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7.2: Introdução à Eliminação de Gauss Jordan


As seguintes operações elementares de linha

  1. Troque duas linhas de uma matriz

  2. Multiplique os elementos de uma linha por uma constante diferente de zero

  3. Adicione um múltiplo dos elementos de uma linha aos elementos correspondentes de outra

Considere o elemento (a_ {2,1} ) na seguinte Matriz (A ).

[A = left [
begin {matriz}
1 & 1 \
20 & 25
end {matriz}
, middle vert ,
begin {matriz}
30 \
690
end {matriz}
right] nonumber ]

Pergunta

Descreva uma operação de linha elementar que poderia ser usada para tornar o elemento (a _ {(2,1)} ) zero?

Pergunta

Qual é a nova matriz dada a operação de linha acima.

Modifique o conteúdo desta célula e coloque sua resposta à pergunta acima aqui.

[A = left [
begin {matriz}
1 & 1 \
0 & ??
end {matriz}
, middle vert ,
begin {matriz}
30 \
??
end {matriz}
right] nonumber ]

A função a seguir é uma implementação básica do algoritmo de Gauss-Jorden para uma matriz aumentada (m, m + 1):


Eliminação de M.7 Gauss-Jordan

Eliminação Gauss-Jordan é um algoritmo que pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares e encontrar o inverso de qualquer matriz invertível. Baseia-se em três operações elementares de linha pode-se usar em uma matriz:

  1. Troque as posições de duas das linhas
  2. Multiplique uma das linhas por um escalar diferente de zero.
  3. Adicione ou subtraia o múltiplo escalar de uma linha para outra linha.

Para obter um exemplo da operação da primeira linha elementar, troque as posições da 1ª e 3ª linhas.

Para obter um exemplo da operação da segunda linha elementar, multiplique a segunda linha por 3.

Para obter um exemplo da operação da terceira linha elementar, adicione duas vezes a 1ª linha à 2ª linha.

Forma escalonada de linha reduzida

O objetivo da Eliminação de Gauss-Jordan é usar as três operações elementares de linha para converter uma matriz na forma escalonada de linha reduzida. Uma matriz está em forma escalonada de linha reduzida, também conhecido como forma canônica de linha, se as seguintes condições forem satisfeitas:

  1. Todas as linhas com apenas zero entradas estão na parte inferior da matriz
  2. A primeira entrada diferente de zero em uma linha, chamada de entrada principal ou o pivô, de cada linha diferente de zero está à direita da entrada inicial da linha acima dela.
  3. A entrada principal, também conhecida como pivô, em qualquer linha diferente de zero é 1.
  4. Todas as outras entradas na coluna contendo 1 à esquerda são zeros.

[A = begin 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 3 0 & amp 0 & amp 0 end, B = begin 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end, C = begin 0 & amp 7 & amp 3 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 end, D = begin 1 & amp 7 & amp 3 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end ]

Matrizes UMA e B estão na forma escalonada de linha reduzida, mas as matrizes C e D não são. C não está na forma escalonada de linha reduzida porque viola as condições dois e três. D não está na forma escalonada de linha reduzida porque viola a condição quatro. Além disso, as operações elementares de linha podem ser usadas para reduzir a matriz D na matriz B.


Eliminação gaussiana

O método de eliminação gaussiana é um dos algoritmos mais importantes e ubíquos que podem ajudar a deduzir informações importantes sobre as raízes / natureza da matriz dada, bem como determinar a solubilidade do sistema linear quando ele é aplicado à matriz aumentada. Como tal, é um dos algoritmos numéricos mais úteis e desempenha um papel fundamental na computação científica. Este método tem sido historicamente usado por matemáticos chineses desde 179 DC. Muitas pessoas contribuíram para a eliminação gaussiana, incluindo Isaac Newton. No entanto, foi nomeado pelo matemático americano George Forsythe (1917--1972) em homenagem ao matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss (1777--1855). A história completa do algoritmo Gaussiano pode ser encontrada no artigo de Joseph F. Grcar. Para nossa exposição, precisamos de uma forma abreviada de escrever sistemas de equações.

