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5.8: Divergência e Curl


objetivos de aprendizado

  • Determine a divergência da fórmula para um determinado campo vetorial.
  • Determine o curl a partir da fórmula para um determinado campo vetorial.
  • Use as propriedades de curvatura e divergência para determinar se um campo vetorial é conservador.

Nesta seção, examinamos duas operações importantes em um campo vetorial: divergência e ondulação. Eles são importantes para o campo do cálculo por várias razões, incluindo o uso de curl e divergência para desenvolver algumas versões de dimensões superiores do Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, a curvatura e a divergência aparecem nas descrições matemáticas da mecânica dos fluidos, eletromagnetismo e teoria da elasticidade, que são conceitos importantes na física e na engenharia. Também podemos aplicar curl e divergence a outros conceitos que já exploramos. Por exemplo, sob certas condições, um campo vetorial é conservador se e somente se sua curvatura for zero.

Além de definir curvatura e divergência, examinamos algumas interpretações físicas deles e mostramos sua relação com campos vetoriais conservadores e livres de fonte.

Divergência

A divergência é uma operação em um campo vetorial que nos diz como o campo se comporta em direção a ou longe de um ponto. Localmente, a divergência de um campo vetorial ( vecs {F} ) em ( mathbb {R} ^ 2 ) ou ( mathbb {R} ^ 3 ) em um determinado ponto (P ) é uma medida da “saída” do campo vetorial em (P ). Se ( vecs {F} ) representa a velocidade de um fluido, então a divergência de ( vecs {F} ) em (P ) mede a taxa líquida de mudança em relação ao tempo da quantidade de fluido fluindo para longe de (P ) (a tendência do fluido de fluir “para fora” de P). Em particular, se a quantidade de fluido fluindo em (P ) é a mesma que a quantidade fluindo, então a divergência em (P ) é zero.

Definição: divergência em ( mathbb {R} ^ 3 )

Se ( vecs {F} = langle P, Q, R rangle ) é um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 3 ) e (P_x, , Q_y, ) e ( R_z ) todos existem, então a divergência de ( vecs {F} ) é definida por

[ begin {align} text {div} , F & = P_x + Q_y + R_z [4pt] & = dfrac { partial P} { partial x} + dfrac { partial Q} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z}. end {align} ]

Observe que a divergência de um campo vetorial não é um campo vetorial, mas uma função escalar. Em termos de operador gradiente

[ vecs nabla = langle dfrac { parcial} { parcial x}, dfrac { parcial} { parcial y}, dfrac { parcial} { parcial z} rangle ]

divergência pode ser escrita simbolicamente como o produto escalar

[ text {div} , vecs F = vecs nabla cdot vecs {F}. ]

Observe que esta é apenas uma notação útil, porque o produto escalar de um vetor de operadores e um vetor de funções não é definido de forma significativa, dada a nossa definição atual de produto escalar.

Se ( vecs {F} = langle P, Q rangle ) é um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 2 ), e (P_x ) e (Q_y ) existem, então a divergência de ( vecs {F} ) é definida da mesma forma que

[ begin {align *} text {div} , vecs {F} & = P_x + Q_y [4pt] & = dfrac { partial P} { partial x} + dfrac { partial Q} { parcial y} [4pt] & = vecs nabla cdot vecs {F}. end {align *} ]

Para ilustrar este ponto, considere os dois campos vetoriais na Figura ( PageIndex {1} ). Em qualquer ponto específico, a quantidade que flui para dentro é a mesma que a quantidade que flui para fora, portanto, em cada ponto, a "saída" do campo é zero. Portanto, esperamos que a divergência de ambos os campos seja zero, e este é realmente o caso, pois

[ text {div} ( langle 1,2 rangle) = dfrac { parcial} { parcial x} (1) + dfrac { parcial} { parcial y} (2) = 0 ]

e

[ text {div} ( langle -y, x rangle) = dfrac { parcial} { parcial x} (-y) + dfrac { parcial} { parcial y} (x) = 0 . ]

Em contraste, considere o campo vetorial radial ( vecs {R} (x, y) = langle -x, -y rangle ) na Figura ( PageIndex {2} ). Em qualquer ponto, mais fluido está fluindo para dentro do que para fora e, portanto, a "saída" do campo é negativa. Esperamos que a divergência deste campo seja negativa, e este é realmente o caso, pois

