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Funções de variáveis ​​múltiplas (exercícios) - Matemática


13.1: Funções de múltiplas variáveis

Para os exercícios a seguir, avalie cada função nos valores indicados.

1) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) Encontre (W (2, −1), W (−3,6) ).

Responder:
(W (2, −1) = 17, quad W (−3,6) = 72 )

2) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 ). Encontre (W (2 + h, 3 + h). )

3) O volume de um cilindro circular direito é calculado por uma função de duas variáveis, (V (x, y) = πx ^ 2y, ) onde (x ) é o raio do cilindro circular direito e ( y ) representa a altura do cilindro. Avalie (V (2,5) ) e explique o que isso significa.

Responder:
(V (2,5) = 20π , text {unidades} ^ 3 ) Este é o volume quando o raio é (2 ) e a altura é (5 ).

4) Um tanque de oxigênio é construído com um cilindro direito de altura (y ) e raio (x ) com dois hemisférios de raio (x ) montados na parte superior e inferior do cilindro. Expresse o volume do cilindro como uma função de duas variáveis, (x ) e (y ), encontre (V (10,2) ) e explique o que isso significa.

Para os exercícios 5 a 10, encontre o domínio e o intervalo da função dada. Indique o domínio na notação set-builder e o intervalo na notação de intervalo.

5) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ) Ou seja, todos os pontos no plano (xy )
Intervalo: ([0, infty) )

6) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
Intervalo: ([0, infty) )

7) (f (x, y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x Intervalo: ((- infty, infty) )

8) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
Intervalo: ([0, 4] )

9) (z = arccos (y − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x - 1 le y le x + 1 } ) Ou seja, todos os pontos entre os gráficos de (y = x -1 ) e (y = x +1 ).
Intervalo: ([0, pi] )

10) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x neq 0 } )
Intervalo: ((- infty, infty) )

Encontre a gama de funções.

11) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

Responder:
O conjunto ( rm I ! R )

Nos exercícios 14 - 29, encontre as curvas de nível de cada função nos valores indicados de (c ) para visualizar a função dada. Esboce um gráfico de contorno para os exercícios em que são solicitados mais de 3 valores de (c ).

14) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 1 )

15) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4, ) uma hipérbole

16) (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2; quad c = 0, 1, 2, 3, 4, 9 )

17) (g (x, y) = 4 − x − y; quad c = 0,1, 2, 3, 4 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com (y = -x + (4 - c) ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = 0: , y = -x + 4 ),
(c = 1: , y = -x + 3 ),
(c = 2: , y = -x + 2 ),
(c = 3: , y = -x + 1 ),
(c = 4: , y = -x ).
O gráfico de contorno consiste em uma série de linhas paralelas.

18) (f (x, y) = xy; c = 1; quad c = −1 )

19) (h (x, y) = 2x − y; quad c = -2,0,2 )

Responder:
(2x − y = 0,2x − y = −2,2x − y = 2; ) três linhas

20) (f (x, y) = x ^ 2 − y; quad c = 1,2 )

21) (g (x, y) = dfrac {x} {x + y}; c = −1,0,1,2 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com a forma (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). Em (c = 0 ), resolvemos diretamente da equação ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) para obter (x = 0 ).
Para cada valor de (c ), são:
(c = -1: , y = -2x ),
(c = 0: , x = 0, text {com} y ne 0 ),
(c = 1: , y = 0, text {com} x ne 0 ),
(c = 2: , y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x, y) = x ^ 3 − y; quad c = −1,0,2 )

23) (g (x, y) = e ^ {xy}; quad c = frac {1} {2}, 3 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = frac { ln c} {x} ).
Para cada valor de (c ), são:
(c = frac {1} {2}: , y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) que pode ser reescrito como, (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: , y = frac { ln 3} {x} ).

24) (f (x, y) = x ^ 2; quad c = 4,9 )

25) (f (x, y) = xy − x; quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma: (y = frac {c} {x} + 1 ).
Aqui (y = frac {-2} {x} + 1, quad y = 1, quad y = frac {2} {x} + 1 ) ou (xy − x = −2, , xy − x = 0, , xy − x = 2 )

26) (h (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2); quad c = −1,0,1 )

27) (g (x, y) = ln ( frac {y} {x ^ 2}); quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = e ^ c x ^ 2 ).
Para cada valor de (c ), são:
(c = -2: , y = e ^ {- 2} x ^ 2 ),
(c = 0: , y = x ^ 2 ),
(c = 2: , y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad c = 3 )

29) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}, quad c = ) qualquer constante

Responder:
As curvas de nível são parábolas da forma (y = cx ^ 2−2, text {com} x ne 0 ).

