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4.2: Funções Polinomiais


Na seção anterior, exploramos o comportamento de curto prazo das quadráticas, um caso especial de polinômios. Nesta seção, exploraremos o comportamento dos polinômios em geral. Os blocos de construção básicos de polinômios são funções de potência.

Definição: Função de energia

UMA Função liga-desliga é uma função que pode ser representada na forma

[f (x) = x ^ p label {poder} ]

onde a base é a variável e o expoente, (p ), é um número.

P&R: (f (x) = 2 ^ x ) é uma função de potência?

Não. Uma função de potência contém uma base variável elevada a uma potência fixa (Equação ref {potência}). Esta função tem uma base constante elevada a uma potência variável. Isso é chamado de função exponencial, não de função de potência. Esta função será discutida mais tarde.

Características das funções de poder

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra os gráficos de (f (x) = x ^ 2 ), (g (x) = x ^ 4 ) e e (h (x) = x ^ 6 ), que são todas as funções de potência com potências pares de números inteiros. Observe que esses gráficos têm formas semelhantes, muito parecidas com a da função quadrática no kit de ferramentas. No entanto, à medida que o poder aumenta, os gráficos ficam um pouco achatados perto da origem e ficam mais inclinados a partir da origem.

Para descrever o comportamento à medida que os números se tornam cada vez maiores, usamos a ideia de infinito. Usamos o símbolo ( infty ) para infinito positivo e (- infty ) para infinito negativo. Quando dizemos que “x se aproxima do infinito”, o que pode ser simbolicamente escrito como (x { rightarrow} infty ), estamos descrevendo um comportamento; estamos dizendo que (x ) está aumentando sem limites.

Com a função de potência uniforme, conforme a entrada aumenta ou diminui sem limites, os valores de saída tornam-se números positivos muito grandes. Equivalentemente, poderíamos descrever esse comportamento dizendo que conforme (x ) se aproxima do infinito positivo ou negativo, os valores de (f (x) ) aumentam sem limites. Na forma simbólica, poderíamos escrever

[ text {as} x { rightarrow} { pm} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

A Figura ( PageIndex {3} ) mostra os gráficos de (f (x) = x ^ 3 ), (g (x) = x ^ 5 ) e (h (x) = x ^ 7 ), que são todas funções de potência com potências ímpares de número inteiro. Observe que esses gráficos são semelhantes à função cúbica do kit de ferramentas. Novamente, à medida que o poder aumenta, os gráficos se achatam perto da origem e se tornam mais inclinados a partir da origem.

Esses exemplos ilustram que as funções da forma (f (x) = x ^ n ) revelam simetria de um tipo ou outro. Primeiro, na Figura ( PageIndex {2} ), vemos que funções pares da forma (f (x) = x ^ n ), (n ) par, são simétricas em relação ao (y ) -eixo. Na Figura ( PageIndex {3} ) vemos que as funções ímpares da forma (f (x) = x ^ n ), (n ) ímpar, são simétricas em relação à origem.

Para essas funções de potência ímpar, conforme (x ) se aproxima do infinito negativo, (f (x) ) diminui sem limite. À medida que (x ) se aproxima do infinito positivo, (f (x) ) aumenta sem limites. Na forma simbólica, nós escrevemos

[ begin {align *} & text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} & text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} end {align *} ]

Comportamento de longo prazo

O comportamento do gráfico de uma função conforme os valores de entrada ficam muito pequenos ((x { rightarrow} - { infty}) ) e ficam muito grandes (x { rightarrow} { infty} ) é referido para como o comportamento de longo prazo da função. Podemos usar palavras ou símbolos para descrever o comportamento final.

Polinômios

Definição: Palavra

UMA polinomial é uma função que pode ser escrita como (f (x) = {a_0} + {a_1} x + {a_2} {x ^ 2} + cdots + {a_n} {x ^ n} )

Cada um dos umaeuconstantes são chamadas coeficientes e pode ser positivo, negativo ou zero e ser números inteiros, decimais ou frações.

UMA prazo do polinômio é qualquer parte da soma, ou seja, qualquer (a_ix ^ i ). Cada termo individual é uma função de poder transformada.

O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio.

O termo principal é o termo que contém o maior poder da variável: o termo com o maior grau.

O coeficiente de liderança é o coeficiente do termo líder.

Por causa da definição do termo “líder”, muitas vezes reorganizamos os polinômios para que as potências sejam descendentes. (f (x) = {a_n} {x ^ n} + ..... + {a_2} {x ^ 2} + {a_1} x + a_0 )

Exemplo ( PageIndex {1} )

Quais das seguintes são funções polinomiais?

  • (f (x) = 2x ^ 3⋅3x + 4 )
  • (g (x) = - x (x ^ 2−4) )
  • (h (x) = 5 sqrt {x} +2 )

Solução

Para a função (f (x) ), o grau é 3, a maior potência em (x ). O termo principal é o termo que contém esse poder, (- 4x ^ 3 ). O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, -4.

Para (g (t) ), o grau é 5, o termo líder é (5 {t ^ 5} ) e o coeficiente líder é 5.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Identificando o grau e o coeficiente inicial de uma função polinomial

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder das seguintes funções polinomiais.

(f (x) = 3 + 2x ^ 2−4x ^ 3 )

(g (t) = 5t ^ 5−2t ^ 3 + 7t )

(h (p) = 6p − p ^ 3−2 )

Solução

Para a função (f (x) ), a maior potência de (x ) é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, (- 4x ^ 3 ). O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, −4.

Para a função (g (t) ), a maior potência de (t ) é 5, então o grau é 5. O termo principal é o termo que contém esse grau, (5t ^ 5 ). O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, 5.

Para a função (h (p) ), a maior potência de (p ) é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, (- p ^ 3 ); o coeficiente líder é o coeficiente desse termo, -1.

Comportamento de longo prazo de polinômios

Para qualquer polinômio, o comportamento de longo prazo do polinômio corresponderá ao comportamento de longo prazo do termo líder.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Identificando o comportamento final e o grau de uma função polinomial

O que podemos determinar sobre o comportamento de longo prazo e o grau da equação para o polinômio representado graficamente na Figura ( PageIndex {8} ).

Solução

Uma vez que a saída cresce grande e positiva à medida que as entradas aumentam e são positivas, descrevemos o comportamento de longo prazo simbolicamente escrevendo:

[ text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

[ text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

Em palavras, poderíamos dizer que conforme os valores de (x ) se aproximam do infinito, os valores da função se aproximam do infinito, e como os valores de (x ) se aproximam do infinito negativo, os valores da função se aproximam do infinito negativo.

