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10.2.1: Resolvendo Desigualdades de Uma Etapa - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Representa as desigualdades em uma reta numérica.
  • Use a propriedade de adição da inequação para isolar variáveis ​​e resolver desigualdades algébricas e expressar suas soluções graficamente.
  • Use a propriedade de multiplicação da inequação para isolar variáveis ​​e resolver desigualdades algébricas e expressar suas soluções graficamente.

Às vezes, há uma gama de valores possíveis para descrever uma situação. Quando você vê uma placa que diz “Limite de velocidade 25,” você sabe que isso não significa que você tem que dirigir exatamente a uma velocidade de 25 milhas por hora (mph). Este sinal significa que você não deve ir mais rápido do que 40 km / h, mas existem muitas velocidades legais que você pode dirigir, como 22 mph, 24,5 mph ou 19 mph. Em uma situação como essa, que tem mais de um valor aceitável, desigualdades são usados ​​para representar a situação ao invés de equações.

Uma desigualdade é uma declaração matemática que compara duas expressões usando um sinal de desigualdade. Em uma desigualdade, uma expressão da desigualdade pode ser maior ou menor que a outra expressão. Símbolos especiais são usados ​​nessas declarações. A caixa abaixo mostra o símbolo, o significado e um exemplo para cada sinal de desigualdade.

Sinais de Desigualdade

( x neq y quad x text {is} { bf text {diferente}} text {to} y ).

Exemplo: O número de dias em uma semana é não igual a 9.

( x> y quad x { bf text {é maior que}} y. text {Exemplo:} 6> 3 )

Exemplo: O número de dias em um mês é Maior que o número de dias em uma semana.

( x

Exemplo: O número de dias em uma semana é Menor que o número de dias em um ano.

( x geq y quad x { bf text {é maior ou igual a}} y )

Exemplo: 31 é maior ou igual ao número de dias em um mês.

( x leq y quad x { bf text {é menor ou igual a}} y )

Exemplo: A velocidade de um carro que dirige legalmente em uma zona de 40 km / h é Menor ou igual a 25 mph.

O importante sobre as desigualdades é que pode haver várias soluções. Por exemplo, a desigualdade “31 ≥ o número de dias em um mês” é uma afirmação verdadeira para cada mês do ano - nenhum mês tem mais de 31 dias. É válido para janeiro, que tem 31 dias ( ( 31 geq 31 )); Setembro, que tem 30 dias (≥ 30); e fevereiro, que tem 28 ou 29 dias dependendo do ano ( ( 31 geq 28 text {e} 31 geq 29 )).

A desigualdade ( x> y ) também pode ser escrita como ( y

As desigualdades podem ser representadas graficamente em uma reta numérica. Abaixo estão três exemplos de desigualdades e seus gráficos.

Cada um desses gráficos começa com um círculo - um círculo aberto ou fechado (sombreado). Este ponto é freqüentemente chamado de ponto final da solução. Um círculo fechado ou sombreado é usado para representar as desigualdades Melhor que ou igual a (≥) ou menos que ou igual a (≤). O ponto é parte da solução. Um círculo aberto é usado para Maior que (>) ou Menor que (<). A questão é não parte da solução.

O gráfico então se estende infinitamente em uma direção. Isso é mostrado por uma linha com uma seta no final. Por exemplo, observe que para o gráfico de ( x geq-3 ) mostrado acima, o ponto final é -3, representado por um círculo fechado, uma vez que a desigualdade é maior ou igual a -3. A linha azul é desenhada à direita na linha numérica porque os valores nesta área são maiores que -3. A seta no final indica que as soluções continuam infinitamente.

Você pode resolver a maioria das desigualdades usando os mesmos métodos usados ​​para resolver equações. Operações inversas podem ser usadas para resolver desigualdades. Isso ocorre porque, ao adicionar ou subtrair o mesmo valor de ambos os lados de uma desigualdade, você manteve a desigualdade. Essas propriedades são descritas na caixa azul abaixo.

Propriedades de adição e subtração da desigualdade

( text {If} a> b, text {then} a + c> b + c )

( text {If} a> b, text {then} a-c> b-c )

Como as desigualdades têm várias soluções possíveis, representar as soluções graficamente fornece uma visão útil da situação. O exemplo abaixo mostra as etapas para resolver e representar graficamente uma desigualdade.

Exemplo

Resolva para ( x ).

( x + 3 <5 )

Solução

( begin {array} {r}
x + 3 <& 5
-3 & -3 \
hline x <& 2
end {array} )
Isole a variável subtraindo 3 de ambos os lados da inequação.

( x <2 )

O gráfico da desigualdade ( x <2 ) é mostrado abaixo.

Assim como você pode verificar a solução de uma equação, você pode verificar a solução de uma desigualdade. Primeiro, você verifica o ponto final, substituindo-o na equação relacionada. Em seguida, você verifica se a desigualdade está correta substituindo qualquer outra solução para ver se é uma das soluções. Como existem várias soluções, é uma boa prática verificar mais de uma das soluções possíveis. Isso também pode ajudá-lo a verificar se o gráfico está correto.

O exemplo abaixo mostra como você pode verificar se ( x <2 ) é a solução para ( x + 3 <5 ).

Exemplo

Verifique se ( x <2 ) é a solução para ( x + 3 <5 ).

Solução

( begin {alinhado}
x + 3 & = 5
text {faz} 2 + 3 & = 5?
5 &=5
end {alinhado} )
Substitua o ponto final 2 na equação relacionada, ( x + 3 = 5 ).

