Artigos

11: Sistemas de Equações Lineares


11: Sistemas de Equações Lineares

Sistema de equações lineares.

As equações lineares (aquelas que representam linhas retas) são mais simples do que as equações não lineares, e o sistema linear mais simples é aquele com duas equações e duas variáveis.

Agora considere o seguinte sistema de duas variáveis ​​de equações lineares:

Como as duas equações acima estão em um sistema, lidamos com elas juntas ao mesmo tempo. Em particular, podemos representá-los juntos no mesmo sistema de eixos, como este:

Uma solução para uma única equação é qualquer ponto que esteja na linha dessa equação. Uma solução para um sistema de equações é qualquer ponto que se encontre em cada linha do sistema. Por exemplo, o ponto vermelho à direita não é uma solução para o sistema, porque não está em nenhuma das linhas:

O ponto roxo à direita é uma solução para o sistema, porque está em ambas as linhas:

Em particular, este ponto roxo marca a interseção das duas linhas. Como esse ponto está nas duas linhas, ele resolve ambas as equações e, portanto, resolve todo o sistema de equações. E essa relação é sempre verdadeira: para sistemas de equações, & quotsolutions & quot são & quotintersections & quot. Você pode confirmar a solução conectando-a ao sistema de equações e confirmando se a solução funciona em cada equação.

Equação consistente e independente:

Adicionando (i) e (ii), - y = 10 & agrave y = -10

Portanto, o sistema tem uma solução única x = - 9, y = -10.

Portanto, o sistema é consistente e independente.

Equação: consistente e dependente

As duas equações são uma e a mesma. Isso é que eles coincidem. Cada solução de (i) é a solução de (ii) também. Portanto, o sistema é consistente e dependente.

Soluções de sistema de equações lineares aplicando matriz e regra de Cramer & rsquos:


Olhando para soluções usando a forma de sistemas lineares padrão

A forma padrão para um sistema de equações lineares é a seguinte:

O xTodos representam variáveis, o k'S são constantes, e o uma, b, c, e assim por diante, todos representam constantes.

Obter Algebra II Essentials For Dummies agora com o aprendizado online O’Reilly.

Os membros da O’Reilly passam por treinamento online ao vivo, além de livros, vídeos e conteúdo digital de mais de 200 editoras.


Conteúdo

Exemplo trivial Editar

O sistema de uma equação em um desconhecido

No entanto, um sistema linear é comumente considerado como tendo pelo menos duas equações.

Exemplo simples não trivial Editar

O tipo mais simples de sistema linear não trivial envolve duas equações e duas variáveis:

Um método para resolver esse sistema é o seguinte. Primeiro, resolva a equação superior para x < displaystyle x> em termos de y < displaystyle y>:

Agora substitua esta expressão por x na equação inferior:

Um sistema geral de m equações lineares com n desconhecidos podem ser escritos como

Freqüentemente, os coeficientes e incógnitas são números reais ou complexos, mas inteiros e números racionais também são vistos, assim como polinômios e elementos de uma estrutura algébrica abstrata.

Edição de equação vetorial

Uma visão extremamente útil é que cada incógnita é um peso para um vetor coluna em uma combinação linear.

Isso permite toda a linguagem e teoria de espaços vetoriais (ou mais geralmente, módulos) para ser acionado. Por exemplo, a coleção de todas as combinações lineares possíveis dos vetores no lado esquerdo é chamada de período, e as equações têm uma solução apenas quando o vetor do lado direito está dentro desse intervalo. Se cada vetor dentro desse intervalo tiver exatamente uma expressão como uma combinação linear dos vetores esquerdos fornecidos, então qualquer solução é única. Em qualquer caso, o período tem um base de vetores linearmente independentes que garantem exatamente uma expressão e o número de vetores nessa base (seu dimensão) não pode ser maior que m ou n, mas pode ser menor. Isso é importante porque se tivermos m vetores independentes, uma solução é garantida independentemente do lado direito e, caso contrário, não é garantida.

Editar equação de matriz

A equação vetorial é equivalente a uma equação matricial da forma

Onde UMA é um m×n matriz, x é um vetor de coluna com n entradas e b é um vetor de coluna com m entradas.

