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1.7: Funções Inversas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Verifique as funções inversas.
  • Determine o domínio e o intervalo de uma função inversa e restrinja o domínio de uma função para torná-la um a um.
  • Encontre ou avalie o inverso de uma função.
  • Use o gráfico de uma função um para um para representar graficamente sua função inversa nos mesmos eixos.

Uma bomba de calor reversível é um sistema de controle de clima que é um ar condicionado e um aquecedor em um único dispositivo. Operado em uma direção, ele bombeia calor para fora de uma casa para fornecer resfriamento. Operando no sentido inverso, ele bombeia calor para dentro do prédio de fora, mesmo em clima frio, para fornecer aquecimento. Como aquecedor, uma bomba de calor é várias vezes mais eficiente do que o aquecimento por resistência elétrica convencional.

Se algumas máquinas físicas podem funcionar em duas direções, podemos perguntar se algumas das “máquinas” de função que estivemos estudando também podem funcionar ao contrário. Figura ( PageIndex {1} ) fornece uma representação visual desta questão. Nesta seção, consideraremos a natureza reversa das funções.


Figura ( PageIndex {1} ): Uma função “máquina” pode operar ao contrário?

Verificando se duas funções são funções inversas

Suponha que um estilista viajando a Milão para um desfile de moda queira saber qual será a temperatura. Ele não está familiarizado com o Celsius escala. Para ter uma ideia de como as medições de temperatura estão relacionadas, ele pede a sua assistente, Betty, para converter 75 graus Fahrenheit em graus Celsius. Ela encontra a fórmula

[C = dfrac {5} {9} (F-32) ]

e substitui 75 por (F ) para calcular

[ dfrac {5} {9} (75 a 32) approx24 ^ { circ} ]

Sabendo que confortáveis ​​75 graus Fahrenheit são cerca de 24 graus Celsius, ele envia à sua assistente a previsão do tempo da semana da Figure ( PageIndex {2} ) para Milão e pede a ela para converter todas as temperaturas em graus Fahrenheit.

No início, Betty considera usar a fórmula que já encontrou para completar as conversões. Afinal, ela conhece sua álgebra e pode facilmente resolver a equação para (F ) após substituir um valor para (C ). Por exemplo, para converter 26 graus Celsius, ela poderia escrever

[ begin {align} 26 & = dfrac {5} {9} (F-32) 26⋅ dfrac {9} {5} & = F − 32 F & = 26⋅ dfrac {9} {5} +32 approx79 end {align} ]

Depois de considerar essa opção por um momento, no entanto, ela percebe que resolver a equação para cada uma das temperaturas será terrivelmente tedioso. Ela percebe que, como avaliar é mais fácil do que resolver, seria muito mais conveniente ter uma fórmula diferente, uma que pegasse a temperatura Celsius e gerasse a temperatura Fahrenheit.

A fórmula que Betty está procurando corresponde à ideia de um função inversa, que é uma função para a qual a entrada da função original se torna a saída da função inversa e a saída da função original se torna a entrada da função inversa.

Dada uma função (f (x) ), representamos seu inverso como (f ^ {- 1} (x) ), lido como “ (f ) inverso de (x ).” O -1 elevado é parte da notação. Não é um expoente; não implica uma potência de -1. Em outras palavras, (f ^ {- 1} (x) ) não significa ( frac {1} {f (x)} ) porque ( frac {1} {f (x)} ) é o recíproco de (f ) e não o inverso.

A notação "semelhante a expoente" vem de uma analogia entre a composição e multiplicação da função: assim como (a ^ {- 1} a = 1 ) (1 é o elemento de identidade para multiplicação) para qualquer número diferente de zero (a ) , então (f ^ {- 1} { circ} f ) é igual à função de identidade, ou seja,

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) = x ]

Isso vale para todos os (x ) no domínio de (f ). Informalmente, isso significa que as funções inversas se “desfazem”. No entanto, assim como o zero não tem um recíproca, algumas funções não têm inversos.

Dada uma função (f (x) ), podemos verificar se alguma outra função (g (x) ) é o inverso de (f (x) ) verificando se (g (f (x) )) = x ) ou (f (g (x)) = x ) é verdadeiro. Podemos testar qualquer equação com a qual seja mais conveniente trabalhar porque elas são logicamente equivalentes (ou seja, se uma for verdadeira, a outra também será).

Por exemplo, (y = 4x ) e (y = frac {1} {4} x ) são funções inversas.

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (4x) = dfrac {1} {4} (4x) = x ]

e

[(f { circ} f ^ {- 1}) (x) = f Grande ( dfrac {1} {4} x Grande) = 4 Grande ( dfrac {1} {4} x Grande) = x ]

Alguns pares de coordenadas do gráfico da função (y = 4x ) são ((- 2, −8) ), ((0, 0) ) e ((2, 8) ) . Alguns pares de coordenadas do gráfico da função (y = frac {1} {4} x ) são ((- 8, −2) ), ((0, 0) ) e ((8, 2) ). Se trocarmos a entrada e a saída de cada par de coordenadas de uma função, os pares de coordenadas trocados apareceriam no gráfico da função inversa.

Definição: Função Inversa

Para qualquer função um para um (f (x) = y ), uma função (f ^ {- 1} (x) ) é um função inversa de (f ) se (f ^ {- 1} (y) = x ). Isso também pode ser escrito como (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todos (x ) no domínio de (f ). Segue-se também que (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todos (x ) no domínio de (f ^ {- 1} ) se (f ^ {- 1} ) é o inverso de (f ).

A notação (f ^ {- 1} ) é lida “ (f ) inversa.” Como qualquer outra função, podemos usar qualquer nome de variável como entrada para (f ^ {- 1} ), portanto, escreveremos frequentemente (f ^ {- 1} (x) ), que lemos como “ (f ) inverso de (x ). ” Tenha em mente que

[f ^ {- 1} (x) neq dfrac {1} {f (x)} ]

e nem todas as funções têm inversos.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Identificando uma função inversa para um determinado par de entrada-saída

Se para uma função específica um para um (f (2) = 4 ) e (f (5) = 12 ), quais são os valores de entrada e saída correspondentes para a função inversa?

Solução

A função inversa inverte as grandezas de entrada e saída, portanto, se

[f (2) = 4, text {then} f ^ {- 1} (4) = 2; f (5) = 12, text {then} f ^ {- 1} (12) = 5 ].

Alternativamente, se quisermos nomear a função inversa (g ), então (g (4) = 2 ) e (g (12) = 5 ).

