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1.2: Triângulos direitos especiais


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer triângulos direitos especiais.
  • Use as rações especiais do triângulo retângulo para resolver triângulos retângulos especiais.

30-60-90 Triângulos retos

A hipotenusa é igual a duas vezes a perna menor, enquanto a perna maior é ( sqrt {3} ) vezes a menor.

Um dos dois triângulos retângulos especiais é chamado de Triângulo 30-60-90, após seus três ângulos.

30-60-90 Teorema: Se um triângulo tiver medidas angulares (30 ^ { circ} ), (60 ^ { circ} ) e (90 ^ { circ} ), então os lados estão na proporção (x: x sqrt {3}: 2x ).

A perna mais curta é sempre (x ), a perna mais longa é sempre (x sqrt {3} ), e o hipotenusa é sempre (2x ). Se você esquecer esses teoremas, você ainda pode usar o Teorema de Pitágoras.

E se você recebesse um triângulo retângulo 30-60-90 e o comprimento de um de seus lados? Como você poderia descobrir o comprimento de seus outros lados?

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre o valor de (x ) e (y ).

Solução

Recebemos a perna mais longa.

( begin {alinhados} x sqrt {3} & = 12 x & = 12 sqrt {3} cdot dfrac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = 12 dfrac { sqrt {3}} {3} = 4 sqrt {3} & text {A hipotenusa é} y & = 2 (4 sqrt {3}) = 8 sqrt {3} end {alinhado} )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre o valor de (x ) e (y ).

Solução

Recebemos a hipotenusa.

( begin {alinhados} 2x & = 16 x & = 8 text {A perna mais longa é} y & = 8 cdot sqrt {3} & = 8 sqrt {3} end {alinhados} )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre o comprimento dos lados que faltam.

Solução

Recebemos a perna mais curta. Se (x = 5 ), então a perna mais longa, (b = 5 sqrt {3} ), e a hipotenusa, (c = 2 (5) = 10 ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre o comprimento dos lados que faltam.

Solução

Recebemos a hipotenusa. (2x = 20 ), então a perna mais curta, (f = dfrac {20} {2} = 10 ), e a perna mais longa, (g = 10 sqrt {3} ).

Exemplo ( PageIndex {5} )

Um retângulo tem os lados 4 e (4 sqrt {3} ). Qual é o comprimento da diagonal?

Solução

Se você não recebeu uma imagem, faça um desenho.

Os dois comprimentos são (x ), (x sqrt {3} ), então a diagonal seria (2x ) ou (2 (4) = 8 ).

Se você não reconheceu que este é um triângulo 30-60-90, você também pode usar o Teorema de Pitágoras.

( begin {alinhados} 4 ^ 2 + (4 sqrt {3}) ^ 2 & = d ^ 2 16 + 48 & = d ^ 2 d = sqrt {64} & = 8 end {alinhados } )

Análise

  1. Em um triângulo 30-60-90, se a perna mais curta é 5, então a perna mais longa é __________ e a hipotenusa é ___________.
  2. Em um triângulo 30-60-90, se a perna mais curta é (x ), então a perna mais longa é __________ e a hipotenusa é ___________.
  3. Um retângulo tem lados de comprimento 6 e (6 sqrt {3} ). Qual é o comprimento da diagonal?
  4. Dois lados (opostos) de um retângulo são 10 e a diagonal é 20. Qual é o comprimento dos outros dois lados

45-45-90 Triângulos retos

Um triângulo retângulo com pernas congruentes e ângulos agudos é um Triângulo Direito Isósceles. Este triângulo também é chamado de Triângulo 45-45-90 (nomeado após as medidas dos ângulos).

( Delta ABC ) é um triângulo retângulo com (m ângulo A = 90 ^ { circ} ), ( overline {AB} cong overline {AC} ) e (m ângulo B = m ângulo C = 45 ^ { circ} ).

45-45-90 Teorema: Se um triângulo retângulo for isósceles, seus lados estarão na proporção (x: x: x sqrt {2} ). Para qualquer triângulo retângulo isósceles, as pernas são (x ) e o hipotenusa é sempre (x sqrt {2} ).

E se você recebesse um triângulo retângulo isósceles e o comprimento de um de seus lados? Como você poderia descobrir o comprimento de seus outros lados?

Exemplo ( PageIndex {6} )

Encontre o comprimento de (x ).