Para entender a ideia do algoritmo de eliminação gaussiana, consideramos uma série de exemplos, começando com um caso bidimensional.

Exemplo: Resolvendo o sistema de equações 2 × 2



Duas linhas se encontram na solução. O mesmo acontece com a nova linha 10y = 10.

Em vez de eliminar a variável x, podemos ir atrás y. Se multiplicarmos a primeira equação por 2 e adicionarmos à segunda equação, obtemos

Duas linhas depois de eliminar a variável y. Qual variável você deve eliminar, x ou y? Para um computador, não importa, mas para os humanos, porque é mais atraente. Portanto, principalmente para fins educacionais, seguiremos a tradição e eliminaremos as variáveis ​​da esquerda para a direita a fim de reduzir as matrizes à forma triangular superior. No entanto, lembre-se de que quando você escreve códigos para cálculos práticos, não importa qual variável você elimina e em que ordem --- o computador não se importa!

Quando usamos a forma de matriz correspondente ao sistema de equações dado, marcamos com a cor vermelha as posições especiais na matriz aumentada correspondente porque são importantes para a compreensão. Essas posições são geralmente chamadas de pivôs. ■

Duas linhas se cruzam em um ponto (3,1). O novo sistema já é triangular, então uma das linhas é paralela a um eixo. & # 9632

Para entender a eliminação gaussiana, você precisa ir além dos sistemas de equações 2 × 2. Portanto, apresentamos exemplos de sistemas de equações 3 × 3 que serão suficientes para ver o padrão. Outro exemplo com matrizes retangulares a seguir.

Exemplo: sistema de equações 3 × 3

Aviões na forma escalonada. Agora podemos resolver facilmente para x, y, e z por substituição reversa para obter x = 1, y = -2, e z = -1. Para um sistema de equações com uma matriz de coeficientes 3x3, o objetivo do processo de Eliminação Gaussiana é criar (pelo menos) um triângulo de zeros no canto esquerdo inferior da matriz abaixo da diagonal. Observe que você pode mudar a ordem das linhas a qualquer momento ao tentar acessar este formulário.

a1 = ContourPlot3D [x - 3 y + z == 6, , , , AxesLabel -> , Mesh -> Nenhum, ContourStyle -> Diretiva [Vermelho]]

f2 [x_, y_]: = (-2 * x + y-1) / 5
a2 = ParametricPlot3D [, , , AxesLabel -> , Malha -> Nenhum, PlotStyle -> Diretiva [Verde]]

a1 = ContourPlot3D [x - 2 y -6 z == 1, , , , AxesLabel -> , Mesh -> Nenhum, ContourStyle -> Diretiva [Laranja]]

f2 [x_, y_]: = (x -4 y-2) / 12
a2 = ParametricPlot3D [, , , AxesLabel -> , Malha -> Nenhum, PlotStyle -> Diretiva [Verde]]

Sem solução. Nós mantemos x na primeira equação e eliminá-lo das outras equações. Para fazer isso, adicione -1 vezes a equação 1 à equação 2. Depois de alguma prática, esse tipo de cálculo geralmente é executado mentalmente. No entanto, é conveniente usar o software:

a1 = ContourPlot3D [x - 2 y -6 z == 1, , , , AxesLabel -> , Mesh -> Nenhum, ContourStyle -> Diretiva [Laranja]]

f2 [x_, y_]: = (x -4 y-2) / 12
a2 = ParametricPlot3D [, , , AxesLabel -> , Malha -> Nenhum, PlotStyle -> Diretiva [Verde]]

O método de eliminação gaussiana é basicamente uma série de operações realizadas em uma dada matriz, a fim de simplificá-la matematicamente para sua forma escalonada. Quando é aplicado para resolver um sistema linear Machado=b, consiste em duas etapas: eliminação para frente (também chamado frequentemente Procedimento de eliminação gaussiana) para reduzir a matriz à forma triangular superior, e substituição de volta. Portanto, resolver um sistema linear de equações algébricas usando este procedimento de eliminação também pode ser chamado de eliminação progressiva e substituição reversa e abreviado como FEBS.