Podemos dizer que este gráfico tem a forma de uma função de potência de grau ímpar que não foi refletida, portanto, o grau do polinômio que cria este gráfico deve ser ímpar e o coeficiente líder deve ser positivo.

Comportamento de curta duração: interceptações

As características do gráfico, como interceptações verticais e horizontais e os lugares em que o gráfico muda de direção, fazem parte do comportamento de curto prazo do polinômio.

Como com todas as funções, a interceptação vertical é onde o gráfico cruza o eixo vertical e ocorre quando o valor de entrada é zero. Como um polinômio é uma função, só pode haver uma interceptação vertical, que ocorre no ponto (0, a_0 ). As interceptações horizontais ocorrem nos valores de entrada que correspondem a um valor de saída igual a zero. É possível ter mais de uma interceptação horizontal.

As interceptações horizontais também são chamadas zeros, ou raízes da função.

Para encontrar interceptações horizontais, precisamos resolver quando a saída será zero. Para polinômios gerais, essa pode ser uma perspectiva desafiadora. Enquanto os quadráticos podem ser resolvidos usando a fórmula quadrática relativamente simples, as fórmulas correspondentes para cúbico e 4º polinômios de grau não são simples o suficiente para lembrar e não existem fórmulas para polinômios de grau superior gerais. Consequentemente, nos limitaremos a três casos:

  1. O polinômio pode ser fatorado usando métodos conhecidos: maior fator comum e fatoração trinomial.
  2. O polinômio é fornecido na forma fatorada.
  3. A tecnologia é usada para determinar as interceptações.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre as interceptações horizontais de (f (x) = {x ^ 6} - 3 {x ^ 4} + 2 {x ^ 2} ).

Solução

Podemos tentar fatorar este polinômio para encontrar soluções para (f (x) = 0 ).

[ begin {align *}
x ^ 6- 3x ^ 4 + 2x ^ 2 & = 0 quad && text {Fatorando o maior fator comum}
x ^ 2 left (x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2 right) & = 0 quad && text {Fatorando o interior como um quadrático em $ x ^ 2 $}
x ^ 2 left (x ^ 2- 1 right) left (x ^ 2 - 2 right) & = 0 quad && text {Em seguida, separe para encontrar soluções}
x ^ 2 = 0 quad & quad left (x ^ 2 - 1 right) = 0 && quad left (x ^ 2-2 right)
x = 0 quad & quad ; x ^ 2 = 1 && quad ; x ^ 2 = 2
& quad ; x = pm sqrt 2 && ; quad x = pm sqrt {2}
end {align *} ] Isso nos dá 5 interceptações horizontais.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre as interceptações verticais e horizontais de (g (t) = (t - 2) ^ 2 (2t + 3) ).

Solução

A interceptação vertical pode ser encontrada avaliando (g (0) ).

(g (0) = {(0 - 2) ^ 2} (2 (0) + 3) = 12 )

As interceptações horizontais podem ser encontradas resolvendo (g (t) = 0 ).

[(t - 2) ^ 2 (2t + 3) = 0 não numérico ]

Como isso já está fatorado, podemos separá-lo:

[ begin {align *}
(t - 2) ^ 2 & = 0 quad quad & (2t + 3) & = 0
t - 2 & = 0 quad & t & = frac {- 3} {2}
t & = 2 &&
end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre as interceptações horizontais de (h (t) = {t ^ 3} + 4 {t ^ 2} + t - 6 )

Solução

Como esse polinômio não está na forma fatorada, não tem fatores comuns e não parece ser fatorável usando técnicas que conhecemos, podemos recorrer à tecnologia para encontrar as interceptações.

Representando graficamente esta função, parece que há interceptações horizontais em (t = -3, -2 ) e (1 ).

Poderíamos verificar se eles estão corretos inserindo esses valores para t e verificando que (h (- 3) = h (- 2) = h (1) = 0 ).

Observe que o polinômio no exemplo anterior era de grau três e tinha três interceptações horizontais e dois pontos de inflexão - lugares onde o gráfico muda de direção. Faremos agora uma declaração geral sem justificá-la.

Definição: interceptações e pontos de viragem de polinômios

Um polinômio de grau n terá:

No máximo (n ) interceptações horizontais. Um polinômio de grau ímpar sempre terá pelo menos um,

No máximo (n-1 ) pontos de inflexão.

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre as interceptações verticais e horizontais da função (f (t) = t ^ 4-4t ^ 2 ).

Responder

Interceptação vertical ((0, 0) ), interceptações horizontais ((0, 0) ), ((- 2, 0) ), ((2, 0) )

Comportamento gráfico nas interceptações

Se representarmos graficamente a função (f (x) = (x + 3) (x − 2) ^ 2 (x + 1) ^ 3, ) observe que o comportamento em cada uma das interceptações horizontais é diferente.

O intercepto horizontal (x = −3 ), vindo do fator ((x + 3) ) do polinômio, o gráfico passa diretamente pelo intercepto horizontal. O fator é linear (tem uma potência de 1), então o comportamento próximo à interceptação é como o de uma linha - ela passa diretamente pela interceptação. Chamamos isso de zero único, pois o zero corresponde a um único fator da função.

Na interceptação horizontal (x = 2 ) vindo do fator (x − 2) ^ 2 ) do polinômio, o gráfico toca o eixo na interceptação e muda de direção. O fator é quadrático (grau 2), então o comportamento próximo à interceptação é como o de um quadrático - ele rebate no eixo horizontal na interceptação. Desde

[(x − 2) ^ 2 = (x − 2) (x − 2), nonumber ]

O fator é repetido duas vezes, ou seja, o fator ((x − 2) ) aparece duas vezes, então chamamos isso de zero duplo. Também poderíamos dizer que o zero tem multiplicidade 2.

A interceptação horizontal (x = −1 ) vindo do fator ((x + 1) ^ 3 ) do polinômio, o gráfico passa pelo eixo na interceptação, mas se nivela um pouco primeiro. Este fator é cúbico (grau 3), então o comportamento próximo à interceptação é como o de uma cúbica, com a mesma forma de tipo “S” próximo à interceptação que o kit de ferramentas (x ^ 3 ) tem. Chamamos isso de zero triplo. Também podemos dizer que o zero tem multiplicidade 3.

Ao utilizar esses comportamentos, podemos esboçar um gráfico razoável de uma função polinomial fatorada sem a necessidade de tecnologia.

Comportamento gráfico de polinômios em interceptações horizontais

Se um polinômio contém um fator da forma ((x-h) ^ p ), o comportamento próximo à interceptação horizontal h é determinado pela potência no fator.

Figura ( PageIndex {8} ): Três gráficos mostrando três funções polinomiais diferentes com multiplicidade 1, 2 e 3.

