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16.3: Independência de Caminho, Campos Conservadores e Funções Potenciais


Para certos campos vetoriais, a quantidade de trabalho necessária para mover uma partícula de um ponto a outro depende apenas de suas posições inicial e final, não do caminho que ela percorre. Esta seção discutirá as propriedades desses campos vetoriais.

Definição: Caminho Independente e Conservador

Seja ( mathbf {F} ) um campo vetorial definido em uma região aberta D no espaço, e suponha que para quaisquer dois pontos UMA e B dentro D a linha integral

[ int_ {C} ^ {} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} ]

ao longo de um caminho C a partir de UMA para B dentro D é o mesmo em todos os caminhos de UMA para B. Então a integral [ int_ {C} ^ {} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} ] é caminho independente em D e o campo F é conservador em D.

Função Potencial

Definição: Se F é um campo vetorial definido em D e [ mathbf {F} = triangledown f ] para alguma função escalar f sobre D, então f é chamado de função potencial para F. Você pode calcular todas as integrais de linha no domínio F sobre qualquer caminho entre UMA e B depois de encontrar a função potencial f

[ int_ {A} ^ {B} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} = int_ {A} ^ {B} triangledown f mathit {d} mathbf {r } = mathit {f (B)} - mathit {f (A)} ]

Isso pode ser relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, uma vez que o gradiente pode ser considerado semelhante à derivada. Outra propriedade importante dos campos vetoriais conservativos é que a integral de F em torno de qualquer caminho fechado D é sempre 0.

Suposições sobre curvas, campos de vetores e domínios

Para fins computacionais, temos que assumir as seguintes propriedades em relação às curvas, superfícies, domínios e campos vetoriais:

  1. As curvas que consideramos são por partes liso, o que significa que eles são compostos de muitas peças infinitesimalmente pequenas e suaves conectadas de ponta a ponta.
  2. Assumimos que o domínio D é um região aberta simplesmente conectada, o que significa que quaisquer dois pontos em D pode ser unida por uma curva suave dentro da região e que cada loop em D pode ser contraído até um ponto em D sem nunca sair D.

Teorema 1: Teorema Fundamental dos Integrais de Linha

Deixar C ser uma curva suave unindo o ponto UMA apontar B no minério plano no espaço e parametrizado por ( mathbf {r} (t) ). Deixar f ser uma função diferenciável com um vetor gradiente contínuo ( mathbf {F} = bigtriangledown {f} ) em um domínio D contendo C. Então ( int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = f (B) -f (A) ).

Prova

Suponha que UMA e B são dois pontos na região D e que a curva C é dado por [ mathbf {r} (t) = x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} ] é uma curva suave em D que junta pontos UMA e B. Ao longo C, f é uma função diferenciável de t e

[ begin {align *} dfrac { partial f} { partial t} & = dfrac { partial f} { partial x} dfrac { partial x} { partial t} + dfrac { parcial f} { parcial y} dfrac { parcial y} { parcial t} + dfrac { parcial f} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial t} & = bigtriangledown f cdot left ( dfrac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t} mathbf {i} + dfrac { mathrm {d} y} { mathrm {d} t} mathbf {j} dfrac { mathrm {d} z} { mathrm {d} t} mathbf {k} right) & = bigtriangledown f cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} & = mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} end {alinhar * } ]

Portanto,

[ int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = int_ {t = a} ^ {t = b} mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} dt = int_a ^ b dfrac { mathrm {d} f} { mathrm {d} t} dt não numérico ]

*Observação:

[ mathbf {r} (a) = A, ; mathbf {r} (b) = B não numérico ]

Que significa:

[deixou. f (g (t), h (t), k (t)) right | _a ^ b = f (B) -f (A) nonumber ]

Provando assim o Teorema 1. Isso nos mostra que a integral de um campo gradiente é fácil de calcular, desde que conheçamos a função (f ).

(quadrado)

Como mencionado anteriormente, isso é muito semelhante ao Teorema Fundamental do Cálculo, tanto em teoria quanto em importância. Como o FTC, ele nos fornece uma maneira de avaliar as integrais de linha sem limites das somas de Riemann.

Teorema 2: Campos conservadores são campos de gradiente

Seja ( mathbf {F} = M hat { mathbf {i}} + N hat { mathbf {j}} + P hat { mathbf {k}} ) um campo vetorial cujos componentes são contínuo ao longo de uma região conectada aberta D no espaço. Então F é conservador se e somente ele F é um campo gradiente ( bigtriangledown f ) para uma função diferenciável f.

Prova

Se F é um campo gradiente, então ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) para uma função diferenciável f. Pelo Teorema 1, sabemos que [ int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} = f (B) -f (A) ] e que o valor da integral de linha depende apenas dos dois pontos finais , não no caminho. A integral de linha é considerada independente e F é um campo conservador.

No entanto, suponha F é um campo vetorial conservador e queremos encontrar alguma função f sobre D de modo que ( bigtriangledown f = mathbf {F} ). Primeiro, devemos escolher um ponto UMA no domínio D de modo que (f (A) = 0 ). Para qualquer outro ponto B, devemos definir (f (B) ) como igual a [ int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r}, ] onde a curva C é algum caminho suave em D a partir de UMA para B. Porque F é conservador, sabemos que (f (B) ) não depende de C e vice versa. A fim de mostrar que ( bigtriangledown f = mathbf {F}, ) precisamos mostrar que

[ dfrac { parcial f} { parcial x} = M, dfrac { parcial f} { parcial y} = N, dfrac { parcial f} { parcial z} = P. não número ]

Suponha que B tenha coordenadas ((x, y, z) ) e um ponto próximo (B_0 = (x_0, y, z). ) Por definição, então, o valor da função f no ponto próximo é [ int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r}, ] onde (C_0 ) é qualquer caminho de A a (B_0. ) Podemos considerar o caminho C como a união entre os caminhos (C_0 ) e segmento de linha L de B a (B_0 ). Portanto,

[f (x, y, z) = int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

Podemos diferenciar essa integral, chegando a:

[ dfrac { partial} { partial x} f (x, y, z) = dfrac { partial} { partial x} left ( int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} right) nonumber ]

Apenas o último termo da equação acima é dependente de x, então

[ dfrac { parcial} { parcial x} f (x, y, z) = dfrac { parcial} { parcial x} int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