  1. Todas as linhas diferentes de zero estão acima de quaisquer linhas de todos os zeros.
  2. Cada entrada principal, chamada de pivô, de uma linha está em uma coluna à direita da entrada principal da linha acima dela.
  3. Todas as entradas em uma coluna abaixo de uma entrada inicial são zeros.
  1. Quaisquer linhas zero presentes são colocadas na parte inferior da matriz.
  2. O primeiro valor da matriz (denominado como a entrada principal ou pivô) é um termo diferente de zero (alguns textos preferem que seja ‘1’, mas não necessariamente).

Qualquer matriz diferente de zero pode ser linha reduzida (isto é, transformado por operações de linha elementares) em mais de uma matriz na forma escalonada, usando diferentes sequências de operações de linha. No entanto, as entradas principais estão sempre nas mesmas posições em qualquer forma escalonada obtida de uma determinada matriz.

Teorema: Um sistema linear tem uma solução se e somente se a coluna mais à direita da matriz aumentada associada é não uma coluna dinâmica --- isto é, se e somente se sua forma escalonada não contiver uma linha da forma
[0 0. 0 & ocir] com & ocir diferente de zero.
Se um sistema linear for consistente, então o conjunto de soluções contém uma solução única (sem variáveis ​​livres) ou infinitas soluções, quando há pelo menos uma variável livre.

  1. Adição de um múltiplo de uma equação a outra.
    Simbolicamente: (equação j) ( mapsto ) (equação j) + k (equação eu).
  2. Multiplicação de uma equação por uma constante k diferente de zero.
    Simbolicamente: (equação j) ( mapsto ) k (equação j).
  3. Intercâmbio de duas equações>
    Simbolicamente: (equação j) ( Longleftrightarrow ) (equação eu).

Escalão de linha e Escalão de linha reduzida formas são as matrizes resultantes do método de eliminação gaussiana. Ao aplicar a eliminação de Gauss a qualquer matriz, pode-se facilmente deduzir as seguintes informações sobre a matriz dada:

  • a classificação da matriz
  • o determinante da matriz
  • o inverso (matrizes quadradas invertíveis apenas)
  • o vetor kernel (também conhecido como ‘vetor nulo’).

O uso real do termo matriz aumentada foi desenvolvido pelo matemático americano Maxime Bôcher (1867--1918) em seu livro Introdução à Álgebra Superior, publicado em 1907. Bôcher foi um expositor notável de matemática cujos livros didáticos elementares foram muito apreciados pelos alunos. Suas realizações foram documentadas por William F. Osgood (1919).

Teorema: Se um sistema linear homogêneo tem n incógnitas, e se a forma escalonada de linha de sua matriz aumentada tem r linhas diferentes de zero, então o sistema tem n-r variáveis ​​livres.

Teorema: Seja (< bf B> = left [< bf A> , vert , < bf b> right] ) a matriz aumentada correspondente à equação linear Machado=be suponha B é equivalente de linha (usando uma sequência de operações de linha elementares) para a nova matriz aumentada (< bf C> = left [< bf U> , vert , < bf c> right], ) que corresponde ao sistema linear Ux=c. Então, os dois sistemas lineares têm precisamente o mesmo conjunto de soluções.

O laço do meio (o j loop) vai até o eu-ésima coluna, abaixo da diagonal (portanto j varia apenas de i + 1 para n--- a dimensão da matriz UMA) Primeiro calculamos o multiplicador m, para cada linha. Esta é a constante pela qual multiplicamos o eu-ésima linha a fim de eliminar o umaji elemento. Observe que nós sobrescrever os valores anteriores com os novos, e não realizamos cálculos que tornam umaji zero. Além disso, este loop é onde o vetor do lado direito é modificado para refletir a etapa de eliminação.

O laço mais interno (o k loop) varia em todo o j-ésima linha, começando após o eu-ésima coluna, modificando cada elemento de forma adequada para refletir a eliminação de umaji.