Nos exercícios 30-32, encontre os traços verticais das funções nos valores indicados de (x ) e (y ) e plote os traços.

30) (z = 4 − x − y, quad x = 2 )

31) (f (x, y) = 3x + y ^ 3, quad x = 1 )

Responder:

(z = 3 + y ^ 3, ) uma curva no (zy ) - plano com regras paralelas ao eixo (x )

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad x = 1 )

Nos exercícios 33 - 38, encontre o domínio e a amplitude de cada função.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
Intervalo: ([0, 10] )

34) (z = ln (x − y ^ 2) )

35) (f (x, y, z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y, z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
Intervalo: ([ frac {1} {6}, infty) )

36) (f (x, y, z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x, y, z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

Responder:
Domínio: Todos os pontos em (xyz ) - espaço
Intervalo: ( big (- infty, sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x, y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Nos exercícios 39-40, trace um gráfico da função.

39) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

40) (z = x ^ 2 + y ^ 2 )

41) Use a tecnologia para representar graficamente (z = x ^ 2y. )

Responder:

Nos exercícios 42-46, esboce a função encontrando suas curvas de nível. Verifique o gráfico usando tecnologia, como CalcPlot3D.

42) (f (x, y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x, y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

46) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

47) Descreva as linhas de contorno para vários valores de (c ) para (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

Responder:
As linhas de contorno são círculos concêntricos centrados no ponto, ((1, 1) ).
Você pode ver isso completando o quadrado após definir esta função igual a (c ).
Ou seja, escrevemos (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) que pode ser reescrito como, ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = c + 2 ).
Isso nos dá círculos centralizados no ponto, ((1, 1) ), cada um com um raio de ( sqrt {c + 2} ).

Nos exercícios 48 - 52, encontre a superfície nivelada para o valor dado de (c ) para cada função de três variáveis ​​e descreva-a.

48) (w (x, y, z) = x − 2y + z, quad c = 4 )

49) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad c = 9 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), uma esfera de raio (3 )

50) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = −4 )

51) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4, ) um hiperbolóide de uma folha

52) (w (x, y, z) = 9x ^ 2−4y ^ 2 + 36z ^ 2, quad c = 0 )

Nos exercícios 53 - 55, encontre uma equação da curva de nível de (f ) que contém o ponto (P ).

53) (f (x, y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2, quad P (0,1) )

Responder:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1, )

54) (g (x, y) = y ^ 2 arctan x, quad P (1,2) )

55) (g (x, y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2), quad P (1,0) )

Responder:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) A força (E ) de um campo elétrico no ponto (x, y, z) ) resultante de um fio carregado infinitamente longo ao longo do eixo (y ) - é dada por (E ( x, y, z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), onde (k ) é uma constante positiva. Para simplificar, deixe (k = 1 ) e encontre as equações das superfícies de nível para (E = 10 ) e (E = 100. )

57) Uma placa fina de ferro está localizada no plano (xy ) - A temperatura (T ) em graus Celsius em um ponto (P (x, y) ) é inversamente proporcional ao quadrado de seu distância da origem. Expresse (T ) como uma função de (x ) e (y ).

Responder:
(T (x, y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) Consulte o problema anterior. Usando a função de temperatura encontrada lá, determine a constante de proporcionalidade se a temperatura no ponto (P (1,2) ) é (50 ° C. ) Use esta constante para determinar a temperatura no ponto (Q (3, 4). )

59) Consulte o problema anterior. Encontre as curvas de nível para (T = 40 ° C ) e (T = 100 ° C, ) e descreva o que as curvas de nível representam.

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}, quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). As curvas de nível representam círculos de raios ( sqrt {10k} / 20 ) e ( sqrt {k} / 10 )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) editou o LaTeX e adicionou gráficos de contorno às respostas para os problemas 17, 21 e 29.

Sessão 24: Funções de duas variáveis: gráficos

As imagens a seguir mostram o conteúdo do quadro-negro desses trechos de vídeo. Clique em cada imagem para ampliar.



Funções de múltiplas variáveis ​​(exercícios) - Matemática

Nesta seção, queremos examinar algumas das idéias básicas sobre funções de mais de uma variável.

Primeiro, lembre-se de que os gráficos de funções de duas variáveis, (z = f left ( right) ) são superfícies no espaço tridimensional. Por exemplo, aqui está o gráfico de (z = 2 + 2 - 4).

Este é um parabolóide elíptico e é um exemplo de superfície quádrica. Vimos vários deles na seção anterior. Veremos superfícies quádricas com bastante regularidade posteriormente em Cálculo III.

