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15.7: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas - Matemática


Às vezes, você pode acabar tendo que calcular o volume das formas que têm formas cilíndricas, cônicas ou esféricas e, em vez de avaliar essas integrais triplas em coordenadas cartesianas, você pode simplificar as integrais transformando as coordenadas em coordenadas cilíndricas ou esféricas. Para este tópico, aprenderemos como fazer essas transformações e, em seguida, avaliar as integrais triplas.

Introdução

Como você aprendeu em integrais triplos em coordenadas retangulares, integrais triplos têm três componentes, tradicionalmente chamados x, y, e z. Ao transformar de coordenadas cartesianas em cilíndricas ou esféricas ou vice-versa, você deve converter cada componente em seu componente correspondente no outro sistema de coordenadas.

Existem três sistemas de coordenadas que iremos considerar. O primeiro é o tradicional x, y, e z sistema também conhecido como coordenada cartesiana, o sistema; os outros dois são explorados abaixo.

Convertendo em Coordenadas Cilíndricas

O segundo conjunto de coordenadas é conhecido como coordenadas cilíndricas. Trabalhar em coordenadas cilíndricas é essencialmente o mesmo que trabalhar em coordenadas polares em duas dimensões, exceto que devemos levar em conta o z-componente do sistema. Ao transformar de cartesiano em cilíndrico, x e y tornam-se suas contrapartes polares. Lembre-se de que (x = r * cos theta ), (y = r * sin theta ), (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e (tan theta = dfrac {y} {x} ). Agora, a conversão para z é simplesmente (z = z ). (r ) e ( theta ) criam um plano paralelo ao xy-plane, e adicionando o z componente simplesmente dá ao avião uma "altura".

Agora, digamos que temos a equação (r = 1 ) para (0 leq theta <2 pi ). Em duas dimensões, isso simplesmente nos daria um círculo centrado em ((0,0) ) com um raio de 1. Adicionando o z-eixo, o círculo tem uma altura de z, o que lhe dá a forma de um cilindro, daí o nome de coordenadas cilíndricas.

Como visto em Integrais Duplos na Forma Polar, ao converter uma integral dupla de coordenadas cartesianas em polares, o termo (dA ), (dx , dy ) em cartesiano é convertido em seu equivalente polar.

[ iint_ {D} f (x, y) dxdxy Rightarrow iint_ {D} f (r cos theta, r sin theta) rd , r , d theta ]

A mesma conversão acontece com integrais triplos de cartesiano para cilíndrico para o termo (dV ), exceto que você deve considerar o eixo z com um termo (dz ).

[ iiint_ {D} f (x, y, z) dxdydz Rightarrow iiint_ {D} f (r cos theta, r sin theta, z) r , dr , d theta ; dz ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando coordenadas cilíndricas

Converta esta integral tripla em coordenadas cilíndricas e avalie

[ int _ {- 1} ^ {1} int_ {0} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int_ {0} ^ {y} x ^ 2dz ; dy ; dx nonumber ]

Solução

Há três etapas que devem ser executadas para converter corretamente uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Primeiro, devemos converter os limites de cartesianos para cilíndricos. Ao observar a ordem de integração, sabemos que os limites realmente se parecem

[ int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = 0} ^ {z = y} enhum número ]

Usando as conversões cartesianas para cilíndricas, vemos que os novos limites são

[ int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = 0} ^ {z = y} Rightarrow int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = r sin theta} nonumber ]

Em seguida, convertemos o integrando em seu equivalente cilíndrico

[x ^ 2 Rightarrow r ^ 2cos theta nonumber ]

Em terceiro lugar, convertemos as diferenciais no final da integral em seu equivalente cilíndrico, tendo o cuidado de denotar a ordem correta de integração

[dz , dy , dx Rightarrow r , dz , dr , d theta nonumber ]

Finalmente, colocamos tudo junto e temos nossa integral recém-convertida cilíndricamente

[ int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {r sin theta} r ^ 2 cos ^ 2 theta r , dz , dr , d theta nonumber ]

Agora, nós realmente avaliamos a integral

[ begin {align} & int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {r sin theta} r ^ 3 cos ^ 2 theta dz , dr , d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} left [r ^ 3 cos ^ 2 theta * z right] _ {z = 0} ^ {z = r sin theta} dr , d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} r ^ 4 cos ^ 2 theta sin , theta dr , d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} left [ dfrac {r ^ 5} {5} cos ^ 2 theta sin theta right] _ {r = 0} ^ {r = 1} d theta nonumber & = dfrac {1} {5} int_ {0} ^ { pi} cos ^ 2 theta sin theta d theta nonumber end {alinhar} ]

