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13.5E: A regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis ​​(exercícios)


13.5: A regra da cadeia

Nos exercícios 1 - 6, use as informações fornecidas para resolver o problema.

1) Seja (w (x, y, z) = xy cos z, ) onde (x = t, y = t ^ 2, ) e (z = arcsin t. ) Encontre ( dfrac {dw} {dt} ).

Responder:
( dfrac {dw} {dt} = y cos z + x cos z (2t) - dfrac {xy sin z} { sqrt {1 − t ^ 2}} )

2) Seja (w (t, v) = e ^ {tv} ) onde (t = r + s ) e (v = rs ). Encontre ( dfrac {∂w} {∂r} ) e ( dfrac {∂w} {∂s} ).

3) If (w = 5x ^ 2 + 2y ^ 2, quad x = −3u + v, ) e (y = u − 4v, ) find ( dfrac {∂w} {∂u} ) e ( dfrac {∂w} {∂v} ).

Responder:
( dfrac {∂w} {∂u} = - 30x + 4y quad = quad -30 (-3u + v) + 4 (u - 4v) quad = quad 90u -30v + 4u - 16v quad = quad 94u - 46v ),
( dfrac {∂w} {∂v} = 10x − 16y quad = quad 10 (-3u + v) - 16 (u - 4v) quad = quad -30u + 10v - 16u + 64v quad = quad -46u + 74v )

4) Se (w = xy ^ 2, x = 5 cos (2t), ) e (y = 5 sin (2t) ), encontre ( dfrac {∂w} {∂t} )

5) Se (f (x, y) = xy, x = r cos θ, ) e (y = r sin θ ), encontre ( dfrac {∂f} {∂r} ) e expresse a resposta em termos de (r ) e (θ ).

Responder:
( dfrac {∂f} {∂r} = r sin (2θ) )

6) Suponha que (f (x, y) = x + y, u = e ^ x sin y, quad x = t ^ 2 ) e (y = πt ), onde (x = r cos θ ) e (y = r sin θ ). Encontre ( dfrac {∂f} {∂θ} ).

Nos exercícios 7 - 12, encontre ( dfrac {dz} {dt} ) de duas maneiras, primeiro usando a regra da cadeia e depois por substituição direta.

7) (z = x ^ 2 + y ^ 2, quad x = t, y = t ^ 2 )

Responder:
( dfrac {dz} {dt} = 2t + 4t ^ 3 )

8) (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad y = t ^ 2, x = t )

9) (z = xy, quad x = 1− sqrt {t}, y = 1 + sqrt {t} )

Responder:
( dfrac {dz} {dt} = - 1 )

10) (z = frac {x} {y}, quad x = e ^ t, y = 2e ^ t )

11) (z = ln (x + y), quad x = e ^ t, y = e ^ t )

Responder:
( dfrac {dz} {dt} = 1 )

12) (z = x ^ 4, quad x = t, y = t )

13) Seja (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad x = custo, y = sint, ) e (z = e ^ t ). Expresse (w ) como uma função de (t ) e encontre ( dfrac {dw} {dt} ) diretamente. Então, encontre ( dfrac {dw} {dt} ) usando a regra da cadeia.

Responder:
( dfrac {dw} {dt} = 2e ^ {2t} ) em ambos os casos

14) Seja (z = x ^ 2y, ) onde (x = t ^ 2 ) e (y = t ^ 3 ). Encontre ( dfrac {dz} {dt} ).

15) Seja (u = e ^ x sin y, ) onde (x = - ln 2t ) e (y = πt ). Encontre ( dfrac {du} {dt} ) quando (x = ln 2 ) e (y = frac {π} {4} ).

Responder:
( dfrac {du} {dt} = sqrt {2} big ( pi - 4 big) )

Nos exercícios 16 - 33, encontre ( dfrac {dy} {dx} ) usando derivadas parciais.