Solução

Use a proporção (x: x: x sqrt {2} ).

Aqui, temos a hipotenusa. Resolva para (x ) na proporção.

( begin {alinhados} x sqrt {2} = 16 x = 16 sqrt {2} cdot dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = dfrac {16 sqrt {2}} {2} = 8 sqrt {2} end {alinhado} )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Encontre o comprimento de (x ), onde (x ) é a hipotenusa de um triângulo 45-45-90 com comprimentos de perna de (5 sqrt {3} ).

Solução

Use a proporção (x: x: x sqrt {2} ).

(x = 5 sqrt {3} cdot sqrt {2} = 5 sqrt {6} )

Exemplo ( PageIndex {8} )

Encontre o comprimento do lado que falta.

Solução

Use a proporção (x: x: x sqrt {2} ). (TV = 6 ) porque é igual a (ST ). Portanto, (SV = 6 cdot sqrt {2} = 6 sqrt {2} ).

Exemplo ( PageIndex {9} )

Encontre o comprimento do lado que falta.

Solução

Use a proporção (x: x: x sqrt {2} ). (AB = 9 sqrt {2} ) porque é igual a (AC ). Portanto, (BC = 9 sqrt {2} cdot sqrt {2} = 9 cdot 2 = 18 ).

Exemplo ( PageIndex {10} )

Um quadrado tem diagonal com comprimento 10, quais são os comprimentos dos lados?

Solução

Desenhe uma imagem.

Sabemos que metade de um quadrado é um triângulo 45-45-90, então (10 ​​= s sqrt {2} ).

( begin {align} s sqrt {2} & = 10 s & = 10 sqrt {2} cdot dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = dfrac {10 sqrt {2}} {2} = 5 sqrt {2} end {alinhado} )

Análise

  1. Em um triângulo retângulo isósceles, se uma perna é 4, então a hipotenusa é __________.
  2. Em um triângulo retângulo isósceles, se uma perna é x, então a hipotenusa é __________.
  3. Um quadrado tem lados de comprimento 15. Qual é o comprimento da diagonal?
  4. A diagonal de um quadrado é 22. Qual é o comprimento de cada lado?

Vocabulário

PrazoDefinição
30-60-90 TeoremaSe um triângulo tem medidas angulares de 30, 60 e 90 graus, os lados estão na proporção (x: x sqrt {3}: 2x )
45-45-90 TeoremaPara qualquer triângulo retângulo isósceles, se as pernas tiverem x unidades de comprimento, a hipotenusa será sempre (x sqrt {2} ).
HipotenusaA hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado mais longo do triângulo retângulo. Está do outro lado do ângulo certo.
Pernas de um Triângulo DireitoAs pernas de um triângulo retângulo são os dois lados mais curtos do triângulo retângulo. As pernas são adjacentes ao ângulo reto.
Teorema de PitágorasO Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo, dado por (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), onde aeb são as pernas do triângulo ec é a hipotenusa do triângulo .
RadicalO sinal ( sqrt {} ), ou raiz quadrada.

Recursos adicionais

Vídeo: resolvendo triângulos direitos especiais

Atividades: 30-60-90 Triângulos retos, perguntas para discussão

Auxílios de estudo: Guia de estudo de triângulos direitos especiais

Prática: 30-60-90 triângulos retos 45-45-90 triângulos retos

Mundo real: lutando na guerra contra as drogas usando geometria e triângulos especiais


1.8: Triângulos retos e proporções especiais

O Teorema de Pitágoras é excelente para localizar o terceiro lado de um triângulo retângulo quando você já conhece dois outros lados. Existem alguns triângulos como os triângulos 30-60-90 e 45-45-90 que são tão comuns que é útil saber as relações laterais sem fazer o Teorema de Pitágoras todas as vezes. Usar esses padrões também permite que você resolva totalmente os lados ausentes desses triângulos especiais quando você conhece apenas o comprimento de um lado.

Dado um triângulo retângulo 45-45-90 com lados de 6 polegadas, 6 polegadas e (x ) polegadas, qual é o valor de (x )?

Triângulos direitos especiais

Existem três tipos de triângulos retângulos especiais, triângulos 30-60-90, triângulos 45-45-90 e triângulos triplos pitagóricos.

30-60-90 Triângulos

Um triângulo retângulo 30-60-90 tem proporções laterais (x ), (x sqrt <3> ), (2x ).