[ text {div} ( vecs {R}) = dfrac { parcial} { parcial x} (-x) + dfrac { parcial} { parcial y} (-y) = -2. ]

Para ter uma noção global do que a divergência está nos dizendo, suponha que um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 2 ) represente a velocidade de um fluido. Imagine pegar um círculo elástico (um círculo com uma forma que pode ser alterada pelo campo vetorial) e jogá-lo em um fluido. Se o círculo mantém sua área exata à medida que flui através do fluido, a divergência é zero. Isso ocorreria para ambos os campos de vetor na Figura ( PageIndex {1} ). Por outro lado, se a forma do círculo for distorcida de modo que sua área encolha ou expanda, então a divergência não é zero. Imagine soltar esse círculo elástico no campo vetorial radial na Figura ( PageIndex {2} ) de modo que o centro do círculo caia no ponto ((3, 3) ). O círculo fluiria em direção à origem e, ao fazê-lo, a frente do círculo viajaria mais lentamente do que a parte de trás, fazendo com que o círculo “se comprimisse” e perdesse área. É assim que você pode ver uma divergência negativa.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Calculando a divergência em um ponto

Se ( vecs {F} (x, y, z) = e ^ x hat {i} + yz hat {j} - yz ^ 2 hat {k} ), então encontre a divergência de ( vecs {F} ) em ((0,2, -1) ).

Solução

A divergência de ( vecs {F} ) é

[ dfrac { parcial} { parcial x} (e ^ x) + dfrac { parcial} { parcial y} (yz) - dfrac { parcial} { parcial z} (yz ^ 2) = e ^ x + z - 2yz. enhum número]

Portanto, a divergência em ((0,2, -1) ) é (e ^ 0 - 1 + 4 = 4 ). Se ( vecs {F} ) representa a velocidade de um fluido, então mais fluido está fluindo do que fluindo no ponto ((0,2, -1) ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre ( text {div} , vecs {F} ) para

[ vecs {F} (x, y, z) = langle xy, , 5-z ^ 2, , x ^ 2 + y ^ 2 rangle nonumber. ]

Dica

Siga o exemplo ( PageIndex {1} ).

Responder

( text {div} , vecs {F} = y )

Outra aplicação para divergência é detectar se um campo está livre de fonte. Lembre-se de que um campo livre de fonte é um campo vetorial que possui uma função de fluxo; equivalentemente, um campo livre de fonte é um campo com um fluxo que é zero ao longo de qualquer curva fechada. Os próximos dois teoremas dizem que, sob certas condições, os campos vetoriais livres de fonte são precisamente os campos vetoriais com divergência zero.

Teorema: Divergência de um campo vetorial livre de fonte

Se ( vecs {F} = langle P, Q rangle ) for um campo vetorial contínuo livre de fonte com funções de componentes diferenciáveis, então ( text {div} , vecs {F} = 0 ) .

Prova

Uma vez que ( vecs {F} ) é fonte gratuita, existe uma função (g (x, y) ) com (g_y = P ) e (- g_x = Q ). Portanto, ( vecs {F} = langle g_y, -g_x rangle ) e ( text {div} , vecs {F} = g_ {yx} - g_ {xy} = 0 ) por Teorema de Clairaut.

(quadrado)

O inverso de Divergência de um campo vetorial livre de fonte é verdadeiro em regiões simplesmente conectadas, mas a prova é muito técnica para incluir aqui. Assim, temos o seguinte teorema, que pode testar se um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 2 ) é livre de fontes.

Teorema: Teste de Divergência para Campos Vetoriais Livres de Fonte

Seja ( vecs {F} = langle P, Q rangle ) um campo vetorial contínuo com funções componentes diferenciáveis ​​com um domínio que é simplesmente conectado. Então, ( text {div} , vecs {F} = 0 ) se e somente se ( vecs {F} ) for fonte gratuita.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Determinando se um campo é fonte livre

A fonte do campo ( vecs {F} (x, y) = langle x ^ 2 y, , 5 - xy ^ 2 rangle ) é gratuita?