Outro gráfico comum que veremos bastante neste curso é o gráfico de um plano. Temos uma convenção para gráficos de planos que os tornará um pouco mais fáceis de representar graficamente e, com sorte, visualizar.

Lembre-se de que a equação de um plano é dada por

ou se resolvermos isso para (z ), podemos escrevê-lo em termos de notação de função. Isto dá,

Para representar graficamente um plano, geralmente encontraremos os pontos de intersecção com os três eixos e, a seguir, representaremos graficamente o triângulo que conecta esses três pontos. Este triângulo será uma parte do plano e nos dará uma ideia bastante decente de como o próprio plano deve ser. Por exemplo, vamos representar graficamente o plano dado por,

Para fins de representação gráfica, provavelmente seria mais fácil escrever isso como,

[z = 12 - 3x - 4y hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> , , , , , 3x + 4y + z = 12 ]

Agora, cada um dos pontos de interseção com os três eixos de coordenadas principais é definido pelo fato de que duas das coordenadas são zero. Por exemplo, a interseção com o eixo (z ) - é definida por (x = y = 0 ). Então, os três pontos de intersecção são,

Aqui está o gráfico do avião.

Agora, para estender isso, gráficos de funções da forma (w = f left ( right) ) seriam superfícies de quatro dimensões. Claro, não podemos representá-los graficamente, mas não faz mal apontar isso.

Em seguida, queremos falar sobre os domínios das funções de mais de uma variável. Lembre-se de que os domínios das funções de uma única variável, (y = f left (x right) ), consistiam em todos os valores de (x ) que poderíamos inserir na função e obter um número real. Agora, se pensarmos sobre isso, isso significa que o domínio de uma função de uma única variável é um intervalo (ou intervalos) de valores da reta numérica, ou espaço unidimensional.

O domínio das funções de duas variáveis, (z = f left ( right) ), são regiões do espaço bidimensional e consistem em todos os pares de coordenadas, ( left ( right) ), que poderíamos conectar à função e obter de volta um número real.

  1. (f left ( right) = sqrt )
  2. (f left ( direita) = sqrt x + sqrt y )
  3. (f left ( direita) = ln esquerda (<9 - - 9> right) )

Neste caso, sabemos que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo, então isso significa que devemos exigir,

Aqui está um esboço do gráfico desta região.

Esta função é diferente da função da parte anterior. Aqui devemos exigir que,

e eles realmente precisam ser desigualdades separadas. Existe uma para cada raiz quadrada na função. Aqui está o esboço desta região.

Nesta parte final, sabemos que não podemos tirar o logaritmo de um número negativo ou zero. Portanto, precisamos exigir que,

e ao reorganizar, vemos que precisamos permanecer dentro de uma elipse para esta função. Aqui está um esboço desta região.

Observe que os domínios das funções de três variáveis, (w = f left ( right) ), serão regiões no espaço tridimensional.

Nesse caso, temos que lidar com a raiz quadrada e a divisão por zero. Isso vai exigir,

Portanto, o domínio para esta função é o conjunto de pontos que se encontram completamente fora de uma esfera de raio 4 centrada na origem.

O próximo tópico que devemos analisar é o de curvas de nível ou curvas de contorno. As curvas de nível da função (z = f left ( right) ) são curvas bidimensionais que obtemos definindo (z = k ), onde (k ) é qualquer número. Portanto, as equações das curvas de nível são (f left ( right) = k ). Observe que às vezes a equação estará na forma (f left ( right) = 0 ) e nestes casos as equações das curvas de nível são (f left ( right) = 0 ).

Você provavelmente já viu curvas de nível (ou curvas de contorno, como quiser chamá-las) antes. Se você já viu o mapa de elevação de um pedaço de terreno, isso nada mais é do que as curvas de contorno para a função que dá a elevação do terreno naquela área. Claro, provavelmente não temos a função que dá a elevação, mas podemos pelo menos representar graficamente as curvas de contorno.

Vamos dar um exemplo rápido disso.

Primeiro, por uma questão de prática, vamos identificar o que é essa superfície dada por (f left ( right) ) é. Para fazer isso, vamos reescrever como,

Lembre-se da seção Superfícies quádricas que esta é a parte superior do “cone” (ou superfície em forma de ampulheta).

Observe que isso não era necessário para este problema. Isso foi feito para a prática de identificar a superfície e isso pode ser útil no futuro.

Agora vamos ao problema real. As curvas de nível (ou curvas de contorno) para esta superfície são fornecidas pela equação e são encontradas substituindo (z = k ). No caso do nosso exemplo,

onde (k ) é qualquer número. Portanto, neste caso, as curvas de nível são círculos de raio (k ) com centro na origem.