Figura ( PageIndex <1> )

Confirme com o Teorema de Pitágoras:

45-45-90 Triângulos

Um triângulo retângulo 45-45-90 tem proporções laterais (x, x, x sqrt <2> ).

Figura ( PageIndex <2> )

Confirme com o Teorema de Pitágoras:

Observe que a ordem das proporções laterais (x, x sqrt <3>, 2x ) e (x, x, x sqrt <2> ) é importante porque cada proporção lateral tem um ângulo correspondente. Em todos os triângulos, os lados menores correspondem aos ângulos menores e os lados maiores sempre correspondem aos ângulos maiores.

Figura ( PageIndex <3> )

Triângulos Triplos Pitagóricos

Os triplos de números pitagóricos são triângulos retângulos especiais com lados inteiros. Embora os ângulos não sejam inteiros, as relações laterais são muito úteis para saber porque eles aparecem em todos os lugares. Saber que esse número triplica também economiza muito tempo de fazer o teorema de Pitágoras repetidamente. Aqui estão alguns exemplos de triplos de números pitagóricos:

Mais triplos de números pitagóricos podem ser encontrados escalando qualquer outro Número pitagórico triplo. Por exemplo:

(3,4,5 rightarrow 6,8,10 ) (dimensionado por um fator de 2)

Ainda mais triplos de números pitagóricos podem ser encontrados tomando qualquer número inteiro ímpar como 11, elevando-o ao quadrado para obter 121, reduzindo pela metade o resultado para obter 60,5. O número original 11 e os dois números 0,5 acima e abaixo (60 e 61) serão sempre um número triplo pitagórico.

Anteriormente, você foi questionado sobre um triângulo retângulo de 45-45-90 com lados de 6 polegadas, 6 polegadas e (x ) polegadas.

Se você puder reconhecer o padrão para triângulos retângulos 45-45-90, um triângulo retângulo com pernas de 6 polegadas e 6 polegadas tem uma hipotenusa que é (6 sqrt <2> ) polegadas. (x = 6 sqrt <2> ).

Um triângulo retângulo 30-60-90 tem hipotenusa de comprimento 10. Quais são os comprimentos dos outros dois lados?

A hipotenusa é o lado oposto a 90. Às vezes é útil fazer um desenho ou fazer uma mesa.


Conteúdo

Os triângulos retângulos especiais "baseados em ângulos" são especificados pela proporção inteira dos ângulos dos quais o triângulo é composto. A proporção inteira dos ângulos desses triângulos é tal que o ângulo maior (direito) é igual à soma dos ângulos menores: . Os comprimentos laterais são geralmente deduzidos com base no círculo unitário ou outros métodos geométricos. Esta forma é mais interessante porque pode ser usada para reproduzir rapidamente os valores das funções trigonométricas para os ângulos 30 °, 45 ° e 60 °.

Triângulo 45-45-90

Os comprimentos laterais de um triângulo 45-45-90

Construir a diagonal de um quadrado resulta em um triângulo cujos três ângulos estão na proporção . Com os três ângulos somando 180 ° (π), os ângulos medem respectivamente 45 ° 45° e 90 ° Os lados estão na proporção

Uma prova simples. Digamos que você tenha um triângulo assim com pernas uma e b e hipotenusa c. Suponha que uma = 1. Uma vez que dois ângulos medem 45 °, este é um triângulo isósceles e temos b = 1. O fato de que segue imediatamente do teorema de Pitágoras.

Triângulo 30-60-90

Os comprimentos laterais de um triângulo 30-60-90

Este é um triângulo cujos três ângulos estão na proporção /> e medem respectivamente 30 °, 60 ° e 90 °. Como esse triângulo é a metade de um triângulo equilátero, alguns se referem a ele como o triângulo hemieq. A designação 30-60-90 não é apenas incômoda, ela faz referência ao grau, uma divisão arbitrária da medida angular. Os lados estão na proporção />.

A prova desse fato é clara usando a trigonometria. Embora a prova geométrica seja menos aparente, é igualmente trivial:

Desenhe um triângulo equilátero abc com comprimento lateral 2 e com ponto D como o ponto médio do segmento AC. Desenhe uma linha de altitude a partir de UMA para D. Então ABD é um triângulo 30-60-90 (Hemieq) com hipotenusa de comprimento 2e base BD de comprimento 1. O fato de que a perna restante DE ANÚNCIOS tem comprimento segue imediatamente do teorema de Pitágoras.