Finalmente, devemos estar cientes de que o algoritmo não cria realmente os zeros na metade triangular inferior de B isso seria uma perda de tempo do computador, pois não precisamos ter esses zeros no lugar para que o algoritmo funcione. O algoritmo funciona porque utilizamos apenas a parte triangular superior da matriz deste ponto em diante, portanto, os elementos triangulares inferiores nunca precisam ser referenciados.

Algoritmo de solução para trás para UMA (pseudo-código)

Este algoritmo simplesmente faz a correspondência inversa na diagonal, computando cada xeu por sua vez. Finalmente, estamos computando


Formulário de escalão de linha

A forma escalonada de linha é uma matriz diagonal onde todas as entradas abaixo de um coeficiente líder são zero. Alguns livros também afirmam que o coeficiente inicial deve ser igual a um.

A matriz a seguir está em forma de escalão de linha com os coeficientes principais em cada linha ao longo da diagonal principal e tudo abaixo deles igual a zero.

O objetivo da eliminação gaussiana é trazer o determinado conjunto de equações para o seguinte formato de matriz. Os coeficientes principais dados na diagonal principal são ilustrativos e serão diferentes em todos os exemplos

Exemplo de Eliminação Gaussiana com a Forma Escalonada de Linha

Para resolver nosso sistema linear de equações em formato de matriz, podemos aplicar o método de eliminação gaussiana de acordo com os mesmos princípios. Vamos usar um exemplo com uma matriz A 3 & # 2153 e um vetor b


resolver o sistema de equações por meio de gráficos. Em seguida, classifique o sistema como consistente ou inconsistente e as equações como dependentes ou independentes. x + y = 14 x-y = 2 Qual é a solução do sistema de equações?

1. Resolva para a letra D = 4e indicada, para e A solução é e = 2. G (x) = 6 / (6-5x) Escolha o domínio correto abaixo 3.

Considere o par de equações lineares abaixo. 4x + 6y = 12 2x + 3y = 6 Qual é a relação, se houver, entre as duas equações O sistema de equações tem uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Explique como você pode verificar suas respostas para


Álgebra Linear

8. O sistema abaixo tem a solução de (1,3) onde A, B, C, D, E e F são todos números reais diferentes de zero. Ax + By = C, Dx + Ey = F Qual dos seguintes sistemas não teria (1,3) como solução? A- Ax + By = C & (2A-D) x + (2B + E) y = C-2F B-

Pré-cálculo

Ao usar a eliminação de Gauss para resolver um sistema de equações lineares, explique como você pode reconhecer que o sistema não tem solução. Dê um exemplo que ilustre sua resposta.

Matemática: Por favor, verifique minhas respostas

1. Qual é o grau do monômio 3x2y3? 2 3 5 6 2. Qual é a forma simplificada de 8b3c2 + 4b3c2? 12bc 12b3c2 12b6c4 12b9c4 3. Qual é a forma simplificada de (4j2 + 6) + (2j2 - 3)? (1 ponto) (0) 6j2 - 3 (1) 6j2 + 3 (0)

Eliminação de Gauss Jordan

Use a eliminação de Gauss - Jordânia para resolver os valores do desconhecido. x + y-z = 20 2x + 3y -z = 15 3x -5y + 2z = 10

Lição 1: Polinômios CE 2015 Preparação para Álgebra (P

1. 6g + 8k - 9g + 2k a. -3g + 10k. 17gk. 10k - 3 2. -4x + 6,2x + 5x. 7x3. 6x2 + 9x. 6x2 - 9x. 6x2 + 9x 3. a2 + 5a - 3a2. 5a + 2a2. 5a - 2a2 .2a2 + 5a. 5a - 3q2 4. 3x2 + 8x + 7x. 3x2 + 15x. 18x3. 3x2 +1 3x2

Sistemas lineares

A afirmação que é falsa é A. Um sistema de equações quadrático-quadráticas pode ter exatamente uma solução. B. Um sistema de equações quadrático-quadráticas não tem soluções se os gráficos não se cruzam. C. É impossível para um

Resolva o sistema de equações por eliminação. Expresse a solução como um par ordenado. −5x − 2y = −12 3x + 2y = 8