Para potências pares mais altas 4, 6, 8, etc.… o gráfico ainda refletirá fora do eixo horizontal, mas o gráfico aparecerá mais plano com cada potência par crescente à medida que se aproxima e sai do eixo.

Para potências ímpares maiores, 5, 7, 9 etc ... o gráfico ainda passará pelo eixo horizontal, mas o gráfico aparecerá mais plano com cada potência ímpar crescente conforme se aproxima e sai do eixo.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Esboço do gráfico de uma função polinomial

Esboce um gráfico de (f (x) = - 2 (x + 3) ^ 2 (x − 5) ).

Solução

Este gráfico possui duas interceptações x. Em (x = −3 ), o fator é elevado ao quadrado, indicando uma multiplicidade de 2. O gráfico saltará nesta interceptação x. Em (x = 5 ), a função tem uma multiplicidade de um, indicando que o gráfico cruzará o eixo nesta interceptação.

A interceptação y é encontrada avaliando (f (0) ).

[ begin {align *} f (0) & = - 2 (0 + 3) ^ 2 (0−5) & = - 2⋅9⋅ (−5) & = 90 end {align *} ]

A interceptação y é ((0,90) ).

Além disso, podemos ver que o termo principal, se este polinômio fosse multiplicado, seria (- 2x3 ), então o comportamento final é o de uma cúbica refletida verticalmente, com as saídas diminuindo conforme as entradas se aproximam do infinito, e as saídas aumentando à medida que as entradas se aproximam do infinito negativo. Veja a Figura ( PageIndex {13} ).

Para esboçar isso, consideramos que:

  • Como (x { rightarrow} - { infty} ) a função (f (x) { rightarrow} { infty} ), então sabemos que o gráfico começa no segundo quadrante e está diminuindo em direção ao x -eixo.
  • Dado que (f (−x) = - 2 (−x + 3) ^ 2 (−x – 5) ) não é igual a (f (x) ), o gráfico não exibe simetria.
  • Em ((- 3,0) ), o gráfico salta fora do eixo x, portanto, a função deve começar a aumentar.
  • Em ((0,90) ), o gráfico cruza o eixo y na interceptação y. Veja a Figura ( PageIndex {14} ).

Em algum lugar após este ponto, o gráfico deve virar para baixo ou começar a diminuir em direção ao eixo horizontal porque o gráfico passa pela próxima interceptação em ((5,0) ). Veja a Figura ( PageIndex {15} ).

Como (x { rightarrow} { infty} ) a função (f (x) { rightarrow} - { infty} ),

portanto, sabemos que o gráfico continua diminuindo e podemos parar de desenhá-lo no quarto quadrante.

Usando a tecnologia, podemos criar o gráfico para a função polinomial, mostrado na Figura ( PageIndex {16} ), e verificar se o gráfico resultante se parece com o nosso esboço na Figura ( PageIndex {15} ).


Figura ( PageIndex {16} ): O gráfico completo da função polinomial (f (x) = - 2 (x + 3) ^ 2 (x − 5) ).

Resolvendo Desigualdades Polinomiais

Uma aplicação de nossa capacidade de encontrar interceptos e esboçar um gráfico de polinômios é a capacidade de resolver desigualdades polinomiais. É uma pergunta muito comum perguntar quando uma função será positiva ou negativa. Podemos resolver desigualdades polinomiais usando o gráfico ou os valores de teste.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolva ((x + 3) (x + 1) ^ 2 (x - 4)> 0 ).

Solução

Como com todas as desigualdades, começamos resolvendo a igualdade ((x + 3) (x + 1) ^ 2 (x - 4) = 0 ), que tem soluções em (x = -3, -1, ) e (4 ). Sabemos que a função só pode mudar de positivo para negativo nesses valores, portanto, eles dividem as entradas em 4 intervalos.

Poderíamos escolher um valor de teste em cada intervalo e avaliar a função (f (x) = (x + 3) {(x + 1) ^ 2} (x - 4) ) em cada valor de teste para determinar se a função é positivo ou negativo nesse intervalo

Intervalo

Teste (x ) no intervalo

(f ) (valor de teste)

> 0 ou <0?

(x <-3 )

-4

72

> 0

(- 3

-2

-6

< 0

(- 1

0

-12

< 0

(x> 4 )

5

288

> 0

Em uma linha numérica, seria assim:

A partir de nossos valores de teste, podemos determinar que esta função é positiva quando (x <-3 ) ou (x> 4 ), ou em notação de intervalo, ((- infty, -3) cup (4, infty) ).

Também poderíamos ter determinado em quais intervalos a função era positiva, esboçando um gráfico da função. Ilustramos essa técnica no próximo exemplo

Exemplo ( PageIndex {8} )

Encontre o domínio da função (v (t) = sqrt {6 - 5t - t ^ 2} ).

Solução

Uma raiz quadrada só é definida quando a quantidade da qual estamos tirando a raiz quadrada, a quantidade dentro da raiz quadrada, é zero ou maior. Assim, o domínio desta função será quando (6 - 5t - t ^ 2 geq 0 ).

Novamente, começamos resolvendo a igualdade (6 - 5t - t ^ 2 = 0 ). Embora pudéssemos usar a fórmula quadrática, esta equação fatora bem para ((6 + t) (1 - t) = 0 ), dando interceptações horizontais (t = 1 ) e (t = -6 ). Desenhar um gráfico dessa quadrática nos permitirá determinar quando ela é positiva.

No gráfico, podemos ver que essa função é positiva para entradas entre as interceptações. Portanto, (6 - 5t - t ^ 2 geq 0 ) para (- 6 leq t leq 1 ), e este será o domínio da função (v (t) ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Dada a função (g (x) = x ^ 3 - x ^ 2 - 6x ) use os métodos que aprendemos até agora para encontrar as interceptações verticais e horizontais, determinar onde a função é negativa e positiva, descrever o longo execute o comportamento e esboce o gráfico sem tecnologia.

Responder

Interceptação vertical ((0, 0) ), interceptações horizontais ((- 2, 0), (0, 0), (3, 0). )

A função é negativa em ((- infty, -2) ) e ((0, 3) ).

A função é positiva em ((- 2, 0) ) e ((3, infty) ).

O termo principal é (x ^ 3 ) assim como (x to - infty, g (x) to - infty ) e como (x to infty, g (x) to infty ).

Estimando Extrema

Com a quadrática, fomos capazes de encontrar algebricamente o valor máximo ou mínimo da função encontrando o vértice. Para polinômios gerais, encontrar esses pontos de inflexão não é possível sem técnicas mais avançadas de cálculo. Mesmo assim, descobrir onde os extremos ocorrem ainda pode ser um desafio algébrico. Por enquanto, vamos estimar os locais dos pontos de inflexão usando tecnologia para gerar um gráfico.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Uma caixa aberta deve ser construída cortando quadrados de cada canto de uma folha de plástico de 14 cm por 20 cm e dobrando os lados. Encontre o tamanho dos quadrados que devem ser cortados para maximizar o volume contido pela caixa.

