráveis ​​(de modo que a proporção dos quais não é um número racional) podem ser construídos usando régua e compasso. O teorema de Pitágoras permite a construção de comprimentos incomensuráveis ​​porque a hipotenusa de um triângulo está relacionada aos lados pela operação de raiz quadrada.

A figura à direita mostra como construir segmentos de linha cujos comprimentos estão na proporção da raiz quadrada de qualquer inteiro positivo. [33] Cada triângulo tem um lado (identificado como "1") que é a unidade escolhida para medição. Em cada triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras estabelece o comprimento da hipotenusa em termos desta unidade. Se uma hipotenusa está relacionada à unidade pela raiz quadrada de um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito, é uma realização de um comprimento incomensurável com a unidade, como √ 2, √ 3, √ 5. Para obter mais detalhes, consulte Quadrático irracional.

Incommensurable lengths conflicted with the Pythagorean school's concept of numbers as only whole numbers. The Pythagorean school dealt with proportions by comparison of integer multiples of a common subunit. [34] According to one legend, Hippasus of Metapontum (ca. 470 B.C.) was drowned at sea for making known the existence of the irrational or incommensurable. [35] [36]

Complex numbers

the absolute value or modulus is given by

So the three quantities, r, x e y are related by the Pythagorean equation,

Observe que r is defined to be a positive number or zero but x e y can be negative as well as positive. Geometrically r is the distance of the z from zero or the origin O in the complex plane.

This can be generalised to find the distance between two points, z1 e z2 say. The required distance is given by

so again they are related by a version of the Pythagorean equation,

Euclidean distance

The distance formula in Cartesian coordinates is derived from the Pythagorean theorem. [37] If (x1, y1) and (x2, y2) are points in the plane, then the distance between them, also called the Euclidean distance, is given by

If instead of Euclidean distance, the square of this value (the squared Euclidean distance, or SED) is used, the resulting equation avoids square roots and is simply a sum of the SED of the coordinates:

The squared form is a smooth, convex function of both points, and is widely used in optimization theory and statistics, forming the basis of least squares.

Euclidean distance in other coordinate systems

If Cartesian coordinates are not used, for example, if polar coordinates are used in two dimensions or, in more general terms, if curvilinear coordinates are used, the formulas expressing the Euclidean distance are more complicated than the Pythagorean theorem, but can be derived from it. A typical example where the straight-line distance between two points is converted to curvilinear coordinates can be found in the applications of Legendre polynomials in physics. The formulas can be discovered by using Pythagoras's theorem with the equations relating the curvilinear coordinates to Cartesian coordinates. For example, the polar coordinates (r, θ) can be introduced as:

Then two points with locations (r1, θ1) and (r2, θ2) are separated by a distance s:

Performing the squares and combining terms, the Pythagorean formula for distance in Cartesian coordinates produces the separation in polar coordinates as:

using the trigonometric product-to-sum formulas. This formula is the law of cosines, sometimes called the generalized Pythagorean theorem. [38] From this result, for the case where the radii to the two locations are at right angles, the enclosed angle Δθ = π /2, and the form corresponding to Pythagoras's theorem is regained: s 2 = r 1 2 + r 2 2 . =r_<1>^<2>+r_<2>^<2>.> The Pythagorean theorem, valid for right triangles, therefore is a special case of the more general law of cosines, valid for arbitrary triangles.

Pythagorean trigonometric identity

In a right triangle with sides uma, b e hipotenusa c, trigonometry determines the sine and cosine of the angle θ between side uma and the hypotenuse as:

where the last step applies Pythagoras's theorem. This relation between sine and cosine is sometimes called the fundamental Pythagorean trigonometric identity. [39] In similar triangles, the ratios of the sides are the same regardless of the size of the triangles, and depend upon the angles. Consequently, in the figure, the triangle with hypotenuse of unit size has opposite side of size sin θ and adjacent side of size cos θ in units of the hypotenuse.

Relation to the cross product

The Pythagorean theorem relates the cross product and dot product in a similar way: [40]

This can be seen from the definitions of the cross product and dot product, as

with n a unit vector normal to both uma e b. The relationship follows from these definitions and the Pythagorean trigonometric identity.