Análise

Observe que se mostrarmos os pares de coordenadas em uma forma de tabela, a entrada e a saída são claramente invertidas. Veja Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} )
((x, f (x)) ) ((x, g (x)) )
((2,4))((4,2))
((5,12))((12,5))

Exercício ( PageIndex {1} )

Dado que (h ^ {- 1} (6) = 2 ), quais são os valores de entrada e saída correspondentes da função original (h )?

Responder

(h (2) = 6 )

Como: Dadas duas funções (f (x) ) e (g (x) ), teste se as funções são inversas uma da outra.

  1. Determine se (f (g (x)) = x ) ou (g (f (x)) = x ).
  2. Se ambas as afirmações forem verdadeiras, então (g = f ^ {- 1} ) e (f = g ^ {- 1} ). Se qualquer uma das afirmações for falsa, então ambas são falsas, e (g { neq} f ^ {- 1} ) e (f { neq} g ^ {- 1} ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Testando Relacionamentos Inversos Algebricamente

Se (f (x) = frac {1} {x + 2} ) e (g (x) = frac {1} {x} −2 ), é (g = f ^ {- 1} )?

Solução

[ begin {align} g (f (x)) & = dfrac {1} {( frac {1} {x + 2}) - 2} & = x + 2−2 & = x end {align} ]

assim

[g = f ^ {- 1} text {e} f = g ^ {- 1} ]

Isso é o suficiente para responder sim à pergunta, mas também podemos verificar a outra fórmula.

[ begin {align} f (g (x)) & = dfrac {1} { frac {1} {x} -2 + 2} & = dfrac {1} { frac {1} {x}} & = x end {align} ]

Análise

Observe que as operações inversas estão na ordem inversa das operações da função original.

Exercício ( PageIndex {2} )

Se (f (x) = x ^ 3−4 ) e (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ), é (g = f ^ {- 1} )?

Responder

sim

Exemplo ( PageIndex {3} ): Determinando Relações Inversas para Funções de Potência

Se (f (x) = x ^ 3 ) (a função do cubo) e (g (x) = frac {1} {3} x ), é (g = f ^ {- 1} )?

Solução

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

Não, as funções não são inversas.
Análise

O inverso correto do cubo é, obviamente, a raiz do cubo ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ), ou seja, o um terço é um expoente , não um multiplicador.

Exercício ( PageIndex {3} )

Se (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) e (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ), é (g = f ^ {- 1} )?

Responder

sim

Encontrando Domínio e Faixa de Funções Inversas

As saídas da função (f ) são as entradas para (f ^ {- 1} ), então o intervalo de (f ) também é o domínio de (f ^ {- 1} ). Da mesma forma, porque as entradas para (f ) são as saídas de (f ^ {- 1} ), o domínio de (f ) é o intervalo de (f ^ {- 1} ). Podemos visualizar a situação como na Figura ( PageIndex {3} ).


Figura ( PageIndex {3} ): Domínio e alcance de uma função e seu inverso.

Quando uma função não tem função inversa, é possível criar uma nova função em que essa nova função em um domínio limitado tenha uma função inversa. Por exemplo, o inverso de (f (x) = sqrt {x} ) é (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 ), porque um quadrado “desfaz” uma raiz quadrada; mas o quadrado é apenas o inverso da raiz quadrada no domínio ( left [0, infty right) ), uma vez que esse é o intervalo de (f (x) = sqrt {x} ).

Podemos olhar para esse problema do outro lado, começando com a função quadrada (quadrática do kit de ferramentas) (f (x) = x ^ 2 ). Se quisermos construir uma inversa para esta função, teremos um problema, porque para cada saída dada da função quadrática, existem duas entradas correspondentes (exceto quando a entrada é 0). Por exemplo, a saída 9 da função quadrática corresponde às entradas 3 e –3. Mas uma saída de uma função é uma entrada para seu inverso; se esta entrada inversa corresponde a mais de uma saída inversa (entrada da função original), então o “inverso” não é uma função de forma alguma! Em outras palavras, a função quadrática não é uma função um-para-um; ele falha no teste da linha horizontal, portanto, não tem uma função inversa. Para que uma função tenha um inverso, deve ser uma função um-para-um.

Em muitos casos, se uma função não for um para um, ainda podemos restringir a função a uma parte de seu domínio no qual é um para um. Por exemplo, podemos fazer uma versão restrita da função quadrada (f (x) = x ^ 2 ) com seu intervalo limitado a ( left [0, infty right) ), que é um- função para um (passa no teste da linha horizontal) e que tem uma função inversa (função da raiz quadrada).

Se (f (x) = (x − 1) ^ 2 ) on ([1, ∞) ), então a função inversa é (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} +1 ).

  • O domínio de (f ) = intervalo de (f ^ {- 1} = left [1, infty right) ).
  • O domínio de (f ^ {- 1} ) = intervalo de (f = left [0, infty right) ).

É possível que uma função tenha mais de um inverso?

Não. Se duas funções supostamente diferentes, digamos, (g ) eh, ambas atendem à definição de serem inversas de outra função (f ), então você pode provar que (g = h ). Acabamos de ver que algumas funções só têm inversas se restringirmos o domínio da função original. Nestes casos, pode haver mais de uma maneira de restringir o domínio, levando a diferentes inversos. No entanto, em qualquer domínio, a função original ainda tem apenas um inverso exclusivo.

Nota: Domínio e intervalo de funções inversas

O intervalo de uma função (f (x) ) é o domínio da função inversa (f ^ {- 1} (x) ).

O domínio de (f (x) ) é o intervalo de (f ^ {- 1} (x) ).

Como: Dada uma função, encontre o domínio e o intervalo de seu inverso.

  1. Se a função for um para um, escreva o intervalo da função original como o domínio do inverso e escreva o domínio da função original como o intervalo do inverso.
  2. Se o domínio da função original precisa ser restrito para torná-la um a um, então esse domínio restrito torna-se o intervalo da função inversa.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando os Inversos das Funções do Toolkit

Identifique quais das funções do kit de ferramentas além da função quadrática não são um-para-um e encontre um domínio restrito no qual cada função é um-para-um, se houver. As funções do kit de ferramentas são revisadas na Tabela ( PageIndex {2} ). Restringimos o domínio de tal forma que a função assume todos os valores y exatamente uma vez.

Tabela ( PageIndex {2} )
ConstanteIdentidadeQuadráticoCúbicoRecíproca
(f (x) = c ) (f (x) = x ) (f (x) = x ^ 2 ) (f (x) = x ^ 3 ) (f (x) = frac {1} {x} )
Quadrado recíprocoRaiz cúbicaRaiz quadradaValor absoluto
(f (x) = frac {1} {x ^ 2} ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (x) = sqrt {x} ) (f (x) = | x | )

Solução

A função constante não é um para um e não há domínio (exceto um único ponto) no qual poderia ser um para um, portanto, a função constante não tem inverso significativo.

