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15.5E: Exercícios para a Seção 15.5 - Matemática


Nos exercícios 1 - 8, avalie os integrais triplos ( displaystyle iiint_E f (x, y, z) , dV ) sobre o sólido (E ).

1. (f (x, y, z) = z, quad B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 9, quad x leq 0, quad y leq 0, quad 0 leq z leq 1 big } )

Responder:
( frac {9 pi} {8} )

2. (f (x, y, z) = xz ^ 2, espaço B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 16, espaço x geq 0, space y leq 0, space -1 leq z leq 1 big } )

3. (f (x, y, z) = xy, espaço B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 1, espaço x geq 0, space x geq y, space -1 leq z leq 1 big } )

Responder:
( frac {1} {8} )

4. (f (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2, espaço B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4, space x geq 0, space x leq y, space 0 leq z leq 3 big } )

5. (f (x, y, z) = e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, espaço B = big {(x, y, z) , | , 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4, espaço y leq 0, espaço x leq y sqrt {3}, espaço 2 leq z leq 3 big } )

Responder:
( frac { pi e ^ 2} {6} )

6. (f (x, y, z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, espaço B = big {(x, y, z) , | , 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9, space y leq 0, space 0 leq z leq 1 big } )

7. a. Seja (B ) uma casca cilíndrica com raio interno (a ) raio externo (b ) e altura (c ) onde (0 0 ) Suponha que uma função (F ) definida em (B ) pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como (F (x, y, z) = f (r) + h (z) ), onde (f ) e (h ) são funções diferenciáveis. If ( displaystyle int_a ^ b bar {f} (r) , dr = 0 ) e ( bar {h} (0) = 0 ), onde ( bar {f} ) e ( bar {h} ) são antiderivadas de (f ) e (h ), respectivamente, mostram que ( displaystyle iiint_B F (x, y, z) , dV = 2 pi c (b bar {f} (b) - a bar {f} (a)) + pi (b ^ 2 - a ^ 2) bar {h} (c). )

b. Use o resultado anterior para mostrar que ( displaystyle iiint_B left (z + sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} right) , dx space dy space dz = 6 pi ^ 2 ( pi - 2), ) onde (B ) é uma casca cilíndrica com raio interno ( pi ) raio externo (2 pi ) e altura (2 ).

8. Seja (B ) uma casca cilíndrica com raio interno (a ) raio externo (b ) e altura (c ) onde (0 0 ). Suponha que uma função (F ) definida em (B ) pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como (F (x, y, z) = f (r) g ( theta) f (z) ), onde (f, space g, ) e (h ) são funções diferenciáveis. Se ( displaystyle int_a ^ b tilde {f} (r) , dr = 0, ) onde ( tilde {f} ) é uma antiderivada de (f ), mostre que ( displaystyle iiint_B F (x, y, z) , dV = [b tilde {f} (b) - a tilde {f} (a)] [ tilde {g} (2 pi) - til {g} (0)] [ tilde {h} (c) - tilde {h} (0)], ) onde ( tilde {g} ) e ( tilde {h} ) são antiderivadas de (g ) e (h ), respectivamente.

b. Use o resultado anterior para mostrar que ( displaystyle iiint_B z sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dx space dy space dz = - 12 pi ^ 2, ) onde (B ) é uma casca cilíndrica com raio interno ( pi ) raio externo (2 pi ) e altura (2 ).

Nos exercícios 9 - 12, os limites do sólido (E ) são dados em coordenadas cilíndricas.

uma. Expresse a região (E ) em coordenadas cilíndricas.

b. Converta o integral ( displaystyle iiint_E f (x, y, z) , dV ) em coordenadas cilíndricas.

9. (E ) é limitado pelo cilindro circular direito (r = 4 sin theta ), o plano (r theta ) e a esfera (r ^ 2 + z ^ 2 = 16 ).

Responder:

uma. (E = big {(r, theta, z) , | , 0 leq theta leq pi, espaço 0 leq r leq 4 sin theta, espaço 0 leq z leq sqrt {16 - r ^ 2} big } )

b. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {4 sin theta} int_0 ^ { sqrt {16-r ^ 2}} f (r, theta, z) r , dz espaço dr space d theta )

10. (E ) é limitado pelo cilindro circular direito (r = cos theta ), o plano (r theta ) e a esfera (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ).

11. (E ) está localizado no primeiro octante e é limitado pelo parabolóide circular (z = 9 - 3r ^ 2 ), o cilindro (r = sqrt {3} ) e o plano (r ( cos theta + sin theta) = 20 - z ).

