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13,4: Comprimento do Arco e Curvatura


Nesta seção, estudamos fórmulas relacionadas a curvas em duas e três dimensões e vemos como elas estão relacionadas a várias propriedades da mesma curva. Por exemplo, suponha que uma função com valor vetorial descreve o movimento de uma partícula no espaço. Gostaríamos de determinar a distância percorrida pela partícula em um determinado intervalo de tempo, que pode ser descrito pelo comprimento do arco do caminho que segue. Ou, suponha que a função de valor vetorial descreve uma estrada que estamos construindo e queremos determinar a curva da estrada em um determinado ponto. Isso é descrito pela curvatura da função naquele ponto. Exploramos cada um desses conceitos nesta seção.

Comprimento do arco para funções vetoriais

Vimos como uma função com valor vetorial descreve uma curva em duas ou três dimensões. Lembre-se de que a fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida pelas funções paramétricas (x = x (t) ) e (y = y (t) ), para (t_1≤t≤t_2 ) é dada de

[s = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} , dt. ]

De forma semelhante, se definirmos uma curva suave usando uma função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), onde (a≤t≤b ), o comprimento do arco é dado pela fórmula

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2} , dt. ]

Em três dimensões, se a função de valor vetorial é descrita por ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf { j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ) no mesmo intervalo (a≤t≤b ), o comprimento do arco é dado por

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2+ (h ′ (t)) ^ 2} , dt . ]

Teorema: Fórmulas de comprimento de arco para curvas planas e espaciais

Curva plana: Dada uma curva suave (C ) definida pela função ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), onde (t ) está dentro do intervalo ([a, b] ), o comprimento do arco de (C ) sobre o intervalo é

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2} , dt [5pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | , dt. label {Arc2D} end {align} ]

Curva de espaço: Dada uma curva suave (C ) definida pela função ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ), onde (t ) está dentro do intervalo ([a, b] ), o comprimento do arco de (C ) ao longo do intervalo é

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} , dt [5pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | , dt. label {Arc3D} end {align} ]

As duas fórmulas são muito semelhantes; eles diferem apenas no fato de que uma curva de espaço tem três funções componentes em vez de duas. Observe que as fórmulas são definidas para curvas suaves: curvas onde a função de valor vetorial ( vecs r (t) ) é diferenciável com uma derivada diferente de zero. A condição de suavidade garante que a curva não tenha cúspides (ou cantos) que possam tornar a fórmula problemática.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o comprimento do arco

Calcule o comprimento do arco para cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

  1. ( vecs r (t) = (3t − 2) , hat { mathbf {i}} + (4t + 5) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t≤5 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t cos t, t sin t, 2t⟩, 0≤t≤2 pi )

Solução

  1. Usando a equação ref {Arc2D}, ( vecs r ′ (t) = 3 , hat { mathbf {i}} + 4 , hat { mathbf {j}} ), então

    [ begin {align *} s ; & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | , dt & = int ^ {5} _ {1} sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2 } , dt [5pt] & = int ^ {5} _ {1} 5 , dt = 5t big | ^ {5} _ {1} = 20. end {alinhar *} ]

  2. Usando a equação ref {Arc3D}, ( vecs r ′ (t) = ⟨ cos t − t sin t, sin t + t cos t, 2⟩ ),

    [ begin {align *} s ; & = int ^ {b} _ {a} ∥ vecs r ′ (t) ∥ , dt & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos t − t sin t) ^ 2 + ( sin t + t cos t) ^ 2 + 2 ^ 2} , dt [5pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos ^ 2 t − 2t sin t cos t + t ^ 2 sin ^ 2 t) + ( sin ^ 2 t + 2t sin t cos t + t ^ 2 cos ^ 2 t) +4} , dt & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t + t ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) +4 } , dt [5pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} , dt end {alinhar *} ]

    Aqui podemos usar uma fórmula de integração de tabela

    [ int sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln , left | , u + sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} , right | + C, nonumber ]

    então obtemos

    [ begin {align *} int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} , dt ; & = frac {1} {2} bigg (t sqrt {t ^ 2 + 5} +5 ln , left | t + sqrt {t ^ 2 + 5} right | bigg) _0 ^ {2π} [5pt] & = frac {1} {2} bigg (2π sqrt {4π ^ 2 + 5} +5 ln bigg (2π + sqrt {4π ^ 2 + 5} bigg) bigg) - frac {5} {2} ln sqrt {5} [5pt] e ≈25,343 , text {unidades}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Calcule o comprimento do arco da curva parametrizada

[ vecs r (t) = ⟨2t ^ 2 + 1,2t ^ 2−1, t ^ 3⟩, quad 0≤t≤3. enhum número]

Dica

Use a Equação ref {Arc3D}.

