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1.6: Modelagem com funções lineares


Ao modelar cenários com uma função linear e resolver problemas envolvendo quantidades que mudam linearmente, normalmente seguimos as mesmas estratégias de resolução de problemas que usaríamos para qualquer tipo de função:

Estratégia de resolução de problemas

  1. Identifique as quantidades variáveis ​​e, em seguida, defina as variáveis ​​descritivas com cuidado e clareza para representá-las. Quando apropriado, esboce uma imagem ou defina um sistema de coordenadas.
  2. Leia atentamente o problema para identificar informações importantes. Procure informações que forneçam valores para as variáveis ​​ou valores para partes do modelo funcional, como inclinação e valor inicial.
  3. Leia atentamente o problema para identificar o que estamos tentando encontrar, identificar, resolver ou interpretar.
  4. Identifique um caminho de solução das informações fornecidas até o que estamos tentando encontrar. Freqüentemente, isso envolverá verificar e rastrear unidades, construir uma tabela ou mesmo encontrar uma fórmula para a função que está sendo usada para modelar o problema.
  5. Quando necessário, encontre uma fórmula para a função.
  6. Resolva ou avalie usando a fórmula que você encontrou para as quantidades desejadas.
  7. Reflita se sua resposta é razoável para a situação dada e se faz sentido matematicamente.
  8. Transmita claramente seu resultado usando unidades apropriadas e responda em frases completas quando apropriado.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Uma empresa comprou $ 120.000 em novos equipamentos de escritório. Em seguida, espere que o valor deprecie (diminua) em $ 16.000 por ano. Encontre um modelo linear para o valor, então encontre e interprete a interceptação horizontal e determine um domínio e intervalo razoáveis ​​para esta função.

Solução

No problema, existem duas quantidades variáveis: tempo e valor. O valor restante do equipamento depende de há quanto tempo a empresa o possui. Podemos definir nossas variáveis, incluindo unidades.

Resultado: (V ), valor restante, em dólares

Entrada: (t ), tempo, em anos

Lendo o problema, identificamos dois valores importantes. O primeiro, $ 120.000, é o valor inicial de (V ). O outro valor parece ser uma taxa de variação - as unidades de dólares por ano correspondem às unidades de nossa variável de produto divididas por nossa variável de entrada. O valor está se depreciando, então você deve reconhecer que o valor restante está diminuindo a cada ano e a inclinação é negativa.

Usando a interceptação e a inclinação fornecidas no problema, podemos escrever a equação: (V (t) = 120.000 - 16.000t ).

Para encontrar a interceptação horizontal, definimos a saída para zero e resolvemos para a entrada:

[ begin {align *} 0 & = 120.000 - 16.000t t & = frac {120.000} {16.000} = 7,5 end {align *} ]

A interceptação horizontal é de 7,5 anos. Como isso representa o valor da entrada onde a saída será zero, interpretando isso, poderíamos dizer: O equipamento não terá valor remanescente após 7,5 anos.

Ao modelar qualquer cenário da vida real com funções, normalmente há um domínio limitado sobre o qual esse modelo será válido - quase nenhuma tendência continua indefinidamente. Neste caso, certamente não faz sentido falar sobre valores de entrada menores que zero. Este modelo também não é válido após a interceptação horizontal.

O domínio representa o conjunto de valores de entrada e, portanto, o domínio razoável para esta função é (0 leq t leqs 7.5 ). O intervalo representa o conjunto de valores de saída e o valor começa em $ 120.000 e termina com $ 0 após 7,5 anos, portanto, o intervalo correspondente é (0 leq V (t) leqs 120.000 ).

Mais importante, lembre-se de que o domínio e a faixa estão interligados, e tudo o que você decidir ser mais apropriado para o domínio (a variável independente) ditará os requisitos para a faixa (a variável dependente).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Jamal está escolhendo entre duas empresas de mudanças. O primeiro, U-Haul, cobra uma taxa inicial de US $ 20, depois de 59 centavos por milha. O segundo, Budget, cobra uma taxa inicial de $ 16, depois de 63 centavos por milha (taxas obtidas em 2 de agosto de 2010 em www.budgettruck.com e http://www.uhaul.com/). Quando o U-Haul será a melhor escolha para Jamal?