( begin {alinhado}
x + 3 e <5
text {Is} 0 + 3 & <5?
3 &<5
end {alinhado} )

Ele verifica!

Escolha um valor menor que 2, como 0, para verificar a desigualdade. (Este valor estará na parte sombreada do gráfico.)

( x <2 ) é a solução para ( x + 3 <5 )

Os exemplos a seguir mostram problemas adicionais de desigualdade. O gráfico da solução para a desigualdade também é mostrado. Lembre-se de verificar a solução. Este é um bom hábito de construir!

Exemplo Avançado

Resolva para ( x ).

( frac {15} {2} + x> - frac {37} {4} )

Solução

( begin {array} {r}
frac {15} {2} - frac {15} {2} + x- frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {30} {4}
x> - frac {67} {4}
end {array} )
Subtraia ( frac {15} {2} ) de ambos os lados para isolar a variável.

( x> - frac {67} {4} )

Exemplo

Resolva para ( x ).

( x-10 leq-12 )

Solução

( begin {array} {r}
x-10 leq & -12
+10 & +10 \
hline x leq & -2
end {array} )
Isole a variável adicionando 10 a ambos os lados da inequação.

( x leq-2 )

O gráfico desta solução é mostrado abaixo. Observe que um círculo fechado é usado porque a desigualdade é “menor ou igual a” (≤). A seta azul é desenhada à esquerda do ponto -2 porque esses são os valores menores que -2.

Exemplo

Verifique isso ( x leq-2 ) é a solução para ( x-10 leq-12 ).

Solução

( begin {alinhado}
x-10 & = - 12
text {faz} -2-10 & = - 12?
-12 &=-12
end {alinhado} )
Substitua o ponto final -2 na equação relacionada ( x-10 = -12 ).

( text {Is} begin {alinhado}
x-10 & leq 12
-5-10 & leq 12 text {? }
-15 e leq 12
end {alinhado} )

Ele verifica!

Escolha um valor menor que -2, como -5, para verificar a desigualdade. (Este valor estará na parte sombreada do gráfico.)

( x leq-2 ) é a solução para ( x-10 leq 12 ).

Exemplo

Resolva para ( a ).

( a-17> -17 )

Solução

( begin {array} {r}
a-17> & -17
+17 & +17 \
hline a > & 0
end {array} )
Isole a variável adicionando 17 a ambos os lados da inequação.

( a> 0 )

O gráfico desta solução é mostrado abaixo. Observe que um círculo aberto é usado porque a desigualdade é “maior que” (>). A seta é desenhada à direita de 0 porque esses são os valores maiores que 0.

Exemplo

Verifique se ( a> 0 ) é a solução para

( a-17> -17 ).

Solução

( begin {alinhado}
a-17 & = - 17
text {faz} 0-17 & = - 17?
-17&=-17
end {alinhado} )
Substitua o ponto final, 0, na equação relacionada.

( begin {alinhado}
a-17 e> - 17
text {Is} 20-17 &> - 17?
3&>-17
end {alinhado} )

Ele verifica!

Escolha um valor maior que 0, como 20, para verificar a desigualdade. (Este valor estará na parte sombreada do gráfico.)

( a> 0 ) é a solução para ( a-17> -17 ).

Questão Avançada

Resolva para ( x ): ( 0,5 x leq 7-0,5 x ).

  1. ( x leq 0 )
  2. ( x> 35 )
  3. ( x leq 7 )
  4. ( x geq 5 )
Responder
  1. ( x leq 0 )

    Incorreta. Para encontrar o valor de ( x ), tente adicionar ( 0,5 x ) a ambos os lados. A resposta correta é ( x leq 7 ).

  2. ( x> 35 )

    Incorreta. Para encontrar o valor de ( x ), tente adicionar ( 0,5 x ) a ambos os lados. A resposta correta é ( x leq 7 ).

  3. ( x leq 7 )

    Correto. Quando você adiciona ( 0,5 x ) em ambos os lados, ele cria ( 1 x ), portanto ( x leq 7 ).

  4. ( x geq 5 )

    Incorreta. A resposta correta é ( x leq 7 ).

Resolver uma desigualdade com uma variável que tem um coeficiente diferente de 1 geralmente envolve multiplicação ou divisão. As etapas são como resolver equações de uma etapa envolvendo multiplicação ou divisão, EXCETO para o sinal de desigualdade. Vejamos o que acontece com a desigualdade quando você multiplica ou divide cada lado pelo mesmo número.

Vamos começar com a afirmação verdadeira:( 10>5)Vamos tentar novamente começando com a mesma afirmação verdadeira:( 10>5)
Em seguida, multiplique os dois lados pelo mesmo número positivo: ( 10 cdot 2> 5 cdot 2 )Desta vez, multiplique os dois lados pelo mesmo número negativo: ( 10 cdot-2> 5 cdot-2 )
20 é maior que 10, então você ainda tem uma verdadeira desigualdade:( 20>10)Espere um minuto! -20 é não maior que -10, então você tem uma declaração falsa.( -20>-10)
Quando você multiplica por um número positivo, deixe o sinal de desigualdade como está!Você deve "inverter" o sinal de desigualdade para tornar a afirmação verdadeira:( -20<-10)

Quando você multiplica por um número negativo, “inverta” o sinal de desigualdade.

Sempre que você multiplica ou divide os dois lados de uma inequação por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido para manter uma afirmação verdadeira.

Essas regras estão resumidas no quadro abaixo.

