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9: Capítulo 10 - Matemática


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Soluções ML Aggarwal Classe 9 para Matemática ICSE Capítulo 10 Triângulos

Exercício 10.1

Questão 1.
É dado que ∆ABC ≅ ∆RPQ. É verdade dizer que BC = QR? Por quê?
Solução:

Questão 2.
“Se dois lados e um ângulo de um triângulo são iguais a dois lados e um ângulo de outro triângulo, então os dois triângulos devem ser congruentes.” A afirmação é verdadeira? Por quê?
Solução:
Não, não é uma afirmação verdadeira, pois os ângulos devem ser os ângulos dos dois lados dados.

Questão 3.
Na figura fornecida, AB = AC e AP = AQ. Provar que
(i) ∆APC ≅ ∆AQB
(ii) CP = BQ
(iii) ∠APC = ∠AQB.
Solução:

Questão 4.
Na figura fornecida, AB = AC, P e Q são pontos em BA e CA respectivamente, de modo que AP = AQ. Provar que
(i) ∆APC ≅ ∆AQB
(ii) CP = BQ
(iii) ∠ACP = ∠ABQ.
Solução:

Questão 5.
Na figura fornecida, AD = BC e BD = AC. Prove que:
∠ADB = ∠BCA e ∠DAB = ∠CBA.

Solução:

Questão 6.
Na figura fornecida, ABCD é um quadrilátero em que AD = BC e ∠DAB = ∠CBA. Provar que
(i) ∆ABD ≅ ∆BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC.
Solução:

Questão 7.
Na figura fornecida, AB = DC e AB || DC. Prove que AD = BC.
Solução:

Questão 8.
Na figura fornecida. AC = AE, AB = AD e ∠BAD = ∠CAE. Mostre que BC = DE.

Solução:

Questão 9.
Na figura ao lado, AB = CD, CE = BF e ∠ACE = ∠DBF. Provar que
(i) ∆ACE ≅ ∆DBF
(ii) AE = DF.
Solução:

Questão 10.
Na figura fornecida, AB = AC e D é o ponto médio de BC. Use a regra de congruência SSS para mostrar que
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) AD é bissetriz de ∠A
(iii) AD é perpendicular a BC.
Solução:

Questão 11.
Dois segmentos de linha AB e CD se dividem em O. Prove que:
(i) AC = BD
(ii) ∠CAB = ∠ABD
(iii) AD || CB
(iv) AD = CB.

Solução:

Questão 12.
Em cada um dos diagramas a seguir, encontre os valores de x e y.

Solução:

Exercício 10.2

Questão 1.
Nos triângulos ABC e PQR, ∠A = ∠Q e ∠B = ∠R. Qual lado de APQR deve ser igual ao lado AB de AABC para que os dois triângulos sejam congruentes? Justifique sua resposta.
Solução:

Questão 2.
Nos triângulos ABC e PQR, ∠A = ∠Q e ∠B = ∠R. Qual lado de APQR deve ser igual ao lado BC de AABC para que os dois triângulos sejam congruentes? Justifique sua resposta.
Solução:

Questão 3.
“Se dois ângulos e um lado de um triângulo são iguais a dois ângulos e um lado de outro triângulo, então os dois triângulos devem ser congruentes”. A afirmação é verdadeira? Por quê?
Solução:
A afirmação dada só pode ser verdadeira se os lados correspondentes (incluídos) forem iguais, caso contrário, não.

Questão 4.
Na figura dada, AD é a mediana de ∆ABC, BM e CN são perpendiculares tiradas de B e C respectivamente em AD e AD produzidos. Prove que BM = CN.
Solução:

Questão 5.
Na figura fornecida, BM e DN são perpendiculares ao segmento de linha AC. Se BM = DN, prove que AC corta BD ao meio.

Solução:

Questão 6.
Na figura dada, l e m são duas linhas paralelas interseccionadas por outro par de linhas paralelas p e q. Mostre que ∆ABC ≅ ∆CDA.

Solução:

Questão 7.
Na figura fornecida, duas linhas AB e CD se cruzam no ponto O de modo que BC || DA e BC = DA. Mostre que O é o ponto médio de ambos os segmentos de linha AB e CD.
Solução:

Questão 8.
Na figura fornecida, ∠BCD = ∠ADC e ∠BCA = ∠ADB. Mostra isso
(i) ∆ACD ≅ ∆BDC
(ii) BC = AD
(iii) ∠A = ∠B.
Solução:

Questão 9.
Na figura dada, ∠ABC = ∠ACB, D e E são pontos nos lados AC e AB, respectivamente, tais que BE = CD. Provar que
(i) ∆EBC ≅ ∆DCB
(ii) ∆OEB ≅ ∆ODC
(iii) OB = OC.
Solução:

Questão 10.
ABC é um triângulo isósceles com AB = AC. Desenhe AP ⊥ BC para mostrar que ∠B = ∠C.
Solução:

Questão 11.
Na figura dada, BA ⊥ AC, DE⊥ DF tal que BA = DE e BF = EC.
Solução:

Questão 12.
ABCD é um retanígio. X e Y são pontos nos lados AD e BC, respectivamente, de modo que AY = BX. Prove que BY = AX e ∠BAY = ∠ABX.
Solução:

Questão 13.
(a) Na figura (1) dada abaixo, QX, RX são bissetores dos ângulos PQR e PRQ respectivamente de A PQR. Se XS⊥ QR e XT ⊥ PQ, ​​prove que
(i) ∆XTQ ≅ ∆XSQ
(ii) PX divide o ângulo P.
(b) Na figura (2) apresentada a seguir, AB || DC e ∠C = ∠D. Provar que
(i) AD = BC
(ii) AC = BD.
(c) Na figura (3) abaixo indicada, BA || DF e CA II EG e BD = EC. Prove isso,.
(i) BG = DF
(ii) EG = CF.


Solução:



Questão 14.
Em cada um dos diagramas a seguir, encontre os valores de x e y.

Solução:



Exercício 10.3

Questão 1.
ABC é um triângulo retângulo em que ∠A = 90 ° e AB = AC. Encontre ∠B e ∠C.
Solução:

Questão 2.
Mostre que os ângulos de um triângulo equilátero são 60 ° cada.
Solução:

Questão 3.
Mostre que todo triângulo equiangular é equilátero.
Solução:

Questão 4.
Nos diagramas a seguir, encontre o valor de x:

Solução:



Questão 5.
Nos diagramas a seguir, encontre o valor de x:

Solução:





Questão 6.
(a) Na figura (1) dada abaixo, AB = AD, BC = DC. Encontre ∠ ABC.
(b) Na figura (2) dada abaixo, BC = CD. Encontre ∠ACB.
(c) Na figura (3) abaixo, AB || CD e CA = CE. Se ∠ACE = 74 ° e ∠BAE = 15 °, encontre os valores de x e y.
Solução:






Questão 7.
Em ∆ABC, AB = AC, ∠A = (5x + 20) ° e cada ângulo da base é ( frac <2> <5> ) th de ∠A. Encontre a medida de ∠A.
Solução:

Questão 8.
(a) Na figura (1) dada abaixo, ABC é um triângulo equilátero. A base BC é produzida para E, de modo que BC & # 8217 = CE. Calcule ∠ACE e ∠AEC.
(b) Na figura (2) dada abaixo, prove que ∠ BAD: ∠ ADB = 3: 1.
(c) Na figura (3) abaixo, AB || CD. Encontre os valores de x, y e ∠.

