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10.1.2: Resolvendo Equações Multi-Etapas


objetivos de aprendizado

  • Use propriedades de igualdade juntas para isolar variáveis ​​e resolver equações algébricas.
  • Use as propriedades de igualdade e a propriedade distributiva para resolver equações contendo parênteses, frações e / ou decimais.

Há alguns equações que você pode resolver em sua cabeça rapidamente. Por exemplo, qual é o valor de ( y ) na equação ( 2 y = 6 )? Provavelmente, você não precisou pegar um lápis e papel para calcular isso ( y = 3 ). Você só precisa fazer uma coisa para obter a resposta, divida 6 por 2.

Outras equações são mais complicadas. Resolver ( 4 left ( frac {1} {3} t + frac {1} {2} right) = 6 ) sem escrever nada é difícil! Isso porque esta equação contém não apenas um variável mas também frações e termos entre parênteses. Isto é um equação de várias etapas, que leva várias etapas para resolver. Embora as equações de várias etapas levem mais tempo e mais operações, elas ainda podem ser simplificadas e resolvidas aplicando-se as regras algébricas básicas.

Lembre-se de que você pode pensar em uma equação como uma escala de equilíbrio, com o objetivo de reescrever a equação para que seja mais fácil de resolver, mas ainda equilibrada. O adição propriedade de igualdade e a propriedade de multiplicação de igualdade explique como você pode manter a escala, ou a equação, equilibrada. Sempre que você realizar uma operação para um lado da equação, se realizar a mesma operação exata para o outro lado, você manterá os dois lados da equação iguais.

Se a equação estiver na forma ( a x + b = c ), onde ( x ) é a variável, você pode resolver a equação como antes. Primeiro “desfaça” a adição e subtração, e então “desfaça” a multiplicação e divisão.

Exemplo

Resolva ( 3 y + 2 = 11 ).

Solução

( begin {array} {r}
3 y + 2 = & 11
-2 & -2 \
hline 3 y = & 9
end {array} )
Subtraia 2 de ambos os lados da equação para obter o termo com a variável por si só, então ( 3 y = 9 ).

( frac {3 y} {3} = frac {9} {3} )

( y = 3 )

Divida os dois lados da equação por 3 para obter um coeficiente de 1 para a variável.

( y = 3 )

Exemplo

Resolva ( frac {1} {4} x-2 = 3 ).

Solução

( begin {array} {r}
frac {1} {4} x-2 = & 3
+2 & +2 hline
frac {1} {4} x = & 5
end {array} )
Adicione 2 a ambos os lados da equação para obter o termo com a variável por si só, então ( frac {1} {4} x = 5 ).
( begin {array} {c}
frac {4 x} {4} = 5 (4)
x = 20
end {array} )
Multiplique ambos os lados da equação por 4 para obter um coeficiente de 1 para a variável.

( x = 20 )

Se a equação não estiver no formato ( a x + b = c ), você precisará realizar algumas etapas adicionais para obter a equação nesse formato.

No exemplo abaixo, existem vários conjuntos de termos como. Você deve primeiro combinar todos os termos semelhantes.

Exemplo

Resolva ( 3 x + 5 x + 4-x + 7 = 88 ).

Solução

( 3 x + 5 x + 4-x + 7 = 88 )Existem três termos semelhantes ( 3x ), ( 5x ) e ( -x ) envolvendo uma variável.
( begin {array} {r}
7 x + 4 + 7 = 88
7 x + 11 = 88
end {array} )
Combine esses termos semelhantes. 4 e 7 também são termos semelhantes e podem ser adicionados.
( begin {array} {r}
7 x + 11 = & 88
-11 & -11 \
hline frac {7 x} {7} = & frac {77} {7}
end {array} )

A equação agora está no formato ( a x + b = c ). Portanto, podemos resolver ( 7 x + 11 = 88 ) como antes.

Subtraia 11 de ambos os lados.

Divida os dois lados por 7.

( x = 11 )

Algumas equações podem ter a variável em ambos os lados do sinal de igual. Precisamos “mover” um dos termos variáveis ​​para resolver a equação.

Exemplo

Resolva ( 6 x + 5 = 10 + 5 x ). Verifique sua solução.

Solução

( 6 x + 5 = 10 + 5 x )Esta equação tem termos ( x ) à esquerda e à direita. Para resolver uma equação como esta, você deve primeiro obter as variáveis ​​do mesmo lado do sinal de igual.

( begin {array} {r}
6 x + 5 = & 10 + 5 x
-5 x & -5 x
hline x + 5 = & 10
end {array} )

Você pode subtrair ( 5x ) em cada lado do sinal de igual, o que dá uma nova equação: ( x + 5 = 10 ). Esta é agora uma equação de uma etapa!
( begin {array} {rr}
x + 5 = & 10
-5 & -5 \
hline x = & 5
end {array} )
Subtraia 5 de ambos os lados e você obterá ( x = 5 ).
Verificar ( begin {alinhado}
6 x + 5 & = 10 + 5 x
6(5)+5 &=10+5(5) \
30+5 &=10+25 \
35 &=35
end {alinhado} )

Verifique sua solução substituindo 5 por ( x ) na equação original.

Esta é uma afirmação verdadeira, então a solução está correta.

( x = 5 )

Aqui estão algumas etapas a serem seguidas ao resolver equações de várias etapas.

