Artigos

9.E: Sistemas de Equações e Desigualdades (Exercícios)


9.1: Sistemas de Equações Lineares: Duas Variáveis

Verbal

1) Um sistema de equações lineares pode ter exatamente duas soluções? Explique por que ou por que não.

Responder

Não, você pode ter zero, um ou infinitamente muitos. Examine os gráficos.

2) Se você estiver realizando uma análise de ponto de equilíbrio para uma empresa e suas equações de custo e receita forem dependentes, explique o que isso significa para as margens de lucro da empresa.

3) Se você estiver resolvendo uma análise de ponto de equilíbrio e obtiver um ponto de equilíbrio negativo, explique o que isso significa para a empresa.

Responder

Isso significa que não existe um ponto de equilíbrio realista. Quando a empresa produz uma unidade, ela já está tendo lucro.

4) Se você está resolvendo uma análise de ponto de equilíbrio e não há ponto de equilíbrio, explique o que isso significa para a empresa. Como eles devem garantir que haja um ponto de equilíbrio?

5) Dado um sistema de equações, explique pelo menos dois métodos diferentes de resolver esse sistema.

Responder

Você pode resolver por substituição (isolando (x ) ou (y )), graficamente ou por adição.

Algébrico

Para os exercícios 6 a 10, determine se o par ordenado fornecido é uma solução para o sistema de equações.

6) ( begin {align *} 5x-y & = 4 x + 6y & = 2 end {align *} ; text {and} (4,0) )

7) ( begin {align *} -3x-5y & = 13 -x + 4y & = 10 end {align *} ; text {and} (-6,1) )

Responder

sim

8) ( begin {align *} 3x + 7y & = 1 2x + 4y & = 0 end {align *} ; text {and} (2,3) )

9) ( begin {align *} -2x + 5y & = 7 2x + 9y & = 7 end {align *} ; text {and} (-1,1) )

Responder

sim

10) ( begin {align *} x + 8y & = 43 3x-2y & = -1 end {align *} ; text {and} (3,5) )

Para os exercícios 11-20, resolva cada sistema por substituição.

11) ( begin {align *} x + 5y & = 5 2x + 3y & = 4 end {align *} )

Responder

((-1,2))

12) ( begin {align *} 3x-2y & = 18 5x + 10y & = -10 end {align *} )

13) ( begin {align *} 4x + 2y & = -10 3x + 9y & = 0 end {align *} )

Responder

((-3,1))

14) ( begin {align *} 2x + 4y & = -3,8 9x-5y & = 1,3 end {align *} )

15) ( begin {align *} -2x + 3y & = 1.2 -3x-6y & = 1.8 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {3} {5}, 0 right) )

16) ( begin {align *} x-0.2y & = 1 -10x + 2y & = 5 end {align *} )

17) ( begin {align *} 3x + 5y & = 9 30x + 50y & = -90 end {align *} )

Responder

Não existem soluções

18) ( begin {align *} -3x + y & = 2 12x-4y & = -8 end {align *} )

19) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} y & = 16 dfrac {1} {6} x + dfrac {1} {4} y & = 9 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {72} {5}, dfrac {132} {5} right) )

20) ( begin {align *} - dfrac {1} {4} x + dfrac {3} {2} y & = 11 - dfrac {1} {8} x + dfrac {1} { 3} y & = 3 end {align *} )

Para os exercícios 21-30, resolva cada sistema por adição.

21) ( begin {align *} -2x + 5y & = -42 7x + 2y & = 30 end {align *} )

Responder

((6,-6))

22) ( begin {align *} 6x-5y & = -34 2x + 6y & = 4 end {align *} )

23) ( begin {align *} 5x-y & = -2.6 -4x-6y & = 1.4 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {1} {2}, dfrac {1} {10} right) )

24) ( begin {align *} 7x-2y & = 3 4x + 5y & = 3,25 end {align *} )

25) ( begin {align *} -x + 2y & = -1 5x-10y & = 6 end {align *} )

Responder

Não existem soluções

26) ( begin {align *} 7x + 6y & = 2 -28x-24y & = -8 end {align *} )

27) ( begin {align *} dfrac {5} {6} x + dfrac {1} {4} y & = 0 dfrac {1} {8} x- dfrac {1} {2 } y & = - dfrac {43} {120} end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {1} {5}, dfrac {2} {3} right) )

28) ( begin {align *} dfrac {1} {3} x + dfrac {1} {9} y & = dfrac {2} {9} - dfrac {1} {2} x + dfrac {4} {5} y & = - dfrac {1} {3} end {align *} )

29) ( begin {align *} -0.2x + 0.4y & = 0.6 x-2y & = -3 end {align *} )

Responder

( left (x, dfrac {x + 3} {2} right) )

30) ( begin {align *} -0.1x + 0.2y & = 0.6 5x-10y & = 1 end {align *} )

Para os exercícios 31-40, resolva cada sistema por qualquer método.

31) ( begin {align *} 5x + 9y & = 16 x + 2y & = 4 end {align *} )

Responder

((-4,4))

32) ( begin {align *} 6x-8y & = -0.6 3x + 2y & = 0.9 end {align *} )

33) ( begin {align *} 5x-2y & = 2.25 7x-4y & = 3 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {1} {2}, dfrac {1} {8} right) )

34) ( begin {align *} x- dfrac {5} {12} y & = - dfrac {55} {12} -6x + dfrac {5} {2} y & = dfrac { 55} {2} end {align *} )

35) ( begin {align *} 7x-4y & = dfrac {7} {6} 2x + 4y & = dfrac {1} {3} end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {1} {6}, 0 right) )

36) ( begin {align *} 3x + 6y & = 11 2x + 4y & = 9 end {align *} )

37) ( begin {align *} dfrac {7} {3} x- dfrac {1} {6} y & = 2 - dfrac {21} {6} x + dfrac {3} { 12} y & = -3 end {align *} )

Responder

((x, 2 (7x-6)) )

38) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} y & = dfrac {1} {3} dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {4} y & = - dfrac {1} {8} end {align *} )

39) ( begin {align *} 2.2x + 1.3y & = -0.1 4.2x + 4.2y & = 2.1 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {5} {6}, dfrac {4} {3} right) )

40) ( begin {align *} 0.1x + 0.2y & = 2 0.35x-0.3y & = 0 end {align *} )

Gráfico

Para os exercícios 41-45, represente graficamente o sistema de equações e declare se o sistema é consistente, inconsistente ou dependente e se o sistema tem uma solução, nenhuma solução ou soluções infinitas.

41) ( begin {align *} 3x-y & = 0.6 x-2y & = 1.3 end {align *} )

Responder

Consistente com uma solução

42) ( begin {align *} -x + 2y & = 4 2x-4y & = 1 end {align *} )

43) ( begin {align *} x + 2y & = 7 2x + 6y & = 12 end {align *} )

Responder

Consistente com uma solução

44) ( begin {align *} 3x-5y & = 7 x-2y & = 3 end {align *} )

45) ( begin {align *} 3x-2y & = 5 -9x + 6y & = -15 end {align *} )

Responder

Dependente com infinitas soluções

Tecnologia

Para os exercícios 46-50, use a função de interseção em um dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Arredonde todas as respostas para o centésimo mais próximo.

46) ( begin {align *} 0.1x + 0.2y & = 0.3 -0.3x + 0.5y & = 1 end {align *} )

47) ( begin {align *} -0,01x + 0,12y & = 0,62 0,15x + 0,20y & = 0,52 end {align *} )

Responder

((-3.08,4.91))

48) ( begin {align *} 0,5x + 0,3y & = 4 0,25x-0,9y & = 0,46 end {align *} )

49) ( begin {align *} 0,15x + 0,27y & = 0,39 -0,34x + 0,56y & = 1,8 end {align *} )

Responder

((-1.52,2.29))

50) ( begin {align *} -0,71x + 0,92y & = 0,13 0,83x + 0,05y & = 2,1 end {align *} )

Extensões

Para os exercícios 51-55, resolva cada sistema em termos de (A, B, C, D, ) e (F ) onde (A-F ) são números diferentes de zero. Observe que (A neq B ) e (AE neq BD ).

51) ( begin {align *} x + y & = A x-y & = B end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {A + B} {2}, dfrac {A-B} {2} right) )

52) ( begin {align *} x + Ay & = 1 x + By & = 1 end {align *} )

53) ( begin {align *} Ax + y & = 0 Bx + y & = 1 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {-1} {A-B}, dfrac {A} {A-B} right) )

54) ( begin {align *} Ax + By & = C x + y & = 1 end {align *} )

55) ( begin {align *} Ax + By & = C Dx + Ey & = F end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {CE-BF} {BD-AE}, dfrac {AF-CD} {BD-AE} right) )

Aplicativos do mundo real

Para os exercícios 56-60, resolva para a quantidade desejada.

56) Uma empresa de bichos de pelúcia tem um custo total de produção (C = 12x + 30 ) e uma função de receita (R = 20x ). Encontre o ponto de equilíbrio.

57) Um restaurante fast-food tem um custo de produção (C (x) = 11x + 120 ) e uma função de receita (R (x) = 5x ). Quando a empresa começa a ter lucro?

Responder

Eles nunca dão lucro.

58) Uma fábrica de telefones celulares tem um custo de produçãoa (C (x) = 150x + 10.000 ) e uma função de receita (R (x) = 200x ). Qual é o ponto de equilíbrio?

59) Um músico cobra (C (x) = 64x + 20.000 ), onde (x ) é o número total de participantes no concerto. O local cobra ( $ 80 ) por ingresso. Depois de quantas pessoas compram ingressos, o local fica empatado, e qual é o valor do total de ingressos vendidos naquele momento?

Responder

((1,250, 100,000))

60) Uma fábrica de guitarras tem um custo de produção (C (x) = 75x + 50.000 ). Se a empresa precisa ter um ponto de equilíbrio após (150 ) unidades vendidas, a que preço eles deveriam vender cada guitarra? Arredonde para o dólar mais próximo e escreva a função de receita.

Para os exercícios 61-77, use um sistema de equações lineares com duas variáveis ​​e duas equações para resolver.

61) Encontre dois números cuja soma seja (28 ) e a diferença seja (13 ).

Responder

Os números são (7,5 ) e (20,5 )

62) Um número é (9 ) mais do que outro número. Duas vezes a soma dos dois números é (10 ​​). Encontre os dois números.

63) O custo inicial de um restaurante é ( $ 120.000 ), e cada refeição custa ( $ 10 ) para o restaurante fazer. Se cada refeição for vendida por ( $ 15 ), depois de quantas refeições o restaurante ficará empatado?

Responder

(24,000)

64) Uma empresa de mudanças cobra uma taxa fixa de ( $ 150 ) e um adicional de ( $ 5 ) para cada caixa. Se um serviço de táxi cobrasse ( $ 20 ) por cada caixa, de quantas caixas você precisaria para ser mais barato usar a empresa de mudanças e qual seria o custo total?

65) Um total de (1.595 ) estudantes universitários do primeiro e segundo ano se reuniram em uma reunião de torcida. O número de calouros excedeu o número de estudantes do segundo ano em (15 ). Quantos calouros e alunos do segundo ano estavam presentes?

Responder

(790 ) alunos do segundo ano, (805 ) calouros

66) (276 ) alunos matriculados em uma classe de química do primeiro ano. Ao final do semestre, (5 ) vezes o número de alunos aprovados e reprovados. Encontre o número de alunos que foram aprovados e o número de alunos que foram reprovados.

67) Havia (130 ) professores em uma conferência. Se havia (18 ) mais mulheres do que homens participando, quantas pessoas de cada gênero compareceram à conferência?

Responder

(56 ) homens, (74 ) mulheres

68) Um jipe ​​e um BMW entram em uma rodovia que segue na direção leste-oeste na mesma saída em direções opostas. O jipe ​​entrou na rodovia (30 ) minutos antes do BMW e viajou (7 ) mph mais devagar do que o BMW. Depois de (2 ) horas desde o momento em que o BMW entrou na rodovia, os carros estavam (306,5 ) milhas um do outro. Encontre a velocidade de cada carro, supondo que eles foram dirigidos no controle de cruzeiro.

69) Se um cientista misturou (10 ​​\% ) solução salina com (60 \% ) solução salina para obter (25 ) galões de (40 \% ) solução salina, quantos galões de ( As soluções 10 \% ) e (60 \% ) foram misturadas?

Responder

(10 ​​) galões de solução (10 ​​\% ), (15 ) galões de solução (60 \% )

70) Um investidor ganhou o triplo dos lucros do ano passado. Se ela obtivesse um total de ( $ 500.000,48 ) nos dois anos, quanto ela ganhou em lucros a cada ano?

71) Um investidor que se envolve em imóveis investiu (1,1 ) milhões de dólares em dois investimentos em terrenos. No primeiro investimento, Swan Peak, seu retorno foi um (110 \% ) aumento no dinheiro que ela investiu. No segundo investimento, a Comunidade Riverside, ela ganhou (50 \% ) sobre o que investiu. Se ela ganhou ( $ 1 ) milhão em lucros, quanto ela investiu em cada um dos negócios de terras?

Responder

Pico do cisne: ( $ 750.000 ), Riverside: ( $ 350.000 )

72) Se um investidor investe um total de ( $ 25.000 ) em dois títulos, um que paga (3 \% ) juros simples e o outro que paga (2 dfrac {7} {8} \% ) juros, e o investidor ganha ( $ 737,50 ) juros anuais, quanto foi investido em cada conta?

73) Se um investidor investe ( $ 23.000 ) em dois títulos, um que paga (4 \% ) em juros simples e o outro paga (2 \% ) juros simples, e o investidor ganha ( $ 710,00 ) juros anuais, quanto foi investido em cada conta?

Responder

( $ 12.500 ) na primeira conta, ( $ 10.500 ) na segunda conta.

74) Os CDs custam ( $ 5,96 ) mais do que os DVDs em todas as apostas não eletrônicos. Quanto custariam (6 ) CDs e (2 ) DVDs se (5 ) CDs e (2 ) DVDs custassem ( $ 127,73 )?

75) Um balconista vendeu (60 ) pares de tênis. Os tops altos foram vendidos por ( $ 98,99 ) e os baixos foram vendidos por ( $ 129,99 ). Se as receitas dos dois tipos de vendas totalizassem ( $ 6.404,40 ), quantas de cada tipo de tênis foram vendidas?