Propriedades de multiplicação e divisão da desigualdade

( begin {alinhado}
text {Se} a> b text {, então} a c> b c text {, se} c> 0
text {If} a> b text {, então} a c text {If} a> b text {, então} frac {a} {c}> frac {b} {c} text {, if} c> 0
text {If} a> b text {, então} frac {a} {c} < frac {b} {c} text {, if} c <0
end {alinhado} )

Lembre-se de que você só muda o sinal quando está multiplicando e dividindo por um negativo número. Se você adicionar ou subtrair um número negativo, a desigualdade permanece a mesma.

Exemplo

Resolva para ( x ).

( - frac {1} {3}> - 12 x )

Solução

( begin {alinhado}
- frac {1} {3} div-12 & <- 12 x div-12
- frac {1} {3} cdot- frac {1} {12} & < frac {-12 x} {- 12}
frac {1} {36} e end {alinhado} )
Divida ambos os lados por -12 para isolar a variável. Já que você está dividindo por um número negativo, você precisa mudar a direção do sinal de desigualdade.

Verificar

( begin {alinhado} text {faz}
- frac {1} {3} & = - 12 left ( frac {1} {36} right)?
- frac {1} {3} & = - frac {12} {36}
- frac {1} {3} & = - frac {1} {3}
end {alinhado} )

Verifique sua solução verificando primeiro o ponto final, ( frac {1} {36} ), na equação relacionada.

( begin {alinhado}
text {Is} - frac {1} {3} &> - 12 (2)
- frac {1} {3} e> - 24
end {alinhado} )

Ele verifica!

Escolha um valor maior que ( frac {1} {36} ), como 2, para verificar a desigualdade.

( x> frac {1} {36} )

Exemplo

Resolva para ( x ).

( 3 x> 12 )

Solução

( begin {alinhado}
frac {3 x} {3} &> frac {12} {3}
& x> 4
end {alinhado} )
Divida os dois lados por 3 para isolar a variável.

Verificar

( begin {alinhado}
text {faz}
3 cdot 4 & = 12?
12 &=12
end {alinhado} )

( begin {alinhado}
text {Is} 3 cdot 10 &> 12?
30&>12
end {alinhado} )

Verifique sua solução verificando primeiro o ponto final, 4, e depois verificando outra solução para a desigualdade.

( x> 4 )

O gráfico desta solução é mostrado abaixo.

Não houve necessidade de fazer alterações no sinal de desigualdade porque ambos os lados da desigualdade foram divididos por positivo 3. No próximo exemplo, há divisão por um número negativo, portanto, há uma etapa adicional na solução!

Exemplo

Resolva para ( x ).

( -2 x> 6 )

Solução

( frac {-2 x} {- 2} < frac {6} {- 2} )

( x <-3 )

Divida cada lado da desigualdade por -2 para isolar a variável e mude a direção do sinal de desigualdade devido à divisão por um número negativo.

Verificar:

( begin {alinhado} text {faz}
-2(-3)&=6 ? \
6&=6 \
text {Is} -2 (-6) &> 6?
12&>6
end {alinhado} )

Ele verifica!

Verifique sua solução verificando primeiro o ponto final, -3 e, em seguida, verificando outra solução para a desigualdade.

( x <-3 )

Como ambos os lados da desigualdade foram divididos por um número negativo, -2, o símbolo de desigualdade foi alterado de> para <. O gráfico desta solução é mostrado abaixo.

Exercício

Resolva para ( y ): ( -10 y geq 150 )

  1. ( y = -15 )
  2. ( y geq-15 )
  3. ( y leq-15 )
  4. ( y geq 15 )
Responder
  1. ( y = -15 )

    Incorreta. Embora -15 seja uma solução para a desigualdade, não é a única solução. A solução deve incluir um sinal de desigualdade. A resposta correta é ( y leq-15 ).

  2. ( y geq-15 )

    Incorreta. Esta solução não satisfaz a desigualdade. Por exemplo ( y = 0 ), que é um valor maior que -15, resulta em uma afirmação falsa. 0 não é maior que Ao dividir por um número negativo, você deve alterar o símbolo de desigualdade. A resposta correta é ( y leq-15 ).

  3. ( y leq-15 )

    Correto. Dividindo ambos os lados por -10 folhas ( y ) isoladas no lado esquerdo da inequação e -15 à direita. Como você dividiu por um número negativo, o ≥ deve ser alterado para ≤.

  4. ( y geq 15 )

    Incorreta. Divida por -10, não 10, para isolar a variável. A resposta correta é ( y leq-15 ).

Questão Avançada

Resolva para ( a ): ( - frac {a} {5} < frac {35} {8} )

  1. ( a> - frac {175} {8} )
  2. ( a <- frac {175} {8} )
  3. ( a> - frac {7} {8} )
  4. ( a <- frac {7} {8} )
Responder
  1. ( a> - frac {175} {8} )

    Correto. Multiplicando ambos os lados por -5 e invertendo o sinal de desigualdade de , você descobriu que ( a> - frac {175} {8} ).

  2. ( a <- frac {175} {8} )

    Incorreta. Você multiplicou corretamente por -5, mas lembre-se de que o sinal de desigualdade muda quando você multiplica por um número negativo. A resposta correta é: ( a> - frac {175} {8} ).

  3. ( a> - frac {7} {8} )

    Incorreta. Parece que você dividiu os dois lados por -5. Embora você tenha se lembrado de inverter o sinal de desigualdade corretamente, a divisão não é a operação correta aqui. A resposta correta é: ( a> - frac {175} {8} ).