Solução

Uma caixa aberta deve ser construída cortando quadrados de cada canto de uma folha de plástico de 14 por 20 cm e dobrando os lados. Encontre o tamanho dos quadrados que devem ser cortados para maximizar o volume contido pela caixa.

Começaremos este problema desenhando uma imagem, rotulando a largura dos quadrados recortados com uma variável, (w ).

Observe que depois que um quadrado é cortado de cada extremidade, ele deixa um retângulo de ((14-2w) ) cm por ((20-2w) ) cm para a base da caixa, e a caixa será C cm de altura. Isso dá o volume:

[V (w) = (14 - 2w) (20 - 2w) w = 280w - 68 {w ^ 2} + 4w ^ 3 não numérico ]

Usar a tecnologia para esboçar um gráfico permite estimar o valor máximo para o volume, restrito a valores razoáveis ​​para (w ): valores de 0 a 7.

A partir deste gráfico, podemos estimar que o valor máximo é em torno de 340, e ocorre quando os quadrados têm cerca de 2,75cm quadrados. Para melhorar essa estimativa, poderíamos usar recursos avançados de nossa tecnologia, se disponíveis, ou simplesmente alterar nossa janela para ampliar nosso gráfico.

A partir dessa visão ampliada, podemos refinar nossa estimativa para o volume máximo para cerca de 339, quando os quadrados têm 2,7 cm.

Exercício ( PageIndex {3} )

Use a tecnologia para encontrar os valores máximo e mínimo no intervalo ([- 1, 4] ) da função (f (x) = - 0,2 (x - 2) ^ 3 (x + 1) ^ 2 (x - 4) ).

Responder

O mínimo ocorre aproximadamente no ponto ((0, -6,5) ), e o máximo ocorre aproximadamente no ponto ((3,5, 7) ).

Tópicos importantes desta seção

Vocabulário: polinômios, coeficientes, coeficiente líder, termo

Grau de um polinômio

Comportamento de longo prazo

Comportamento de curta duração

Interceptações (horizontais e verticais)

Métodos para encontrar interceptações horizontais

Métodos de fatoração

Formas Fatoradas

Tecnologia

Comportamento gráfico nas interceptações

Zeros simples, duplos e triplos (ou comportamentos de multiplicidade 1, 2 e 3)

Resolvendo desigualdades polinomiais usando valores de teste e técnicas de gráficos

Extrema de estimativa


Função polinomial: definição, exemplos, graus

Uma função polinomial é composta de termos chamados monômios Se a expressão tem exatamente dois monômios, ela é chamada de binômio. Os termos podem ser:

  • Constantes, como 3 ou 523 ..
  • Variáveis, como a, x ou z,
  • Uma combinação de números e variáveis ​​como 88x ou 7xyz.


Você não pode ter:

  • Expoentes fracionários, como x e frac12
  • Expoentes negativos, como x -2
  • Variáveis ​​dentro do sinal do radical (raiz quadrada). Por exemplo, & radic2.
  • Divisão por uma variável.
  • Um número infinito de termos.

Número de pontos de viragem

Um polinômio de grau n, terá no máximo n - 1 pontos de inflexão. Por exemplo, suponha que uma função polinomial tenha um grau de 7. O número máximo de pontos de inflexão que ela terá é 6. Uma equação quadrática sempre tem exatamente um, o vértice. Uma equação linear não tem nenhum, está sempre aumentando ou diminuindo na mesma taxa (inclinação constante).

Vejamos alguns exemplos de um polinômio de grau 5. Vejamos os pontos de inflexão, tanto reais quanto máximos, mas também x - interceptações e direção.

Lembre-se de que um ponto de inflexão é definido como o ponto em que um gráfico muda de (A) aumentando para decrescente ou (B) diminuindo para crescente. Portanto, no primeiro exemplo da tabela acima, o gráfico está diminuindo de infinito negativo para zero (o x - valores) e, em seguida, novamente de zero a infinito positivo. Nunca muda de negativo para positivo. Ele muda de negativo para zero e zero para negativo, mas zero não é um número positivo.

Na próxima seção, exploraremos algo chamado comportamento final, que o ajudará a entender o motivo por trás da última coisa que aprenderemos aqui sobre pontos de inflexão. Uma função polinomial de grau 5 nunca terá 3 ou 1 pontos de inflexão. Será 4, 2 ou 0. Um polinômio de grau 6 nunca terá 4, 2 ou 0 pontos de inflexão. Será 5, 3 ou 1.

Vamos resumir os conceitos aqui, por uma questão de clareza.


Como resolver

Então agora sabemos o grau, como resolver?

  • Leia como resolver polinômios lineares (Grau 1) usando álgebra simples.
  • Leia como resolver polinômios quadráticos (Grau 2) com um pouco de trabalho,
  • Pode ser difícil resolver equações cúbicas (grau 3) e quárticas (grau 4),
  • E além disso pode ser impossível para resolver polinômios diretamente.

Então, o que fazemos com aqueles que não podemos resolver? Tente resolvê-los um pedaço de cada vez!

Se encontrarmos uma raiz, podemos então reduzir o polinômio em um grau (exemplo mais tarde) e isso pode ser o suficiente para resolver todo o polinômio.

Aqui estão algumas maneiras principais de encontrar raízes.

1. Álgebra Básica

Podemos ser capazes de resolver usando álgebra básica:

Exemplo: 2x + 1

2x + 1 é um polinômio linear:

O gráfico de y = 2x + 1 é uma linha reta

É linear, então há uma raiz.

Uma & quotroot & quot é quando y é zero: 2x + 1 = 0

Subtraia 1 de ambos os lados: 2x = & menos1

Divida os dois lados por 2: x = & menos 1/2

(Você também pode ver isso no gráfico)

Também podemos resolver polinômios quadráticos usando álgebra básica (leia essa página para obter uma explicação).

2. Por experiência ou simplesmente por suposições.

É sempre uma boa ideia ver se podemos fazer fatoração simples:

Exemplo: x 3 + 2x 2 e menosx

Isso é cúbico. mas espere . podemos fatorar & quotx & quot:

Agora temos uma raiz (x = 0) e o que resta é quadrático, que podemos resolver exatamente.

Exemplo: x 3 e menos 8

Novamente, isso é cúbico. mas também é a & quotdiferença de dois cubos & quot:

E então podemos transformá-lo nisso:

Existe uma raiz em x = 2, porque:

E podemos então resolver o quadrático x 2 + 2x + 4 e pronto

3. Graficamente.

Represente graficamente o polinômio e veja onde ele cruza o eixo x.

