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8.1: Simplifique Expressões Racionais - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Determine os valores para os quais uma expressão racional é indefinida
  • Avalie expressões racionais
  • Simplifique as expressões racionais
  • Simplifique expressões racionais com fatores opostos

Observação

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Se você perder um problema, volte para a seção listada e analise o material.

  1. Simplifique: ( dfrac {90y} {15y ^ 2} ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 6.5.22.
  2. Fator: (6x ^ 2−7x + 2 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 7.3.16.
  3. Fator: (n ^ 3 + 8 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 7.4.36.

No Capítulo 1, revisamos as propriedades das frações e suas operações. Introduzimos números racionais, que são apenas frações em que os numeradores e denominadores são inteiros e o denominador não é zero.

Neste capítulo, trabalharemos com frações cujos numeradores e denominadores são polinômios. Chamamos essas expressões racionais.

Definição: EXPRESSÃO RACIONAL

UMA expressão racional é uma expressão da forma ( dfrac {p (x)} {q (x)} ), onde (p ) e (q ) são polinômios e (q ne 0 ).

Lembre-se, a divisão por (0 ) é indefinida.

Aqui estão alguns exemplos de expressões racionais:

[ begin {array} {cccc} {- dfrac {13} {42}} & { dfrac {7y} {8z}} & { dfrac {5x + 2} {x ^ 2−7}} & { dfrac {4x ^ 2 + 3x − 1} {2x − 8}} nonumber end {array} ]

Observe que a primeira expressão racional listada acima, (- dfrac {13} {42} ), é apenas uma fração. Como uma constante é um polinômio com grau zero, a proporção de duas constantes é uma expressão racional, desde que o denominador não seja zero.

Vamos realizar as mesmas operações com expressões racionais que fazemos com frações. Vamos simplificar, adicionar, subtrair, multiplicar, dividir e usá-los em aplicativos.

Determine os valores para os quais uma expressão racional é indefinida

Quando trabalhamos com uma fração numérica, é fácil evitar a divisão por zero, porque podemos ver o número no denominador. Para evitar a divisão por zero em uma expressão racional, não devemos permitir valores da variável que fará o denominador ser zero.

Se o denominador for zero, a expressão racional é indefinida. O numerador de uma expressão racional pode ser (0 ) - mas não o denominador.

Portanto, antes de iniciar qualquer operação com uma expressão racional, examinamos primeiro para encontrar os valores que tornariam o denominador zero. Dessa forma, quando resolvermos uma equação racional, por exemplo, saberemos se as soluções algébricas que encontramos são permitidas ou não.

Definição: DETERMINE OS VALORES PARA OS QUAIS UMA EXPRESSÃO RACIONAL NÃO É DEFINIDA.

  1. Defina o denominador igual a zero.
  2. Resolva a equação no conjunto de reais, se possível.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Determine os valores para os quais a expressão racional é indefinida:

  1. ( dfrac {9y} {x} )
  2. ( dfrac {4b − 3} {2b + 5} )
  3. ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} )
Responder

A expressão será indefinida quando o denominador for zero.

1. ( dfrac {9y} {x} )
Defina o denominador igual a zero. Resolva para a variável. (x = 0 )
( dfrac {9y} {x} ) é indefinido para (x = 0 ).
2.

( dfrac {4b − 3} {2b + 5} )

Defina o denominador igual a zero. Resolva para a variável. (2b + 5 = 0 )
(2b = −5 )
(b = - dfrac {5} {2} )
( dfrac {4b − 3} {2b + 5} ) é indefinido para (b = - dfrac {5} {2} ).
3. ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} )
Defina o denominador igual a zero. Resolva para a variável. (x ^ 2 + 5x + 6 = 0 )
((x + 2) (x + 3) = 0 )
(x + 2 = 0 ) ou (x + 3 = 0 )
(x = −2 ) ou (x = −3 )
( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} ) é indefinido para (x = −2 ) ou (x = −3 ).