Responder:

uma. (E = big {(r, theta, z) , | , 0 leq theta leq frac { pi} {2}, espaço 0 leq r leq sqrt {3 }, space 9 - r ^ 2 leq z leq 10 - r ( cos theta + sin theta) big } )

b. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { sqrt {3}} int_ {9-r ^ 2} ^ {10-r ( cos theta + sin theta)} f (r, theta, z) r space dz space dr space d theta )

12. (E ) está localizado no primeiro octante fora do parabolóide circular (z = 10 - 2r ^ 2 ) e dentro do cilindro (r = sqrt {5} ) e é limitado também pelos planos (z = 20 ) e ( theta = frac { pi} {4} ).

Nos exercícios 13 - 16, a função (f ) e a região (E ) são fornecidas.

uma. Expresse a região (E ) e a função (f ) em coordenadas cilíndricas.

b. Converta o integral ( displaystyle iiint_B f (x, y, z) , dV ) em coordenadas cilíndricas e avalie-o.

13. (f (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 ), (E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9, space x geq 0, space y geq 0, space 0 leq z leq x + 3 big } )

Responder:

uma. (E = big {(r, theta, z) , | , 0 leq r leq 3, espaço 0 leq theta leq frac { pi} {2}, espaço 0 leq z leq r espaço cos theta + 3 big }, )
(f (r, theta, z) = frac {1} {r espaço cos theta + 3} )

b. ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {r espaço cos theta + 3} frac {r} {r espaço cos theta + 3} , dz space d theta space dr = frac {9 pi} {4} )

14. (f (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2, espaço E = big {(x, y, z) | 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 , space y geq 0, space 0 leq z leq 3 - x big } )

15. (f (x, y, z) = x, espaço E = big {(x, y, z) , | , 1 leq y ^ 2 + z ^ 2 leq 9, espaço 0 leq x leq 1 - y ^ 2 - z ^ 2 big } )

Responder:

uma. (y = r espaço cos theta, espaço z = r espaço sin theta, espaço x = z, espaço E = grande {(r, theta, z) , | , 1 leq r leq 3, espaço 0 leq theta leq 2 pi, espaço 0 leq z leq 1 - r ^ 2 grande }, espaço f (r, theta, z ) = z );

b. ( displaystyle int_1 ^ 3 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ {1-r ^ 2} zr space dz space d theta space dr = frac {356 pi} {3} )

16. (f (x, y, z) = y, espaço E = big {(x, y, z) , | , 1 leq x ^ 2 + z ^ 2 leq 9, espaço 0 leq y leq 1 - x ^ 2 - z ^ 2 big } )

Nos exercícios 17 - 24, encontre o volume do sólido (E ) cujos limites são dados em coordenadas retangulares.

17. (E ) está acima do plano (xy ), dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e abaixo do plano (z = 1 ).

Responder:
( pi )

18. (E ) está abaixo do plano (z = 1 ) e dentro do parabolóide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).

19. (E ) é limitado pelo cone circular (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e (z = 1 ).

Responder:
( frac { pi} {3} )

20. (E ) está localizado acima do plano (xy ) -, abaixo de (z = 1 ), fora do hiperbolóide de uma folha (x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 = 1 ) e dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 2 ).

21. (E ) está localizado dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e entre os parabolóides circulares (z = 1 - x ^ 2 - y ^ 2 ) e (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).

Responder:
( pi )

22. (E ) está localizado dentro da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ), acima do plano (xy ) - e dentro do cone circular (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

23. (E ) está localizado fora do cone circular (x ^ 2 + y ^ 2 = (z - 1) ^ 2 ) e entre os planos (z = 0 ) e (z = 2 )

Responder:
( frac {4 pi} {3} )

24. (E ) está localizado fora do cone circular (z = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), acima do plano (xy ) -, abaixo do parabolóide circular, e entre os planos (z = 0 ) e (z = 2 ).

25. [T] Use um sistema de álgebra computacional (CAS) para representar graficamente o sólido cujo volume é dado pela integral iterada em coordenadas cilíndricas ( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 2} ^ rr , dz , dr , d theta. ) Encontre o volume (V ) do sólido. Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

Responder:

(V = frac {pi} {12} aprox. 0,2618 )

26. [T] Use um CAS para representar graficamente o sólido cujo volume é dado pela integral iterada em coordenadas cilíndricas ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 4} ^ rr , dz , dr , d theta. ) Encontre o volume (E ) do sólido. Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

27. Converta o integral ( displaystyle int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-y ^ 2}} int_ {x ^ 2 + y ^ 2} ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xz space dz space dx space dy ) em uma integral em coordenadas cilíndricas.

Responder:
( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi} int_ {r ^ 2} ^ r zr ^ 2 espaço cos theta , dz espaço d theta espaço dr )

28. Converta o integral ( displaystyle int_0 ^ 2 int_0 ^ y int_0 ^ 1 (xy + z) , dz space dx space dy ) em um integral em coordenadas cilíndricas.