Resolvendo equações de várias etapas

  1. Se necessário, simplifique as expressões em cada lado da equação, incluindo a combinação de termos semelhantes.
  2. Obtenha todos os termos variáveis ​​de um lado e todos os números do outro lado usando a propriedade de adição de igualdade. ( ( a x + b = c text {ou} c = a x + b ))
  3. Isole o termo variável usando a operação inversa ou inversa aditiva (oposta) usando a propriedade de adição de igualdade.
  4. Isole a variável usando a operação inversa ou multiplicativa inversa (recíproca) usando a propriedade de multiplicação de igualdade para escrever a variável com um coeficiente de 1.
  5. Verifique sua solução substituindo o valor da variável na equação original.

Os exemplos abaixo ilustram essa sequência de etapas.

Exemplo

Resolva para ( y ).

( -20 y + 15 = 2-16 y + 11 )

Solução

( begin {array} {l}
-20 y + 15 = 2-16 y + 11
-20 y + 15 = -16 y + 13
end {array} )
Etapa 1. No lado direito, combine os termos semelhantes: ( 2 + 11 = 13 ).
( begin {array} {rr}
-20 y + 15 = & -16 y + 13
+20 a & +20 y
hline 15 = & 4 y + 13
-13 & -13 \
hline 2 = & 4 y
frac {2} {4} = & frac {4 y} {4}
frac {1} {2} = & y
end {array} )

Etapa 2. Adicione ( 20y ) a ambos os lados para remover o termo variável do lado esquerdo da equação.

Etapa 3. Subtraia 13 de ambos os lados.

Etapa 4. Divida ( 4y ) por 4 para resolver para ( y ).

Verificar ( begin {alinhado}
-20 a + 15 & = 2-16 a + 11
-20 left ( frac {1} {2} right) +15 & = 2-16 left ( frac {1} {2} right) +11
-10+15 &=2-8+11 \
5 &=5
end {alinhado} )
Etapa 5. Para verificar sua resposta, substitua ( frac {1} {2} ) por ( y ) na equação original. A afirmação ( 5 = 5 ) é verdadeira, então ( y = frac {1} {2} ) é a solução.

( y = frac {1} {2} )

Exemplo Avançado

Resolva ( 3 y + 10,5 = 6,5 + 2,5 y ). Verifique sua solução.

Solução

( 3 y + 10,5 = 6,5 + 2,5 y )Esta equação tem ( y ) termos à esquerda e à direita. Para resolver uma equação como esta, você deve primeiro obter as variáveis ​​do mesmo lado do sinal de igual.
( begin {array} {r}
3 y + 10,5 = & 6,5 + 2,5 y
-2,5 a & -2,5 a
hline 0,5 y + 10,5 = & 6,5
end {array} )
Adicione ( -2,5 y ) a ambos os lados para que a variável permaneça em apenas um lado.
( begin {array} {rrr}
0,5 y + 10,5 = & 6,5
-10.5 & -10.5 \
hline 0,5 y = & -4
end {array} )
Agora isole a variável subtraindo 10,5 de ambos os lados.
( begin {alinhado}
10 (0,5 y) & = 10 (-4)
5 anos & = - 40
frac {5 y} {5} & = frac {-40} {5}
y & = - 8
end {alinhado} )
Multiplique ambos os lados por 10 para que ( 0,5y ) se torne ( 5y ) e, em seguida, divida por 5.
Verificar ( begin {alinhado}
3 y + 10,5 & = 6,5 + 2,5 y
3(-8)+10.5 &=6.5+(-20) \
-24+10.5 &=6.5+(-20) \
-13.5 &=-13.5
end {alinhado} )
Verifique sua solução substituindo -8 por ( y ) na equação original.

Esta é uma afirmação verdadeira, então a solução está correta.

( y = -8 )

Questão Avançada

Identifique a etapa que irá não levar a uma solução correta para o problema.

( 3 a- frac {11} {2} = - frac {3 a} {2} + frac {25} {2} )

  1. Multiplique ambos os lados da equação por 2.
  2. Adicione ( frac {11} {2} ) a ambos os lados da equação.
  3. Adicione ( frac {3 a} {2} ) ao lado esquerdo e adicione ( -3 a ) ao lado direito.
  4. Reescreva ( 3 a ) como ( frac {6 a} {2} ).
Responder
  1. Multiplique ambos os lados da equação por 2.

    Incorreta. Multiplicar ambos os lados por 2 mantém ambos os lados iguais; a nova equação será ( 6 a-11 = -3 a + 25 ). Isso levará à solução correta. O passo que não levará a uma solução correta é: Adicionar ( frac {3 a} {2} ) ao lado esquerdo e adicionar ( -3 a ) ao lado direito.

  2. Adicione ( frac {11} {2} ) a ambos os lados da equação.

    Incorreta. Adicionar ( frac {11} {2} ) a ambos os lados da equação manterá ambos os lados iguais; a nova equação será ( 3 a = - frac {3 a} {2} + frac {36} {2} ). Isso levará à solução correta. A etapa que não levará a uma solução correta é: Adicione ( frac {3 a} {2} ) ao lado esquerdo e adicione ( -3 a ) ao lado direito.

  3. Adicione ( frac {3 a} {2} ) ao lado esquerdo e adicione ( -3 a ) ao lado direito.

    Correto. Adicionar valores desiguais à esquerda e à direita desequilibrará a equação e você não será mais capaz de resolver com precisão para ( a ).