Solução:



Questão 9.
Na figura dada, D é o ponto médio de BC, DE e DF são perpendiculares a AB e AC, respectivamente, de modo que DE = DF. Prove que ABC é um triângulo isósceles.

Solução:

Questão 10.
Na figura fornecida, as altitudes de arco AD, BE e CF de ∆ABC. Se AD = BE = CF, prove que ABC é um triângulo equilátero.
Solução:

Questão 11.
Em um triângulo ABC, AB = AC, D e E são pontos nos lados AB e AC, respectivamente, de modo que BD = CE. Mostre que:
(i) ∆DBC ≅ ∆ECB
(ii) ∠DCB = ∠EBC
(iii) OB = OC, onde O é o ponto de intersecção de BE e CD.
Solução:

Questão 12.
ABC é um triângulo isósceles em que AB = AC. P é qualquer ponto no interior de ∆ABC tal que ∠ABP = ∠ACP. Provar que
(a) BP = CP
(b) AP divide em duas partes ∠BAC.
Solução:

Questão 13.
Na figura ao lado, D e E são pontos do lado BC de ∆ABC tais que BD = EC e AD = AE. Mostre que ∆ABD ≅ ∆ACE.
Solução:

Questão 14.
(a) Na figura (i) dada abaixo, CDE é um triângulo equilátero formado em um CD lateral de um quadrado ABCD. Mostre que ∆ADE ≅ ∆BCE e, portanto, AEB é um triângulo isósceles.

(b) Na figura (ii) dada abaixo, O é um ponto no interior de um quadrado ABCD tal que OAB é um triângulo equilátero. Mostre que o TOC é um triângulo isósceles.


Questão 15.
Na figura fornecida, ABC é um triângulo retângulo com AB = AC. Bissetor de ∠A encontra BC em D. Prove que BC = 2AD.
Solução:

Exercício 10.4

Questão 1.
Em ∆PQR, ∠P = 70 ° e ∠R = 30 °. Qual lado deste triângulo é mais longo? Justifique a sua resposta.
Solução:

Questão 2.
Mostre que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado mais longo.
Solução:

Questão 3.
PQR é um triângulo retângulo em Q e PQ: QR = 3: 2. Qual é o menor ângulo.
Solução:

Questão 4.
Em ∆ ABC, AB = 8 cm, BC = 5,6 cm e CA = 6,5 cm. Qual é (i) o maior ângulo?
(ii) o menor ângulo?
Solução:

Questão 5.
Em ∆ABC, ∠A = 50 °, ∠B = 60 °, organize os lados do triângulo em ordem crescente.
Solução:

Questão 6.
Na figura fornecida ao lado, ∠B = 30 °, ∠C = 40 ° e a bissetriz de ∠A encontra BC em D. Mostrar
(i) BD & gt AD
(ii) DC & gt AD
(iii) AC & gt DC
(iv) AB & gt BD

Solução:

Questão 7.
(a) Na figura (1) dada abaixo, AD divide ao meio ∠A. Organize AB, BD e DC na ordem decrescente de seus comprimentos.
(b) Na figura (2) dada abaixo, ∠ ABD = 65 °, ∠DAC = 22 ° e AD = BD. Calcule ∠ ACD e indique (justificando) qual é maior: BD ou DC?

Solução:


Questão 8.
(a) Na figura (1) dada abaixo, prove que (i) CF & gt AF (ii) DC & gtDF.
(b) Na figura (2) dada abaixo, AB = AC.
Prove esse CD AB & gt.
(c) Na figura (3) dada abaixo, AC = CD. Prove que BC & lt CD.

Solução:







Questão 9.
(a) Na figura (i) dada abaixo, ∠B & lt ∠A e ∠C & lt ∠D. Mostre que AD & lt BC. (b) Na figura (ii) dada abaixo, D é qualquer ponto do lado BC de ∆ABC. Se AB & gt AC, mostre que AB & gt AD.
Solução:


Questão 10.
(i) É possível construir um triângulo com comprimentos de seus lados de 4 cm, 3 cm e 7 cm? Justifique sua resposta,
(ii) É possível construir um triângulo com comprimentos de seus lados de 9 cm, 7 cm e 17 cm? Justifique sua resposta.
(iii) É possível construir um triângulo com comprimentos de seus lados de 8 cm, 7 cm e 4 cm? Justifique a sua resposta.
Solução:
(i) O comprimento dos lados de um triângulo são 4 cm, 3 cm e 7 cm
Sabemos que a soma de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que seu terceiro lado, mas 4 + 3 = 7 cm
O que não é possível
Portanto, a construção de um triângulo com lados de 4 cm, 3 cm e 7 cm não é possível.
(ii) O comprimento dos lados de um triângulo são 9 cm, 7 cm e 17 cm
Sabemos que a soma de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que seu terceiro lado Agora 9 + 7 = 16 & lt 17 ∴ Não é possível construir um triângulo com esses lados.
(iii) O comprimento dos lados de um triângulo é de 8 cm, 7 cm e 4 cm. Sabemos que a soma de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que seu terceiro lado Agora 7 + 4 = 11 & gt 8
Sim, é possível construir um triângulo com esses lados.

Questões de múltipla escolha

Escolha a resposta correta entre as quatro opções fornecidas (1 a 18):
Questão 1.
Qual das alternativas a seguir não é um critério para congruência de triângulos?
(como ... como
(b) ASA
(c) SSA
(d) SSS
Solução:
Critérios de congruência de dois triângulos ‘SSA’ não é o critério. (c)

Questão 2.
Na figura ao lado, AB = FC, EF = BD e ∠AFE = ∠CBD. Então, a regra pela qual ∆AFE = ∆CBD é
(como ... como
(b) ASA
(c) SSS
(d) AAS

Solução:

Questão 3.
Na figura ao lado, AB ⊥ BE e FE ⊥ BE. Se AB = FE e BC = DE, então
(a) ∆ABD ≅ ∆EFC
(b) ∆ABD ≅ ∆FEC
(c) ∆ABD ≅ ∆ECF
(d) ∆ABD ≅ ∆CEF
Solução:
Na figura fornecida,

Questão 4.
Na figura ao lado, AB = AC e AD é a mediana de ∆ABC, então AADC é igual a
(a) 60 °
(b) 120 °
(c) 90 °
(d) 75 °
Solução:

Questão 5.
Na figura ao lado, O é o ponto médio de AB. Se ∠ACO = ∠BDO, então ∠OAC é igual a
(a) ∠OCA
(b) ∠ODB
(c) ∠OBD
(d) ∠BOD
Solução:

Questão 6.
Na figura ao lado, AC = BD. Se ∠CAB = ∠DBA, então ∠ACB é igual a
(a) ∠BAD
(b) ∠ABC
(c) ∠ABD
(d) ∠BDA

Solução:

Questão 7.
Na figura ao lado, ABCD é um quadrilátero no qual BN e DM são desenhados perpendiculares a AC de modo que BN = DM. Se OB = 4 cm, então BD é
(a) 6 cm
(b) 8 cm
(c) 10 cm
(d) 12 cm
Solução:

Questão 8.
Em ∆ABC, AB = AC e ∠B = 50 °. Então ∠C é igual a
(a) 40 °
(b) 50 °
(c) 80 °
(d) 130 °
Solução:

Questão 9.
Em ∆ABC, BC = AB e ∠B = 80 °. Então ∠A é igual a
(a) 80 °
(b) 40 °
(c) 50 °
(d) 100 °
Solução:

Questão 10.
Em ∆PQR, ∠R = ∠P, QR = 4 cm e PR = 5 cm. Então, o comprimento do PQ é
(a) 4 cm
(b) 5 cm
(c) 2 cm
(d) 2,5 cm
Solução:

Questão 11.
Em ∆ABC e APQR, AB = AC, ∠C = ∠P e ∠B = ∠Q. Os dois triângulos são
(a) isósceles, mas não congruente
(b) isósceles e congruente
(c) congruente, mas isósceles
(d) nem congruente nem isósceles
Solução:

Questão 12.
Os dois lados de um triângulo têm 5 cm e 1,5 cm de comprimento. O comprimento do terceiro lado do triângulo não pode ser
(a) 3,6 cm
(b) 4,1 cm
(c) 3,8 cm
(d) 3,4 cm
Solução:

Questão 13.
Se a, b, c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
(a) a & # 8211 b & gt c
(b) c & gt a + b
(c) c = a + b
(d) c & lt A + B
Solução:
a, b, c são os comprimentos dos lados de um triângulo que a + b & gt c ou c & lt a + b
(A soma de quaisquer dois lados é maior do que o terceiro lado) (d)

Questão 14.
Não é possível construir um triângulo quando os comprimentos de seus lados são
(a) 6 cm, 7 cm, 8 cm
(b) 4 cm, 6 cm, 6 cm
(c) 5,3 cm, 2,2 cm, 3,1 cm
(d) 9,3 cm, 5,2 cm, 7,4 cm
Solução:
Sabemos que a soma de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que seu terceiro lado 2,2 + 3,1 = 5,3 ⇒ 5,3 = 5,3 não é possível (c)

Questão 15.
Em ∆PQR, se ∠R & gt ∠Q, então
(a) QR & gt PR
(b) PQ & gt PR
(c) PQ & lt PR
(d) QR & lt PR
Solução:
Em ∆PQR, ∠R & gt ∠Q
∴ PQ & gt PR (b)

Questão 16.
Se o triângulo PQR estiver em ângulo reto em Q, então
(a) PR = PQ
(b) PR & lt PQ
(c) PR & lt QR
(d) PR & gt PQ

Solução:

Questão 17.
Se o triângulo ABC tiver um ângulo obtuso e ∠C for obtuso, então
(a) AB & gt BC
(b) AB = BC
(c) AB & lt BC
(d) AC & gt AB
Solução:

Pergunta P.Q.
Um triângulo pode ser construído quando os comprimentos de seus três lados são
(a) 7 cm, 3 cm, 4 cm
(b) 3,6 cm, 11,5 cm, 6,9 cm
(c) 5,2 cm, 7,6 cm, 4,7 cm
(d) 33 mm, 8,5 cm, 49 mm
Solução:
Sabemos que em um triângulo, se a soma de quaisquer dois lados for maior que seu terceiro lado, é possível construí-lo 5,2 cm, 7,6 cm, só é possível 4,7 cm. (c)

Pergunta P.Q.
Um triângulo único não pode ser construído se for
(a) três ângulos são dados
(b) dois ângulos e um lado é dado
(c) três lados são dados
(d) dois lados e o ângulo incluído é dado
Solução:
Um triângulo único não pode ser construído se seus três ângulos forem dados, (uma)

Questão 18.
Se os comprimentos dos dois lados de um isósceles são 4 cm e 10 cm, então o comprimento do terceiro lado é
(a) 4 cm
(b) 10 cm
(c) 7 cm
(d) 14 cm
Solução:
Os comprimentos dos dois lados de um triângulo isósceles são 4 cm e 10 cm, então o comprimento do terceiro lado é 10 cm
(A soma de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que seu terceiro lado e 4 cm não é possível como 4 + 4 & gt 10 cm.

Teste de Capítulo

Questão 1.
Nos triângulos ABC e DEF, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E e AB = EF. Os dois triângulos serão congruentes? Justifique sua resposta.
Solução:

Questão 2.
Na figura fornecida, ABCD é um quadrado. P, Q e R são pontos nos lados AB, BC e CD respectivamente tais que AP = BQ = CR e ∠PQR = 90 °. Provar que
(a) ∆PBQ ≅ ∆QCR
(b) PQ = QR
(c) ∠PRQ = 45 °

Solução:

Questão 3.
Na figura fornecida, AD = BC e BD = AC. Prove que ∠ADB = ∠BCA.
Solução:

Questão 4.
Na figura dada, OA ⊥ OD, OC X OB, OD = OA e OB = OC. Prove que AB = CD.

Solução:

Questão 5.
Na figura fornecida, PQ || BA e RS CA. Se BP = RC, prove que:
(i) ∆BSR ≅ ∆PQC
(ii) BS = PQ
(iii) RS = CQ.

Solução:

Questão 6.
Na figura fornecida, AB = AC, D é um ponto no interior de ∆ABC tal que ∠DBC = ∠DCB. Prove que AD divide ∠BAC de ∆ABC.
Solução:

Questão 7.
Na figura ao lado, AB || DC. CE e DE dividem ∠BCD e ∠ADC, respectivamente. Prove que AB = AD + BC.
Solução:

Questão 8.
Em ∆ABC, D é um ponto em BC tal que AD é a bissetriz de ∠BAC.CE é desenhado paralelamente a DA para atender BD produzido em E. Prove que ∆CAE é isósceles
Solução:

Questão 9.
Na figura (ii) dada abaixo, ABC é um triângulo retângulo em B, ADEC e BCFG são quadrados. Prove que AF = BE.

Solução:

Questão 10.
Na figura fornecida, BD = AD = AC. Se ∠ABD = 36 °, encontre o valor de x.

Solução:

Questão 11.
Na figura ao lado, TR = TS, ∠1 = 2∠2 e ∠4 = 2∠3. Prove que RB = SA.

Solução:
Dado: Na figura, RST é um triângulo

Questão 12.
(a) Na figura (1) dada abaixo, encontre o valor de x.
(b) Na figura (2) dada abaixo, AB = AC e DE || BC. Calcular
(i) x
(ii) y
(iii) ∠BAC
(c) Na figura (1) dada abaixo, calcule o tamanho de cada ângulo marcado.

Solução:





Questão 13.
(a) Na figura (1) dada abaixo, AD = BD = DC e ∠ACD = 35 °. Mostra isso
(i) AC & gt DC (ii) AB & gt AD.
(b) Na figura (2) dada abaixo, provar que
(i) x + y = 90 ° (ii) z = 90 ° (iii) AB = BC

Solução:



Questão 14.
Na figura fornecida, ABC e DBC são dois triângulos isósceles na mesma base BC e os vértices A e D estão no mesmo lado de BC. Se AD é estendido para interceptar BC em P, mostre que
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP divide ∠A, bem como ∠D
(iv) AP é a bissetriz perpendicular de BC.
Solução:

Questão 15.
Na figura fornecida, AP ⊥ l e PR & gt PQ. Mostre que AR & gt AQ.
Solução:

Questão 16.
Se O for qualquer ponto no interior de um triângulo ABC, mostre que
OA + OB + OC & gt ( frac <1> <2> )
(AB + BC + CA).