Solução

Observe que o domínio de ( vecs {F} ) é ( mathbb {R} ^ 2 ) que está simplesmente conectado. Além disso, ( vecs {F} ) é contínuo com funções de componentes diferenciáveis. Portanto, podemos usar o Teste de Divergência para Campos Vetoriais Livres de Fonte para analisar ( vecs {F} ). A divergência de ( vecs {F} ) é

[ dfrac { partial} { partial x} (x ^ 2 y) + dfrac { partial} { partial y} (5 - xy ^ 2) = 2xy - 2xy = 0. nonumber ]

Portanto, ( vecs {F} ) é fonte gratuita pelo Teste de Divergência para Campos Vetoriais Livre de Fonte.

Exercício ( PageIndex {2} )

Seja ( vecs {F} (x, y) = langle -ay, bx rangle ) um campo rotacional onde (a ) e (b ) são constantes positivas. O código-fonte ( vecs {F} ) é gratuito?

Dica

Calcule a divergência.

Responder

sim

Lembre-se de que a forma de fluxo do teorema de Green diz que

[ oint_C vecs F cdot vecs N ; ds = iint_D P_x + Q_y ; dA, ]

onde (C ) é uma curva fechada simples e (D ) é a região delimitada por (C ). Uma vez que (P_x + Q_y = text {div} , vecs F ), o teorema de Green às vezes é escrito como

[ oint_C vecs F cdot vecs N ; ds = iint_D text {div} , vecs F ; dA. ]

Portanto, o teorema de Green pode ser escrito em termos de divergência. Se pensarmos na divergência como uma espécie de derivada, então o teorema de Green diz que a "derivada" de ( vecs {F} ) em uma região pode ser traduzida em uma linha integral de ( vecs {F} ) ao longo a fronteira da região. Isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo, em que a derivada de uma função (f ) em um segmento de linha ([a, b] ) pode ser traduzida em uma afirmação sobre (f ) na fronteira de ([a, b] ). Usando a divergência, podemos ver que o teorema de Green é um análogo de dimensão superior do Teorema Fundamental do Cálculo.

Podemos usar tudo o que aprendemos na aplicação da divergência. Seja ( vecs {v} ) um campo vetorial modelando a velocidade de um fluido. Uma vez que a divergência de ( vecs {v} ) no ponto (P ) mede o "escoamento" do fluido em (P ), ( text {div} , v (P) > 0 ) implica que mais fluido está fluindo para fora de (P ) do que fluindo para dentro. Da mesma forma, ( text {div} , v (P) <0 ) implica que mais fluido está fluindo para ( P ) do que está fluindo para fora, e ( text {div} , vecs {v} (P) = 0 ) implica que a mesma quantidade de fluido está fluindo para dentro e para fora.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Determinando o fluxo de um fluido

Suponha que ( vecs {v} (x, y) = langle -xy, y rangle, , y> 0 ) modele o fluxo de um fluido. Há mais fluido fluindo para o ponto ((1,4) ) do que fluindo para fora?

Solução

Para determinar se mais fluido está fluindo para ((1,4) ) do que para fora, calculamos a divergência de ( vecs v ) em ((1,4) ):

[div ( vecs {v}) = dfrac { parcial} { parcial x} (-xy) + dfrac { parcial} { parcial y} (y) = -y + 1. nonumber ]

Para encontrar a divergência em ((1,4) ) substitua o ponto na divergência: (- 4 + 1 = -3 ). Como a divergência de ( vecs v ) em ((1,4) ) é negativa, mais fluido está fluindo para dentro do que para fora (Figura ( PageIndex {4} )).

Exercício ( PageIndex {3} )

Para o campo vetorial ( vecs {v} (x, y) = langle -xy, y rangle, , y> 0 ), encontre todos os pontos (P ) de modo que a quantidade de fluido fluindo para (P ) é igual à quantidade de fluido fluindo de (P ).

Dica

Descubra onde a divergência é zero.

Responder

Todos os pontos na linha (y = 1 ).

Ondulação

A segunda operação em um campo vetorial que examinamos é o curl, que mede a extensão da rotação do campo em torno de um ponto. Suponha que ( vecs {F} ) represente o campo de velocidade de um fluido. Então, a curva de ( vecs {F} ) no ponto (P ) é um vetor que mede a tendência das partículas próximas a (P ) de girar em torno do eixo que aponta na direção desse vetor. A magnitude do vetor curl em (P ) mede a rapidez com que as partículas giram em torno deste eixo. Em outras palavras, a ondulação em um ponto é uma medida do "giro" do campo vetorial naquele ponto. Visualmente, imagine colocar uma roda de pás em um fluido em (P ), com o eixo da roda de pás alinhado com o vetor de onda (Figura ( PageIndex {5} )). A onda mede a tendência da roda de pás em girar.