  4. Reescreva ( 3 a ) como ( frac {6 a} {2} ).

    Incorreta. Reescrever ( 3 a ) como ( frac {6 a} {2} ) não altera o valor da fração de forma alguma, então isso manterá os dois lados iguais. A etapa que não levará a uma solução correta é: Adicione ( frac {3 a} {2} ) ao lado esquerdo e adicione ( -3 a ) ao lado direito.

Equações de várias etapas mais complexas podem envolver símbolos adicionais, como parênteses. As etapas acima ainda podem ser usadas. Se houver parênteses, você usará a propriedade distributiva da multiplicação como parte da Etapa 1 para simplificar a expressão. Então você resolve como antes.

A propriedade distributiva da multiplicação

Para todos os números reais ( a ), ( b ) e ( c ), ( a (b + c) = a b + a c ).

O que isso significa é que quando um número multiplica uma expressão entre parênteses, você pode distribuir a multiplicação para cada termo da expressão individualmente. Então, você pode seguir as etapas de rotina descritas acima para isole a variável para resolver a equação.

Exemplo

Resolva para ( a ).

( 4 (2 a + 3) = - 3 (a-1) +31 )

Solução

( begin {alinhado}
4 (2 a + 3) & = - 3 (a-1) +31
8 a + 12 & = - 3 a + 3 + 31
end {alinhado} )
Aplique a propriedade distributiva para expandir ( 4 (2 a + 3) ) para ( 8 a + 12 ) e ( -3 (a-1) ) para ( -3 a + 3 ).
( begin {array} {r}
8 a + 12 = & - 3 a + 34
+ 3a & + 3 a
hline 11 a + 12 = & + 34
-12 &-12 \
hline frac {11 a} {11} = & frac {22} {11}
a = & 2
end {array} )

Combine termos semelhantes.

Adicione ( 3a ) a ambos os lados para mover os termos variáveis ​​para um lado.

Subtraia 12 para isolar o termo variável.

Divida os dois termos por 11 para obter um coeficiente de 1.

( a = 2 )

Exemplo

Em qual das seguintes equações a propriedade distributiva é adequadamente aplicada à equação ( 2 (y + 3) = 7 )?

  1. ( y + 6 = 7 )
  2. ( 2 y + 6 = 14 )
  3. ( 2 y + 6 = 7 )
  4. ( 2 y + 3 = 7 )

Solução

  1. ( y + 6 = 7 )

    Incorreta. Todos os termos entre parênteses devem ser multiplicados pelo valor externo. A resposta correta é ( 2 y + 6 = 7 ).

  2. ( 2 y + 6 = 14 )

    Incorreta. Ao aplicar a propriedade distributiva, a multiplicação é espalhada apenas para os termos entre parênteses, não para as outras partes da equação. A resposta correta é ( 2 y + 6 = 7 ).

  3. ( 2 y + 6 = 7 )

    Correto. Uma vez que a propriedade distributiva nos permite distribuir a multiplicação de uma expressão inteira para cada um dos termos da expressão separadamente, ( 2 y + 6 = 7 ) está correto.

  4. ( 2 y + 3 = 7 )

    Incorreta. A resposta correta é ( 2 y + 6 = 7 ).

Se preferir não trabalhar com frações, você pode usar a propriedade de multiplicação de igualdade para multiplicar ambos os lados da equação por um denominador comum de todas as frações na equação. Veja o exemplo abaixo.

Exemplo

Resolva ( frac {1} {2} x-3 = 2- frac {3} {4} x ) limpando as frações na equação primeiro.

Solução

( begin {alinhado}
frac {1} {2} x-3 & = 2- frac {3} {4} x
4 left ( frac {1} {2} x-3 right) & = 4 left (2- frac {3} {4} x right)
4 left ( frac {1} {2} x right) -4 (3) & = 4 (2) -4 left ( frac {3} {4} x right)
frac {4} {2} x-12 & = 8- frac {12} {4} x
end {alinhado} )
Multiplique ambos os lados da equação por 4, o denominador comum dos coeficientes fracionários.

Use a propriedade distributiva para expandir as expressões em ambos os lados. Multiplicar.

( begin {array} {r}
2 x-12 = & 8-3 x
+3 x & +3 x
hline 5 x-12 = & 8
+12 & +12 \
hline frac {5 x} {5} = & frac {20} {5}
x = & 4
end {array} )
Adicione ( 3x ) a ambos os lados para mover os termos variáveis ​​para apenas um lado.

Adicione 12 a ambos os lados para mover o constante termos para o outro lado.

Divida para isolar a variável.

( x = 4 )

Claro, se você gosta de trabalhar com frações, basta aplicar seu conhecimento de operações com frações e resolver.

Exemplo

Resolva ( frac {1} {2} x-3 = 2- frac {3} {4} x ).

Solução

( begin {array} {rr}
frac {1} {2} x-3 = & 2- frac {3} {4} x
+ frac {3} {4} x = & + frac {3} {4} x
hline frac {5} {4} x-3 = & 2
+3 & +3 \
hline frac {5} {4} x = & 5
end {array} )

Adicione ( frac {3} {4} x ) a ambos os lados para obter os termos variáveis ​​de um lado.

( frac {1} {2} + frac {3} {4} = frac {2} {4} + frac {3} {4} = frac {5} {4} - frac {3} {4} + frac {3} {4} = 0 )

Adicione 3 a ambos os lados para obter os termos constantes do outro lado.

