Artigos

6.3b: Volumes de revolução: cascas cilíndricas OS - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Calcule o volume de um sólido de revolução usando o método de cascas cilíndricas.
  • Compare os diferentes métodos para calcular um volume de revolução.

Nesta seção, examinamos o método das cascas cilíndricas, o método final para encontrar o volume de um sólido de revolução. Podemos usar este método nos mesmos tipos de sólidos que o método do disco ou o método do lavador; entretanto, com os métodos de disco e arruela, integramos ao longo do eixo de coordenadas paralelo ao eixo de revolução. Com o método de cascas cilíndricas, integramos ao longo da coordenada eixo perpendicular para o eixo de revolução. A capacidade de escolher qual variável de integração queremos usar pode ser uma vantagem significativa com funções mais complicadas. Além disso, a geometria específica do sólido às vezes torna o método de usar cascas cilíndricas mais atraente do que usar o método de arruela. Na última parte desta seção, revisamos todos os métodos para encontrar o volume que estudamos e apresentamos algumas diretrizes para ajudá-lo a determinar qual método usar em uma determinada situação.

O Método das Cascas Cilíndricas

Novamente, estamos trabalhando com um sólido de revolução. Como antes, definimos uma região (R ), limitada acima pelo gráfico de uma função (y = f (x) ), abaixo pelo (x ) - eixo, e à esquerda e à direita pelas linhas (x = a ) e (x = b ), respectivamente, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1a} ). Em seguida, revolvemos essa região em torno do eixo (y ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1b} ). Observe que isso é diferente do que fizemos antes. Anteriormente, as regiões definidas em termos de funções de (x ) giravam em torno do (x ) - eixo ou uma linha paralela a ela.

Como já fizemos muitas vezes antes, particione o intervalo ([a, b] ) usando uma partição regular, (P = {x_0, x_1,…, x_n} ) e, para (i = 1,2 ,…, N ), escolha um ponto (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ). Então, construa um retângulo sobre o intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) de altura (f (x ^ ∗ _ i) ) e largura (Δx ). Um retângulo representativo é mostrado na Figura ( PageIndex {2a} ). Quando esse retângulo é girado em torno do eixo (y ), ao invés de um disco ou uma arruela, obtemos uma casca cilíndrica, como mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Para calcular o volume desta casca, considere a Figura ( PageIndex {3} ).

A casca é um cilindro, então seu volume é a área da seção transversal multiplicada pela altura do cilindro. As seções transversais são anulares (regiões em forma de anel - essencialmente, círculos com um orifício no centro), com raio externo (x_i ) e raio interno (x_ {i − 1} ). Assim, a área da seção transversal é (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1} ). A altura do cilindro é (f (x ^ ∗ _ i). ) Então o volume da casca é

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_ {i} −π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) ( x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i − 1}). end {align *} ]

Observe que (x_i − x_ {i − 1} = Δx, ) então temos

[V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) , Δx. ]

Além disso, ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) é tanto o ponto médio do intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) e o raio médio da casca, e podemos aproximar isso por (x ^ ∗ _ i ). Então temos

[V_ {shell} ≈2π , f (x ^ ∗ _ i) x ^ ∗ _ i , Δx. ]

Outra maneira de pensar nisso é pensar em fazer um corte vertical na casca e depois abri-la para formar uma placa plana (Figura ( PageIndex {4} )).

Na realidade, o raio externo da casca é maior do que o raio interno e, portanto, a borda posterior da placa seria ligeiramente mais longa do que a borda frontal da placa. No entanto, podemos aproximar a casca achatada por uma placa plana de altura (f (x ^ ∗ _ i) ), largura (2πx ^ ∗ _ i ) e espessura (Δx ) (Figura). O volume da casca, então, é aproximadamente o volume da placa plana. Multiplicando a altura, largura e profundidade da placa, obtemos

[V_ {shell} ≈f (x ^ ∗ _ i) (2π , x ^ ∗ _ i) , Δx, ]

que é a mesma fórmula que tínhamos antes.

Para calcular o volume de todo o sólido, adicionamos os volumes de todas as cascas e obtemos

[V≈ sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx). ]

Aqui temos outra soma de Riemann, desta vez para a função (2π , x , f (x). ) Tomando o limite como (n → ∞ ), nos dá

[V = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx) = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Isso leva à seguinte regra para o método de cascas cilíndricas.

Regra: O Método das Cascas Cilíndricas

Seja (f (x) ) contínuo e não negativo. Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) ), abaixo pelo (x ) - eixo, à esquerda pela linha (x = a ), e à direita pela linha (x = b ). Então, o volume do sólido de revolução formado pela rotação (R ) em torno do eixo (y ) é dado por

[V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Agora vamos considerar um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): O método das cascas cilíndricas I

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 1 / x ) e abaixo pelo (x ) - eixo durante o intervalo ([1,3] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Solução

Primeiro devemos representar graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Figure ( PageIndex {5} ) (c) Visualizando o sólido de revolução com CalcPlot3D.

Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 3_1 left (2π , x left ( dfrac {1 } {x} right) right) , dx = int ^ 3_12π , dx = 2π , x bigg | ^ 3_1 = 4π , text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Defina R como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([1,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Use o procedimento de Exemplo ( PageIndex {1} ).