This can also be used to define the cross product. By rearranging the following equation is obtained

This can be considered as a condition on the cross product and so part of its definition, for example in seven dimensions. [41] [42]

Similar figures on the three sides

A generalization of the Pythagorean theorem extending beyond the areas of squares on the three sides to similar figures was known by Hippocrates of Chios in the 5th century BC, [43] and was included by Euclid in his Elements: [44]

If one erects similar figures (see Euclidean geometry) with corresponding sides on the sides of a right triangle, then the sum of the areas of the ones on the two smaller sides equals the area of the one on the larger side.

This extension assumes that the sides of the original triangle are the corresponding sides of the three congruent figures (so the common ratios of sides between the similar figures are a:b:c) [45] While Euclid's proof only applied to convex polygons, the theorem also applies to concave polygons and even to similar figures that have curved boundaries (but still with part of a figure's boundary being the side of the original triangle). [45]

The basic idea behind this generalization is that the area of a plane figure is proportional to the square of any linear dimension, and in particular is proportional to the square of the length of any side. Thus, if similar figures with areas UMA, B e C are erected on sides with corresponding lengths uma, b e c then:

But, by the Pythagorean theorem, uma 2 + b 2 = c 2 , so UMA + B = C.

Conversely, if we can prove that UMA + B = C for three similar figures without using the Pythagorean theorem, then we can work backwards to construct a proof of the theorem. For example, the starting center triangle can be replicated and used as a triangle C on its hypotenuse, and two similar right triangles (UMA e B ) constructed on the other two sides, formed by dividing the central triangle by its altitude. The sum of the areas of the two smaller triangles therefore is that of the third, thus UMA + B = C and reversing the above logic leads to the Pythagorean theorem a 2 + b 2 = c 2 . (See also Einstein's proof by dissection without rearrangement)

Law of cosines

The Pythagorean theorem is a special case of the more general theorem relating the lengths of sides in any triangle, the law of cosines: [46]

Arbitrary triangle

At any selected angle of a general triangle of sides a, b, c, inscribe an isosceles triangle such that the equal angles at its base θ are the same as the selected angle. Suppose the selected angle θ is opposite the side labeled c. Inscribing the isosceles triangle forms triangle CAD with angle θ opposite side b and with side r along c. A second triangle is formed with angle θ opposite side uma and a side with length s along c, as shown in the figure. Thābit ibn Qurra stated that the sides of the three triangles were related as: [48] [49]

As the angle θ approaches π /2, the base of the isosceles triangle narrows, and lengths r e s overlap less and less. When θ = π /2, ADB becomes a right triangle, r + s = c, and the original Pythagorean theorem is regained.

One proof observes that triangle abc has the same angles as triangle CAD, but in opposite order. (The two triangles share the angle at vertex B, both contain the angle θ, and so also have the same third angle by the triangle postulate.) Consequently, abc is similar to the reflection of CAD, the triangle DAC in the lower panel. Taking the ratio of sides opposite and adjacent to θ,

Likewise, for the reflection of the other triangle,

Clearing fractions and adding these two relations:

General triangles using parallelograms

Pappus's area theorem is a further generalization, that applies to triangles that are not right triangles, using parallelograms on the three sides in place of squares (squares are a special case, of course). The upper figure shows that for a scalene triangle, the area of the parallelogram on the longest side is the sum of the areas of the parallelograms on the other two sides, provided the parallelogram on the long side is constructed as indicated (the dimensions labeled with arrows are the same, and determine the sides of the bottom parallelogram). This replacement of squares with parallelograms bears a clear resemblance to the original Pythagoras's theorem, and was considered a generalization by Pappus of Alexandria in 4 AD [50] [51]

The lower figure shows the elements of the proof. Focus on the left side of the figure. The left green parallelogram has the same area as the left, blue portion of the bottom parallelogram because both have the same base b and height h. However, the left green parallelogram also has the same area as the left green parallelogram of the upper figure, because they have the same base (the upper left side of the triangle) and the same height normal to that side of the triangle. Repeating the argument for the right side of the figure, the bottom parallelogram has the same area as the sum of the two green parallelograms.