Nos exercícios 29 - 32, avalie a integral tripla ( displaystyle iiint_B f (x, y, z) , dV ) sobre o sólido (B ).

29. (f (x, y, z) = 1, espaço B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 90, space z geq 0 big } )

[Ocultar solução]

Responder:
(180 pi sqrt {10} )

30. (f (x, y, z) = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}, espaço B = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 9, space y geq 0, space z geq 0 big } )

31. (f (x, y, z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, espaço B ) é delimitado acima pela meia-esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) com (z geq 0 ) e abaixo pelo cone (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

Responder:
( frac {81 pi ( pi - 2)} {16} )

32. (f (x, y, z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, espaço B ) é delimitado acima pela meia-esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) com (z geq 0 ) e abaixo pelo cone (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

33. Mostre que se (F ( rho, theta, varphi) = f ( rho) g ( theta) h ( varphi) ) é uma função contínua na caixa esférica (B = big {( rho, theta, varphi) , | , a leq rho leq b, space alpha leq theta leq beta, space gamma leq varphi leq psi big } ), então ( displaystyle iiint_B F space dV = left ( int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) space dr right) left ( int _ { alpha } ^ { beta} g ( theta) space d theta right) left ( int _ { gamma} ^ { psi} h ( varphi) space sin varphi space d varphi direito).)

34. Diz-se que uma função (F ) tem simetria esférica se depende apenas da distância à origem, ou seja, pode ser expressa em coordenadas esféricas como (F (x, y, z) = f ( rho) ), onde ( rho = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). Mostre que ( displaystyle iiint_B F (x, y, z) , dV = 2 pi int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) , d rho, ) onde (B ) é a região entre os hemisférios concêntricos superiores de raios (a ) e (b ) centrados na origem, com (0

Use o resultado anterior para mostrar que ( displaystyle iiint_B (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} dV = 21 pi, ) onde (B = big {(x, y, z) , | , 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2, space z geq 0 big } ) .

35. Seja (B ) a região entre os hemisférios concêntricos superiores dos raios uma e b centralizado na origem e situado no primeiro octante, onde (0 F uma função definida em B cuja forma em coordenadas esféricas (( rho, theta, varphi) ) é (F (x, y, z) = f ( rho) cos varphi ). Mostre que se (g (a) = g (b) = 0 ) e ( displaystyle int_a ^ bh ( rho) , d rho = 0, ) then ( displaystyle iiint_B F ( x, y, z) , dV = frac { pi ^ 2} {4} [ah (a) - bh (b)], ) onde (g ) é uma antiderivada de (f ) e (h ) é uma antiderivada de (g ).

Use o resultado anterior para mostrar que ( displaystyle iiint_B = frac {z cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} , dV = frac {3 pi ^ 2} {2}, ) onde (B ) é a região entre os hemisférios concêntricos superiores de raios ( pi ) e (2 pi ) centrado na origem e situado no primeiro octante.

Nos exercícios 36 - 39, a função (f ) e a região (E ) são fornecidas.

uma. Expresse a região (E ) e a função (f ) em coordenadas cilíndricas.

b. Converta o integral ( displaystyle iiint_B f (x, y, z) , dV ) em coordenadas cilíndricas e avalie-o.

36. (f (x, y, z) = z; espaço E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 1, space z geq 0 big } )

37. (f (x, y, z) = x + y; espaço E = big {(x, y, z) , | , 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2, space z geq 0, space y geq 0 big } )

Responder:

uma. (f ( rho, theta, varphi) = rho espaço sin varphi espaço ( cos theta + sin theta), espaço E = grande {( rho, theta , varphi) , | , 1 leq rho leq 2, espaço 0 leq theta leq pi, espaço 0 leq varphi leq frac { pi} {2} big } );

b. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 2 rho ^ 3 cos varphi espaço sin varphi espaço d rho espaço d varphi espaço d theta = frac {15 pi} {8} )

38. (f (x, y, z) = 2xy; espaço E = big {(x, y, z) , | , sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2}, space x geq 0, space y geq 0 big } )

39. (f (x, y, z) = z; espaço E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2x leq 0, space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z big } )

Responder:

uma. (f ( rho, theta, varphi) = rho espaço cos varphi; espaço E = big {( rho, theta, varphi) , | , 0 leq rho leq 2 espaço cos varphi, espaço 0 leq theta leq frac { pi} {2}, espaço 0 leq varphi leq frac { pi} {4} big } );

b. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ {2 space cos varphi} rho ^ 3 sin varphi space cos varphi space d rho espaço d varphi espaço d theta = frac {7 pi} {24} )

Nos exercícios 40-41, encontre o volume do sólido (E ) cujos limites são dados em coordenadas retangulares.