Responder

( dfrac {15π} {2} , text {unidades} ^ 3 )

Exemplo ( PageIndex {2} ): O método de cascas cilíndricas II

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 2x − x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) - sobre o intervalo ([0,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado girando (R ) em torno do (y ) - eixo.

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 2_0 (2π , x (2x − x ^ 2)) , dx = 2π int ^ 2_0 (2x ^ 2 − x ^ 3) , dx = 2π left. left [ dfrac {2x ^ 3} {3} - dfrac {x ^ 4} {4} right] right | ^ 2_0 = dfrac {8π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 3x − x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) - sobre o intervalo ([0,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {2} ).

Responder

(8π , text {unidades} ^ 3 )

Tal como acontece com o método do disco e o método do washer, podemos usar o método das cascas cilíndricas com sólidos de revolução, girados em torno do eixo (x ), quando queremos integrar em relação a (y ). A regra análoga para este tipo de sólido é fornecida aqui.

Regra: O Método de Cascas Cilíndricas para Sólidos de Revolução em torno do eixo (x )

Seja (g (y) ) contínuo e não negativo. Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) ), à esquerda pelo eixo (y ), abaixo pela linha (y = c ) , e acima pela linha (y = d ). Então, o volume do sólido de revolução formado pela rotação (Q ) em torno do eixo (x ) - é dado por

[V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): O Método de Cascas Cilíndricas para um Sólido Revolvido em torno do eixo (x )

Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) = 2 sqrt {y} ) e à esquerda pelo eixo (y ) - para (y∈ [0,4] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (Q ) em torno do eixo (x ).

Solução

Primeiro, precisamos representar graficamente a região (Q ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {7} ).

Identifique a região sombreada (Q ). Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy = int ^ 4_0 (2π , y (2 sqrt {y})) , dy = 4π int ^ 4_0y ^ {3/2} , dy = 4π left [ dfrac {2y ^ {5/2}} {5} right] ∣ ^ 4_0 = dfrac {256π} {5} , text {unidades} ^ 3 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) = 3 / y ) e à esquerda pelo eixo (y ) para (y∈ [1, 3] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (Q ) em torno do eixo (x ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {3} ).

Responder

(12π ) unidades3

Para o próximo exemplo, examinamos um sólido de revolução para o qual o gráfico de uma função é girado em torno de uma linha diferente de um dos dois eixos coordenados. Para configurar isso, precisamos revisitar o desenvolvimento do método de cascas cilíndricas. Lembre-se de que encontramos o volume de uma das conchas a ser dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_i − π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i− 1}). End {align *} ]

Isso foi baseado em uma casca com um raio externo de (x_i ) e um raio interno de (x_ {i − 1} ). Se, no entanto, girarmos a região em torno de uma linha diferente do eixo (y ), teremos um raio interno e outro externo diferentes. Suponha, por exemplo, que giremos a região em torno da linha (x = −k, ) onde (k ) é alguma constante positiva. Então, o raio externo da casca é (x_i + k ) e o raio interno da casca é (x_ {i − 1} + k ). Substituindo esses termos na expressão de volume, vemos que quando uma região plana é girada em torno da linha (x = −k, ) o volume de uma casca é dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {(x_i + k) + (x_ {i − 1} + k)} {2}) (( x_i + k) - (x_ {i − 1} + k)) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( left ( dfrac {x_i + x_ {i − 2}} {2} right) + k right) Δx. End {align *} ]

Como antes, notamos que ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) é o ponto médio do intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) e pode ser aproximado por (x ^ ∗ _ i ). Então, o volume aproximado da casca é

[V_ {shell} ≈2π (x ^ ∗ _ i + k) f (x ^ ∗ _ i) Δx. ]

O restante do desenvolvimento continua como antes, e vemos que

[V = int ^ b_a (2π (x + k) f (x)) dx. ]

Também podemos girar a região em torno de outras linhas horizontais ou verticais, como uma linha vertical no meio plano direito. Em cada caso, a fórmula de volume deve ser ajustada de acordo. Especificamente, o termo (x ) - na integral deve ser substituído por uma expressão que representa o raio de uma casca. Para ver como isso funciona, considere o exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Uma região de revolução girada em torno de uma linha

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([1,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado girando (R ) em torno da linha (x = −1. )

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {8} ).

Observe que o raio de uma casca é dado por (x + 1 ). Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ 2_1 2π (x + 1) f (x) , dx = int ^ 2_1 2π (x + 1) x , dx = 2π int ^ 2_1 x ^ 2 + x , dx = 2π left [ dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {x ^ 2} {2} right] bigg | ^ 2_1 = dfrac { 23π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([0,1] ) . Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno da linha (x = −2 ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {4} ).

Responder

( dfrac {11π} {6} ) unidades3

Para nosso exemplo final nesta seção, vamos olhar para o volume de um sólido de revolução para o qual a região de revolução é limitada pelos gráficos de duas funções.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Uma região de revolução limitada pelos gráficos de duas funções

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico da função (f (x) = sqrt {x} ) e abaixo pelo gráfico da função (g (x) = 1 / x ) durante o intervalo ([1,4] ). Encontre o volume do sólido de revolução gerado girando (R ) em torno do eixo (y ).

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {9} ).

