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4.7: Integração Dupla com Coordenadas Polares


Usamos integrais iterados para avaliar integrais duplos, que fornecem o volume assinado sob uma superfície, (z = f (x, y) ), sobre uma região (R ) do plano (xy ). O integrando é simplesmente (f (x, y) ), e os limites das integrais são determinados pela região (R ).

Algumas regiões (R ) são fáceis de descrever usando coordenadas retangulares - isto é, com equações da forma (y = f (x) ), (x = a ), etc. No entanto, algumas regiões são mais fácil de manusear se representarmos seus limites com equações polares da forma (r = f ( theta) ), ( theta = alpha ), etc.

A forma básica da integral dupla é ( displaystyle iint_R f (x, y) dA ). Interpretamos essa integral da seguinte forma: sobre a região (R ), somamos muitos produtos de alturas (dados por (f (x_i, y_i) )) e áreas (dados por ( Delta A_i )) . Ou seja, (dA ) representa "um pouco de área. '' Em ​​coordenadas retangulares, podemos descrever um pequeno retângulo como tendo área (dx dy ) ou (dy , dx ) - o a área de um retângulo é simplesmente comprimento ( times ) largura - uma pequena mudança em (x ) vezes uma pequena mudança em (y ). Assim, substituímos (dA ) na integral dupla por (dx , dy ) ou (dy , dx ).

FIGURA ( PageIndex {1} label {double_pol_intro} )

Agora considere representar uma região (R ) com coordenadas polares. Considere a Figura ( PageIndex {1} ) (a). Seja (R ) a região no primeiro quadrante limitada pela curva. Podemos aproximar essa região usando a forma natural das coordenadas polares: porções de setores de círculos. Na figura, uma dessas regiões está sombreada, mostrada novamente na parte (b) da figura.

Como a área de um setor de um círculo com raio (r ), subtendida por um ângulo ( theta ), é (A = frac12r ^ 2 theta ), podemos encontrar a área do sombreado região. Todo o setor possui área ( frac12r_2 ^ 2 Delta theta ), enquanto o setor menor, sem sombra, possui área ( frac12r_1 ^ 2 Delta theta ). A área da região sombreada é a diferença dessas áreas:
$$ Delta A_i = frac12r_2 ^ 2 Delta theta- frac12r_1 ^ 2 Delta theta = frac12 big (r_2 ^ 2-r_1 ^ 2 big) big ( Delta theta big) = frac {r_2 + r_1} {2} big (r_2-r_1 big) Delta theta. $$

Observe que ((r_2 + r_1) / 2 ) é apenas a média dos dois raios.

Para aproximar a região (R ), usamos muitas dessas sub-regiões; fazer isso diminui a diferença (r_2-r_1 ) entre os raios para 0 e diminui a mudança no ângulo ( Delta theta ) também para 0. Representamos essas mudanças infinitesimais no raio e ângulo como (dr ) e (d theta ), respectivamente. Finalmente, como (dr ) é pequeno, (r_2 approx r_1 ), e assim ((r_2 + r_1) / 2 approx r_1 ). Assim, quando (dr ) e (d theta ) são pequenos,
$$ Delta A_i approx r_i , dr , d theta. $$

Tomando um limite, onde o número de sub-regiões vai para o infinito e ambos (r_2-r_1 ) e ( Delta theta ) vão para 0, obtemos [dA = r , dr , d theta. ]

Portanto, para avaliar ( displaystyle iint_Rf (x, y) dA ), substitua (dA ) por (r , dr , d theta ). Converta a função (z = f (x, y) ) em uma função com coordenadas polares com as substituições (x = r cos theta ), (y = r sin theta ). Finalmente, encontre os limites (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) e ( alpha leq theta leq beta ) que descrevem (R ). Este é o princípio-chave desta seção, então o reafirmamos aqui como uma ideia-chave.