Considere os campos de vetor na Figura ( PageIndex {1} ). Na parte (a), o campo vetorial é constante e não há spin em nenhum ponto. Portanto, esperamos que a curvatura do campo seja zero, e esse é realmente o caso. A parte (b) mostra um campo rotacional, então o campo tem spin. Em particular, se você colocar uma roda de pás em um campo em qualquer ponto de forma que o eixo da roda fique perpendicular a um plano, a roda gira no sentido anti-horário. Portanto, esperamos que o curl do campo seja diferente de zero, e este é realmente o caso (o curl é (2 , mathbf { hat k} )).

Para ver o que o curl está medindo globalmente, imagine jogar uma folha no fluido. Conforme a folha se move junto com o fluxo do fluido, o cacho mede a tendência da folha de girar. Se a ondulação for zero, a folha não gira enquanto se move através do fluido.

Definição: Curl

Se ( vecs {F} = langle P, Q, R rangle ) é um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 3 ), e (P_x, , Q_y ), e (R_z ) todos existem, então o curl de ( vecs {F} ) é definido por

[ begin {align} text {curl} , vecs {F} & = (R_y - Q_z) , mathbf { hat i} + (P_z - R_x) , mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} [4pt]
& = left ( dfrac { partial R} { partial y} - dfrac { partial Q} { partial z} right) , mathbf { hat i} + left ( dfrac { parcial P} { parcial z} - dfrac { parcial R} { parcial x} direita) , mathbf { hat j} + esquerda ( dfrac { parcial Q} { parcial x} - dfrac { partial P} { partial y} right) , mathbf { hat k}. end {align} ]

Observe que a curvatura de um campo vetorial é um campo vetorial, em contraste com a divergência.

A definição de ondulação pode ser difícil de lembrar. Para ajudar a lembrar, usamos a notação ( vecs nabla times vecs {F} ) para representar um "determinante" que dá a fórmula do curl:

[ begin {vmatrix} hat {i} & hat {j} & hat {k} dfrac { partial} { partial x} & dfrac { partial} { partial y} & dfrac { partial} { partial z} P & Q & R end {vmatrix}. ]

O determinante desta matriz é

[(R_y - Q_z) , mathbf { hat i} - (R_x - P_z) , mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} = (R_y - Q_z) , mathbf { hat i} + (P_z - R_x) , mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} = text {curl} , vecs {F}. ]

Portanto, essa matriz é uma forma de ajudar a lembrar a fórmula do enrolamento. Tenha em mente, porém, que a palavra determinante é usado de forma muito vaga. Um determinante não é realmente definido em uma matriz com entradas que são três vetores, três operadores e três funções.

Se ( vecs {F} = langle P, Q rangle ) é um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 2 ), então o curl de ( vecs {F} ), por definição, é

[ text {curl} , vecs {F} = (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} = left ( dfrac { partial Q} { partial x} - dfrac { parcial P} { parcial y} direita) , mathbf { hat k}. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando o Curl de um campo vetorial tridimensional

Encontre o cacho de ( vecs {F} (P, Q, R) = langle x ^ 2 z, e ^ y + xz, xyz rangle ).

Solução

O cacho é

[ begin {align *} text {curl} , f & = vecs nabla times vecs {F} & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} parcial / parcial x & parcial / parcial y & parcial / parcial z P & Q & R end {vmatrix} & = ( R_y - Q_z) , mathbf { hat i} + (P_z - R_x) , mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} & = (xz - x) , mathbf { hat i} + (x ^ 2 - yz) , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre a curva de ( vecs {F} = langle sin x , cos z, , sin y , sin z, , cos x , cos y rangle ) no ponto ( left (0, dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ).

Dica

Encontre o determinante da matriz ( vecs nabla times vecs {F} ).

Responder

(- hat {i} )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a ondulação de um campo vetorial bidimensional

Encontre o cacho de ( vecs {F} = langle P, Q rangle = langle y, 0 rangle ).