Podemos representá-los em uma de duas maneiras. Podemos representá-los graficamente na própria superfície ou em um sistema de eixo bidimensional. Aqui está cada gráfico para alguns valores de (k ).

Observe que podemos pensar nos contornos em termos da interseção da superfície que é dada por (z = f left ( right) ) e o plano (z = k ). O contorno representará a interseção da superfície e do plano.

Para funções da forma (f left ( right) ) nós ocasionalmente olharemos para superfícies niveladas. As equações das superfícies de nível são dadas por (f left ( right) = k ) onde (k ) é qualquer número.

O tópico final desta seção é sobre vestígios. Em alguns aspectos, eles são semelhantes aos contornos. Como observado acima, podemos pensar nos contornos como a interseção da superfície dada por (z = f left ( right) ) e o plano (z = k ). Traços de superfícies são curvas que representam a interseção da superfície e o plano dado por (x = a ) ou (y = b ).

Vamos dar uma olhada rápida em um exemplo de rastros.

Começaremos com (x = 1 ). Podemos obter uma equação para o traço inserindo (x = 1 ) na equação. Fazer isso dá,

e isso será representado graficamente no plano dado por (x = 1 ).

Abaixo estão dois gráficos. O gráfico à esquerda é um gráfico que mostra a interseção da superfície e o plano dado por (x = 1 ). À direita está um gráfico da superfície e o traço que buscamos nesta parte.

Para (y = 2 ), faremos praticamente a mesma coisa que fizemos com a primeira parte. Aqui está a equação do traço,


Funções de múltiplas variáveis ​​(exercícios) - Matemática

Resolva o sistema de duas equações lineares e verifique a solução:

Resolva o sistema de duas equações lineares com variáveis ​​no numerador e denominador, verifique a solução e determine as condições de solubilidade:

Resolva o sistema de três equações lineares e verifique a solução:

Resolva o sistema de quatro equações lineares e verifique a solução:

Resolva o sistema de equação linear e quadrática:

Resolva o sistema de desigualdades lineares com uma variável:

Resolva o sistema de desigualdades lineares com duas variáveis:


Funções de múltiplas variáveis ​​(exercícios) - Matemática

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    Descrição geral. O cálculo multivariado usa álgebra linear para estender os conceitos importantes do cálculo de variável única para configurações de dimensões superiores. Os tópicos incluem funções de valor escalar e vetorial, gráficos, conjuntos de níveis, limites e derivadas parciais de continuidade, gradientes, planos tangentes, diferenciabilidade, derivadas totais, caminhos de derivadas direcionais, velocidade, aceleração, comprimento de arco, curvatura, campos vetoriais, divergência, ondulação extremos, Hessianos, multiplicadores de Lagrange integrais múltiplos, mudança de variáveis, integrais de linha Jacobianos, integrais de superfície do teorema de Green & rsquos, teorema de Stokes & rsquo e teorema de Gauss & rsquo.
    Veja também Clark e rsquos Catálogo Acadêmico.

  • Proporcionar aos alunos uma boa compreensão dos conceitos e métodos do cálculo multivariado, descritos detalhadamente no programa.
  • Para ajudar os alunos a desenvolver a capacidade de resolver problemas usando o cálculo multivariado.
  • Para conectar o cálculo multivariado a outros campos dentro e fora da matemática.
  • Desenvolver o raciocínio abstrato e crítico através do estudo de provas aplicadas ao cálculo multivariado.

Nem todos os tópicos listados abaixo serão abordados com a mesma profundidade. Algumas são fundamentais e serão abordadas em detalhes, outras indicam outras direções de estudo e serão tratadas como pesquisas. Os únicos conceitos de física que estudaremos em profundidade são velocidade, aceleração, velocidade angular e aceleração angular, mas alguns outros serão mencionados, como força.

Provavelmente, há mais tópicos do que podemos discutir em um semestre, então alguns terão que ser eliminados por causa do tempo. Os candidatos prováveis ​​são aqueles entre colchetes.

Os exercícios listados são provisórios. Eles podem ser alterados à medida que o curso avança.

    Muito do capítulo 1 é uma revisão do material que você já viu no Math 122 ou no Math 130, mas parte dele será novo.