Dizer que a expressão racional ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} ) é indefinida para (x = −2 ) ou (x = −3 ) é semelhante a escrever o frase “nulo onde for proibido” nas regras do concurso.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Determine os valores para os quais a expressão racional é indefinida:

  1. ( dfrac {3y} {x} )
  2. ( dfrac {8n − 5} {3n + 1} )
  3. ( dfrac {a + 10} {a ^ 2 + 4a + 3} )
Responder
  1. (x = 0 )
  2. (n = - dfrac {1} {3} )
  3. (a = −1 ), (a = −3 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Determine os valores para os quais a expressão racional é indefinida:

  1. ( dfrac {4p} {5q} )
  2. ( dfrac {y − 1} {3y + 2} )
  3. ( dfrac {m − 5} {m ^ 2 + m − 6} )
Responder
  1. (q = 0 )
  2. (y = - dfrac {2} {3} )
  3. (m = 2, , m = −3 )

Avalie Expressões Racionais

Para avaliar uma expressão racional, substituímos os valores das variáveis ​​na expressão e simplificamos, assim como fizemos com muitas outras expressões neste livro.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Avalie ( dfrac {y + 1} {2y − 3} ) para cada valor:

  1. (y = 1 )
  2. (y = -3 )
  3. (y = 0 )
Responder
  1. (−2)
  2. ( dfrac {2} {9} )
  3. (- dfrac {1} {3} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Avalie ( dfrac {5x − 1} {2x + 1} ) para cada valor:

  1. (x = 1 )
  2. (x = -1 )
  3. (x = 0 )
Responder
  1. ( dfrac {4} {3} )
  2. (6)
  3. (−1)

Exemplo ( PageIndex {8} )

Avalie ( dfrac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2−3x + 2} ) para cada valor:

  1. (x = 0 )
  2. (x = -1 )
  3. (x = 3 )
Responder
  1. ( dfrac {1} {2} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. (2)

Exemplo ( PageIndex {9} )

Avalie ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−9} ) para cada valor.

  1. (x = 0 )
  2. (x = -2 )
  3. (x = 1 )
Responder
  1. ( dfrac {2} {3} )
  2. ( dfrac {4} {5} )
  3. ( dfrac {1} {2} )

Lembre-se de que uma fração é simplificada quando não possui fatores comuns, além de 1, em seu numerador e denominador. Quando avaliamos uma expressão racional, certificamo-nos de simplificar a fração resultante.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Avalie ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) para cada valor.

  1. (a = 1, , b = 2 )
  2. (a = −2, , b = −1 )
  3. (a = dfrac {1} {3} ), (b = 0 )
Responder
1. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) quando (a = 1, , b = 2 )
Simplificar.
2. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) quando (a = −2, , b = −1 )
Simplificar.
3. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) quando (a = dfrac {1} {3} ), (b = 0 )
Simplificar.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Avalie ( dfrac {2a ^ {3} b} {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} ) para cada valor.

  1. (a = −1, , b = 2 )
  2. (a = 0, , b = −1 )
  3. (a = 1 ), (b = dfrac {1} {2} )
Responder
  1. (−4)
  2. (0)
  3. ( dfrac {4} {9} )

Exemplo ( PageIndex {12} )

Avalie ( dfrac {a ^ 2 − b ^ 2} {8ab ^ 3} ) para cada valor:

  1. (a = 1, , b = −1 )
  2. (a = dfrac {1} {2} ), (b = −1 )
  3. (a = −2, , b = 1 )
Responder
  1. (0)
  2. ( dfrac {3} {16} )
  3. ( dfrac {3} {16} )

Simplifique as Expressões Racionais

Assim como uma fração é considerada simplificada se não houver fatores comuns, além de (1 ), em seu numerador e denominador, uma expressão racional é simplificado se não tiver fatores comuns, exceto (1 ), em seu numerador e denominador.

Definição: EXPRESSÃO RACIONAL SIMPLIFICADA

Uma expressão racional é considerada simplificada se não houver fatores comuns em seu numerador e denominador.

Por exemplo:

  • ( dfrac {2} {3} ) é simplificado porque não há fatores comuns de (2 ) e (3 ).
  • ( dfrac {2x} {3x} ) não é simplificado porque (x ) é um fator comum de (2x ) e (3x ).

Usamos a propriedade de frações equivalentes para simplificar as frações numéricas. Nós o reafirmamos aqui, pois também o usaremos para simplificar expressão racionals.