Observe que o eixo de revolução é o eixo (y ), então o raio de uma casca é dado simplesmente por (x ). Não precisamos fazer nenhum ajuste no termo x de nosso integrando. A altura de uma casca, entretanto, é dada por (f (x) −g (x) ), então, neste caso, precisamos ajustar o termo (f (x) ) do integrando. Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ 4_1 (2π , x (f (x) −g (x))) , dx [4pt] = int ^ 4_1 (2π , x ( sqrt {x} - dfrac {1} {x})) , dx = 2π int ^ 4_1 (x ^ {3/2} −1) dx [4pt] = 2π left [ dfrac { 2x ^ {5/2}} {5} −x right] bigg | ^ 4_1 = dfrac {94π} {5} , text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ) e abaixo pelo gráfico de (g (x) = x ^ 2 ) no intervalo ([0 , 1] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Dica: Use o processo de Exemplo ( PageIndex {5} ).

Responder

( dfrac {π} {6} ) unidades3

Qual método devemos usar?

Estudamos vários métodos para encontrar o volume de um sólido de revolução, mas como sabemos qual método usar? Freqüentemente, tudo se resume à escolha de qual integral é mais fácil de avaliar. A Figura ( PageIndex {10} ) descreve as diferentes abordagens para sólidos de revolução em torno do eixo (x ). Cabe a você desenvolver a tabela análoga para sólidos de revolução em torno do eixo (y ).

Vamos dar uma olhada em alguns problemas adicionais e decidir sobre a melhor abordagem a ser adotada para resolvê-los.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Selecionando o melhor método

Para cada um dos seguintes problemas, selecione o melhor método para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado girando a região dada em torno do eixo (x ) e configure a integral para encontrar o volume (não avalie o integrante).

  1. A região limitada pelos gráficos de (y = x, y = 2 − x, ) e o eixo (x ) -.
  2. A região limitada pelos gráficos de (y = 4x − x ^ 2 ) e do eixo (x ) -.

Solução

uma.

Primeiro, esboce a região e o sólido de revolução como mostrado.

Olhando para a região, se quisermos integrar em relação a (x ), teríamos que quebrar a integral em duas partes, porque temos funções diferentes limitando a região sobre ([0,1] ) e ([1,2] ). Neste caso, usando o método de disco, teríamos

[V = int ^ 1_0 π , x ^ 2 , dx + int ^ 2_1 π (2 − x) ^ 2 , dx. enhum número]

Se usássemos o método shell em vez disso, usaríamos funções de y para representar as curvas, produzindo

[V = int ^ 1_0 2π , y [(2 − y) −y] , dy = int ^ 1_0 2π , y [2−2y] , dy. enhum número]

Nenhuma dessas integrais é particularmente onerosa, mas como o método shell requer apenas uma integral, e o integrando requer menos simplificação, provavelmente deveríamos ir com o método shell neste caso.

b.

Primeiro, esboce a região e o sólido de revolução como mostrado.

Olhando para a região, seria problemático definir um retângulo horizontal; a região é limitada à esquerda e à direita pela mesma função. Portanto, podemos descartar o método de conchas. O sólido não tem cavidade no meio, então podemos usar o método dos discos. Então

[V = int ^ 4_0π left (4x − x ^ 2 right) ^ 2 , dx nonumber ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Selecione o melhor método para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado girando a região dada em torno do eixo (x ) e configure a integral para encontrar o volume (não avalie a integral): a região limitada por os gráficos de (y = 2 − x ^ 2 ) e (y = x ^ 2 ).

Dica

Esboce a região e use Figure ( PageIndex {12} ) para decidir qual integral é mais fácil de avaliar.

Responder

Use o método de arruelas; [V = int ^ 1 _ {- 1} π left [ left (2 − x ^ 2 right) ^ 2− left (x ^ 2 right) ^ 2 right] , dx nonumber ]

Conceitos chave

  • O método de cascas cilíndricas é outro método para usar uma integral definida para calcular o volume de um sólido de revolução. Às vezes, esse método é preferível ao método dos discos ou ao método das arruelas, porque integramos em relação à outra variável. Em alguns casos, uma integral é substancialmente mais complicada do que a outra.
  • A geometria das funções e a dificuldade de integração são os principais fatores para decidir qual método de integração usar.

Equações Chave

  • Método de cascas cilíndricas

( displaystyle V = int ^ b_a left (2π , x , f (x) right) , dx )

Glossário

método de cascas cilíndricas
um método de calcular o volume de um sólido de revolução dividindo o sólido em cascas cilíndricas aninhadas; este método é diferente dos métodos de discos ou arruelas em que integramos em relação à variável oposta

5.5 Série Alternada

Até agora neste capítulo, discutimos principalmente as séries com termos positivos. Nesta seção, apresentamos as séries alternadas - aquelas séries cujos termos se alternam em signos. Mostraremos em um capítulo posterior que essas séries freqüentemente surgem ao estudar séries de potências. Depois de definir as séries alternadas, apresentamos o teste de séries alternadas para determinar se essa série converge.

O Teste de Série Alternada

Uma série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é uma série alternada. Por exemplo, a série

são ambas séries alternadas.

Definição

Qualquer série cujos termos alternem entre valores positivos e negativos é chamada de série alternada. Uma série alternada pode ser escrita na forma

A série (1), mostrada na Equação 5.11, é uma série geométrica. Desde | r | = | - 1/2 | & lt 1, | r | = | - 1/2 | & lt 1, a série converge. A série (2), mostrada na Equação 5.12, é chamada de série harmônica alternada. Mostraremos que enquanto a série harmônica diverge, a série harmônica alternada converge.