Solid geometry

In terms of solid geometry, Pythagoras's theorem can be applied to three dimensions as follows. Consider a rectangular solid as shown in the figure. The length of diagonal BD is found from Pythagoras's theorem as:

where these three sides form a right triangle. Using horizontal diagonal BD and the vertical edge AB, the length of diagonal DE ANÚNCIOS then is found by a second application of Pythagoras's theorem as:

or, doing it all in one step:

This result is the three-dimensional expression for the magnitude of a vector v (the diagonal AD) in terms of its orthogonal components <vk> (the three mutually perpendicular sides):

This one-step formulation may be viewed as a generalization of Pythagoras's theorem to higher dimensions. However, this result is really just the repeated application of the original Pythagoras's theorem to a succession of right triangles in a sequence of orthogonal planes.

A substantial generalization of the Pythagorean theorem to three dimensions is de Gua's theorem, named for Jean Paul de Gua de Malves: If a tetrahedron has a right angle corner (like a corner of a cube), then the square of the area of the face opposite the right angle corner is the sum of the squares of the areas of the other three faces. This result can be generalized as in the "n-dimensional Pythagorean theorem": [52]

This statement is illustrated in three dimensions by the tetrahedron in the figure. The "hypotenuse" is the base of the tetrahedron at the back of the figure, and the "legs" are the three sides emanating from the vertex in the foreground. As the depth of the base from the vertex increases, the area of the "legs" increases, while that of the base is fixed. The theorem suggests that when this depth is at the value creating a right vertex, the generalization of Pythagoras's theorem applies. In a different wording: [53]

Given an n-rectangular n-dimensional simplex, the square of the (n − 1)-content of the facet opposing the right vertex will equal the sum of the squares of the (n − 1)-contents of the remaining facets.

Inner product spaces

The Pythagorean theorem can be generalized to inner product spaces, [54] which are generalizations of the familiar 2-dimensional and 3-dimensional Euclidean spaces. For example, a function may be considered as a vector with infinitely many components in an inner product space, as in functional analysis. [55]

In an inner product space, the concept of perpendicularity is replaced by the concept of orthogonality: two vectors v e w are orthogonal if their inner product ⟨ v , w ⟩ ,mathbf angle > is zero. The inner product is a generalization of the dot product of vectors. The dot product is called the standard inner product or the Euclidean inner product. However, other inner products are possible. [56]

The concept of length is replaced by the concept of the norm ||v|| of a vector v, defined as: [57]

In an inner-product space, the Pythagorean theorem states that for any two orthogonal vectors v e w we have

Here the vectors v e w are akin to the sides of a right triangle with hypotenuse given by the vector sum v + w. This form of the Pythagorean theorem is a consequence of the properties of the inner product:

where the inner products of the cross terms are zero, because of orthogonality.

A further generalization of the Pythagorean theorem in an inner product space to non-orthogonal vectors is the parallelogram law : [57]

which says that twice the sum of the squares of the lengths of the sides of a parallelogram is the sum of the squares of the lengths of the diagonals. Any norm that satisfies this equality is ipso facto a norm corresponding to an inner product. [57]

The Pythagorean identity can be extended to sums of more than two orthogonal vectors. Se v1, v2, . vn are pairwise-orthogonal vectors in an inner-product space, then application of the Pythagorean theorem to successive pairs of these vectors (as described for 3-dimensions in the section on solid geometry) results in the equation [58]

Sets of m-dimensional objects in n-dimensional space

Another generalization of the Pythagorean theorem applies to Lebesgue-measurable sets of objects in any number of dimensions. Specifically, the square of the measure of an m-dimensional set of objects in one or more parallel m-dimensional flats in n-dimensional Euclidean space is equal to the sum of the squares of the measures of the orthogonal projections of the object(s) onto all m-dimensional coordinate subspaces. [59]

Non-Euclidean geometry

The Pythagorean theorem is derived from the axioms of Euclidean geometry, and in fact, were the Pythagorean theorem to fail for some right triangle, then the plane in which this triangle is contained cannot be Euclidean. More precisely, the Pythagorean theorem implies, and is implied by, Euclid's Parallel (Fifth) Postulate. [60] [61] Thus, right triangles in a non-Euclidean geometry [62] do not satisfy the Pythagorean theorem. For example, in spherical geometry, all three sides of the right triangle (say uma, b, e c) bounding an octant of the unit sphere have length equal to π /2, and all its angles are right angles, which violates the Pythagorean theorem because a 2 + b 2 = 2 c 2 > c 2 +b^<2>=2c^<2>>c^<2>> .