  • R 2 , R 3, notação vetorial, escalares
  • Adição de vetor, vetor zero, multiplicação escalar e suas propriedades
  • Interpretação geométrica de vetores, lei do paralelogramo para adição
  • Exercícios: 1 & ndash11 ímpar, 15, 23, 25
  • Vetores de base padrão eu, j, k
  • Equações paramétricas para linhas
  • Equações de forma simétrica para uma linha em R 3
  • Equações paramétricas para curvas x : R & rarr R 2
  • Velocidade, velocidade e aceleração
  • Exercícios: 1 & ndash7 ímpar, 13, 15, 17, 35, 44
  • Produtos pontuais de vetores, comprimentos de vetores, lei dos cossenos e ângulos
  • Projeções de vetores
  • Normalização de vetores
  • Exercícios: 1 & ndash13 ímpar, 17, 21, 29, 30
  • Produtos cruzados de pares de vetores em R 3
  • Áreas de paralelogramos e triângulos
  • Matrizes, determinantes
  • Produto escalar triplo, volume de um paralelepípedo
  • Rotação, velocidade angular
  • Exercícios: 1, 3, 5, 11 & ndash19 ímpar, 25
  • Equações de planos, equações paramétricas de planos
  • Distância entre um ponto e uma linha
  • Distância entre planos paralelos
  • Distância entre as linhas de inclinação
  • Exercícios: 1, 3, 5, 13, 23, 25, 27, 31
  • Desigualdade de Cauchy, desigualdade de triângulo
  • Base padrão
  • Funções lineares correspondem a matrizes, e composição de funções corresponde à multiplicação de matrizes
  • Hiperplanos
  • Determinantes, menores e cofatores
  • Exercícios: 3, 5, 7, 16 & ndash19, 21 & ndash23, 25, 27, 28a, 30a
  • Coordenadas retangulares
  • Coordenadas polares para aviões
  • Coordenadas cilíndricas e esféricas para o espaço
  • Exercícios: 1 & ndash8, 11, 12, 15 & ndash17
    Você pode ver como os conceitos de limite, continuidade e derivadas se generalizam a partir do caso de uma variável que você viu no cálculo do primeiro ano para muitas variáveis.