Solução:

Pergunta P.Q.
Construa um triângulo ABC dado que a base BC = 5,5 cm, ∠ B = 75 ° e altura = 4,2 cm.
Solução:

Pergunta P.Q.
Construa um triângulo ABC em que BC = 6,5 cm, ∠ B = 75 ° e ∠ A = 45 °. Construa também a mediana de A ABC passando por B.
Solução:

Pergunta P.Q.
Construa o triângulo ABC dado que AB & # 8211 AC = 2,4 cm, BC = 6,5 cm. e ∠ B = 45 °.
Solução:


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Capítulo 10 Círculos da Classe 9

No Capítulo 10, Classe 9 do NCERT, Círculos, Teoremas são extremamente importantes, fornecemos uma explicação detalhada dos teoremas dos círculos, bem como Soluções NCERT de todas as questões e exemplos.

Neste capítulo, aprenderemos

  • O Fundamentos - O que é um círculo, raio, diâmetro, arco, setor, segmento, corda
  • Em seguida, fazemos alguns teoremas e questões relacionadas. Como
  • Subtend acordes iguais ângulo igual no centro, e seu inverso
  • Perpendicular do centro a um acorde corta o acorde ao meio, e seu inverso
  • Apenas 1 Círculo pode passar 3 não colineares pontos
  • Acordes iguais subtendem ângulos iguais no centro, e seu inverso
  • O ângulo subtendido por um arco é o dobro do ângulo subtendido em qualquer outro ponto
  • Ângulos no mesmo segmento de um círculo são iguais
  • Então, aprenderemos o que é um quadrilátero cíclico,
  • E sua propriedade - a soma dos ângulos opostos do quadrilátero cíclico é 180

Além disso, resolvemos todas as questões NCERT deste capítulo, incluindo questões extras (Ex 10.6 - Exercício Opcional)


RD Sharma Solutions Classe 9 Triângulos congruentes

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AulaClasse 9
CapítuloCapítulo 10
TítuloTriângulos congruentes


Soluções NCERT para matemática da classe 10, Capítulo 9: Algumas aplicações da trigonometria

Antes de entrar nos detalhes do Capítulo 9 do CBSE NCERT Solutions for Class 10 Maths, vamos & # 8217s dar uma olhada nos tópicos do capítulo. Além disso, aqui também fornecemos uma visão geral dos exercícios envolvidos no Capítulo 9 Matemática para a Classe 10. Os exercícios envolvidos nas soluções NCERT para Matemática da Classe 10, capítulo 9, são o exercício 9.1, o exercício 9.2 e o exercício 9.3.

Nome da SeçãoNome do tópico
9.1Introdução
9.2Alturas e distâncias
9.3Resumo

Soluções NCERT para matemática da classe 10, Capítulo 9: Algumas aplicações de trigonometria (PDF de soluções)

Você encontrará as soluções para os exercícios do 10º Capítulo 9 de matemática abaixo. Além disso, você pode baixar o CBSE Class 10 Maths Chapter 9 Solutions PDF no link fornecido abaixo para que você possa consultar as soluções off-line.

CBSE Class 10 Maths Capítulo 9: Resumo

Anteriormente, estudamos que a trigonometria é um ramo da matemática que lida com as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos. Sabemos como a trigonometria desempenha um papel fundamental na solução de vários problemas que existem no mundo real. Por um lado, a trigonometria é amplamente usada pelos astrônomos para encontrar a distância entre os corpos celestes como o sol, a lua e as estrelas do outro lado, ela tem grandes aplicações na preparação de mapas, geografia, engenharia e navegação.

Neste capítulo, aprenderemos o uso da trigonometria na medição de alturas e distâncias que não podem ser medidas diretamente, ou seja, encontrar a altura de uma torre, a distância entre dois objetos, etc. Além disso, provavelmente pela primeira vez, você será apresentado a alguns termos importantes, como Ângulo de Elevação, Ângulo de Depressão, etc.

Neste capítulo, você aprenderá sobre algumas maneiras interessantes de implementar trigonometria e resolver problemas da vida real. Este capítulo tem apenas um exercício. As perguntas são baseadas em aplicações reais de trigonometria. Você terá que visualizar e representá-lo matematicamente para resolver os problemas. As perguntas deste capítulo são feitas com freqüência em vários exames competitivos. Com pouca compreensão dos vários termos usados ​​e noções básicas de trigonometria, pode-se facilmente resolver os problemas relacionados a este capítulo. Se você tiver alguma dúvida sobre o capítulo, as Soluções NCERT da Embibe para Matemática da Classe 10, Capítulo 9, são úteis. Isso permite que os alunos obtenham boas notas em seus exames e aumenta sua confiança.

Principais recursos das soluções NCERT da Embibe para matemática da classe 10, Capítulo 9

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  3. Com a ajuda das soluções NCERT da Embibe para o capítulo ‘Algumas aplicações da trigonometria’, você pode facilmente aprender as aplicações da vida real da trigonometria e os conceitos de ângulo de desvio, ângulo de elevação, ângulo de depressão e linha de visão.
  4. Os alunos podem se familiarizar com os diferentes tipos de perguntas feitas nos exames, seguindo as soluções NCERT da Embibe.
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Perguntas frequentes sobre soluções NCERT para matemática da classe 10, capítulo 9: Algumas aplicações da trigonometria

Algumas das perguntas mais frequentes são fornecidas abaixo:

A. O ângulo de elevação do topo da torre será inferior a 60 °

A. O ângulo de elevação da altitude do Sol é 30 °.

A. A altura da parede é de 7,5 m.

A. A altura de um avião acima do solo é 6√3 m.

A. A altura de uma rocha é 50 (3 + √3) m.

A. O ângulo de elevação do topo de uma torre é de 45 °.

A. O ângulo de elevação da nuvem não é igual ao ângulo de depressão de seu reflexo.

A. A altura da torre é 10 (√3 + 1).

Pratique as 10ª questões de matemática com o Embibe

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Esperamos que este artigo sobre CBSE NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 ajude você. Se você tiver alguma dúvida, fique à vontade para postar na caixa de comentários abaixo e nós entraremos em contato com você o mais rápido possível.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 10 e Círculos # 8211

(iii) O acorde mais longo de um círculo é um __________ do círculo.

(4) Um arco é um __________ quando suas extremidades são as extremidades de um diâmetro.

(v) O segmento de um círculo é a região entre um arco e __________ do círculo.

(vi) Um círculo divide o plano no qual ele se encontra em __________ partes.

Responder:

(eu) O centro de um círculo está em interior do círculo.

(ii) Um ponto, cuja distância do centro de um círculo é maior do que seu raio está em exterior do círculo.

(iii) O acorde mais longo de um círculo é um diâmetro do círculo.

(4) Um arco é um semicírculo quando suas extremidades são as extremidades de um diâmetro.

(v) O segmento de um círculo é a região entre um arco e acorde do círculo.

(vi) Um círculo divide o plano em que se encontra, em três partes.

Questão 2:

Escreva Verdadeiro ou Falso: dê razões para suas respostas.

(i) O segmento de linha que une o centro a qualquer ponto do círculo é um raio do círculo.

(ii) Um círculo tem apenas um número finito de acordes iguais.

(iii) Se um círculo é dividido em três arcos iguais, cada um é um arco principal.

(iv) A corda de um círculo, que tem o dobro do comprimento do seu raio, é o diâmetro do círculo.

(v) Setor é a região entre o acorde e seu arco correspondente.

(vi) Um círculo é uma figura plana.

Responder:

(i) Verdadeiro. Todos os pontos do círculo estão a distâncias iguais do centro do círculo, e essa distância igual é chamada de raio do círculo.