Definição: PROPRIEDADE DE FRAÇÕES EQUIVALENTES

Se (a ), (b ) e (c ) são números onde (b ne 0 ), (c ne 0 ), então [ dfrac {a} {b } = dfrac {a · c} {b · c} quad text {e} quad dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b} ]

Observe que na propriedade de frações equivalentes, os valores que tornariam os denominadores zero não são permitidos especificamente. Vemos (b ne 0 ), (c ne 0 ) claramente declarado. Cada vez que escrevemos uma expressão racional, devemos fazer uma declaração semelhante, desautorizando valores que tornariam um denominador zero. No entanto, para que possamos nos concentrar no trabalho em questão, omitiremos escrevê-lo nos exemplos.

Vamos começar revisando como simplificamos as frações numéricas.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Simplifique: (- dfrac {36} {63} ).

Responder
Reescreva o numerador e denominador mostrando os fatores comuns.
Simplifique usando a propriedade de frações equivalentes.

Observe que a fração (- dfrac {4} {7} ) é simplificada porque não há mais fatores comuns.

ExAMPLe ( PageIndex {14} )

Simplifique: (- dfrac {45} {81} ).

Responder

(- dfrac {5} {9} )

Exemplo ( PageIndex {15} )

Simplifique: (- dfrac {42} {54} ).

Responder

(- dfrac {7} {9} )

Ao longo deste capítulo, assumiremos que todos os valores numéricos que tornariam o denominador zero serão excluídos. Não escreveremos as restrições para cada expressão racional, mas tenha em mente que o denominador nunca pode ser zero. Portanto, neste próximo exemplo, (x ne 0 ) e (y ne 0 ).

Exemplo ( PageIndex {16} )

Simplifique: ( dfrac {3xy} {18x ^ {2} y ^ {2}} ).

Responder
Reescreva o numerador e denominador mostrando os fatores comuns.
Simplifique usando a propriedade de frações equivalentes.

Você notou que essas são as mesmas etapas que tomamos quando dividimos os monômios em Polinômios?

Exemplo ( PageIndex {17} )

Simplifique: ( dfrac {4x ^ {2} y} {12xy ^ 2} ).

Responder

( dfrac {x} {3y} )

Exemplo ( PageIndex {18} )

Simplifique: ( dfrac {16x ^ {2} y} {2xy ^ 2} ).

Responder

( dfrac {8x} {y} )

Para simplificar as expressões racionais, primeiro escrevemos o numerador e o denominador de forma fatorada. Em seguida, removemos os fatores comuns usando a propriedade de frações equivalentes.

Tenha muito cuidado ao remover fatores comuns. Fatores são multiplicados para fazer um produto. Você pode remover um fator de um produto. Você não pode remover um termo de uma soma.

Observe que remover o x'S de ( dfrac {x + 5} {x} ) seria como cancelar os 2 na fração ( dfrac {2 + 5} {2} )!

Como Simplificar Binômios Racionais

Exemplo ( PageIndex {19} )

Simplifique: ( dfrac {2x + 8} {5x + 20} ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {20} )

Simplifique: ( dfrac {3x − 6} {2x − 4} ).

Responder

( dfrac {3} {2} )

Exemplo ( PageIndex {21} )

Simplifique: ( dfrac {7y + 35} {5y + 25} ).

Responder

( dfrac {7} {5} )

Agora resumimos as etapas que você deve seguir para simplificar as expressões racionais.

Definição: SIMPLIFICAR UMA EXPRESSÃO RACIONAL.

  1. Fatore o numerador e o denominador completamente.
  2. Simplifique dividindo os fatores comuns.

Normalmente, deixamos a expressão racional simplificada na forma fatorada. Desta forma, é fácil verificar se todos os fatores comuns foram removidos!

Usaremos os métodos que abordamos em Factoring para fatorar os polinômios nos numeradores e denominadores nos exemplos a seguir.

Exemplo ( PageIndex {22} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} ).

Responder
( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} )
Fatore o numerador e o denominador. ( dfrac {(x + 2) (x + 3)} {(x + 2) (x + 6)} )
Remova o fator comum (x + 2 ) do numerador e do denominador. ( dfrac {x + 3} {x + 6} )

Você pode dizer quais valores de (x ) devem ser excluídos neste exemplo?

Exemplo ( PageIndex {23} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).

Responder

( dfrac {x + 1} {x − 1} )

Exemplo ( PageIndex {24} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).

Responder

( dfrac {x − 5} {x − 1} )

Exemplo ( PageIndex {25} )

Simplifique: ( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).