Podemos inserir o polinômio no gráfico de funções e, em seguida, ampliar para descobrir onde ele cruza o eixo x.

Fazer gráficos é uma boa maneira de encontrar respostas aproximadas e também podemos ter sorte e descobrir uma resposta exata.

Cuidado: antes de começar a fazer um gráfico, você realmente deve saber como os polinômios se comportam, para encontrar todas as respostas possíveis!


O VOCABULÁRIO DEFUNÇÕES POLINOMIAIS

AS F UNÇÕES PODEM SER CATEGORIZADAS e o tipo mais simples é um polinômio. Vamos definir isso a seguir. Começamos com o vocabulário.

1. Quando os números são adicionados ou subtraídos, eles são chamados de termos. Este --

- é uma soma de três termos. (Em álgebra, falamos de uma "soma", mesmo que um termo possa ser subtraído.)

Quando os números são multiplicados, eles são chamados de fatores. Este --

- é um produto de três fatores.

2. Uma variável é um símbolo que assume valores diferentes. Um valor é um número.

Portanto, se x for uma variável e dermos a ela o valor 4, então 5 x + 1 terá o valor 21.

3. Uma constante é um símbolo que possui um único valor. Os símbolos 2, 5,, são constantes. Quando escrevemos

então a, b, c são constantes arbitrárias às quais podemos atribuir um valor definido, por exemplo,

Normalmente usamos as letras iniciais do alfabeto para denotar tais constantes. Usamos as letras x, y, z para denotar variáveis.

4. Um monômio em x é um único termo da forma ax n, onde a é um
número real en é um número inteiro.

Os seguintes são monômios em x:

Podemos dizer que o número 2 é um monômio em x porque 2 = 2 x 0 = 2 & middot 1. (Lição 21 de Álgebra.)

5. Um polinômio em x é uma soma de monômios em x.

Exemplo 1. 5 x 3 e menos 4 x 2 + 7 x e menos 8.

A variável, neste caso x, também é chamada de argumento do polinômio. Aqui está um polinômio com argumento t:

Quando escrevemos um polinômio, o estilo deve começar com o expoente mais alto e ir para o mais baixo. 4, 3, 2, 1.

(Para a forma geral de um polinômio, consulte o Problema 6 abaixo.)

6. O grau de um termo é a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​desse termo.

Em funções de uma única variável, como x, o grau de um termo é simplesmente o expoente.

Exemplo 2. O termo 5 x 3 é de grau 3 na variável x.

Exemplo 3. Este termo 2 x y 2 z 3 é de grau 1 + 2 + 3 = 6 nas variáveis ​​x, y e z.

Exemplo 4. Aqui estão todos os termos possíveis do 4º grau nas variáveis ​​x e y:

x 4, x 3 y, x 2 y 2, x y 3, y 4.

Em cada termo, a soma dos expoentes é 4. À medida que o expoente de x diminui, o expoente de y aumenta.

Problema 1. Escreva todos os termos possíveis do 5º grau nas variáveis ​​x e y.

Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").

x 5, x 4 y, x 3 y 2, x 2 y 3, x y 4, y 5.

7. O termo principal de um polinômio é o termo de grau mais alto.

Exemplo 5. O termo principal deste polinômio 5 x 3 e menos 4 x 2 + 7 x e menos 8 é 5 x 3.

8. O coeficiente líder de um polinômio é o coeficiente do termo líder.

Exemplo 6. O coeficiente líder desse polinômio é 5.

9. O grau de um polinômio é o grau do termo líder.

Exemplo 7. O grau deste polinômio 5 x 3 e menos 4 x 2 + 7 x e menos 8 é 3.

Aqui está um polinômio de primeiro grau: x e menos 2.

1 é o expoente mais alto.

10. O termo constante de um polinômio é o termo de grau 0, é o termo em que a variável não aparece.

Exemplo 8. O termo constante deste polinômio 5 x 3 & menos 4 x 2 + 7 x & menos 8 é & menos8.

O termo constante deste polinômio -

Problema 2. Qual dos seguintes é um polinômio? Se uma expressão for um polinômio, nomeie seu grau e diga a variável em que o polinômio está.

a) x 3 e menos 2 x 2 e menos 3 x e menos 4 Polinômio do 3º grau em x.

b) 3 y 2 + 2 y + 1 Polinômio de 2º grau em y.

c) x 3 + 2 + 1 Este não é um polinômio, porque não é um
poder de número inteiro. É x & frac12.

d) z + 2 Polinômio de primeiro grau em z.

Não é um polinômio, porque = x & menos1, que não é uma potência de número inteiro.

Problema 3. Cite o grau, o coeficiente líder e o termo constante.

a) f (x) = 6 x 3 + 7 x 2 e menos 3 x + 1

3º grau. Coeficiente inicial, 6. Termo constante, 1.

1º grau. Coeficiente inicial, & menos1. Termo constante, 2.

5º grau. Coeficiente inicial, 4. Termo constante, 0.

2º grau. Coeficiente inicial, 1. Termo constante, & menos5.

Exemplo 9. Nomeie o grau, o coeficiente líder e o termo constante:

Se multiplicássemos, o grau do produto seria a soma dos graus de cada fator: 1 + 1 + 3 = 5. Para,

(5 x + 1) (3 x e menos 1) (2 x + 5) 3 = (5 x + 1) (3 x e menos 1) (2 x + 5) (2 x + 5) (2 x + 5) .

O coeficiente líder seria o produto de todos os coeficientes principais: 5 & middot 3 & middot 2 3 = 15 & middot 8 = 120.

E o termo constante seria o produto de todos os termos constantes: 1 & middot (& menos1) & middot 5 3 = & menos1 & middot 125 = & menos125.

Problema 4. Cite o grau, o coeficiente líder e o termo constante.

Grau: 3. Coeficiente principal: 1. Termo constante: 6.

b) g (x) = (x + 2) 2 (x e menos 3) 3 (2 x + 1) 4

Grau: 9. Coeficiente inicial: 1 2 & middot 1 3 & middot 2 4 = 16.
Termo constante: 2 2 & middot (-3) 3 & middot 1 4 = 4 & middot (& minus27) = & minus108

Grau: 5. Coeficiente inicial: 2 5 = 32. Termo constante: 1 5 = 1.

d) h (x) = x (x & menos 2) 5 (x + 3) 2

Grau: 8. Coeficiente principal: 1. Termo constante: 0.

11. A forma geral de um polinômio mostra os termos de todos os graus possíveis. Aqui, por exemplo, está a forma geral de um polinômio de terceiro grau:

Observe que existem quatro constantes: a, b, c, d.