Here two cases of non-Euclidean geometry are considered—spherical geometry and hyperbolic plane geometry in each case, as in the Euclidean case for non-right triangles, the result replacing the Pythagorean theorem follows from the appropriate law of cosines.

However, the Pythagorean theorem remains true in hyperbolic geometry and elliptic geometry if the condition that the triangle be right is replaced with the condition that two of the angles sum to the third, say UMA+B = C. The sides are then related as follows: the sum of the areas of the circles with diameters uma e b equals the area of the circle with diameter c. [63]

Spherical geometry

For any right triangle on a sphere of radius R (for example, if γ in the figure is a right angle), with sides uma, b, c, the relation between the sides takes the form: [64]

This equation can be derived as a special case of the spherical law of cosines that applies to all spherical triangles:

By expressing the Maclaurin series for the cosine function as an asymptotic expansion with the remainder term in big O notation,

it can be shown that as the radius R approaches infinity and the arguments a/R, b/R, e c/R tend to zero, the spherical relation between the sides of a right triangle approaches the Euclidean form of the Pythagorean theorem. Substituting the asymptotic expansion for each of the cosines into the spherical relation for a right triangle yields

The constants uma 4 , b 4 , and c 4 have been absorbed into the big O remainder terms since they are independent of the radius R. This asymptotic relationship can be further simplified by multiplying out the bracketed quantities, cancelling the ones, multiplying through by −2, and collecting all the error terms together:

After multiplying through by R 2 , the Euclidean Pythagorean relationship c 2 = uma 2 + b 2 is recovered in the limit as the radius R approaches infinity (since the remainder term tends to zero):

For small right triangles (uma, b << R), the cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving

Hyperbolic geometry

In a hyperbolic space with uniform curvature −1/R 2 , for a right triangle with legs uma, b, and hypotenuse c, the relation between the sides takes the form: [65]

where cosh is the hyperbolic cosine. This formula is a special form of the hyperbolic law of cosines that applies to all hyperbolic triangles: [66]

with γ the angle at the vertex opposite the side c.

By using the Maclaurin series for the hyperbolic cosine, cosh x ≈ 1 + x 2 /2 , it can be shown that as a hyperbolic triangle becomes very small (that is, as uma, b, e c all approach zero), the hyperbolic relation for a right triangle approaches the form of Pythagoras's theorem.

For small right triangles (uma, b << R), the hyperbolic cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving

Very small triangles

For any uniform curvature K (positive, zero, or negative), in very small right triangles (|K|uma 2 , |K|b 2 << 1) with hypotenuse c, it can be shown that

Differential geometry

On an infinitesimal level, in three dimensional space, Pythagoras's theorem describes the distance between two infinitesimally separated points as:

with ds the element of distance and (dx, dy, dz) the components of the vector separating the two points. Such a space is called a Euclidean space. However, in Riemannian geometry, a generalization of this expression useful for general coordinates (not just Cartesian) and general spaces (not just Euclidean) takes the form: [67]

which is called the metric tensor. (Sometimes, by abuse of language, the same term is applied to the set of coefficients geu j .) It may be a function of position, and often describes curved space. A simple example is Euclidean (flat) space expressed in curvilinear coordinates. For example, in polar coordinates:

There is debate whether the Pythagorean theorem was discovered once, or many times in many places, and the date of first discovery is uncertain, as is the date of the first proof. Historians of Mesopotamian mathematics have concluded that the Pythagorean rule was in widespread use during the Old Babylonian period (20th to 16th centuries BC), over a thousand years before Pythagoras was born. [69] [70] [71] [72] The history of the theorem can be divided into four parts: knowledge of Pythagorean triples, knowledge of the relationship among the sides of a right triangle, knowledge of the relationships among adjacent angles, and proofs of the theorem within some deductive system.

Written between 2000 and 1786 BC, the Middle Kingdom Egyptian Berlin Papyrus 6619 includes a problem whose solution is the Pythagorean triple 6:8:10, but the problem does not mention a triangle. The Mesopotamian tablet Plimpton 322, written between 1790 and 1750 BC during the reign of Hammurabi the Great, contains many entries closely related to Pythagorean triples.