Álgebra

Use a eliminação de Gauss para encontrar a solução completa para o sistema de equações ou declare que não existe nenhuma. x + 3y + 6z = 6 y-4z = 0

Math ASP

Simplifique e escreva no formato padrão. Em seguida, classifique o polinômio por grau e número de termos. (5x3 + 3x2  7x + 10)  (3x3  x2 + 4x  1) Simplifique e escreva na forma padrão. Em seguida, classifique o polinômio por grau e

Pesh uni

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 8x1 + x2 + 4x3 = 1 método de eliminação de gauss plz sol qualquer um


SOLUÇÃO: Resolva o sistema de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. 2x + 2y + z = & amp # 87227 x + z = & amp # 87223 4y & amp # 8722 3z = 13

Você pode colocar esta solução no SEU site!
2,2,1,-7
1,0,1,-3
0,4,-3,13
divida a linha 1 por 2
1,1,1/2,-7/2
1,0,1,-3
0,4,-3,13
adicione (-1) * linha 1 à linha 2
1,1,1/2,-7/2
0,-1,1/2,1/2
0,4,-3,13
some (0) * linha 1 à linha 3
1,1,1/2,-7/2
0,-1,1/2,1/2
0,4,-3,13
divida a linha 2 por -1
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,4,-3,13
adicione (-4) * linha 2 à linha 3
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,0,-1,15
divida a linha 3 por -1
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,0,1,-15
Agora temos o valor da última variável.
Iremos trabalhar nosso caminho para cima e obter as outras soluções.
some (1/2) * linha 3 à linha 2
1,1,1/2,-7/2
0,1,0,-8
0,0,1,-15
some (-1/2) * linha 3 à linha 1
1,1,0,4
0,1,0,-8
0,0,1,-15
some (-1) * linha 2 à linha 1
1,0,0,12
0,1,0,-8
0,0,1,-15


3 respostas 3

Em muitas aplicações de engenharia, quando você resolve $ Ax = b $, a matriz $ A in mathbb^$ permanece inalterado, enquanto o vetor do lado direito $ b $ continua mudando.

Um exemplo típico é quando você está resolvendo uma equação diferencial parcial para diferentes funções de forçamento. Para essas diferentes funções de forçamento, a malha geralmente é mantida a mesma. A matriz $ A $ depende apenas dos parâmetros da malha e, portanto, permanece inalterada para as diferentes funções de forçamento. No entanto, o vetor do lado direito $ b $ muda para cada uma das funções de força.

Outro exemplo é quando você está resolvendo um problema dependente do tempo, onde as incógnitas evoluem com o tempo. Nesse caso, novamente, se o passo de tempo for constante em diferentes instantes de tempo, então novamente a matriz $ A $ permanece inalterada e o único vetor do lado direito $ b $ muda a cada passo de tempo.

A ideia chave por trás de resolver usando a fatoração $ LU $ (nesse caso, qualquer fatoração) é desacoplar a fase de fatoração (geralmente computacionalmente cara) da real fase de resolução. A fase de fatoração precisa apenas da matriz $ A $, enquanto o real A fase de resolução faz uso da forma fatorada de $ A $ e do lado direito para resolver o sistema linear. Portanto, uma vez que temos a fatoração, podemos fazer uso da forma fatorada de $ A $, para resolver para diferentes lados direitos a um custo computacional relativamente moderado.

O custo de fatorar a matriz $ A $ em $ LU $ é $ mathcal(N ^ 3) $. Depois de ter essa fatoração, o custo de resolver, ou seja, o custo de resolver $ LUx = b $ é apenas $ mathcal(N ^ 2) $, uma vez que o custo de resolver um sistema triangular é dimensionado como $ mathcal(N ^ 2) $.

(Observe que para resolver $ LUx = b $, você primeiro resolve $ Ly = b $ e depois $ Ux = y $. Resolver $ Ly = b $ e $ Ux = y $ custa $ mathcal(N ^ 2). $)

Portanto, se você tiver '$ r

7.2: Introdução à Eliminação de Gauss Jordan

Nova Versão Internacional
Reflita sobre o que estou dizendo, pois o Senhor lhe dará uma visão de tudo isso.