O número de vetores em uma base para a amplitude agora é expresso como o classificação da matriz.

UMA solução de um sistema linear é uma atribuição de valores às variáveis x1, x2, . xn de modo que cada uma das equações seja satisfeita. O conjunto de todas as soluções possíveis é chamado de conjunto de solução.

Um sistema linear pode se comportar de qualquer uma das três maneiras possíveis:

  1. O sistema tem infinitas soluções.
  2. O sistema possui um único solução única.
  3. O sistema tem nenhuma solução.

Interpretação geométrica Editar

Para um sistema envolvendo duas variáveis ​​(x e y), cada equação linear determina uma linha no xy-avião. Como uma solução para um sistema linear deve satisfazer todas as equações, o conjunto solução é a interseção dessas linhas e, portanto, é uma linha, um único ponto ou o conjunto vazio.

Para três variáveis, cada equação linear determina um plano no espaço tridimensional, e o conjunto de solução é a interseção desses planos. Assim, o conjunto de solução pode ser um plano, uma linha, um único ponto ou o conjunto vazio. Por exemplo, como três planos paralelos não têm um ponto comum, o conjunto de solução de suas equações está vazio o conjunto de solução das equações de três planos que se cruzam em um ponto é único ponto se três planos passam por dois pontos, suas equações têm pelo menos duas soluções comuns na verdade o conjunto de soluções é infinito e consiste em toda a linha que passa por esses pontos. [6]

Para n variáveis, cada equação linear determina um hiperplano em nespaço -dimensional. O conjunto de solução é a intersecção desses hiperplanos, e é um plano, que pode ter qualquer dimensão menor que n.

Comportamento geral Editar

Em geral, o comportamento de um sistema linear é determinado pela relação entre o número de equações e o número de incógnitas. Aqui, "em geral" significa que um comportamento diferente pode ocorrer para valores específicos dos coeficientes das equações.

  • Em geral, um sistema com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções, mas pode não ter solução. Esse sistema é conhecido como um sistema subdeterminado.
  • Em geral, um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas tem uma única solução única.
  • Em geral, um sistema com mais equações do que incógnitas não tem solução. Esse sistema também é conhecido como um sistema sobredeterminado.

No primeiro caso, a dimensão do conjunto solução é, em geral, igual a nm , Onde n é o número de variáveis ​​e m é o número de equações.

As fotos a seguir ilustram essa tricotomia no caso de duas variáveis:

Uma equação Duas equações Três equações

O primeiro sistema tem infinitas soluções, ou seja, todos os pontos da linha azul. O segundo sistema tem uma solução única, ou seja, a interseção das duas linhas. O terceiro sistema não tem soluções, uma vez que as três linhas não compartilham um ponto comum.

Deve-se ter em mente que as fotos acima mostram apenas o caso mais comum (o caso geral). É possível que um sistema de duas equações e duas incógnitas não tenha solução (se as duas retas forem paralelas), ou que um sistema de três equações e duas incógnitas seja solucionável (se as três retas se cruzam em um único ponto).

Um sistema de equações lineares se comporta de maneira diferente do caso geral se as equações forem linearmente dependente, ou se for inconsistente e não tem mais equações do que incógnitas.

Independence Edit

As equações de um sistema linear são independente se nenhuma das equações puder ser derivada algebricamente das outras. Quando as equações são independentes, cada equação contém novas informações sobre as variáveis ​​e a remoção de qualquer uma das equações aumenta o tamanho do conjunto de solução. Para equações lineares, a independência lógica é o mesmo que a independência linear.

Por exemplo, as equações

não são independentes - são a mesma equação quando escalados por um fator de dois e produziriam gráficos idênticos. Este é um exemplo de equivalência em um sistema de equações lineares.

Para um exemplo mais complicado, as equações

não são independentes, porque a terceira equação é a soma das outras duas. Na verdade, qualquer uma dessas equações pode ser derivada das outras duas e qualquer uma das equações pode ser removida sem afetar o conjunto de solução. Os gráficos dessas equações são três retas que se cruzam em um único ponto.

Edição de Consistência

Um sistema linear é inconsistente se não tem solução, e de outra forma é dito ser consistente. Quando o sistema é inconsistente, é possível derivar uma contradição das equações, que sempre podem ser reescritas como a afirmação 0 = 1.