Triângulos retângulos especiais 45 45 90

Outro famoso triângulo retângulo especial é o triângulo 45 & # xB0 45 & # xB0 90 & # xB0. É o único triângulo retângulo possível que também é um triângulo isósceles. Além disso, é a forma criada quando cortamos o quadrado na diagonal:

Curioso sobre as propriedades deste triângulo e aposs? Dê uma olhada em nossa ferramenta sobre o triângulo 45 & # xB0 45 & # xB0 90 & # xB0.


Tipos de Triângulo Direito Especial

Os dois triângulos retângulos especiais mais comuns são:

45-45-90 Triangle

Um triângulo 45-45-90 é um triângulo retângulo especial cujos três ângulos medem 45 °, 45 ° e 90 °. A proporção de seus comprimentos laterais (base: altura: hipotenusa) é 1: 1: √2.

30-60-90 Triangle

Um triângulo 30-60-90 é um triângulo retângulo especial cujos três ângulos medem 30 °, 60 ° e 90 °. A proporção de seus comprimentos laterais (base: altura: hipotenusa) é 1: √3: 2.

Além dos dois tipos acima, existem alguns outros triângulos retângulos especiais.

Outros: triplos pitagóricos

Alguns triângulos retângulos têm lados inteiros e são chamados coletivamente de triplos pitagóricos. Esses triângulos podem ser facilmente lembrados e qualquer múltiplo dos lados produz a mesma relação. Os triplos pitagóricos podem ser de três tipos:

  • Triplos Pitagóricos Comuns: Lados com comprimentos inteiros. Exemplos & # 8211 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 e 9-40- 41.
  • Triplos Pitagóricos Quase-isósceles: Lados com comprimentos inteiros, mas quase isósceles. Exemplos & # 8211 20-21-29, 119- 120-169, 696-697-985 e 4.059-4.060-5.741.
  • Lados que estão em progressão geométrica: Também conhecido como triângulo Kepler, se os lados estão em progressão geométrica a, ar, ar 2, sua razão comum r é dada por r = √φ onde φ é a razão áurea.

Geometria: triângulos direitos especiais

O reconhecimento de triângulos retângulos especiais pode ser um atalho ao responder a algumas perguntas de geometria. Um triângulo retângulo especial é um triângulo retângulo cujos lados estão em uma proporção específica, chamada de triplo pitagórico. Você também pode usar o teorema de Pitágoras & quot, mas se você pode ver que é um triângulo especial, pode economizar alguns cálculos.

As figuras a seguir mostram alguns exemplos de triângulos retângulos especiais e triplos pitagóricos. Role a página para baixo se precisar de mais explicações sobre triângulos retângulos especiais, triplos pitagóricos, vídeos e planilhas.

O que é um triângulo de 45 ° -45 ° -90 °?

Um triângulo de 45 ° -45 ° -90 ° é um triângulo retângulo especial cujos ângulos são 45 °, 45 ° e 90 °. Os comprimentos dos lados de um triângulo de 45 ° -45 ° -90 ° estão na proporção de 1: 1: √2.

Um triângulo retângulo com dois lados de comprimentos iguais deve ser um triângulo 45 & deg-45 & deg-90 & deg.

Você também pode reconhecer um triângulo de 45 ° -45 ° -90 ° pelos ângulos. Um triângulo retângulo com um ângulo de 45 ° deve ser um triângulo retângulo especial de 45 ° -45 ° -90 °.

Lado1: Lado2: Hipotenusa = x: x: x & radic2

Exemplo 1:
Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo se os comprimentos dos outros dois lados forem ambos de 3 polegadas.

Solução:
Etapa 1: este é um triângulo retângulo com dois lados iguais, portanto, deve ser um triângulo de 45 ° -45 ° -90 °.

Etapa 2: você verá que ambos os lados são 3. Se o primeiro e o segundo valores da proporção x: x: x√2 são 3, o comprimento do terceiro lado é 3√2.

Resposta: O comprimento da hipotenusa é 3√2 polegadas.

Exemplo 2:
Encontre os comprimentos dos outros dois lados de um triângulo retângulo se o comprimento da hipotenusa for 4√2 polegadas e um dos ângulos for 45 °.