Solução

Observe que este campo vetorial consiste em vetores que são todos paralelos. Na verdade, cada vetor no campo é paralelo ao x-eixo. Esse fato pode nos levar à conclusão de que o campo não tem spin e que o curl é zero. Para testar esta teoria, observe que

[ text {curl} , vecs {F} = (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} = - , mathbf { hat k} neq vecs 0. ]

Portanto, este campo vetorial tem spin. Para ver por quê, imagine colocar uma roda de pás em qualquer ponto do primeiro quadrante (Figura ( PageIndex {6} )). As magnitudes maiores dos vetores no topo da roda fazem com que ela gire. A roda gira no sentido horário (negativo), fazendo com que o coeficiente da ondulação seja negativo.

Observe que se ( vecs {F} = langle P, Q rangle ) é um campo vetorial em um plano, então ( text {curl} , vecs {F} cdot mathbf { hat k} = (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} cdot mathbf { hat k} = Q_x - P_y ). Portanto, a forma de circulação do teorema de Green às vezes é escrita como

[ oint_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_D text {curl} , vecs F cdot , mathbf { hat k} , dA, ]

onde (C ) é uma curva fechada simples e (D ) é a região delimitada por (C ). Portanto, a forma de circulação do teorema de Green pode ser escrita em termos de onda. Se pensarmos em curl como uma espécie de derivada, o teorema de Green diz que a "derivada" de ( vecs {F} ) em uma região pode ser traduzida em uma linha integral de ( vecs {F} ) ao longo da fronteira da região. Isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo, em que a derivada de uma função (f ) no segmento de linha ([a, b] ) pode ser traduzida em uma afirmação sobre (f ) na fronteira de ([a, b] ). Usando curl, podemos ver que a forma de circulação do teorema de Green é um análogo de dimensão superior do Teorema Fundamental do Cálculo.

Agora podemos usar o que aprendemos sobre o curl para mostrar que os campos gravitacionais não têm "spin". Suponha que haja um objeto na origem com massa (m_1 ) na origem e um objeto com massa (m_2 ). Lembre-se de que a força gravitacional que o objeto 1 exerce sobre o objeto 2 é dada pelo campo

[ vecs {F} (x, y, z) = - Gm_1m_2 left langle dfrac {x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}}, dfrac {y} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}}, dfrac {z} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2} } right rangle. ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Determinando o Spin de um Campo Gravitacional

Mostre que um campo gravitacional não tem spin.

Solução

Para mostrar que ( vecs {F} ) não tem spin, calculamos seu curl. Deixar

  • (P (x, y, z) = dfrac {x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} ),
  • (Q (x, y, z) = dfrac {y} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} ), e
  • (R (x, y, z) = dfrac {z} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} ).

Então,

[ begin {align *} text {curl} , vecs {F} & = - Gm_1m_2 [(R_y - Q_z) mathbf { hat i} + (P_z - R_x) mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) mathbf { hat k}] [4pt]
& = - Gm_1m_2 begin {pmatrix} left ( dfrac {-3yz} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} - left ( dfrac {-3yz} { (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} right) right) mathbf { hat i} nonumber [4pt]
+ left ( dfrac {-3xz} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} - left ( dfrac {-3xz} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} right) right) mathbf { hat j} nonumber [4pt]
+ left ( dfrac {-3xy} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} - left ( dfrac {-3xy} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {5/2}} right) right) mathbf { hat k} end {pmatrix} [4pt]
& = vecs 0. end {align *} ]

Como a curva do campo gravitacional é zero, o campo não tem spin.

Exercício ( PageIndex {7} )

Campo ( vecs {v} (x, y) = langle - dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2}, dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} rangle ) modela o fluxo de um fluido. Mostre que, se você deixar cair uma folha neste fluido, à medida que a folha se move ao longo do tempo, ela não gira.

Dica

Calcule a onda.

Responder

( text {curl} , vecs {v} = vecs 0 )

Usando Divergência e Curl

Agora que entendemos os conceitos básicos de divergência e ondulação, podemos discutir suas propriedades e estabelecer relações entre elas e os campos vetoriais conservadores.