    & seção 2.1 Funções de várias variáveis
    • Funções f : X & rarr Ydomínio X, codomínio Y, alcance R(f)
    • Funções onto (sobrejetivo e um-para-um (injetivas)
    • Correspondências um-para-um (funções bijetivas) e seus inversos
    • Funções com valor escalar f : R n & rarr R, também chamados de campos escalares
    • Funções com valor vetorial f : R n & rarr R m , e suas funções de componente feu : R & rarr R m
    • Gráficos de funções R 2 & rarr R como superfícies em R 3, e suas curvas de nível
    • Superfícies em R 3, hipersuperfícies em R n
    • [Superfícies quádricas]
    • Exercícios: 1 & ndash7, 10, 15 & ndash21 ímpar, 31, 39
    • Conceito intuitivo e definição formal de limites para funções multivariadas
    • Conceitos topológicos: subconjuntos abertos e fechados, limites de subconjuntos, vizinhanças de pontos
    • Propriedades dos limites
    • Polinômios multivariados
    • Funções contínuas
    • Exercícios: 7 & ndash13, 29, 30, 38 & ndash43, 47, 48
    • Derivadas parciais para funções com valor escalar (campos escalares)
    • Diferenciabilidade e planos tangentes a gráficos de funções de superfície R 2 & rarr R
    • Diferenciabilidade e hiperplanos tangentes a gráficos de funções de hipersuperfície R n & rarr R
    • Diferenciabilidade para funções com valor vetorial
    • Vetores de gradiente para funções com valor escalar
    • Matriz derivada para funções com valor vetorial
    • Exercícios: 1 & ndash7, 12 & ndash14, 19 & ndash21, 29, 30, 34 & ndash36
    • Linearidade: soma, diferença e regras múltiplas constantes para funções com valor vetorial R n & rarr R m
    • Regras de produto e quociente para funções com valor escalar R n & rarr R
    • Derivadas parciais de ordem superior
    • Exercícios: 1, 2, 9 e ndash11, 20, 28, 29a
    • A regra da cadeia para composição f o g Onde g : R & rarr R n e f : R n & rarr R
    • A regra da cadeia para a composição f o g Onde g : R n & rarr R m e f : R m & rarr R p
    • Conversões polares retangulares
    • Exercícios: 1, 2, 5, 8, 11, 15, 19, 22, 23
    • O campo de vetor gradiente para um campo escalar
    • Derivadas direcionais, definição e avaliação em termos de gradiente
    • Subida mais íngreme
    • Planos tangentes e hiperplanos
    • Exercícios: 2, 3, 12, 13, 15, 16
      & sect 3.1 Curvas parametrizadas Leis de Kepler e rsquos do movimento planetário
      • Funções x : R & rarr R n como caminhos ou curvas parametrizadas
      • Velocidade, velocidade e aceleração
      • Leis Kepler e rsquos do movimento planetário
      • Exercícios: 1 & ndash4, 7, 8, 15, 16
      • Comprimento de um caminho como uma integral
      • Vetor tangente unitário, curvatura de um caminho ou curva
      • Exercícios: 1, 2, 4, 10, 16, 22a
      • Funções f : R n & rarr R como campos escalares
      • Funções F : R n & rarr R n como campos vetoriais
      • O campo gradiente (um campo vetorial) associado a uma função potencial (um campo escalar)
      • Conjuntos equipotenciais
      • Linhas de fluxo de campos vetoriais
      • Exercícios: 1, 4, 9, 10, 19 e ndash21, 24, 26
      • Os operadores del e gradientes
      • O operador del e a divergência de um campo vetorial
      • A ondulação de um campo vetorial em R 3
      • Os campos de gradiente são irrotacionais, ou seja, curl (grad f) = 0
      • Div (ondulação F) = 0
      • Exercícios: 1 & ndash4, 7 & ndash10, 13, 28a
        & sect 4.1 Diferenciais e teorema de Taylor & rsquos
        • Teorema de Taylor & rsquos para funções de variável única como uma extensão do teorema do valor médio
        • Polinômios de Taylor, termo remanescente
        • A fórmula de primeira ordem para o teorema multivariado de Taylor & rsquos
        • Diferenciais totais
        • A fórmula de segunda ordem e o Hessian
        • Polinômios de Taylor de ordem superior
        • Exercícios: 1, 2, 8, 9, 11, 19, 20, 24
        • Mínimos e máximos locais para campos escalares
        • Pontos críticos e o critério de Hessian
        • Formas quadráticas, formas definidas positivas
        • O teste da segunda derivada para extremos de funções com valor escalar
        • Conjuntos compactos, o Teorema do Valor Extremo (EVT)
        • Exercícios: 3 & ndash6, 13 & ndash16
        • Restrições equacionais
        • Multiplicadores de Lagrange para extremos sujeitos a restrições
        • Exercícios: 3, 4, 5, 9
        • [Aproximação dos mínimos quadrados]
        • [Aplicações à economia]
          & sect 5.1 Áreas e volumes
          • Volumes sobre retângulos como integrais duplos
          • Exercícios: 1, 2, 3, 6, 9
          • Integrais duplos sobre retângulos definidos como somas de Riemann, integrabilidade
          • Condições para integrabilidade
          • Teorema de Fubini e rsquos, linearidade de integrais, outras propriedades básicas
          • Integrais duplas sobre regiões gerais
          • Exercícios: 5 & ndash7, 10, 16
          • Exercícios: 3 & ndash6, 15, 17
          • Integrais triplos sobre caixas
          • Propriedades de integrais triplos
          • Integrais triplos sobre regiões gerais
          • Exercícios: 1, 2, 5, 6, 11, 13, 17
          • Transformações do plano R 2 & rarr R 2
          • Transformações lineares e seus fatores de expansão
          • Mudança de variáveis ​​em integrais definidos de uma variável
          • Mudança de variáveis ​​para integrais duplos, o Jacobiano
          • Integrais duplos em coordenadas polares
          • Mudança de variáveis ​​para integrais triplos
          • Exercícios: 1, 3, 9, 13, 17
          • [Valor médio (valor médio) de uma função de valor escalar]
          • [Centro de gravidade]
            & sect 6.1 Integrais escalares e vetoriais de linha
            • Integrais de linha escalar
            • Integrais de linha vetorial
            • Reparameterização
            • Exercícios: 1 & ndash3, 9, 16, 17, 34
            • Teorema de Green & rsquos
            • Teorema da divergência no plano
            • Exercícios: 1 & ndash3, 7, 9, 15, 17
            • Campos de vetor com integrais de linha independentes de caminho
            • Campos de gradiente e integrais de linha, campos vetoriais conservadores
            • Exercícios: 3 & ndash6
              & sect 7.1 Superfícies parametrizadas
              • Curvas de coordenadas, vetores normais, planos tangentes
              • Superfícies lisas e suaves por partes
              • Áreas de superfícies
              • Exercícios: 1, 3, 24, 26
              • Integrais de superfície escalar
              • Integrais de superfície vetorial
              • Reparameterização de superfícies
              • Exercícios: 1, 3, 7, 11
              • Teorema de Stokes & rsquo
              • Teorema de Gauss & rsquo
              • Divergência e ondulação
              • Exercícios: 1, 3, 7, 9

              1. Segunda-feira, 13 de janeiro de 2014. Bem-vindo à aula! Esboço do curso.
                Coisas que você precisa saber sobre álgebra linear
                Pré-visualizar. Funções de estudo We & rsquoll R n & rarr R m onde não ambos n e m são 1. Três tipos importantes destes.
                • Quando m = 1, f : R n & rarr R, é uma função com valor escalar ou um campo escalar.
                • Quando n = 1, x : R & rarr R n parametriza uma curva em n-space, isto é, o caminho de um ponto móvel.
                • Quando m = n, F : R n & rarr R n descreve um campo vetorial em R n .