ideia-chave: Avaliando Integrais Duplos com Coordenadas Polares

Seja (R ) uma região plana limitada pelas equações polares ( alpha leq theta leq beta ) e (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ). Então
$$ iint_Rf (x, y) dA = int_ alpha ^ beta int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} f big (r cos theta, r sin theta big) , r , dr , d theta. $$

Os exemplos nos ajudarão a entender essa ideia-chave.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando uma integral dupla com coordenadas polares

Encontre o volume sinalizado sob o plano (z = 4-x-2y ) sobre o círculo com a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

SOLUÇÃO

Os limites da integral são determinados exclusivamente pela região (R ) sobre a qual estamos integrando. Neste caso, é um círculo com a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Precisamos encontrar limites polares para esta região. Pode ser útil revisar a Seção ref {sec: polar}; os limites para este círculo são (0 leq r leq 1 ) e (0 leq theta leq 2 pi ).

Substituímos (f (x, y) ) por (f (r cos theta, r sin theta) ). Isso significa que fazemos as seguintes substituições:

$$ 4-x-2y quad Rightarrow quad 4-r cos theta-2r sin theta. $$

Finalmente, substituímos (dA ) na integral dupla por (r , dr , d theta ). Isso dá a integral iterada final, que avaliamos:

[ begin {align *}
iint_Rf (x, y) dA & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4-r cos theta-2r sin theta big) r , dr , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4r-r ^ 2 ( cos theta-2 sin theta) big) dr , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (2r ^ 2- frac13r ^ 3 ( cos theta-2 sin theta) right) right | _0 ^ 1d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left (2- frac13 big ( cos theta-2 sin theta big) right) d theta
& = left. left (2 theta - frac13 big ( sin theta + 2 cos theta big) right) right | _0 ^ {2 pi}
& = 4 pi aproximadamente 12,566.
end {align *} ]

FIGURA ( PageIndex {2} )

A superfície e região (R ) são mostradas na Figura ( PageIndex {2} ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando uma integral dupla com coordenadas polares

Encontre o volume sob o parabolóide (z = 4- (x-2) ^ 2-y ^ 2 ) sobre a região delimitada pelos círculos ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e ((x-2) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ).

SOLUÇÃO

À primeira vista, parece um volume muito difícil de calcular, pois a região (R ) (mostrada na Figura ref {fig: doublepol2} (a)) tem um buraco, cortando uma parte estranha da superfície , conforme mostrado na parte (b) da figura. No entanto, ao descrever (R ) em termos de equações polares, o volume não é muito difícil de calcular.

FIGURA ( PageIndex {3} )

É direto mostrar que o círculo ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) tem a equação polar (r = 2 cos theta ), e que o círculo ((x-2 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) tem a equação polar (r = 4 cos theta ). Cada um desses círculos é traçado no intervalo (0 leq theta leq pi ). Os limites em (r ) são (2 cos theta leq r leq 4 cos theta. )

Substituir (x ) por (r cos theta ) no integrando, junto com substituir (y ) por (r sin theta ), nos prepara para avaliar a integral dupla ( displaystyle iint_Rf (x, y) dA ):

[ begin {align *}
iint_Rf (x, y) dA & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} Big (4- big (r cos theta-2 grande) ^ 2- grande (r sin theta grande) ^ 2 Grande) r , dr , d theta
% & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (r ^ 3 cos ^ 2 theta + r ^ 3 sin ^ 2 theta - 4r ^ 2 cos theta + 4r big) dr , d theta
& = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (-r ^ 3 + 4r ^ 2 cos theta big) dr , d theta
& = int_0 ^ pi left. left (- frac14r ^ 4 + frac43r ^ 3 cos theta right) right | _ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} d theta
& = int_0 ^ pi left ( left [- frac14 (256 cos ^ 4 theta) + frac43 (64 cos ^ 4 theta) right] - right.
& left. left [- frac14 (16 cos ^ 4 theta) + frac43 (8 cos ^ 4 theta) right] right) d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta , d theta. end {align *} ]