Por exemplo, as equações

são inconsistentes. Na verdade, subtraindo a primeira equação da segunda e multiplicando ambos os lados do resultado por 1/6, obtemos 0 = 1. Os gráficos dessas equações no xy-plane são um par de linhas paralelas.

É possível que três equações lineares sejam inconsistentes, mesmo que quaisquer duas delas sejam consistentes juntas. Por exemplo, as equações

são inconsistentes. Adicionar as duas primeiras equações resulta em 3x + 2y = 2, que pode ser subtraído da terceira equação para resultar em 0 = 1. Quaisquer duas dessas equações têm uma solução comum. O mesmo fenômeno pode ocorrer para qualquer número de equações.

Em geral, ocorrem inconsistências se os lados esquerdo das equações em um sistema são linearmente dependentes e os termos constantes não satisfazem a relação de dependência. Um sistema de equações cujos lados esquerdos são linearmente independentes é sempre consistente.

Colocando de outra forma, de acordo com o teorema de Rouché-Capelli, qualquer sistema de equações (sobredeterminado ou não) é inconsistente se a classificação da matriz aumentada for maior que a classificação da matriz de coeficientes. Se, por outro lado, os ranks dessas duas matrizes são iguais, o sistema deve ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se a classificação for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral tem k parâmetros livres onde k é a diferença entre o número de variáveis ​​e a classificação, portanto, em tal caso, há uma infinidade de soluções. A classificação de um sistema de equações (ou seja, a classificação da matriz aumentada) nunca pode ser superior a [o número de variáveis] + 1, o que significa que um sistema com qualquer número de equações pode sempre ser reduzido a um sistema que tem um número de equações independentes que é no máximo igual a [o número de variáveis] + 1.

Edição de equivalência

Dois sistemas lineares usando o mesmo conjunto de variáveis ​​são equivalente se cada uma das equações no segundo sistema pode ser derivada algebricamente das equações no primeiro sistema e vice-versa. Dois sistemas são equivalentes se ambos forem inconsistentes ou se cada equação de cada um deles for uma combinação linear das equações do outro. Segue-se que dois sistemas lineares são equivalentes se e somente se eles têm o mesmo conjunto de solução.

Existem vários algoritmos para resolver um sistema de equações lineares.

Descrevendo a solução Editar

Quando o conjunto de soluções é finito, ele é reduzido a um único elemento. Neste caso, a solução única é descrita por uma sequência de equações cujos lados esquerdos são os nomes das incógnitas e os lados direitos são os valores correspondentes, por exemplo (x = 3, y = - 2, z = 6 ) < displaystyle (x = 3, y = -2, z = 6)>. Quando uma ordem nas incógnitas foi fixada, por exemplo, a ordem alfabética, a solução pode ser descrita como um vetor de valores, como (3, - 2, 6) < displaystyle (3, , - 2, , 6) > para o exemplo anterior.

Para descrever um conjunto com um número infinito de soluções, normalmente algumas das variáveis ​​são designadas como gratuitamente (ou independente, ou como parametros), o que significa que eles podem assumir qualquer valor, enquanto as variáveis ​​restantes são dependente sobre os valores das variáveis ​​livres.

Por exemplo, considere o seguinte sistema:

O conjunto de soluções para este sistema pode ser descrito pelas seguintes equações:

Aqui z é a variável livre, enquanto x e y são dependentes de z. Qualquer ponto no conjunto de solução pode ser obtido escolhendo primeiro um valor para ze, em seguida, computar os valores correspondentes para x e y.

Cada variável livre dá ao espaço de solução um grau de liberdade, cujo número é igual à dimensão do conjunto de solução. Por exemplo, o conjunto de solução para a equação acima é uma linha, uma vez que um ponto no conjunto de solução pode ser escolhido especificando o valor do parâmetro z. Uma solução infinita de ordem superior pode descrever um plano ou conjunto de dimensão superior.

Diferentes escolhas para as variáveis ​​livres podem levar a diferentes descrições do mesmo conjunto de soluções. Por exemplo, a solução para as equações acima pode, alternativamente, ser descrita como segue:

Aqui x é a variável livre, e y e z são dependentes.