Para provar isso, olhamos para a sequência de somas parciais (Figura 5.17).

Prova

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monotônica, a seqüência também converge. Desde a

Também pode ser mostrado que S = ln 2, S = ln 2, e podemos escrever

Mais geralmente, qualquer série alternada da forma (3) (Equação 5.13) ou (4) (Equação 5.14) converge desde que b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ e bn → 0 bn → 0 (Figura 5.18). A prova é semelhante à prova para as séries de harmônicos alternados.

Teorema 5.13

Teste de Série Alternada

Uma série alternada do formulário

Isso é conhecido como teste de série alternada.

Observamos que este teorema é verdadeiro de forma mais geral, desde que exista algum inteiro N N tal que 0 ≤ b n + 1 ≤ b n 0 ≤ b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ N. n ≥ N.

Exemplo 5.19

Convergência de séries alternadas

Para cada uma das seguintes séries alternadas, determine se a série converge ou diverge.

Solução

Ponto de Verificação 5.18

Determine se a série ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n / 2 n ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n / 2 n converge ou diverge.

Restante de uma série alternada

É difícil calcular explicitamente a soma da maioria das séries alternadas, então normalmente a soma é aproximada usando uma soma parcial. Ao fazer isso, estamos interessados ​​na quantidade de erros em nossa aproximação. Considere uma série alternada

Restos em série alternada

Considere uma série alternada do formulário

Em outras palavras, se as condições do teste de série alternada se aplicam, então o erro na aproximação da série infinita pela N-ésima soma parcial S N S N é em magnitude no máximo o tamanho do próximo termo b N + 1. b N + 1.

Exemplo 5.20

Estimando o restante de uma série alternada

Considere a série alternada

Use a estimativa restante para determinar um limite no erro R 10 R 10 se aproximarmos a soma das séries pela soma parcial S 10. S 10.

Solução

Do teorema declarado acima,

| R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265. | R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265.

Convergência Absoluta e Condicional

Definição

Convergência absoluta implica convergência

Prova

converge. Ao usar as propriedades algébricas para séries convergentes, concluímos que

Exemplo 5.21

Convergência absoluta versus convergência condicional

Para cada uma das seguintes séries, determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

Solução

Ponto de Verificação 5.20

Comece adicionando o suficiente de termos positivos para produzir uma soma maior do que algum número real M & gt 0. M & gt 0. Por exemplo, seja M = 10, M = 10, e encontre um inteiro k k tal que

Os termos nas séries de harmônicas alternadas também podem ser reorganizados de modo que a nova série convirja para um valor diferente. No Exemplo 5.22, mostramos como reorganizar os termos para criar uma nova série que converge para 3 ln (2) / 2. 3 ln (2) / 2. Ressaltamos que as séries de harmônicos alternados podem ser reorganizadas para criar uma série que converge para qualquer número real r r, entretanto, a prova desse fato está além do escopo deste texto.

Exemplo 5.22

Reorganizando a série

para reorganizar os termos na série harmônica alternada de forma que a soma das séries reorganizadas seja 3 ln (2) / 2. 3 ln (2) / 2.

Solução

Então, usando as propriedades do limite algébrico da série convergente, uma vez que ∑ n = 1 ∞ an ∑ n = 1 ∞ an e ∑ n = 1 ∞ bn ∑ n = 1 ∞ bn convergem, a série ∑ n = 1 ∞ (an + bn) ∑ n = 1 ∞ (an + bn) converge e

Agora adicionando os termos correspondentes, a n a n e b n, b n, vemos que

Notamos que a série do lado direito do sinal de igual é um rearranjo da série harmônica alternada. Dado que ∑ n = 1 ∞ (a n + b n) = 3 ln (2) / 2, ∑ n = 1 ∞ (a n + b n) = 3 ln (2) / 2, concluímos que

Portanto, encontramos um rearranjo da série de harmônicos alternados com a propriedade desejada.

Seção 5.5 Exercícios

Declare se cada uma das seguintes séries converge absolutamente, condicionalmente ou não converge absolutamente.

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (n - 1 n) n ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (n - 1 n) n

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (n + 1 n) n ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (n + 1 n) n

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 sen 2 (1 / n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 sen 2 (1 / n)

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 cos 2 (1 / n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 cos 2 (1 / n)

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 ln (1 + 1 n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 ln (1 + 1 n)

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n 2 1 + n 4 ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n 2 1 + n 4

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n e 1 + n π ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n e 1 + n π

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) - ln n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) - ln n)

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 ((n + 1) 2 - n 2) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 ((n + 1) 2 - n 2)

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (1 n - 1 n + 1) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (1 n - 1 n + 1)

∑ n = 1 ∞ sin (n π / 2) sin (1 / n) ∑ n = 1 ∞ sin (n π / 2) sin (1 / n)

Para os exercícios a seguir, indique se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for falsa, forneça um exemplo em que seja falsa.

A série a seguir não satisfaz as hipóteses do teste de série alternada conforme declarado.

Em cada caso, indique qual hipótese não foi satisfeita. Indique se a série converge absolutamente.