(ii) Falso. Existem infinitos pontos em um círculo. Portanto, podemos desenhar um número infinito de acordes de determinado comprimento. Portanto, um círculo tem um número infinito de acordes iguais.

(iii) Falso. Considere três arcos do mesmo comprimento de AB, BC e CA. Pode-se observar que para o arco menor BDC, CAB é um arco maior. Portanto, AB, BC e CA são arcos menores do círculo.

(iv) Verdadeiro. Seja AB uma corda com o dobro do comprimento do seu raio. Pode-se observar que nesta situação, nosso acorde estará passando pelo centro do círculo. Portanto, será o diâmetro do círculo.

(v) Falso. Setor é a região entre um arco e dois raios que unem o centro aos pontos finais do arco. Por exemplo, na figura fornecida, OAB é o setor do círculo.

(vi) Verdadeiro. Um círculo é uma figura bidimensional e também pode ser referido como uma figura plana.

Página No 173:

Questão 1:

Lembre-se de que dois círculos são congruentes se tiverem os mesmos raios. Prove que acordes iguais de círculos congruentes subentendem ângulos iguais em seus centros.

Responder:

Um círculo é uma coleção de pontos equidistantes de um ponto fixo. Esse ponto fixo é chamado de centro do círculo e essa distância igual é chamada de raio do círculo. E assim, a forma de um círculo depende de seu raio. Portanto, pode-se observar que se tentarmos sobrepor dois círculos de raio igual, ambos os círculos se cobrirão. Portanto, dois círculos são congruentes se tiverem raios iguais.

Considere dois círculos congruentes com centro O e O & # 8217 e dois acordes AB e CD de comprimentos iguais.

AB = CD (acordes do mesmo comprimento)

OA = O & # 8217C (Raios dos círculos congruentes)

OB = O & # 8217D (Raios de círculos congruentes)

∴ ΔAOB ≅ ΔCO & # 8217D (regra de congruência SSS)

Conseqüentemente, acordes iguais de círculos congruentes subtendem ângulos iguais em seus centros.

Questão 2:

Prove que, se acordes de círculos congruentes subentendem ângulos iguais em seus centros, então os acordes são iguais.

Responder:

Vamos considerar dois círculos congruentes (círculos do mesmo raio) com centros como O e O & # 8217.

OA = O & # 8217C (Raios dos círculos congruentes)

OB = O & # 8217D (Raios de círculos congruentes)

∴ ΔAOB ≅ ΔCO & # 8217D (regra de congruência SAS)

Portanto, se acordes de círculos congruentes subentendem ângulos iguais em seus centros, então os acordes são iguais.

Página No 176:

Questão 1:

Desenhe diferentes pares de círculos. Quantos pontos cada par tem em comum? Qual é o número máximo de pontos comuns?

Responder:

Considere o seguinte par de círculos.

Os círculos acima não se cruzam em nenhum ponto. Portanto, eles não têm nenhum ponto em comum.

Os círculos acima se tocam apenas em um ponto Y. Portanto, há 1 ponto em comum.

Os círculos acima se tocam em 1 ponto X apenas. Portanto, os círculos têm 1 ponto em comum.

Esses círculos se cruzam em dois pontos G e H. Portanto, os círculos têm dois pontos em comum. Pode-se observar que pode haver no máximo 2 pontos em comum. Considere a situação em que dois círculos congruentes se sobrepõem. Esta situação pode ser referida como se estivéssemos desenhando o círculo duas vezes.

Questão 2:

Suponha que você receba um círculo. Dê uma construção para encontrar o seu centro.

Responder:

As etapas abaixo fornecidas serão seguidas para encontrar o centro do círculo fornecido.

Passo 1. Pegue o círculo dado.

Passo 2. Pegue dois acordes diferentes AB e CD deste círculo e desenhe bissetores perpendiculares desses acordes.

Etapa 3. Deixe que essas bissetoras perpendiculares se encontrem no ponto O. Portanto, O é o centro do círculo dado.

Questão 3:

Se dois círculos se cruzam em dois pontos, então prove que seus centros estão na bissetriz perpendicular da corda comum.

Responder:

Considere dois círculos centrados no ponto O e O ', cruzando-se nos pontos A e B, respectivamente.

Junte-se à AB. AB é a corda do círculo centrado em O. Portanto, a bissetriz perpendicular de AB passará por O.

Novamente, AB é também a corda do círculo centrado em O '. Portanto, a bissetriz perpendicular de AB também passará por O '.

Claramente, os centros desses círculos estão na bissetriz perpendicular da corda comum.

Página No 179:

Questão 1:

Dois círculos de raios de 5 cm e 3 cm se cruzam em dois pontos e a distância entre seus centros é de 4 cm. Encontre a duração do acorde comum.

Responder:

Deixe o raio do círculo centrado em O e O & # 8217 ser 5 cm e 3 cm, respectivamente.

OO & # 8217 será a bissetriz perpendicular do acorde AB.

É dado que, OO & # 8217 = 4 cm

Deixe OC ser x. Portanto, O & # 8217C será x − 4

A partir das equações (1) e (2), obtemos

Portanto, a corda comum passará pelo centro do círculo menor, ou seja, O & # 8217 e, portanto, será o diâmetro do círculo menor.

Comprimento da corda comum AB = 2 O & # 8217A = (2 × 3) cm = 6 cm

Questão 2:

Se duas cordas iguais de um círculo se cruzam dentro do círculo, prove que os segmentos de uma corda são iguais aos segmentos correspondentes da outra corda.

Responder:

Sejam PQ e RS dois acordes iguais de um determinado círculo e eles estão se cruzando no ponto T.

Desenhe perpendiculares OV e OU nesses acordes.

OV = OU (cordas iguais de um círculo são equidistantes do centro)

∴ ΔOVT ≅ ΔOUT (regra de congruência RHS)

Ao adicionar as equações (1) e (3), obtemos

Subtraindo a equação (4) da equação (2), obtemos

As equações (4) e (5) indicam que os segmentos correspondentes dos acordes PQ e RS são congruentes entre si.

Questão 3:

Se duas cordas iguais de um círculo se cruzam dentro do círculo, prove que a linha que une o ponto de intersecção ao centro faz ângulos iguais com as cordas.

Responder:

Sejam PQ e RS duas cordas iguais de um determinado círculo e se cruzam no ponto T.

Desenhe perpendiculares OV e OU nesses acordes.

OV = OU (cordas iguais de um círculo são equidistantes do centro)

∴ ΔOVT ≅ ΔOUT (regra de congruência RHS)

Portanto, fica provado que a linha que une o ponto de intersecção ao centro faz ângulos iguais com as cordas.

Questão 4:

Se uma linha cruza dois círculos concêntricos (círculos com o mesmo centro) com centro O em A, B, C e D, prove que AB = CD (ver figura 10.25).

Responder:

Vamos desenhar um OM perpendicular na linha AD.

Pode-se observar que BC é a corda do círculo menor e AD é a corda do círculo maior.

Sabemos que a perpendicular traçada a partir do centro do círculo divide a corda ao meio.

Subtraindo a equação (2) de (1), obtemos

Questão 5:

Três meninas, Reshma, Salma e Mandip, estão jogando uma partida em um círculo de 5 m de raio desenhado em um parque. Reshma joga uma bola para Salma, Salma para Mandip, Mandip para Reshma. Se a distância entre Reshma e Salma e entre Salma e Mandip é de 6 m cada, qual é a distância entre Reshma e Mandip?