In India, the Baudhayana Shulba Sutra, the dates of which are given variously as between the 8th and 5th century BC, [73] contains a list of Pythagorean triples and a statement of the Pythagorean theorem, both in the special case of the isosceles right triangle and in the general case, as does the Apastamba Shulba Sutra (c. 600 BC). Van der Waerden believed that this material "was certainly based on earlier traditions". Carl Boyer states that the Pythagorean theorem in the Śulba-sũtram may have been influenced by ancient Mesopotamian math, but there is no conclusive evidence in favor or opposition of this possibility. [74]

Proclus, writing in the fifth century AD, states two arithmetic rules, "one of them attributed to Plato, the other to Pythagoras", [75] for generating special Pythagorean triples. The rule attributed to Pythagoras (c. 570 – c. 495 BC ) starts from an odd number and produces a triple with leg and hypotenuse differing by one unit the rule attributed to Plato (428/427 or 424/423 – 348/347 BC) starts from an even number and produces a triple with leg and hypotenuse differing by two units. According to Thomas L. Heath (1861–1940), no specific attribution of the theorem to Pythagoras exists in the surviving Greek literature from the five centuries after Pythagoras lived. [76] However, when authors such as Plutarch and Cicero attributed the theorem to Pythagoras, they did so in a way which suggests that the attribution was widely known and undoubted. [77] [78] Classicist Kurt von Fritz wrote, "Whether this formula is rightly attributed to Pythagoras personally, but one can safely assume that it belongs to the very oldest period of Pythagorean mathematics." [36] Around 300 BC, in Euclid's Elements, the oldest extant axiomatic proof of the theorem is presented. [79]

With contents known much earlier, but in surviving texts dating from roughly the 1st century BC, the Chinese text Zhoubi Suanjing (周髀算经), (The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven) gives a reasoning for the Pythagorean theorem for the (3, 4, 5) triangle—in China it is called the "Gougu theorem" (勾股定理). [80] [81] During the Han Dynasty (202 BC to 220 AD), Pythagorean triples appear in The Nine Chapters on the Mathematical Art, [82] together with a mention of right triangles. [83] Some believe the theorem arose first in China, [84] where it is alternatively known as the "Shang Gao theorem" (商高定理), [85] named after the Duke of Zhou's astronomer and mathematician, whose reasoning composed most of what was in the Zhoubi Suanjing. [86]


Greek Philosopher Pythagoras and His Famous Theorem

Pythagoras. Credit: Public Domain

The influence of Pythagoras in mathematics and philosophy remains strong today, as do the mysteries surrounding the great Greek philosopher.

Like philosophy and religion, the science of mathematics can change the way we perceive the world and has a massive impact on our lives.

Pythagoras’ philosophy influenced both Plato and Aristotle, and through them his ideas were fundamental in Western philosophy.

In his life 2,500 years ago, the Greek philosopher combined philosophy, mathematics, and religion, and his work and ideas are still influential to this day.

The Pythagorean theorem remains fundamental in mathematics, and is taught in schools across the world.

Pythagoras’ life

The Greek philosopher and mathematician was born on Samos to an aristocratic family in 570 BC. He came from the house of Agaios, who was the founder of the colony of Samos.

His father, Mnesarchus was a precious stones engraver. However, his early life is clouded by mystery, with modern scholars disagreeing about his education and influences.

It is said that Pythagoras was of exceptional beauty and many considered him to be the son of Apollo, who was patron god of philosophers, among others.

It is also said that he took his name from the fact that the priestess of Pythian Apollo had predicted his birth (before it even became known that his mother was pregnant) on a trip made by his father to Delphi.

For the same reason, his mother was renamed Pythaida from Parthenida, which was her original name.

According to the oracle at Delphi, Pythagoras would tell the truth in his life. The Pythian oracle also proclaimed that he would benefit humanity.

According to ancient texts, Pythagoras had a golden thigh and many believed he was a divine demon. To ancient Greeks, the word demon did not have the same meaning as Christians used it. A demon was a divine entity mediating between gods and humans.

Around 530 BC the Greek philosopher traveled to Croton (today’s Crotone) in southern Italy and founded a school. The Pythagoras’ schools initiates were sworn to secrecy and lived a communal, ascetic life.

This lifestyle entailed a number of dietary prohibitions, said to include vegetarianism, although some modern scholars doubt that he advocated for the diet.