A função de valor absoluto pode ser restrita ao domínio ( left [0, infty right) ), onde é igual à função de identidade.

A função recíproca ao quadrado pode ser restrita ao domínio ((0, infty) ).

Análise

Podemos ver que essas funções (se irrestritas) não são uma a uma olhando seus gráficos, mostrados na Figura ( PageIndex {4} ). Ambos seriam reprovados no teste da linha horizontal. No entanto, se uma função é restrita a um determinado domínio para que passe no teste da linha horizontal, então, nesse domínio restrito, ela pode ter um inverso.


Figura ( PageIndex {4} ): (a) Valor absoluto (b) Quadrado recíproco

( PageIndex {4} ): O domínio da função (f ) é ((1, infty) ) e o intervalo da função (f ) é ((- infty, −2) ). Encontre o domínio e o intervalo da função inversa.

Solução

O domínio da função (f ^ {- 1} ) é ((- infty, −2) ) e o intervalo da função (f ^ {- 1} ) é ((1, infty ) ).

Encontrando e Avaliando Funções Inversas

Uma vez que temos uma função um-para-um, podemos avaliar seu inverso em entradas de função inversa específicas ou construir uma representação completa da função inversa em muitos casos.

Invertendo funções tabulares

Suponha que queremos encontrar o inverso de uma função representada em forma de tabela. Lembre-se de que o domínio de uma função é o intervalo do inverso e o intervalo da função é o domínio do inverso. Portanto, precisamos trocar o domínio e o intervalo.

Cada linha (ou coluna) de entradas torna-se a linha (ou coluna) de saídas para a função inversa. Da mesma forma, cada linha (ou coluna) de saídas torna-se a linha (ou coluna) de entradas para a função inversa.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Interpretando o inverso de uma função tabular

Uma função (f (t) ) é fornecida na Tabela ( PageIndex {3} ), mostrando a distância em milhas que um carro viajou em (t ) minutos. Encontre e interprete (f ^ {- 1} (70) )

Tabela ( PageIndex {3} )

(t ) (minutos)

30507090

(f (t) ) (milhas)

20406070

A função inversa obtém uma saída de (f ) e retorna uma entrada para (f ). Portanto, na expressão (f ^ {- 1} (70) ), 70 é um valor de saída da função original, representando 70 milhas. O inverso retornará a entrada correspondente da função original (f ), 90 minutos, então (f ^ {- 1} (70) = 90 ). A interpretação disso é que, para dirigir 70 milhas, demorava 90 minutos.

Alternativamente, lembre-se de que a definição do inverso era que se (f (a) = b ), então (f ^ {- 1} (b) = a ). Por esta definição, se nos é dado (f ^ {- 1} (70) = a ), então estamos procurando por um valor (a ) de forma que (f (a) = 70 ). Neste caso, estamos procurando a (t ) de forma que (f (t) = 70 ), que é quando (t = 90 ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Usando Table ( PageIndex {4} ), encontre e interprete (a) (f (60) ) e (b) (f ^ {- 1} (60) ).

Tabela ( PageIndex {4} )

(t ) (minutos)

3050607090

(f (t) ) (milhas)

2040506070
Responder

(f (60) = 50 ). Em 60 minutos, 50 milhas são percorridas.
(f ^ {- 1} (60) = 70 ). Para viajar 60 milhas, levará 70 minutos.

Avaliando o Inverso de uma Função, Dado um Gráfico da Função Original

Vimos em Funções e notação de função que o domínio de uma função pode ser lido observando a extensão horizontal de seu gráfico. Encontramos o domínio da função inversa, observando o vertical extensão do gráfico da função original, porque esta corresponde à extensão horizontal da função inversa. Da mesma forma, encontramos o intervalo da função inversa, observando o horizontal extensão do gráfico da função original, pois esta é a extensão vertical da função inversa. Se quisermos avaliar uma função inversa, encontramos sua entrada dentro de seu domínio, que é todo ou parte do eixo vertical do gráfico da função original.

Dado o gráfico de uma função, avalie seu inverso em pontos específicos.

  1. Encontre a entrada desejada no eixo y do gráfico fornecido.
  2. Leia a saída da função inversa do eixo x do gráfico fornecido.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Avaliando uma função e seu inverso a partir de um gráfico em pontos específicos

Uma função (g (x) ) é dada na Figura ( PageIndex {5} ). Encontre (g (3) ) e (g ^ {- 1} (3) ).
.

Solução

Para avaliar (g (3) ), encontramos 3 no eixo xe encontramos o valor de saída correspondente no eixo y. O ponto ((3,1) ) nos diz que (g (3) = 1 ).

Para avaliar (g ^ {- 1} (3) ), lembre-se que por definição (g ^ {- 1} (3) ) significa o valor de (x ) para o qual (g (x) = 3 ). Ao procurar o valor de saída 3 no eixo vertical, encontramos o ponto ((5,3) ) no gráfico, o que significa (g (5) = 3 ), portanto, por definição, (g ^ {-1} (3) = 5. ) Veja a Figura ( PageIndex {6} ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Usando o gráfico na Figura ( PageIndex {6} ), (a) encontrar (g ^ {- 1} (1) ), e (b) estimar (g ^ {- 1} (4) )

Responder a

3

Resposta b

5.6

Encontrando Inversos de Funções Representadas por Fórmulas

Às vezes, precisaremos conhecer uma função inversa para todos os elementos de seu domínio, não apenas alguns. Se a função original é dada como uma fórmula - por exemplo, (y ) como uma função de (x ) - podemos frequentemente encontrar a função inversa resolvendo obter (x ) como uma função de ( y ).

Como: Dada uma função representada por uma fórmula, encontre o inverso.

  1. Certifique-se de que (f ) é uma função um-para-um.
  2. Resolva para (x )
  3. Troque (x ) e (y ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Invertendo a função Fahrenheit para Celsius

Encontre uma fórmula para a função inversa que forneça a temperatura Fahrenheit como uma função da temperatura Celsius.

[C = dfrac {5} {9} (F-32) ]

Solução

[ begin {align} C & = frac {5} {9} (F-32) C { cdot} frac {9} {5} & = F − 32 F & = frac {9 } {5} C + 32 end {alinhar} ]

Resolvendo em geral, descobrimos a função inversa. Se

[C = h (F) = dfrac {5} {9} (F − 32) ],

então

[F = h ^ {- 1} (C) = dfrac {9} {5} C + 32. ]

Neste caso, introduzimos uma função (h ) para representar a conversão porque as variáveis ​​de entrada e saída são descritivas e escrever (C ^ {- 1} ) pode ser confuso.