1 + 1 2 − 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯ 1 + 1 2 − 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯

1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯ 1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯

Mostre que a série alternada 1 - 1 2 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 8 + ⋯ 1 - 1 2 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 8 + ⋯ faz

não convergem. Qual hipótese do teste de série alternada não é atendida?

[T] Plote a série ∑ n = 1 100 sin (2 π n x) n ∑ n = 1 100 sin (2 π n x) n para 0 ≤ x & lt 1 0 ≤ x & lt 1 e comente seu comportamento

[T] Trace a série ∑ n = 1 100 cos (2 π n x) n 2 ∑ n = 1 100 cos (2 π n x) n 2 para 0 ≤ x & lt 1 0 ≤ x & lt 1 e descreva seu gráfico.

[T] No texto, foi afirmado que uma série condicionalmente convergente pode ser reorganizada para convergir para qualquer número. Aqui está um fato um pouco mais simples, mas semelhante. Se um ≥ 0 e ≥ 0 é tal que um → 0 an → 0 como n → ∞ n → ∞ mas ∑ n = 1 ∞ an ∑ n = 1 ∞ an diverge, então, dado qualquer número AA há uma sequência snsn de ± 1's ± 1's tal que ∑ n = 1 ∞ ansn → A. ∑ n = 1 ∞ a n s n → A. Mostre isso para A & gt 0 A & gt 0 da seguinte maneira.

Como um associado da Amazon, ganhamos com compras qualificadas.

Quer citar, compartilhar ou modificar este livro? Este livro é Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 e você deve atribuir o OpenStax.

    Se você estiver redistribuindo todo ou parte deste livro em formato impresso, deverá incluir em cada página física a seguinte atribuição:

  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 2
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-5-alternating-series

    © 21 de dezembro de 2020 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-Compartilhamento pela mesma Licença 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    O volume da casca sólida entre dois cilindros diferentes, de mesma altura, um de raio e outro de raio r ^ 2 & gt r ^ 1 é π (r_2 ^ 2 –r_1 ^ 2) h = 2π r_2 + r_1 / 2 (r_2 - r_1) h = 2 πr △ rh, onde, r = ½ (r_1 + r_2) é o raio e △ r = r_2 - r_1 é a mudança no raio.

    Se um perfil b = f (a), para (a) entre xey é girado sobre o quadrante y, então o volume pode ser aproximado pelo método de soma de Riemann de cilindros:

    Cada cilindro na posição x * tem a largura △ a e a altura b = f (a *): então cada componente da soma de Riemann tem a forma 2π x * f (x *) △ a.
    No limite em que o valor dos cilindros vai ao infinito, a soma de Riemann torna-se uma representação integral do volume V:

    $ V = ∫_a ^ b 2 π x y (dx) = V = ∫_a ^ b 2 π x f (x) dx $

    Para construir a calculadora do método shell integral, encontre o valor da função y e os limites da integração.
    Se a área entre duas curvas diferentes b = f (a) e b = g (a) & gt f (a) é girada em torno do eixo y, para x do ponto a até b, então o volume é:

    Agora, a calculadora do método de casca cilíndrica calcula o volume da casca girando a área limitada pela coordenada x, onde a linha x = 2 e a curva y = x ^ 3 sobre a coordenada y.

    Aqui y = x ^ 3 e os limites são x = [0, 2].
    O integral é:

    $ ∫_0 ^ 2 2 π x y dx = ∫_0 ^ 2 2 π x (x ^ 3) dx $

    $ = 2π∫_0 ^ 2x ^ 4 = 2π [x ^ 5/5] _0 ^ 2 = 2π 32/5 = 64/5 π $
    As curvas se encontram no ponto x = 0 e no ponto x = 1, então o volume é:

    $ = 2 π [2/5 x ^ <5/2> - x ^ 4/4] _0 ^ 1 $
    $ = 2 π (2/5 - 1/4) = 3/10 π $


    6.2 Determinando Volumes por Fatiamento

    Na seção anterior, usamos integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Nesta seção, usamos integrais definidas para encontrar volumes de sólidos tridimensionais. Consideramos três abordagens - fatiamento, discos e arruelas - para encontrar esses volumes, dependendo das características do sólido.

    Volume e o método de corte

    Assim como a área é a medida numérica de uma região bidimensional, o volume é a medida numérica de um sólido tridimensional. A maioria de nós calcula volumes de sólidos usando fórmulas geométricas básicas. O volume de um sólido retangular, por exemplo, pode ser calculado multiplicando o comprimento, a largura e a altura: V = l w h. V = l w h. As fórmulas para o volume de uma esfera (V = 4 3 π r 3), (V = 4 3 π r 3), um cone (V = 1 3 π r 2 h), (V = 1 3 π r 2 h) ), e uma pirâmide (V = 1 3 A h) (V = 1 3 A h) também foram introduzidas. Embora algumas dessas fórmulas tenham sido derivadas usando apenas a geometria, todas essas fórmulas podem ser obtidas usando integração.

    Também podemos calcular o volume de um cilindro. Embora a maioria de nós pense em um cilindro como tendo uma base circular, como uma lata de sopa ou uma haste de metal, em matemática a palavra cilindro tem um significado mais geral. Para discutir os cilindros neste contexto mais geral, primeiro precisamos definir algum vocabulário.