Eliminação de variáveis ​​Editar

O método mais simples para resolver um sistema de equações lineares é eliminar variáveis ​​repetidamente. Este método pode ser descrito da seguinte forma:

  1. Na primeira equação, resolva para uma das variáveis ​​em termos das outras.
  2. Substitua esta expressão nas equações restantes. Isso produz um sistema de equações com uma equação a menos e uma incógnita a menos.
  3. Repita até que o sistema seja reduzido a uma única equação linear.
  4. Resolva esta equação e substitua novamente até que toda a solução seja encontrada.

Por exemplo, considere o seguinte sistema:

Resolvendo a primeira equação para xx = 5 + 2z − 3y , e conectar isso à segunda e terceira equação resulta

Resolvendo a primeira dessas equações para y rendimentos y = 2 + 3z , e conectar isso na segunda equação produz z = 2. Agora temos:

Substituindo z = 2 na segunda equação dá y = 8, e substituindo z = 2 e y = 8 na primeira equação resulta x = −15. Portanto, o conjunto de solução é o ponto único (x, y, z) = (−15, 8, 2) .

Edição de redução de linha

Em redução de linha (também conhecido como Eliminação gaussiana), o sistema linear é representado como uma matriz aumentada:

Essa matriz é então modificada usando operações de linha elementares até atingir a forma escalonada de linha reduzida. Existem três tipos de operações de linha elementares:

Tipo 1: Troca as posições de duas linhas. Tipo 2: Multiplique uma linha por um escalar diferente de zero. Tipo 3: Adiciona a uma linha um múltiplo escalar de outra.

Como essas operações são reversíveis, a matriz aumentada produzida sempre representa um sistema linear equivalente ao original.

Existem vários algoritmos específicos para reduzir a linha de uma matriz aumentada, os mais simples dos quais são a eliminação de Gauss e a eliminação de Gauss-Jordan. O cálculo a seguir mostra a eliminação de Gauss-Jordan aplicada à matriz acima:

A última matriz está na forma escalonada de linha reduzida e representa o sistema x = −15 , y = 8 , z = 2. Uma comparação com o exemplo da seção anterior sobre a eliminação algébrica de variáveis ​​mostra que esses dois métodos são de fato iguais - a diferença está em como os cálculos são escritos.

Regra de Cramer Editar

Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes. Por exemplo, a solução para o sistema

Para cada variável, o denominador é o determinante da matriz de coeficientes, enquanto o numerador é o determinante de uma matriz na qual uma coluna foi substituída pelo vetor de termos constantes.

Embora a regra de Cramer seja importante teoricamente, ela tem pouco valor prático para grandes matrizes, uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um tanto complicado. (Na verdade, grandes determinantes são mais facilmente calculados usando redução de linha.) Além disso, a regra de Cramer tem propriedades numéricas muito pobres, tornando-a inadequada para resolver até mesmo sistemas pequenos de forma confiável, a menos que as operações sejam realizadas em aritmética racional com precisão ilimitada. [ citação necessária ]

Solução de matriz Editar

onde A - 1 < displaystyle A ^ <-1>> é o inverso de UMA. De forma mais geral, independentemente de m=n ou não e independentemente da classificação de UMA, todas as soluções (se houver) são fornecidas usando o pseudoinverso Moore-Penrose de UMA, denotado A + < displaystyle A ^ <+ >>, como segue:

Outros métodos Editar

Embora sistemas de três ou quatro equações possam ser resolvidos facilmente à mão (veja Cracovian), os computadores são freqüentemente usados ​​para sistemas maiores. O algoritmo padrão para resolver um sistema de equações lineares é baseado na eliminação gaussiana com algumas modificações. Em primeiro lugar, é essencial evitar a divisão por pequenos números, o que pode levar a resultados imprecisos. Isso pode ser feito reordenando as equações, se necessário, um processo conhecido como girando. Em segundo lugar, o algoritmo não faz exatamente a eliminação gaussiana, mas calcula a decomposição LU da matriz UMA. Esta é principalmente uma ferramenta organizacional, mas é muito mais rápida se for necessário resolver vários sistemas com a mesma matriz UMA mas vetores diferentes b.