Na forma geral, o número de constantes, por causa do termo do grau 0, é sempre um a mais que o grau do polinômio.

Agora, para indicar um polinômio de 50º grau, não podemos indicar as constantes recorrendo a letras diferentes. Em vez disso, usamos notação de subscript. Usamos uma letra, como a, e indicamos constantes diferentes por meio de subscripts. Assim, a 1 ("a sub-1") será uma constante. a 2 ("a sub-2") será outro. E assim por diante. Aqui, então, está a forma geral de um polinômio do 50º grau:

a 50 x 50 + a 49 x 49 +. . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

A constante a k - para cada sub-script k (k = 0, 1, 2,..., 50) - é o coeficiente de x k.

Observe que existem 51 constantes. O termo constante a 0 é o 51º.

a) Usando a notação subscrita, escreva a forma geral de um polinômio de
a) o quinto grau em x.

a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

b) Nessa forma geral, quantas constantes existem? 6

c) Nomeie as seis constantes deste polinômio de quinto grau: x 5 + 6 x 2 e menos x.

a 5 = 1. a 4 = 0. a 3 = 0. a 2 = 6. a 1 = & menos1. a 0 = 0.

a) Indique a forma geral de um polinômio em x de grau n.

a n x n + a n & menos1 x n & menos1 +. . . + a 1 x + a 0

n é um número inteiro, os a's são números reais e a n 0.

b) Um polinômio de grau n tem quantas constantes? n + 1

12. Uma função polinomial tem a forma

Uma função polinomial de primeiro grau, como y = 2 x + 1, é chamada de função linear, enquanto uma função polinomial de segundo grau, como y = x 2 + 3 x & menos 2, é chamada de quadrática.

O domínio natural de qualquer função polinomial é

x pode assumir qualquer valor real. Considere os gráficos de y = x 2 ey = x 3.

Problema 7. Seja f (x) a função com o domínio restrito dado. Descreva seu alcance.

O problema significa: quando x assume valores restritos a esse intervalo, qual é o menor valor que y terá? Qual é o mais alto?

0 & le y & le 9. y vai de um mínimo de 0 (em x = 0) a um máximo de 9 (em ambos & menos3 e 3).

& menos27 & le y & le 27. y vai de uma mínima de & menos27 (em x = & menos3) a uma máxima de 27 (em x = 3).

0 & le y & le 16. y vai de um mínimo de 0, em x = 0, para um máximo de 16, em x = & menos2.

x 4 é muito parecido com x 2. O expoente é par.

& minus32 & le y & le 1. y vai de uma mínima de & menos32, em x = & minus2, a uma máxima de 1, em x = 1.

x 5 é muito parecido com x 3. O expoente é estranho.

Nos tópicos a seguir, vamos nos concentrar nos gráficos dessas funções polinomiais.

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Soluções para o Capítulo 4.2: ANÁLISE DE FUNÇÕES II: POLINOMIAIS DE GRÁFICO EXTREMA RELATIVO

Solutions for Chapter 4.2: ANALYSIS OF FUNCTIONS II: RELATIVE EXTREMA GRAPHING POLYNOMIALS

  • 4.2.1: A function f has a relative maximum at x0 if there is an openinterv.
  • 4.2.2: Suppose that f is defined everywhere and x = 2, 3, 5, 7 arecritical.
  • 4.2.3: Suppose that f is defined everywhere and x = 2 andx = 1 are critica.
  • 4.2.4: Let f(x) = (x2 4)2. Then f(x) = 4x(x2 4) andf (x) = 4(3x2 4). Ident.
  • 4.2.5: (a) Show that both of the functions f(x) = (x 1)4 andg(x) = x3 3x2 .
  • 4.2.6: (a) Show that f(x) = 1 x5 and g(x) = 3x4 8x3 bothhave stationary po.
  • 4.2.7: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.8: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.9: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.10: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.11: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.12: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.13: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.14: 714 Locate the critical points and identify which critical points a.
  • 4.2.15: 1518 TrueFalse Assume that f is continuous everywhere. Determine wh.
  • 4.2.16: 1518 TrueFalse Assume that f is continuous everywhere. Determine wh.
  • 4.2.17: 1518 TrueFalse Assume that f is continuous everywhere. Determine wh.
  • 4.2.18: 1518 TrueFalse Assume that f is continuous everywhere. Determine wh.
  • 4.2.19: 1920 The graph of a function f(x) is given. Sketch graphs of y = f .
  • 4.2.20: 1920 The graph of a function f(x) is given. Sketch graphs of y = f .
  • 4.2.21: 2124 Use the graph of f shown in the figure to estimate all values .
  • 4.2.22: 2124 Use the graph of f shown in the figure to estimate all values .
  • 4.2.23: 2124 Use the graph of f shown in the figure to estimate all values .
  • 4.2.24: 2124 Use the graph of f shown in the figure to estimate all values .
  • 4.2.25: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.26: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.27: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.28: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.29: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.30: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.31: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.32: 2532 Use the given derivative to find all critical points of f ,and.
  • 4.2.33: 3336 Find the relative extrema using both first and second derivati.
  • 4.2.34: 3336 Find the relative extrema using both first and second derivati.
  • 4.2.35: 3336 Find the relative extrema using both first and second derivati.
  • 4.2.36: 3336 Find the relative extrema using both first and second derivati.
  • 4.2.37: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.38: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.39: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.40: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.41: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.42: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.43: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.44: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.45: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.46: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.47: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.48: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.49: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.50: 3750 Use any method to find the relative extrema of the function f .
  • 4.2.51: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.52: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.53: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.54: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.55: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.56: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.57: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.58: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.59: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.60: 5160 Give a graph of the polynomial and label the coordinatesof the.
  • 4.2.61: In each part: (i) Make a conjecture about the behavior of thegraph .
  • 4.2.62: Sketch the graph of y = (x a)m(x b)n for the statedvalues of m and .
  • 4.2.63: 6366 Find the relative extrema in the interval 0 <x< 2,and confirm .
  • 4.2.64: 6366 Find the relative extrema in the interval 0 <x< 2,and confirm .
  • 4.2.65: 6366 Find the relative extrema in the interval 0 <x< 2,and confirm .
  • 4.2.66: 6366 Find the relative extrema in the interval 0 <x< 2,and confirm .
  • 4.2.67: 6770 Use a graphing utility to make a conjecture about the relative.
  • 4.2.68: 6770 Use a graphing utility to make a conjecture about the relative.
  • 4.2.69: 6770 Use a graphing utility to make a conjecture about the relative.
  • 4.2.70: 6770 Use a graphing utility to make a conjecture about the relative.
  • 4.2.71: 7172 Use a graphing utility to generate the graphs of f andf over t.
  • 4.2.72: 7172 Use a graphing utility to generate the graphs of f andf over t.
  • 4.2.73: 7376 Use a CAS to graph f and f , and then use those graphsto estim.
  • 4.2.74: 7376 Use a CAS to graph f and f , and then use those graphsto estim.
  • 4.2.75: 7376 Use a CAS to graph f and f , and then use those graphsto estim.
  • 4.2.76: 7376 Use a CAS to graph f and f , and then use those graphsto estim.
  • 4.2.77: In each part, find k so that f has a relative extremum at thepoint .
  • 4.2.78: (a) Use a CAS to graph the functionf(x) = x4 + 1x2 + 1and use the g.
  • 4.2.79: Functions similar tof(x) = 12ex2/2arise in a wide variety of statis.
  • 4.2.80: Functions of the formf(x) = xnexn! , x> 0where n is a positive inte.
  • 4.2.81: Let h and g have relative maxima at x0. Prove or disprove:(a) h + g.
  • 4.2.82: Sketch some curves that show that the three parts of thefirst deriv.
  • 4.2.83: Writing Discuss the relative advantages or disadvantagesof using th.
  • 4.2.84: Writing If p(x) is a polynomial, discuss the usefulnessof knowing z.
Textbook: Calculus: Early Transcendentals,
Edition: 10
Author: Howard Anton Irl C. Bivens, Stephen Davis
ISBN: 9780470647691