Responder

Topos altos: (45 ), topos baixos: (15 )

76) Um gerente de concerto contou (350 ) receitas de ingressos no dia seguinte ao concerto. O preço de um ingresso de estudante era ( $ 12,50 ) e o preço de um ingresso de adulto era ( $ 16,00 ). O registro confirma que ( $ 5.075 ) foi recebido. Quantos ingressos de estudante e ingressos de adulto foram vendidos?

77) A entrada em um parque de diversões para (4 ) crianças e (2 ) adultos é ( $ 116,90 ). Para (6 ) crianças e (3 ) adultos, a admissão é ( $ 175,35 ). Supondo um preço diferente para crianças e adultos, qual é o preço do ingresso de criança e o preço do ingresso de adulto?

Responder

Infinitamente muitas soluções. Precisamos de mais informações.

9.2: Sistemas de Equações Lineares: Três Variáveis

Verbal

1) Um sistema linear de três equações pode ter exatamente duas soluções? Explique por que ou por que não

Responder

Não, pode haver apenas uma, zero ou infinitas soluções.

2) Se um dado triplo ordenado resolve o sistema de equações, essa solução é única? Se sim, explique o porquê. Caso contrário, dê um exemplo em que não seja único.

3) Se um dado triplo ordenado não resolve o sistema de equações, não há solução? Se sim, explique por quê. Se não, dê um exemplo.

Responder

Não necessariamente. Pode haver zero, uma ou infinitas soluções. Por exemplo, ((0,0,0) ) não é uma solução para o sistema abaixo, mas isso não significa que não tenha solução.

( begin {align *} 2x + 3y-6z & = 1 -4x-6y + 12z & = -2 x + 2y + 5z & = 10 end {align *} )

4) Usando o método de adição, há apenas uma maneira de resolver o sistema?

5) Você pode explicar se só pode haver um método para resolver um sistema linear de equações? Se sim, dê um exemplo de tal sistema de equações. Se não, explique por que não.

Responder

Todo sistema de equações pode ser resolvido graficamente, por substituição e por adição. No entanto, sistemas de três equações tornam-se muito complexos para resolver graficamente, portanto, outros métodos são geralmente preferíveis.

Algébrico

Para os exercícios 6 a 10, determine se a tripla ordenada dada é a solução para o sistema de equações.

6) ( begin {align *} 2x-6y + 6z & = -12 x + 4y + 5z & = -1 -x + 2y + 3z & = -1 end {align *} ; ; text {e} ; (0,1, -1) )

7) ( begin {align *} 6x-y + 3z & = 6 3x + 5y + 2z & = 0 x + y & = 0 end {align *} ; ; text {e } ; (3, -3, -5) )

Responder

Não

8) ( begin {align *} 6x-7y + z & = 2 -x-y + 3z & = 4 2x + yz & = 1 end {align *} ; ; text { e} ; (4,2, -6) )

9) ( begin {align *} xy & = 0 xz & = 5 x-y + z & = -1 end {align *} ; ; text {and} ; (4 , 4, -1) )

Responder

sim

10) ( begin {align *} -x-y + 2z & = 3 5x + 8y-3z & = 4 -x + 3y-5z & = -5 end {align *} ; ; text {e} ; (4,1, -7) )

Para os exercícios 11-16, resolva cada sistema por substituição.

11) ( begin {align *} 3x-4y + 2z & = -15 2x + 4y + z & = 16 2x + 3y + 5z & = 20 end {align *} )

Responder

((-1,4,2))

12) ( begin {align *} 5x-2y + 3z & = 20 2x-4y-3z & = -9 x + 6y-8z & = 21 end {align *} )

13) ( begin {align *} 5x + 2y + 4z & = 9 -3x + 2y + z & = 10 4x-3y + 5z & = -3 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {85} {107}, dfrac {312} {107}, dfrac {191} {107} right) )

14) ( begin {align *} 4x-3y + 5z & = 31 -x + 2y + 4z & = 20 x + 5y-2z & = -29 end {align *} )

15) ( begin {align *} 5x-2y + 3z & = 4 -4x + 6y-7z & = -1 3x + 2y-z & = 4 end {align *} )

Responder

( left (1, dfrac {1} {2}, 0 right) )

16) ( begin {align *} 4x + 6y + 9z & = 4 -5x + 2y-6z & = 3 7x-4y + 3z & = -3 end {align *} )

Para os exercícios 17-45, resolva cada sistema pela eliminação de Gauss.

17) ( begin {align *} 2x-y + 3z & = 17 -5x + 4y-2z & = -46 2y + 5z & = -7 end {align *} )

Responder

((4,-6,1))

18) ( begin {align *} 5x-6y + 3z & = 50 -x + 4y & = 10 2x-z & = 10 end {align *} )

19) ( begin {align *} 2x + 3y-6z & = 1 -4x-6y + 12z & = -2 x + 2y + 5z & = 10 end {align *} )

Responder

( left (x, dfrac {1} {27} (65-16x), dfrac {x + 28} {27} right) )

20) ( begin {align *} 4x + 6y-2z & = 8 6x + 9y-3z & = 12 -2x-3y + z & = -4 end {align *} )

21) ( begin {align *} 2x + 3y-4z & = 5 -3x + 2y + z & = 11 -x + 5y + 3z & = 4 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {45} {13}, dfrac {17} {13}, - 2 right) )

22) ( begin {align *} 10x + 2y-14z & = 8 -x-2y-4z & = -1 -12x-6y + 6z & = -12 end {align *} )

23) ( begin {align *} x + y + z & = 14 2y + 3z & = -14 -16y-24z & = -112 end {align *} )

Responder

Não existem soluções

24) ( begin {align *} 5x-3y + 4z & = -1 -4x + 2y-3z & = 0 -x + 5y + 7z & = -11 end {align *} )

25) ( begin {align *} x + y + z & = 0 2x-y + 3z & = 0 x-z & = 0 end {align *} )

Responder

((0,0,0))

26) ( begin {align *} 3x + 2y-5z & = 6 5x-4y + 3z & = -12 4x + 5y-2z & = 15 end {align *} )

27) ( begin {align *} x + y + z & = 0 2x-y + 3z & = 0 x-z & = 1 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {4} {7}, - dfrac {1} {7}, - dfrac {3} {7} right) )

28) ( begin {align *} 3x- dfrac {1} {2} yz & = - dfrac {1} {2} 4x + z & = 3 -x + dfrac {3} { 2} y & = dfrac {5} {2} end {align *} )

29) ( begin {align *} 6x-5y + 6z & = 38 dfrac {1} {5} x- dfrac {1} {2} y + dfrac {3} {5} z & = 1 -4x- dfrac {3} {2} yz & = -74 end {align *} )

Responder

((7,20,16))

30) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {5} y + dfrac {2} {5} z & = - dfrac {13} {10} dfrac {1} {4} x- dfrac {2} {5} y- dfrac {1} {5} z & = - dfrac {7} {20} - dfrac {1} { 2} x- dfrac {3} {4} y- dfrac {1} {2} z & = - dfrac {5} {4} end {align *} )

31) ( begin {align *} - dfrac {1} {3} x- dfrac {1} {2} y- dfrac {1} {4} z & = dfrac {3} {4} - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {4} y- dfrac {1} {2} z & = 2 - dfrac {1} {4} x- dfrac {3} {4} y- dfrac {1} {2} z & = - dfrac {1} {2} end {align *} )

Responder

((-6,2,1))

32) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {4} y + dfrac {3} {4} z & = 0 dfrac {1} {4 } x- dfrac {1} {10} y + dfrac {2} {5} z & = -2 dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {5} y- dfrac {1 } {8} z & = 2 end {align *} )

33) ( begin {align *} dfrac {4} {5} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {2} z & = 1 - dfrac {4} { 5} x- dfrac {3} {4} y + dfrac {1} {3} z & = -8 - dfrac {2} {5} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {2} z & = -5 end {align *} )

Responder

((5,12,15))

34) ( begin {align *} - dfrac {1} {3} x- dfrac {1} {8} y + dfrac {1} {6} z & = - dfrac {4} {3} - dfrac {2} {3} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {3} z & = - dfrac {23} {3} - dfrac {1} {3} x- dfrac {5} {8} y + dfrac {5} {6} z & = 0 end {alinhar *} )

35) ( begin {align *} - dfrac {1} {4} x- dfrac {5} {4} y + dfrac {5} {2} z & = -5 - dfrac {1 } {2} x- dfrac {5} {3} y + dfrac {5} {4} z & = dfrac {55} {12} - dfrac {1} {3} x- dfrac { 1} {3} y + dfrac {1} {3} z & = dfrac {5} {3} end {align *} )

Responder

((-5,-5,-5))

36) ( begin {align *} dfrac {1} {40} x + dfrac {1} {60} y + dfrac {1} {80} z & = dfrac {1} {100} - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {3} y- dfrac {1} {4} z & = - dfrac {1} {5} dfrac {3} {8} x + dfrac {3} {12} y + dfrac {3} {16} z & = dfrac {3} {20} end {align *} )

37) ( begin {align *} 0.1x-0.2y + 0.3z & = 2 0.5x-0.1y + 0.4z & = 8 0.7x-0.2y + 0.3z & = 8 end { alinhar*})

Responder

((10,10,10))

38) ( begin {align *} 0.2x + 0.1y-0.3z & = 0.2 0.8x + 0.4y-1.2z & = 0.1 1.6x + 0.8y-2.4z & = 0.2 end { alinhar*})

39) ( begin {align *} 1,1x + 0,7y-3,1z & = -1,79 2,1x + 0,5y-1,6z & = -0,13 0,5x + 0,4y-0,5z & = -0,07 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {1} {2}, dfrac {1} {5}, dfrac {4} {5} right) )

40) ( begin {align *} 0.5x-0.5y + 0.5z & = 10 0.2x-0.2y + 0.2z & = 4 0.1x-0.1y + 0.1z & = 2 end { alinhar*})

41) ( begin {align *} 0.1x + 0.2y + 0.3z & = 0.37 0.1x-0.2y-0.3z & = -0.27 0.5x-0.1y-0.3z & = -0,03 fim {alinhar *} )

Responder

( left ( dfrac {1} {2}, dfrac {2} {5}, dfrac {4} {5} right) )

42) ( begin {align *} 0.5x-0.5y-0.3z & = 0.13 0.4x-0.1y-0.3z & = 0.11 0.2x-0.8y-0.9z & = -0.32 end {alinhar*})

43) ( begin {align *} 0.5x + 0.2y-0.3z & = 1 0.4x-0.6y + 0.7z & = 0.8 0.3x-0.1y-0.9z & = 0.6 end { alinhar*})

Responder

((2,0,0))

44) ( begin {align *} 0.3x + 0.3y + 0.5z & = 0.6 0.4x + 0.4y + 0.4z & = 1.8 0.4x + 0.2y + 0.1z & = 1.6 end { alinhar*})

45) ( begin {align *} 0.8x + 0.8y + 0.8z & = 2.4 0.3x-0.5y + 0.2z & = 0 0.1x + 0.2y + 0.3z & = 0.6 end { alinhar*})

Responder

((1,1,1))

Extensões

Para os exercícios 46-50, resolva o sistema para (x, y, ) e (z ).

46) ( begin {align *} x + y + z & = 3 dfrac {x-1} {2} + dfrac {y-3} {2} + dfrac {z + 1} { 2} & = 0 dfrac {x-2} {3} + dfrac {y + 4} {3} + dfrac {z-3} {3} & = dfrac {2} {3} fim {alinhar *} )

47) ( begin {align *} 5x-3y- dfrac {z + 1} {2} & = dfrac {1} {2} 6x + dfrac {y-9} {2} + 2z & = -3 dfrac {x + 8} {2} -4y + z & = 4 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {128} {557}, dfrac {23} {557}, dfrac {428} {557} right) )

48) ( begin {align *} dfrac {x + 4} {7} - dfrac {y-1} {6} + dfrac {z + 2} {3} & = 1 dfrac { x-2} {4} + dfrac {y + 1} {8} - dfrac {z + 8} {2} & = 0 dfrac {x + 6} {3} - dfrac {y + 2} {3} + dfrac {z + 4} {2} & = 3 end {align *} )

49) ( begin {align *} dfrac {x-3} {6} + dfrac {y + 2} {2} - dfrac {z-3} {3} & = 2 dfrac { x + 2} {4} + dfrac {y-5} {2} + dfrac {z + 4} {2} & = 1 dfrac {x + 6} {2} - dfrac {y- 3} {3} + z + 1 & = 9 end {align *} )

Responder

((6,-1,0))

50) ( begin {align *} dfrac {x-1} {3} + dfrac {y + 3} {4} + dfrac {z + 2} {6} & = 1 4x + 3y -2z & = 11 0,02x + 0,015y-0,01z & = 0,065 end {alinhar *} )

Aplicativos do mundo real

51) Três números pares somam (108 ). O menor é a metade do maior e o número do meio é ( dfrac {3} {4} ) o maior. Quais são os três números?

Responder

(24, 36, 48)

52) Três números somam (147 ). O menor número é metade do número do meio, que é metade do maior número. Quais são os três números?

53) Em uma reunião de família, estavam presentes apenas parentes consangüíneos, constituídos por filhos, pais e avós. Havia (400 ) pessoas no total. Havia o dobro de pais do que avós e 50 filhos a mais do que os pais. Quantos filhos, pais e avós compareceram?

Responder

(70 ) avós, (140 ) pais, (190 ) filhos

54) Um abrigo de animais tem um total de (350 ) animais compostos por gatos, cães e coelhos. Se o número de coelhos for (5 ) menos da metade do número de gatos, e houver (20 ) mais gatos do que cães, quantos de cada animal estão no abrigo?

55) Sua colega de quarto, Sarah, se ofereceu para comprar mantimentos para você e sua outra colega de quarto. A conta total foi ( $ 82 ). Ela se esqueceu de guardar os recibos individuais, mas lembrou que seus mantimentos eram ( $ 0,05 ) mais baratos do que a metade, e que os mantimentos de sua outra colega de quarto eram ( $ 2,10 ) mais do que seus mantimentos. Quanto custou cada um de sua parte nos mantimentos?

Responder

A sua quota foi ( $ 19,95 ), a quota da Sarah foi ( $ 40 ) e a quota da sua outra colega de quarto foi ( $ 22,05 ).