Solução:
Etapa 1: este é um triângulo retângulo com um triângulo de 45 ° -45 ° -90 °.

Você recebeu que a hipotenusa é 4√2. Se o terceiro valor da razão n: n: n√2 for 4√2, então os comprimentos dos outros dois lados devem ser 4.

Resposta: O comprimento dos dois lados é de 4 polegadas.

O que é um triângulo 30 ° -60 ° -90 °?

Outro tipo de triângulos retângulos especiais é o triângulo 30 ° -60 ° -90 °. Este é o triângulo retângulo cujos ângulos são 30 ° -60 ° -90 °. Os comprimentos dos lados de um triângulo de 30 ° -60 ° -90 ° estão na proporção de 1: √3: 2.

Você também pode reconhecer um triângulo de 30 ° -60 ° -90 ° pelos ângulos. Contanto que você saiba que um dos ângulos no triângulo retângulo é de 30 ° ou 60 °, então ele deve ser um triângulo retângulo especial de 30 ° -60 ° -90 °. Um triângulo retângulo com um ângulo de 30 ° ou 60 ° deve ser um triângulo retângulo especial de 30 ° -60 ° -90 °.

Side1: Side2: Hypotenuse = x: x & radic3: 2x

Exemplo 1:
Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo se os comprimentos dos outros dois lados forem 4 polegadas e 4 e 3 polegadas.

Solução:
Etapa 1: Teste a proporção dos comprimentos para ver se ela se ajusta à proporção n: n√2: 2n.

Etapa 2: Sim, é um triângulo de 30 ° -60 ° -90 ° para x = 4

Etapa 3: calcule o terceiro lado.

Resposta: O comprimento da hipotenusa é de 20 centímetros.

Exemplo 2:
Encontre os comprimentos dos outros dois lados de um triângulo retângulo se o comprimento da hipotenusa for 8 polegadas e um dos ângulos for 30 °.

Solução:
Etapa 1: este é um triângulo retângulo com um ângulo de 30 °, portanto, deve ser um triângulo de 30 ° -60 ° -90 °.

Você recebeu que a hipotenusa é 8.
Substituindo 8 no terceiro valor da proporção x: x√3: 2x, obtemos que 2x = 8 ⇒ x = 4.

Substituindo x = 4 no primeiro e no segundo valor da razão, obtemos que os outros dois lados são 4 e 4√3.

Resposta: O comprimento dos dois lados é de 4 polegadas e 4√3 polegadas.

Triângulos especiais - ângulos importantes - 30 °, 45 °, 60 °
45 ° -45 ° -90 ° Triângulos, 30 ° -60 ° -90 ° Triângulos.

Triângulos básicos que você deve saber
Os triângulos são classificados por lado e por ângulo.

Neste vídeo você aprenderá:

  1. Triângulos 3-4-5 e triângulos semelhantes.
  2. 5-12-13 triângulos e triângulos semelhantes.
  3. 45-45-90 triângulos retângulos.
  4. 30-60-90 triângulos.
  5. triângulos equiláteros.
  6. relação entre triângulos equiláteros e 30-60-90.

Como resolver triângulos direitos especiais?
Ao resolver triângulos retângulos especiais, lembre-se de que um triângulo 30-60-90 tem uma hipotenusa com o dobro do comprimento de um dos lados e um triângulo 45-45-90 tem dois lados iguais.

Triângulos direitos especiais em geometria
Triângulos de 45-45-90 e 30-60-90 graus.

Discuta dois triângulos retângulos especiais, como derivar as fórmulas para encontrar os comprimentos dos lados dos triângulos sabendo o comprimento de um lado e alguns exemplos de como usá-los.

O que são triplos pitagóricos?
Qualquer grupo de 3 valores inteiros que satisfaça a equação: a 2 + b 2 = c 2 é chamado de Triplo Pitagórico. Qualquer triângulo que tenha lados que formem um Triângulo Pitagórico deve ser um triângulo retângulo. Alguns exemplos de triângulos triplos pitagóricos são: triângulos 3-4-5 e triângulos 5-12-13.

O que é um triângulo 3-4-5?
Um triângulo 3-4-5 é um triângulo retângulo cujos comprimentos estão na proporção de 3: 4: 5. Quando você receber os comprimentos dos dois lados de um triângulo retângulo, verifique a proporção dos comprimentos para ver se ele se encaixa na proporção 3: 4: 5.