    Definimos a seção transversal de um sólido como a interseção de um plano com o sólido. UMA cilindro é definido como qualquer sólido que pode ser gerado pela translação de uma região plana ao longo de uma linha perpendicular à região, chamada de eixo do cilindro. Assim, todas as seções transversais perpendiculares ao eixo de um cilindro são idênticas. O sólido mostrado na Figura 6.11 é um exemplo de cilindro com base não circular. Para calcular o volume de um cilindro, então, simplesmente multiplicamos a área da seção transversal pela altura do cilindro: V = A · h. V = A · h. No caso de um cilindro circular reto (lata de sopa), isso se torna V = π r 2 h. V = π r 2 h.

    Se um sólido não tem uma seção transversal constante (e não é um dos outros sólidos básicos), podemos não ter uma fórmula para seu volume. Nesse caso, podemos usar uma integral definida para calcular o volume do sólido. Fazemos isso cortando o sólido em pedaços, estimando o volume de cada fatia e, em seguida, adicionando esses volumes estimados. As fatias devem ser todas paralelas umas às outras e, quando colocarmos todas as fatias juntas, devemos obter o sólido inteiro. Considere, por exemplo, o sólido S mostrado na Figura 6.12, estendendo-se ao longo do eixo x. eixo x.


    6.3b: Volumes de revolução: cascas cilíndricas OS - Matemática

    Nesta seção, examinamos o método das cascas cilíndricas, o método final para encontrar o volume de um sólido de revolução. Podemos usar este método nos mesmos tipos de sólidos que o método do disco ou o método do lavador, porém, com os métodos do disco e do lavador, integramos ao longo do eixo de coordenadas paralelo ao eixo de revolução. Com o método de cascas cilíndricas, integramos ao longo do eixo de coordenadas perpendicular para o eixo de revolução. A capacidade de escolher qual variável de integração queremos usar pode ser uma vantagem significativa com funções mais complicadas. Além disso, a geometria específica do sólido às vezes torna o método de usar cascas cilíndricas mais atraente do que usar o método de arruela. Na última parte desta seção, revisamos todos os métodos para encontrar o volume que estudamos e apresentamos algumas diretrizes para ajudá-lo a determinar qual método usar em uma determinada situação.

    O Método das Cascas Cilíndricas

    Novamente, estamos trabalhando com um sólido de revolução. Como antes, definimos uma região R, R, limitada acima pelo gráfico de uma função y = f (x), y = f (x), abaixo pelo eixo x, eixo x, e à esquerda e à direita pelas linhas x = ax = a e x = b, x = b, respectivamente, conforme mostrado em [link] (a). Em seguida, revolvemos esta região em torno do y-eixo, conforme mostrado em [link] (b). Observe que isso é diferente do que fizemos antes. Anteriormente, as regiões definidas em termos de funções de x x giravam em torno do eixo xo eixo x ou de uma linha paralela a ele.

    (a) Uma região limitada pelo gráfico de uma função de x. x. (b) O sólido de revolução formado quando a região gira em torno do eixo y. eixo y.

    (a) Um retângulo representativo. (b) Quando este retângulo gira em torno do eixo y, eixo y, o resultado é uma casca cilíndrica. (c) Quando colocamos todas as cascas juntas, obtemos uma aproximação do sólido original.

    Para calcular o volume desta casca, considere [link].

    Calculando o volume da concha.

    A casca é um cilindro, então seu volume é a área da seção transversal multiplicada pela altura do cilindro. As seções transversais são anulares (regiões em forma de anel & # 8212essencialmente, círculos com um orifício no centro), com raio externo x i x i e raio interno x i & # 8722 1. x i & # 8722 1. Assim, a área da seção transversal é & # 960 x i 2 & # 8722 & # 960 x i & # 8722 1 2. & # 960 x i 2 & # 8722 & # 960 x i & # 8722 1 2. A altura do cilindro é f (x i *). f (x i *). Então o volume da casca é

    Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate ([link]).

    (a) Make a vertical cut in a representative shell. (b) Open the shell up to form a flat plate.

    In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f ( x i * ) , f ( x i * ) , width 2 π x i * , 2 π x i * , and thickness Δ x Δ x ([link]). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

    which is the same formula we had before.

    To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

    Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f ( x ) . 2 π x f ( x ) . Taking the limit as n → ∞ n → ∞ gives us


    Conteúdo

    Two common methods for finding the volume of a solid of revolution are the disc method and the shell method of integration. To apply these methods, it is easiest to draw the graph in question identify the area that is to be revolved about the axis of revolution determine the volume of either a disc-shaped slice of the solid, with thickness δx , or a cylindrical shell of width δx and then find the limiting sum of these volumes as δx approaches 0, a value which may be found by evaluating a suitable integral. A more rigorous justification can be given by attempting to evaluate a triple integral in cylindrical coordinates with two different orders of integration.

    Disc method Edit

    The disc method is used when the slice that was drawn is perpendicular to the axis of revolution i.e. when integrating parallel to the axis of revolution.

    The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of f(x) e g(x) and the lines x = uma e x = b about the x -axis is given by

    Se g(x) = 0 (e.g. revolving an area between the curve and the x -axis), this reduces to:

    The method can be visualized by considering a thin horizontal rectangle at y between f(y) on top and g(y) on the bottom, and revolving it about the y -axis it forms a ring (or disc in the case that g(y) = 0 ), with outer radius f(y) and inner radius g(y) . The area of a ring is π(R 2 − r 2 ) , where R is the outer radius (in this case f(y) ), and r is the inner radius (in this case g(y) ). The volume of each infinitesimal disc is therefore πf(y) 2 tingir . The limit of the Riemann sum of the volumes of the discs between a and b becomes integral (1).