  4. ( a <- frac {7} {8} )

    Incorreta. Parece que você dividiu os dois lados por -5. A divisão não é a operação correta aqui, e lembre-se de inverter o sinal de desigualdade ao multiplicar ou dividir por um número negativo. A resposta correta é: ( a> - frac {175} {8} ).

Resolver desigualdades é muito semelhante a resolver equações, exceto que você precisa inverter os símbolos de desigualdade ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma inequação por um número negativo. Como as desigualdades podem ter várias soluções, é comum representar a solução de uma desigualdade tanto graficamente quanto algebricamente. Como geralmente há mais de uma solução para uma desigualdade, ao verificar sua resposta, você deve verificar o ponto final e um outro valor para verificar a direção da desigualdade.


Planilhas de desigualdades em uma etapa

Nossas planilhas de desigualdades de uma etapa para impressão são o seu bilhete para resolver e representar graficamente as desigualdades em uma única etapa, sem esforço. As desigualdades de uma etapa envolvem apenas uma variável e uma única operação e são resolvidas em uma única etapa. Com habilidades multifacetadas, três níveis de dificuldade e a inclusão de coeficientes de fração e decimais, essas planilhas com certeza chegarão aos seus recursos indispensáveis. Os alunos da 6ª, 7ª, 8ª série e do ensino médio raciocinam e encontram soluções que tornam as desigualdades verdadeiras. Comece da melhor maneira com nossas planilhas de desigualdades de uma etapa gratuitas!

Hammer mostra o conceito de resolver desigualdades de uma etapa conectando cada uma das quatro opções da desigualdade. Faça com que os alunos da 6ª série resolvam e descubram qual deles satisfaz a desigualdade e circule-os.

Desigualdades de uma etapa são resolvidas em uma única etapa e envolvem apenas uma operação. Os alunos da 6ª série desfazem a operação usando operações inversas em ambos os lados, isolam a variável e resolvem!

A resolução de partes, a representação gráfica dessas planilhas imprimíveis de desigualdade de uma etapa permitem que os alunos da 7ª série resolvam a desigualdade, plote o valor relativo em uma reta numérica com um círculo aberto ou fechado e desenhe uma seta para indicar o intervalo da solução.

Dê um toque especial à prática dos seus alunos da 8ª série com nossos PDFs de planilha de desigualdades de uma etapa com soluções apresentadas como intervalos abertos e fechados. Resolva a desigualdade e identifique a gama de soluções e escolha o intervalo correto.

Dê um mergulho mais profundo na resolução de desigualdades de uma etapa à medida que frações e decimais chegam a essas desigualdades de uma etapa. Elimine o coeficiente fracionário usando seu recíproco e resolva as desigualdades em um instante!

Com a prática abundante oferecida por esses PDFs, os alunos da 7ª e 8ª série aprendem a resolver rapidamente as desigualdades envolvendo frações e decimais em uma única etapa. Verifique se a desigualdade é inclusiva ou estrita antes de começar a representar graficamente!

Alunos do ensino médio percorrem cada linha numérica fornecida como opção e constroem a desigualdade de uma etapa e demonstram habilidades para resolver e identificar a linha numérica que melhor descreve sua solução.

Seus alunos conseguem descobrir a desigualdade no gráfico? O círculo indica se o valor relativo está incluído e a direção do raio mostra se é menor ou maior que o valor relativo. Isso é fácil!

Leia os problemas do mundo real ou matemáticos, identifique os termos processados ​​nas frases, use operadores adequados entre os termos e construa desigualdades de uma etapa.


Desigualdades de uma etapa

Desigualdades de uma etapa são bastante autoexplicativos - são o tipo de desigualdade que pode ser resolvido em uma única etapa. Na maioria das vezes, eles vêm em uma das seguintes formas:

Uma vez que já aprendemos o que são as desigualdades e conhecemos as regras e os símbolos, vamos nos concentrar em aprender como resolver as desigualdades de uma etapa por meio de vários exemplos. Então vamos começar!

Encontre o conjunto de soluções para a seguinte desigualdade:

$ x + 3 & lt 5 $ Para resolver qualquer desigualdade, precisamos & # 8220isolar a variável de um lado & # 8221. Podemos subtrair o número $ 3 $ de ambos os lados e então resolver a expressão do lado direito. Nesse caso, podemos fazer isso de duas maneiras, subtraindo de ambos os lados:

$ x + 3 & # 8211 3 & lt 5 & # 8211 3 $ $ x & lt 2 $ Agora que calculamos o resultado, podemos apresentá-lo de duas maneiras: escrevendo-o como um intervalo e / ou marcando-o no linha numérica. Por motivos de prática, faremos das duas maneiras. Na reta numérica, a solução é: Então, é assim que escreveríamos esse resultado como um intervalo:

$ x varepsilon left & lt- infty, 2 right & gt $

Vamos tentar um com multiplicação. Como resolveríamos esse problema?

Nota: Se multiplicarmos as desigualdades por um número negativo, o sinal de desigualdade muda.

Como podemos ver, a única coisa que precisávamos fazer era multiplicar toda a desigualdade pelo número $ 2 $. A solução de nossa desigualdade contém todos os números maiores que o número $ - frac <5> <2> $, bem como o próprio número $ - frac <5> <2> $. Isso se deve à presença do sinal “maior ou igual” na desigualdade. Na forma de um intervalo, a solução seria escrita como:

$ x varepsilon left [- frac <5> <2>, infty right & gt, $

e assim na linha numérica:

Vamos tentar um exemplo que requer divisão, mas vamos torná-lo um pouco mais interessante. Como resolveríamos esse problema?