Agora, se parametrizarmos (L ) de modo que

[ mathbf {r} (t) = t mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} nonumber ]

onde (x_0 leq t leq x ) Então,

[ dfrac { mathrm {d} r} { mathrm {d} t} = mathbf {i} ] [ mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} r} { mathrm {d} t} = M não numérico ]

e

[ int_L mathbf {f} cdot d mathbf {r} = int_ {x_0} ^ xM (t, y, z) dt] nonumber ]

A substituição nos dá

[ dfrac { parcial} { parcial x} f (x, y, z) = dfrac { parcial} { parcial x} int_ {x_0} ^ xM (t, y, z) dt = M (x, y, z) não numérico ]

pela FTC. As derivadas parciais

[ dfrac { partial f} { partial y} = N nonumber ]

e

[ dfrac { partial f} { partial z} = P nonumber ]

siga da mesma forma, mostrando que

[ mathbf {F} = bigtriangledown f nonumber ]

(quadrado)

Em outras palavras, ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) só é verdadeiro quando, para quaisquer dois pontos UMA e B na região D, ( int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} ) é independente do caminho C que une os dois pontos em D.

Teorema 3: Propriedade Looper de Campos Conservadores

As seguintes declarações são equivalentes:

  • ( oint_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = 0 ) em torno de cada loop (curva fechada C) dentro D.
  • O campo F é conservador sobre D.

Prova

Parte 1

Queremos mostrar que para quaisquer dois pontos UMA e B dentro D, o ingtegral de

[ mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

tem o mesmo valor em quaisquer dois caminhos (C_1 ) & (C_2 ) de A para B.

Invertemos a direção de (C_2 ) para fazer o caminho (- C_2 ) de B para A.

Juntas, as duas curvas (C_1 ) & (- C_2 ) formam um loop fechado, que chamaremos C.

Se você se lembra do início desta seção, a integral sobre um loop fechado para um campo conservador é sempre 0:

[ begin {align *} int_ {C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} - int_ {C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_ { C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int _ {- C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = 0 end {align *} ]

Portanto, os integrais sobre (C_1 ) & (C_2 ) devem ser iguais.

Parte 2

Queremos mostrar que a integral sobre ( mathbf {F} cdot d mathbf {r} ) é zero para qualquer circuito fechado C. Nós escolhemos dois pontos A e B em C e usá-los para quebrar C em 2 partes: (C_1 ) de A para B e (C_2 ) de B de volta para A.

Portanto:

[ begin {align *} oint _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_ {C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_ {C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_A ^ B mathbf {F} cdot d mathbf {r} - int_A ^ B mathbf {F} cdot d mathbf { r} & = 0 end {align *} ]

(quadrado)

Encontrando Potenciais para Campos Conservadores

Teste de componente para campos conservadores: Seja ( mathbf {F} = M (x, y, z) hat { textbf {i}} + N (x, y, z) hat { textbf {j}} + P (x, y, z) hat { textbf {k}} ) ser um campo em um domínio conectado e simplesmente conectado cujas funções componentes têm primeiras derivadas parciais contínuas. Então, F é conservador se e somente se

[ dfrac { parcial P} { parcial x} = dfrac { parcial M} { parcial z} ]

[ dfrac { parcial P} { parcial y} = dfrac { parcial N} { parcial z} ]

e

[ dfrac { parcial N} { parcial x} = dfrac { parcial M} { parcial y}. ]

* Nota: Ver Exemplo 2

Definição: Formas Diferenciais Exatas

Qualquer expressão

[M (x, y, z) dx + N (x, y, z) dy + P (x, y, z) dz ]

é um forma diferencial. Uma forma diferencial é exata em um domínio D no espaço se

[M , dx + N , dy + P , dz = dfrac { parcial f} { parcial x} dx + dfrac { parcial f} { parcial y} dy + dfrac { parcial f} { parcial z} dz = df ]

para alguma função escalar f ao longo D.

Teste de componente para exatidão de (Mdx + Ndy + Pdz ): A forma diferencial (Mdx + Ndy + Pdz ) é exata em um domínio conectado e simplesmente conectado se e somente se

[ dfrac { parcial P} { parcial x} = dfrac { parcial M} { parcial z} ]

[ dfrac { parcial P} { parcial y} = dfrac { parcial N} { parcial z} ]

e

[ dfrac { parcial N} { parcial x} = dfrac { parcial M} { parcial y} ]

Observe, isso é o mesmo que dizer o campo ( mathbf {F} = M hat { mathbf {i}} + N hat { mathbf {j}} + P hat { mathbf {k}} ) é conservador.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Suponha que o campo de força ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) é o gradiente da função (f (x, y, z) = - dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). Encontre o trabalho realizado por F em mover um objeto ao longo de uma curva suave C juntando ((1,0,0) ) a ((0,0,2) ) que não passa pela origem.

Solução

Como sabemos que este é um campo conservador, podemos aplicar o Teorema 1, que mostra que independentemente da curva C, o trabalho feito por F será a seguinte:

[ begin {align (} int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = f (0,0,2) -f (1,0,0) & = - dfrac {1} {4} - (- 1) & = dfrac {3} {4} end {align (} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Mostra isso

[ mathbf {F} = (e ^ x cos y + yz) hat { mathbf {i}} + (xz-e ^ x sin y) hat { mathbf {j}} + (xy + z) hat { mathbf {k}} nonumber ]

é conservador em relação ao seu domínio natural e encontra uma função potencial para ele.

Solução

O domínio natural de F é todo o espaço, que está conectado e simplesmente conectado. Vamos definir o seguinte:

[M = e ^ x cos y + yz nonumber ]

[N = xz-e ^ x sin y nonumber ]

[P = xy + z nonumber ]

e calcular

[ dfrac { parcial P} { parcial x} = y = dfrac { parcial M} { parcial z} não número ]

[ dfrac { parcial P} { parcial y} = x = dfrac { parcial N} { parcial z} não número ]

[ dfrac { parcial N} { parcial x} = - e ^ x sin y = dfrac { parcial M} { parcial y}. enhum número]

Como as derivadas parciais são contínuas, F é conservador. Agora que sabemos que existe uma função f onde o gradiente é igual a F, vamos encontrar f.

[ dfrac { partial f} { partial x} = e ^ x cos y + yz nonumber ]

[ dfrac { partial f} { partial y} = xz-e ^ x sin y nonumber ]

[ dfrac { partial f} { partial z} = xy + z nonumber ]

Se integrarmos a primeira das três equações em relação ax, descobrimos que

[f (x, y, z) = int (e ^ x / cos y + yz) dx = e ^ x cos y + xyz + g (y, z) ]

onde (g (y, z) ) é uma constante dependente das variáveis ​​ (y ) e (z ). Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a (y ) a partir desta equação e combinamos com a equação acima.