56) Seu colega de quarto, John, se ofereceu para comprar suprimentos domésticos para você e seu outro colega de quarto. Você mora perto da fronteira de três estados, cada um deles com um imposto sobre vendas diferente. O valor total gasto foi ( $ 100,75 ). Seus suprimentos foram comprados com (5 \% ) imposto, John's com (8 \% ) imposto e seu terceiro colega de quarto com (9 \% ) imposto sobre vendas. O valor total gasto sem impostos é ( $ 93,50 ). Se seus suprimentos antes dos impostos eram ( $ 1 ) mais da metade do que os suprimentos do seu terceiro colega de quarto antes dos impostos, quanto cada um de vocês gastou? Dê sua resposta com e sem impostos.

57) Três colegas trabalham para o mesmo empregador. Suas funções são gerente de armazém, gerente de escritório e motorista de caminhão. A soma dos salários anuais do gerente do depósito e do gerente do escritório é ( $ 82.000 ). O gerente do escritório ganha ( $ 4.000 ) mais do que o motorista do caminhão anualmente. Os salários anuais do gerente do depósito e do motorista do caminhão totalizam ( $ 78.000 ). Qual é o salário anual de cada um dos colaboradores?

Responder

Existem infinitas soluções; precisamos de mais informações

58) Em um carnaval, ( $ 2.914,25 ) em recibos foram retirados no final do dia. O custo da passagem para uma criança era ( $ 20,50 ), uma passagem para adulto era ( $ 29,75 ) e uma passagem para idosos era ( $ 15,25 ). Havia duas vezes mais idosos do que adultos presentes e (20 ) mais crianças do que idosos. Quantas entradas de crianças, adultos e idosos foram vendidas?

59) Uma banda local se esgota para seu show. Eles vendem todos os (1.175 ) ingressos por uma bolsa total de ( $ 28.112,50 ). Os preços dos ingressos eram ( $ 20 ) para ingressos de estudantes, ( $ 22,50 ) para crianças e ( $ 29 ) para ingressos de adultos. Se a banda vendeu duas vezes mais ingressos para adultos do que para crianças, quantos de cada tipo foram vendidos?

Responder

(500 ) alunos, (225 ) crianças e (450 ) adultos

60) Em uma bolsa, uma criança tem (325 ) moedas no valor de ( $ 19,50 ). Havia três tipos de moedas: pennies, nickels e dimes. Se a sacola contivesse o mesmo número de moedas que moedas, quantas moedas de cada tipo haveria na sacola?

61) No ano passado, na Concessionária de Carros Haven’s Pond, para um modelo específico de BMW, Jeep e Toyota, era possível comprar todos os três carros por um total de ( $ 140.000 ). Este ano, devido à inflação, os mesmos carros custariam ( $ 151.830 ). O custo do BMW aumentou em (8 \% ), o Jeep em (5 \% ) e o Toyota em (12 \% ). Se o preço do Jeep do ano passado foi ( $ 7.000 ) inferior ao preço do BMW do ano passado, qual foi o preço de cada um dos três carros no ano passado?

Responder

O BMW era ( $ 49.636 ), o Jeep era ( $ 42.636 ) e o Toyota era ( $ 47.727 ).

62) Um recém-formado aproveitou sua formação em administração e investiu em três investimentos imediatamente após se formar. Ele investiu ( $ 80.500 ) em três contas, uma que pagou (4 \% ) juros simples, uma que pagou (3 dfrac {1} {8} \% ) juros simples e outra que pagou (2 dfrac {1} {2} \% ) juros simples. Ele ganhou ( $ 2.670 ) de juros ao final de um ano. Se o valor investido na segunda conta foi quatro vezes o valor investido na terceira conta, quanto foi investido em cada conta?

63) Você herda um milhão de dólares. Você investe tudo em três contas por um ano. A primeira conta paga (3 \% ) composto anualmente, a segunda conta paga (4 \% ) composto anualmente e a terceira conta paga (2 \% ) composto anualmente. Após um ano, você ganha ( $ 34.000 ) em juros. Se você investir quatro vezes o dinheiro na conta que paga (3 \% ) em comparação com (2 \% ), quanto você investiu em cada conta?

Responder

( $ 400.000 ) na conta que paga (3 \% ) juros, ( $ 500.000 ) na conta que paga (4 \% ) juros e ( $ 100.000 ) na conta que paga (2 \% ) juros.

64) Você herda cem mil dólares. A primeira conta paga (4 \% ) composto anualmente, a segunda conta paga (3 \% ) composto anualmente e a terceira conta paga (2 \% ) composto anualmente. Após um ano, você ganha ( $ 3.650 ) em juros. Se você investir cinco vezes o dinheiro na conta que paga (4 \% ) em comparação com (3 \% ), quanto você investiu em cada conta?

65) Os três principais países no consumo de petróleo em um determinado ano são os seguintes: Estados Unidos, Japão e China. Em milhões de barris por dia, os três principais países consumiram (39,8 \% ) do petróleo consumido no mundo. Os Estados Unidos consumiram (0,7 \% ) mais de quatro vezes o consumo da China. Os Estados Unidos consumiram (5 \% ) mais do que o triplo do consumo do Japão. Que porcentagem do consumo mundial de petróleo os Estados Unidos, Japão e China consumiram?

Responder

Os Estados Unidos consumiram (26,3 \% ), Japão (7,1 \% ) e China (6,4 \% ) do petróleo mundial.

66) Os três principais países na produção de petróleo no mesmo ano são Arábia Saudita, Estados Unidos e Rússia. Em milhões de barris por dia, os três principais países produziram (31,4 \% ) do petróleo produzido no mundo. A Arábia Saudita e os Estados Unidos combinados por (22,1 \% ) da produção mundial, e a Arábia Saudita produziu (2 \% ) mais petróleo do que a Rússia. Que porcentagem da produção mundial de petróleo a Arábia Saudita, os Estados Unidos e a Rússia produziram?

67) As três principais fontes de importação de petróleo para os Estados Unidos no mesmo ano foram Arábia Saudita, México e Canadá. Os três principais países responderam por (47 \% ) das importações de petróleo. Os Estados Unidos importaram (1,8 \% ) mais da Arábia Saudita do que do México e (1,7 \% ) mais da Arábia Saudita do que do Canadá. Qual a porcentagem das importações de petróleo dos Estados Unidos desses três países?

Responder

A Arábia Saudita importou (16,8 \% ), o Canadá importou (15,1 \% ) e o México (15,0 \% )

68) Os três maiores produtores de petróleo nos Estados Unidos em um determinado ano são o Golfo do México, Texas e Alasca. As três regiões foram responsáveis ​​por (64 \% ) da produção de petróleo dos Estados Unidos. O Golfo do México e o Texas combinados por (47 \% ) da produção de petróleo. O Texas produziu (3 \% ) mais do que o Alasca. Que porcentagem da produção de petróleo dos Estados Unidos veio dessas regiões?

69) Ao mesmo tempo, nos Estados Unidos, (398 ) espécies de animais estavam na lista de espécies ameaçadas de extinção. Os principais grupos eram mamíferos, pássaros e peixes, que compreendiam (55 \% ) das espécies ameaçadas de extinção. Os pássaros representaram (0,7 \% ) mais do que os peixes, e os peixes representaram (1,5 \% ) mais do que os mamíferos. Que porcentagem das espécies ameaçadas veio de mamíferos, pássaros e peixes?

Responder

Aves eram (19,3 \% ), peixes eram (18,6 \% ) e mamíferos eram (17,1 \% ) espécies ameaçadas de extinção

70) O consumo de carne nos Estados Unidos pode ser dividido em três categorias: carne vermelha, aves e peixes. Se o peixe representa (4 \% ) menos de um quarto do consumo de aves, e o consumo de carne vermelha é (18,2 \% ) maior do que o consumo de aves, quais são as porcentagens de consumo de carne?

9.3: Sistemas de equações não lineares e desigualdades: duas variáveis

Verbal

1) Explique se um sistema de duas equações não lineares pode ter exatamente duas soluções. Que tal exatamente três? Se não, explique por que não. Em caso afirmativo, dê um exemplo de tal sistema, em forma de gráfico, e explique por que sua escolha dá duas ou três respostas.

Responder

Um sistema não linear pode ser representativo de dois círculos que se sobrepõem e se cruzam em dois locais, portanto, duas soluções. Um sistema não linear pode ser representativo de uma parábola e um círculo, onde o vértice da parábola encontra o círculo e os ramos também cruzam o círculo, portanto, três soluções.

2) Ao representar graficamente uma desigualdade, explique por que só precisamos testar um ponto para determinar se uma região inteira é a solução?

3) Quando você representa graficamente um sistema de desigualdades, sempre haverá uma região viável? Se sim, explique o porquê. Caso contrário, dê um exemplo de gráfico de desigualdades que não tenha uma região viável. Por que não tem uma região viável?

Responder

Não. Não precisa haver uma região viável. Considere um sistema que é limitado por duas linhas paralelas. Uma desigualdade representa a região acima da linha superior; o outro representa a região abaixo da linha inferior. Nesse caso, nenhum ponto do plano está localizado em ambas as regiões; portanto, não há região viável.

4) Se você representar graficamente uma função de receita e custo, explique como determinar em quais regiões há lucro.

5) Se você realizar sua análise de ponto de equilíbrio e houver mais de uma solução, explique como você determinaria quais valores x são lucro e quais não são.

Responder

Escolha qualquer número entre cada solução e conecte em (C (x) ) e (R (x) ). Se (C (x)

Algébrico

Para os exercícios 6 a 10, resolva o sistema de equações não lineares usando substituição.

6) ( begin {align *} x + y & = 4 x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

7) ( begin {align *} y & = x-3 x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

Responder

((0,-3)), ((3,0))

8) ( begin {align *} y & = x x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

9) ( begin {align *} y & = -x x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac {3 sqrt {2}} {2}, dfrac {3 sqrt {2}} {2} right) ), ( left ( dfrac {3 sqrt {2}} {2}, - dfrac {3 sqrt {2}} {2} right) )

10) ( begin {align *} x & = 2 x ^ 2 - y ^ 2 & = 9 end {align *} )

Para os exercícios 11-15, resolva o sistema de equações não lineares usando a eliminação.

11) ( begin {align *} 4x ^ 2 - 9y ^ 2 & = 36 4x ^ 2 + 9y ^ 2 & = 36 end {align *} )

Responder

((-3,0)), ((3,0))

12) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 25 x ^ 2 - y ^ 2 & = 1 end {align *} )

13) ( begin {align *} 2x ^ 2 + 4y ^ 2 & = 4 2x ^ 2 - 4y ^ 2 & = 25x-10 end {align *} )

Responder

( left ( dfrac {1} {4}, - dfrac { sqrt {62}} {8} right) ), ( left ( dfrac {1} {4}, dfrac { sqrt {62}} {8} right) )

14) ( begin {align *} y ^ 2 - x ^ 2 & = 9 3x ^ 2 + 2y ^ 2 & = 8 end {align *} )

15) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 + dfrac {1} {16} & = 2500 y & = 2x ^ 2 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac { sqrt {398}} {4}, dfrac {199} {4} right) ), ( left ( dfrac { sqrt {398}} {4} , dfrac {199} {4} right) )

Para os exercícios 16-23, use qualquer método para resolver o sistema de equações não lineares.

16) ( begin {align *} -2x ^ 2 + y & = -5 6x-y & = 9 end {align *} )

17) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 -x + y & = 2 end {align *} )

Responder

((0,2)), ((1,3))

18) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y & = 20x ^ 2-1 end {align *} )

19) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y & = -x ^ 2 end {align *} )

Responder

( left (- sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {5} -1)}, dfrac {1} {2} left (1- sqrt {5} right) direita) ), ( left ( sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {5} -1)}, dfrac {1} {2} left (1- sqrt {5} certo, certo ))

20) ( begin {align *} 2x ^ 3-x ^ 2 & = y y & = dfrac {1} {2} -x end {align *} )

21) ( begin {align *} 9x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 225 (x-6) ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

Responder

((5,0))

22) ( begin {align *} x ^ 4-x ^ 2 & = y x ^ 2 + y & = 0 end {align *} )

23) ( begin {align *} 2x ^ 3-x ^ 2 & = y x ^ 2 + y & = 0 end {align *} )

Responder

((0,0))

Para os exercícios 24-38, use qualquer método para resolver o sistema não linear.

24) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 y & = 3-x ^ 2 end {align *} )

25) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 x & = 3 end {align *} )

Responder

((3,0))

26) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 y & = 3 end {align *} )

27) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 x-y & = 0 end {align *} )

Responder

Não existem soluções

28) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 -4x + y & = -1 end {align *} )

29) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 2y & = -x end {align *} )

Responder

Não existem soluções

30) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 25 x ^ 2-y ^ 2 & = 36 end {align *} )

31) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y ^ 2 & = x ^ 2 end {align *} )

Responder

( left (- dfrac { sqrt {2}} {2}, - dfrac { sqrt {2}} {2} right) ), ( left (- dfrac { sqrt { 2}} {2}, dfrac { sqrt {2}} {2} direita) ), ( left ( dfrac { sqrt {2}} {2}, - dfrac { sqrt { 2}} {2} right) ), ( left ( dfrac { sqrt {2}} {2}, dfrac { sqrt {2}} {2} right) )

32) ( begin {align *} 16x ^ 2-9y ^ 2 + 144 & = 0 y ^ 2 + x ^ 2 & = 16 end {align *} )

33) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 (x-1) ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

Responder

((2,0))

34) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 (x-1) ^ 2 + y ^ 2 & = 4 end {align *} )

35) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 x ^ 2 + y ^ 2 & = 16 end {align *} )

Responder

((- sqrt {7}, - 3) ), ((- sqrt {7}, 3) ), (( sqrt {7}, - 3) ), (( sqrt {7}, 3) )

36) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2-6x-4y-11 & = 0 -x ^ 2 + y ^ 2 & = 5 end {align *} )

37) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2-6y & = 7 x ^ 2 + y & = 1 end {align *} )

Responder

( left (- sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {73} -5)}, dfrac {1} {2} left (7- sqrt {73} right) direita) ), ( left ( sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {73} -5)}, dfrac {1} {2} left (7- sqrt {73} certo, certo ))

38) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 6 xy & = 1 end {align *} )

Gráfico

Para os exercícios 39-40, represente graficamente a desigualdade.

39) (x ^ 2 + y <9 )

Responder

40) (x ^ 2 + y ^ 2 <4 )

Para os exercícios 41-45, represente graficamente o sistema de desigualdades. Identifique todos os pontos de intersecção.

41) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <1 y &> 2x end {align *} )

Responder

42) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <- 5 y &> 5x + 10 end {align *} )

43) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & <25 3x ^ 2 - y ^ 2 &> 12 end {align *} )

Responder

44) ( begin {align *} x ^ 2 - y ^ 2 &> - 4 x ^ 2 + y ^ 2 & <12 end {align *} )

45) ( begin {align *} x ^ 2 + 3y ^ 2 &> 16 3x ^ 2 - y ^ 2 & <1 end {align *} )

Responder

Extensões

Para os exercícios 46-47, represente graficamente a desigualdade.

46) ( begin {align *} y & geq e ^ x y & leq ln (x) +5 end {align *} )

47) ( begin {align *} y & leq - log (x) y & leq e ^ x end {align *} )

Responder

Para os exercícios 48-52, encontre as soluções para as equações não lineares com duas variáveis.

48) ( begin {align *} dfrac {4} {x ^ 2} + dfrac {1} {y ^ 2} & = 24 dfrac {5} {x ^ 2} - dfrac { 2} {y ^ 2} + 4 & = 0 end {alinhar *} )

49) ( begin {align *} dfrac {6} {x ^ 2} - dfrac {1} {y ^ 2} & = 8 dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac { 6} {y ^ 2} & = dfrac {1} {8} end {align *} )

Responder

( left (-2 sqrt { dfrac {70} {383}}, - 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ), ( left (-2 sqrt { dfrac {70} {383}}, 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ), ( left (2 sqrt { dfrac {70} {383}}, - 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ), ( left (2 sqrt { dfrac {70} {383}}, 2 sqrt { dfrac {35} {29}} certo ))

50) ( begin {align *} x ^ 2 - xy + y ^ 2 - 2 & = 0 x + 3y & = 4 end {align *} )

51) ( begin {align *} x ^ 2 - xy - 2y ^ 2 - 6 & = 0 x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

Responder

Nenhuma solução existe

52) ( begin {align *} x ^ 2 + 4xy - 2y ^ 2 - 6 & = 0 x & = y + 2 end {align *} )

Tecnologia

Para os exercícios 53-54, resolva o sistema de desigualdades. Use uma calculadora para representar graficamente o sistema e confirmar a resposta.

53) ( begin {align *} xy & <1 y &> sqrt {x} end {align *} )

Responder

(x = 0 ), (y> 0 ) e (0

54) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <3 y &> 2x end {align *} )

Aplicativos do mundo real

Para os exercícios 55-, construa um sistema de equações não lineares para descrever o comportamento dado e, em seguida, resolva para as soluções solicitadas.

55) Dois números somam (300 ). Um número é o dobro do quadrado do outro número. Quais são os números?

Responder

(12,288)

56) Os quadrados de dois números somados a (360 ). O segundo número é a metade do valor do primeiro número ao quadrado. Quais são os números?

57) Uma empresa de laptop descobriu suas funções de custo e receita para cada dia: (C (x) = 3x ^ 2-10x + 200 ) e (R (x) = - 2x ^ 2 + 100x + 50 ) . Se eles querem ter lucro, qual é a gama de laptops por dia que eles devem produzir? Arredonde para o número mais próximo que geraria lucro.

Responder

(2 ) - (20 ) computadores

58) Uma empresa de telefonia celular tem as seguintes funções de custo e receita: (C (x) = 8x ^ 2-600x + 21.500 ) e (R (x) = - 3x ^ 2 + 480x ). Qual é a gama de telefones celulares que eles devem produzir a cada dia para que haja lucro? Arredonde para o número mais próximo que gera lucro.

9.4: Frações Parciais

Verbal

1) Qualquer quociente de polinômios pode ser decomposto em pelo menos duas frações parciais? Em caso afirmativo, explique por quê e, se não, dê um exemplo dessa fração.

Responder

Não, um quociente de polinômios só pode ser decomposto se o denominador puder ser fatorado. Por exemplo, ( dfrac {1} {x ^ 2 + 1} ) não pode ser decomposto porque o denominador não pode ser fatorado.

2) Você pode explicar por que uma decomposição de fração parcial é única? (Dica: Pense nisso como um sistema de equações.)

3) Você pode explicar como verificar a decomposição de uma fração parcial graficamente?

Responder

Faça o gráfico de ambos os lados e certifique-se de que são iguais.

4) Você não tem certeza se decompôs corretamente a fração parcial. Explique como você pode verificar sua resposta.

5) Depois de ter um sistema de equações gerado pela decomposição da fração parcial, você pode explicar outro método para resolvê-lo? Por exemplo, se você tinha ( dfrac {7x + 13} {3x ^ 2 + 8x + 15} = dfrac {A} {x + 1} + dfrac {B} {3x + 5} ), eventualmente simplificamos para (7x + 13 = A (3x + 5) + B (x + 1) ). Explique como você poderia escolher inteligentemente um valor (x ) - que eliminará (A ) ou (B ) e resolverá para (A ) e (B ).

Responder

Se escolhermos (x = -1 ),então o termo (B ) - desaparece, nos informando imediatamente que (A = 3 ). Podemos alternativamente conectar (x = - dfrac {5} {3} ),dando-nos um valor (B ) de


Planilhas de desigualdades

Você está procurando planilhas de matemática gratuitas que ajudarão seus alunos a desenvolver e dominar habilidades matemáticas da vida real? As planilhas de álgebra abaixo apresentarão a seus alunos a solução de desigualdades e a representação gráfica de desigualdades. À medida que adotam uma abordagem passo a passo para resolver desigualdades, eles também praticam outras habilidades essenciais de álgebra, como usar operações inversas para resolver equações.

Comece sua aula com a Planilha 1, que apresenta desigualdades básicas que podem ser resolvidas em uma etapa e concentra-se simplesmente em números positivos. À medida que seus alunos praticam cada planilha sucessiva, as desigualdades de várias etapas são introduzidas junto com alguns números negativos. No momento em que seus alunos concluírem esta série de planilhas de álgebra gratuitas, eles saberão quando reverter símbolos de desigualdade, soluções gráficas e verificar suas soluções por conta própria!


Problemas simples de palavras

Escreva uma equação que descreva as seguintes situações do mundo real matematicamente:

Mohato e Lindiwe estão resfriados. Mohato espirra duas vezes para cada espirro de Lindiwe. Se Lindiwe espirrar (x ) vezes, escreva uma equação descrevendo quantas vezes os dois espirraram.

A diferença de dois números é ( text <10> ) e a soma de seus quadrados é ( text <50> ). Encontre os dois números.

Liboko constrói um depósito retangular. Se a diagonal da sala for ( sqrt < text <1 & # 160312 >> ) & # 160 ( text) e o perímetro é ( text <80> ) ( text), determine as dimensões da sala.

Chove a metade em julho do que em dezembro. Se chover (y ) & # 160mm em julho, escreva uma expressão relacionando a precipitação em julho e dezembro.

Zane pode pintar uma sala em ( text <4> ) horas. Tlali pode pintar uma sala em ( text <2> ) horas. Quanto tempo vai demorar para os dois pintarem um quarto juntos?

( text <25> ) anos atrás, Arthur tinha ( text <5> ) anos mais que um terço da idade de Bongani. Hoje, Bongani tem ( text <26> ) anos menos do que o dobro da idade de Arthur. Quantos anos tem o Bongani?

O produto de dois inteiros é ( text <95> ). Encontre os inteiros se o total for ( text <24> ).


O sucesso em matemática e ciências abre oportunidades

Inscreva-se para obter uma vantagem inicial em oportunidades de bolsa e carreira. Use a prática de Siyavula para obter as melhores notas possíveis.

começar 1 & amp = 4 - 3y 3y & amp = 4 - 1 3y & amp = 3 y & amp = frac <3> <3> & amp = 1 end

( dfrac <2> - 2 - dfrac <1> <2> = dfrac <1> <2> left (1 + dfrac <2>certo))

Restrições de nota: (a ne 3 a ne -4 ).

Restrições de nota: (n ne 2 n ne 7 ).

((d + 4) (d - 3) - d = (3d - 2) ^ <2> - 8d (d - 1) )

Resolva as equações (y = 3x + 2 ) e (y = 2x + 1 ) simultaneamente.

No gráfico, podemos ver que as linhas se cruzam em (x = - 1 ) e (y = -1 )

Resolva as equações (y = -x + 1 ) e (y = -x - 1 ) simultaneamente.

As linhas são paralelas, portanto, não há solução para (x ) e (y ).

Resolva as equações (y = x + 4 ) e (y = -2x + 1 ) simultaneamente.

No gráfico, podemos ver que as linhas se cruzam em (x = - 1 ) e (y = 3 )

Resolva as seguintes equações simultâneas:

Adicione as duas equações para remover o termo (y ) e resolva para (x ):

Substitua o valor de (x ) na segunda equação:

começar 2x - 3y & amp = -4 2 (1) - 3y & amp = -4 3y & amp = 6 y & amp = 2 end

Substitua o valor de (y ) na primeira equação:

começar 10 & amp = 2x + x - 2 10 & amp = 3x - 2 12 & amp = 3x x & amp = 4 end

Substitua o valor de (x ) de volta na segunda equação:

começar y & amp = x - 2 & amp = 4 - 2 & amp = 2 end

Faça (y ) o assunto da primeira equação:

começar 17 & amp = 3x - y y & amp = 3x - 17 end

Substitua o valor de (y ) na primeira equação:

começar 7x - 41 & amp = 3y 7x - 41 & amp = 3 (3x - 17) 7x - 41 & amp = 9x - 51 2x & amp = 10 x & amp = 5 end

Substitua o valor de (x ) de volta na segunda equação:

começar y & amp = 3x - 17 y & amp = 3 (5) - 17 & amp = -2 end

Faça (x ) o assunto da primeira equação:

Substitua o valor de (x ) na segunda equação:

começar 7x + 2y & amp = 32 7 left ( frac <32 + 4y> <2> right) + 2y & amp = 32 7 (32 + 4y) +2 (2) y & amp = 32 (2) 224 + 28y + 4y & amp = 64 32 y & amp = -160 portanto y & amp = -5 end

Substitua o valor de (y ) de volta na primeira equação:

(7x + 6y = -18 ) e (4x + 12y = 24 )

Multiplique a primeira equação por 2 para que o coeficiente de (y ) seja o mesmo que a segunda equação:

começar 7x + 6y & amp = -18 7 (2) x + 6 (2) y & amp = -18 (2) 14x + 12y & amp = -36 end

Subtraia a segunda equação da primeira equação:

Substitua o valor de (x ) na primeira equação e resolva para (y ):

(3x - 4y = -15 ) e (12x + 5y = 66 )

Multiplique a primeira equação por 4 para que o coeficiente de (x ) seja o mesmo que a segunda equação:

começar 3x - 4y & amp = -15 3 (4) x-4 (4) y & amp = -15 (4) 12x-16y & amp = -60 end

Subtraia a segunda equação da primeira equação:

Substitua o valor de (y ) na primeira equação e resolva para (x ):

Escreva a primeira equação em termos de (x ):

começar x - 3y & amp = -22 x & amp = 3y - 22 end

Substitua o valor de (x ) na segunda equação:

começar 5x + 2y & amp = -25 5 (3y - 22) + 2y & amp = -25 15y - 110 + 2y & amp = -25 17y & amp = 85 y & amp = 5 end

Substitua o valor de (y ) na primeira equação e resolva para (x ):

começar x - 3y & amp = -22 x - 3 (5) & amp = -22 x & amp = -22 + 15 & amp = -7 end

(3x + 2y = 46 ) e (15x + 5y = 220 )

Faça (y ) o assunto da segunda equação:

começar 15x + 5y & amp = 220 3x + y & amp = 44 y & amp = 44 - 3x end

Substitua o valor de (y ) na primeira equação:

começar 3x + 2y & amp = 46 3x + 2 (44 - 3x) & amp = 46 3x + 88 - 6x & amp = 46 42 & amp = 3x x & amp = 14 end

Substitua o valor de (x ) na segunda equação:

começar 3x + y & amp = 44 3 (14) + y & amp = 44 y & amp = 44 - 42 & amp = 2 end

(6x + 3y = -63 ) e (24x + 4y = -212 )

Multiplique a primeira equação por 4 para que o coeficiente de (x ) seja o mesmo que a segunda equação:

começar 6x + 3y & amp = -63 6 (4) x - 3 (4) y & amp = -63 (4) 24x + 12y & amp = -252 end

Subtraia a segunda equação da primeira equação:

Substitua o valor de (y ) na primeira equação e resolva para (x ):

(5x - 6y = 11 ) e (25x - 3y = 28 )

Multiplique a primeira equação por 5 para que o coeficiente de (x ) seja o mesmo que a segunda equação:

começar 5x - 6y & amp = 11 5 (5) x - 6 (5) y & amp = 11 (5) 25x - 30y & amp = 55 end

Subtraia a segunda equação da primeira equação:

Substitua o valor de (y ) na primeira equação e resolva para (x ):

começar 5x - 6y & amp = 11 5x - 6 (-1) & amp = 11 x & amp = frac <11 - 6> <5> & amp = 1 end

Faça (x ) o assunto da segunda equação:

começar 2x + 2y & amp = 6 x & amp = 3 - y fim

Substitua o valor de (x ) na primeira equação:

começar -9x + 3y & amp = 4 -9 (3 - y) + 3y & amp = 4 -27 + 9y + 3y & amp = 4 12y & amp = 31 y & amp = frac <31> <12 > end

Substitua o valor de (y ) na segunda equação e resolva para (x ):

Portanto, (x = frac <5> <12> ) e (y = frac <31> <12> ).

(3x - 7y = -10 ) e (10x + 2 y = -6 )

Faça (y ) o assunto da segunda equação:

começar 10x + 2 y & amp = -6 5x + y & amp = -3 y & amp = -3 - 5x end

Substitua o valor de (y ) na primeira equação:

começar 3x - 7y & amp = -10 3x - 7 (-3 - 5x) & amp = -10 3x + 21 + 35x & amp = -10 38x & amp = -10 -21 38x & amp = -31 x & amp = frac <-31> <38> end

Substitua o valor de (x ) na segunda equação e resolva para (y ):

Notamos que a segunda equação tem um fator comum de 2:

começar 4y & amp = 2x - 44 2y & amp = x - 22 end

Agora podemos subtrair a segunda equação da primeira:

Não há solução para este sistema de equações. Podemos ver isso se representarmos graficamente as duas equações:

No gráfico, vemos que as linhas têm o mesmo gradiente e não se cruzam.