This expansive textbook survival guide covers the following chapters and their solutions. This textbook survival guide was created for the textbook: Calculus: Early Transcendentals, , edition: 10. Since 84 problems in chapter 4.2: ANALYSIS OF FUNCTIONS II: RELATIVE EXTREMA GRAPHING POLYNOMIALS have been answered, more than 78065 students have viewed full step-by-step solutions from this chapter. Calculus: Early Transcendentals, was written by and is associated to the ISBN: 9780470647691. Chapter 4.2: ANALYSIS OF FUNCTIONS II: RELATIVE EXTREMA GRAPHING POLYNOMIALS includes 84 full step-by-step solutions.

A flaw in the design of a sampling process that systematically causes the sample to differ from the population with respect to the statistic being measured. Undercoverage bias results when the sample systematically excludes one or more segments of the population. Voluntary response bias results when a sample consists only of those who volunteer their responses. Response bias results when the sampling design intentionally or unintentionally influences the responses

See Compounded k times per year.

Reciprocal of the period of a sinusoid.

The set of all points in the coordinate plane corresponding to the pairs x, y that are solutions of the equation.

A test for determining whether the inverse of a relation is a function.

The composition of a one-toone function with its inverse results in the identity function.

See Polynomial function in x.

The line for which the sum of the squares of the residuals is the smallest possible

The first quartile is the median of the lower half of a set of data, the second quartile is the median, and the third quartile is the median of the upper half of the data.


Roots and zeros

When we solve polynomial equations with degrees greater than zero, it may have one or more real roots or one or more imaginary roots. In mathematics, the fundamental theorem of algebra states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

Further on every non-zero single-variable polynomial with complex coefficients has exactly as many complex roots as its degree, if each root is counted up to its multiplicity.

If a+bi is a zero (root) then a-bi is also a zero of the function.

Show that if (2+i) is a zero to f(x)=-x 2 +4x-5 then 2-i is also a zero of the function(this example is also shown in our video lesson).

First we check if (2+i) is a zero to f(x) by plugging the zero into our function:

(2+i) is a zero now (2-i) also must be a zero we control this by plugging (2-i) into our function:


Deciding on a degree¶

In performing a polynomial regression we must decide on the degree of the polynomial to use. One way to do this is by using hypothesis tests. We now fit models ranging from linear to a degree-5 polynomial and seek to determine the simplest model which is sufficient to explain the relationship between wage and age .

We can do this using the anova() function, which performs an analysis of variance (ANOVA, using an F-test) in order to test the null hypothesis that a model $M_1$ is sufficient to explain the data against the alternative hypothesis that a more complex model $M_2$ is required. In order to use the anova() function, $M_1$ and $M_2$ must be nested models: the predictors in $M_1$ must be a subset of the predictors in $M_2$. In this case, we fit five different models and sequentially compare the simpler model to the more complex model:

The $p$-value comparing the linear Model 1 to the quadratic Model 2 is essentially zero $( anova() function, we could also have obtained these $p$-values more succinctly by exploiting the fact that poly() creates orthogonal polynomials.

Notice that the p-values are the same, and in fact the square of the t-statistics are equal to the F-statistics from the anova() function for example:

However, the ANOVA method works whether or not we used orthogonal polynomials it also works when we have other terms in the model as well. For example, we can use anova() to compare these three models:

As an alternative to using hypothesis tests and ANOVA, we could choose the polynomial degree using cross-validation as we have in previous labs.

Next we consider the task of predicting whether an individual earns more than $250,000 per year. We proceed much as before, except that first we create the appropriate response vector, and then apply the glm() function using family = "binomial" in order to fit a polynomial logistic regression model:

Note that we again use the wrapper I() to create this binary response variable on the fly. The expression wage>250 evaluates to a logical variable containing TRUEs and FALSEs , which glm() coerces to binary by setting the TRUEs to 1 and the FALSEs to 0.

Once again, we make predictions using the predict() function:

However, calculating the confidence intervals is slightly more involved than in the linear regression case. The default prediction type for a glm() model is type="link", which is what we use here. This means we get predictions for the logit: that is, we have fit a model of the form

and the predictions given are of the form $Xhat eta$. The standard errors given are also of this form. In order to obtain confidence intervals for $Pr(Y = 1|X)$, we use the transformation:

We could have directly computed the probabilities by selecting the type = "response" option in the predict() function. However, the corresponding confidence intervals would not have been sensible because we would end up with negative probabilities!

Now we're ready to draw the second plot we saw in class:

We have drawn the age values corresponding to the observations with wage values above 250 as gray marks on the top of the plot, and those with wage values below 250 are shown as gray marks on the bottom of the plot. We used the jitter() function to jitter the age values a bit so that observations with the same age value do not cover each other up. Isso geralmente é chamado de rug plot.