Se a matriz UMA tem alguma estrutura especial, isso pode ser explorado para obter algoritmos mais rápidos ou mais precisos. Por exemplo, sistemas com uma matriz simétrica positiva definida podem ser resolvidos duas vezes mais rápido com a decomposição de Cholesky. A recursão de Levinson é um método rápido para matrizes Toeplitz. Métodos especiais existem também para matrizes com muitos elementos zero (as chamadas matrizes esparsas), que aparecem frequentemente em aplicações.

Uma abordagem completamente diferente é freqüentemente adotada para sistemas muito grandes, que de outra forma consumiriam muito tempo ou memória. A ideia é começar com uma aproximação inicial da solução (que não precisa ser precisa) e mudar essa aproximação em várias etapas para aproximá-la da solução verdadeira. Uma vez que a aproximação é suficientemente precisa, esta é considerada a solução para o sistema. Isso leva à classe de métodos iterativos. Para algumas matrizes esparsas, a introdução da aleatoriedade melhora a velocidade dos métodos iterativos. [7]

Um sistema de equações lineares é homogêneo se todos os termos constantes forem zero:

Um sistema homogêneo é equivalente a uma equação matricial da forma

Onde UMA é um m × n matriz, x é um vetor de coluna com n entradas e 0 é o vetor zero com m entradas.

Conjunto de solução homogênea Editar

Todo sistema homogêneo possui pelo menos uma solução, conhecida como zero (ou trivial) solução, que é obtida atribuindo o valor zero a cada uma das variáveis. Se o sistema tiver uma matriz não singular (det (UMA) ≠ 0) então também é a única solução. Se o sistema tem uma matriz singular, então existe um conjunto de soluções com um número infinito de soluções. Este conjunto de soluções possui as seguintes propriedades adicionais:

  1. Se você e v são dois vetores que representam soluções para um sistema homogêneo, então a soma do vetor você + v também é uma solução para o sistema.
  2. Se você é um vetor que representa uma solução para um sistema homogêneo, e r é qualquer escalar, então rvocê também é uma solução para o sistema.

Estas são exatamente as propriedades necessárias para que o conjunto de soluções seja um subespaço linear de R n . Em particular, a solução definida para um sistema homogêneo é a mesma que o espaço nulo da matriz correspondente UMA. Soluções numéricas para um sistema homogêneo podem ser encontradas com uma decomposição de valor singular.

Relação com sistemas não homogêneos Editar

Existe uma relação estreita entre as soluções para um sistema linear e as soluções para o sistema homogêneo correspondente:

Especificamente, se p é qualquer solução específica para o sistema linear UMAx = b , então, todo o conjunto de soluções pode ser descrito como

Geometricamente, isso diz que o conjunto de soluções para UMAx = b é uma tradução do conjunto de soluções para UMAx = 0 . Especificamente, o plano para o primeiro sistema pode ser obtido traduzindo o subespaço linear para o sistema homogêneo pelo vetor p.

Este raciocínio só se aplica se o sistema UMAx = b tem pelo menos uma solução. Isso ocorre se e somente se o vetor b encontra-se na imagem da transformação linear UMA.


Resolução de sistemas de duas e três equações lineares usando métodos algébricos

Usando a regra de Cramer para resolver sistemas de duas equações

Aplicação de sistemas de equações para separar as frações

As equações lineares têm variáveis ​​que não excedem a potência de um. Por exemplo, a equação 2x + 3yz = 0 é linear. Um sistema de equações lineares pode conter qualquer número de equações e qualquer número de variáveis. Mas os únicos sistemas que têm a possibilidade de ter uma solução única são aqueles em que você tem pelo menos tantas equações quanto variáveis. Ao procurar soluções de sistemas de equações, você tenta obter um valor numérico para x, um para y, um para z, e assim por diante. Outro tipo de solução é uma regra ou generalização relacionando os valores das variáveis ​​entre si.

Neste capítulo, você usa substituição e eliminação para resolver os sistemas lineares. Você também usa a regra de Cramer como alternativa quando as respostas fracionárias ficam desagradáveis. Finalmente, você decompõe frações, o que significa dividir frações em frações mais simples. Equações lineares são muito úteis quando a decomposição é desejada (aposto que você nunca esperou ler essa decomposição.