[ dfrac { partial} { partial y} (f (x, y, z)) = - e ^ x / sin y + xz + dfrac { partial g} { partial y} = xz-e ^ x sin y nonumber ]

Isso significa que a derivada parcial de (g ) em relação a (y ) é 0, eliminando assim (y ) de (g ) inteiramente e deixando-o como uma função de (z ) sozinho .

[f (x, y, z) = e ^ x cos y + xyz + h (z) nonumber ]

Em seguida, repetimos o processo com a derivada parcial em relação a (z ).

[ dfrac { partial} { partial z} (f (x, y, z)) = xy + dfrac { mathrm {d} h} { mathrm {d} z} = xy + z nonumber ]

o que significa que

[ dfrac { mathrm {d} h} { mathrm {d} z} = z nonumber ]

então podemos encontrar (h (z) ) integrando:

[h (z) = dfrac {z ^ 2} {2} + C. enhum número]

Portanto,

[f (x, y, z) = e ^ x cos y + xyz + dfrac {z ^ 2} {2} + C. enhum número]

Ainda temos infinitas funções potenciais para F-um em cada valor de C.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Mostre que (ydx + xdy + 4dz ) é exato e avalie a integral

[ int _ {(1,1,1)} ^ {(2,3, -1)} ydx + xdy + 4dz nonumber ]

em qualquer caminho de ((1,1,1) ) a ((2,3, -1) ).

Solução

Deixamos (M = y ), (N = x ) e (P = 4 ). Aplique o teste de exatidão:

[ dfrac { parcial N} { parcial x} = 1 = dfrac { parcial M} { parcial y} não número ]

[ dfrac { parcial N} { parcial z} = 0 = dfrac { parcial P} { parcial y} não número ]

e

[ dfrac { parcial N} { parcial z} = 0 = dfrac { parcial P} { parcial y}. não número ]

Isso prova que (ydx + xdy + 4dz ) é exato, então

[ydx + xdy + 4dz = df nonumber ]

para alguma função f, e o valor da integral é (f (2,3, -1) -f (1,1,1) ).

Encontramos fo até uma constante integrando as seguintes equações:

[ dfrac { parcial f} { parcial x} = y, dfrac { parcial f} { parcial y} = x, dfrac { parcial f} { parcial z} = 4 não número ]

Da primeira equação, obtemos que (f (x, y, z) = xy + g (y, z) )

A segunda equação nos diz que ( dfrac { parcial f} { parcial y} = x + dfrac { parcial g} { parcial y} = x )

Portanto,

[ dfrac { partial g} { partial y} = 0 nonumber ]

Por isso,

[f (x, y, z) = xy + h (z) nonumber ]

A terceira equação nos diz que ( dfrac { parcial f} { parcial z} = 0 + dfrac {d h} {d z} = 4 ) então (h (z) = 4z + C )

Portanto,

[f (x, y, z) = xy + 4z + C não numérico ]

Por substituição, descobrimos que:

[f (2,3, -1) -f (1,1,1) = 2 + C- (5 + C) = - 3 não numérico ]

Referências

  1. Weir, Maurice D., Joel Hass e George B. Thomas. Cálculo de Thomas: primeiros transcendentais. Boston: Addison-Wesley, 2010. Print.

Math Insight

O processo de encontrar uma função potencial de um campo vetorial conservador é um procedimento de várias etapas que envolve integração e diferenciação, prestando atenção às variáveis ​​que você está integrando ou diferenciando em relação a elas. Por esta razão, dado um campo vetorial $ dlvf $, recomendamos que você primeiro determine que $ dlvf $ é realmente conservador antes de iniciar este procedimento. Dessa forma, você sabe que existe uma função potencial, então o procedimento deve funcionar no final.

Nesta página, nos concentramos em encontrar uma função potencial de um campo vetorial conservador bidimensional. Abordamos campos tridimensionais em outra página.

Apresentamos o procedimento para encontrar uma função potencial por meio de um exemplo. Vamos usar o campo vetorial begin dlvf (x, y) = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy-2y). fim

O primeiro passo é verificar se $ dlvf $ é conservador. Desde começo pdiff < dlvfc_2> & amp = pdiff <>( sin x + 2xy-2y) = cos x + 2y pdiff < dlvfc_1> & amp = pdiff <>(y cos x + y ^ 2) = cos x + 2y, end concluímos que a curva escalar de $ dlvf $ é zero, como begin pdiff < dlvfc_2> - pdiff < dlvfc_1> = 0. fim A seguir, observamos que $ dlvf $ está definido em todos os $ R ^ 2 $, portanto, não há truques com que se preocupar. O campo vetorial $ dlvf $ é de fato conservador.

Como $ dlvf $ é conservador, sabemos que existe alguma função potencial $ f $ de forma que $ nabla f = dlvf $. Como um primeiro passo para encontrar $ f $, observamos que a condição $ nabla f = dlvf $ significa que begin left ( pdiff, pdiff right) & = ( dlvfc_1, dlvfc_2) & = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy-2y). fim Esta equação vetorial consiste em duas equações escalares, uma para cada componente. Precisamos encontrar uma função $ f (x, y) $ que satisfaça as duas condições begin pdiff(x, y) = y cos x + y ^ 2 rótulo fim e começar pdiff(x, y) = sin x + 2xy -2y. ótulo fim Vamos considerar essas condições uma por uma e ver se podemos encontrar um $ f (x, y) $ que satisfaça as duas. (Sabemos que isso é possível porque $ dlvf $ é conservador. Se $ dlvf $ fosse dependente do caminho, o procedimento a seguir teria um obstáculo em algum lugar.)

Vamos começar com a condição eqref. Podemos pegar a equação begin pdiff(x, y) = y cos x + y ^ 2, end e tratar $ y $ como se fosse um número. Em outras palavras, fingimos que a equação é begin diff(x) = a cos x + a ^ 2 end por algum número $ a $. Podemos integrar a equação em relação a $ x $ e obter que begin f (x) = a sin x + a ^ 2x + C. fim Mas, então, temos que lembrar que $ a $ era realmente a variável $ y $, então begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x + C. fim Mas, na verdade, isso ainda não está certo. Como estávamos vendo $ y $ como uma constante, a integração & ldquoconstant & rdquo $ C $ poderia ser uma função de $ y $ e não faria diferença. A derivada parcial de qualquer função de $ y $ em relação a $ x $ é zero. Podemos substituir $ C $ por qualquer função de $ y $, digamos $ g (y) $, e condição eqref ficará satisfeito. Uma nova expressão para a função potencial é begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x + g (y). ótulo fim Se você ainda for cético, tente tirar a derivada parcial em relação a $ x $ de $ f (x, y) $ definida pela equação eqref. Como $ g (y) $ não depende de $ x $, podemos concluir que $ displaystyle pdiff <> g (y) = 0 $. Na verdade, condição eqref é satisfeito para $ f (x, y) $ da equação eqref.