40. (E = big {(x, y, z) , | , sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {16 - x ^ 2 - y ^ 2 }, space x geq 0, space y geq 0 big } )

41. (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2z leq 0, space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z big } )

Responder:
( frac { pi} {4} )

42. Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido situado fora da esfera ( rho = 1 ) e dentro da esfera ( rho = cos varphi ), com ( varphi in [0, frac { pi} {2}] ).

43. Use coordenadas esféricas para encontrar o volume da bola ( rho leq 3 ) que está situado entre os cones ( varphi = frac { pi} {4} ) e ( varphi = frac { pi} {3} ).

Responder:
(9 pi ( sqrt {2} - 1) )

44. Converta o integral ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-y ^ 2}} int _ {- sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) , dz , dx , dy ) em um integral em coordenadas esféricas.

45. Converta o integral ( displaystyle int_0 ^ 4 int_0 ^ { sqrt {16-x ^ 2}} int _ {- sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 , dz space dy space dx ) em uma integral em coordenadas esféricas.

Responder:
( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 rho ^ 6 sin varphi , d rho , d phi , d theta )

47. [T] Use um CAS para representar graficamente o sólido cujo volume é dado pela integral iterada em coordenadas esféricas ( displaystyle int _ { pi / 2} ^ { pi} int_ {5 pi} ^ { pi / 6} int_0 ^ 2 rho ^ 2 sin varphi espaço d rho espaço d varphi espaço d theta. ) Encontre o volume (V ) do sólido. Arredonde sua resposta para três casas decimais.

Responder:

(V = frac {4 pi sqrt {3}} {3} aproximadamente 7,255 )

48. [T] Use um CAS para representar graficamente o sólido cujo volume é dado pela integral iterada em coordenadas esféricas como ( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_ {3 pi / 4} ^ { pi / 4} int_0 ^ 1 rho ^ 2 sin varphi espaço d rho espaço d varphi espaço d theta. ) Encontre o volume (V ) do sólido. Arredonde sua resposta para três casas decimais.

49. [T] Use um CAS para avaliar o integral ( displaystyle iiint_E (x ^ 2 + y ^ 2) , dV ) onde (E ) está acima do parabolóide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) e abaixo do plano (z = 3y ).

Responder:
( frac {343 pi} {32} )

50. [T]

uma. Avalie o integral ( displaystyle iiint_E e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} , dV, ) onde (E ) é limitado por esferas (4x ^ 2 + 4y ^ 2 + 4z ^ 2 = 1 ) e (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ).

b. Use um CAS para encontrar uma aproximação da integral anterior. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

51. Expresse o volume do sólido dentro da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) e fora do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) como integrais triplos em cilíndrico coordenadas e coordenadas esféricas, respectivamente.

Responder:
( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_2 ^ 4 int _ {- sqrt {16-r ^ 2}} ^ { sqrt {16-r ^ 2}} r , dz , dr , dθ ) e ( displaystyle int _ { pi / 6} ^ {5 pi / 6} int_0 ^ {2 pi} int_ {2 csc phi} ^ {4} rho ^ 2 sin rho , d rho , d theta , d phi )

52. Expresse o volume do sólido dentro da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) e fora do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) que está localizado no primeiro octante como integrais triplos em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas, respectivamente.

53. A potência emitida por uma antena tem uma densidade de potência por unidade de volume dada em coordenadas esféricas por (p ( rho, theta, varphi) = frac {P_0} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta space sin ^ 4 varphi ), onde (P_0 ) é uma constante com unidades em watts. A potência total dentro de uma esfera (B ) de raio (r ) metros é definida como ( displaystyle P = iiint_B p ( rho, theta, varphi) , dV. ) Encontre o total potência (P ).

Responder:
(P = frac {32P_0 pi} {3} ) watts

54. Use o exercício anterior para encontrar a potência total dentro de uma esfera (B ) de raio de 5 metros quando a densidade de potência por unidade de volume é dada por (p ( rho, theta, varphi) = frac { 30} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta sin ^ 4 varphi ).

55. Uma nuvem de carga contida em uma esfera (B ) de raio (r ) centímetros centrada na origem tem sua densidade de carga dada por (q (x, y, z) = k sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} frac { mu C} {cm ^ 3} ), onde (k> 0 ). A carga total contida em (B ) é dada por ( displaystyle Q = iiint_B q (x, y, z) , dV. ) Encontre a carga total (Q ).

Responder:
(Q = kr ^ 4 pi mu C )

56. Use o exercício anterior para encontrar a nuvem de carga total contida na esfera unitária se a densidade de carga for (q (x, y, z) = 20 sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} frac { mu C} {cm ^ 3} ).

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.