Responder:

Desenhe as perpendiculares OA e OB em RS e SM respectivamente.

OR = OS = OM = 5 m. (Raios do círculo)

ORSM será uma pipa (OR = OM e RS = SM). Sabemos que as diagonais de uma pipa são perpendiculares e a diagonal comum a ambos os triângulos isósceles é cortada ao meio por outra diagonal.

∴∠RCS será de 90 ° e RC = CM

Portanto, a distância entre Reshma e Mandip é de 9,6 m.

Questão 6:

Um parque circular de 20 m de raio está situado em uma colônia. Três meninos Ankur, Syed e David estão sentados a uma distância igual em sua fronteira, cada um com um telefone de brinquedo nas mãos para conversar entre si. Encontre o comprimento da seqüência de cada telefone.

Responder:

É dado que AS = SD = DA

Portanto, ΔASD é um triângulo equilátero.

As medianas do triângulo equilátero passam pelo centro circunflexo (O) do triângulo equilátero ASD. Também sabemos que as medianas se cruzam na proporção de 2: 1. Como AB é a mediana do triângulo equilátero ASD, podemos escrever

∴ AB = OA + OB = (20 + 10) m = 30 m

Portanto, o comprimento da sequência de cada telefone será m.

Página No 184:

Questão 1:

Na figura dada, A, B e C são três pontos em um círculo com centro O tal que ∠BOC = 30 ° e ∠AOB = 60 °. Se D for um ponto no círculo diferente do arco ABC, encontre ∠ADC.

Responder:

Sabemos que o ângulo subtendido por um arco no centro é o dobro do ângulo subtendido por ele em qualquer ponto na parte restante do círculo.

Página No 185:

Questão 2:

A corda de um círculo é igual ao raio do círculo. Encontre o ângulo subtendido pela corda em um ponto do arco menor e também em um ponto do arco maior.

Responder:

∴ ΔOAB é um triângulo equilátero.

Portanto, cada ângulo interno deste triângulo será de 60 °.

No quadrilateral cíclico ACBD,

∠ACB + ∠ADB = 180 ° (ângulo oposto no quadrilátero cíclico)

Portanto, o ângulo subtendido por esta corda em um ponto no arco maior e no arco menor são 30 ° e 150 °, respectivamente.

Questão 3:

Na figura dada, ∠PQR = 100 °, onde P, Q e R são pontos em um círculo com centro O. Encontre ∠OPR.

Responder:

Considere PR como um acorde do círculo.

Pegue qualquer ponto S no arco principal do círculo.

PQRS é um quadrilátero cíclico.

∠PQR + ∠PSR = 180 ° (ângulos opostos de um quadrilátero cíclico)

Sabemos que o ângulo subtendido por um arco no centro é o dobro do ângulo subtendido por ele em qualquer ponto da parte restante do círculo.

OP = OR (raios do mesmo círculo)

∴ ∠OPR = ∠ORP (ângulos opostos a lados iguais de um triângulo)

∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180 ° (propriedade da soma do ângulo de um triângulo)

Questão 4:

Na figura fornecida, ∠ABC = 69 °, ∠ACB = 31 °, encontre ∠BDC.

Responder:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180 ° (propriedade da soma do ângulo de um triângulo)

∠BDC = ∠BAC = 80 ° (ângulos no mesmo segmento de um círculo são iguais)

Questão 5:

Na figura fornecida, A, B, C e D são quatro pontos em um círculo. AC e BD se cruzam em um ponto E tal que ∠BEC = 130 ° e ∠ECD = 20 °. Encontre ∠BAC.

Responder:

∠CDE + ∠DCE = ∠CEB (ângulo externo)

No entanto, ∠BAC = ∠CDE (ângulos no mesmo segmento de um círculo)

Questão 6:

ABCD é um quadrilátero cíclico cujas diagonais se cruzam em um ponto E. Se ∠DBC = 70 °, ∠BAC é 30 °, encontre ∠BCD. Além disso, se AB = BC, encontre ∠ECD.

Responder:

∠CBD = ∠CAD (Ângulos no mesmo segmento)

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30 ° + 70 ° = 100 °

∠BCD + ∠BAD = 180 ° (ângulos opostos de um quadrilátero cíclico)

∴ ∠BCA = ∠CAB (ângulos opostos a lados iguais de um triângulo)

Questão 7:

Se as diagonais de um quadrilátero cíclico são diâmetros do círculo através dos vértices do quadrilátero, prove que é um retângulo.

Responder:

Seja ABCD um quadrilátero cíclico com diagonais BD e AC, interceptando-se no ponto O.

∠BCD + ∠BAD = 180 ° (quadrilátero cíclico)

(Considerando AC como um acorde)

∠ADC + ∠ABC = 180 ° (quadrilátero cíclico)

Cada ângulo interno de um quadrilátero cíclico é de 90 °. Portanto, é um retângulo.

Questão 8:

Se os lados não paralelos de um trapézio são iguais, prove que ele é cíclico.

Responder:

Considere um trapézio ABCD com AB | | CD e BC = AD.

∠AMD = ∠BNC (por construção, cada um é 90 °)

AM = BN (a distância perpendicular entre duas linhas paralelas é a mesma)

∴ ΔAMD ≅ ΔBNC (regra de congruência RHS)

∠BAD e ∠ADC estão no mesmo lado do AD transversal.

∠BAD + ∠BCD = 180 ° [Usando a equação (1)]

Esta equação mostra que os ângulos opostos são complementares.

Portanto, ABCD é um quadrilátero cíclico.

Página No 186:

Questão 9:

Dois círculos se cruzam em dois pontos B e C. Através de B, dois segmentos de linha ABD e PBQ são desenhados para cruzar os círculos em A, D e P, Q respectivamente (veja a figura dada). Prove que ∠ACP = ∠QCD.

Responder:

∠PBA = ∠ACP (ângulos no mesmo segmento) & # 8230 (1)

∠DBQ = ∠QCD (ângulos no mesmo segmento) & # 8230 (2)

ABD e PBQ são segmentos de linha que se cruzam em B.

∴ ∠PBA = ∠DBQ (ângulos verticalmente opostos) & # 8230 (3)

A partir das equações (1), (2) e (3), obtemos

Questão 10:

Se os círculos forem desenhados tomando dois lados de um triângulo como diâmetros, prove que o ponto de intersecção desses círculos está no terceiro lado.

Responder:

Dois círculos são desenhados tomando AB e AC como diâmetro.

Deixe que eles se cruzem em D e que D não se encontre em BC.

∠ADB = 90 ° (ângulo subtendido por semicírculo)

∠ADC = 90 ° (ângulo subtendido por semicírculo)

∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 90 ° + 90 ° = 180 °

Portanto, BDC é uma linha reta e, portanto, nossa suposição estava errada.

Assim, o Ponto D encontra-se no terceiro lado BC de ΔABC.

Questão 11:

ABC e ADC são dois triângulos retângulos com hipotenusa comum AC. Prove que ∠CAD = ∠CBD.

Responder:

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180 ° (propriedade da soma do ângulo de um triângulo)

∠CDA + ∠ACD + ∠DAC = 180 ° (propriedade da soma do ângulo de um triângulo)

Adicionando as equações (1) e (2), obtemos

A partir das equações (3) e (4), pode-se observar que a soma das medidas dos ângulos opostos do quadrilátero ABCD é de 180 °. Portanto, é um quadrilátero cíclico.