    Assuming the applicability of Fubini's theorem and the multivariate change of variables formula, the disk method may be derived in a straightforward manner by (denoting the solid as D):

    Cylinder method Edit

    The cylinder method is used when the slice that was drawn is parallel to the axis of revolution i.e. when integrating perpendicular to the axis of revolution.

    The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of f(x) e g(x) and the lines x = uma e x = b about the y -axis is given by

    Se g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and y -axis), this reduces to:

    The method can be visualized by considering a thin vertical rectangle at x with height f(x) − g(x) , and revolving it about the y -axis it forms a cylindrical shell. The lateral surface area of a cylinder is 2πrh , where r is the radius (in this case x ), and h is the height (in this case f(x) − g(x) ). Summing up all of the surface areas along the interval gives the total volume.

    This method may be derived with the same triple integral, this time with a different order of integration:


    Calculus: The Notebook

    The study of Calculus enables us to solve problems and articulate abstract concepts far beyond the theoretical reach of Algebra. The power of Calculus derives from the ingenuity and simplicity of its notation. This mathematical language allows the mathematician the freedom and immense versatility to accurately describe physical problems and the tools to solve them. This book consists of lectures on all the topics of a 3-course series on Calculus: Calculus I, II, and III. It can be used as a textbook, or as a supplement to other texts. Both students and instructors will find it helpful in elucidating the ideas and methods of Calculus.

    Preface
    Sobre o autor
    Formulas
    Introdução

    Part 1 Calculus I
    Chapter 1 Functions and Limits

    1.1 Functions, Transformations
    1.2 Tangent and Velocity Functions
    1.3 Limit of a Function, Limit Laws
    1.4 Formal Definition of a Limit
    1.5 Limit Laws
    1.6 Continuity

    Chapter 2 Derivatives
    2.1 Derivatives and Rates of Change
    2.2 Derivative as a Function, Differentiation Formulas
    2.3 Derivatives of Trigonometric Functions
    2.4 Linear Approximations and Differentials
    2.5 Chain Rule
    2.6 Implicit Differentiation
    2.7 Related Rates

    Chapter 3 Applications of Differentiation
    3.1 Mean Value Theorem
    3.2 Maximum and Minimum Values
    3.3 Optimization Problems
    3.4 Derivatives and Curve Sketching
    3.5 Limits at Infinity
    3.6 Newton’s Method

    Chapter 4 Integrals
    4.1 Antiderivatives
    4.2 Areas and Distances
    4.3 Definite Integral
    4.4 Fundamental Theorem of Calculus

    Chapter 5 Applications of Integration
    5.1 Areas Between Curves
    5.2 Volumes of Solids of Revolution: Slices
    5.3 Volumes of Solids of Revolution: Cylindrical Shells
    5.4 Average Value of a Function
    5.5 Improper Integrals

    Part 2 Calculus II
    Chapter 6 Special Functions, Indeterminate Forms

    6.1 Logs and Exponents
    6.2 Exponential Growth and Decay
    6.3 Inverse Trig Functions
    6.4 L’Hospital’s Rule

    Chapter 7 Techniques of Integration
    7.1 U-Substitution
    7.2 Integration by Parts
    7.3 Trig Integrals
    7.4 Trigonometric Substitution
    7.5 Partial Fractions
    7.6 Numerical Integration

    Chapter 8 Applications of the Integral
    8.1 Arclength
    8.2 Surface Areas of Revolution
    8.3 Mass, Work

    Chapter 9 Introduction to Differential Equations
    9.1 Direction Fields and Euler’s Method
    9.2 Separable Differential Equations
    9.3 Linear Differential Equations

    Chapter 10 Conics, Polar Coordinates, and Parametric Equations
    10.1 Conics
    10.2 Polar Coordinates
    10.3 Parametric Equations

    Chapter 11 Sequences and Series
    11.1 Sequences
    11.2 Series
    11.3 Convergence Tests
    11.4 Power Series

    Part 3 Calculus III
    Chapter 12 Geometry in 3 Dimensions

    12.1 3D coordinates
    12.2 Vectors
    12.3 The Dot Product
    12.4 The Cross Product
    12.5 Vector Equations of Lines, Planes
    12.6 Vector Valued Functions
    12.7 Calculus of Vector Valued Functions
    12.8 Arclength
    12.9 Tangent, Normal, and Binormal Vectors
    12.10 Curvature
    12.11 Motion in Space: Velocity and Acceleration

    Chapter 13 Functions of Several Variables
    13.1 Introduction
    13.2 Quadratic & Cylindrical Surfaces
    13.3 Limits, Continuity
    13.4 Partial Derivatives
    13.5 Chain Rule
    13.6 Directional Derivatives, Gradients
    13.7 Tangent Planes, Normal Lines
    13.8 Local Maxima, Local Minima, Saddle Points
    13.9 Global Maxima and Minima
    13.10 Lagrange Multipliers

    Chapter 14 Multiple Integrals
    14.1 Double Integrals
    14.2 Double Integrals in Polar Coordinates
    14.3 Triple Integrals
    14.4 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates
    14.5 Triple Integrals in Spherical Coordinates