Portanto, não há solução.

(2a (a- 1) - 4 + a - b = 0 ) e (2a ^ 2 - a = b + 4 )

Olhe para a primeira equação

começar 2a (a- 1) - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - 2a - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - a & amp = b + 4 end

Observe que este é o mesmo que a segunda equação

(a ) e (b ) podem ser qualquer número real, exceto para ( text <0> ).

Observe a segunda equação:

começar x (x + 3) -y & amp = 3x +4 (x-1) x ^ 2 + 3x - y & amp = 3x + 4x - 4 x ^ 2 - 4x + 4 & amp = y y & amp = (x-2) ^ 2 fim

Observe que isso é igual à primeira equação.

(x ) e (y ) podem ser qualquer número real, exceto para ( text <0> ).

Observe que (y neq 0 ) e (y neq -1 )

Faça (x ) o assunto da equação 1:

começar frac & amp = 7 x + 1 & amp = 7y x & amp = 7y -1 qquad text end

Faça (x ) o assunto da equação 2:

Substitua a equação 3 na equação 4:

começar 6y + 6 & amp = 7y -1 6 + 1 & amp = 7y - 6y y & amp = 7 end

Substitua o valor de (y ) na equação 3:

Portanto (x = 48 text y = 7 )

Observe que ((x + 3) ^ 2 ) e ((y - 4) ^ 2 ) são ambos maiores ou iguais a zero, portanto, para que a equação seja verdadeira, eles devem ser iguais a zero.

começar (x + 3) ^ 2 = 0 x = -3 (y-4) ^ 2 = 0 y = 4 portanto x = -3 & amp text y = 4 fim

Encontre as soluções para os seguintes problemas com palavras:

( frac <7> <8> ) de um certo número é ( text <5> ) mais do que ( frac <1> <3> ) do número. Encontre o número.

começar frac <7> <8> x & amp = frac <1> <3> x + 5 21x & amp = 8x + 120 13x & amp = 120 x & amp = frac <120> <13> fim

Três réguas e duas canetas têm um custo total de ( text, text <21,00> ). Uma régua e uma caneta têm um custo total de ( text, text <8,00> ). Quanto custa uma régua e quanto custa uma caneta?

Seja o preço de uma régua (r ) e o preço de uma caneta (p ).

começar 3r + 2p & amp = 21 r + p & amp = 8 end

Da segunda equação: (r = 8 - p )

Substitua o valor de (r ) na primeira equação:

começar 3 (8 - p) + 2p & amp = 21 24 - 3p + 2p & amp = 21 p & amp = 3 end

Substitua o valor de (p ) na segunda equação:

começar r + 3 & amp = 8 r & amp = 5 end

Portanto, cada régua custa ( text, text <5> ) e cada caneta custa ( text, text <3> ).

Um grupo de amigos está comprando o almoço. Aqui estão alguns fatos sobre o almoço deles:

  • um cachorro-quente custa ( text, text <6> ) mais do que um milkshake
  • o grupo compra 3 cachorros-quentes e 2 milkshakes
  • o custo total do almoço é ( text, text <143> )

Seja o preço de um cachorro-quente (h ) e o preço de um milkshake (m ). A partir das informações fornecidas, obtemos:

começar h & amp = m + 6 3h + 2m & amp = 143 end

Substitua a primeira equação na segunda equação:

começar 3h + 2m & amp = 143 3 (m + 6) + 2m & amp = 143 3m + 6 (3) + 2m & amp = 143 5m & amp = 143 - 18 portanto, m & amp = frac < 125> <5> & amp = 25 end

Substitua o valor de (m ) na primeira equação:

começar h & amp = m + 6 & amp = 25 + 6 & amp = 31 end

O preço do cachorro-quente é ( text, text <31> ) enquanto um milkshake custa ( text, text <25> ).

Lefu e Monique são amigos. Monique pega o teste de estudos de negócios de Lefu e não diz a ele qual é sua nota. Ela sabe que Lefu não gosta de problemas com palavras, então decide provocá-lo. Monique diz: & # 8220Eu tenho ( text <12> ) marcas mais do que você e a soma de ambas as nossas marcas é igual a ( text <166> ) Quais são as nossas marcas? & # 8221

Seja a marca de Lefu (l ) e seja a marca de Monique (m ). Então comece m & amp = l + text <12> l + m & amp = text <166> end

Substitua a primeira equação na segunda equação e resolva:

Substituir esse valor de volta na primeira equação dá:

Os alunos obtiveram as seguintes notas: Lefu tem ( text <77> ) marcas e Monique tem ( text <89> ) marcas.

Um homem corre até o ponto de ônibus e volta em ( text <15> ) minutos. Sua velocidade no caminho para o ponto de ônibus é ( text <5> ) ( text$> ) e sua velocidade na volta é ( text <4> ) ( text$> ). Encontre a distância até o ponto de ônibus.

Seja (D ) a distância até o ponto de ônibus.

A distância é dada pela velocidade vezes pelo tempo. O homem corre a mesma distância para o ponto de ônibus e para o ponto de ônibus. Portanto:

começar D & amp = s vezes t D & amp = 5t_ <1> = 4t_ <2> fim

Ele leva um total de 15 minutos para ir e voltar, então o tempo total é (t_ <1> + t_ <2> = 15 ). No entanto, as velocidades são fornecidas em quilômetros por hora e, portanto, devemos converter o tempo em horas. Portanto (t_ <1> + t_ <2> = text <0,25>. )

Em seguida, notamos que (t_ <1> = dfrac<5> ) e (t_ <2> = dfrac<4>).

começar frac <5> + frac <4> & amp = text <0,25> 4D + 5D & amp = text <0,25> (20) 9D & amp = 5 D & amp = frac <5> <9> end

A parada de ônibus é ( text <0,56> ) ( text) longe.

Dois caminhões estão viajando um em direção ao outro de fábricas que são ( text <175> ) ( text) separado. Um caminhão está viajando em ( text <82> ) ( text$> ) e o outro caminhão em ( text <93> ) ( text$> ). Se os dois caminhões iniciarem a jornada ao mesmo tempo, quanto tempo levarão para passarem um pelo outro?

Observe que a soma das distâncias para os dois caminhões deve ser igual à distância total quando os caminhões se encontram: (D_ <1> + D_ <2> = d _ < text> longrightarrow D_ <1> + D_ <2> = text <175> text ).

Essa pergunta é sobre distâncias, velocidades e tempos. A equação que conecta esses valores é [ text = frac < text> < text

Você quer saber a quantidade de tempo necessária para os caminhões se reunirem - deixe o tempo ser (t ). Então você pode escrever uma expressão para a distância que cada um dos caminhões viaja: begin exto quad D_ <1> & amp = s_ <1> t & amp = text <82> t text quad D_ <2> & amp = s_ <2> t & amp = text <93> t end

Agora você tem três equações diferentes: você deve resolvê-las simultaneamente; a substituição é a escolha mais fácil. começar D_ <1> + D_ <2> & amp = text <175> ( text <82> t) + ( text <93> t) & amp = text <175> text <175> t & amp = text <175> portanto t & amp = frac < text <175>> < text <175>> & amp = text <1> end Os caminhões se reunirão após ( text <1> ) horas.

Zanele e Piet patinam um em direção ao outro em um caminho reto. Eles disparam ( text <20> ) ( text) separado. Zanele patina em ( text <15> ) ( text$> ) e Piet em ( text <10> ) ( text$> ). Quão longe Piet terá patinado quando eles chegarem um ao outro?

Seja (x ) a distância que Zanele patina e (20 - x ) a distância que Piet patina.

Em seguida, observamos as seguintes informações:

Zanele terá patinado ( text <12> ) ( text) e Piet terá patinado ( text <8> ) ( text) quando alcançam outro.

Quando o preço dos chocolates aumenta em ( text, text <10> ), podemos comprar cinco chocolates a menos para ( text, text <300> ). Qual era o preço de cada chocolate antes do aumento do preço?

Seja (x ) o preço original dos chocolates. O novo preço de (x ) chocolates é ( text, text <300> ).

começar left (x + 10 right) left ( frac <300> - 5 right) & amp = 300 300 - 5x + frac < text <3 & # 160000 >> - 50 & amp = 300 -5x + frac < text <3 & # 160000 >> - 50 & amp = 0 -5x ^ <2> + text <3 & # 160000> - 50x & amp = 0 x ^ <2> + 10x - 600 & amp = 0 (x - 20) (x + 30) & amp = 0 x = 20 & amp text x = -30 end

Uma vez que o preço tem que ser positivo, os chocolates costumavam custar ( text, text <20> ).

Um professor comprou ( text, text <11 300> ) em livros didáticos. Os livros didáticos eram para Ciências e Matemática, com cada um deles sendo vendido em ( text, text <100> ) por livro e ( text, text <125> ) por livro, respectivamente. Se a professora comprou 97 livros no total, quantos livros de ciências ela comprou?

Ela comprou ( text <33> ) livros de ciências.

A mãe de Thom comprou ( text, text <91,50> ) no valor de easter eggs. Os ovos de páscoa vieram em 3 cores diferentes: azul, verde e amarelo. Os azuis custam ( text, text <2> ) cada, verdes ( text, text <1,50> ) cada um e os amarelos ( text, text <1> ) cada. Ela comprou três vezes mais ovos amarelos do que os verdes e ( text <72> ) ovos no total. Quantos ovos azuis ela comprou?

(3) (3) & amp text (1) x + y + 3y & amp = 72 x & amp = 72 - 4y

Duas frações equivalentes têm seu numerador como um. O denominador de uma fração é a soma de dois e um número, enquanto a outra fração é duas vezes o número menos 3. Qual é o número?

Considere as seguintes equações literais:

começar a - bx & amp = c -bx & amp = c - a - frac <1>(-bx) & amp = (c - a) left (- frac <1> right) portanto x & amp = frac, b neq 0 end

Faça de (m ) o sujeito da fórmula: (E = mc ^ <2> ).

Faça (f ) o assunto da fórmula: ( dfrac <1> + dfrac <1> = dfrac <1>).

Resolva para (x ) em: (ax - 4a + ab = 4b - bx - b ^ 2 + 4c - cx - bc )

Resolva para (b ) em (I = frac <1> <2> M (a ^ 2 + b ^ 2) ) se (a = 4 ), (M = 8 ), (I = 320 )

Escreva a desigualdade representada pelo seguinte:

Resolva para (x ) e mostre sua resposta em notação de intervalo

começar -4 x +1 & amp & gt -2 (x -15) -4 x +1 & amp & gt -2 x +30 -4 x +2 x & amp & gt 30 -1 -2 x & amp & gt 29 portanto x & amp & lt frac <-29> <2> end

Agora resolva. (Lembre-se de inverter o símbolo de desigualdade se você multiplicar ou dividir por um negativo.)

começar 6x + 12 & amp leq -4x-4 6x + 4x & amp leq -4 -12 10x & amp leq -16 portanto x & amp leq frac <-8> <5> end

começar frac <1> <4> x + frac <2> <3> (x + 1) & amp geq frac <2> <5> x +2 15x + 40 (x + 1) & amp geq 24x +120 15x + 40 x + 40 & amp geq 24x +120 15x + 40 x -24x & amp geq 120 - 40 31x & amp geq 80 portanto x & amp geq frac <80 > <31> fim

O intervalo é: [ left [ frac <80> <31> infty right) ]

(3x -3 & gt 14 quad text quad 3x -3 & lt -2 )

[ left (- infty frac <1> <3> right) cup left ( frac <17> <3> infty right) ]

Resolva e represente sua resposta em uma linha numérica

começar 2x -3 & amp & lt frac <3x -2> <2> 4x - 6 & amp & lt 3x- 2 x & amp & lt 4 end começar 3 (1 - b) - 4 + b & amp & gt 7+ b 3 - 3b - 4 + b & amp & gt 7 + b -2b & amp & gt 8 b & amp & lt -4 end começar 1 -5x & amp & gt 4 (x + 1) - 3 1 - 5x & amp & gt 4x + 4 - 3 -9x & amp & gt 0 x & amp & lt 0 end

Resolva para a variável desconhecida

começar frac <1> <2> x - frac <2> & amp = 0 x ^ 2 - 4 & amp = 0 (x-2) (x + 2) & amp = 0 portanto x = 2 & amp text x = -2 end

começar frac <(b + 1) ^ 2 - 16> & amp = 1 b ^ 2 + 2b + 1 - 16 & amp = b + 5 b ^ 2 + b - 20 & amp = 0 (b - 4) (b + 5) & amp = 0 portanto b & amp = 4 end

começar frac& amp = 2 a ^ 2 + 8a + 7 & amp = 2a + 14 a ^ 2 + 6a - 7 & amp = 0 (a - 1) (a + 7) & amp = 0 portanto, a & amp = 1 fim


Glencoe Algebra 1 Solutions Capítulo 7 Resolvendo Sistemas de Equações Lineares e Desigualdades Exercício 7.5

Glencoe Algebra 1 Solutions Capítulo 7 Resolvendo Sistemas de Equações Lineares e Desigualdades Exercício 7.5

Resposta 1CU.

Resposta 2CU.


Resposta 3CU.


Resposta 4CU.

Resposta 5CU.

Resposta 6CU.

Resposta 7CU.

Resposta 8CU.

Resposta 9CU.

Resposta 10CU.

Resposta 11CU.





Resposta 12PA.

Resposta 13PA.


Resposta 15PA.

Resposta 16PA.

Resposta 17PA.

Resposta 18PA.

Resposta 19PA.

Resposta 20PA.

Resposta 21PA.

Resposta 22PA.

Resposta 23PA.

Resposta 24PA.

Resposta 25PA.

Resposta 26PA.

Resposta 27PA.


Resposta 28PA.


Resposta 29PA.

Resposta 30PA.

Resposta 31PA.

Resposta 32PA.


Resposta 33PA.


Resposta 34PA.



Resposta 36PA.

Resposta 37PA.

Resposta 38PA.

Resposta 39PA.





Resposta 40PA.



Resposta 41MYS.


Resposta 42MYS.


Resposta 43MYS.


Resposta 44MYS.


Resposta 45MYS.


Resposta 46MYS.


Resposta 47MYS.


Resposta 48MYS.


Resposta 49MYS.