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva para (x ) em termos de (y ) dado (y = frac {1} {3} (x − 5) )

Responder

(x = 3y + 5 )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Resolvendo para encontrar uma função inversa

Encontre o inverso da função (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

Solução

[ begin {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {Configure uma equação.} y − 4 & = dfrac {2} {x − 3} & text {Subtraia 4 de ambos os lados.} x − 3 & = dfrac {2} {y − 4} & text {Multiplique ambos os lados por x − 3 e divida por y − 4.} x & = dfrac { 2} {y − 4} +3 & text {Adicione 3 a ambos os lados.} End {align} ]

Portanto, (f ^ {- 1} (y) = frac {2} {y − 4} +3 ) ou (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

Análise

O domínio e o intervalo de (f ) excluem os valores 3 e 4, respectivamente. (f ) e (f ^ {- 1} ) são iguais em dois pontos, mas não são a mesma função, como podemos ver criando Tabela ( PageIndex {5} ).

Tabela ( PageIndex {5} )

(x )

125 (f ^ {- 1} (y) )

(f (x) )

325 (y )

Exemplo ( PageIndex {9} ): Resolvendo para encontrar um inverso com radicais

Encontre o inverso da função (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

Solução

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} (y-2) ^ 2 & = x-4 x & = (y-2) ^ 2 + 4 end {align} ]

Portanto, (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

O domínio de (f ) é ( left [4, infty right) ). Observe que o intervalo de (f ) é ( left [2, infty right) ), então isso significa que o domínio da função inversa (f ^ {- 1} ) também é ( left [2, infty right) )

Análise

A fórmula que encontramos para (f ^ {- 1} (x) ) parece ser válida para todos os reais (x ). No entanto, (f ^ {- 1} ) em si deve ter um inverso (ou seja, (f )), portanto, temos que restringir o domínio de (f ^ {- 1} ) para ( left [ 2, infty right) ) para fazer (f ^ {- 1} ) uma função um-para-um. Este domínio de (f ^ {- 1} ) é exatamente o intervalo de (f ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Qual é o inverso da função (f (x) = 2- sqrt {x} )? Enuncie os domínios da função e da função inversa.

Responder

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ); domínio de (f ): ( left [0, infty right) ); domínio de (f ^ {- 1} ): ( left (- infty, 2 right] )

Encontrando funções inversas e seus gráficos

Agora que podemos encontrar a inversa de uma função, exploraremos os gráficos de funções e suas inversas. Voltemos à função quadrática (f (x) = x ^ 2 ) restrita ao domínio ( left [0, infty right) ), na qual esta função é um-para-um, e represente graficamente como na Figura ( PageIndex {7} ).


Figura ( PageIndex {7} ): Função quadrática com domínio restrito a ([0, infty) ).

Restringindo o domínio to ( left [0, infty right) ) torna a função um-para-um (obviamente passará no teste da linha horizontal), então tem um inverso neste domínio restrito.

Já sabemos que o inverso da função quadrática do kit de ferramentas é a função raiz quadrada, ou seja, (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). O que acontece se representarmos graficamente (f ) e (f ^ {- 1} ) no mesmo conjunto de eixos, usando o eixo x como entrada para (f ) e (f ^ { -1} )?

Notamos uma relação distinta: o gráfico de (f ^ {- 1} (x) ) é o gráfico de (f (x) ) refletido sobre a linha diagonal (y = x ), que iremos chame a linha de identidade, mostrada na Figura ( PageIndex {8} ).

.
Figura ( PageIndex {8} ): Funções de raiz quadrada e quadrada no domínio não negativo

Essa relação será observada para todas as funções um-para-um, pois é o resultado da função e de suas entradas e saídas inversas trocando. Isso equivale a trocar os papéis dos eixos vertical e horizontal.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Encontrando o Inverso de uma Função Usando Reflexão sobre a Linha de Identidade

Dado o gráfico de (f (x) ) na Figura ( PageIndex {9} ), esboce um gráfico de (f ^ {- 1} (x) ).

Esta é uma função um para um, portanto, seremos capazes de esboçar uma inversa. Observe que o gráfico mostrado tem um domínio aparente de ((0, infty) ) e intervalo de ((- infty, infty) ), então o inverso terá um domínio de ((- infty) , infty) ) e intervalo de ((0, infty) ).

Se refletirmos este gráfico sobre a linha (y = x ), o ponto ((1,0) ) reflete para ((0,1) ) e o ponto ((4,2) ) reflete para ((2,4) ). Desenhando o inverso nos mesmos eixos do gráfico original, obtém-se a Figura ( PageIndex {10} ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Desenhe gráficos das funções (f ) e (f ^ {- 1} ) de Exemplo ( PageIndex {8} ).

Responder

Existe alguma função igual ao seu próprio inverso?

sim. Se (f = f ^ {- 1} ), então (f (f (x)) = x ), e podemos pensar em várias funções que têm essa propriedade. A função de identidade

faz, e também a função recíproca, porque

[ dfrac {1} { frac {1} {x}} = x ]

Qualquer função (f (x) = c − x ), onde (c ) é uma constante, também é igual ao seu próprio inverso.

Conceitos chave

  • Se (g (x) ) é o inverso de (f (x) ), então (g (f (x)) = f (g (x)) = x ).
  • Cada uma das funções do kit de ferramentas tem um inverso.
  • Para que uma função tenha uma inversa, ela deve ser um para um (passar no teste da linha horizontal).
  • Uma função que não é um-para-um em todo o seu domínio pode ser um-para-um em parte do seu domínio.
  • Para uma função tabular, troque as linhas de entrada e saída para obter o inverso.
  • O inverso de uma função pode ser determinado em pontos específicos de seu gráfico.
  • Para encontrar o inverso de uma fórmula, resolva a equação (y = f (x) ) para (x ) como uma função de (y ). Em seguida, troque os rótulos (x ) e (y ).
  • O gráfico de uma função inversa é o reflexo do gráfico da função original através da linha (y = x ).

1.7 Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas

Nesta seção, enfocamos as integrais que resultam em funções trigonométricas inversas. Já trabalhamos com essas funções antes. Lembre-se de Funções e gráficos que as funções trigonométricas não são uma a uma, a menos que os domínios sejam restritos. Ao trabalhar com funções inversas de trigonométricas, sempre precisamos ter o cuidado de levar essas restrições em consideração. Também em Derivativos, desenvolvemos fórmulas para derivadas de funções trigonométricas inversas. As fórmulas aí desenvolvidas dão origem diretamente a fórmulas de integração envolvendo funções trigonométricas inversas.