( begin {alinhado}
frac {4} {5} cdot frac {5} {4} x & = frac {4} {5} cdot 5
x & = frac {20} {5}
x & = 4
end {alinhado} )
Para obter um coeficiente de 1, multiplique o termo variável por seu inverso multiplicativo.

( x = 4 )

Exemplo Avançado

Resolva ( frac {1} {2} (2 + a) = frac {3 a + 4} {3 ^ {2}} ). Verifique sua solução.

Solução

( frac {1} {2} (2 + a) = frac {3 a + 4} {3 ^ {2}} )Resolver essa equação exigirá várias etapas. Comece avaliando ( 3 ^ {2} = 9 ).
( begin {alinhado}
frac {1} {2} cdot 2+ frac {1} {2} cdot a & = frac {3 a + 4} {9}
1+ frac {1} {2} a & = frac {3 a + 4} {9}
1+ frac {a} {2} & = frac {3 a + 4} {9}
end {alinhado} )
Agora distribua o ( frac {1} {2} ) no lado esquerdo da equação.
( begin {alinhado}
18 left (1+ frac {a} {2} right) & = 18 left ( frac {3 a + 4} {9} right)
18 cdot 1 + 18 cdot frac {a} {2} & = frac {18 (3 a + 4)} {9}
18+ frac {18 a} {2} & = frac {18 (3 a + 4)} {9}
18+ frac {18 a} {2} & = frac {9 cdot 2 (3 a + 4)} {9}
18 + 9 a cdot frac {2} {2} & = 2 (3 a + 4) cdot frac {9} {9}
18 + 9 a & = 2 (3 a + 4)
18 + 9 a & = 2 cdot 3 a + 2 cdot 4
18 + 9 a & = 6 a + 8
end {alinhado} )

Multiplique ambos os lados da equação por 18, o denominador comum das frações no problema.

Use a propriedade distributiva para expandir a expressão no lado esquerdo.

Em seguida, remova um fator de 1 de ambos os lados. À esquerda, você pode pensar em ( frac {18 a} {2} ) como ( frac {2} {2} ). À direita, você pode pensar em ( frac {18 (3 a + 4)} {9} ) como ( frac {9} {9} cdot frac {2 (3 a + 4 )} {1} ).

Continue resolvendo para ( a ) usando a propriedade distributiva.

( begin {array} {rr}
18 + 9 a = & 6 a + 8
-6 a & -6 a
hline 18 + 3 a = & 8
-18 & -18 \
hline 3 a = & -10
frac {3 a} {3} = & frac {-10} {3}
a = & - frac {10} {3}
end {array} )
Em seguida, isole a variável e resolva o problema de uma etapa restante.
Verificar ( begin {alinhado}
frac {1} {2} left [2+ left (- frac {10} {3} right) right] & = frac {3 left (- frac {10} {3} direita) +4} {3 ^ {2}}
frac {1} {2} left [2+ left (- frac {10} {3} right) right] & = frac {-10 + 4} {9}
frac {1} {2} left [ frac {6} {3} + left (- frac {10} {3} right) right] & = frac {-10 + 4} {9 }
frac {1} {2} left (- frac {4} {3} right) & = frac {-10 + 4} {9}
frac {-4} {6} & = frac {-10 + 4} {9}
frac {-4} {6} & = frac {-6} {9}
- frac {2} {3} cdot frac {2} {2} & = - frac {2} {3} cdot frac {3} {3}
- frac {2} {3} & = - frac {2} {3}
end {alinhado} )

Verifique sua solução substituindo ( - frac {10} {3} ) por ( a ) na equação original.

Esta é uma afirmação verdadeira, então a solução está correta.

( a = - frac {10} {3} )

Exercício

Para limpar as frações de ( frac {1} {3} - frac {2 y} {9} = 19 ), podemos multiplicar ambos os lados da equação por qual dos seguintes números?

( begin {array} {llll}
3 & 6 & 9 & 27
end {array} )

  1. 9
  2. 9 e 27
  3. 6
  4. 3 ou 9
Responder
  1. 9

    Incorreta. Enquanto 9 é um denominador comum de ( frac {1} {3} ) e ( frac {2} {9} ), então é 27. Qualquer denominador funcionará, não apenas o menos um. A resposta correta é 9 e 27.

  2. 9 e 27

    Correto. Ambos 9 e 27 são denominadores comuns de ( frac {1} {3} ) e ( frac {2} {9} ).

  3. 6

    Incorreta. Você apaga as frações multiplicando-as por um denominador comum. 6 não é um denominador comum de ( frac {1} {3} ) e ( frac {2} {9} ). A resposta correta é 9 e 27.

  4. 3 ou 9

    Incorreta. Embora 9 seja um denominador comum de ( frac {1} {3} ) e ( frac {2} {9} ), 3 não é. A resposta correta é 9 e 27.

Independentemente do método usado para resolver equações contendo variáveis, você obterá a mesma resposta. Você pode escolher o método que achar mais fácil! Lembre-se de verificar sua resposta substituindo sua solução na equação original.

Assim como você pode limpar frações de uma equação, você pode limpar decimais da equação da mesma maneira. Encontre um denominador comum e use a propriedade de multiplicação de igualdade para multiplicar ambos os lados da equação.

Exemplo

Resolva ( 0,4 x-0,25 = 1,75 ) limpando os decimais primeiro.