Solução

As duas quantidades importantes neste problema são o custo e o número de milhas percorridas. Como temos duas empresas a considerar, definiremos duas funções:

Entrada: (m ), milhas conduzidas

Saídas:

(Y (m) ): custo, em dólares, para alugar na U-Haul

(B (m) ): custo, em dólares, para alugar do Budget

Lendo o problema com atenção, parece que recebemos um custo inicial e uma taxa de alteração para cada empresa. Como nossos resultados são medidos em dólares, mas os custos por milha dados no problema são em centavos, precisaremos converter essas quantidades para corresponder às unidades desejadas: $ 0,59 por milha para U-Haul e $ 0,63 por milha para Budget.

Olhando para o que estamos tentando encontrar, queremos saber quando o U-Haul será a melhor escolha. Uma vez que tudo o que temos para tomar essa decisão são os custos, estamos procurando quando o U-Haul custará menos ou quando (Y (m)

[Y (m) = 20 + 0,59m não numérico ]
[B (m) = 16 + 0,63m não numérico ]

Esses gráficos são esboçados à direita, com Y (m) desenhado a tracejado.

Para encontrar a interseção, igualamos as equações e resolvemos:

[ begin {array} {rcl} {Y (m)} & = & {B (m)} {20 + 0,59m} & = & {16 + 0,63m} {4} & = & {0,04m} {m} & = & {100} end {array} nonumber ]

Isso nos diz que o custo das duas empresas será o mesmo se 100 milhas forem percorridas. Olhando para o gráfico ou observando que (Y (m) ) está crescendo a uma taxa mais lenta, podemos concluir que o U-Haul será o preço mais barato quando mais de 100 milhas forem percorridas.

Exemplo ( PageIndex {3} )

A receita de uma empresa tem crescido linearmente. Em 2012, sua receita foi de US $ 1,45 milhão. Em 2015, a receita cresceu para US $ 1,81 milhão. Se essa tendência continuar,

uma. Preveja a receita em 2020.

b. Quando a receita chegará a US $ 3 milhões?

Solução

As duas quantidades variáveis ​​são a receita e o tempo. Embora pudéssemos usar o valor do ano real como a quantidade de entrada, isso tende a levar a equações muito feias, uma vez que a interceptação vertical corresponderia ao ano 0, mais de 2.000 anos atrás!

Para tornar as coisas um pouco mais agradáveis ​​e também para tornar nossas vidas mais fáceis, definiremos nossa contribuição como anos desde 2012:

Entrada: (t ), anos desde 2012

Resultado: (R (t) ), a receita da empresa, em milhões de dólares

O problema nos dá dois pares de entrada-saída. Convertendo-os para coincidir com nossas variáveis ​​definidas, o ano de 2012 corresponderia a (t = 0 ), dando o ponto ((0, 1,45) ). Observe que, por meio de nossa escolha inteligente de definição de variável, “nos demos” a interceptação vertical da função. O ano de 2015 corresponderia a (t = 3 ), dando o ponto ((3, 1,81) ).

Para prever a população em 2020 ( (t = 8 )), precisaríamos de uma equação para a população. Da mesma forma, para descobrir quando a receita alcançaria $ 3 milhões, precisaríamos resolver para a entrada que forneceria uma saída de 3. De qualquer maneira, precisamos de uma equação. Para encontrá-lo, começamos calculando a taxa de mudança:

[m = frac {1,81 - 1,45} {3 - 0} = frac {0,36} {3} = 0,12 text {milhões de dólares por ano.} nonumber ]

Como já sabemos a interceptação vertical da linha, podemos escrever imediatamente a equação:

[R (t) = 1,45 + 0,12t ]

Para prever a receita em 2020, avaliamos nossa função em (t = 8 ),

[R (8) = 1,45 + 0,12 (8) = 2,41 não numérico ]

Se a tendência continuar, nosso modelo prevê uma receita de US $ 2,41 milhões em 2020.