Integrais que resultam em funções senoidais inversas

Comecemos esta última seção do capítulo com as três fórmulas. Junto com essas fórmulas, usamos substituição para avaliar as integrais. Provamos a fórmula para a integral do seno inverso.

Regra: Fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas

As fórmulas de integração a seguir geram funções trigonométricas inversas. Suponha a & gt 0 a & gt 0:


1.7: Funções Inversas - Matemática

No último exemplo da seção anterior, vimos as duas funções (f left (x right) = 3x - 2 ) e (g left (x right) = frac <3> + frac <2> <3> ) e vi que

[deixou( direita) esquerda (x direita) = esquerda ( direita) esquerda (x direita) = x ]

e, conforme observado nessa seção, isso significa que essas são funções muito especiais. Vamos ver o que os torna tão especiais. Considere as seguintes avaliações.

No primeiro caso, conectamos (x = - 1 ) em (f left (x right) ) e obtivemos um valor de -5. Em seguida, viramos e conectamos (x = - 5 ) em (g left (x right) ) e obtivemos um valor de -1, o número com o qual começamos.

No segundo caso, fizemos algo semelhante. Aqui, conectamos (x = 2 ) em (g left (x right) ) e obtivemos um valor de ( frac <4> <3> ), viramos e conectamos isso em ( f left (x right) ) e obteve o valor 2, que é novamente o número com o qual começamos.

Observe que realmente estamos fazendo alguma composição de função aqui. O primeiro caso é realmente,

[deixou( right) left (<- 1> right) = g left [ right)> right] = g left [<- 5> right] = - 1 ]

e o segundo caso é realmente,

Observe também que ambos concordam com a fórmula para as composições que encontramos na seção anterior. Retornamos da avaliação da função o número que originalmente inserimos na composição.

Então, o que está acontecendo aqui? De alguma forma, podemos pensar que essas duas funções desfazem o que a outra fez a um número. No primeiro caso, conectamos (x = - 1 ) em (f left (x right) ) e, em seguida, conectamos o resultado desta avaliação de função de volta em (g left (x right) ) e de alguma forma (g left (x right) ) desfez o que (f left (x right) ) tinha feito para (x = - 1 ) e nos devolveu o original (x ) com que começamos.

Os pares de funções que exibem este comportamento são chamados funções inversas. Antes de definir formalmente as funções inversas e a notação que usaremos para elas, precisamos tirar uma definição do caminho.

Uma função é chamada um a um se não houver dois valores de (x ) produzirem o mesmo (y ). Esta é uma definição bastante simples de um para um, mas leva um exemplo de uma função que não é um para um para mostrar exatamente o que significa. Antes de fazer isso, entretanto, devemos notar que esta definição de um para um não é realmente a definição matematicamente correta de um para um. É idêntico à definição matematicamente correta, apenas não usa toda a notação da definição formal.

Agora, vamos ver um exemplo de uma função que não é individual. A função (f left (x right) = ) não é um para um porque ambos (f left (<- 2> right) = 4 ) e (f left (2 right) = 4 ). Em outras palavras, existem dois valores diferentes de (x ) que produzem o mesmo valor de (y ). Observe que podemos virar (f left (x right) = ) em uma função um-para-um se nos restringirmos a (0 le x & lt infty ). Às vezes, isso pode ser feito com funções.

Mostrar que uma função é individual costuma ser um processo tedioso e difícil. Na maioria das vezes, vamos supor que as funções com as quais vamos lidar nesta seção são de um para um. Precisamos falar sobre funções um-para-um, no entanto, uma vez que apenas funções um-para-um podem ser funções inversas.

Agora, vamos definir formalmente o que são funções inversas.

Funções Inversas

Dadas duas funções um-para-um (f left (x right) ) e (g left (x right) ) se

então dizemos que (f left (x right) ) e (g left (x right) ) são inversos de cada um. Mais especificamente, diremos que (g left (x right) ) é o inverso de (f left (x right) ) e denotá-lo por

[g left (x right) = > left (x right) ]

Da mesma forma, também podemos dizer que (f left (x right) ) é o inverso de (g left (x right) ) e denotá-lo por

[f left (x right) = > left (x right) ]

A notação que usamos realmente depende do problema. Na maioria dos casos, qualquer um dos dois é aceitável.

Para as duas funções com as quais começamos esta seção, poderíamos escrever um dos dois conjuntos de notação a seguir.

Agora, tome cuidado com a notação para inversos. O “-1” NÃO é um expoente, apesar do fato de que com certeza se parece com um! Ao lidar com funções inversas, temos que lembrar que

Este é um dos erros mais comuns que os alunos cometem ao estudar as funções inversas pela primeira vez.

O processo para encontrar o inverso de uma função é bastante simples, embora haja algumas etapas que às vezes podem ser um tanto confusas. Aqui está o processo

Encontrando o Inverso de uma Função

Dada a função (f left (x right) ), queremos encontrar a função inversa, (> left (x right) ).

  1. Primeiro, substitua (f left (x right) ) por (y ). Isso é feito para tornar o resto do processo mais fácil.
  2. Substitua cada (x ) por a (y ) e substitua cada (y ) por um (x ).
  3. Resolva a equação da Etapa 2 para (y ). Esta é a etapa em que os erros são cometidos com mais frequência, portanto, tome cuidado com esta etapa.
  4. Substitua (y ) por (> left (x right) ). Em outras palavras, conseguimos encontrar o inverso neste ponto!
  5. Verifique seu trabalho verificando se ( left ( >> right) left (x right) = x ) e ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) são ambos verdadeiros. Este trabalho às vezes pode ser confuso, tornando mais fácil cometer erros, então, novamente, tome cuidado.

Esse é o processo. A maioria das etapas não é tão ruim, mas conforme mencionado no processo, há algumas etapas com as quais realmente precisamos ter cuidado.

Na etapa de verificação, tecnicamente realmente precisamos verificar se ( left ( >> right) left (x right) = x ) e ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) são verdadeiros. Para todas as funções que veremos nesta seção, se uma for verdadeira, a outra também será. No entanto, existem funções (elas estão muito além do escopo deste curso, no entanto) para as quais é possível que apenas uma delas seja verdadeira. Isso é levantado porque em todos os problemas aqui estaremos apenas verificando um deles. Precisamos apenas lembrar sempre que, tecnicamente, devemos verificar os dois.

Agora, já sabemos o que é o inverso dessa função, pois já fizemos alguns trabalhos com ela. No entanto, seria bom começar com isso, já que sabemos o que devemos obter. Isso funcionará como uma boa verificação do processo.

Então vamos começar. Vamos primeiro substituir (f left (x right) ) por (y ).

Em seguida, substitua todos os (x ) 's por (y ) e todos sim com (x ).