New Living Translation
Pense no que estou dizendo. O Senhor o ajudará a entender todas essas coisas.

Versão Padrão em Inglês
Pense no que digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

Bíblia de Estudo Bereana
Considere o que estou dizendo, pois o Senhor lhe dará uma visão geral de todas as coisas.

Bíblia Literal Bereana
Considere o que estou dizendo, pois o Senhor lhe dará entendimento em todas as coisas.

Bíblia King James
Considere o que eu digo e o Senhor te dará entendimento em todas as coisas.

Nova Versão King James
Considere o que eu digo, e que o Senhor lhe dê entendimento em todas as coisas.

New American Standard Bible
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

NASB 1995
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

NASB 1977
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

Bíblia Amplificada
Pense sobre as coisas que estou dizendo [compreenda sua aplicação], pois o Senhor lhe dará uma visão e compreensão em tudo.

Bíblia Cristã Padrão
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

Bíblia Holman Christian Standard
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará compreensão em tudo.

American Standard Version
Considere o que eu digo porque o Senhor te dará entendimento em todas as coisas.

Bíblia aramaica em inglês simples
Considere o que eu digo. Que nosso Senhor lhe dê sabedoria em tudo.

Versão contemporânea em inglês
Se você se lembrar do que eu disse, o Senhor o ajudará a entender completamente.

Bíblia Douay-Rheims
Entenda o que eu digo: porque o Senhor te dará entendimento em todas as coisas.

Versão Revisada em Inglês
Considere o que eu digo porque o Senhor te dará entendimento em todas as coisas.

Tradução de boas notícias
Pense no que estou dizendo, porque o Senhor permitirá que você entenda tudo.

A PALAVRA DE DEUS & tradução regular
Entenda o que estou dizendo. O Senhor o ajudará a entender todas essas coisas.

Versão Padrão Internacional
Pense no que estou dizendo. O Senhor o ajudará a entender todas essas coisas.

Versão Literal Padrão
considere o que eu digo, porque o Senhor vos dá entendimento em todas as coisas.

Bíblia NET
Pense no que estou dizendo e o Senhor lhe dará entendimento de tudo isso.

Nova Bíblia em Inglês do Coração
Considere o que eu digo, pois o Senhor lhe dará entendimento em todas as coisas.

Weymouth New Testament
Observe bem o que estou dizendo: o Senhor lhe dará discernimento em tudo.

Bíblia Inglesa Mundial
Considere o que eu digo, e que o Senhor lhe dê entendimento em todas as coisas.

Tradução literal de Young
considera o que eu digo, porque o Senhor te dá entendimento em todas as coisas.

2 Timóteo 2: 6
O agricultor trabalhador deve ser o primeiro a participar da colheita.

2 Timóteo 2: 8
Lembre-se de Jesus Cristo, ressuscitado dos mortos, descendente de Davi, conforme proclamado pelo meu evangelho,

Considere o que eu digo e o Senhor lhe dará compreensão em todas as coisas.

Deuteronômio 4:39 Saiba, portanto, este dia, e considere isto no teu coração, para que o Senhor é Deus no céu acima e na terra abaixo: nenhum outro.

Deuteronômio 32:29 Oh, se eles fossem sábios, que eles entenderam isso, que eles considerariam seu último fim!

Salmo 64: 9 E todos os homens temerão e anunciarão a obra de Deus, pois considerarão sabiamente suas obras.

Gênesis 41: 38,39 E Faraó disse aos seus servos: Podemos encontrar tal como isso é, um homem em quem o Espírito de Deus é? …

Êxodo 36: 1,2 Então fizeram Bezaleel e Aoliabe, e todos os homens sábios de coração, nos quais o SENHOR pôs sabedoria e inteligência para saber realizar toda a obra para o serviço do santuário, segundo tudo o que o SENHOR havia ordenado & # 8230

Números 27: 16,17 Que o Senhor, o Deus dos espíritos de toda a carne, coloque um homem sobre a congregação, & # 8230