Obter Livro de exercícios de álgebra II para leigos, 2ª edição agora com o aprendizado online O’Reilly.

Os membros da O’Reilly passam por treinamento online ao vivo, além de livros, vídeos e conteúdo digital de mais de 200 editoras.


Identificando e Expressando Soluções para Sistemas de Equações

Agora que temos vários métodos para resolver sistemas de equações, podemos usar os métodos para identificar sistemas inconsistentes. Lembre-se de que um sistema inconsistente consiste em linhas paralelas que têm a mesma inclinação, mas diferentes interceptações [latex] y [/ latex]. Eles nunca se cruzarão. Ao procurar por uma solução para um sistema inconsistente, vamos chegar a uma declaração falsa, como [latex] 12 = 0 [/ latex].

Exemplo 8: Resolvendo um sistema inconsistente de equações

Resolva o seguinte sistema de equações.

Podemos abordar esse problema de duas maneiras. Como uma equação já foi resolvida para [latex] x [/ latex], a etapa mais óbvia é usar a substituição.

[latex] beginx + 2y = 13 left (9 - 2y right) + 2y = 13 9 + 0y = 13 9 = 13 end[/látex]

Claramente, esta afirmação é uma contradição porque [latex] 9 ne 13 [/ latex]. Portanto, o sistema não tem solução.

A segunda abordagem seria primeiro manipular as equações de modo que ambas estivessem na forma de declive-interceptação. Manipulamos a primeira equação da seguinte maneira.

Em seguida, convertemos a segunda equação expressa para a forma declive-interceptação.

Comparando as equações, vemos que elas têm a mesma inclinação, mas diferentes y-intercepts. Portanto, as linhas são paralelas e não se cruzam.

Análise da Solução

Escrever as equações na forma de declive-interceptação confirma que o sistema é inconsistente porque todas as linhas se cruzarão eventualmente, a menos que sejam paralelas. As linhas paralelas nunca se cruzarão, portanto, as duas linhas não têm pontos em comum. Os gráficos das equações neste exemplo são mostrados na Figura 8.

Tente

Resolva o seguinte sistema de equações em duas variáveis.

Sem solução. É um sistema inconsistente.


Problemas de álgebra com sistemas

  • Se você está se perguntando qual deve ser a variável (ou desconhecida) ao trabalhar em um problema de palavra, veja o que o problema está perguntando. Isso geralmente é o que sua variável é!
  • Se você não tiver certeza de como configurar as equações, use números regulares (simples!) E veja o que está fazendo. Em seguida, coloque as variáveis ​​de volta!

A receita de investimento totalmente anual (juros) é $283 .

Quanto a mãe de Lindsay investiu em cada taxa?

Defina uma variável e veja o que o problema está perguntando. Use duas variáveis: deixe (x = ) a quantidade de dinheiro investido em 3% , e (y = ) a quantidade de dinheiro investido em 2.5% .

O rendimento anual do investimento ou juros é o valor que obtemos das percentagens anuais. (Esta é a quantidade de dinheiro que o banco nos dá para manter nosso dinheiro lá.) Para obter os juros, multiplique cada porcentagem pelo valor investido naquela taxa. Some esses valores para obter o juro total.

Temos duas equações e duas incógnitas. O valor total ((x + y) ) deve ser igual 10000 , e os juros ((. 03x + .025y) ) devem ser iguais 283 :

Quantos litros desses dois tipos diferentes de leite devem ser misturados para produzir 10 litros de leite desnatado, que tem 2% manteiga?

Lembre-se de que se um problema de mistura exigir um puro solução (não neste problema), use 100% para a porcentagem!

(Observe que fizemos um problema de mistura semelhante usando apenas uma variável aqui no Problemas de álgebra com palavras seção.)

Também podemos configurar problemas de mistura com o tipo de figura abaixo. Somamos os termos dentro da caixa e, em seguida, multiplicamos os valores nas caixas pelas porcentagens acima das caixas e, em seguida, somamos. Isso nos dará as duas equações.

Agora vamos fazer as contas (use substituição)!