Finalmente substitua (y ) por (> left (x right) ).

Agora, precisamos verificar os resultados. Já cuidamos disso na seção anterior, no entanto, realmente devemos seguir o processo, então faremos isso aqui. Não importa qual dos dois verificamos, só precisamos verificar um deles. Desta vez, vamos verificar se ( left ( >> right) left (x right) = x ) é verdadeiro.

Agora, o fato de que estamos usando (g left (x right) ) em vez de (f left (x right) ) não muda como o processo funciona. Aqui estão as primeiras etapas.

Agora, para resolver para (y ), precisaremos primeiro elevar ao quadrado ambos os lados e então proceder normalmente.

Por fim, vamos verificar e, desta vez, usaremos o outro apenas para podermos dizer que colocamos ambos em algum lugar de um exemplo.

Então, fizemos o trabalho corretamente e de fato temos o inverso.

Antes de prosseguirmos, devemos também reconhecer as restrições de (x ge 0 ) que fornecemos na declaração do problema, mas com as quais aparentemente nunca fizemos nada. Observe que esta restrição é necessária para garantir que o inverso, (> left (x right) ) dado acima é de fato um para um.

Sem essa restrição, o inverso não seria um para um, como é facilmente visto por algumas avaliações rápidas.

Portanto, a restrição é necessária para garantir que o inverso seja um para um.

O próximo exemplo pode ser um pouco confuso, então tome cuidado com o trabalho aqui.

As primeiras etapas são praticamente as mesmas dos exemplos anteriores, então aqui estão elas,

Agora, tome cuidado com a etapa de solução. Com esse tipo de problema, é muito fácil cometer um erro aqui.

[começarx left (<2y - 5> right) & = y + 4 2xy - 5x & = y + 4 2xy - y & = 4 + 5x left (<2x - 1> right) y & = 4 + 5x y & = frac << 4 + 5x >> << 2x - 1 >> end]

Então, se fizemos todo o nosso trabalho corretamente, o inverso deveria ser,

Finalmente, precisamos fazer a verificação. Este também é um processo bastante confuso e realmente não importa com qual trabalhamos.

Ok, isso é uma bagunça. Vamos simplificar um pouco as coisas multiplicando o numerador e o denominador por (2x - 1 ).

Uau. Foi muito trabalhoso, mas deu certo no final. Fizemos todo o nosso trabalho corretamente e, de fato, temos o inverso.

Há um tópico final que precisamos abordar rapidamente antes de sairmos desta seção. Existe uma relação interessante entre o gráfico de uma função e sua inversa.

Aqui está o gráfico da função e o inverso dos dois primeiros exemplos. Não vamos lidar com o exemplo final, pois essa é uma função sobre a qual ainda não falamos sobre a representação gráfica.

Em ambos os casos, podemos ver que o gráfico do inverso é um reflexo da função real sobre a reta (y = x ). Esse sempre será o caso com os gráficos de uma função e sua inversa.


Uma função inversa é uma função que faz a & # 8220 reversa & # 8221 de uma determinada função. Mais formalmente, se (f ) é uma função com domínio (X ), então (^ <-1> ) é sua função inversa se e somente se (^ <-1> left (f left (x right) right) = x ) para cada (x em X ).

Uma função deve ser uma relação um para um se seu inverso for uma função. Se uma função (f ) tem uma função inversa (f ^ <-1> ), então (f ) é dito ser invertível.

Dada a função (f (x) ), determinamos o inverso (f ^ <-1> (x) ) por:

  • intercambiando (x ) e (y ) na equação
  • tornando (y ) o assunto da equação
  • expressar a nova equação em notação de função.

Observação: se o inverso não for uma função, não pode ser escrito em notação de função. Por exemplo, o inverso de (f (x) = 3x ^ 2 ) não pode ser escrito como (f ^ <-1> (x) = pm sqrt < frac <1> <3> x> ), pois não é uma função. Escrevemos o inverso como (y = pm sqrt < frac <1> <3> x> ) e concluímos que (f ) não é invertível.

Se representarmos a função (f ) e a função inversa (^ <-1> ) graficamente, os dois gráficos são refletidos sobre a reta (y = x ). Qualquer ponto na linha (y = x ) tem (x ) - e (y ) - coordenadas com o mesmo valor numérico, por exemplo ((- 3-3) ) e ( left ( frac <4> <5> frac <4> <5> right) ). Portanto, trocar os valores (x ) - e (y ) - não faz diferença.

Este diagrama mostra uma função exponencial (gráfico preto) e seu inverso (gráfico azul) refletido sobre a linha (y = x ) (linha cinza).

Importante: para (^ <-1> ), o sobrescrito (- text <1> ) não é um expoente. É a notação para indicar o inverso de uma função. Não confunda isso com expoentes, como ( left ( frac <1> <2> right) ^ <-1> ) ou (3 + x ^ <-1> ).

Tenha cuidado para não confundir o inverso de uma função e o recíproco de uma função:


Funções Inversas Conteúdo: Esta página corresponde à & seção 1.7 (p. 150) do texto. Problemas sugeridos de texto p.158 # 1-4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 27, 31, 34, 37, 46, 48, 51, 71, 74, 83 Definição de Função Inversa

Antes de definir o inverso de uma função, precisamos ter a imagem mental correta da função.

Considere a função f (x) = 2x + 1. Sabemos como avaliar f em 3, f (3) = 2 * 3 + 1 = 7. Nesta seção, é útil pensar em f como a transformação de um 3 em um 7 e f transforma um 5 em um 11, etc.

Agora que pensamos em f como "atuando em" números e transformando-os, podemos definir o inverso de f como a função que "desabilita" o que f fez. Em outras palavras, o inverso de f precisa levar 7 de volta para 3 e levar -3 de volta para -2, etc.

Seja g (x) = (x - 1) / 2. Então g (7) = 3, g (-3) = -2 e g (11) = 5, então g parece estar desfazendo o que f fez, pelo menos para esses três valores. Para provar que g é o inverso de f, devemos mostrar que isso é verdadeiro para qualquer valor de x no domínio de f. Em outras palavras, g deve levar f (x) de volta a x para todos os valores de x no domínio de f. Portanto, g (f (x)) = x deve valer para todo x no domínio de f. A maneira de verificar essa condição é ver que a fórmula para g (f (x)) simplifica para x.

g (f (x)) = g (2x + 1) = (2x + 1 -1) / 2 = 2x / 2 = x.

Essa simplificação mostra que, se escolhermos qualquer número e deixarmos f atuá-lo, aplicar g ao resultado recupera nosso número original. Também precisamos ver se esse processo funciona ao contrário, ou que f também desfaz o que g.

f (g (x)) = f ((x - 1) / 2) = 2 (x - 1) / 2 + 1 = x - 1 + 1 = x.