Se ( vecs {F} ) é um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 3 ) então o curl de ( vecs {F} ) também é um campo vetorial em ( mathbb { R} ^ 3 ). Portanto, podemos tirar a divergência de uma onda. O próximo teorema diz que o resultado é sempre zero. Esse resultado é útil porque nos fornece uma maneira de mostrar que alguns campos vetoriais não são a ondulação de nenhum outro campo. Para dar a este resultado uma interpretação física, lembre-se de que a divergência de um campo de velocidade ( vecs {v} ) no ponto (P ) mede a tendência do fluido correspondente de fluir para fora de (P ). Como ( text {div} ( text {curl} , vecs v) = 0 ), a taxa líquida de fluxo no campo vetorial ( text {curl} ; vecs v ) ) em qualquer ponto é zero. Tirar a ondulação do campo vetorial ( vecs {F} ) elimina qualquer divergência que estivesse presente em ( vecs {F} ).

Teorema: Divergência do Curl

Seja ( vecs {F} = langle P, Q, R rangle ) um campo vetorial em ( mathbb {R} ^ 3 ) de forma que todas as funções componentes tenham derivadas parciais contínuas de segunda ordem. Então,

[ text {div} ( text {curl} , vecs {F}) = vecs nabla cdot ( vecs nabla times vecs F) = 0. ]

Prova

Pelas definições de divergência e ondulação, e pelo teorema de Clairaut,

[ begin {align *} text {div} ( text {curl} , vecs {F}) = text {div} [(R_y - Q_z) , mathbf { hat i} + ( P_z - R_x) , mathbf { hat j} + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k}] = R_ {yx} - Q_ {xz} + P_ {yz} - R_ {yx } + Q_ {zx} - P_ {zy} = 0. end {alinhar *} ]

(Caixa)

Exemplo ( PageIndex {8} ): Mostrando que um campo de vetor não é o enrolamento de outro

Mostre que ( vecs {F} (x, y, z) = e ^ x , mathbf { hat i} + yz , mathbf { hat j} + xz ^ 2 , mathbf { hat k} ) não é o curl de outro campo vetorial. Ou seja, mostre que não existe outro vetor ( vecs {G} ) com ( text {curl} , vecs G = vecs F ).

Solução

Observe que o domínio de ( vecs {F} ) é todo de ( mathbb {R} ^ 3 ) e as parciais de segunda ordem de ( vecs {F} ) são todas contínuas. Portanto, podemos aplicar o teorema anterior a ( vecs {F} ).

A divergência de ( vecs {F} ) é (e ^ x + z + 2xz ). Se ( vecs {F} ) fosse o curl do campo vetorial ( vecs {G} ), então ( text {div} , vecs F = text {div} ( text {curl } , vecs G) = 0 ). Mas, a divergência de ( vecs {F} ) não é zero e, portanto, ( vecs {F} ) não é o enrolamento de qualquer outro campo vetorial.

Exercício ( PageIndex {8} )

É possível que ( vecs G (x, y, z) = langle sin x, , cos y, , sin (xyz) rangle ) seja o enrolamento de um campo vetorial?

Dica

Encontre a divergência de ( vecs {G} ).

Responder

Não.

Com os próximos dois teoremas, mostramos que se ( vecs {F} ) é um campo vetorial conservativo, então seu curl é zero, e se o domínio de ( vecs {F} ) é simplesmente conectado, então o inverso também é verdade. Isso nos dá outra maneira de testar se um campo vetorial é conservador.

Teorema: Ondulação de um campo vetorial conservador

Se ( vecs {F} = langle P, Q, R rangle ) for conservador, então ( text {curl} , vecs {F} = vecs 0 ).

Prova

Como os campos vetoriais conservativos satisfazem a propriedade cross-partials, todas as cross-partials de ( vecs F ) são iguais. Portanto,

[ begin {align *} text {curl} , vecs {F} & = (R_y - Q_z) , mathbf { hat i} + (P_z - R_x) , mathbf { hat j } + (Q_x - P_y) , mathbf { hat k} [4pt] & = vecs 0. end {align *} ]

(Caixa)

O mesmo teorema é verdadeiro para campos vetoriais em um plano.

Visto que um campo vetorial conservador é o gradiente de uma função escalar, o teorema anterior diz que ( text {curl} , ( vecs nabla f) = vecs 0 ) para qualquer função escalar (f ). Em termos de nossa notação curl, ( vecs nabla times vecs nabla (f) = vecs 0 ). Essa equação faz sentido porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre o vetor zero. Às vezes, a equação ( vecs nabla times vecs nabla (f) = vecs 0 ) é simplificada como ( vecs nabla times vecs nabla = vecs 0 ).