Solução

( begin {array} {r}
0,4 x-0,25 = 1,75
100 (0,4 x-0,25) = 100 (1,75)
end {array} )

( 0.4 left ( frac {4} {10} right) ) e ( 0.25 left ( frac {25} {100} right) ) e ( 1.75 left ( frac {175} {100} right) ) tem um denominador comum de 100.

Multiplique ambos os lados por 100.

( begin {array} {r}
40 x-25 = & 175
+25 & +25 \
hline frac {40 x} {40} = & frac {200} {40}
x = & 5
end {array} )

Aplique a propriedade distributiva para limpar os parênteses.

Resolva como antes. Adicione 25 a ambos os lados.

Divida os dois lados por 40.

Verificar: ( begin {array} {r}
0,4 x-0,25 = 1,75
0.4(5)-0.25=1.75 \
2-1.25=1.75 \
1.75=1.75
end {array} )

Substitua ( x = 5 ) na equação original.

Avalie.

A solução verifica.

( x = 5 )

Questão Avançada

Resolva para ( a ): ( frac {1} {4} (a + 3) = 2-a )

  1. ( a = 2 )
  2. ( a = 1 )
  3. ( a = 0 )
  4. ( a = -2 )
Responder
  1. ( a = 2 )

    Incorreta. Tente multiplicar ambos os lados da equação por 4, como ( 4 cdot frac {1} {4} = 1 ). A nova equação será ( 4 left [ frac {1} {4} (a + 3) right] = 4 (2-a) ), que se reduz a ( a + 3 = 8- 4 a ). A resposta correta é: ( a = 1 ).

  2. ( a = 1 )

    Correto. Você pode resolver esta equação multiplicando ambos os lados por 4, uma vez que ( 4 cdot frac {1} {4} = 1 ). A equação resultante, ( a + 3 = 4 (2-a) ) pode ser reescrita como ( a + 3 = 8-4 a ) e, em seguida, ( 5 a = 5 ). Você acha que ( a = 1 ).

  3. ( a = 0 )

    Incorreta. Substituindo ( a = 0 ) na equação, você encontra ( frac {1} {4} (0 + 3) = 2-0 ), então ( frac {3} {4} = 2 ). Isso não é exato. A resposta correta é: ( a = 1 ).

  4. ( a = -2 )

    Incorreta. Tente multiplicar ambos os lados da equação por 4, como ( 4 cdot frac {1} {4} = 1 ). A nova equação será ( 4 left [ frac {1} {4} (a + 3) right] = 4 (2-a) ), que se reduz a ( a + 3 = 8- 4 a ). A resposta correta é: ( a = 1 ).

Equações complexas de várias etapas geralmente requerem soluções de várias etapas. Antes de começar a isolar uma variável, pode ser necessário simplificar a equação primeiro. Isso pode significar usar a propriedade distributiva para remover parênteses ou multiplicar ambos os lados de uma equação por um denominador comum para se livrar das frações. Às vezes, requer ambas as técnicas.


Matemática da montanha

A unidade 3 de Álgebra 1 trata da solução de equações e suas aplicações. Começamos com equações de várias etapas, porque as equações de 1 e 2 etapas foram abordadas em Unidade 1: Fundamentos da Álgebra.

Dia 1: Equações de várias etapas

Além das notas que entraram em nossos livros de redação, cada aluno recebeu um fluxograma em tamanho real sobre a resolução de equações de uma variável. Fizemos um exemplo como classe e também mantenho um conjunto de classes laminado para que os alunos possam usá-los com marcadores de apagar a seco sempre que quiserem. Os alunos consultaram suas anotações e os fluxogramas laminados enquanto trabalhavam na lição de casa em sala de aula.

Dia 2: Resolvendo Equações Multi-Passos com Soluções de Casos Especiais
Para começar a lição, fizemos um aquecimento de recapitulação sobre a lição do dia anterior & # 8217s.

Em seguida, entramos em um dobrável que cobre o que são soluções especiais e quando elas surgem.

Para obter ainda mais prática, os alunos fizeram o seguinte Tipos de soluções de classificação, que enfatizou os erros e equívocos comuns dos alunos que eu observei no passado.

Dia 3: Escrevendo Equações para Resolver Equações Multi-Passos
Começamos a lição com um aquecimento de recapitulação que continha tipos de soluções especiais.

A partir daí, passamos para o nosso conjunto principal de notas do dia, com ênfase na marcação do texto (NOTA: este é o mesmo código de cores que usamos em Unidade 1).

Dia 4: Equações de valor absoluto
Como de costume, começamos a lição com um aquecimento recapitulativo das informações do dia anterior e # 8217s.

Começamos o tópico de equações de valor absoluto pensando realmente sobre o que um valor absoluto significa / faz.

A partir daí, usamos as informações que reunimos para resolver equações de valor absoluto com um pouco mais de eficiência (sem usar o método de ponto de interrogação de encobrimento modificado). Os alunos tiveram os problemas de números pares como lição de casa naquela noite.

Além das notas que foram para os livros de redação, os alunos receberam um fluxograma para resolver equações de valor absoluto para fazer referência sempre que eles travaram. Aqui está um exemplo de como eles poderiam usá-lo! Assim como os outros, mantenho um conjunto de classe desses laminados para que os alunos possam usá-los com marcadores de apagamento a seco sempre que travarem. Gosto de codificar com cores cada tipo de fluxograma para facilitar a obtenção do exato que eles precisam dessa unidade.

Dia 5: Problemas com palavras de equações de valor absoluto
Para começar a aula, começamos trabalhando de trás para frente: escrevendo a equação do valor absoluto que poderia ter produzido as soluções fornecidas.