DMCA Complaint

Se você acredita que o conteúdo disponível por meio do Site (conforme definido em nossos Termos de Serviço) viola um ou mais de seus direitos autorais, notifique-nos fornecendo um aviso por escrito ("Aviso de Violação") contendo as informações descritas abaixo para o designado agente listado abaixo. Se Varsity Tutors tomar medidas em resposta a um Aviso de Infração, ele fará uma tentativa de boa fé para entrar em contato com a parte que disponibilizou tal conteúdo por meio do endereço de e-mail mais recente, se houver, fornecido por tal parte aos Tutores do Varsity.

Seu Aviso de violação pode ser encaminhado para a parte que disponibilizou o conteúdo ou para terceiros, como ChillingEffects.org.

Informamos que você será responsável por danos (incluindo custas e honorários advocatícios) caso expresse indevidamente que um produto ou atividade está infringindo seus direitos autorais. Portanto, se você não tiver certeza de que o conteúdo localizado ou vinculado ao site viola seus direitos autorais, você deve primeiro entrar em contato com um advogado.

Siga estas etapas para registrar um aviso:

Você deve incluir o seguinte:

Uma assinatura física ou eletrônica do proprietário dos direitos autorais ou de uma pessoa autorizada a agir em seu nome Uma identificação do direito autoral alegadamente violado Uma descrição da natureza e localização exata do conteúdo que você alega violar seus direitos autorais, em suficiente detalhes para permitir que os tutores do time do colégio encontrem e identifiquem positivamente esse conteúdo, por exemplo, exigimos um link para a questão específica (não apenas o nome da questão) que contém o conteúdo e uma descrição de qual parte específica da questão - uma imagem, um link, o texto, etc - sua reclamação refere-se ao seu nome, endereço, número de telefone e endereço de e-mail e uma declaração sua: (a) que você acredita de boa fé que o uso do conteúdo que você alega infringir seus direitos autorais é não autorizado por lei, ou pelo proprietário dos direitos autorais ou agente do proprietário (b) que todas as informações contidas em seu Aviso de violação são precisas, e (c) sob pena de perjúrio, que você é o proprietário dos direitos autorais ou uma pessoa autorizada a agir em seu nome.

Envie sua reclamação para o nosso agente designado em:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suíte 300
St. Louis, MO 63105


Explore as planilhas de álgebra em detalhes

As planilhas de álgebra aqui se concentram na tradução de frases verbais em expressões algébricas, apresentando exercícios com expressões únicas e multivariáveis, traduzindo equações lineares envolvendo uma ou duas etapas, determinando desigualdades e muito mais.

Acesse as planilhas para impressão aqui para praticar a avaliação de expressões algébricas com variáveis ​​simples e multivariáveis, encontrar as dimensões das formas geométricas, organizar as expressões algébricas em ordem crescente ou decrescente, para citar alguns.

Enriqueça seu conhecimento na simplificação de expressões algébricas com este lote de planilhas, contendo habilidades para simplificar expressões lineares, polinomiais e racionais envolvendo expoentes positivos e negativos, encontrando a área e perímetro de um retângulo e muito mais.

Pratique esta coleção de planilhas de identidades algébricas que apresentam gráficos de identidades vibrantes e aprimore suas habilidades na expansão, fatoração e avaliação de expressões algébricas usando identidades, simplificando as expressões e muito mais.

Escolha entre uma variedade inesgotável de planilhas que consistem em equações de uma, duas e várias etapas. Escreva a equação de uma reta em formas variadas, represente graficamente as equações lineares, as equações quadráticas e as equações de valor absoluto, resolva o sistema de equações, para citar alguns.

Revise o conceito de resolução de equações com essas planilhas de problemas de palavras de equação. Resolva problemas de palavras da vida real com números inteiros, decimais e frações envolvendo uma etapa, duas etapas ou várias etapas.

Incorpore essas planilhas de equações de rearranjo com habilidades para tornar 'x' o assunto, reorganizar e avaliar fórmulas usadas com frequência e resolver problemas de palavras reais disponíveis em unidades usuais e métricas e muito mais.

Empregue o conjunto de planilhas de álgebra aqui para encontrar a equação linear de uma linha usando a forma de ponto-declive, forma de declive-interceptação, forma de dois pontos, forma de dois interceptação. Além disso, encontre a interceptação xey, resolva problemas de palavras envolvendo linhas paralelas e perpendiculares, para mencionar alguns.

Obtenha várias planilhas apresentando a conclusão de tabelas de função, traçando um gráfico usando inclinação e interceptação y, equações de gráfico envolvendo linhas horizontais e verticais e muito mais. Incluídas aqui estão planilhas para traçar pares ordenados também.

Implemente este conjunto de planilhas de equação quadrática para resolver equações encontrando a soma e o produto das raízes, o uso da propriedade de produto zero, o método de fatoração e a fórmula quadrática. Além disso, aprenda a resolver completando também o quadrado.

Esta unidade trata especificamente de exercícios para encontrar o domínio e o intervalo a partir da lista de pares ordenados e gráficos. Aprenda a completar os pontos do gráfico das tabelas de função, funções de gráfico e avaliar a composição das funções.

Este conjunto consiste em representar meticulosamente funções lineares traçando pontos em grades, computando as tabelas de funções, traçando pontos e traçando funções lineares. Incluídos aqui estão inclinações apresentadas também como frações.

Este lote de planilhas de álgebra engloba tarefas para uma compreensão clara da transformação de uma função linear e gráfico. Traduza uma função ou gráfico para deslocamento horizontal / vertical, encontre o reflexo, encontre o alongamento e a compressão e muito mais.

Implemente este conjunto de planilhas sob medida com exercícios amplos para avaliar ou escrever funções quadráticas interpretando a função quadrática em formas variadas, completando tabelas de funções, identificando vértices e interceptos com base em fórmulas e muito mais.

Identificar zeros, escrever e representar graficamente funções quadráticas, completar a tabela de funções são alguns dos exercícios incluídos nesta compilação de imprimíveis práticos.

Utilize esta unidade de planilhas de transformação quadrática simples, mas envolventes, para transformar gráficos, encontrar a função de transformação g (x) de seu pai f (x) e identificar os vários tipos de mudanças, para mencionar alguns.

Acesse essas planilhas de álgebra para reconhecer polinômios, identificar o grau de polinômios, adicionar, subtrair, multiplicar, dividir e fatorar expressões monomiais, binomiais e polinomiais. Encontre o LCM e o GCF dos polinômios também.

Navegue por esta variedade de planilhas de valor absoluto imprimíveis com números inteiros positivos e negativos. Realize operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação e divisão no valor absoluto de números reais.

Aproveite esta seção de planilhas de desigualdade para representar graficamente e escrever desigualdades, resolver desigualdades de uma, duas ou várias etapas, resolver e representar graficamente desigualdades compostas, soluções de gráficos e muito mais.

Complemente suas instruções básicas com este grupo de planilhas de sequência e série com foco em séries e sequências aritméticas, sequência geométrica, série especial, sequência recursiva, soma parcial, para citar alguns.

Obtenha o aprendizado ideal com este conjunto de planilhas de matriz. Determine a ordem das matrizes e seu inverso, adicione, subtraia e multiplique as matrizes, encontre suas soluções e determinantes também neste conjunto de planilhas para impressão aqui.

Ganhe conhecimento profundo em encontrar os determinantes identificando o número de soluções e resolvendo equações usando a regra de Cramer com este lote de planilhas contendo inúmeros exercícios.

Explore esta compilação de planilhas de números complexos projetadas e recomendadas para alunos do ensino médio. Aprimore suas habilidades em encontrar o valor absoluto e argumento, simplificando, avaliando poderes de i, encontrando o conjugado, identificando a parte real e imaginária e muito mais!

Navegue por inúmeras planilhas trigonométricas que lidam com as relações trigonométricas primárias recíprocas, quadrantes e ângulos, ângulos de referência e coterminais, planilhas do teorema de Pitágoras e muito mais.


Introdução aos Sistemas de Equações e Desigualdades

Em 1943, era óbvio para o regime nazista que a derrota era iminente, a menos que ele pudesse construir uma arma com poder destrutivo ilimitado, uma arma que nunca tinha sido vista antes na história do mundo. Em setembro, Adolf Hitler ordenou que cientistas alemães começassem a construir uma bomba atômica. Boatos e sussurros começaram a se espalhar pelo oceano. Refugiados e diplomatas contaram sobre os experimentos que estão acontecendo na Noruega. No entanto, Franklin D. Roosevelt não foi vendido e até mesmo duvidou do aviso do primeiro-ministro britânico Winston Churchill. Roosevelt queria provas inegáveis. Felizmente, ele logo recebeu a prova que queria quando um grupo de matemáticos decifrou o código “Enigma”, provando sem sombra de dúvida que Hitler estava construindo uma bomba atômica. No dia seguinte, Roosevelt deu ordem para que os Estados Unidos começassem a trabalhar no mesmo.

O Enigma é talvez o dispositivo criptográfico mais famoso já conhecido. É um exemplo do papel fundamental que a criptografia desempenhou na sociedade. Agora, a tecnologia mudou a criptoanálise para o mundo digital.

Muitas cifras são projetadas usando matrizes invertíveis como método de transferência de mensagem, já que encontrar o inverso de uma matriz geralmente faz parte do processo de decodificação. Além de conhecer a matriz e sua inversa, o receptor também deve conhecer a chave que, quando utilizada com a matriz inversa, permitirá a leitura da mensagem.

Neste capítulo, iremos investigar matrizes e seus inversos, e várias maneiras de usar matrizes para resolver sistemas de equações. Primeiro, entretanto, estudaremos sistemas de equações por conta própria: lineares e não lineares, e depois frações parciais. Não quebraremos nenhum código secreto aqui, mas lançaremos as bases para cursos futuros.

/>
Este trabalho está licenciado sob uma Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0.


Conteúdo

Nas seguintes equações diofantinas, C , x , y , e z são as incógnitas e as outras letras recebem constantes:

Edição de uma equação

A equação diofantina linear mais simples assume a forma machado + de = c , Onde uma , b e c recebem números inteiros. As soluções são descritas pelo seguinte teorema:

Esta equação diofantina tem uma solução (Onde x e y são inteiros) se e apenas se c é um múltiplo do maior divisor comum de uma e b . Além disso, se (x, y) é uma solução, então as outras soluções têm a forma (x + kv, yku) , Onde k é um número inteiro arbitrário e você e v são os quocientes de uma e b (respectivamente) pelo maior divisor comum de uma e b .

Prova: Se d é o maior divisor comum, a identidade de Bézout afirma a existência de inteiros e e f de tal modo que ae + bf = d . Se c é um múltiplo de d , então c = dh para algum inteiro h , e (Eh, fh) é uma solução. Por outro lado, para cada par de inteiros x e y , o maior divisor comum d do uma e b divide machado + de . Assim, se a equação tiver uma solução, então c deve ser um múltiplo de d . Se uma = ud e b = vd , então para cada solução (x, y) , temos

uma(x + kv) + b(yku) = machado + de + k(avbu) = machado + de + k(udvvdu) = machado + de ,

mostrando que (x + kv, yku) é outra solução. Finalmente, dadas duas soluções tais que machado1 + de1 = machado2 + de2 = c , deduz-se que você(x2x1) + v(y2y1) = 0. Como você e v são coprimos, o lema de Euclides mostra que v divide x2x1 , e, portanto, que existe um número inteiro k de tal modo que x2x1 = kv e y2y1 = −ku . Portanto, x2 = x1 + kv e y2 = y1ku , que completa a prova.

Teorema do resto chinês Editar

O teorema do resto chinês descreve uma classe importante de sistemas diofantinos lineares de equações: deixe n1, …, nk ser k inteiros em pares coprime maiores que um, uma1, …, umak ser k inteiros arbitrários, e N seja o produto n1nk . O teorema do resto chinês afirma que o seguinte sistema diofantino linear tem exatamente uma solução (x, x1, …, xk) de modo que 0 ≤ x & lt N , e que as outras soluções são obtidas adicionando-se x um múltiplo de N :

Sistema de equações diofantinas lineares Editar

Mais geralmente, cada sistema de equações diofantinas lineares pode ser resolvido computando a forma normal de Smith de sua matriz, de uma forma que é semelhante ao uso da forma escalonada de linha reduzida para resolver um sistema de equações lineares sobre um campo. Usando a notação de matriz, cada sistema de equações diofantinas lineares pode ser escrito

Onde UMA é um m × n matriz de inteiros, X é um n × 1 coluna de matriz de desconhecidos e C é um m × 1 matriz de coluna de inteiros.

O cálculo da forma normal de Smith de UMA fornece duas matrizes unimodulares (ou seja, matrizes que são invertíveis sobre os inteiros e têm ± 1 como determinante) você e V das respectivas dimensões m × m e n × n , de modo que a matriz

B = [beu,j] = UAV

é tal que beu,eu não é zero para eu não maior que algum número inteiro k , e todas as outras entradas são zero. O sistema a ser resolvido pode, portanto, ser reescrito como

B (V −1 X) = UC .

Chamando yeu as entradas de V −1 X e deu aqueles de D = UC , isso leva ao sistema

beu,eu yeu = deu para 1 ≤ euk , 0 yeu = deu para k & lt eun .

Este sistema é equivalente ao dado no seguinte sentido: Uma matriz de coluna de inteiros x é uma solução do sistema dado se e somente se x = Vy para alguma matriz de coluna de inteiros y de tal modo que De = D .

Conclui-se que o sistema tem uma solução se e somente se beu,eu divide deu para euk e deu = 0 para eu & gt k . Se esta condição for satisfeita, as soluções do sistema dado são

Onde hk+1, …, hn são inteiros arbitrários.

A forma normal de Hermite também pode ser usada para resolver sistemas de equações diofantinas lineares. No entanto, a forma normal de Hermite não fornece diretamente as soluções para obter as soluções da forma normal de Hermite, é necessário resolver sucessivamente várias equações lineares. No entanto, Richard Zippel escreveu que a forma normal de Smith "é um pouco mais do que realmente necessário para resolver equações diofantinas lineares. Em vez de reduzir a equação à forma diagonal, precisamos apenas torná-la triangular, que é chamada de forma normal de Hermite. A forma normal de Hermite é substancialmente mais fácil de calcular do que a forma normal de Smith. " [5]

A programação linear inteira equivale a encontrar algumas soluções inteiras (ótimas em certo sentido) de sistemas lineares que também incluem inequações. Assim, os sistemas de equações diofantinas lineares são básicos neste contexto, e os livros de programação inteira geralmente têm um tratamento de sistemas de equações diofantinas lineares. [6]

Uma equação diofantina homogênea é uma equação diofantina definida por um polinômio homogêneo. Uma equação típica é a equação do Último Teorema de Fermat

Como um polinômio homogêneo em n indeterminado define uma hipersuperfície no espaço projetivo de dimensão n - 1, resolver uma equação diofantina homogênea é o mesmo que encontrar os pontos racionais de uma hipersuperfície projetiva.