Os grãos são misturados para fornecer uma mistura de 50 libras que vendem por $6.40 Por libra.

Quanto de cada tipo de grão de café deve ser usado para criar 50 libras da mistura?

Primeiro defina duas variáveis ​​para o número de libras de cada tipo de grão de café. Seja (x = ) o número de libras do $8 café, e (y = ) o número de libras do $4 café.

Agora vamos fazer as contas (use substituição)!

( displaystyle beginx + y = 50 8x + 4y = 50 left (<6.4> right) end) ( displaystyle beginy = 50-x 8x + 4 left (<50-x> right) = 320 8x + 200-4x = 320 4x = 120 , , , , , x = 30 y = 50-30 = 20 8x + 4y = 50 (6,4) fim)


Conceitos chave

  • Um conjunto de solução é um triplo ordenado [latex] left < left (x, y, z right) right > [/ latex] que representa a interseção de três planos no espaço.
  • Um sistema de três equações em três variáveis ​​pode ser resolvido usando uma série de etapas que força uma variável a ser eliminada. As etapas incluem trocar a ordem das equações, multiplicar ambos os lados de uma equação por uma constante diferente de zero e adicionar um múltiplo diferente de zero de uma equação a outra equação.
  • Sistemas de três equações em três variáveis ​​são úteis para resolver muitos tipos diferentes de problemas do mundo real.
  • Um sistema de equações em três variáveis ​​é inconsistente se não houver solução. Depois de realizar operações de eliminação, o resultado é uma contradição.
  • Sistemas de equações em três variáveis ​​que são inconsistentes podem resultar de três planos paralelos, dois planos paralelos e um plano de interseção, ou três planos que interceptam os outros dois, mas não no mesmo local.
  • Um sistema de equações em três variáveis ​​é dependente se tiver um número infinito de soluções. Depois de realizar operações de eliminação, o resultado é uma identidade.
  • Sistemas de equações em três variáveis ​​que são dependentes podem resultar de três planos idênticos, três planos que se cruzam em uma linha ou dois planos idênticos que cruzam o terceiro em uma linha.

11: Sistemas de Equações Lineares

Resolvendo Equações Lineares

Haverá muitos casos em seu estudo de biologia em que você terá que resolver uma equação. Aqui, discutimos a solução de equações lineares começando com uma equação linear em uma variável e, em seguida, resolvendo um sistema de duas equações lineares por dois métodos diferentes.

Um exemplo simples: uma equação linear em uma variável

Resolver equações lineares em uma variável é simples, conforme ilustrado pelo exemplo a seguir. Suponha que sejamos solicitados a resolver a seguinte equação,

Primeiro, reconhecemos que esta é uma equação em uma variável, x. Resolver tal equação significa encontrar o valor de x de modo que a equação acima seja verdadeira. Para fazer isso, isolamos x distribuindo e combinando termos semelhantes,

Portanto, descobrimos que x = 1/4 resolve a equação acima.

Resolvendo um Sistema de Duas Equações Lineares

Resolver um sistema de duas equações lineares é o equivalente a encontrar o ponto (x, y) onde as duas linhas se cruzam. Descreveremos dois métodos diferentes usados ​​para resolver um sistema de duas equações lineares: substituição e eliminação.

Uma nota de cautela

Independentemente do método usado, você deve se lembrar que duas equações são necessárias para resolver duas incógnitas
(tipicamente x e y) Uma equação não é suficiente. Por exemplo, não podemos resolver a equação y = machado + b para x e y. O melhor que podemos fazer é expressar y em termos de x, Como

O Método de Substituição

O método de substituição costuma ser uma maneira rápida de resolver duas equações lineares. Como afirmado acima, resolver duas equações lineares é equivalente a encontrar o ponto em que as duas linhas se cruzam.

Considere as duas linhas a seguir dadas pela equação,

Você pode determinar o ponto no xy-plano no qual essas duas linhas se cruzam sem desenhar um gráfico?

Para determinar o ponto de intersecção por substituição, resolvemos uma das equações para qualquer x ou y e substitua isso na outra equação. Em nosso caso, a equação 1 já está resolvida para y. Substituindo este valor de y na equação 2 dá,

Observe que reduzimos as duas equações em duas variáveis ​​a uma única equação em uma variável. Agora resolvemos a equação acima para x combinando termos semelhantes,

Assim, encontramos o x- coordenada do ponto de intersecção a ser x = 3.