Agora, precisamos satisfazer a condição eqref. Podemos pegar o $ f (x, y) $ da equação eqref (então sabemos que condição eqref será satisfeito) e tomar sua derivada parcial em relação a $ y $, obtendo begin pdiff(x, y) & = pdiff <> left (y sin x + y ^ 2x + g (y) right) & = sin x + 2yx + diff(y). fim Comparando isso com a condição eqref, estamos com sorte. Podemos facilmente fazer com que $ f (x, y) $ satisfaça a condição eqref contanto que comece diff(y) = - 2y. fim Se o campo vetorial $ dlvf $ fosse dependente do caminho, seria impossível satisfazer ambas as condições eqref e condição eqref. Teríamos encontrado problemas neste ponto, pois teríamos descoberto que $ diff$ teria que ser uma função de $ x $ e também de $ y $. Desde $ diff$ é uma função de $ y $ sozinho, nosso cálculo verifica se $ dlvf $ é conservador.

Se deixarmos começar g (y) = -y ^ 2 + k end para algum $ k $ constante, então begin pdiff(x, y) = sin x + 2yx -2y, end e satisfizemos ambas as condições.

Combinando esta definição de $ g (y) $ com a equação eqref, concluímos que a função begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x -y ^ 2 + k end é uma função potencial para $ dlvf. $ Você pode verificar que realmente begin nabla f = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy -2y) = dlvf (x, y). fim

Com isso em mãos, calculando a integral begin dlint end é simples, não importa o caminho $ dlc $. Podemos aplicar o teorema do gradiente para concluir que a integral é simplesmente $ f ( vc) -f ( vc

) $, onde $ vc

$ é o ponto inicial e $ vc$ é o ponto final de $ dlc $. (Por esse motivo, se $ dlc $ é uma curva fechada, a integral é zero.)

Gostaríamos de dar um problema como find begin dlint end onde $ dlc $ é a curva dada pelo gráfico a seguir.

A resposta é simplesmente começar dlint & amp = f ( pi / 2, -1) - f (- pi, 2) & amp = - sin pi / 2 + frac < pi> <2> -1 + k - ( 2 sin (- pi) - 4 pi -4 + k) & amp = - sin pi / 2 + frac <9 pi> <2> + 3 = frac <9 pi> < 2> +2 fim (A constante $ k $ sempre tem o cancelamento garantido, então você pode apenas definir $ k = 0 $.)

Se a curva $ dlc $ é complicada, espera-se que $ dlvf $ seja conservadora. Isso é sempre uma boa idéia verificar se $ dlvf $ é conservador antes de calcular sua integral de linha begin dlint. fim Você pode economizar muito trabalho.