    Chapter 15 Vector Calculus
    15.1 Vector Fields
    15.2 Line Integrals
    15.3 Fundamental Theorem of Line Integrals
    15.4 Green’s Theorem
    15.5 Line Integrals Made Easy
    15.6 Surface Integrals
    15.7 Flux Integrals
    15.8 Stokes Theorem
    15.9 Divergence Theorem


    Calculus Volume 1 Textbook, Test Bank

    Calculus is designed for the typical two- or three-semester general calculus course, incorporating innovative features to enhance student learning.
    The book guides students through the core concepts of calculus and helps them understand how those concepts apply to their lives and the world around them.
    Due to the comprehensive nature of the material, we are offering the book in three volumes for flexibility and efficiency.
    Volume 1 covers functions, limits, derivatives, and integration.

    * Complete Textbook by OpenStax
    * Multiple Choices Questions (MCQ)
    * Essay Questions Flash Cards
    * Key-Terms Flash Cards

    Powered by QuizOver.com the leading online quiz creator
    https://www.quizover.com

    1. Functions and Graphs
    Introdução
    1.1. Review of Functions
    1.2. Basic Classes of Functions
    1.3. Trigonometric Functions
    1.4. Inverse Functions
    1.5. Exponential and Logarithmic Functions
    2. Limits
    Introdução
    2.1. A Preview of Calculus
    2.2. The Limit of a Function
    2.3. The Limit Laws
    2.4. Continuity
    2.5. The Precise Definition of a Limit
    3. Derivatives
    Introdução
    3.1. Defining the Derivative
    3.2. The Derivative as a Function
    3.3. Differentiation Rules
    3.4. Derivatives as Rates of Change
    3.5. Derivatives of Trigonometric Functions
    3.6. The Chain Rule
    3.7. Derivatives of Inverse Functions
    3.8. Implicit Differentiation
    3.9. Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions
    4. Applications of Derivatives
    Introdução
    4.1. Related Rates
    4.2. Linear Approximations and Differentials
    4.3. Maxima and Minima
    4.4. The Mean Value Theorem
    4.5. Derivatives and the Shape of a Graph
    4.6. Limits at Infinity and Asymptotes
    4.7. Applied Optimization Problems
    4.8. L’Hôpital’s Rule
    4.9. Newton’s Method
    4.10. Antiderivatives
    5. Integration
    Introdução
    5.1. Approximating Areas
    5.2. The Definite Integral
    5.3. The Fundamental Theorem of Calculus
    5.4. Integration Formulas and the Net Change Theorem
    5.5. Substitution
    5.6. Integrals Involving Exponential and Logarithmic Functions
    5.7. Integrals Resulting in Inverse Trigonometric Functions
    6. Applications of Integration
    Introdução
    6.1. Areas between Curves
    6.2. Determining Volumes by Slicing
    6.3. Volumes of Revolution: Cylindrical Shells
    6.4. Arc Length of a Curve and Surface Area
    6.5. Physical Applications
    6.6. Moments and Centers of Mass
    6.7. Integrals, Exponential Functions, and Logarithms
    6.8. Exponential Growth and Decay
    6.9. Calculus of the Hyperbolic Functions
    Table of Integrals
    Table of Derivatives
    Review of Pre-Calculus


    What is the Shell method ?

    It is a technique to find solids' capacity of revolutions, which considers vertical sides being integrated rather than horizontal ones to simplify some unique problems where the vertical sides are more easily described. Generally, the solid density is the measurement or standard of how much space an object takes up concerning the XYZ axis plane. As unit cubes are used to fill the solid, the volume of solid is measured by the number of cubes.

    To solve the problem using the cylindrical method, choose the region or area in the XYZ plane, which is distributed into thin vertical strips. Each vertical strip is revolved around the y-axis, and then the different object of a revolution is obtained which looks like a cylindrical shell. Mostly, It follows the rotation of rectangles about the y-axis.


    Solids of Revolution

    If a region in a plane is revolved around a line in that plane, the resulting solid is called a solid of revolution, as shown in the following figure.

    Figure 5. (a) This is the region that is revolved around the x-axis. (b) As the region begins to revolve around the axis, it sweeps out a solid of revolution. (c) This is the solid that results when the revolution is complete.

    Solids of revolution are common in mechanical applications, such as machine parts produced by a lathe. We spend the rest of this section looking at solids of this type. The next example uses the slicing method to calculate the volume of a solid of revolution.

    Use an online integral calculator to learn more.

    Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

    Use the slicing method to find the volume of the solid of revolution bounded by the graphs of and rotated about the

    Solução

    Using the problem-solving strategy, we first sketch the graph of the quadratic function over the interval as shown in the following figure.

    Figure 6. A region used to produce a solid of revolution.

    Next, revolve the region around the -axis, as shown in the following figure.

    Figure 7. Two views, (a) and (b), of the solid of revolution produced by revolving the region in (Figure) about the

    Since the solid was formed by revolving the region around the the cross-sections are circles (step 1). The area of the cross-section, then, is the area of a circle, and the radius of the circle is given by Use the formula for the area of the circle:

    The volume, then, is (step 3)

    The volume is

    Use the method of slicing to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region between the graph of the function e a over the interval em volta do See the following figure.