Pythagoras’ mysterious personality was noticeable during his teaching. Strangely, no notes and questions were allowed in his lessons, which is why a great part of his works are lost. There is no additional information even on the renowned Pythagorean theorem.

It is also not known if Pythagoras invented this theorem on his own or with the help of his students.

At an old age, Pythagoras married one of his students in Croton, Theano, and had children with her. Again, there is disagreement among scholars over the number and the names of the children.

He died around 495 BC in Metapontum, Lower Italy, starving himself for 40 days because of his grief over the persecution of the Pythagoreans and the killing of the majority of them.

Another ancient account states that Pythagoras was killed for political reasons, as followers of his opponents Cylon and Ninon attacked the Pythagoreans during a house meeting.

After his death, Greek philosopher’s house was made into a sanctuary of Demeter, and the road that led to it became a sanctuary of the Muses.

Pythagoras teaching. Painting by unknown artist made in 1913. Public Domain

The Pythagorean school

Pythagoras traveled across Greece to study under great philosophers of his time. He could even be described as one of the most widely traveled ancient philosophers.

Pythagoras was a student of Ferekidis, while he was in Lesvos, and of Aneximander and Thales when he went to Miletus.

The Greek philosopher visited many of the countries of the known world at the time on a religious and scientific quest for “Absolute Knowledge.”

He was initiated in all the sanctuaries through which he passed and always became loved and respected by the priests. Among the areas he visited were Egypt, Persia, Syria, Sparta, Crete, and others.

It is said that he took most of the moral doctrines from Themistocleia, who was a priestess of Delphi. He was greatly influenced by the Ionian philosophers (especially in the study of nature and the universe), as well as by the occultism of Orphism.

Pythagoras also studied geometry (literally meaning “measuring the earth” in Greek) and perfected it.

Southern Italy and Sicily were named Greater Greece (Magna Graecia) thanks to Pythagoras who gathered philosophers, scientists and virtuous people in the region.

The huge house in which he taught in Croton was called Oimakoion. In this organization property and knowledge were considered common. Any discovery was not attributed to a specific member but to all.

The Pythagorean School had a very conservative and strict code of conduct. The students had to keep the teachings and theories secret and if that did not happen it could even cost them their lives, it is said.

Pythagoras had female students

Unlike in philosophical schools of the time, many of Pythagoras’ students were women.

It is said that at the entrance of the school the Pythagoreans had engraved the saying “ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΔΙΣΙΤΩ”, which meant that no person who does not measure things by earthly measures should enter.

The three basic criteria for Pythagoras to accept someone in his school were wisdom, justice and bravery. He imposed a strict examination on those young people who asked him to become members of the school.

He interrogated them to learn how they treat their parents and friends, and even observed them in every detail, including their demeanor, their gait, their unnecessary speech, their silence, and even the way they laugh.

Pythagoras is considered to have coined the words “philosophy” (love of wisdom) and “mathematics” (what is learned), trying to describe the spiritual nature of his school.

He is said to have given two kinds of lectures: one exclusively for the members of the school and one for all the others.

Pythagoras and his school played a most crucial role in the history of mathematics. They put a new emphasis on mathematics, recognizing their association more with the love of wisdom than with the demands of life as it was at the time.

The Pythagorean school was pivotal in the evolution of human intellect and in raising the level of philosophical thought for 2,500 years.

According to Pythagoras’ strict rules, all members avoided eating meat. This was because they believed in the transmigration of life, and therefore the slaughter of an animal was considered the destruction of the new home of a person (friend) who had died.

For Pythagoras, neither wealth nor origin was a criterion and for this reason he never allowed Cylon to be a student in the Pythagorean school, which also had wealth, but also came from an aristocratic family.

However, Pythagoras considered that his upbringing did not make Cylon “noble”, as he was violent, burdensome and behaved like a tyrant.

Cylon was infuriated at Pythagoras for expelling him and used his wealth and position to turn people against the philosopher and mathematician.

Together with his supporters, Cylon attacked the Pythagoreans and burned their house down.

Pythagorean theorem

The Pythagorean Theorem

“Everything is a number” was the motto of the Pythagorean School. Pythagoras was influenced by the Babylonians, so the theorem attributed to his name probably came from them.