Supondo que f -1 denote o inverso de f, acabamos de mostrar que g = f -1.

Sejam feg duas funções. Se

f (g (x)) = x e g (f (x)) = x,

então g é o inverso de f e f é o inverso de g.

(a) Abra a Calculadora Java e insira as fórmulas para f e g. Observe que você obtém uma raiz cúbica elevando para (1/3) e precisa inserir o expoente como (1/3), e não uma aproximação decimal. Portanto, o texto para a caixa g será

(x - 2) ^ (1/3)

Use a calculadora para avaliar f (g (4)) e g (f (-3)). g é o inverso de f, mas devido ao erro de arredondamento, a calculadora pode não retornar o valor exato com o qual você começou. Experimente f (g (-2)). As respostas variam para diferentes computadores. No entanto, em nossa máquina de teste, f (g (4)) retornou 4 g (f (-3)) retornou 3, mas f (g (-2)) retornou -1,99999999999999991, que é bem próximo de -2.

A calculadora pode nos dar uma boa indicação de que g é o inverso de f, mas não podemos verificar todos os valores possíveis de x.

(b) Prove que g é o inverso de f simplificando as fórmulas para f (g (x) e g (f (x)).

Gráficos de funções inversas

Vimos exemplos de reflexos no avião. The reflection of a point (a,b) about the x-axis is (a,-b), and the reflection of (a,b) about the y-axis is (-a,b). Now we want to reflect about the line y = x.


The reflection of the point (a,b) about the line y = x is the point (b,a) .

Let f(x) = x 3 + 2. Then f(2) = 10 and the point (2,10) is on the graph of f. The inverse of f must take 10 back to 2, i.e. f -1 (10)=2, so the point (10,2) is on the graph of f -1 . The point (10,2) is the reflection in the line y = x of the point (2,10). The same argument can be made for all points on the graphs of f and f -1 .

The graph of f -1 is the reflection about the line y = x of the graph of f.

Existence of an Inverse

Some functions do not have inverse functions. For example, consider f(x) = x 2 . There are two numbers that f takes to 4, f(2) = 4 and f(-2) = 4. If f had an inverse, then the fact that f(2) = 4 would imply that the inverse of f takes 4 back to 2. On the other hand, since f(-2) = 4, the inverse of f would have to take 4 to -2. Therefore, there is no function that is the inverse of f.

Look at the same problem in terms of graphs. If f had an inverse, then its graph would be the reflection of the graph of f about the line y = x. The graph of f and its reflection about y = x are drawn below.

Note that the reflected graph does not pass the vertical line test, so it is not the graph of a function.

This generalizes as follows: A function f has an inverse if and only if when its graph is reflected about the line y = x, the result is the graph of a function (passes the vertical line test). But this can be simplified. We can tell before we reflect the graph whether or not any vertical line will intersect more than once by looking at how horizontal lines intersect the original graph!

Horizontal Line Test

Let f be a function.

If any horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does not have an inverse.

If no horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does have an inverse.

The property of having an inverse is very important in mathematics, and it has a name.

Definition : A function f is one-to-one if and only if f has an inverse.

The following definition is equivalent, and it is the one most commonly given for one-to-one.

Alternate Definition : A function f is one-to-one if, for every a and b in its domain, f(a) = f(b) implies a = b.

Graph the following functions and determine whether or not they have inverses.

(a) f(x) = (x - 3) x 2 . Answer

(b) f(x) = x 3 + 3x 2 +3x. Answer

(c) f(x) = x ^(1/3) ( the cube root of x). Answer

Finding Inverses

Example 1. First consider a simple example f(x) = 3x + 2 .

The graph of f is a line with slope 3, so it passes the horizontal line test and does have an inverse.

There are two steps required to evaluate f at a number x. First we multiply x by 3, then we add 2.

Thinking of the inverse function as undoing what f did, we must undo these steps in reverse order.

The steps required to evaluate f -1 are to first undo the adding of 2 by subtracting 2. Then we undo multiplication by 3 by dividing by 3.

Therefore, f -1 (x) = (x - 2)/3.

Steps for finding the inverse of a function f.

  1. Replace f(x) by y in the equation describing the function.
  2. Interchange x and y. In other words, replace every x by a y and vice versa.
  3. Solve for y.
  4. Replace y by f -1 (x).

Step 1 y = 6 - x/2.
Step 2 x = 6 - y/2.
Step 3 x = 6 - y/2.

y = 12 - 2x.

Step 4 f -1 (x) = 12 - 2x.

Step 2 often confuses students. We could omit step 2, and solve for x instead of y, but then we would end up with a formula in y instead of x. The formula would be the same, but the variable would be different. To avoid this we simply interchange the roles of x and y before we solve.

This is the function we worked with in Exercise 1. From its graph (shown above) we see that it does have an inverse. (In fact, its inverse was given in Exercise 1.)

Step 1 y = x 3 + 2.
Step 2 x = y 3 + 2.
Step 3 x - 2 = y 3 .

(x - 2)^(1/3) = y. Step 4 f -1 (x) = (x - 2)^(1/3).

Graph f(x) = 1 - 2x 3 to see that it does have an inverse. Find f -1 (x). Answer


MAT 112 Ancient and Contemporary Mathematics

Sometimes it is possible to “undo” the effect of a function. In these cases, we can define a function that reverses the effects of another function. A function that we can “undo” is called invertible.

In the video in Figure 7.5.1 we introduce inverse functions and give examples. For details and examples, see our treatment of inverse

We give the formal definition of an invertible function and of the inverse of an invertible function.

Definition 7.5.2 .

Let (A) and (B) be non-empty sets. We say that a function (f:A o B) is if for every (bin B) there is exactly one (ain A) such that (f(a)=b ext<.>) The of an invertible function (f:A o B ext<,>) denoted by (f^<-1> ext<,>) is the function (f^<-1>:B o A) that assigns to each element (b in B) the unique element (a in A) such that (f(a) = b ext<.>)

In other words, a function (f:A o B) is invertible if every (bin B) has exactly one preimage (ain A ext<.>) So if (f(a) = b ext<,>) then (f^<-1>(b) = a ext<.>)

Confirm your understanding of the definition by completing it in the exercise.

Checkpoint 7.5.3 . Definition of invertible function.

We investigate whether the two functions (mathrm ) and ( ext) are invertible.

Example 7.5.5 . Are (mathrm ) and ( ext) invertible ?

We use the functions (mathrm colon N o I) and (mathrm colon I o G) from Example 7.1.5 and Example 7.1.7 given by the tables in Figure 7.1.4 and Figure 7.1.6 respectively.