Para descobrir quando a população atingirá $ 3 milhões, podemos definir (R (t) = 3 ) e resolver para (t ).

[ begin {align *} 3 & = 1,45 + 0,12t 1,55 & = 0,12t t & approx 12,917 end {align *} ]

Nosso modelo prevê que a receita chegará a US $ 3 milhões em pouco menos de 13 anos após 2012, ou pouco antes do ano de 2025.

Nos negócios, uma aplicação muito comum de funções é modelar custos, receitas e lucros.

Definição: Palavra

Quando uma empresa produz q itens, o custo total é o custo do custo total de produção desses itens. O custo total inclui ambos custos fixos, que são custos iniciais, como equipamentos e edifícios, e custos variáveis, que são custos que dependem do número de itens produzidos, como materiais e mão de obra.

No caso mais simples, Custo total = (custos fixos) + (custos variáveis) ∙ q

Receita é a quantidade de dinheiro que uma empresa obtém com as vendas.

No caso mais simples, Receita = (Preço por item) ∙ q

Lucro é a quantidade de dinheiro trazida, após as despesas.

Lucro = receita - custos

Costumamos falar sobre o empatar apontar. Este é o nível de produção onde a receita é igual ao custo ou, de forma equivalente, onde o lucro é zero. Normalmente, esse é o nível mínimo de vendas necessário para a empresa obter lucro.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Uma startup de tecnologia está procurando desenvolver e lançar um novo aplicativo móvel. O desenvolvimento inicial do aplicativo custará US $ 300.000, e eles estimam que o marketing e o suporte para cada usuário custarão US $ 0,50. Embora o aplicativo seja gratuito, eles estimam que poderão gerar US $ 2 por usuário, em média, com as compras no aplicativo. De quantos usuários a empresa precisará para atingir o ponto de equilíbrio?

Começamos modelando o custo, receita e lucro. Deixar q = número de usuários.

Os custos fixos (iniciais) são de $ 300.000 e os custos variáveis ​​(por item) são de $ 0,50 por usuário. Podemos escrever a equação do custo total:

[TC (q) = 300.000 + 0,50q não numérico ]

A receita será de $ 2 por usuário, então a equação de receita será:

[R (q) = 2q não numérico ]

Poderíamos encontrar o ponto de equilíbrio definindo o custo total igual à receita, o que é equivalente a encontrar a interseção das linhas.

Como alternativa, podemos ir em frente e encontrar uma equação de lucro primeiro:

[P (q) = R (q) - TC (q) = 2q - left ({300.000 + 0.50q} right) = 1.5q - 300.000 nonumber ]

O ponto de equilíbrio pode ser encontrado definindo o lucro igual a zero:

[ begin {align *} 0 & = 1.5q - 300.000 q & = 200.000 end {align *} ]

A empresa terá de adquirir 200.000 usuários para atingir o ponto de equilíbrio.

Exercício ( PageIndex {1} )

Uma loja de donuts estima que suas despesas diárias fixas sejam de $ 600. Se cada donut custar cerca de US $ 0,05 para fazer e for vendido por US $ 0,60, quantos donuts eles precisam vender para atingir o ponto de equilíbrio?

Responder

Receita: (R = 0,60q )

Equilibre quando (R = C ), com uma quantidade de cerca de 1091 donuts por dia.

Na economia, existe um modelo de como os preços são determinados em um mercado livre que afirma que oferta e procura para um produto está relacionado ao preço. A relação de demanda mostra a quantidade de um determinado produto que os consumidores estão dispostos a comprar a um determinado preço. Normalmente, a quantidade demandada diminuirá para um item se o preço aumentar. A relação de fornecimento mostra a quantidade de um produto que os fornecedores estão dispostos a produzir a um determinado preço de venda. Normalmente, a oferta demandada aumentará se o preço aumentar. A teoria econômica diz que a oferta e a demanda irão interagir, e a interseção será o preço de equilíbrio, ou preço de mercado, onde a quantidade ofertada e demandada serão iguais.

Oferta e procura

Se (p ) é o preço de um produto, então

(Q_d ) é a quantidade demandada;

(Q_s ) é a quantidade fornecida.