Responder
( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).
Fatore o numerador e o denominador. ( dfrac {(y + 7) (y − 6)} {(y + 6) (y − 6)} )
Remova o fator comum (y − 6 ) do numerador e do denominador. ( dfrac {y + 7} {y + 6} )

Exemplo ( PageIndex {26} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−4} ).

Responder

( dfrac {x + 3} {x + 2} )

Exemplo ( PageIndex {27} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + 8x + 7} {x ^ 2−49} ).

Responder

( dfrac {x + 1} {x − 7} )

Exemplo ( PageIndex {28} )

Simplifique: ( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} ).

Responder
( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} )
Fatore o numerador e o denominador, usando agrupamento para fatorar o numerador. ( dfrac {p ^ 2 (p − 2) +2 (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
( dfrac {(p ^ 2 + 2) (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
Remova o fator comum (p − 2 ) do numerador e do denominador. ( dfrac {p ^ 2 + 2} {p − 5} )

Exemplo ( PageIndex {29} )

Simplifique: ( dfrac {y ^ 3−3y ^ 2 + y − 3} {y ^ 2 − y − 6} ).

Responder

( dfrac {y ^ 2 + 1} {y + 2} )

Exemplo ( PageIndex {30} )

Simplifique: ( dfrac {p ^ 3 − p ^ 2 + 2p − 2} {p ^ 2 + 4p − 5} ).

Responder

( dfrac {p ^ 2 + 2} {p + 5} )

Exemplo ( PageIndex {31} )

Simplifique: ( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} ).

Responder
( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} )
Fatore o numerador e o denominador, primeiro fatorando o GCF. ( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n ^ 2−4n − 12)} )
( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n − 6) (n + 2)} )
Remova o fator comum, (2 ). ( dfrac {n (n − 7)} {2 (n − 6) (n + 2)} )

Exemplo ( PageIndex {32} )

Simplifique: ( dfrac {2n ^ 2−10n} {4n ^ 2−16n − 20} ).

Responder

( dfrac {n} {2 (n + 1)} )

Exemplo ( PageIndex {33} )

Simplifique: ( dfrac {4x ^ 2−16x} {8x ^ 2−16x − 64} ).

Responder

( dfrac {x} {2 (x + 2)} )

Exemplo ( PageIndex {34} )

Simplifique: ( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} ).

Responder
( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} )
Fatore o numerador e o denominador, primeiro fatorando o GCF. ( dfrac {3 (b ^ 2−4b + 4)} {6 (b ^ 2−4)} )
( dfrac {3 (b − 2) (b − 2)} {6 (b − 2) (b + 2)} )
Remova os fatores comuns de (b − 2 ) e (3 ). ( dfrac {3 (b − 2)} {2 (b + 2)} )

Exemplo ( PageIndex {35} )

Simplifique: ( dfrac {2x ^ 2−12x + 18} {3x ^ 2−27} ).

Responder

( dfrac {2 (x − 3)} {3 (x + 3)} )

Exemplo ( PageIndex {36} )

Simplifique: ( dfrac {5y ^ 2−30y + 25} {2y ^ 2−50} ).

Responder

( dfrac {5 (x − 1)} {2 (x + 5)} )

Exemplo ( PageIndex {37} )

Simplifique: ( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} ).

Responder
( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} )
Fatore o numerador e o denominador, usando as fórmulas para soma de cubos e diferença de quadrados. ( dfrac {(m + 2) (m ^ 2−2m + 4)} {(m + 2) (m − 2)} )
Remova os fatores comuns de (m + 2 ). ( dfrac {m ^ 2−2m + 4} {m − 2} )

Exemplo ( PageIndex {38} )

Simplifique: ( dfrac {p ^ 3−64} {p ^ 2−16} ).

Responder

( dfrac {p ^ 2 + 4p + 16} {p + 4} )

Exemplo ( PageIndex {39} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 3 + 8} {x ^ 2−4} ).

Responder

( dfrac {x ^ 2−2x + 4} {x − 2} )

Simplifique Expressões Racionais com Fatores Opostos

Agora veremos como simplificar uma expressão racional cujo numerador e denominador têm fatores opostos. Vamos começar com uma fração numérica, digamos ( dfrac {7} {- 7} ).

Sabemos que essa fração simplifica para (- 1 ). Também reconhecemos que o numerador e o denominador são opostos.