Índice

1.1 Funções e seus gráficos

1.2 Combinação de funções de deslocamento e escala de gráficos

1.3 Funções trigonométricas

1.4 Gráficos com Software

1.6 Funções Inversas e Logaritmos

2.1 Taxas de mudança e tangentes às curvas

2.2 Limite de uma função e leis de limite

2.3 A definição precisa de um limite

2.6 Limites que envolvem assíntotas infinitas de gráficos

3.1 Tangentes e a derivada em um ponto

3.2 A Derivada como Função

3.4 O Derivado como uma Taxa de Variação

3.5 Derivadas de funções trigonométricas

3.7 Diferenciação implícita

3.8 Derivadas de funções inversas e logaritmos

3.9 Funções trigonométricas inversas

3.11 Linearização e Diferenciais

4 Aplicações de Derivados

4.1 Valores Extremos de Funções

4.2 O Teorema do Valor Médio

4.3 Funções Monotônicas e o Teste da Primeira Derivada

4.4 Concavidade e esboço de curva

4.5 Formulários indeterminados e regra L & # 8217H & # 244pital & # 8217s

5.1 Área e estimativa com somas finitas

5.2 Notação Sigma e Limites de somas finitas

5.4 O Teorema Fundamental do Cálculo

5.5 Integrais indefinidos e o método de substituição

5.6 Substituições integrais definidas e a área entre as curvas

6 aplicações de integrais definidos

6.1 Volumes usando seções transversais

6.2 Volumes Usando Cascas Cilíndricas

6.4 Áreas de Superfícies de Revolução

6.6 Momentos e centros de massa

7 integrais e funções transcendentais

7.1 O logaritmo definido como um integral

7.2 Mudança exponencial e equações diferenciais separáveis

7.4 Taxas Relativas de Crescimento

8 técnicas de integração

8.1 Usando fórmulas básicas de integração

8.3 Integrais trigonométricos

8.4 Substituições trigonométricas

8.5 Integração de funções racionais por frações parciais

8.6 Tabelas Integrais e Sistemas de Álgebra Computacional

9 Equações diferenciais de primeira ordem

9.1 Soluções, campos de inclinação e método de Euler & # 8217s

9.2 Equações Lineares de Primeira Ordem

9.4 Soluções Gráficas de Equações Autônomas

9.5 Sistemas de Equações e Planos de Fase

10 sequências e séries infinitas

10.5 Convergência absoluta, a relação e os testes de raiz

10.6 Série Alternada e Convergência Condicional

10.8 Série Taylor e Maclaurin

10.9 Convergência da série de Taylor

10.10 A Série Binomial e Aplicações da Série Taylor

11 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares

11.1 Parametrizações de curvas planas

11.2 Cálculo com curvas paramétricas

11.4 Representando Gráficos de Equações de Coordenadas Polares

11.5 Áreas e comprimentos em coordenadas polares

11,7 Cônicas em Coordenadas Polares

12 vetores e a geometria do espaço

12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais

12.5 Linhas e Planos no Espaço

12.6 Cilindros e Superfícies Quádricas

13 Funções com valor vetorial e movimento no espaço

13.1 Curvas no espaço e suas tangentes

13.2 Integrais das funções do vetor Movimento do projétil

13.4 Curvatura e vetores normais de uma curva

13.5 Componentes tangenciais e normais de aceleração

13.6 Velocidade e aceleração em coordenadas polares

14.1 Funções de várias variáveis

14.2 Limites e continuidade em dimensões superiores

14.5 Derivados direcionais e vetores de gradiente

14.6 Planos tangentes e diferenciais

14.7 Valores extremos e pontos de sela

14.9 Fórmula de Taylor & # 8217s para duas variáveis

14.10 Derivados parciais com variáveis ​​restritas

15.1 Integrais Duplos e Iterados sobre Retângulos

15.2 Integrais duplos sobre regiões gerais

15.3 Área por Dupla Integração

15.4 Integrais duplos na forma polar

15.5 Integrais triplos em coordenadas retangulares
15.6 Momentos e centros de massa


16.3: Independência de Caminho, Campos Conservadores e Funções Potenciais

Na seção anterior, vimos que se soubéssemos que o campo vetorial ( vec F ) era conservador, então ( int limits_<< vec F centerdot d , vec r >> ) era independente do caminho. Isso, por sua vez, significa que podemos avaliar facilmente essa integral de linha, desde que possamos encontrar uma função potencial para ( vec F ).

Nesta seção, queremos examinar duas questões. Primeiro, dado um campo vetorial ( vec F ), há alguma maneira de determinar se é um campo vetorial conservador? Em segundo lugar, se sabemos que ( vec F ) é um campo vetorial conservador, como vamos encontrar uma função potencial para o campo vetorial?

A primeira pergunta é fácil de responder neste ponto se tivermos um campo vetorial bidimensional. Para campos de vetor de dimensão superior, precisaremos esperar até a seção final deste capítulo para responder a esta pergunta. Com isso dito, vamos ver como fazemos isso para campos vetoriais bidimensionais.

Teorema

Seja ( vec F = P , vec i + Q , vec j ) um campo vetorial em uma região aberta e simplesmente conectada (D ). Então, se (P ) e (Q ) têm derivadas parciais contínuas de primeira ordem em (D ) e

o campo vetorial ( vec F ) é conservador.

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

  1. ( vec F left ( direita) = esquerda (<- yx> right) vec i + left (<- xy> right) vec j )
  2. ( vec F left ( direita) = esquerda (<2x << bf>^> + y << bf>^>> right) vec i + left (<<< bf>^> + 2y> right) vec j )

Ok, realmente não há muito nisso. Tudo o que fazemos é identificar (P ) e (Q ), em seguida, pegar algumas derivadas e comparar os resultados.

Neste caso, aqui está (P ) e (Q ) e as derivadas parciais apropriadas.

Portanto, como as duas derivadas parciais não são iguais, este campo vetorial NÃO é conservador.

Aqui estão (P ) e (Q ), bem como as derivadas apropriadas.

As duas derivadas parciais são iguais e, portanto, este é um campo vetorial conservador.

Agora que sabemos como identificar se um campo vetorial bidimensional é conservador, precisamos abordar como encontrar uma função potencial para o campo vetorial. Na verdade, este é um processo bastante simples. Primeiro, vamos supor que o campo vetorial é conservador e, portanto, sabemos que uma função potencial, (f left ( right) ) existe. Podemos então dizer que,

Ou definindo os componentes iguais que temos,

Integrando cada um deles em relação à variável apropriada, podemos chegar às duas equações a seguir.

Vimos esse tipo de integral brevemente no final da seção sobre integrais iteradas no capítulo anterior.

Normalmente, é melhor ver como usamos esses dois fatos para encontrar uma função potencial em um ou dois exemplos.

  1. ( vec F = left (<2+ x> direita) vec i + esquerda (<2+ y> right) vec j )
  2. ( vec F left ( direita) = esquerda (<2x << bf>^> + y << bf>^>> right) vec i + left (<<< bf>^> + 2y> right) vec j )

Vamos primeiro identificar (P ) e (Q ) e, em seguida, verificar se o campo vetorial é conservador.

Portanto, o campo vetorial é conservador. Agora vamos encontrar a função potencial. Do primeiro fato acima sabemos que,

Destes podemos ver que

Podemos usar qualquer um deles para iniciar o processo. Lembre-se de que teremos que ser cuidadosos com a “constante de integração” que sempre integrante escolhermos usar. Para este exemplo, vamos trabalhar com a primeira integral e isso significa que estamos perguntando qual função diferenciamos em relação a (x ) para obter o integrando. Isso significa que a "constante de integração" terá que ser uma função de (y ) uma vez que qualquer função consistindo apenas em (y ) e / ou constantes se diferenciará em zero ao tomar a derivada parcial em relação a (x ).

Aqui está a primeira integral.

onde (h left (y right) ) é a “constante de integração”.

Agora precisamos determinar (h left (y right) ). Isso é mais fácil do que pode parecer à primeira vista. Para chegar a este ponto, usamos o fato de que conhecíamos (P ), mas também precisaremos usar o fato de que sabemos (Q ) para completar o problema. Lembre-se de que (Q ) é realmente a derivada de (f ) em relação a (y ). Portanto, se diferenciarmos nossa função em relação a (y ), sabemos qual deve ser.

Então, vamos diferenciar (f ) (incluindo o (h left (y right) )) em relação a (y ) e defini-lo igual a (Q ) uma vez que é isso que a derivada é deveria ser.

A partir disso, podemos ver que,

Observe que, uma vez que (h ' left (y right) ) é uma função apenas de (y ), se houver algum (x )' s na equação neste ponto, saberemos que ' cometi um erro. Neste ponto, encontrar (h left (y right) ) é simples.

Então, juntando tudo isso, podemos ver que uma função potencial para o campo vetorial é,

Observe que sempre podemos verificar nosso trabalho verificando que ( nabla f = vec F ). Observe também que, como (c ) pode ser qualquer coisa, há um número infinito de funções potenciais possíveis, embora elas variem apenas por uma constante aditiva.

Ok, este será muito mais rápido, pois não precisamos passar por tantas explicações. Já verificamos que este campo vetorial é conservador no primeiro conjunto de exemplos, então não vamos nos preocupar em refazer isso.