A partir daí, passamos a problemas de história envolvendo equações de valor absoluto.

Dia 6: Razões e proporções
Começamos o dia com um aquecimento de recapitulação cobrindo os últimos dois dias de informações (todas relacionadas à equação de valor absoluto).

A primeira coisa sobre a qual falamos é o que é uma proporção e o que significa ser proporcional.

Em seguida, usamos a definição de proporcional para resolver equações que requerem multiplicação cruzada.

Após esses exemplos, os alunos preencheram o outro lado do fluxograma que eles foram dados no Dia 1 com um exemplo mais difícil de resolver para uma variável em uma proporção.

Dia 7: Porcentagem de Mudança
Porcentagem de mudança é um tópico engraçado para cobrir em Oregon & # 8230a maioria de nossos exemplos de livros & # 8217s são sobre impostos sobre vendas e não temos nenhum. Se formos para Washington, simplesmente mostraremos nossa identidade do Oregon e pronto, bingo, bango, sem mais impostos sobre vendas (pelas pequenas coisas). De qualquer forma, encontramos outros exemplos para tentar torná-lo mais significativo.

Depois de tomar notas, fizemos isso Porcentagem de caça ao tesouro de mudanças. Os alunos trabalharam muito e se divertiram muito. Para alguns deles, era difícil lembrar de colocar um sinal negativo em seu valor de r quando era uma redução percentual!

Dia 8: Equações Literais, Parte 1
Recapitulamos a porcentagem dos problemas de mudança e, em seguida, passamos para a solução de problemas básicos de equações literais.

Discutimos o que é uma equação literal, comparamos e contrastamos a diferença entre equações literais e equações regulares e também apresentamos o método de fluxograma de solução.

Dia 9: Equações Literais, Dia 2
Passamos para equações literais mais complicadas que requerem mais de uma etapa para serem resolvidas. Depois de fazer alguns, os alunos são capazes de escolher com qual método desejam resolver (I & # 8217m parcial para o método algébrico, mas alguns alunos amam a forma do fluxograma).

Depois das notas, tocamos meu favorito Conecte 4 jogos para resolver equações literais. Jogamos apenas até a vitória de 6 pessoas, o que nos permitiu superar cerca de 70% dos problemas. A partir daí, os alunos passaram o resto da aula trabalhando em uma festa Atividade de colorir abóboras para resolver equações literais. Esta atividade foi incrível porque os alunos estavam super engajados na coloração (cada um deles & # 8211 até os meninos! PS: Eu tenho 22 meninos nesta classe & # 8230ay, yai, yai), e foi muito fácil para mim encontrar tendências comuns que eu talvez precise corrigir (os olhos para a Abóbora nº 2 foram o erro mais comum). Além disso, para os alunos, esta atividade é bastante autoverificadora, o que é um grande aumento de confiança para muitos deles.

Aqui está um exemplo que um aluno coloriu! Ela até nomeou as abóboras.

Dia 10: Dia de Atividade de Revisão de Estações
Fizemos um aquecimento de recapitulação sobre a resolução de equações literais e, em seguida, passamos o resto da aula fazendo uma atividade de estações com minha unidade de resolução de equações cartões de tarefas.

Dia 11: Dia da Revisão
Dia 12: TESTE!


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Conteúdo

Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias aproximam soluções para problemas de valor inicial da forma

Considere, por exemplo, o problema

y ′ = f (t, y) = y, y (0) = 1.

A solução exata é y (t) = e t < displaystyle y (t) = e ^> .

Edição de Euler de uma etapa

Um método numérico simples é o método de Euler:

O método de Euler pode ser visto como um método de várias etapas explícito para o caso degenerado de uma etapa.

Edição de Adams-Bashforth em duas etapas

O método de Euler é um método de uma etapa. Um método simples de várias etapas é o método de Adams-Bashforth de duas etapas

Três famílias de métodos lineares de várias etapas são comumente usados: métodos de Adams-Bashforth, métodos de Adams-Moulton e fórmulas de diferenciação reversa (BDFs).

Métodos Adams-Bashforth Editar

Os métodos Adams-Bashforth com s = 1, 2, 3, 4, 5 são (Hairer, Nørsett & amp Wanner 1993, §III.1 Butcher 2003, p. 103):

A fórmula de Lagrange para rendimentos de interpolação polinomial

O método Adams-Bashforth surge quando a fórmula para p é substituído. Os coeficientes b j < displaystyle b_> acabou sendo dado por

Os métodos de Adams-Bashforth foram projetados por John Couch Adams para resolver uma equação diferencial modelando a ação capilar de Francis Bashforth. Bashforth (1883) publicou sua teoria e o método numérico de Adams (Goldstine 1977).

Métodos Adams-Moulton Editar

A derivação dos métodos de Adams-Moulton é semelhante à do método de Adams-Bashforth, no entanto, o polinômio de interpolação não usa apenas os pontos t n - 1,…, t n - s < displaystyle t_, pontos, t_>, como acima, mas também t n < displaystyle t_>. Os coeficientes são dados por

Os métodos de Adams-Moulton são devidos exclusivamente a John Couch Adams, como os métodos de Adams-Bashforth. O nome de Forest Ray Moulton foi associado a esses métodos porque ele percebeu que eles poderiam ser usados ​​em conjunto com os métodos de Adams-Bashforth como um par preditor-corretor (Moulton 1926). Milne (1926) teve a mesma ideia. Adams usou o método de Newton para resolver a equação implícita (Hairer, Nørsett & amp Wanner 1993, §III.1).