Para encontrar o correspondente y-coordenada do ponto de intersecção, substituímos o x-coordenar que acabamos de encontrar em qualquer equação linear da seguinte forma,

Usando a outra equação linear, encontramos concordância,

Portanto, as linhas y = 3x & menos 11 e y = & menos 5x + 13 se cruzam no ponto (3, -2).

Você pode verificar este ponto graficamente como visto abaixo,

A substituição é um método conveniente para resolver sistemas de equações quando uma das duas equações tem um coeficiente de 1 em qualquer x ou y. Se nenhuma variável tiver um coeficiente de 1, a substituição se tornará um pouco mais complicada. Considere o seguinte exemplo,

Uma vez que nenhuma das equações tem um coeficiente de 1 em x ou y, teríamos que resolver para x ou y para fazer uma substituição. Por exemplo, poderíamos resolver para x na primeira equação como,

Esta é uma expressão estranha para x que teríamos que substituir na equação 2 como,

Embora pudéssemos continuar a resolver para y, você pode ver que a substituição produziu uma expressão mais confusa e é fácil cometer um erro com tal expressão. Veremos agora uma maneira mais simples de resolver essas equações.


Resolvendo um Sistema de Duas Equações Lineares - O Método de Eliminação

Vamos agora aprender a resolver o sistema anterior de duas equações lineares por eliminação,

A ideia geral por trás da eliminação é multiplicar ambos os lados de cada equação por uma constante que permitirá uma das variáveis ​​(ou x ou y) a ser eliminado quando as duas equações são adicionadas ou subtraídas.

Neste exemplo, vamos eliminar a variável x. O coeficiente de x é 3 na equação 1 e 2 na equação 2. Portanto, se desejarmos eliminar a variável x, precisamos fazer os coeficientes de x iguais entre si e subtrair as equações ou opostas uma da outra e adicionar as equações. A maneira mais fácil de fazer isso é multiplicar ambos os lados da primeira equação por 2 e ambos os lados da segunda equação por 3 como,

Agora, o coeficiente de x na equação 1 é 6, e o coeficiente de x na equação 2 é -6. Ao adicionar as duas equações, podemos eliminar x completamente como mostrado,

Agora precisamos encontrar o x-coordenada do ponto de intersecção. Podemos fazer isso substituindo o valor de y, nesse caso y = 2, em qualquer equação linear da seguinte forma,

Usando a outra equação linear, chegamos ao mesmo resultado,

Assim, descobrimos que a solução para este sistema de equações lineares é (x, y) = (5, 2).

Para demonstrar a eliminação com outro exemplo, considere o seguinte sistema de equações,

Para eliminar a variável x, você poderia multiplicar ambos os lados da primeira equação por 8 e ambos os lados da segunda por 3 como,

Para terminar de eliminar x, você poderia subtrair a equação 2 da equação 1 como,

Alternativamente, você pode eliminar a variável y multiplicando ambos os lados da primeira equação por 2 como,

Para terminar de eliminar y, você pode adicionar a equação 1 à equação 2 como,

É uma boa ideia verificar sua solução.

No exemplo acima, encontramos a solução para ser. Para verificar, substituímos esses valores de x e y na equação original para verificar a concordância,

Quantas soluções devo esperar?

A system of two linear equations may have one solution, no solution, or infinitely many solutions. We have just seen three examples of linear systems that have one solution. An example of a system that has no solution is as follows,

If we attempt to find a solution, we multiply equation 2 by 3 to get,

Adding this equation to equation 1 we get,

This statement is clearly not true. Thus, this system of linear equations has no solution. If you were to graph these two equations, you would see that the two lines that represent these equations are parallel to one another. Parallel lines with distinct y-intercepts will never intersect thereby providing no solution.

An example of two linear equations that have an infinite number of solutions is as follows,

If multiply equation 2 by 3 we get,

As you can see, multiplying by 3 transformed equation 2 into equation 1, and subtracting the two equations gives,


Assista o vídeo: 11 Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układów Równań Liniowych (Outubro 2021).