Lado1: Lado2: Hipotenusa = 3n: 4n: 5n

Exemplo 1:
Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo se os comprimentos dos outros dois lados forem de 6 polegadas e 8 polegadas.

Solução:
Etapa 1: Teste a proporção dos comprimentos para ver se ela se encaixa na proporção 3n: 4n: 5n.

Etapa 2: Sim, é um triângulo 3-4-5 para n = 2.

Etapa 3: calcule o terceiro lado.

Resposta: O comprimento da hipotenusa é de 10 polegadas.

Exemplo 2:
Encontre o comprimento de um lado de um triângulo retângulo se o comprimento da hipotenusa é de 15 polegadas e o comprimento do outro lado é de 30 centímetros.

Solução:
Etapa 1: Teste a proporção dos comprimentos para ver se ela se encaixa na proporção 3n: 4n: 5n.

Etapa 2: Sim, é um triângulo 3-4-5 para n = 3.

Etapa 3: calcule o terceiro lado.

Resposta: O comprimento da lateral é de 9 polegadas.

O que é um triângulo 5-12-13?
Um triângulo 5-12-13 é um triângulo retângulo cujos comprimentos estão na proporção de 5:12:13. É outro exemplo de um triângulo retângulo especial.

3-4-5 e 5-12-13 são exemplos do Triplo Pitagórico. Geralmente são escritos como (3, 4, 5) e (5, 12, 13). Em geral, um triplo pitagórico consiste em três inteiros positivos tais que a 2 + b 2 = c 2. Dois outros triplos pitagóricos comumente usados ​​são (8, 15, 17) e (7, 24, 25)

Conceitos e padrões dos triplos pitagóricos

Exemplos e famílias de triplos pitagóricos

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1.2: Triângulos direitos especiais

Valores Básicos do Triângulo

Existem alguns (um muito poucos) ângulos que têm valores trigonométricos relativamente "nítidos", envolvendo, na pior das hipóteses, uma raiz quadrada. Por causa de seus valores relativamente simples, estes são os ângulos que normalmente serão usados ​​em problemas matemáticos (em cálculo, especialmente), e você será esperado para ter os valores desses ângulos memorizados.

Normalmente, os livros didáticos apresentam esses valores em uma tabela que você deve memorizar. Mas as imagens são geralmente mais fáceis de lembrar (em testes, etc), esta lição mostrará como muitas pessoas mesmo acompanhe esses valores.

Valores de 45 e graus (de um triângulo 45-45-90)

Se você precisa trabalhar com um ângulo de 45 graus, desenhe o triângulo de 45-45-90 graus à direita, usando os valores fornecidos para os comprimentos dos lados:

Escolhemos o comprimento de uma unidade para os lados correspondentes porque isso é mais simples, e então obtemos o sqrt(2) valor usando o Teorema de Pitágoras. (Observe que é irrelevante quais são os comprimentos do triângulo real com o qual você está lidando; esse triângulo de referência fornece as proporções e, portanto, os valores trigonométricos.) O & quottheta & quot (o círculo achatado com a linha através dele) no canto esquerdo inferior é o ângulo que usaremos. (A orientação do ângulo específico com que eles querem que você trabalhe é irrelevante, porque você sempre pode girar o triângulo acima para colocá-lo na orientação de que precisar.)

Se, para um determinado exercício, eles querem apenas o valor trigonométrico do ângulo, basta lê-lo no triângulo: o seno de teta está (oposto) acima (hipoteneusa), ou 1 /sqrt(2) o cosseno de teta é (adjacente) sobre (hipoteneusa), ou 1 /sqrt(2) e a tangente de teta é (oposta) sobre (adjacente), ou 1/1 = 1. (Seu texto ou professor pode querer que você & quotracionalize & cite essas proporções; nesse caso, você obterá pecado(theta) = sqrt(2) / 2 e cos(theta) = sqrt(2) / 2. Este problema de racionalização torna-se Muito de menos importante quando você atinge o cálculo. )

Por outro lado, suponha que eles tenham dado a você um triângulo de 45 graus onde os dois lados correspondentes têm comprimento, digamos, 14 unidades, e eles querem que você encontre o comprimento do terceiro lado. Ok, você multiplica 1 por 14 para obter 14 para os lados correspondentes. Então, por triângulos semelhantes, você multiplica sqrt(2) por 14 para obter 14sqrt(2) para o comprimento da hipoteneusa.