16) ( sin (6x) + tan (8y) + 5 = 0 )

17) (x ^ 3 + y ^ 2x − 3 = 0 )

Responder:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {3x ^ 2 + y ^ 2} {2xy} )

18) ( sin (x + y) + cos (x − y) = 4 )

19) (x ^ 2−2xy + y ^ 4 = 4 )

Responder:
( dfrac {dy} {dx} = dfrac {y − x} {- x + 2y ^ 3} )

20) (xe ^ y + ye ^ x − 2x ^ 2y = 0 )

21) (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3} )

Responder:
( dfrac {dy} {dx} = - sqrt [3] { frac {y} {x}} )

22) (x cos (xy) + y cos x = 2 )

23) (e ^ {xy} + ye ^ y = 1 )

Responder:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {ye ^ {xy}} {xe ^ {xy} + e ^ y (1 + y)} )

24) (x ^ 2y ^ 3 + cos y = 0 )

25) Encontre ( dfrac {dz} {dt} ) usando a regra da cadeia em que (z = 3x ^ 2y ^ 3, , , x = t ^ 4, ) e (y = t ^ 2 ).

Responder:
( dfrac {dz} {dt} = 42t ^ {13} )

26) Seja (z = 3 cos x− sin (xy), x = frac {1} {t}, ) e (y = 3t. ) Encontre ( dfrac {dz} {dt } ).

27) Seja (z = e ^ {1 − xy}, , , x = t ^ {1/3}, ) e (y = t ^ 3 ). Encontre ( dfrac {dz} {dt} ).

Responder:
( dfrac {dz} {dt} = - frac {10} {3} t ^ {7/3} × e ^ {1 − t ^ {10/3}} )

28) Encontre ( dfrac {dz} {dt} ) pela regra da cadeia onde (z = cosh ^ 2 (xy), , , x = frac {1} {2} t, ) e (y = e ^ t ).

29) Seja (z = dfrac {x} {y}, , , x = 2 cos u, ) e (y = 3 sin v. ) Encontre ( dfrac {∂z} {∂u} ) e ( dfrac {∂z} {∂v} ).

Responder:
( dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {−2 sin u} {3 sin v} ) e ( dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−2 cos u cos v} {3 sin ^ 2v} )

30) Seja (z = e ^ {x ^ 2y} ), onde (x = sqrt {uv} ) e (y = frac {1} {v} ). Encontre ( dfrac {∂z} {∂u} ) e ( dfrac {∂z} {∂v} ).

31) Se (z = xye ^ {x / y}, , , x = r cos θ, ) e (y = r sin θ ), encontre ( dfrac {∂z} { ∂r} ) e ( dfrac {∂z} {∂θ} ) quando (r = 2 ) e (θ = frac {π} {6} ).

Responder:
( dfrac {∂z} {∂r} = sqrt {3} e ^ { sqrt {3}}, dfrac {∂z} {∂θ} = (2-4 sqrt {3}) e ^ { sqrt {3}} )

32) Encontre ( dfrac {∂w} {∂s} ) se (w = 4x + y ^ 2 + z ^ 3, , , x = e ^ {rs ^ 2}, , , y = ln ( frac {r + s} {t}), ) e (z = rst ^ 2 ).

33) Se (w = sin (xyz), , , x = 1−3t, , , y = e ^ {1 − t}, ) e (z = 4t ), encontre ( dfrac {∂w} {∂t} ).

Responder:
( dfrac {∂w} {∂t} = - 3yz cos (xyz) −xze ^ {1 − t} cos (xyz) + 4xy cos (xyz) )

Nos exercícios 34 - 36, use esta informação: Uma função (f (x, y) ) é considerada homogênea de grau (n ) se (f (tx, ty) = t ^ nf (x, y) ). Para todas as funções homogêneas de grau (n ), a seguinte equação é verdadeira: (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x, y) ). Mostre que a função dada é homogênea e verifique se (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x, y) ).

34) (f (x, y) = 3x ^ 2 + y ^ 2 )

35) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:
(f (tx, ty) = sqrt {t ^ 2x ^ 2 + t ^ 2y ^ 2} = t ^ 1f (x, y), quad dfrac {∂f} {∂y} = x frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2x + y frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2y = 1f (x, y) )

36) (f (x, y) = x ^ 2y − 2y ^ 3 )

37) O volume de um cilindro circular reto é dado por (V (x, y) = πx ^ 2y, ) onde (x ) é o raio do cilindro e (y ) é a altura do cilindro. Suponha que (x ) e (y ) sejam funções de (t ) dadas por (x = frac {1} {2} t ) e (y = frac {1} {3} t ) de forma que (x ) e (y ) estão aumentando com o tempo. Com que rapidez o volume está aumentando quando (x = 2 ) e (y = 5 )? Suponha que o tempo seja medido em segundos.