Como já dissemos, uma única divisão foi necessária para resolver esta desigualdade, mas neste exemplo tivemos que lembrar uma informação muito importante: quando a variável muda de sinal, o sinal de desigualdade muda para o seu oposto também! Então, em vez de um sinal de “maior que”, terminamos com um sinal de “menor que”.

Portanto, a solução na forma de intervalo é:

$ x varejpsilon left & lt- infty, 4 right & gt $

Então, é isso para desigualdades de uma etapa. Se você gostaria de praticar mais, sinta-se à vontade para usar as planilhas abaixo.


10.2.1: Resolvendo Desigualdades de Uma Etapa - Matemática

Resolvendo Desigualdades de Uma Etapa

· Representar desigualdades em uma reta numérica.

· Use a propriedade de adição da inequação para isolar variáveis ​​e resolver desigualdades algébricas e expressar suas soluções graficamente.

· Use a propriedade de multiplicação da inequação para isolar variáveis ​​e resolver desigualdades algébricas e expressar suas soluções graficamente.

Às vezes, há uma gama de valores possíveis para descrever uma situação. Quando você vê uma placa que diz “Limite de velocidade 25,” você sabe que isso não significa que você tem que dirigir exatamente a uma velocidade de 25 milhas por hora (mph). Este sinal significa que você não deve ir mais rápido do que 40 km / h, mas existem muitas velocidades legais que você pode dirigir, como 22 mph, 24,5 mph ou 19 mph. Em uma situação como essa, que tem mais de um valor aceitável, desigualdades são usados ​​para representar a situação ao invés de equações.

O que é uma desigualdade?

Uma desigualdade é uma declaração matemática que compara duas expressões usando um sinal de desigualdade. Em uma desigualdade, uma expressão da desigualdade pode ser maior ou menor que a outra expressão. Símbolos especiais são usados ​​nessas declarações. A caixa abaixo mostra o símbolo, o significado e um exemplo para cada sinal de desigualdade.

x y x é não igual para y.

Exemplo: O número de dias em uma semana é não igual a 9.

x & gt y x é melhor que y. Exemplo: 6 e 3

Exemplo: O número de dias em um mês é Maior que o número de dias em uma semana.

x & lt y x é menos do que y.

Exemplo : O número de dias em uma semana é Menor que o número de dias em um ano.

x é maior que ou igual a y.

Exemplo : 31 é maior ou igual ao número de dias em um mês.

x é menor ou igual a y.

Exemplo: A velocidade de um carro que dirige legalmente em uma zona de 40 km / h é Menor ou igual a 25 mph.

O importante sobre as desigualdades é que pode haver várias soluções. Por exemplo, a desigualdade “31 ≥ o número de dias em um mês” é uma afirmação verdadeira para cada mês do ano - nenhum mês tem mais de 31 dias. É válido para janeiro, que tem 31 dias (31 ≥ 31), setembro, que tem 30 dias (31 ≥ 30) e fevereiro, que tem 28 ou 29 dias dependendo do ano (31 ≥ 28 e 31 ≥ 29).

A desigualdade x & gt y também pode ser escrito como y & lt x. Os lados de qualquer desigualdade podem ser trocados, desde que o símbolo de desigualdade entre eles também seja invertido.

Representando Desigualdades em uma Linha Numérica

As desigualdades podem ser representadas graficamente em uma reta numérica. Abaixo estão três exemplos de desigualdades e seus gráficos.

Cada um desses gráficos começa com um círculo - um círculo aberto ou fechado (sombreado). Este ponto é freqüentemente chamado de ponto final da solução. Um círculo fechado ou sombreado é usado para representar as desigualdades Melhor que ou igual a ( ) ou menos que ou igual a () O ponto é parte da solução. Um círculo aberto é usado para Maior que (& gt) ou Menor que (& lt). A questão é não parte da solução.

O gráfico então se estende infinitamente em uma direção. Isso é mostrado por uma linha com uma seta no final. Por exemplo, observe que para o gráfico mostrado acima, o ponto final é - 3, representado por um círculo fechado, uma vez que a desigualdade é Melhor que ou igual a - 3. A linha azul é desenhada à direita na linha numérica porque os valores nesta área são maiores que - 3. A seta no final indica que as soluções continuam infinitamente.

Resolvendo Desigualdades Usando Propriedades de Adição e Subtração

Você pode resolver a maioria das desigualdades usando os mesmos métodos usados ​​para resolver equações. Operações inversas podem ser usadas para resolver desigualdades. Isso ocorre porque, ao adicionar ou subtrair o mesmo valor de ambos os lados de uma desigualdade, você manteve a desigualdade. Essas propriedades são descritas na caixa azul abaixo.

Propriedades de adição e subtração da desigualdade

Se uma & gt b, então uma + c & gt b + c

Se uma & gt b, então umac & gt bc

Como as desigualdades têm várias soluções possíveis, representar as soluções graficamente fornece uma visão útil da situação. O exemplo abaixo mostra as etapas para resolver e representar graficamente uma desigualdade.


Desigualdades de uma etapa

Desigualdades de uma etapa são muito fáceis de resolver. Eles são muito semelhantes às equações de uma etapa quando se trata do procedimento de solução. A maior diferença é que, enquanto a solução de uma equação é um número, a solução de uma desigualdade geralmente é um grande grupo de números. Por exemplo, digamos que você precise resolver uma desigualdade parecida com esta:

A primeira coisa que você precisa fazer é mover o número 4 para o lado direito da inequação. Não se esqueça de mudar o sinal do número que você está passando para o outro lado. Depois disso, basta realizar a subtração. Assim:

Como você pode ver, a inequação afirma que x é maior que 4. Isso significa que a solução da inequação são todos números maiores que 4.