Resolver uma equação diofantina homogênea é geralmente um problema muito difícil, mesmo no caso não trivial mais simples de três indeterminados (no caso de dois indeterminados, o problema é equivalente a testar se um número racional é a d-ésima potência de outro número racional) . Uma testemunha da dificuldade do problema é o Último Teorema de Fermat (para d & gt 2, não há solução inteira para a equação acima), que precisou de mais de três séculos de esforços matemáticos para ser resolvida.

Para graus superiores a três, a maioria dos resultados conhecidos são teoremas que afirmam que não há soluções (por exemplo, o último teorema de Fermat) ou que o número de soluções é finito (por exemplo, teorema de Falting).

Para o grau três, existem métodos de solução geral, que funcionam em quase todas as equações encontradas na prática, mas nenhum algoritmo é conhecido que funcione para todas as equações cúbicas. [7]

Grau dois Editar

Equações diofantinas homogêneas de grau dois são mais fáceis de resolver. O método de solução padrão ocorre em duas etapas. É preciso primeiro encontrar uma solução ou provar que não há solução. Quando uma solução é encontrada, todas as soluções são deduzidas.

Para provar que não há solução, pode-se reduzir a equação módulo p. Por exemplo, a equação Diofantina

não tem outra solução senão a solução trivial (0, 0, 0). Na verdade, dividindo x, y e z por seu maior divisor comum, pode-se supor que são coprimos. Os quadrados módulo 4 são congruentes a 0 e 1. Assim, o lado esquerdo da equação é congruente a 0, 1 ou 2, e o lado direito é congruente a 0 ou 3. Assim, a igualdade pode ser obtida apenas E se x, y ez são todos pares e, portanto, não são coprimos. Portanto, a única solução é a solução trivial (0, 0, 0). Isso mostra que não há ponto racional em um círculo de raio 3, < displaystyle < sqrt <3>>,> centralizado na origem.

De forma mais geral, o princípio de Hasse permite decidir se uma equação Diofantina homogênea de grau dois tem uma solução inteira e calcular uma solução, se houver.

Se uma solução inteira não trivial for conhecida, pode-se produzir todas as outras soluções da seguinte maneira.

Interpretação geométrica Editar

onde k é qualquer número inteiro e d é o maior divisor comum de p 1. < displaystyle p_ <1>.>

Edição de Parametrização

Mais precisamente, pode-se proceder da seguinte forma.

Ao permutar os índices, pode-se supor, sem perda de generalidade, que a n ≠ 0. < displaystyle a_ neq 0.> Então, pode-se passar para o caso afim, considerando a hipersuperfície afim definida por

que tem o ponto racional

Se este ponto racional for um ponto singular, isto é, se todas as derivadas parciais forem zero em R, todas as retas que passam por R estão contidas na hipersuperfície e uma delas tem um cone. A mudança de variáveis

não muda os pontos racionais, e transforma q em um polinômio homogêneo em n - 1 variáveis. Nesse caso, o problema pode ser resolvido aplicando o método a uma equação com menos variáveis.

Se o polinômio q é um produto de polinômios lineares (possivelmente com coeficientes não racionais), então ele define dois hiperplanos. A intersecção desses hiperplanos é um plano racional e contém pontos racionais singulares. Este caso é, portanto, um caso especial do caso anterior.

No caso geral, vamos considerar a equação paramétrica de uma linha passando por R:

Então, pode-se voltar ao caso homogêneo. Deixe, para eu = 1, …, n ,


Conteúdo

Desde os tempos antigos, os humanos têm consciência do estresse dentro dos materiais. Até o século 17, a compreensão do estresse era em grande parte intuitiva e empírica e, ainda assim, resultou em uma tecnologia surpreendentemente sofisticada, como o arco composto e o sopro de vidro. [1]

Ao longo de vários milênios, arquitetos e construtores em particular aprenderam a montar vigas de madeira e blocos de pedra cuidadosamente moldados para suportar, transmitir e distribuir o estresse da maneira mais eficaz, com dispositivos engenhosos como capitéis, arcos, cúpulas, treliças e os arcobotantes das catedrais góticas.

Arquitetos antigos e medievais desenvolveram alguns métodos geométricos e fórmulas simples para calcular os tamanhos adequados de pilares e vigas, mas a compreensão científica do estresse só se tornou possível depois que as ferramentas necessárias foram inventadas nos séculos 17 e 18: o método experimental rigoroso de Galileu Galilei, Coordenadas e geometria analítica de René Descartes, e leis de movimento e equilíbrio de Newton e cálculo dos infinitesimais. [2] Com essas ferramentas, Augustin-Louis Cauchy foi capaz de fornecer o primeiro modelo matemático geral e rigoroso para tensões em um meio homogêneo. [ citação necessária ] Cauchy observou que a força através de uma superfície imaginária era uma função linear de seu vetor normal e, além disso, que deve ser uma função simétrica (com momento total zero). [ citação necessária ]

A compreensão da tensão em líquidos começou com Newton, que forneceu uma fórmula diferencial para as forças de atrito (tensão de cisalhamento) em escoamento laminar paralelo.

Edição de Definição

A tensão é definida como a força através de um "pequeno" limite por unidade de área desse limite, para todas as orientações do limite. [3] Sendo derivado de uma quantidade física fundamental (força) e uma quantidade puramente geométrica (área), a tensão também é uma quantidade fundamental, como velocidade, torque ou energia, que pode ser quantificada e analisada sem consideração explícita da natureza do material ou de suas causas físicas.

Seguindo as premissas básicas da mecânica do contínuo, o estresse é um conceito macroscópico. Ou seja, as partículas consideradas em sua definição e análise devem ser pequenas o suficiente para serem tratadas como homogêneas em composição e estado, mas ainda grandes o suficiente para ignorar os efeitos quânticos e os movimentos detalhados das moléculas. Assim, a força entre duas partículas é na verdade a média de um grande número de forças atômicas entre suas moléculas e quantidades físicas como massa, velocidade e forças que agem através da massa de corpos tridimensionais, como a gravidade, são consideradas distribuído suavemente sobre eles.[4]: p.90–106 Dependendo do contexto, pode-se também supor que as partículas são grandes o suficiente para permitir a média de outras características microscópicas, como os grãos de uma haste de metal ou as fibras de um pedaço de madeira.

Quantitativamente, o estresse é expresso pelo Vetor de tração cauchy T definido como a força de tração F entre as partes adjacentes do material através de uma superfície de separação imaginária S, dividido pela área de S. [5]: p.41–50 Em um fluido em repouso, a força é perpendicular à superfície e é a pressão familiar. Em um sólido, ou em um fluxo de líquido viscoso, a força F pode não ser perpendicular a S portanto, a tensão em uma superfície deve ser considerada uma grandeza vetorial, não um escalar. Além disso, a direção e a magnitude geralmente dependem da orientação de S. Assim, o estado de tensão do material deve ser descrito por um tensor, denominado tensor de tensão (Cauchy), que é uma função linear que relaciona o vetor normal n de uma superfície S ao estresse T através S. Com relação a qualquer sistema de coordenadas escolhido, o tensor de tensão de Cauchy pode ser representado como uma matriz simétrica de 3 × 3 números reais. Mesmo dentro de um corpo homogêneo, o tensor de tensão pode variar de um lugar para outro e pode mudar ao longo do tempo, portanto, a tensão dentro de um material é, em geral, um campo tensor variável no tempo.

Edição de tensão normal e de cisalhamento

Em geral, o estresse T que uma partícula P aplica-se em outra partícula Q através de uma superfície S pode ter qualquer direção em relação a S. O vetor T pode ser considerada como a soma de dois componentes: o Estresse normal (compressão ou tensão) perpendicular à superfície, e o tensão de cisalhamento que é paralelo à superfície.

Se o vetor de unidade normal n da superfície (apontando de Q em direção P) é assumido como fixo, o componente normal pode ser expresso por um único número, o produto escalar T · n . Este número será positivo se P está "puxando" Q (tensão de tração), e negativo se P está "empurrando" contra Q (tensão de compressão) O componente de cisalhamento é então o vetor T − (T · n)n .

Editar unidades

A dimensão da tensão é a da pressão e, portanto, suas coordenadas são comumente medidas nas mesmas unidades da pressão: a saber, pascal (Pa, ou seja, newtons por metro quadrado) no Sistema Internacional, ou libras por polegada quadrada (psi) no sistema imperial. Como as tensões mecânicas facilmente excedem um milhão de Pascal, MPa, que significa megapascal, é uma unidade comum de tensão.

Causas e efeitos Editar

O estresse em um corpo material pode ser devido a várias causas físicas, incluindo influências externas e processos físicos internos. Alguns desses agentes (como gravidade, mudanças de temperatura e fase e campos eletromagnéticos) atuam na maior parte do material, variando continuamente com a posição e o tempo. Outros agentes (como cargas externas e fricção, pressão ambiente e forças de contato) podem criar tensões e forças que se concentram em certas superfícies, linhas ou pontos e, possivelmente, também em intervalos de tempo muito curtos (como nos impulsos devido a colisões). Na matéria ativa, a autopropulsão de partículas microscópicas gera perfis de tensão macroscópicos. [7] Em geral, a distribuição de tensões em um corpo é expressa como uma função contínua por partes de espaço e tempo.

Por outro lado, o estresse é geralmente correlacionado com vários efeitos no material, possivelmente incluindo alterações nas propriedades físicas, como birrefringência, polarização e permeabilidade. A imposição de tensão por um agente externo geralmente cria alguma deformação (deformação) no material, mesmo que seja muito pequeno para ser detectado. Em um material sólido, tal deformação irá, por sua vez, gerar uma tensão elástica interna, análoga à força de reação de uma mola esticada, tendendo a restaurar o material ao seu estado original não deformado. Os materiais fluidos (líquidos, gases e plasmas), por definição, só podem se opor a deformações que alterariam seu volume. No entanto, se a deformação está mudando com o tempo, mesmo em fluidos geralmente haverá alguma tensão viscosa, opondo-se a essa mudança. Essas tensões podem ser de cisalhamento ou de natureza normal. A origem molecular das tensões de cisalhamento em fluidos é fornecida no artigo sobre viscosidade. O mesmo para tensões viscosas normais pode ser encontrado em Sharma (2019). [8]

A relação entre a tensão e seus efeitos e causas, incluindo deformação e taxa de mudança de deformação, pode ser bastante complicada (embora uma aproximação linear possa ser adequada na prática se as quantidades forem pequenas o suficiente). Tensão que excede certos limites de resistência do material resultará em deformação permanente (como fluxo de plástico, fratura, cavitação) ou até mesmo alterar sua estrutura cristalina e composição química.

Em algumas situações, a tensão dentro de um corpo pode ser adequadamente descrita por um único número ou por um único vetor (um número e uma direção). Tres dessas estresse simples situações, que são frequentemente encontradas em projetos de engenharia, são as estresse normal uniaxial, a tensão de cisalhamento simples, e as estresse normal isotrópico. [9]

Tensão normal uniaxial Editar

Uma situação comum com um padrão de tensão simples é quando uma haste reta, com material e seção transversal uniformes, é submetida à tensão por forças opostas de magnitude F < displaystyle F> ao longo de seu eixo. Se o sistema está em equilíbrio e não muda com o tempo, e o peso da barra pode ser desprezado, então, através de cada seção transversal da barra, a parte superior deve puxar a parte inferior com a mesma força, F com continuidade em toda a área da seção transversal, UMA. Portanto, a tensão σ ao longo da barra, em qualquer superfície horizontal, pode ser expressa simplesmente pelo único número σ, calculado simplesmente com a magnitude dessas forças, F, e área da seção transversal, UMA.

Este tipo de tensão pode ser chamado de tensão normal (simples) ou tensão uniaxial especificamente, (uniaxial, simples, etc.) tensão de tração. [9] Se a carga é compressão na barra, ao invés de esticá-la, a análise é a mesma, exceto que a força F e a tensão σ < displaystyle sigma> muda de sinal, e a tensão é chamada de tensão compressiva.

Esta análise assume que a tensão está uniformemente distribuída por toda a seção transversal. Na prática, dependendo de como a barra é fixada nas extremidades e como foi fabricada, essa suposição pode não ser válida. Nesse caso, o valor σ < displaystyle sigma> = F/UMA será apenas o estresse médio, chamado estresse de engenharia ou estresse nominal. No entanto, se o comprimento da barra eu é muitas vezes seu diâmetro D, e não tem defeitos grosseiros ou tensão embutida, então a tensão pode ser considerada uniformemente distribuída em qualquer seção transversal que é mais do que algumas vezes D de ambas as extremidades. (Esta observação é conhecida como princípio de Saint-Venant).

A tensão normal ocorre em muitas outras situações além da tensão axial e da compressão. Se uma barra elástica com seção transversal uniforme e simétrica for dobrada em um de seus planos de simetria, o resultado tensão de flexão ainda será normal (perpendicular à seção transversal), mas irá variar ao longo da seção transversal: a parte externa estará sob tensão de tração, enquanto a parte interna estará comprimida. Outra variante do estresse normal é o estresse de arco que ocorre nas paredes de um tubo cilíndrico ou vaso cheio de fluido pressurizado.

Edição de tensão de cisalhamento simples

Outro tipo simples de tensão ocorre quando uma camada uniformemente espessa de material elástico como cola ou borracha é firmemente fixada a dois corpos rígidos que são puxados em direções opostas por forças paralelas à camada ou a uma seção de uma barra de metal macio que está sendo cortada por as mandíbulas de uma ferramenta semelhante a uma tesoura. Deixar F seja a magnitude dessas forças, e M ser o plano médio dessa camada. Assim como no caso de estresse normal, a parte da camada em um lado do M deve puxar a outra parte com a mesma força F. Supondo que a direção das forças seja conhecida, a tensão através M pode ser expresso simplesmente por um único número τ < displaystyle tau>, calculado simplesmente com a magnitude dessas forças, F e a área da seção transversal, UMA.