Responder:
( dfrac {dV} {dt} = frac {34π} {3} , text {unidades} ^ 3 / text {s} )

38) A pressão (P ) de um gás está relacionada ao volume e temperatura pela fórmula (PV = kT ), onde a temperatura é expressa em kelvins. Expresse a pressão do gás como uma função de (V ) e (T ). Encontre ( dfrac {dP} {dt} ) quando (k = 1, dfrac {dV} {dt} = 2 ) cm3/ min, ( dfrac {dT} {dt} = 12 ) K / min, (V = 20 cm ^ 3 ) e (T = 20 ° F ).

39) O raio de um cone circular direito está aumentando a (3 ) cm / min, enquanto a altura do cone está diminuindo a (2 ) cm / min. Encontre a taxa de variação do volume do cone quando o raio é (13 ) cm e a altura é (18 ) cm.

Responder:
( frac {dV} {dt} = frac {1066π} {3} , text {cm} ^ 3 / text {min} )

40) O volume de um tronco de cone é dado pela fórmula (V = frac {1} {3} πz (x ^ 2 + y ^ 2 + xy), ) onde (x ) é o raio do círculo menor, (y ) é o raio do círculo maior e (z ) é a altura do tronco (veja a figura). Encontre a taxa de variação do volume deste tronco quando (x = 10 ) pol., (Y = 12 ) pol. E (z = 18 ) pol.

41) Uma caixa fechada tem a forma de um sólido retangular com dimensões (x, y, ) e (z ). (As dimensões estão em polegadas). Suponha que cada dimensão esteja mudando a uma taxa de (0,5 ) pol./min. Encontre a taxa de variação da área total da superfície da caixa quando (x = 2 ) pol., (Y = 3 ) pol. E (z = 1 ) pol.

Responder:
( frac {dA} {dt} = 12 , text {in.} ^ 2 / text {min} )

42) A resistência total em um circuito que possui três resistências individuais representadas por (x, y, ) e (z ) é dada pela fórmula (R (x, y, z) = dfrac {xyz} {yz + xz + xy} ). Suponha que em um determinado momento a resistência (x ) seja (100 , Ω ), a resistência (y ) seja (200 , Ω, ) e a resistência (z ) seja ( 300 , Ω. ) Além disso, suponha que a resistência (x ) esteja mudando a uma taxa de (2 , Ω / text {min}, ) a resistência (y ) está mudando na taxa de (1 , Ω / text {min} ), e a resistência (z ) não tem alteração. Encontre a taxa de variação da resistência total neste circuito neste momento.

43) A temperatura (T ) em um ponto ((x, y) ) é (T (x, y) ) e é medida usando a escala Celsius. Uma mosca rasteja de modo que sua posição após (t ) segundos seja dada por (x = sqrt {1 + t} ) e (y = 2 + frac {1} {3} t ), onde (x ) e (y ) são medidos em centímetros. A função de temperatura satisfaz (T_x (2,3) = 4 ) e (T_y (2,3) = 3 ). Com que rapidez a temperatura está aumentando no caminho da mosca após (3 ) seg?

Responder:
(2 ) ° C / s

44) Os componentes (x ) e (y ) de um fluido que se move em duas dimensões são dados pelas seguintes funções: (u (x, y) = 2y ) e (v (x, y) = −2x ) com (x≥0 ) e (y≥0 ). A velocidade do fluido no ponto ((x, y) ) é (s (x, y) = sqrt {u (x, y) ^ 2 + v (x, y) ^ 2} ) . Encontre ( dfrac {∂s} {∂x} ) e ( dfrac {∂s} {∂y} ) usando a regra da cadeia.

45) Seja (u = u (x, y, z), ) onde (x = x (w, t), , y = y (w, t), , z = z (w, t ), , w = w (r, s) ), e (t = t (r, s). ) Use um diagrama de árvore e a regra da cadeia para encontrar uma expressão para ( dfrac {∂u} {∂r} ).

Responder:
( frac {∂u} {∂r} = frac {∂u} {∂x} ( frac {∂x} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂x } {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂y} ( frac {∂y} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂y} {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂z} ( frac {∂z} {∂w} frac {∂w} {∂ r} + frac {∂z} {∂t} frac {∂t} {∂r}) )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) editou o LaTeX.


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