Ou suponha que eles digam que a hipoteneusa é de 12 unidades. Vamos descobrir o que temos que multiplicar para obter os comprimentos dos lados correspondentes. Deixe este multiplicador ser & quot x & quot. Então xsqrt(2) = 12, então x = 12/sqrt(2) = 12sqrt(2)/2 = 6sqrt(2) Então, os comprimentos dos lados correspondentes são 1 e vezes 6sqrt(2)= 6sqrt(2 unidades. Copyright e cópia Elizabeth Stapel 2000-2011 Todos os direitos reservados

Você pode encontrar tudo o que precisa neste triângulo de referência. Em vez de tentar memorizar uma tabela inteira (se isso não funcionar para você), simplesmente memorize este triângulo.

Valores de ângulos 30 e 60 e 60 (de um triângulo 30-60-90)

Se você precisa trabalhar com um ângulo de 30 ou 60 graus, o processo é semelhante ao anterior, mas a configuração é um pouco mais longa.

Para qualquer um dos ângulos, este é o triângulo com o qual você começa:

Este é um triângulo 60-60-60 (ou seja, um triângulo equilátero), com lados com comprimento de duas unidades.


Solte a bissetriz vertical do ângulo superior para o lado inferior:

Observe que essa bissetriz também é a altitude (altura) do triângulo.

Usando o Teorema de Pitágoras, obtemos que o comprimento da bissetriz é sqrt(3), e a bissetriz formou 30-60-90 triângulos.

Se você estiver fazendo um triângulo de 60 graus, use o ângulo rotulado acima como & quotalpha & quot (o & quot de aparência engraçada uma & quot no canto inferior) se você estiver fazendo um triângulo de 30 graus, use o ângulo marcado com & quotbeta & quot (o & quot de aparência engraçada b & quot no canto superior).

Para trabalhar com ângulos de 60 graus, sua imagem é esta metade do triângulo:

. e para ângulos de 30 graus, sua imagem é a mesma metade, mas girada:

Você encontra valores trigonométricos e proporções com os triângulos de 30 e 60 graus exatamente da mesma maneira que com o triângulo de 45 graus.

Você pode pegar um daqueles professores que não quer que você desenhe essas figuras (porque você deve ter tudo memorizado agora). Bem, é por isso que seu lápis tem uma borracha. Meu instrutor de Calculus II disse que se desenhássemos as imagens em nossos testes, todo o problema seria contado de maneira errada. Eu desenhei as fotos mesmo assim, mas muito levemente, e apaguei todas antes de entregar os testes. Ele nunca soube, e eu passei no curso. Você faz o que tem que fazer.

Por outro lado, algumas pessoas preferem tabelas e gráficos. Se as tabelas funcionarem melhor para você, então esta tabela é altamente recomendada, tendo sido & quottestada em campo & quot por um instrutor ativo:


Como resolver o triângulo 45 45 90

Para ajudar a demonstrar a aparência do triângulo retângulo especial com 45 45 90 como ângulos, bem como explicar os valores que você terá que trabalhar daqui para frente, usaremos o exemplo abaixo. Ele mostra um triângulo 45 45 90 padrão que pode ajudá-lo a entender as relações que surgem quando este triângulo é usado.

1 é escolhido para ser usado como o comprimento dos lados que são iguais neste triângulo especial, uma vez que é o mais simples de trabalhar. Então, como encontramos a hipotenusa?

um triângulo especial de triângulo 45 45 90

Este é um triângulo retângulo isósceles. Como é um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa.

Com a hipotenusa, temos informações para determinar o seguinte:

Você pode ver que estamos olhando para o "teta" de 45 graus e você deve se lembrar de SOHCAHTOA, que o ajuda a lembrar quais lados você deve seguir para encontrar o seno, cosseno e tangente. Foi assim que descobrimos que o seno é 1 2 frac <1> < sqrt <2>> 2

1, uma vez que 1 é o comprimento do lado oposto a 45 graus e a hipotenusa é 2 sqrt <2> 2

. Para cosseno, você precisará do adjacente sobre a hipotenusa, o que lhe dá 1 2 frac <1> < sqrt <2>> 2

1 Por último, para a tangente, é oposta sobre adjacente, dando a você 1 1 frac <1> <1> 1

1, ou de forma mais simplificada, apenas 1.