Para integrar ( cos ^ 4 theta ), reescreva-o como ( cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta ) e empregue a fórmula de redução de energia duas vezes:

[ begin {align *} cos ^ 4 theta & = cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta
& = frac12 big (1+ cos (2 theta) big) frac12 big (1+ cos (2 theta) big)
& = frac14 big (1 + 2 cos (2 theta) + cos ^ 2 (2 theta) big)
& = frac14 Grande (1 + 2 cos (2 theta) + frac12 grande (1+ cos (4 theta) grande) Grande)
& = frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta). end {alinhar *} ]

Continuando de onde paramos acima, temos

[ begin {align *} & = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta , d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 left ( frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta) right) d theta
& = left. frac {44} 3 left ( frac {3} 8 theta + frac14 sin (2 theta) + frac {1} {32} sin (4 theta) right) right | _0 ^ pi
& = frac {11} 2 pi aproximadamente 17,279.
end {align *} ]

Embora este exemplo não fosse trivial, a integral dupla teria sido Muito de mais difícil de avaliar se tivéssemos usado coordenadas retangulares.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando uma integral dupla com coordenadas polares

Encontre o volume sob a superfície (f (x, y) = dfrac1 {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) sobre o setor do círculo com raio (a ) centrado na origem no primeiro quadrante, como mostrado na Figura ref {fig: doublepol5}.

FIGURA ( PageIndex {4} )

SOLUÇÃO

A região (R ) sobre a qual estamos integrando é um círculo com raio (a ), restrito ao primeiro quadrante. Assim, em polar, os limites em (R ) são (0 leq r leq a ), (0 leq theta leq pi / 2 ). O integrando é reescrito em polar como

$$ frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} Rightarrow frac {1} {r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta + 1} = frac1 {r ^ 2 + 1}. $$

Encontramos o volume da seguinte forma:

[ begin {align *}
iint_Rf (x, y) dA & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ a frac {r} {r ^ 2 + 1} dr , d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 big ( ln | r ^ 2 + 1 | big) Big | _0 ^ a , d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 ln (a ^ 2 + 1) d theta
& = left. left ( frac12 ln (a ^ 2 + 1) theta right) right | _0 ^ { pi / 2}
& = frac { pi} {4} ln (a ^ 2 + 1).
end {align *} ]

A figura ref {fig: doublepol5} mostra que (f ) encolhe para perto de 0 muito rapidamente. Independentemente disso, conforme (a ) cresce, o mesmo acontece com o volume, sem limites.

Observação: Trabalhos anteriores mostraram que existe área sob ( frac {1} {x ^ 2 + 1} ) ao longo de todo o eixo (x ). No entanto, o Exemplo ref {ex_doublepol5} mostra que há infinito volume sob ( frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) sobre todo o plano (xy ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando o volume de uma esfera

Encontre o volume de uma esfera com raio (a ).

SOLUÇÃO
A esfera de raio (a ), centrada na origem, tem a equação (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ); resolvendo para (z ), temos (z = sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} ). Isso dá a metade superior de uma esfera. Queremos encontrar o volume sob esta metade superior e, em seguida, dobrá-lo para encontrar o volume total.

A região que precisamos integrar é o círculo de raio (a ), centralizado na origem. Os limites polares para esta equação são (0 leq r leq a ), (0 leq theta leq2 pi ).

Juntos, o volume de uma esfera com raio (a ) é:

[2 iint_R sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} dA = 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ a sqrt {a ^ 2- (r cos theta) ^ 2- (r sin theta) ^ 2} , r , dr , d theta
= 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ ar sqrt {a ^ 2-r ^ 2} , dr , d theta. ]

Podemos avaliar essa integral interna com substituição. Com (u = a ^ 2-r ^ 2 ), (du = -2r , dr ). Os novos limites de integração são (u (0) = a ^ 2 ) a (u (a) = 0 ). Assim, temos:

[ begin {align *} & = int_0 ^ {2 pi} int_ {a ^ 2} ^ 0 big (-u ^ {1/2} big) du , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (- frac23u ^ {3/2} right) right | _ {a ^ 2} ^ 0 , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left ( frac23a ^ 3 right) d theta
& = left. left ( frac23a ^ 3 theta right) right | _0 ^ {2 pi}
& = frac43 pi a ^ 3.
end {align *} ]

Geralmente, a fórmula para o volume de uma esfera com raio (r ) é dada como (4/3 pi r ^ 3 ); justificamos essa fórmula com nosso cálculo.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando o volume de um sólido

Um escultor deseja fazer um molde de bronze sólido do sólido mostrado na Figura ref {fig: doublepol4}, onde a base do sólido tem limite, em coordenadas polares, (r = cos (3 theta) ), e o topo é definido pelo plano (z = 1-x + 0,1y ). Encontre o volume do sólido.

FIGURA ( PageIndex {5} )

SOLUÇÃO
Desde o início, devemos reconhecer que saber como configurar este problema é provavelmente mais importante do que saber como calcular as integrais. A integral iterada que virá não é "difícil" de avaliar, embora seja longa, exigindo muita álgebra. Uma vez que a integral iterada adequada é determinada, pode-se usar uma tecnologia disponível para ajudar a calcular a resposta final.

A região (R ) na qual estamos integrando é limitada por (0 leq r leq cos (3 theta) ), para (0 leq theta leq pi ) (observe que esta curva rosa é traçada no intervalo ([0, pi] ), não ([0,2 pi] )). Isso nos dá nossos limites de integração. O integrando é (z = 1-x + 0,1y ); convertendo para polar, temos que o volume (V ) é:

$$ V = iint_R f (x, y) dA = int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0,1r sin theta grande) r , dr , d theta. $$

Distribuindo o (r ), a integral interna é fácil de avaliar, levando a

$$ int_0 ^ pi left ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) - frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta + frac {0.1} 3 cos ^ 3 (3 theta) sin theta right) d theta. $$

Essa integral leva tempo para ser calculada manualmente; é bastante longo e pesado. As potências do cosseno precisam ser reduzidas e produtos como ( cos (3 theta) cos theta ) precisam ser transformados em somas usando as fórmulas de Produto para Soma na contracapa deste texto.

Reescrevemos ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) ) como ( frac14 (1+ cos (6 theta)) ). Também podemos reescrever ( frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta ) como:

$$ frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta = frac13 cos ^ 2 (3 theta) cos (3 theta) cos theta = frac13 frac {1+ cos (6 theta)} 2 big ( cos (4 theta) + cos (2 theta) big). $$

Esta última expressão ainda precisa de simplificação, mas eventualmente todos os termos podem ser reduzidos à forma (a cos (m theta) ) ou (a sin (m theta) ) para vários valores de (a ) e (m ).

Abandonamos a álgebra e recomendamos ao leitor o emprego de tecnologia, como WolframAlpha, para calcular a resposta numérica. Essa tecnologia dá:

$$ int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0,1r sin theta big) r dr d theta = frac { pi } {4} aproximadamente 0,785u ^ 3. $$

Como as unidades não foram especificadas, deixamos o resultado em quase (0,8 ) unidades cúbicas (metros, pés, etc.) Se o artista quiser dimensionar a peça uniformemente, de modo que cada pétala de rosa tenha um comprimento diferente de 1, ela deve ter em mente que escalar por um fator de (k ) escalona o volume por um fator de (k ^ 3 ).

Usamos integrais iteradas para encontrar áreas de regiões planas e volumes sob superfícies. Assim como uma única integral pode ser usada para calcular muito mais do que "área sob a curva", integrais iteradas podem ser usadas para calcular muito mais do que vimos até agora. As próximas duas seções mostram duas, entre muitas, aplicações de iteração integrais.


Assista o vídeo: Całka podwójna Oblicz całkę podwójną po obszarze D (Outubro 2021).