Versículo 7. - Porque o Senhor dará e o Senhor dará, A.V. Considere o que eu digo. As lições do apóstolo foram dadas em parábolas ou semelhanças. Ele, portanto, implora a Timóteo que as observe bem, para que a aplicação a si mesmo não lhe escape, sugerindo ainda que ele deve buscar a sabedoria e o entendimento necessários de Deus. Portanto, nosso Senhor, no final das parábolas registradas em Mateus 13, diz aos seus discípulos no ver. 51: "Vocês entenderam todas essas coisas?" e em outro lugar, “Aquele que tem ouvidos para ouvir, ouça”. Compreender (& # x3c3 & # x1f7b & # x3bd & # x3b5 & # x3c3 & # x3b9 & # x3bd) um dos dons especiais do Espírito (Isaías 11: 2, LXX. Ver Colossenses 1: 9 Colossenses 2: 2).

Considerar
& # 957 & # 972 & # 949 & # 953 (noei)
Verbo - Presente Imperativo Ativo - 2ª Pessoa Singular
Strong's 3539: De nous para exercitar a mente, ou seja, para compreender, preste atenção.

que
& # 8003 (ho)
Pronome pessoal / relativo - singular neutro acusativo
3739 de Strong: Quem, qual, o quê, isso.

Eu estou falando,
& # 955 & # 941 & # 947 & # 969 (perna & # 333)
Verbo - Presente Indicativo Ativo - 1ª Pessoa Singular
3004 de Strong: (a) Eu digo, falo quero dizer, menciono, digo, (b) Eu chamo, nomeio, especialmente no passe., (C) Eu digo, comando.

para
& # 947 & # 940 & # 961 (gar)
Conjunção
1063 de Strong: Para. Uma partícula primária propriamente dita, atribuindo um motivo.

a
& # 8001 (ho)
Artigo - Nominativo Masculino Singular
3588 de Strong: O, o artigo definido. Incluindo o feminino ele, e o neutro em todas as suas inflexões o artigo definido o.

senhor
& # 922 & # 973 & # 961 & # 953 & # 959 & # 962 (Kyrios)
Substantivo - Nominativo Masculino Singular
Strong's 2962: Senhor, mestre, senhor o Senhor. De kuros supremo em autoridade, ou seja, controlador por implicação, Mestre.

darei
& # 948 & # 974 & # 963 & # 949 & # 953 (d & # 333sei)
Verbo - Indicativo Futuro Ativo - 3ª Pessoa Singular
1325 de Strong: Oferecer, colocar, colocar. Uma forma prolongada de um verbo primário para dar.

vocês
& # 963 & # 959 & # 953 (soi)
Pronome Pessoal / Possessivo - Dativo 2ª Pessoa Singular
4771 de Strong: Você. O pronome pessoal da segunda pessoa do singular tu.

discernimento
& # 963 & # 973 & # 957 & # 949 & # 963 & # 953 & # 957 (sinesina)
Substantivo - Acusativo Feminino Singular
4907 de Strong: De suniemi uma junção mental, ou seja, Inteligência ou o intelecto.

para dentro
& # 7952 & # 957 (en)
Preposição
1722 de Strong: Em, em, entre. Uma preposição primária denotando posição e instrumentalidade, ou seja, uma relação de repouso 'em', em, por, etc.

todas as coisas.
& # 960 & # 8118 & # 963 & # 953 & # 957 (pasin)
Adjetivo - Dativo Neutro Plural
3956 de Strong: Tudo, todo, todo tipo de. Incluindo todas as formas de declinação, aparentemente uma palavra primária tudo, algum, todo, o todo.


52 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE MATRIZ PARA RESOLVER EQUAÇÕES LINEARES

As equações lineares podem ser resolvidas usando métodos de matriz como: método de inversão de matriz, regra de Cramer e métodos de eliminação de Gauss e # 8211 Jordan. No entanto, antes de examinar esses métodos, deve-se estar familiarizado com a forma de apresentar as equações lineares em notação matricial.