MathHelp.com

List the zeroes, with their multiplicities, of the polynomial function y = 3(x + 5) 3 (x + 2) 4 (x &ndash 1) 2 (x &ndash 5)

The zeroes of the function (and, yes, "zeroes" is the correct way to spell the plural of "zero") are the solutions of the linear factors they've given me. Solving each factor gives me:

The multiplicity of each zero is the number of times that its corresponding factor appears. In other words, the multiplicities are the powers. (For the factor x &ndash 5 , the understood power is 1 .) Then my answer is:

x = &ndash5 with multiplicity 3
x = &ndash2 with multiplicity 4
x = 1 with multiplicity 2
x = 5 with multiplicity 1

The point of multiplicities with respect to graphing is that any factors that occur an even number of times (that is, any zeroes that occur twice, four times, six times, etc) are squares, so they don't change sign. Squares are always positive. Isso significa que o x -intercept corresponding to an even-multiplicity zero can't cross the x -axis, because the zero can't cause the graph to change sign from positive (above the x -axis) to negative (below the x -axis), or vice versa.

The practical upshot is that an even-multiplicity zero makes the graph just barely touch the x -axis, and then turns it back around the way it came. You can see this in the following graphs:

All four graphs have the same zeroes, at x = &ndash6 and at x = 7 , but the multiplicity of the zero determines whether the graph crosses the x -axis at that zero or if it instead turns back the way it came. If the zero was of multiplicity 1 , the graph crossed the x -axis at the zero if the zero was of multiplicity 2 , the graph just "kissed" the x -axis before heading back the way it came.

Any zero whose corresponding factor occurs in pairs (so two times, or four times, or six times, etc) will "bounce off" the x -axis and return the way it came. Any zero whose corresponding factor occurs an odd number of times (so once, or three times, or five times, etc) will cross the x -eixo. Polynomial zeroes with even and odd multiplicities will sempre behave in this way.

The following graph shows an eighth-degree polynomial. List the polynomial's zeroes with their multiplicities.

I can see from the graph that there are zeroes at x = &ndash15, x = &ndash10, x = &ndash5, x = 0, x = 10 , and x = 15 , because the graph touches or crosses the x -axis at these points. (At least, I'm assuming that the graph crosses at exactly these points, since the exercise doesn't tell me the exact values. When I'm guessing from a picture, I do have to make certain assumptions.)

Since the graph just touches at x = &ndash10 and x = 10 , then it must be that these zeroes occur an even number of times. The other zeroes must occur an odd number of times. The odd-multiplicity zeroes might occur only once, or might occur three, five, or more times each there is no way to tell from the graph. (At least, there's no way to tell yet &mdash we'll learn more about that on the next page.) And the even-multiplicity zeroes might occur four, six, or more times each I can't tell by looking.

But if I add up the minimum multiplicity of each, I should end up with the degree, because otherwise this problem is asking for more information than is available for me to give. I've got the four odd-multiplicity zeroes (at x = &ndash15, x = &ndash5, x = 0, and x = 15 ) and the two even-multiplicity zeroes (at x = &ndash10 and x = 10 ). Adding up their minimum multiplicities, I get:

. which is the degree of the polynomial. So the minimum multiplicities are the correct multiplicities, and my answer is:

x = &ndash15 with multiplicity 1 ,
x = &ndash10 with multiplicity 2 ,
x = &ndash5 with multiplicity 1 ,
x = 0 with multiplicity 1 ,
x = 10 with multiplicity 2 , and
x = 15 with multiplicity 1

I was able to compute the multiplicities of the zeroes in part from the fact that the multiplicities will add up to the degree of the polynomial, or two less, or four less, etc, depending on how many complex zeroes there might be. But multiplicity problems don't usually get into complex-valued roots. So, if you're asked to guess multiplicities from a graph, as above, you're probably safe in assuming that all of the roots are real numbers.


Linear mixed-effects models

3.4.2 Methods to reduce collinearity in polynomial time terms

Although the quadratic polynomial function is very flexible, some high-order polynomial functions are occasionally used to describe irregularly shaped patterns of change over time. Given high correlation among the linear, quadratic, and high-order polynomial terms, the researcher must consider how to reduce collinearity in using various polynomial time functions. A simple example in this regard is provided in Hedeker and Gibbons (2006) . Suppose that the quadratic polynomial function is used to describe the pattern of change in Y over three time points, where T is scaled as 0, 1, and 2, respectively. Correspondingly, the second-order polynomial is scaled as 0, 1, and 4. Obviously, those two time components are almost perfectly correlated. In this case, the direct specification of the quadratic function can significantly affect the estimation of the model parameters. Centrando T at a selected value provides an appropriate solution for reducing high collinearity between the two time polynomials. Se T is rescaled to be centered at time 1, then T takes values −1, 0, and 1 at the three time points, respectively, instead of 0, 1, and 2 correspondingly, T × T will take values 1, 0, and 1. Given the application of centering on T, the two time polynomial terms are no longer highly correlated.

A more technical solution to address collinearity among polynomial terms is to use orthogonal polynomial techniques, briefly discussed in Chapter 2 . Let the repeated measurements of Y be associated with the time factor T in the form of a polynomial, given by

Onde K is the highest order of polynomials in a linear form. Equation (3.34) is a curvilinear expression of Y como a função de T and is fitted to observed pairs of associated values Y. Suponha que n time points are selected from the continuous T with equal spacing, and the time at time point j é denotado por Tj, Onde j = 1, …, n. It is then convenient to standardize the T-scale, given by

The outcome Y(Tj) can be fitted in terms of a weighted sum of orthogonal polynomial, written as

k T j is the kth order of polynomial, where k = 0, 1, …, K.

Let any pair of these polynomials, ϕ

k ′ T j where k ≠ k ′ , satisfy the orthogonal condition

which can be expanded to determine all ϕ

k T j . There is a variety of approaches to express orthogonal polynomials, such as the Hermite, the Chebyshev, and the Legendre polynomials. All of those methods are generated from the same rationale about orthogonality of polynomials. Appendix A provides a brief description of how orthogonal polynomials are expressed and derived. The values of functions ϕ

k x T can be easily found in the orthogonal polynomials table in Pearson and Hartley ( 1976 , Table 47) or by applying a simple program in SAS ( Hedeker and Gibbons, 2006 ).

In longitudinal data analysis, the orthogonal polynomials are used as standardized scores of the polynomials ( Hedeker and Gibbons, 2006 ). Consequently, in the orthogonal polynomial matrix, the row vectors are independent of each other as the sum of the inner products equals zero in all cases. The terms ϕ

k T j are created by dividing the original values by the square root of the sum of the squared values in a given row, including the constant (first row), and therefore, all these orthogonal polynomials have the same scale. By such standardization, the relative importance of each polynomial component can be compared in fitting a time trend.

In longitudinal data analysis, researchers are often more interested in the pattern of change over time in the response than in which time component is more important. Therefore, it may be more desirable to interpret the analytic results of linear mixed models based on the original time scale. As minor collinearity between two covariates does not tend to affect the quality of parameter estimates to a notable extent, the use of centering techniques, not the application of orthogonal polynomials, is strongly recommended.


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