The function (mathrm colon N o I) where (I) is the set of student identification numbers and (N) is the set of student names is invertible as long as every student has a different name. The function (mathrm^<-1>: I o N) is the function that tells us the student's name for a given identification number. With the table in Figure 7.1.4 we get

Recall the function grade from Example 7.1.7. The function (mathrm colon I o G) where (I) is the set of identification numbers and (G) is the set of grades is not invertible since many students may earn the same grade in a class. Both the students with the identification number 1007 and 1008 earn an A in MAT 112. We have (mathrm ( ext < 1007 >) = ext) and ( ext ( ext < 1008 >) = ext ext<,>) and we would not be able to uniquely define (mathrm^<-1>(A) ext<.>)

In Figure 7.5.6 we give an example of an invertible function from (_5) to (_5) and its inverse. The function (e) in Figure 7.5.9 illustrates that for an invertible function the domain and codomain do not have to be the same.


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Math: How to Find the Inverse of a Function

The inverse function of a function f is mostly denoted as f -1 . A function f has an input variable x and gives then an output f(x). The inverse of a function f does exactly the opposite. Instead it uses as input f(x) and then as output it gives the x that when you would fill it in in f will give you f(x). To be more clear:

If f(x) = y then f -1 (y) = x. So the output of the inverse is indeed the value that you should fill in in f to get y. So f(f -1 (x)) = x.

Not every function has an inverse. A function that does have an inverse is called invertible. Only if f is bijective an inverse of f will exist. But what does this mean?

The easy explanation of a function that is bijective is a function that is both injective and surjective. However, for most of you this will not make it any clearer.

A function is injective if there are no two inputs that map to the same output. Or said differently: every output is reached by at most one input.

An example of a function that is not injective is f(x) = x 2 if we take as domain all real numbers. If we fill in -2 and 2 both give the same output, namely 4. So x 2 is not injective and therefore also not bijective and hence it won&apost have an inverse.

A function is surjective if every possible number in the range is reached, so in our case if every real number can be reached. So f(x)= x 2 is also not surjective if you take as range all real numbers, since for example -2 cannot be reached since a square is always positive.

So while you might think that the inverse of f(x) = x 2 would be f -1 (y) = sqrt(y) this is only true when we treat f as a function from the nonnegative numbers to the nonnegative numbers, since only then it is a bijection.

This does show that the inverse of a function is unique, meaning that every function has only one inverse.


More Questions with Solutions

Use the table below to find the following if possible:
1) g -1 (0) , b) g -1 (-10) , c) g -1 (- 5) , d) g -1 (-7) , e) g -1 (3)

Solution
a) According to the the definition of the inverse function:
a = g -1 (0) if and only if g(a) = 0
Which means that a is the value of x such g(x) = 0.
Using the table above for x = 11, g(x) = 0. Hence a = 11 and therefore g -1 (0) = 11
b) a = g - 1 (- 5) if and only if g(a) = - 5
The value of x for which g(x) = - 5 is equal to 0 and therefore g -1 ( - 5) = 0
c) a = g -1 (-10) if and only if g(a) = - 10
There is no value of x for which g(x) = -10 and therefore g -1 (-10) is undefined.
d) a = g -1 (- 7) if and only if g(a) = - 7
There no value of x for which g(x) = - 7 and therefore g -1 (- 7) is undefined.
e) a = g -1 (3) if and only if g(a) = 3
The value of x for which g(x) = 3 is equal to - 2 and therefore g -1 (3) = - 2


Questions on Inverse Functions with Solutions and Answers

Analytical and graphing methods are used to solve maths problems and questions related to inverse functions. Detailed solutions are also presented. Several questions involve the use of the property that the graphs of a function and the graph of its inverse are reflection of each other on the line y = x.


1) Sketch the graph of the inverse of f in the same system of axes.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
Solution
1) Locate few points on the graph of f. Here is a list of points whose coordinates (a , b) can easily be determined from the graph:
(1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


1) Sketch the inverse of f in the same graph.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
Solution
1) Locate few points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) Write the given function f(x) = √(2 x - 3) as an equation in two unknowns.
y = √(2 x - 3)
Solve the above for x. First square both sides
2 x - 3 = y 2
2 x = y 2 + 3
x = (y 2 + 3) / 2
Interchange x and y and write the equation of the inverse function f -1 and write the domain of the inverse.
y = (x 2 + 3) / 2
f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (domain which is the range of f from its graph above)
We now verify that the points (0 , 1.5) , (1 , 2) and (3 , 6) used to sketch the graph of the inverse function are on the graph of f -1 .
f -1 (0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5
f -1 (1) = (1 2 + 3) / 2 = 2
f -1 (3) = (3 2 + 3) / 2 = 6


Solution
1) Use the graph to find points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) We now determine f -1 (x). For -3 ≤ x ≤ - 1 , f -1 (x) has a linear expression with slope m1 through the points (- 1 , 2) , (- 3 , 5) given by
m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2
For -3 ≤ x ≤ - 1, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
For - 1 < x ≤ 3 , f -1 (x) has a linear expression with slope through the points (- 1 , 2) , (3 , 0) given by
m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2
For - 1 < x ≤ 3, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2


1) What is the domain and range of f?
2) Sketch the graph of f -1 .
3) Find f -1 (x) (include domain).
Solution
1) f(x) is defined as a real number if the radicand 2 / x - 1 is greater than or equal to 0. Hence we need to solve the inequality:
2 / x - 1 ≥ 0
(2 - x) / x ≥ 0
The expression on the left of the inequality changes sign at the zeros of the numerator and denominator which are x = 2 and x = 0. See table below.


Domain: (0 , 2]
Range: (-∞ , 0]
2) Points on the graph of f
(2 , 0) , (1 , -1)
The above points on the graph of the inverse function, will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 2) , (- 1 , 1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


3) Write f(x) as an equation in y and x.
( y = -sqrt-1> )
Solve the above equation for x. Square both sides of the above equation
( y^2 = dfrac<2>-1 )
( dfrac<2> = y^2 + 1 )
( x = dfrac<2> )
Interchange x and y and write the inverse function
( y = dfrac<2> )
( f^<-1>(x) = dfrac<2> )
Domain and range of f -1 are the range and domain of f . Por isso
Domain of f -1 : (-∞ , 0]
Range of f -1 : (0 , 2]


Solution
For each graph, select points whose coordinates are easy to determine. Use these points and also the reflection of the graph of function f and its inverse on the line y = x to skectch to sketch the inverse functions as shown below


Assista o vídeo: Pojęcie funkcji odwrotnej (Outubro 2021).