Além disso, algo muito importante a lembrar é alterar o sinal de desigualdade ao multiplicar ou dividir a expressão inteira por um número negativo. Por exemplo, digamos que temos uma expressão semelhante a esta:

Para chegar ao valor de x, temos que dividir toda a expressão com (-4). Assim:

Agora temos que mudar esse sinal, ou obteremos o resultado errado. O resultado final será:

Você pode verificar esse resultado inserindo qualquer valor menor que (-4) como o valor de x. Se você deseja praticar a resolução desigualdades de uma etapa, fique à vontade para usar as planilhas de matemática gratuitas abaixo.


Resolvendo Desigualdades

Estas lições examinam as abordagens e técnicas para resolver as desigualdades.

A figura a seguir mostra como resolver desigualdades em duas etapas. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções.


As regras para resolver desigualdades são semelhantes àquelas para resolver equações lineares. No entanto, há uma exceção ao multiplicar ou dividir por um número negativo.

Para resolver uma desigualdade, podemos:

  • Adicione o mesmo número a ambos os lados.
  • Subtraia o mesmo número de ambos os lados.
  • Multiplique ambos os lados pelo mesmo número positivo.
  • Divida os dois lados pelo mesmo número positivo.
  • Multiplicar ambos os lados pelo mesmo número negativo e inverta o sinal.
  • Dividir ambos os lados pelo mesmo número negativo e inverta o sinal.

Desigualdades da forma “x + a & gt b” ou “x + a & lt b”

Exemplo:
Resolva x + 7 e 15

Solução:
x + 7 e 15
x + 7 - 7 & lt 15 - 7
x & lt 8

Desigualdades da forma “x - a & lt b” ou “x - a & gt b”

Exemplo:
Resolva x - 6 & gt 14

Solução:
x - 6 & gt 14
x - 6+ 6 & gt 14 + 6
x & gt 20

Exemplo:
Resolva a desigualdade x - 3 + 2 & lt 10

Solução:
x - 3 + 2 & lt 10
x - 1 e 10
x - 1 + 1 & lt 10 + 1
x & lt 11

Desigualdades da forma “a - x & lt b” ou “a - x & gt b”

Exemplo:
Resolva a desigualdade 7 - x & lt 9

Solução:
7 - x & lt 9
7 - x - 7 & lt 9 - 7
- x & lt 2
x & gt –2 (lembre-se de inverter o símbolo ao multiplicar por –1)

Exemplo:
Resolva a desigualdade 12 & gt 18 - y

Solução:
12 e 18 - y
18 - y & lt 12
18 - a - 18 e lt 12 - 18
- y & lt –6
y & gt 6 (lembre-se de inverter o símbolo ao multiplicar por -1)

Desigualdades da forma “& lt b” ou “& gt b”

Exemplo:
Resolva & gt 3

Solução:
& gt 3
× 5 & gt 3 × 5

Exemplo:
Resolver

Resolvendo Desigualdades Lineares com Termos Similares

Se uma equação tiver termos semelhantes, simplificamos a equação e a resolvemos. Fazemos o mesmo ao resolver desigualdades com termos semelhantes.

Exemplo:
Avalie 3x - 8 + 2x & lt 12

Solução:
3x - 8 + 2x & lt 12
3x + 2x & lt 12 + 8
5x e 20
x & lt 4

Exemplo:
Avalie 6x - 8 & gt x + 7

Solução:
6x - 8 & gt x + 7
6x - x & gt 7 + 8
5x & gt 15
x & gt 3

Exemplo:
Avalie 2 (8 - p) ≤ 3 (p + 7)

Solução:
2 (8 - p) ≤ 3 (p + 7)
16 - 2p ≤ 3p + 21
16 - 21 ≤ 3p + 2p
–5 ≤ 5p
–1 ≤ p
p ≥ -1 (a & lt b é equivalente a b & gt a)

Uma introdução para resolver desigualdades

Resolvendo Desigualdades Lineares de Uma Etapa em uma Variável

As soluções para as desigualdades lineares podem ser expressas de várias maneiras: usando desigualdades, usando um gráfico ou usando a notação de intervalo.

As etapas para resolver as desigualdades lineares são iguais às equações lineares, exceto se você multiplicar ou dividir por um negativo ao resolver para a variável, deverá inverter o símbolo de desigualdade.

Exemplo:
Resolver. Expresse a solução como uma notação de desigualdade, gráfico e intervalo.
x + 4 & gt 7
-2x & gt 8
x / -2 & gt -1
x - 9 ≥ -12
7x & gt -7
x - 9 ≤ -12

Resolvendo Desigualdades Lineares de Duas Etapas em uma Variável

Exemplo:
Resolver. Expresse a solução como uma notação de desigualdade, gráfico e intervalo.
3x + 4 ≥ 10
-2x - 1 & gt 9
10 ≥ -3x - 2
-8 & gt 5x + 12

Resolvendo Desigualdades Lineares

Regra principal a ser lembrada: se você multiplicar ou dividir por um número negativo, a desigualdade muda de direção.