∠CAD = ∠CBD (ângulos no mesmo segmento)

Questão 12:

Prove que um paralelogramo cíclico é um retângulo.

Responder:

Seja ABCD um paralelogramo cíclico.

∠A + ∠C = 180 ° (ângulos opostos de um quadrilátero cíclico) & # 8230 (1)

Sabemos que os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais.

O paralelogramo ABCD tem um de seus ângulos internos de 90 °. Portanto, é um retângulo.

Questão 1:

Prove que a linha de centros de dois círculos que se cruzam subtende ângulos iguais nos dois pontos de intersecção.

Responder:

Deixe dois círculos tendo seus centros como O e se interceptem nos pontos A e B, respectivamente. Vamos nos juntar a O.

OA = OB (raio do círculo 1)

ΔAO ≅ ΔBO (por regra de congruência SSS)

Portanto, a linha de centros de dois círculos de interseção subtende ângulos iguais nos dois pontos de interseção.

Questão 2:

Duas cordas AB e CD de comprimentos de 5 cm e 11 cm respectivamente de um círculo são paralelas uma à outra e estão em lados opostos de seu centro. Se a distância entre AB e CD for 6 cm, encontre o raio do círculo.

Responder:

Desenhe OM ⊥ AB e ON ⊥ CD. Junte-se a OB e OD.

(Perpendicular do centro corta o acorde ao meio)

Seja ON x. Portanto, OM será 6− x.

Temos OB = OD (Raios do mesmo círculo)

Portanto, da equação (1) e (2),

Portanto, o raio do círculo é cm.

Questão 3:

Os comprimentos de duas cordas paralelas de um círculo são 6 cm e 8 cm. Se o acorde menor está a 4 cm do centro, qual é a distância do outro acorde do centro?

Responder:

Sejam AB e CD dois acordes paralelos em um círculo centrado em O. Junte-se a OB e OD.

Distância da corda menor AB do centro do círculo = 4 cm

Portanto, a distância do acorde maior do centro é de 3 cm.

Questão 4:

Deixe o vértice de um ângulo ABC estar localizado fora de um círculo e deixe os lados do ângulo cruzarem as cordas iguais AD e CE com o círculo. Prove que ∠ABC é igual à metade da diferença dos ângulos subtendidos pelos acordes AC e DE no centro.

Responder:

OA = OC (Raios do mesmo círculo)

OD = OE (Raios do mesmo círculo)

∴ ΔAOD ≅ ΔCOE (regra de congruência SSS)

A partir das equações (1), (2) e (3), obtemos

Seja ∠OAD = ∠OCE = ∠ODA = ∠OEC = x

ADEC é um quadrilátero cíclico.

∴ ∠CAD + ∠DEC = 180 ° (ângulos opostos são complementares)

x + uma + x + y = 180°

2x + uma + y = 180°

y = 180º - 2xuma … (4)

No entanto, ∠DOE = 180º - 2y

∠DOE - ∠AOC = 2uma − 2y = 2uma - 2 (180º - 2xuma)

= 4uma + 4x − 360° … (5)

∠BAC + ∠CAD = 180º (par linear)

⇒ ∠BAC = 180º - ∠CAD = 180º - (uma + x)

Da mesma forma, ∠ACB = 180º - (uma + x)

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180º (propriedade da soma do ângulo de um triângulo)

= 180º - (180º - umax) - (180º - umax)

∠ABC = [∠DOE - ∠ AOC] [Usando a equação (5)]

Questão 5:

Prove que o círculo desenhado com qualquer lado de um losango à medida que o diâmetro passa pelo ponto de intersecção de suas diagonais.

Responder:

Seja ABCD um losango no qual as diagonais se cruzam no ponto O e um círculo é desenhado tomando o lado CD como seu diâmetro. Sabemos que um diâmetro subtende 90 ° no arco.

Além disso, no losango, as diagonais se cruzam em 90 °.

Claramente, o ponto O deve estar no círculo.

Questão 6:

ABCD é um paralelogramo. O círculo através de A, B e C cruzam CD (produzido se necessário) em E. Prove que AE = AD.

Responder:

Pode-se observar que ABCE é um quadrilátero cíclico e em um quadrilátero cíclico a soma dos ângulos opostos é de 180 °.

∠AEC + ∠AED = 180 ° (par linear)

Para um paralelogramo, ângulos opostos são iguais.

AD = AE (ângulos opostos a lados iguais de um triângulo)

Questão 7:

AC e BD são acordes de um círculo que se dividem entre si. Prove que (i) AC e BD são diâmetros (ii) ABCD é um retângulo.

Responder:

Deixe que dois acordes AB e CD se cruzem no ponto O.

∠AOB = ∠COD (ângulos verticalmente opostos)

ΔAOB ≅ ΔCOD (regra de congruência SAS)

Da mesma forma, pode-se provar que ΔAOD ≅ ΔCOB

Como no ACBD quadrilátero, os lados opostos são iguais em comprimento, o ACBD é um paralelogramo.

Sabemos que os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais.

No entanto, ∠A + ∠C = 180 ° (ABCD é um quadrilátero cíclico)

Como o ACBD é um paralelogramo e um de seus ângulos internos é de 90 °, portanto, é um retângulo.

∠A é o ângulo subtendido pelo acorde BD. E como ∠A = 90 °, portanto, BD deve ser o diâmetro do círculo. Da mesma forma, AC é o diâmetro do círculo.

Questão 8:

Os bissetores dos ângulos A, B e C de um triângulo ABC intersectam seu círculo circunflexo em D, E e F, respectivamente. Prove que os ângulos do triângulo DEF são 90 °.

Responder:

É dado que BE é a bissetriz de ∠B.

No entanto, ∠ADE = ∠ABE (ângulos no mesmo segmento para acorde AE)

Da mesma forma, ∠ACF = ∠ADF = (ângulo no mesmo segmento para acorde AF)

Da mesma forma, pode ser provado que

Página No 187:

Questão 9:

Dois círculos congruentes se cruzam nos pontos A e B. Através de A, qualquer segmento de linha PAQ é desenhado de forma que P, Q fiquem nos dois círculos. Prove que BP = BQ.

Responder:

AB é o acorde comum em ambos os círculos congruentes.

∴ BQ = BP (ângulos opostos a lados iguais de um triângulo)

Questão 10:

Em qualquer triângulo ABC, se o ângulo bissetriz de ∠A e a bissetriz perpendicular de BC se cruzam, prove que eles se cruzam no círculo circunferencial do triângulo ABC.

Responder:

Deixe a bissetriz perpendicular do lado BC e a bissetriz do ângulo de ∠A se encontrarem no ponto D. Deixe a bissetriz perpendicular do lado BC interceptá-la em E.

A bissetriz perpendicular do lado BC passará pelo circuncentro O do círculo. ∠BOC e ∠BAC são os ângulos subtendidos pelo arco BC no centro e um ponto A na parte restante do círculo, respectivamente. Também sabemos que o ângulo subtendido por um arco no centro é o dobro do ângulo subtendido por ele em qualquer ponto da parte restante do círculo.

OB = OC (Raios do mesmo círculo)

∠OEB = ∠OEC (Cada 90 ° como OD ⊥ BC)

∴ ΔBOE ≅ ∠COE (regra de congruência RHS)

⇒ ∠BOE + ∠BOE = 2 ∠A [Usando as equações (1) e (2)]

A bissetriz perpendicular do lado BC e a bissetriz do ângulo de ∠A encontram-se no ponto D.