Usando a substituição u, descobrimos que o integrando ( cos ^ 2 theta sin theta ) se integra a

[ dfrac {1} {5} left [- dfrac {1} {3} cos ^ 3 theta right] _ { theta = 0} ^ { theta = pi} nonumber ]

Qual avalia para

[ dfrac {1} {5} left [- dfrac {1} {3} cos ^ 3 ( pi) + dfrac {1} {3} cos ^ 3 (0) right] = dfrac {2} {15} nonumber ]

Convertendo em coordenadas esféricas

A Figura 1 mostra uma representação visual das coordenadas esféricas. Definimos ( rho ) como a distância da origem ao ponto (P ). O ponto (P ) e a origem criam um segmento de reta que chamaremos de ( bar {OP} ), (O ) sendo a origem. ( theta ) é o ângulo no x-y plano da projeção de ( bar {OP} ), que é mostrado como ( bar {OQ} ). ( phi ) é o ângulo entre o z-eixo e ( bar {OP} ).

Figura ( PageIndex {1} ): Coordenadas esféricas (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

As conversões de Cartesiano para Esférico são as seguintes

Assim como (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), ( rho = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) e como cilíndrico, ( theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {y} {x}) )

Figura ( PageIndex {2} ): Coordenadas esféricas (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

Como você pode ver na Figura 2, (r = rho sin phi ), e usando esta e outras relações trigonométricas visíveis aqui, podemos encontrar conversões para x, y, e z.

x e y parecem com suas contrapartes cilíndricas; entretanto (r ) é substituído por ( rho sin phi ). Portanto, (x = rho sin phi cos theta ) e (y = rho sin phi sin theta ). Além disso, a partir dos diagramas, vemos que (z = rho cos phi ).

Quanto ao termo (dV ) de uma integral tripla, quando convertido em coordenadas esféricas, torna-se (dV = rho ^ 2 sin phi d rho d phi d theta ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando coordenadas esféricas

Vamos encontrar o volume entre a esfera ( rho = cos phi ) e o hemisfério ( rho = 6 ). Um diagrama das formas está à direita.

Solução

Primeiro, devemos configurar uma integral para calcular o volume:

[V = int _ { theta_0} ^ { theta_1} int _ { phi_0} ^ { phi_1} int _ { rho_0} ^ { rho_1} dV ]

Agora substituímos o termo (dV ) e preenchemos os limites da integração:

[V = int _ { theta_0 = 0} ^ { theta_1 = 2 pi} int _ { phi_0 = 0} ^ { phi_1 = dfrac { pi} {2}} int _ { rho_0 = cos phi} ^ { rho_1 = 6} rho ^ 2 sin phi d rho d phi d theta ]

A partir daí, avaliamos o integral:

[ begin {align} V & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ {2 pi} int_ {0} ^ { dfrac { pi} {2}} left (216- cos ^ 3 phi right) sin phi d phi d theta & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ {2 pi} [- 216 cos phi + dfrac { cos ^ 4 phi} {4}] ^ { dfrac { pi} {2}} _ {0} d theta & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ { 2 pi} left (216- dfrac {1} {4} right) d theta & dfrac {863} {4} (2 pi) & dfrac {863 pi} { 2} end {align} ]

Exemplo ( PageIndex {3} )

Michael quer comer uma tigela de Fruity Hoops Cereal. No entanto, ele precisa ir ao armazém e comprar leite para seus cereais e não tem certeza de quanto leite deve comprar. Ele precisa de sua ajuda para decidir a quantidade adequada de compra. O volume de sua tigela de cereal pode ser representado pela região limitada abaixo por ( rho = 4 cos phi ) e limitada acima por (z = 4 ). Usando essas informações, descubra quanto leite Michael precisará para encher sua tigela de cereal. As unidades estão em onças.

Em primeiro lugar, queremos desenhar um diagrama, representando a situação, a fim de nos auxiliar na escolha de nossos limites de integração.


Assista o vídeo: Integral Tripla - Coordenadas Cilíndricas #01 (Outubro 2021).