Em Fundações, introduzimos a notação oposta: o oposto de a é (- a ). Lembramos, também, que (- a = −1 · a )

Simplificamos a fração ( dfrac {a} {- a} )

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {a} {- a}} { text {Podemos reescrever isto.}} & { dfrac {1 · a} {- 1 · a}} { text {Remova os fatores comuns.}} & { dfrac {1} {- 1}} { text {Simplifique.}} & {- 1} nonumber end { variedade}]

Então, da mesma forma, podemos simplificar a fração ( dfrac {x − 3} {- (x − 3)} )

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {x − 3} {- (x − 3)}} { text {Podemos reescrever isto.}} & { dfrac {1 · (x − 3)} {- 1 · (x − 3)}} { text {Remova os fatores comuns.}} & { dfrac {1} {- 1}} { text {Simplifique. }} & {- 1} nonumber end {array} ]

Mas o oposto de (x − 3 ) poderia ser escrito de forma diferente:

[ begin {array} {ll} {} & {- (x − 3)} { text {Distribuir.}} & {- x + 3} { text {Reescrever.}} & { 3 − x} nonumber end {array} ]

Isso significa que a fração ( dfrac {x − 3} {3 − x} ) simplifica para (- 1 ).

Em geral, poderíamos escrever o oposto de (a − b ) como (b − a ). Portanto, a expressão racional ( dfrac {a − b} {b − a} ) simplifica para (- 1 ).

Definição: OPOSTOS EM UMA EXPRESSÃO RACIONAL

O oposto (a − b ) é (b − a )

( dfrac {a − b} {b − a} = - 1 ), (a ne b )

Uma expressão e seu oposto se dividem em (- 1 )

Usaremos esta propriedade para simplificar expressões racionais que contêm opostos em seus numeradores e denominadores.

Exemplo ( PageIndex {40} )

Simplifique: ( dfrac {x − 8} {8 − x} ).

Responder
( dfrac {x − 8} {8 − x} ).
Reconheça que (x − 8 ) e (8 − x ) são opostos−1

Exemplo ( PageIndex {41} )

Simplifique: ( dfrac {y − 2} {2 − y} ).

Responder

(−1)

Exemplo ( PageIndex {42} )

Simplifique: ( dfrac {n − 9} {9 − n} ).

Responder

(−1)

Lembre-se de que o primeiro passo para simplificar uma expressão racional é fatorar o numerador e o denominador completamente.

Exemplo ( PageIndex {43} )

Simplifique: ( dfrac {14−2x} {x ^ 2−49} ).

Responder
Fatore o numerador e o denominador.
Reconheça que (7 − x ) e (x − 7 ) são opostos.
Simplificar.

Exemplo ( PageIndex {44} )

Simplifique: ( dfrac {10−2y} {y ^ 2−25} ).

Responder

(- dfrac {2} {y + 5} )

Exemplo ( PageIndex {45} )

Simplifique: ( dfrac {3y − 27} {81 − y ^ 2} ).

Responder

(- dfrac {3} {9 + y} )

Exemplo ( PageIndex {46} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} ).

Responder
Fatore o numerador e o denominador.
Reconheça os fatores que são opostos.
Simplificar.

Exemplo ( PageIndex {47} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 5} {25 − x ^ 2} ).

Responder

(- dfrac {x + 1} {x + 5} )

Exemplo ( PageIndex {48} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).

Responder

(- dfrac {x + 2} {x + 1} )

Conceitos chave

  • Determine os valores para os quais uma expressão racional é indefinida
    1. Defina o denominador igual a zero.
    2. Resolva a equação, se possível.
  • Expressão Racional Simplificada
    • Uma expressão racional é considerada simplificada se não houver fatores comuns em seu numerador e denominador.
  • Simplifique uma Expressão Racional
    1. Fatore o numerador e o denominador completamente.
    2. Simplifique dividindo os fatores comuns.
  • Opostos em uma expressão racional
    • O oposto de (a − b ) é (b − a ).
      ( dfrac {a − b} {b − a} = - 1 ) (a ne b ), (b ne 0 ), (a ne b )

Glossário

expressão racional
Uma expressão racional é uma expressão da forma ( dfrac {p} {q} ), onde (p ) e (q ) são polinômios e (q ne 0 ).


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