Vamos começar com o seguinte,

Isso significa que podemos fazer qualquer uma das seguintes integrais,

Embora possamos fazer qualquer um desses, a primeira integral seria um pouco desagradável, pois precisaríamos fazer a integração por partes em cada parte. Por outro lado, a segunda integral é bastante simples, uma vez que o segundo termo envolve apenas (y ) ’se o primeiro termo pode ser feito com a substituição (u = xy ). Então, da segunda integral, obtemos,

Observe que, desta vez, a “constante de integração” será uma função de (x ). Se diferenciarmos isso em relação a (x ) e definirmos igual a (P ), obteremos,

Então, neste caso, parece

[h ' left (x right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> h left (x right) = c ]

Então, neste caso a “constante de integração” realmente era uma constante. Às vezes isso vai acontecer e às vezes não.

Aqui está a função potencial para este campo vetorial.

Agora, como observado acima, não temos uma maneira (ainda) de determinar se um campo vetorial tridimensional é conservador ou não. No entanto, se nos for dado que um campo vetorial tridimensional é conservador, encontrar uma função potencial é semelhante ao processo acima, embora o trabalho seja um pouco mais complexo.

Neste caso, usaremos o fato de que,

Vamos dar uma rápida olhada em um exemplo.

Ok, vamos começar com as seguintes igualdades.

Para começar, podemos integrar o primeiro em relação a (x ), o segundo em relação a (y ), ou o terceiro em relação a (z ). Vamos integrar o primeiro em relação a (x ).

Observe que, desta vez, a “constante de integração” será uma função de (y ) e (z ), pois diferenciar qualquer coisa dessa forma em relação a (x ) será diferente de zero.

Agora, podemos diferenciar isso com respeito a (y ) e defini-lo igual a (Q ). Fazer isso dá,

Claro, precisaremos tirar a derivada parcial da constante de integração, uma vez que é uma função de duas variáveis. Parece que agora temos o seguinte,

[deixou( right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( direita) = h esquerda (z direita) ]

Desde a diferenciação (g left ( right) ) em relação a (y ) dá zero então (g left ( right) ) poderia ser no máximo uma função de (z ). Isso significa que agora sabemos que a função potencial deve estar na seguinte forma.

Para terminar isso, tudo o que precisamos fazer é diferenciar com respeito a (z ) e definir o resultado igual a (R ).

[h ' left (z right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , h left (z right) = c ]

A função potencial para este campo vetorial é, então,

Observe que, para reduzir o trabalho ao mínimo, usamos uma função potencial bastante simples para este exemplo. Pode ter sido possível adivinhar qual função potencial era baseada simplesmente no campo vetorial. No entanto, devemos ter o cuidado de lembrar que geralmente não é o caso e, muitas vezes, esse processo é necessário.

Além disso, havia vários outros caminhos que poderíamos ter seguido para encontrar a função potencial. Cada um nos teria obtido o mesmo resultado.

Vamos trabalhar um exemplo um pouco mais (e apenas um pouco) mais complicado.

Aqui estão as igualdades para este campo vetorial.

Para este exemplo, vamos integrar o terceiro em relação a (z ).

A “constante de integração” para esta integração será uma função de (x ) e (y ).

Agora, podemos diferenciar isso com respeito a (x ) e defini-lo igual a (P ). Fazer isso dá,

Então, parece que agora temos o seguinte,

[deixou( right) = 2x cos left (y right) hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( direita) = cos left (y right) + h left (y right) ]

A função potencial para este problema é então,

Para terminar, tudo o que precisamos fazer é diferenciar em relação a (y ) e definir o resultado igual a (Q ).

[h'left( y ight) = 3hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,hleft( y ight) = 3y + c]

The potential function for this vector field is then,

So, a little more complicated than the others and there are again many different paths that we could have taken to get the answer.

We need to work one final example in this section.

Now, we could use the techniques we discussed when we first looked at line integrals of vector fields however that would be particularly unpleasant solution.

Instead, let’s take advantage of the fact that we know from Example 2a above this vector field is conservative and that a potential function for the vector field is,

Using this we know that integral must be independent of path and so all we need to do is use the theorem from the previous section to do the evaluation.

[vec rleft( 1 ight) = leftlangle < - 2,1> ight angle hspace<0.5in>vec rleft( 0 ight) = leftlangle < - 1,0> ight angle ]


Solved Problems

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Exemplo 1

  1. (AB) is the line segment from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight))
  2. (AB) is the parabola (y = ) from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight)).

Example 2

Example 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 1.

  1. (AB) is the line segment from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight))
  2. (AB) is the parabola (y = ) from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight)).

Consider the first case. Obviously, the equation of the line is (y = x.) Then using the formula

If the curve (AB) is parabola (y = ,) we have

that is we have obtained the same answer.

Apply the test (><> ormalsize> = ><> ormalsize>) to determine if the vector field is conservative.

As it can be seen, the vector field (mathbf = left( ight)) is conservative. This explains the result that the line integral is path independent.


Conservative Vector Fields

Teorema. Se is a vector field in the plane, and P and Q have continuous partial derivatives on a region. the following four statements are equivalent:

1. for some function .

2. .

3. If is a closed curve lying in the region --- i.e. a path which starts and ends at the same point --- then

4. ( Path independence) If e are paths in the region which start at the same point and end at the same point, then

To say that these statements are equivalent means that if one of them is true, then all of them are true (and if one of them is false, all of them are false). A field that satisfies any one of these conditions is a conservative field --- or sometimes a gradient field, or sometimes path independent.

Before I show that these statements are equivalent, I'll give a couple of examples.

Exemplo. Show that is a gradient field.

I want a function f such that , i.e.

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y is constant, and must be included in the arbitrary constant --- hence . Differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I get , so . This time, D is a numerical constant. Since the derivative of a number is 0, and since I just want algum potential function (see the previous example), I might as well take . Então , so

Thus, if , then

Definition. A function f such that is called a potential function for .

Exemplo. Deixar e

Teorema. Suponha is a gradient field, and let for be a path. Então

In other words, to evaluate the integral of a gradient field, just plug the endpoints of the path ( e ) into the potential function (f).

The antiderivative of the derivative of is just , so

Exemplo. Compute , Onde

To compute this directly, you would need to do the integral

Instead, notice that if , então , which is the field in the integral. Hence, I can compute the integral by plugging the endpoints of the path into f.

(The fact that it comes out to 0, as opposed to a nonzero number, is a coincidence.) The important thing to notice is how easy it was to do the computation!

Now I will go back and prove that the four statements which define a conservative field are equivalent. To prove that they're equivalent, I must show that any one of them follows from any other. I will do it this way:

Prova. First, assume statement 1 is true, so for some f. Desde a , this means that

But the two second derivatives are equal by equality of mixed partials, so . This is statement 2.