              Notas complementares para cálculo multivariável, partes I a V

              As notas suplementares incluem materiais de pré-requisito, provas detalhadas e tratamentos mais profundos de tópicos selecionados.

              • Capítulo 1: Uma introdução à estrutura matemática (PDF - 3,4 MB)
              • Capítulo 2: Uma introdução à aritmética vetorial (PDF - 2.1 MB)
              • Capítulo 3: Uma introdução ao cálculo vetorial (PDF - 2.6 MB)
              • Capítulo 4: Uma introdução às funções de várias variáveis ​​reais (PDF - 5.4 MB)
              • Capítulo 5: Derivados em espaços n-dimensionais (PDF - 3,0 MB)
              • Capítulo 6: Álgebra de matriz no estudo de funções de várias variáveis ​​(PDF - 7,6 MB)
              • Capítulo 7: Aplicações de Álgebra Linear para Funções Não Lineares (PDF - 2.1 MB)

              Livro didático: O curso faz referência ao livro-texto esgotado citado abaixo, mas qualquer livro-texto mais recente será suficiente para expandir os tópicos cobertos nas aulas em vídeo.

              Thomas, George B. Cálculo e geometria analítica. Addison-Wesley, 1968. ISBN: 9780201075250.


              Funções de variáveis ​​múltiplas (exercícios) - Matemática

              A função de uma variável pode ser representada por um gráfico simples. O eixo horizontal corresponde à variável independente e o eixo vertical corresponde à variável dependente. O valor da função corresponde à altura acima do eixo horizontal. O gráfico abaixo é da função f (x) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32.

              Funções de várias variáveis

              Uma função de várias variáveis ​​possui várias variáveis ​​independentes. Um exemplo é a temperatura na superfície da Terra. Suponha que desejamos descrever a temperatura em um determinado instante no tempo. A temperatura depende da posição. São necessárias duas coordenadas para representar a posição na superfície da Terra, longitude e latitude. Deixe as variáveis ​​xey representarem essas quantidades, respectivamente. Então, podemos definir T (x, y) como a função de temperatura. Dados xey podemos determinar a temperatura. Esta é uma função de 2 variáveis.

              Uma função de 2 variáveis ​​é representada graficamente por uma superfície no espaço tridimensional. Para a função de temperatura acima, uma posição na superfície da Terra é representada por um ponto no plano xy. A temperatura nessa posição é representada pela altura da superfície acima do plano xy. A figura abaixo plota a superfície correspondente à função f (x, y) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32-y ^ 2.

              • Funções de temperatura T (x, y, t), onde x e y representam o
                posição e t representa o tempo
              • Funções de densidade p (x, y, z) para um sólido tridimensional, onde
                x, y e z representam as coordenadas de posição e p (x, y, z) é
                a densidade em kg / m ^ 3
              • Funções de concentração C (x, y, z ,, t), onde x, y e z representam
                posição, t é o tempo, e C (x, y, z, t) é a concentração de um
                substância em uma solução.

              Abaixo estão os gráficos de alguns exemplos de funções de duas variáveis. À esquerda está um gráfico da função z = x ^ 2 + y ^ 2 e à direita está um gráfico da função z = sin (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)).

              É difícil representar completamente uma função de mais de 2 variáveis ​​graficamente, uma vez que para uma função de n variáveis, n + 1 espaço dimensional é necessário.


              Funções de variáveis ​​múltiplas (exercícios) - Matemática

              Cálculo é o estudo das funções.

              As funções de três variáveis ​​são semelhantes em muitos aspectos às de duas variáveis. Uma diferença primária, entretanto, é que os gráficos de funções de mais de duas variáveis ​​não podem ser visualizados diretamente, pois têm dimensão maior que três. No entanto, ainda podemos usar curvas de fatia, superfícies de fatia, contornos e conjuntos de níveis para examinar essas funções de dimensão superior.

              As funções mais simples são funções constantes e funções lineares.


              Quando descrevemos um hiperplano como o gráfico de uma função linear f (x, y, z) = px + qy + rz + k, estamos atribuindo um papel especial à origem. Freqüentemente, é mais conveniente considerar os planos através de um determinado ponto (x0, y0, z0,C0) no espaço, e podemos descrever tal plano com inclinação x p, inclinação y q e inclinação z r pela condição w-w0 = p (x-x0) + q (y-y0) + r (z-z0) Escolhendo diferentes valores das inclinações p, q e r, obtemos todos os hiperplanos não verticais através de (x0, y0, z0,C0).