Apresentando Equações Lineares em Notação Matricial

Considere as seguintes n equações lineares em n incógnitas:

O sistema de equações lineares acima pode ser apresentado em matriz para A X = B

Regra de Cramer

Conforme descrito anteriormente, os determinantes são úteis para encontrar o inverso de uma matriz não singular. Agora, vejamos seu uso na solução de sistemas lineares cujo coeficiente de matriz (A) é não singular (ou invertível).

Por exemplo, considere um sistema linear em forma de matriz,

Onde, A é o coeficiente da matriz

B é o termo não homogêneo e

X, a matriz-coluna desconhecida

Isso é chamado de regra de Cramer.

Os valores de D, D1 e D2 também podem ser obtidos da seguinte forma:

Exemplo 9.13

Resolva o sistema linear usando a regra de Cramer,

Escrevendo o sistema acima na forma de matriz A X = B

Regra de Cramer: (três incógnitas ou matriz 3 × 3)

Deixe o sistema de equações ser

Obtido substituindo a primeira coluna por B

Exemplo 9.14

3x + y - 2z = 25 2x & # 8211 4y + 5z = & # 8211 29

Método de Inversão de Matriz

O método de inversão de matriz pode ser usado para resolver o sistema de equações. O exemplo a seguir ilustra como é possível resolver um sistema de equações usando esse método. Exemplo 9.15

Resolva x + y + z = 6 x - y + z = 2

2x - y + 3z = 9, usando o método de inversão de matriz.

O sistema de equações dado pode ser expresso como,

Método de Eliminação de Gauss e # 8211 Jordan

O procedimento para resolver equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan é o seguinte:

    1. Escreva o sistema de equações como uma matriz aumentada.
    2. Identifique a coluna mais à esquerda que não contém todos os zeros.
    3. Se o elemento superior na coluna mais à esquerda for zero, troque a linha superior para trazer um elemento diferente de zero nessa coluna.
    4. Se esse elemento diferente de zero for ‘a’, então multiplique a linha superior por 1 / a para obter um 1 inicial nessa linha.
    5. Adicione múltiplos desta linha a outras linhas para que todas as outras linhas tenham um 0 nesta coluna.
    6. Cubra (ignorando) a linha superior e volte para a segunda etapa, considerando as linhas abaixo desta (até a etapa 5).

    Continue este processo até que a matriz seja reduzida a uma matriz de Unidade.

    O exemplo a seguir ilustra o procedimento para resolver o sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss e # 8211 Jordan.

    Exemplo 9.16

    Encontre os valores de x, y e z resolvendo o seguinte sistema de equações.

    Etapa 1: Escreva o sistema de equações como uma matriz aumentada

    Etapa 2: Troque a primeira e a terceira linha para tornar o elemento superior esquerdo diferente de zero.

    Etapa 3: adicione -2 vezes da primeira linha à segunda linha para obter 0 no segundo elemento da primeira coluna.

    Etapa 4: divida a segunda linha por 2 para obter o 1 líder na linha 2

    Etapa 5: adicione a segunda linha à primeira e adicione -2 vezes a segunda linha à terceira para obter 0s na segunda coluna

    Etapa 6: divida a linha 3 por 2 para obter o 1 principal

    Etapa 7: adicione -1/2 vezes da linha 3 à linha 1 e adicione 5/2 vezes da linha 3 à linha 2 para obter 0s na terceira coluna

    Agora, a matriz acima é uma matriz unitária.

    Agora vamos verificar se esses valores satisfazem as equações iniciais.

    2y & # 8211 3z = 2 (7/4) & # 8211 3 (1/2) = (7/2) - (3/2) = 4/2 = 2 2x + z =

    2 (5/4) + (1/2) = (5/2) + (1/2) = 6/2 = 3 x & # 8211 y + 3z = (5/4)

    Os valores de x, y, z calculados usando o método de eliminação de Gauss & # 8211 Jordan satisfazem as equações do exemplo.

    Assim, um gerente pode usar a regra de Cramer, método de inversão de matriz ou método de eliminação de Gauss & # 8211 Jordan para resolver um sistema de equações.


    Assista o vídeo: Eliminação de Gauss-Jordan (Outubro 2021).