Uma vez que AD é a bissetriz do ângulo ∠A,

A partir das equações (3) e (4), obtemos

Isso só pode ser possível quando o ponto BD for um acorde do círculo. Para isso, o ponto D encontra-se na circunferência.

Portanto, a bissetriz perpendicular do lado BC e a bissetriz do ângulo de ∠A encontram-se no círculo do triângulo ABC.


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  • Capítulo 9 Quadriláteros Classe 9 Notas
  • Capítulo 10 Áreas de paralelogramos e triângulos Notas de classe 9
  • Capítulo 11 Circles Class 9 Notes
  • Capítulo 12 Construções Classe 9 Notas
  • Capítulo 13 Áreas de Superfície e Volumes Classe 9 Notas
  • Capítulo 14 Estatísticas da Classe 9, Notas
  • Capítulo 15 Notas de classe de probabilidade 9

A melhor maneira de compreender a matemática da classe 9 de maneira direta e precisa é começar a fazer a ajuda das anotações de matemática da classe 9. Estes são especialmente concebidos para os alunos da 9ª classe de acordo com o programa CBSE. Todos os 15 capítulos com todos os conceitos foram abordados lá. Cada conceito foi dado passo a passo, assim, os alunos podem facilmente encontrar a solução. Mesmo as questões complexas são divididas em seções menores.

Os alunos serão capazes de compreender o básico da matemática desta maneira. Além disso, essas notas permitirão que os alunos se preparem para fazer sua prova de matemática com precisão e rapidez.

Consiga as melhores notas na aula 9 de Matemática com esta solução

Como mencionado acima, a matemática da classe 9 não é tão difícil quanto você está pensando. Ele foi projetado apenas para alunos da 9ª classe. Mas os alunos sentem falta de confiança ao resolver problemas de matemática. Essa barreira surgiu apenas porque os alunos não sabem sobre o básico da matemática.

Eles acumularam os conceitos da matemática que os levaram a incompetentes para decifrar a equação da matemática com precisão. Tudo tem solução. Essa incompetência pode ser eliminada com a ajuda de notas de matemática da 9ª classe. Os alunos da turma 9 podem ter a ajuda dessas anotações apenas baixando-as em seus computadores pessoais, laptops e até mesmo em telefones Android.

Uma vez baixado, eles podem começar a preparar sua matemática a qualquer hora e em qualquer lugar. Conseqüentemente, conseguir as notas mais altas em matemática não é mais um sonho.

Passos a seguir ao preparar a aula 9 com notas

Aqui, o termo notas significa que tudo está de uma forma bem-educada. Todos os dados irrelevantes são excluídos. Os alunos da classe 9 não devem precisar organizar anotações separadas. Eles podem depender dessas notas apenas para preparar um programa completo de matemática. Vamos descobrir como preparar matemática para a aula 9 com estas notas:

  • Sempre comece com um capítulo simples e curto.
  • Continue entendendo o conceito até entender completamente.
  • Certifique-se de marcar os conceitos que parecem complexos para você.
  • Nunca tente encontrar a solução. Sempre siga o guia passo a passo.
  • Nunca aprenda nenhuma fórmula, equação ou teorema. Tente entender todas as vezes.
  • Certifique-se de fazer a prática de matemática todos os dias. Isso o ajudará a se preparar para o exame de matemática simultaneamente. Você não precisa dedicar muito do seu tempo durante os exames. Você só precisa revisar apenas.
  • Resolva com confiança todas as questões do exame, pois todas as soluções fornecidas nessas notas de matemática da classe 9 são confiáveis.
  • Resolva as perguntas feitas em seu exame passo a passo, conforme mostrado nestas notas matemáticas.
  • Nunca tente terminar seus exames de matemática logo. Tente levar seu tempo, pois um pequeno erro, no início, irá colocar o erro em etapas inteiras.

Portanto, pare de assumir a matemática da classe 9 como a mais difícil.Comece com a ajuda dessas notas apenas para quebrar as notas mais altas em seus próximos exames. Consulte essas notas de matemática da aula 9 também para seus amigos.


Questão 1.
Encontre os zeros dos seguintes polinômios quadráticos e verifique a relação entre os zeros e seus coeficientes
(i) x 2 & # 8211 2x & # 8211 8
(ii) 4s 2 e # 8211 4s + 1
(iii) 6x 2 e # 8211 3 e # 8211 7x
(iv) 4u 2 & # 8211 8u
(v) t 2 & # 8211 15
(vi) 3x 2 & # 8211 x & # 8211 4
Solução:


(iv) 4u 2 & # 8211 8u
= 4u 2 & # 8211 8u + 0
= 4u (u & # 8211 2)
Se 4u = 0, então u = 0
Se u & # 8211 2 = 0, então u = 2
∴ Zeros são 0 e 2

(v) t 2 & # 8211 15
= t 2 + 0 & # 8211 15

(vi) 3x 2 & # 8211 x & # 8211 4
= 3x 2 & # 8211 4x + 3x & # 8211 4
= x (3x & # 8211 4) + 1 (3x & # 8211 4)
= (3x & # 8211 4) (x + 1)
Se 3x & # 8211 4 = 0, então x = ( frac <4> <3> )
Se x + 1 = 0, então x = -1
∴ Zeros são ( frac <4> <3> ) e -1.

Questão 2.
Encontre um polinômio quadrático, cada um com os números dados como a soma e o produto de seus zeros, respectivamente.
(i) ( frac <1> <4> ), 1
(ii) ( sqrt <2>, frac <1> <3> )
(iii) 0, ( sqrt <5> )
(iv) 1, 1
(v) (- frac <1> <4>, frac <1> <4> )
(vi) 4, 1
Solução:
(i) ( frac <1> <4> ), 1
Aqui m + n = ( frac <1> <4> ), mn = -1
∴ Equação quadrática

(ii) ( sqrt <2>, frac <1> <3> )
Aqui m + n = ( sqrt <2> ), mn = ( frac <1> <3> )
∴ Equação quadrática

(iii) 0, ( sqrt <5> )
Aqui m + n = 0, mn = ( sqrt <5> )
∴ Equação quadrática

(iv) Forma padrão de polinômio quadrático
soma e produto de seus zeros é
K (x 2 & # 8211 soma dos zeros) x + produto dos zeros.
= K (x 2 & # 8211 1x + 1)
Tomando K = 1
= x 2 & # 8211 x + 1

(v) (- frac <1> <4>, frac <1> <4> )
Aqui m + n = (- frac <1> <4> ), mn = ( frac <1> <4> )
∴ Equação quadrática

(vi) A forma padrão da soma polinomial quadrática e o produto de seus zeros é
= K [x 2 & # 8211 (soma dos zeros) x + Produto dos zeros]
= K (x 2 & # 8211 4x + 1)
Tomando K = 1
= 1 (x 2 & # 8211 4x + 1)
= x 2 & # 8211 4x + 1

Esperamos que o KSEEB SSLC Class 10 Maths Solutions Capítulo 9 Polinômios Ex 9.2 lhe ajude. Se você tiver qualquer dúvida sobre Karnataka SSLC Class 10 Math Solutions Capítulo 9 Polinômios Exercício 9.2, deixe um comentário abaixo e nós entraremos em contato com você o mais breve possível.


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