Teorema: Teste de Curl para um Campo Conservador

Seja ( vecs {F} = langle P, Q, R rangle ) um campo vetorial no espaço em um domínio simplesmente conectado. Se ( text {curl} ; vecs F = vecs 0 ), então ( vecs {F} ) é conservador.

Prova

Como ( text {curl} , vecs F = vecs 0 ), temos que (R_y = Q_z, , P_z = R_x ) e (Q_x = P_y ). Portanto, ( vecs {F} ) satisfaz a propriedade cross-partials em um domínio simplesmente conectado, e a Cross-Partial Property of Conservative Fields implica que ( vecs {F} ) é conservador.

(Caixa)

O mesmo teorema também é verdadeiro em um plano. Portanto, se ( vecs {F} ) é um campo vetorial em um plano ou no espaço e o domínio está simplesmente conectado, então ( vecs {F} ) é conservador se e somente se ( text { curl} , vecs F = vecs 0 ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Testando se um campo vetorial é conservador

Use o curl para determinar se ( vecs {F} (x, y, z) = langle yz, xz, xy rangle ) é conservador.

Solução

Observe que o domínio de ( vecs {F} ) é todo de ( mathbb {R} ^ 3 ) que está simplesmente conectado (Figura ( PageIndex {7} )). Portanto, podemos testar se ( vecs {F} ) é conservador calculando seu curl.

O curl de ( vecs {F} ) é

[ left ( dfrac { partial} { partial y} xy - dfrac { partial} { partial z} xz right) , mathbf { hat i} + left ( dfrac { parcial} { parcial y} yz - dfrac { parcial} { parcial z} xy direita) , mathbf { hat j} + esquerda ( dfrac { parcial} { parcial y} xz - dfrac { partial} { partial z} yz right) , mathbf { hat k} = (x - x) , mathbf { hat i} + (y - y) , mathbf { hat j} + (z - z) , mathbf { hat k} = vecs 0. nonumber ]

Portanto, ( vecs {F} ) é conservador.

Vimos que a curvatura de um gradiente é zero. Qual é a divergência de um gradiente? Se (f ) é uma função de duas variáveis, então ( text {div} ( vecs nabla f) = vecs nabla cdot ( vecs nabla f) = f_ {xx} + f_ { yy} ). Abreviamos este “produto de ponto duplo” como ( vecs nabla ^ 2 ). Este operador é chamado de Operador Laplace, e nesta notação a equação de Laplace torna-se ( vecs nabla ^ 2 f = 0 ). Portanto, uma função harmônica é uma função que se torna zero após obter a divergência de um gradiente.

Da mesma forma, se (f ) é uma função de três variáveis, então

[ text {div} ( vecs nabla f) = vecs nabla cdot ( vecs nabla f) = f_ {xx} + f_ {yy} + f_ {zz}. ]

Usando esta notação, obtemos a equação de Laplace para funções harmônicas de três variáveis:

[ vecs nabla ^ 2 f = 0. ]

As funções harmônicas surgem em muitas aplicações. Por exemplo, a função potencial de um campo eletrostático em uma região do espaço que não possui carga estática é harmônica.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Encontrando uma função potencial

É possível que (f (x, y) = x ^ 2 + x - y ) seja a função potencial de um campo eletrostático que está localizado em uma região de ( mathbb {R} ^ 2 ) livre de carga estática?

Solução

Se (f ) fosse uma função potencial, então (f ) seria harmônico. Observe que (f_ {xx} = 2 ) e (f_ {yy} = 0 ), e assim (f_ {xx} + f_ {yy} neq 0 ). Portanto, (f ) não é harmônico e (f ) não pode representar um potencial eletrostático.

Exercício ( PageIndex {10} )

É possível que a função (f (x, y) = x ^ 2 - y ^ 2 + x ) seja a função potencial de um campo eletrostático localizado em uma região de ( mathbb {R} ^ 2 ) livre de carga estática?

Dica

Determine se a função é harmônica.

Responder

sim.


Assista o vídeo: - Curl and Divergence Part 1 (Outubro 2021).