              A função mais simples de todas é a função zero, definido por f (x, y, z) = 0 para todos x, y, z. Esta função pode ser definida para qualquer domínio, e o intervalo será sempre o único ponto .

              A próxima classe de funções mais simples são as funções constantes definido por f (x, y, z) = k para todos x, y, z. Uma função constante pode ser definida para qualquer domínio, e o intervalo sempre será o único ponto .

              Funções lineares são a próxima classe mais simples de funções, definidas por L (x, y, z) = px + qy + rz + k para constantes p, q, r, e k. Os números p, q e r são chamados de x-declive, a y-declive, e as z-declive da função linear e k é chamado de C-interceptar. O domínio natural da função linear eu é tudo triplo (x, y, z) de números reais. Se p & # 8800 0 ou q & # 8800 0 ou r & # 8800 0, então o intervalo de eu são todos números reais.

              O cálculo de três variáveis ​​considera funções de três variáveis ​​reais.

              O domínio de uma função de três variáveis ​​é um subconjunto do espaço 3 de coordenadas <(x, y, z) | x, y, z & # 8712 >.

              O alcance de uma função de valor real f é a coleção de todos os números reais f (x, y, z) Onde (x, y, z) está no domínio de f.

              O exemplo mais simples de uma função é o função constante que atribui o número real k para todos (x, y, z) no domínio. O intervalo desta função é o conjunto contendo um ponto. O próximo exemplo mais simples é um linear função definida pela fórmula f (x, y, z) = px + qy + rz + k Onde p, q, e r são as encostas parciais da função linear e k denota o seu C-interceptar.. O intervalo desta função é todos os números reais se p, q, e r não são todos zero, e apenas o valor E se p = 0, q = 0, e r = 0.

              Como mencionado antes, o gráfico de uma função de 3 variáveis ​​é um hiperplano tridimensional situado no espaço 4. Portanto, o gráfico não pode ser visualizado diretamente, o domínio em si já é tridimensional.


              Para cada ponto (x0, y0, z0) no domínio de uma função f, a interseção do gráfico de f com o plano vertical x = x0, y = y0 será o (x0, y0) -curva de corte (x0, y0, z, f (x0, y0, z)). O domínio do x0-slice curve é o conjunto de z para o qual (x0, y0, z) está no domínio de f.

              Da mesma forma, definimos o (y0, z0) -curva de corte para ser (x, y0, z0, f (x, y0, z0)) para todo x tal que (x, y0, z0) está no domínio de f, e definimos o (x0, z0) -curva de corte para ser (x0, y, z0, f (x0, y, z0)) para todo y tal que (x, y0, z0) está no domínio de f.


              Para cada ponto (x0, y0, z0) no domínio de uma função f, a interseção do gráfico de f com o hiperplano vertical z = z0, será o z0-superfície de corte (x, y, z0, f (x, y, z0)). O domínio do z0-slice surface é o conjunto de (x, y) para o qual (x, y, z0) está no domínio de f.

              Da mesma forma, definimos o y0-slice superfície para ser (x, y0, z, f (x, y0, z)) para todos (x, z) de modo que (x, y0, z) está no domínio de f, e definimos x0-superfície de corte para ser (x0, y, z, f (x0, y, z)) para todos (y, z) de modo que (x0, y, z) está no domínio de f.



              A coleção de todos os pontos (x, y, z) no domínio de uma função f para qual f (x, y, z) = k é chamado de level set of f at level k.

              The set of points (x,y,z,f(x,y,z)) in the graph of f in four-dimensional space for which f(x,y,z) = k is called the contour of f at height k.

              A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of f de tal modo que f(x(t),y(t),z(t)) = k is called a level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) de tal modo que f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k is called a level surface of f at level k.


              We can also construct a color graph of the function f by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


              One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0,y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0,y0,z0) Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0,y0,z0) + ε and z = f(x0,y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0,y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

              According to the epsilon-delta definition, a function f of three real variables is said to be continuous at (x0,y0,z0) if for any ε > 0 there exists a δ de tal modo que | f(x,y,z) - f(x0,y0,z0) | < ε whenever | (x,y,z) - (x0,y0,z0) | < δ.

              A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0,y0,z0) in its domain.


              Functions of Multiple Variables (Exercises) - Mathematics

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              By using the L'Hospital's rule find the limit of a function :


              Assista o vídeo: FUNÇÃO SE Excel com MAIS DE UMA CONDIÇÃO Função E e Função OU (Outubro 2021).