Fórmulas de diferenciação reversa (BDF) Editar

Os conceitos centrais na análise de métodos lineares de várias etapas, e de fato qualquer método numérico para equações diferenciais, são convergência, ordem e estabilidade.

Edição de consistência e ordem

A primeira questão é se o método é consistente: é a equação da diferença

uma boa aproximação da equação diferencial y ′ = f (t, y) < displaystyle y '= f (t, y)>? Mais precisamente, um método de várias etapas é consistente se o erro de truncamento local chegar a zero mais rápido do que o tamanho do passo h Como h vai para zero, onde o erro de truncamento local é definido como a diferença entre o resultado y n + s < displaystyle y_> do método, assumindo que todos os valores anteriores y n + s - 1,…, y n < displaystyle y_, ldots, y_> são exatas, e a solução exata da equação no tempo t n + s < displaystyle t_>. Um cálculo usando a série de Taylor mostra que um método multipasso linear é consistente se e somente se

Todos os métodos mencionados acima são consistentes (Hairer, Nørsett & amp Wanner 1993, §III.2).

Se o método for consistente, a próxima questão é quão bem a equação de diferença que define o método numérico se aproxima da equação diferencial. Diz-se que um método de várias etapas tem pedido p se o erro local for da ordem O (h p + 1) < displaystyle O (h ^)> como h vai para zero. Isso é equivalente à seguinte condição sobre os coeficientes dos métodos:

O s-etapa Método Adams – Bashforth tem ordem s, enquanto o s-step Adams-Moulton método tem ordem s + 1 < displaystyle s + 1> (Hairer, Nørsett & amp Wanner 1993, §III.2).

Essas condições são frequentemente formuladas usando o polinômios característicos

Em termos desses polinômios, a condição acima para que o método tenha ordem p torna-se

ρ (e h) - h σ (e h) = O (h p + 1) como h → 0. < displaystyle rho ( mathrm ^) -h sigma ( mathrm ^) = O (h ^) quad < text> h para 0.>

Em particular, o método é consistente se tiver ordem pelo menos um, que é o caso se ρ (1) = 0 < displaystyle rho (1) = 0> e ρ ′ (1) = σ (1) < displaystyle rho '(1) = sigma (1)>.

Estabilidade e convergência Editar

Se todas as raízes do polinômio característico ρ têm módulo menor ou igual a 1 e as raízes do módulo 1 são de multiplicidade 1, dizemos que o condição de raiz é satisfeito. Um método linear de várias etapas é estável em zero se e somente se a condição raiz for satisfeita (Süli & amp Mayers 2003, p. 335).

Agora, suponha que um método de várias etapas linear consistente seja aplicado a uma equação diferencial suficientemente suave e que os valores iniciais y 1,…, y s - 1 < displaystyle y_ <1>, ldots, y_> todos convergem para o valor inicial y 0 < displaystyle y_ <0>> como h → 0 < displaystyle h to 0>. Então, a solução numérica converge para a solução exata como h → 0 < displaystyle h to 0> se e somente se o método for estável em zero. Este resultado é conhecido como Teorema de equivalência de Dahlquist, nomeado após Germund Dahlquist, este teorema é semelhante em espírito ao teorema da equivalência de Lax para métodos de diferenças finitas. Além disso, se o método tiver ordem p, então o erro global (a diferença entre a solução numérica e a solução exata em um tempo fixo) é O (h p) < displaystyle O (h ^

)> (Süli & amp Mayers 2003, p. 340).

Para avaliar o desempenho de métodos lineares de várias etapas em equações rígidas, considere a equação de teste linear y ' = λy. Um método multipasso aplicado a esta equação diferencial com o tamanho do passo h produz uma relação de recorrência linear com polinômio característico

Este polinômio é chamado de polinômio de estabilidade do método multipasso. Se todas as suas raízes tiverem módulo menor que um, então a solução numérica do método multipasso irá convergir para zero e o método multipasso será considerado absolutamente estável para aquele valor de hλ. O método é dito ser A-estável se for absolutamente estável para todos hλ com parte real negativa. O região de estabilidade absoluta é o conjunto de todos hλ para o qual o método de várias etapas é absolutamente estável (Süli & amp Mayers 2003, pp. 347 e amp 348). Para obter mais detalhes, consulte a seção sobre equações rígidas e métodos de várias etapas.

Edição de exemplo

Considere o método de três etapas de Adams-Bashforth

Um polinômio característico é, portanto,

O outro polinômio característico é

Esses dois resultados foram provados por Germund Dahlquist e representam um limite importante para a ordem de convergência e para a estabilidade A de um método linear de várias etapas. A primeira barreira de Dahlquist foi comprovada em Dahlquist (1956) e a segunda em Dahlquist (1963).

Edição da primeira barreira Dahlquist

A primeira barreira Dahlquist afirma que um zero-estável e linear q-step multipasso método não pode atingir uma ordem de convergência maior do que q + 1 se q é estranho e maior que q + 2 se q é mesmo. Se o método também for explícito, ele não pode atingir uma ordem maior que q (Hairer, Nørsett & amp Wanner 1993, Thm III.3.5).

Edição da segunda barreira Dahlquist

A segunda barreira Dahlquist afirma que nenhum método multipasso linear explícito é A-estável.