Exemplos de como resolver desigualdades lineares são mostrados:

Exemplo:
Resolver:
3x - 6 e 8x - 7

Resolvendo Desigualdades

Os alunos aprendem que, ao resolver uma desigualdade, como -3x é menor que 12, o objetivo é o mesmo de resolver uma equação: colocar a variável sozinha de um lado.

Observe que ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma inequação por um número negativo, a direção do sinal de desigualdade deve ser trocada.

Por exemplo, para resolver -3x é menor que 12, divida ambos os lados por -3, para obter x é maior que -4.

E ao representar graficamente uma desigualdade em uma linha numérica, menor ou maior que é mostrado com um ponto aberto e menor ou igual ou maior que ou igual a é mostrado com um ponto fechado.

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Lane ORCCA (2020–2021): Recursos Abertos para Álgebra do Community College

Aprendemos como verificar se um número específico é a solução para uma equação ou desigualdade. Nesta seção, começaremos a aprender como encontrar a (s) solução (ões) para as desigualdades básicas.

Com uma pequena complicação, podemos usar propriedades muito semelhantes ao Fato 2.5.11 quando resolvemos desigualdades (em oposição a equações).

Aqui estão alguns exemplos numéricos.

Se (2 lt4 text <,> ) então (2 addright <1> stackrel < checkmark> < lt> 4 addright <1> text <.> )

Se (2 lt4 text <,> ) então (2 subtractright <1> stackrel < checkmark> < lt> 4 subtractright <1> text <.> )

Multiplique em ambos os lados por um positivo número

Se (2 lt4 text <,> ) então ( multiplyleft <3> 2 stackrel < checkmark> < lt> multiplyleft <3> 4 text <.> )

Divida em ambos os lados por um positivo número

No entanto, algo interessante acontece quando multiplicamos ou dividimos pelo mesmo negativo número em ambos os lados de uma desigualdade: a direção se inverte! Para entender o porquê, considere a Figura 2.6.1, onde os números (2 ) e (4 ) são multiplicados pelo número negativo (- 1 texto <.> )

Portanto, embora (2 lt4 text <,> ) se multiplicarmos ambos os lados por (- 1 text <,> ), temos (- 2 stackrel < text> < lt> -4 text <.> ) (A verdadeira desigualdade é (- 2 gt-4 text <.> ))

Em geral, devemos aplicar a seguinte propriedade ao resolver uma desigualdade.

Fato 2.6.2. Mudando a direção do sinal de desigualdade.

Quando multiplicamos ou dividimos cada lado de uma desigualdade pelo mesmo negativo número, o sinal de desigualdade deve mudar de direção. Não mude o sinal de desigualdade ao multiplicar / dividir por um número positivo ou ao adicionar / subtrair por qualquer número.

Exemplo 2.6.3.

Resolva a desigualdade (- 2x geq12 text <.> ) Declare o conjunto de soluções graficamente, usando a notação de intervalo e a notação de construtor de conjunto. (A notação de intervalo e a notação de construtor de conjunto são discutidas na Seção 1.7.

Para resolver essa desigualdade, vamos dividir cada lado por (- 2 text <:> )

Observe que o sinal de desigualdade mudou de direção na etapa em que dividimos cada lado da desigualdade por um negativo número.

Quando resolvemos um linear equação, geralmente há exatamente uma solução. Quando resolvemos um linear desigualdade, geralmente há infinitas soluções. Para este exemplo, qualquer número menor que (- 6 ) ou igual a (- 6 ) é uma solução.

Existem pelo menos três maneiras de representar o conjunto de soluções para a solução de uma desigualdade: graficamente, com notação de construtor de conjunto e com notação de intervalo. Graficamente, representamos o conjunto de soluções como:

Usando a notação de intervalo, escrevemos o conjunto de solução como ((- infty, -6] text <.> ) Usando a notação set-builder, escrevemos o conjunto de solução como ( text <.> )

Tal como acontece com as equações, devemos verificar as soluções para capturar os erros humanos, bem como para possíveis soluções estranhas (números que foram possível soluções de acordo com a álgebra, mas que na verdade não resolvem a desigualdade).

Como existem infinitas soluções, é impossível verificar todas elas literalmente. Descobrimos que todos os valores de (x ) para os quais (x leq-6 ) são soluções. Uma abordagem é verificar se (- 6 ) satisfaz a desigualdade e também se um número menor que (- 6 ) (qualquer número, sua escolha) é uma solução.

Assim, ambos (- 6 ) e (- 7 ) são soluções. É importante observar que isso não verifica diretamente se tudo soluções para essa verificação de desigualdade. Mas é uma evidência de que nossa solução está correta e é valioso porque fazer essas duas verificações provavelmente nos ajudaria a detectar um erro, se tivéssemos cometido um. Consulte seu instrutor para ver se você deve verificar sua resposta dessa maneira.

Exemplo 2.6.4.

Resolva a desigualdade (t + 7 lt5 text <.> ) Enuncie o conjunto de soluções graficamente, usando a notação de intervalo e a notação de construtor de conjunto.

Para resolver essa desigualdade, vamos subtrair (7 ) de cada lado. Não há muita diferença entre este processo e resolver o equação (t + 7 = 5 text <,> ) porque não vamos multiplicar ou dividir por números negativos.

Note again that the direction of the inequality did not change, since we did not multiply or divide each side of the inequality by a negative number at any point.

Graphically, we represent this solution set as:

Using interval notation, we write the solution set as ((-infty,-2) ext<.>) Using set-builder notation, we write the solution set as ( text <.> )

We should check that (-2) is não a solution, but that some number less than (-2) é a solution.