Next, assume statement 2 is true, so . Take a closed curve . I want to show that the integral around is 0. This follows from Green's theorem, which I'll discuss in more detail later. For now, note that the closed curve encloses a region R.

But the double integral on the right is 0, because . Therefore, the integral around a closed curve is 0, and that is statement 3.

Before I do the next step, here is some notation. Se is a curve, will denote the same curve traversed in the opposite direction.

If I traverse a curve backward, the line integral flips its sign:

Now assume statement 3 is true: The line integral around a closed curve is 0. Take curves e , both of which start at P and both of which end at Q. I need to show that

Observe que is a closed curve. So the integral around is 0:

The second integral is the negative of the integral along :

Finally, move the second integral to the other side:

This is what I wanted to prove, so statement 4 follows from statement 3.

Finally, suppose statement 4 is true: The field is path independent. I want to show that is a gradient field. I need to find a function f such that . To do this, take algum path a partir de para e define

By path independence, it does not matter what path I choose. Now I have to show that e .

Consider the path from para made up of segments as shown below:

The horizontal part is for . The velocity vector is , e . So

Therefore, the integral for the horizontal segment is

The vertical part is for . The velocity vector is e . So

Therefore, the integral for the vertical segment is

The line integral along the whole path --- which by definition is f --- is

Remember that I was trying to show that e . Differentiate the last equation with respect to y.

The first integral only involves x, so its derivative with respect to y is 0. For the second integral, apply the Fundamental Theorem of Calculus: The y in the top limit replaces the t in the integrand and I get . So

That is, f has the right y derivative.

If you take a path made up of segments going from para the "other way" --- along the y-axis, then horizontally --- you can show in similar fashion that . This proves that , which is statement 1.

And that finishes the proof that the four statements are equivalent.

The last part of the proof gives a way of constructing a potential function for a gradient field. It's perhaps not the best way for a human being to do this, but would be a reasonable approach if you were doing this on a computer.

Exemplo. Find a potential function for using the line integrals in the proof of the theorem.

I can find f using the formula

Here , so . Likewise, , so . So

By the way, notice that is also a potential function for this field, since e . There are infinitely many potential functions for a gradient field they differ by a numerical constant.

So far, I've discussed vector fields in , 2 dimensions. There are few surprises when you move up to 3 dimensions.

Teorema. Deixar be a 3-dimensional vector field, and assume its components have continuous partial derivatives. Then the following four statements are equivalent:

1. for some function .

2. .

3. If is a closed curve --- i.e. a path which starts and ends at the same point --- then

4. ( Path independence) If e are paths which start at the same point and end at the same point, then

Once again, a field that satisfies any one of these conditions is a conservative field --- or sometimes a gradient field, or sometimes path independent.

The only change in moving from 2 dimensions to 3 dimensions is in statement 2. To see how this is related to the for a 2-dimensional field, take a field and regard it as a 3-dimensional field by making the third component 0, so

(Notice that, e.g., , because P does not contain any z's.) The condition is, in this case, the same as .

In fact, the components of should have continuous first partials, except perhaps at finitely many points. Here's the reason I can allow finitely many "bad points" in this case but none in the 2-dimensional case.

Think of a closed curve as a piece of string. In a rough sense, the reason why the integral of a conservative field around a closed curve is 0 is that the string can be "reeled in" to the basepoint without changing the integral.

When the curve has been reeled in to a single point, the integral over the curve is obviously 0.

In 2 dimensions, a curve can "get stuck" on a single bad point as you reel it in.

However, in 3 dimensions, you have enough room to move the curve around finitely many bad points as you reel it in.

Exemplo. Show that is conservative, and find a potential function for .

Portanto, is conservative. A potential function f must satisfy

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y and z are constant, and must be included in the arbitrary constant . Now differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I find that , so integrating with respect to y,

This time, z is constant and must be included in the arbitrary constant . Plug this back into f it is

Finally, differentiate with respect to z and set the result equal to above:

I find that , so , where E is a numerical constant. As in an earlier example, I may take . Isto dá , so

Exemplo. Compute , Onde

You could compute the integral directly --- would you want to? There must be an easier way .

Desde a , the field is conservative. If I can find a potential function, I can compute the integral by simply plugging the endpoints of the path into the potential function.

A potential function f must satisfy

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y and z are constant, and must be included in the arbitrary constant . Now differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I find that , so integrating with respect to y,

This time, z is constant and must be included in the arbitrary constant . Plug this back into f it is

Finally, differentiate with respect to z and set the result equal to above:

I find that , so , where E is a numerical constant. As in an earlier example, I may take . Isto dá , so

The endpoints of the path are

Exemplo. is a path with positive components from a point P on to a point Q on . Compute , Onde

The path isn't given --- in fact, its endpoints aren't given. Portanto, the path must not matter, i.e. the integral is probably path independent. Na verdade, , for . Portanto,

Now Q is on , so for this point . Likewise, P is on , so for this point . Por isso,


Conservative Vector Fields

  • Misc
    • Sign up for problem set 10 appointments
    • Section 16.3
      • Confusing, connections between pieces?
      • Intuitively, connected means you can draw a possibly curved line between any 2 points in the set without leaving the set
      • Simply connected means any circle in the set can be pulled tight into a point without leaving the set
      • Path independence ?
        • You saw an example when we integrated work over 2 flights of stairs that reached the same height&mdashthe integrals were the same, independent of the path of the stairs
        • Integral of F same over all paths
        • Equivalent to field being conservative
        • Main new thing here is name &ldquopotential function,&rdquo a label that&rsquos useful for talking about integrals of conservative fields
        • f is potential function for F
        • This basically just states a useful connection between 2 kinds of vector fields
        • That the integral is 0 follows from the fundamental theorem
        • But other direction also interesting, i.e., if you find that integrals around closed loops are always 0 then you know your field is conservative
        • Unintuitive now, but we may be able to see where this comes from in a week or so
        • M(x,y,z) dx + N(x,y,z) dy + P(x,y,z) dz
        • Exactness captures the differential form of those line integrals that happen to be of vector fields
        • Let f(x,y,z) = x(y-sin(z 2 )) / (z 2 + e xy ), let F = grad f, and let C be the curve x = sint cost, y = t 2 (&pi/2-t), z = &pi, 0 &le t &le &pi/2
          • Find the integral of F around C
            • 0, by closed loop theorem and because F is conservative&mdashit&rsquos a gradient field
            • By fundamental theorem, integral = f(1, 0, &radic(&pi/2) ) - f( 0, 0, 0 )
            • = 1 ( 0-sin(&pi/2) ) / ( &pi/2 + e 0 ) - f(0,0,0) = -1 / (&pi/2 + 1) - 0
            • Component test says it is
            • So also find potential function
            • Green&rsquos Theorem
            • Read section 16.4

            Math Insight

            Many physical force fields (vector fields) that you are familiar with are conservative vector fields. The term comes from the fact that some kind of energy is conserved by these force fields. The important consequence for us, though, is that as you move an object from point $vc$ to point $vc$, the work performed by a conservative force field does não depend on the path taken from point $vc$ to point $vc$. For this reason, we often refer to such vector fields as path-independent vector fields. Path-independent and conservative are just two terms that mean the same thing.