The Babylonians assigned numerical values ​​to everything around them, from the movement of the planets to the efficiency of their slaves. That is why their theories are connected with those of Pythagoras.

There is a myth that Pythagoras sacrificed a calf, or a hundred calves according to other versions, to prove his theorem. However, this does not comply with the school’s dietary rules, so it is considered almost impossible.

“Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.”

That is, in a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two perpendicular sides.

The Pythagorean is perhaps the best known of the mathematical theorems. It is a theorem that most people claim to know even if they don’t understand what it means.

The Pythagorean Theorem was known long before Pythagoras. It was formulated earlier, but only as an empirical, unproven observation.

Mathematicians from Babylon, China, Mesopotamia, India knew that the relationship described by the Pythagorean Theorem was valid, but Pythagoras was the first person to prove it.

The simple phrase “The square of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the other two sides” is pure mathematical magic.

For this reason the theorem got its name. It was later proven by many mathematicians, both geometrically and algebraically.

The Greek philosopher’s theorem remains current 2,500 years later because it is a simple relation of square numbers inside of which all the glamor of mathematical science is hidden.

The Pythagorean theorem is justifiably the most popular and at the same time the most majestic theorem of mathematical science.

Other than his famous theorem, Pythagoras was credited with many mathematical and scientific discoveries, including Pythagorean tuning, the five regular solids, the Theory of Proportions.

Also, Pythagoras made developments regarding the spherical nature of the Earth and identified the morning and evening stars as the planet Venus.

It was said that he was the first man to call himself a philosopher and that he was the first to divide the globe into five climatic zones.

The Pythagorean theorem is everywhere

There are several reasons to love the theorem that changed the history of mathematics. It would be impossible to try to describe in detail the effects that the genius idea of ​​Pythagoras had on the later history of mathematics.

Number Theory, the later “Diophantine Equations” and the study of prime numbers in general have the Pythagorean theorem as their basis.

The more than 370 different proofs of the Greek philosopher Pythagoras’ theorem show in the most obvious way the huge scientific spectrum contained in a simple right triangle.

Geometry, trigonometry, algebra, differential equations and even imaginary complex numbers were founded using the Pythagorean theorem.


Clip 1/5: Lesson Pythagorean Theorem Part 1

Patty introduces her lesson by charging students to identify the “big ideas” they should be thinking about when they work with right triangles. Students pair-share their ideas, and Patty notes when they are making reference to available tools and supports, such as anchor charts, around the room.

In her commentary, Patty notes that this lesson is intended to develop students’ capacity to engage in modeling mathematical situations. Students identify the Pythagorean Theorem, and Patty prompts them to attend to precision and communicate precisely. In a whole-group sharing, she engages all students to add on to, critique, extend, and clarify each other’s thinking. Students deepen their capacity to make sense of the problem or situation.

Patty presents student work from a previous assessment and asks students to critique the person’s strategies and precision, giving advice to each exemplar learner about how to improve their approach.

Some kids were really good with the geometry we had been doing. They were really good with all these procedures of writing equations, but they were still struggling with making sense of it. I like having it integrated, so students can shine in different ways. I was still making sense of a lot of it myself, too.

The day before this lesson, students had a choice of two problems on comparing costs of gym memberships and rate plans. And they actually brainstormed very low-level questions like, "What is the constant rate of change?" But we got the high-end questions, like, "When will the cost be the same at the same time?" They chose which one they wanted to work on, and then they were going to be working on that. I wanted to address "modeling the situation," to help them solve that problem. I just think that that knowing what they know and don’t know makes every decision for me.

I was excited to see what they could do, based on what their experiences were before. Then I really wanted them to write advice to their peers about an upcoming assessment. Like, "What do you do? What do you do if you get stuck? What kind of strategies can you do?"

I found that many students understood the relationship and could verbalize and relate it to the areas of the land. When the length of the legs were given, students could use the Pythagorean Theorem. But when a hypotenuse and a leg were given, there was some difficulty finding out the length of the other leg. There was some confusion with the relationship.

A lot of the language, you could still hear in their voice, they were struggling with being super precise all the time. I know they referred to the conceptual understanding, which I think supported them. They looked at the anchor poster, and they were able to make connections to the story of the area of land, and the relationship between the two areas and the one area.


Assista o vídeo: Teorema de Pitágoras demostración (Outubro 2021).