# 1 Posso usar a propriedade distributiva para expandir expressões

A primeira coisa que revisamos ao começar a resolver equações de várias etapas é a propriedade distributiva. A propriedade distributiva desafia os alunos porque eles precisam se lembrar dela com o tempo. Eles parecem entender isso isoladamente, mas quando se trata de resolver equações, parece que os zumbis comeram seus cérebros e toda a prática desapareceu. Que grande oportunidade de mostrar às crianças que algumas coisas que aprendemos antes aparecem em outros lugares. We do a lot of practice with the distributive property and even some number talks about them.

Of course, when negative numbers and variables are thrown into the mix some students struggle. We have references for the rules and patterns with distributive property in our interactive notebook. Students use these references until they don’t need them anymore.

We practice with distributive property throughout the year. We use a lot of whiteboards, Quizizz games, and mazes as practice. I like to make sure that it is fun. When students forget parts of the process, we do quick mini reviews. Once we’ve reviewed expanding expressions with the distributive property, we’re ready for the next step.


Multi-step Equations: Part 3 Variables on Both Sides

Subject Area(s): Mathematics, Mathematics (B.E.S.T. -.

Primary Resource Type: Original Tutorial

Learn alternative methods of solving multi-step equations in this interactive tutorial. This is part five of five in a series on solving multi-step

Subject Area(s): Mathematics, Mathematics (B.E.S.T. -.

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Explore how to solve multi-step equations using the distributive property in this interactive tutorial. This is part two of five in a series on

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Learn how to solve multi-step equations that contain like terms in this interactive tutorial. This is part one of five in a series on

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  • MAFS.8.EE.3.7: Solve linear equations in one variable.
    1. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers).
    2. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

Fluency Expectations or Examples of Culminating Standards

Students have been working informally with one-variable linear equations since as early as kindergarten. This important line of development culminates in grade 8 with the solution of general one-variable linear equations, including cases with infinitely many solutions or no solutions as well as cases requiring algebraic manipulation using properties of operations. Coefficients and constants in these equations may be any rational numbers.

Examples of Opportunities for In-Depth Focus

This is a culminating standard for solving one-variable linear equations.

Learn how to solve multi-step equations that contain variables on both sides of the equation in this interactive tutorial.


Step by step guide to solve multi-step equations

  • Combine “like” terms on one side.
  • Bring variables to one side by adding or subtracting.
  • Simplify using the inverse of addition or subtraction.
  • Simplify further by using the inverse of multiplication or division.

Multi–Step Equations – Example 1:

Solve this equation. (-(8 – x)=6)

First use Distributive Property: (−(8 − x)= − 8 + x)
Now solve by adding 8 to both sides of the equation. (−8 + x=6 →−8 + x +8=6 + 8 )
Now simplify: (→x=14)

Multi–Step Equations – Example 2:

Solve this equation. (2x + 5=15 – x)

First bring variables to one side by adding (x) to both sides.
(2x + 5=15 − x→3x + 5=15). Now, subtract (5) from both sides:
(3x + 5 − 5=15 − 5→3x=10)
Now, divide both sides by (3: 3x=10→3 x ÷ 3=frac<10><3>→x=frac<10><3>)

Multi–Step Equations – Example 3:

First use Distributive Property: ( -(2-x)=-2+x)
Now solve by adding (2) to both sides of the equation. (-2+x=5 →-2+x+2=5+2 )
Now simplify: (-2+x+2=5+2 →x=7)

Multi–Step Equations – Example 4:

Solve this equation. (4x+10=25-x)

First bring variables to one side by adding (x) to both sides.
( 4x+10+x=25-x+x→5x+10=25) . Now, subtract (10) from both sides:
(5x+10-10=25-10→5x=15 )
Now, divide both sides by (5: 5x=15 →5x÷5=frac<15><5>→x=3)


Removing Parentheses with the Distributive Property

Just as with simpler equations, solving multi-step equations usually means isolating a variable on one side of the equals sign. Step-by-step, we must get the variable out of parentheses, away from other terms, and with a coefficient of `1` . If a variable is inside parentheses, they can be cleared by applying the Distributive Property of Multiplication.

The Distributive Property states that for all real numbers `a` , `b` , and `c` , `a(b+c)=ab+ac` . What that means is that when a number multiplies an expression inside parentheses, we can distribute the multiplication to each term of the expression individually. Let&rsquos go back to the equation `6(1/4t+3/8)=2` . We can apply the distributive property and clear the parentheses by multiplying each term inside of them by `6` . The expression `6(1/4t+3/8)` then becomes `6/4t+18/8` . Now there are no parentheses.

In which of the following equations is the distributive property properly applied to the equation `x(y+3)=7` ?


Multi-Step Equations

To solve a multi-step equation, we would start by trying to simplify the equation by combining like terms and using the distributive property whenever possible.

Consider the equation 2( x + 1) &ndash x = 5. First, we will use the distributive property to remove the parenthesis and then we can combine like terms and the isolate the variable.

Look at the lesson on Solving Multi-Step Equations if you need help on how to solve multi-step equations.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

We hope that the free math worksheets have been helpful. We encourage parents and teachers to select the topics according to the needs of the child. For more difficult questions, the child may be encouraged to work out the problem on a piece of paper before entering the solution. We hope that the kids will also love the fun stuff and puzzles.

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Solving Multi-Step Equations (12-2)

Solving Multi-Step Equations

Like Terms - terms taht have the same value and the same corresponding exponents.