            For example, imagine you have to carry a heavy box from your front door to your bedroom upstairs. Because of the gravity (which can be viewed as a force field), you have to do work to carry the box up.

            Here we mean the scientific definition of work, which is force times distance. Although it may feel like work to move the box from one room to another on the same floor, the actual work done against gravity is zero.

            Next, imagine that you have two stairways in your house: a gently sloping front staircase, and a steep back staircase. Since the gravitational field is a conservative vector field, the work you must do against gravity is exactly the same if you take the front or the back staircase. As long as the box starts in the same position and ends in the same position, the total work is the same. (In fact, if you decided to first carry the box to your neighbor's house, then carry it up and down your backyard tree, and then in your back door before taking it upstairs, it wouldn't make a difference for this scientific definition of work. The net work you performed against gravity would be the same.)

            The line integral of a vector field can be viewed as the total work performed by the force field on an object moving along the path. For the above gravity example, we discussed the work you performed against the gravity field, which is exactly opposite the work performed de the gravity field. We'd need to multiply the line integral by $-1$ to get the work you performed against the gravity field, but that's a technical point we don't need to worry much about.

            The vector field $dlvf(x,y)=(x,y)$ is a conservative vector field. (You can read how to test for path-independence later. For now, take it on faith.) It is illustrated by the black arrows in the below figure. We want to compute the integral egin dlint end where $dlc$ is a path from the point $vc=(3,-3)$ (shown by the cyan square) to the point $vc=(2,4)$ (shown by the magenta square). Since $dlvf$ is path-independent, we don't need to know anything else about the path $dlc$ to compute the line integral. Later, you'll learn to compute that the value of the integral is 1, as shown by the magenta line on the slider below the figure.

            The below applet demonstrate the path-independence of $dlvf$, as one can see that the integrals along three different paths give the same value. The vector field appears to be path-independent, as promised. (You'd have to check all the infinite number of possible paths from all points $vc$ to all points $vc$ to determine that $dlvf$ was really path-independent. Fortunately, you'll learn some simpler methods.)


            16.3: Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions

            Math 2321 (Multivariable Calculus), Spring 2021



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            Lecture 10: Critical Points, Minima + Maxima (Notes 2.5.1)
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            Wed, Feb 24th
            Thu, Feb 25th
            Lecture 14: Lagrange Multipliers (Notes 2.6) [Typos fixed]
            Lecture 15: Double Integrals (Notes 3.1.1-3.1.2)
            Lecture 16: Computing Double Integrals (Notes 3.1.2-3.1.3)
            Mon, Mar 1st
            Wed, Mar 3rd
            Thu, Mar 4th
            Lecture 17: Double Integrals in Polar Coordinates (Notes 3.3.2)
            Lecture 18: Triple Integrals in Rectangular Coordinates (Notes 3.2)
            Lecture 19: Change of Coordinates, Cylindrical Coordinates (Notes 3.3.1 + 3.3.3)
            Mon, Mar 8th
            Wed, Mar 10th
            Thu, Mar 11th
            Lecture 20: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical (Notes 3.3.3-3.3.4)
            Lecture 21: More Cylindrical and Spherical + Areas, Volumes (Notes 3.3.3-3.4.1)
            Lecture 22: Areas, Volumes, Masses, and Moments (Notes 3.4.1-3.4.2)
            Mon, Mar 15th
            Wed, Mar 17th
            Thu, Mar 18th
            Lecture 23: Line Integrals (Notes 4.1)
            Lecture 24: Midterm 2 Review, part 1
            Lecture 25: Midterm 2 Review, part 2
            Mon, Mar 22nd
            Wed, Mar 24th
            Thu, Mar 25th
            Lecture 26: Parametric Surfaces (Notes 4.2.1)
            Classes cancelled ("CARE Day")
            Lecture 27: Surface Integrals (Notes 4.2.2)
            Mon, Mar 29th
            Wed, Mar 31st
            Thu, Apr 1st
            Lecture 28: Vector Fields, Work, Circulation, and Flux (Notes 4.3.1-4.3.2)
            Lecture 29: Flux Across Surfaces (Notes 4.3.3)
            Lecture 30: Conservative Fields and Potential Functions (Notes 4.4)
            Mon, Apr 5th
            Wed, Apr 7th
            Thu, Apr 8th
            Lecture 31: Green's Theorem (Notes 4.5)
            Lecture 32: Midterm 3 Review, part 1
            Lecture 33: Midterm 3 Review, part 2
            Mon, Apr 12th
            Wed, Apr 14th
            Thu, Apr 15th
            Classes cancelled ("CARE Day")
            Lecture 34: Stokes's Theorem and the Divergence Theorem (Notes 4.6)
            Lecture 35: Applications of Vector Calculus, part 1 (Notes 4.7.1)
            Mon, Apr 19th
            Wed, Apr 21st
            Lecture 36: Applications of Vector Calculus, part 2 (Notes 4.7.2-4.7.4)
            Lecture 37: Final Exam Review, part 1
            Tue, Apr 27th Review: Final Exam Review, part 2

            Functions of Several Variables and 3-Space
            1.2

            Vectors, Dot and Cross Products, Lines and Planes
            1.3

            Limits and Partial Derivatives
            2.2

            Directional Derivatives and the Gradient
            2.3

            Local Extreme Points and Optimization
            2.6

            Double Integrals in Rectangular Coordinates
            3.2

            Triple Integrals in Rectangular Coordinates
            3.3

            Alternative Coordinate Systems and Changes of Variable
            3.4

            Surfaces and Surface Integrals
            4.3

            Vector Fields, Work, Circulation, Flux
            4.4

            Conservative Vector Fields, Path-Independence, and Potential Functions
            4.5