A curva de demanda é uma função decrescente, enquanto a curva de oferta é uma função crescente.

A interseção das curvas é o preço e quantidade de equilíbrio, também chamado de preço de mercado e quantidade. Este ponto é freqüentemente notado como (p ^ *, Q ^ * ).

Nos capítulos posteriores, você explorará as curvas de oferta e demanda que não são lineares, mas neste capítulo nos concentraremos nas funções lineares de oferta e demanda.

Na maioria dos livros de economia, você verá a curva de oferta e demanda escrita com o preço como entrada e a quantidade como saída, como (Q_d = 140 - 2p ). No entanto, os gráficos de oferta e demanda são desenhados com preço no eixo vertical e quantidade na horizontal. Em um esforço para evitar confusão, na maioria das vezes neste texto, escreveremos curvas de oferta e demanda com o preço como saída, para coincidir com sua colocação no eixo vertical.

Exemplo ( PageIndex {5} )

A um preço de US $ 2,50 por galão, há uma demanda em certa cidade por 42,5 mil galões de gás e um fornecimento de 20 mil galões. Ao preço de R $ 3,50, há demanda para 25,5 mil galões e oferta de 28 mil galões. Supondo que a oferta e a demanda sejam lineares, encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.

Solução

Começamos encontrando uma equação linear para oferta e demanda. Usaremos o preço, (p ) em dólares, como saída e quantidade, (q ) em milhares de galões, como entrada.

Para abastecimento, temos os pontos ((20, 2,50) ) e ((28, 3,50) ).

Encontrando a inclinação: (m = frac {3,50 - 2,50} {28 - 20} = frac {1} {8} )

Sabemos que a equação será semelhante a (p = frac {1} {8} q + b ), portanto, substituindo em ((20, 2,50) ),

[ begin {align *} 2,5 & = frac {1} {8} (20) + b 2,5 & = 2,5 + b b & = 0 end {align *} ]

A equação da oferta é: (p = frac {1} {8} q )

Para a demanda, temos os pontos ((42,5, 2,50) ) e ((25,5, 3,50) ). Usando uma abordagem semelhante, podemos encontrar a equação da demanda: (p = - frac {1} {17} q + 5 ).

Para encontrar o equilíbrio, definimos a oferta igual à demanda:

[ begin {align *} frac {1} {8} q & = - frac {1} 17q + 5 & quad text {Multiplicando por 8 (17) = 136 para limpar as frações} & 136 left ( frac {1} {8} q right) & = 136 left (- frac {1} {17} q + 5 right) & 17q & = - 8q + 680 & quad text {Agora resolvemos para} q & 25q & = 680 & q & = 27.2 & end {align *} ]

Para encontrar o preço de equilíbrio, podemos substituir esse valor de volta em qualquer equação:

[p = frac {1} {8} (27,2) = 3,4 não numérico ]

A quantidade de equilíbrio será de 27,2 mil galões de gás a um preço de $ 3,40.

Exercício ( PageIndex {1} )

Uma empresa estima que, a um preço de $ 140, haverá demanda por 4.000 itens e, para cada aumento de $ 5 no preço, a demanda diminuirá em 200 itens. A curva de oferta é (p = frac {1} {20} q ). Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.

Responder

Demanda: (p = - frac {1} {40} q + 240 )

Oferta = demanda quando (q = 3200, p = $ 160 )

Tópicos importantes desta seção

O processo de resolução de problemas

  1. Identifique as quantidades variáveis ​​e, em seguida, defina com cuidado e clareza as variáveis ​​descritivas para representar essas quantidades. Freqüentemente, isso envolverá verificar e rastrear unidades, construir uma tabela ou mesmo encontrar uma fórmula para a função que está sendo usada para modelar o problema.
  2. Quando necessário, encontre uma fórmula para a função.
  3. Resolva ou avalie usando a fórmula que você encontrou para as quantidades desejadas.
  4. Transmita claramente seu resultado usando unidades apropriadas e responda em frases completas quando apropriado.


Assista o vídeo: Funkcja liniowa - praktyczny sposób na rysowanie wykresu (Outubro 2021).