Sabendo que você precisará memorizar esses valores, você pode optar por gravá-los na memória ou pode redesenhar este triângulo e usar SOHCAHTOA para ajudá-lo a encontrar as razões de ângulo e aposs. De qualquer forma, esperamos que, ao explicar os componentes do triângulo para você, agora você tenha um melhor entendimento do triângulo especial 45 45 90 e como suas proporções surgiram.


Um novo triângulo especial direito: 15 ° · 75 ° · 90 °

Em uma análise anterior, Triângulos Fractais, explorei uma série de triângulos que complementam os triângulos básicos e especiais apresentados em livros didáticos de geometria. Neste ensaio, apresentarei um triângulo de base que, a meu ver, foi esquecido ao longo do estudo da geometria. É minha interpretação que durante séculos esta série de triângulos teve uma ênfase indevida nos triângulos básicos e especiais, como se estes fossem de fato os únicos triângulos relevantes.

Em uma análise anterior de uma série de triângulos fractais, ilustrei como os triângulos fractais são complementares aos triângulos básicos e especiais tradicionalmente citados. Uma visão resumida dos triângulos básicos e especiais apresentados nos livros de geometria é o seguinte.

Os triângulos básicos 3 & # 149 4 & # 149 5 e 5 & # 149 12 & # 149 13 são geralmente citados na maioria dos livros de geometria. Esses triângulos são apresentados a partir de suas medidas laterais. Enquanto os triângulos especiais de 45º e # 149 45º e # 149 90º e 30º e # 149 60º e # 149 90º são apresentados a partir das medidas de seus ângulos. As razões para essa apresentação arbitrária dizem respeito a um desejo antigo de trabalhar com números inteiros. Foi citado que os antigos evitavam as expressões decimais de números irracionais e isso parece ser o caso ainda hoje. Embora os tratamentos dos triângulos 1 & # 149 1 & # 149 2 e 1 & # 149 3 & # 149 2 sejam comuns, dificilmente se encontra qualquer estudo elementar relacionado ao triângulo 1 & # 1492 & # 149 5. Novamente, isso pode ter a ver com a expressão fracionária de seus ângulos. Os ângulos do triângulo 1 & # 149 2 & # 149 5 são: 26,5651º e # 149 63,4349º e # 149 90º. Não é de admirar que esse triângulo seja referido por suas medidas laterais, embora simbolicamente pela raiz quadrada de 5. 1 & # 149 2 & # 149 5, que se traduz nas medidas laterais de 1 & # 149 2 & # 149 2.236067978.

As duas séries diferentes de triângulos retângulos, junto com um triângulo fractal, então, podem ser resumidas da seguinte maneira:

Ao contemplar esta localização particular das diferentes séries de triângulos, um elemento se destaca: a lógica de considerar um triângulo de 15º & # 149 75º & # 149 90º. Em outras palavras, a lógica nos diria que se pode considerar uma série de triângulos como de incrementos / decrementos de quinze graus:

Só podemos nos perguntar por que a série de triângulos especiais não foi apresentada em sua progressão óbvia, e apenas dois dos triângulos dentro da série foram enfatizados em livros de geometria ao longo dos séculos. Para entender o possível significado de considerar o triângulo especial 15º & # 149 75º & # 149 90º, junto com sua série correspondente, alguns comentários são necessários em relação à escala de temperatura da Terra / matriz.

Nos últimos anos, tenho apresentado a ideia de utilizar uma escala de temperatura termodinâmica que tem o ponto de ebulição da água (BPW) como unidade um (1,0) e / ou o ponto de congelamento da água (FPW) como unidade um (1,0 ) Variações dessas escalas foram apresentadas na série de ensaios Terra / matriX, mas irei me concentrar na escala que emprega o ponto de congelamento da água como unidade um neste ensaio. Se atribuirmos o ponto de congelamento da água como unidade um (1,0), o ponto de ebulição da água será registrado como 1,3661 na mesma escala, onde o zero absoluto é precisamente 0,00. A diferença, então, entre o ponto de congelamento da água (1,0) e o ponto de ebulição da água (1,3661) é representada no valor de 0,3661 na escala de temperatura termodinâmica Terra / matriX.


Assista o vídeo: Miary kątów w trójkątach - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (Outubro 2021).