Como no caso de uma barra carregada axialmente, na prática, a tensão de cisalhamento pode não ser distribuída uniformemente sobre a camada, então, como antes, a razão F/UMA será apenas uma tensão média ("nominal", "engenharia"). No entanto, essa média costuma ser suficiente para fins práticos. [10]: p.292 A tensão de cisalhamento é observada também quando uma barra cilíndrica, como um eixo, é submetida a torques opostos em suas extremidades. Nesse caso, a tensão de cisalhamento em cada seção transversal é paralela à seção transversal, mas orientada tangencialmente em relação ao eixo e aumenta com a distância do eixo. Tensão de cisalhamento significativa ocorre na placa intermediária (a "alma") das vigas I sob cargas de flexão, devido à alma que restringe as placas terminais ("flanges").

Edição de tensão isotrópica

Outro tipo simples de tensão ocorre quando o corpo material está sob compressão ou tensão igual em todas as direções. É o caso, por exemplo, de uma porção de líquido ou gás em repouso, seja encerrado em algum recipiente ou como parte de uma massa maior de fluido ou dentro de um cubo de material elástico que está sendo pressionado ou puxado em todas as seis faces por forças perpendiculares iguais - desde que, em ambos os casos, o material seja homogêneo, sem tensões internas, e que o efeito da gravidade e outras forças externas possam ser desprezados.

Nessas situações, a tensão em qualquer superfície interna imaginária acaba sendo igual em magnitude e sempre direcionada perpendicularmente à superfície, independentemente da orientação da superfície. Este tipo de estresse pode ser denominado isotrópico normal ou apenas isotrópico se for compressivo, é chamado pressão hidrostática ou apenas pressão. Os gases, por definição, não podem suportar tensões de tração, mas alguns líquidos podem suportar quantidades surpreendentemente grandes de tensões de tração isotrópicas em algumas circunstâncias. veja tubo Z.

Editar tensões do cilindro

Peças com simetria rotacional, como rodas, eixos, tubos e pilares, são muito comuns na engenharia. Freqüentemente, os padrões de tensão que ocorrem em tais peças têm simetria rotacional ou mesmo cilíndrica. A análise de tais tensões cilíndricas pode aproveitar a simetria para reduzir a dimensão do domínio e / ou do tensor de tensões.

O tensor de tensão de Cauchy Editar

As tensões combinadas não podem ser descritas por um único vetor. Mesmo que o material seja tensionado da mesma forma em todo o volume do corpo, a tensão em qualquer superfície imaginária dependerá da orientação dessa superfície, de forma não trivial.

para quaisquer vetores u, v < displaystyle u, v> e quaisquer números reais α, β < displaystyle alpha, beta>. A função σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >>>, agora chamada de tensor de tensão (Cauchy), descreve completamente o estado de tensão de um corpo uniformemente tenso. (Hoje, qualquer conexão linear entre duas grandezas vetoriais físicas é chamada de tensor, refletindo o uso original de Cauchy para descrever as "tensões" (tensões) em um material.) No cálculo tensorial, σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >> > é classificado como tensor de segunda ordem do tipo (0,2).

Como qualquer mapa linear entre vetores, o tensor de tensão pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas cartesianas escolhido por uma matriz 3 × 3 de números reais. Dependendo se as coordenadas são numeradas x 1, x 2, x 3 < displaystyle x_ <1>, x_ <2>, x_ <3>> ou nomeadas x, y, z < displaystyle x, y, z>, a matriz pode ser escrita como

Mudança de coordenadas Editar

O tensor de tensão de Cauchy obedece à lei de transformação do tensor sob uma mudança no sistema de coordenadas. Uma representação gráfica dessa lei de transformação é o círculo de distribuição de tensões de Mohr.

Tensão como um campo tensor Editar

Em geral, a tensão não é uniformemente distribuída ao longo de um corpo material e pode variar com o tempo. Portanto, o tensor de tensão deve ser definido para cada ponto e cada momento, considerando uma partícula infinitesimal do meio ao redor daquele ponto, e tomando as tensões médias nessa partícula como sendo as tensões no ponto.

Tensão em placas finas Editar

Os objetos feitos pelo homem são frequentemente feitos de placas de estoque de vários materiais por operações que não alteram seu caráter essencialmente bidimensional, como cortar, furar, dobrar suavemente e soldar ao longo das bordas. A descrição da tensão em tais corpos pode ser simplificada modelando essas peças como superfícies bidimensionais em vez de corpos tridimensionais.

Nessa visão, redefine-se uma "partícula" como sendo um retalho infinitesimal da superfície da placa, de modo que a fronteira entre as partículas adjacentes se torna um elemento de linha infinitesimal, ambas são implicitamente estendidas na terceira dimensão, normal (direto) à placa. "Tensão" é então redefinida como uma medida das forças internas entre duas "partículas" adjacentes em seu elemento de linha comum, dividido pelo comprimento dessa linha. Alguns componentes do tensor de tensão podem ser ignorados, mas como as partículas não são infinitesimais na terceira dimensão, não se pode mais ignorar o torque que uma partícula aplica em suas vizinhas. Esse torque é modelado como um tensão de flexão isso tende a alterar a curvatura da placa. No entanto, essas simplificações podem não se aplicar a soldas, em dobras e vincos agudos (onde o raio de curvatura é comparável à espessura da placa).

Tensão em vigas finas Editar

A análise da tensão pode ser consideravelmente simplificada também para barras finas, vigas ou fios de composição e seção transversal uniformes (ou que variam suavemente) que estão sujeitos a flexão e torção moderadas. Para esses corpos, pode-se considerar apenas seções transversais perpendiculares ao eixo da barra e redefinir uma "partícula" como sendo um pedaço de arame com comprimento infinitesimal entre duas dessas seções transversais. A tensão normal é então reduzida a um escalar (tensão ou compressão da barra), mas deve-se levar em consideração também um tensão de flexão (que tenta mudar a curvatura da barra, em alguma direção perpendicular ao eixo) e um estresse de torção (que tenta torcer ou não torcer em torno de seu eixo).

Outras descrições de estresse Editar

O tensor de tensão de Cauchy é usado para análise de tensão de corpos de material que experimentam pequenas deformações onde as diferenças na distribuição de tensão na maioria dos casos podem ser desprezadas. Para grandes deformações, também chamadas de deformações finitas, outras medidas de tensão, como o primeiro e o segundo tensores de tensão Piola – Kirchhoff, o tensor de tensão Biot e o tensor de tensão Kirchhoff, são necessárias.

Sólidos, líquidos e gases possuem campos de tensão. Os fluidos estáticos suportam a tensão normal, mas fluirão sob tensão de cisalhamento. Os fluidos viscosos em movimento podem suportar a tensão de cisalhamento (pressão dinâmica). Os sólidos podem suportar cisalhamento e tensão normal, com materiais dúcteis falhando sob cisalhamento e materiais frágeis falhando sob tensão normal. Todos os materiais têm variações dependentes da temperatura nas propriedades relacionadas à tensão, e os materiais não newtonianos têm variações dependentes da taxa.

A análise de tensão é um ramo da física aplicada que cobre a determinação da distribuição interna de forças internas em objetos sólidos. É uma ferramenta essencial da engenharia para o estudo e dimensionamento de estruturas como túneis, barragens, peças mecânicas e pórticos estruturais, sob cargas prescritas ou previstas. Também é importante em muitas outras disciplinas, por exemplo, em geologia, estudar fenômenos como placas tectônicas, vulcanismo e avalanches e, em biologia, compreender a anatomia dos seres vivos.

Metas e premissas Editar

A análise de tensão geralmente se preocupa com objetos e estruturas que podem ser considerados em equilíbrio estático macroscópico. Pelas leis de movimento de Newton, quaisquer forças externas aplicadas a tal sistema devem ser equilibradas por forças de reação internas, [11]: p.97 que quase sempre são forças de contato de superfície entre partículas adjacentes - isto é, como tensão. [5] Uma vez que cada partícula precisa estar em equilíbrio, essa tensão de reação geralmente se propaga de partícula a partícula, criando uma distribuição de tensão por todo o corpo.

O problema típico na análise de tensões é determinar essas tensões internas, dadas as forças externas que estão agindo no sistema. Estas últimas podem ser forças corporais (como gravidade ou atração magnética), que agem em todo o volume de um material [12]: p.42-81 ou cargas concentradas (como atrito entre um eixo e um rolamento, ou o peso de uma roda de trem em um trilho), que são imaginados para atuar sobre uma área bidimensional, ou ao longo de uma linha, ou em um único ponto.

Na análise de tensões, normalmente desconsideramos as causas físicas das forças ou a natureza precisa dos materiais. Em vez disso, assume-se que as tensões estão relacionadas à deformação (e, em problemas não estáticos, à taxa de deformação) do material por meio de equações constitutivas conhecidas. [13]

Métodos Editar

A análise de tensões pode ser realizada experimentalmente, aplicando cargas ao artefato real ou ao modelo em escala e medindo as tensões resultantes, por qualquer um dos vários métodos disponíveis. Essa abordagem é freqüentemente usada para certificação e monitoramento de segurança. No entanto, a maioria das análises de tensão é feita por métodos matemáticos, especialmente durante o projeto. O problema básico de análise de tensão pode ser formulado pelas equações de movimento de Euler para corpos contínuos (que são consequências das leis de Newton para a conservação do momento linear e do momento angular) e o princípio da tensão de Euler-Cauchy, juntamente com as equações constitutivas apropriadas. Assim, obtém-se um sistema de equações diferenciais parciais envolvendo o campo tensor de tensão e o campo tensor de deformação, como funções desconhecidas a serem determinadas. As forças externas do corpo aparecem como o termo independente ("lado direito") nas equações diferenciais, enquanto as forças concentradas aparecem como condições de contorno. O problema básico de análise de tensão é, portanto, um problema de valor limite.

A análise de tensões para estruturas elásticas é baseada na teoria da elasticidade e na teoria da deformação infinitesimal. Quando as cargas aplicadas causam deformação permanente, deve-se usar equações constitutivas mais complicadas, que possam dar conta dos processos físicos envolvidos (fluxo plástico, fratura, mudança de fase, etc.).

No entanto, as estruturas projetadas são geralmente projetadas de modo que as tensões máximas esperadas estejam bem dentro da faixa de elasticidade linear (a generalização da lei de Hooke para meios contínuos), ou seja, as deformações causadas por tensões internas estão linearmente relacionadas a elas. Nesse caso, as equações diferenciais que definem o tensor de tensão são lineares e o problema se torna muito mais fácil. Por um lado, a tensão em qualquer ponto também será uma função linear das cargas. Para tensões pequenas o suficiente, mesmo os sistemas não lineares geralmente podem ser considerados lineares.

A análise de tensões é simplificada quando as dimensões físicas e a distribuição das cargas permitem que a estrutura seja tratada como unidimensional ou bidimensional. Na análise de treliças, por exemplo, o campo de tensão pode ser assumido como uniforme e uniaxial sobre cada membro. Então, as equações diferenciais se reduzem a um conjunto finito de equações (geralmente lineares) com muitas incógnitas finitas. Em outros contextos, pode-se ser capaz de reduzir o problema tridimensional para um bidimensional e / ou substituir os tensores de tensão e deformação gerais por modelos mais simples, como tensão / compressão uniaxial, cisalhamento simples, etc.

Ainda assim, para casos bidimensionais ou tridimensionais, deve-se resolver um problema de equação diferencial parcial. Soluções analíticas ou de forma fechada para as equações diferenciais podem ser obtidas quando a geometria, as relações constitutivas e as condições de contorno são suficientemente simples. Caso contrário, deve-se geralmente recorrer a aproximações numéricas, como o método dos elementos finitos, o método das diferenças finitas e o método dos elementos de fronteira.

Outras medidas de tensão úteis incluem o primeiro e o segundo tensores de tensão Piola-Kirchhoff, o tensor de tensão Biot e o tensor de tensão Kirchhoff.

Tensor de tensão Piola – Kirchhoff Editar

No caso de deformações finitas, o Tensores de estresse Piola-Kirchhoff expressar a tensão em relação à configuração de referência. Isso está em contraste com o tensor de tensão de Cauchy, que expressa a tensão em relação à configuração atual. Para deformações e rotações infinitesimais, os tensores de Cauchy e Piola-Kirchhoff são idênticos.

Enquanto o tensor de tensão de Cauchy σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >>> relaciona tensões na configuração atual, o gradiente de deformação e os tensores de deformação são descritos relacionando o movimento à configuração de referência, portanto, nem todos os tensores descrevem o estado do o material está na configuração de referência ou atual. Descrever a tensão, deformação e deformação na configuração de referência ou atual tornaria mais fácil definir modelos constitutivos (por exemplo, o tensor de tensão de Cauchy é variante de uma rotação pura, enquanto o tensor de deformação de deformação é invariante, criando assim problemas na definição de um modelo constitutivo que relaciona um tensor variável, em termos de um invariante durante a rotação pura, pois, por definição, os modelos constitutivos têm que ser invariantes às rotações puras). O primeiro tensor de tensão Piola – Kirchhoff, P < displaystyle < boldsymbol

>> é uma solução possível para este problema. Ele define uma família de tensores, que descreve a configuração do corpo no estado atual ou no estado de referência.

Em termos de componentes com respeito a uma base ortonormal, a primeira tensão Piola-Kirchhoff é dada por

P i L = J σ i k F L k - 1 = J σ i k ∂ X L ∂ x k < displaystyle P_= J

Por relacionar diferentes sistemas de coordenadas, a 1ª tensão Piola – Kirchhoff é um tensor de dois pontos. Em geral, não é simétrico. O primeiro estresse Piola-Kirchhoff é a generalização 3D do conceito 1D de estresse de engenharia.

Se o material gira sem uma mudança no estado de tensão (rotação rígida), os componentes do primeiro tensor de tensão Piola – Kirchhoff irão variar com a orientação do material.

A 1ª tensão Piola-Kirchhoff é energia conjugada ao gradiente de deformação.

2º tensor de tensão Piola-Kirchhoff Editar

Em notação de índice com relação a uma base ortonormal,

S I L = J F I k - 1 F L m - 1 σ k m = J ∂ X I ∂ x k ∂ X L ∂ x m σ k m < displaystyle S_= J

Este tensor, um tensor de um ponto, é simétrico.

Se o material gira sem uma mudança no estado de tensão (rotação rígida), os componentes do segundo tensor de tensão Piola – Kirchhoff permanecem constantes, independentemente da orientação do material.

O segundo tensor de tensão Piola-Kirchhoff é energia conjugada ao tensor de deformação finita de Green-Lagrange.