Respond to this Question

Algebra

Which inequality represents the graph shown below ? -5___________0____________5 I don't understand it This is Solving MultiStep Inequalities Quiz Part 1

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(please solve step by step) solving equation (6x+2)/4 + (2x²-1)/(2x²+2) = (10x-1)/4x we got roots as

A method for solving 5(x-2)-2(x-5)=9 is shown below.Identify the property used as you continue from step 2 to step 3 1:5x-10-2x+10=9 2:5x-2x-10+10=9 3:3x=0=9 4:3x=9 5:x=3

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1.solve x-7>10 a.x>3 b.x>7 c.x>17 d.x>70 this is for the solving multiple step inequalities please help with all ten questions i have 1.a 2.d 3.c 4.c 5.b 6.d 7.c 8.d 9.b 10.b warning these are what i have and are not correct

George Polya has a four-step process for Problem Solving. What is the first step?

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When solving the equation, what property was used to go from step 3 to step 4? Step 1: -(2x+3= x-18 Step 2: -2x-3=x-18 Step 3: -3=3x-18 Step 4: 15=3x A)APOE B)SPOE C)MPOE D)DPOE

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How are solving equations and inequalities the same? How are they different?

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Solving Inequalities Unit Test. Which number is a solution of the inequality? g> 6.4 a. 7 b. 6 c. 6.4 d. -7

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Josephine solved a quadratic equation: (x+6)^2=49. Her work is shown below. Step 1: √(x+6)^2 = √49 Step 2: x+6 = 7 Step 3: x = 7−6 Step 4: x = 1 In which step did Josephine make an error? A- step 4 B- step 1 C- step 2 D-

Physics

You are given vectors A = 5.0i - 6.5j and B = -2.5i + 7.0j. A third vector C lies in the xy-plane. Vector C is perpendicular to vector A and the scalar product of C with B is 15.0. Find the x and y components to vector C. Here's

Math 7 A

lesson 10: solving inequalities by adding and subtracting Math 7 A Unit 5: Equations and Inequalities, 1. What is -m 7 (less than sign) 6 either A: m Less than -13 B: m Less than 1 C: m Less than -1 D: m less than 13 I think its C


Math Review of Inequalities

While equations are statements that two quantities are equal, inequalities state that quantities are not equal. One side of the expression might be greater than the other side, or one side of the expression may be less. Correct solutions for variables encompass more than one number.

Desigualdades

Inequalities include symbols such as greater than >, less than <, greater than or equal to ≥, less than or equal to ≤, or not equal to ≠. They can be expressed in words such as the real numbers that are greater than 5, in symbols such as x >5, or in set builder notation . The values that solve the inequality are those that make it true. If x>5, then 4 cannot be a solution, but 5.01 can be. Similarly, if y +3 >5, then 3 can be a solution, because 3 +3 is 6 and 6 is greater than 5.

Graphing Inequalities

Writing a solution set in set-builder notation and listing enough members to give the pattern can consume both time and space. For example, the solution to can include <15.1, 15.2, 15.3, 15.4 …16, 16.1, 16.2 …>and so on. It can also be graphed on the number line. If the inequality is stated as either greater than or less than, than the endpoint of the ray is not a solution and it can be left as an open circle. If the variable is isolated on the left side of the inequality symbol, then the graph on the number line can point in the same direction as the inequality symbol. For example, 3 > x can be rewritten as x <3, and all numbers on the number line are less than 3 can be shaded in the same direction.

Solving Inequalities by Adding or Subtracting

Solving inequalities uses the same identity properties for addition and subtraction as solving equations. For example, to solve an inequality such as 3 + x <12, use the additive inverse so that 3-3 +x <12 -3. That isolates the variable, so x <9. Suppose that q – ½ >6. Then q- ½ + ½ > 6 + ½.

Solving Inequalities by Multiplying or Dividing

Solving inequalities by multiplying or dividing uses the same identity properties as equations with one important difference. If the number to be multiplied or divided is positive, then the direction of the inequality stays the same. However, if the number to be multiplied or divided is negative, the direction of the inequality is reversed.

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WRITING AND SOLVING ONE STEP INEQUALITIES 

In this section, you will learn how to create an  inequality  for the given  word problem ਋y using algebraic reasoning and solve for the unknown quantity.

Sum of a number and 5 is less than -12. Find the number.

Solve the inequality using  Subtraction Property of Inequality.

Subtract 5 on from both sides. 

So, the number is any value less than -17. 

David has scored 110 points in the first level of a game. To play the third level, he needs more than 250 points. To play third level, how many points should he score in the second level ?

Let x be points scored in the second level

He has already had 110 points in the first level.  

Points scored scored in the second level  =  x

Total points in the first two levels  =  x + 110

To play third level, the total points in the first two levels should be more than 250. So, we have

Subtract 110 on from both sides. 

So, he has to score more than 140 points in the second level. 

An employer recruits experienced and fresh workmen for his firm under the condition that he cannot employ more then 9 people. If 5 freshmen are recruited, how many experienced men have to be recruited ? 

Let x be the no. of freshmen to be recruited. 

Subtract 5 from both sides.

To meet the given condition, no. of freshmen to be recruited can be less than or equal to 4. 

An employee of a factory has to maintain an output of at least 30 units of work per week. If there are five working day in a week, how many units of work to be done by him per day ? 

Let x be the no. of units of work done per day. 

A partir das informações fornecidas, temos

Total number of units of work done per week  =  5x

As per the question, total number of units of work done per week should be at least 30 units. So, we have

So, the number of units of work to be done per day should be at least 6.

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