Responder

( vecs r ′ (t) = ⟨4t, 4t, 3t ^ 2⟩, ) então (s = frac {1} {27} (113 ^ {3/2} −32 ^ {3/2 }) ≈37,785 ) unidades

Agora retornamos à hélice apresentada anteriormente neste capítulo. Uma função com valor de vetor que descreve uma hélice pode ser escrita na forma

[ vecs r (t) = R cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + R sin left ( dfrac {2πNt} { h} right) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}}, 0≤t≤h, ]

onde (R ) representa o raio da hélice, (h ) representa a altura (distância entre duas voltas consecutivas) e a hélice completa (N ) voltas. Vamos derivar uma fórmula para o comprimento do arco desta hélice usando a Equação ref {Arc3D}. Em primeiro lugar,

[ vecs r ′ (t) = - dfrac {2πNR} {h} sin left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + dfrac { 2πNR} {h} cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {j}} + , hat { mathbf {k}}. ]

Portanto,

[ begin {align} s ; & = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt [5pt]
& = int_0 ^ h sqrt { bigg (- dfrac {2πNR} {h} sin bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {2πNR } {h} cos bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + 1 ^ 2} , dt [5pt]
& = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} bigg ( sin ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) + cos ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) +1} , dt [5pt]
& = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} , dt [5pt]
& = bigg [t sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} bigg] ^ h_0 [5pt]
& = h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2} {h ^ 2}} [5pt]
& = sqrt {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2}. end {align} ]

Isso fornece uma fórmula para o comprimento de um fio necessário para formar uma hélice com (N ) voltas que tem raio (R ) e altura (h ).

Parametrização de comprimento de arco

Agora temos uma fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida por uma função de valor vetorial. Vamos dar um passo adiante e examinar o que função de comprimento de arco é.

Se uma função de valor vetorial representa a posição de uma partícula no espaço em função do tempo, então a função de comprimento de arco mede a distância que aquela partícula viaja em função do tempo. A fórmula para a função de comprimento do arco segue diretamente da fórmula para o comprimento do arco:

[s = int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du. label {arclength2} ]

Se a curva estiver em duas dimensões, apenas dois termos aparecerão sob a raiz quadrada dentro da integral. A razão para usar a variável independente você é distinguir entre o tempo e a variável de integração. Como (s (t) ) mede a distância percorrida em função do tempo, (s ′ (t) ) mede a velocidade da partícula em um determinado momento. Como temos uma fórmula para (s (t) ) na Equação ref {arclength2}, podemos diferenciar os dois lados da equação:

[ begin {align} s ′ (t) ; & = dfrac {d} {, dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (U)) ^ 2} du bigg] [5pt]
& = dfrac {d} {, dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖du bigg] [5pt]
& = | vecs r ′ (t) |. end {align} ]

Se assumirmos que ( vecs r (t) ) define uma curva suave, então o comprimento do arco está sempre aumentando, então (s ′ (t)> 0 ) para (t> a ). Por último, se ( vecs r (t) ) é uma curva na qual ( | vecs r ′ (t) | = 1 ) para todos (t ), então

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du = int ^ {t} _ {a} 1 , du = t − a, ]

o que significa que (t ) representa o comprimento do arco, contanto que (a = 0 ).

Teorema: Função de comprimento de arco

Deixe ( vecs r (t) ) descrever uma curva suave para (t≥a ). Então, a função de comprimento de arco é dada por

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du ]

Além disso, ( frac {ds} {, dt} = ‖ vecs r ′ (t) ‖> 0. ) Se (‖ vecs r ′ (t) ‖ = 1 ) para todos (t) ≥a ), então o parâmetro (t ) representa o comprimento do arco do ponto inicial em (t = a ).

Uma aplicação útil deste teorema é encontrar uma parametrização alternativa de uma dada curva, chamada de parametrização do comprimento do arco. Lembre-se de que qualquer função com valor vetorial pode ser reparametrizada por meio de uma mudança de variáveis. Por exemplo, se tivermos uma função ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t⟩, 0≤t≤2π ) que parametriza um círculo de raio 3, podemos alterar o parâmetro de (t ) a (4t ), obtendo uma nova parametrização ( vecs r (t) = ⟨3 cos 4t, 3 sin 4t⟩ ). A nova parametrização ainda define um círculo de raio 3, mas agora precisamos apenas usar os valores (0≤t≤π / 2 ) para percorrer o círculo uma vez.

Suponha que encontremos a função de comprimento de arco (s (t) ) e possamos resolver esta função para (t ) como uma função de (s ). Podemos então reparameterizar a função original ( vecs r (t) ) substituindo a expressão por (t ) de volta em ( vecs r (t) ). A função com valor vetorial agora é escrita em termos do parâmetro (s ). Uma vez que a variável (s ) representa o comprimento do arco, chamamos isso de parametrização do comprimento do arco da função original ( vecs r (t) ). Uma vantagem de encontrar a parametrização do comprimento do arco é que a distância percorrida ao longo da curva a partir de (s = 0 ) agora é igual ao parâmetro (s ). A parametrização do comprimento do arco também aparece no contexto da curvatura (que examinaremos mais tarde nesta seção) e integrais de linha.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando uma Parametrização de Comprimento de Arco

Encontre a parametrização do comprimento do arco para cada uma das seguintes curvas:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}}, quad t≥0 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩, quad t≥3 )

Solução

  1. Primeiro encontramos a função de comprimento de arco usando a Equação ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) ; & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [5pt]
    & = int_0 ^ t ‖⟨ − 4 sin u, 4 cos u⟩‖ , du [5pt]
    & = int_0 ^ t sqrt {(- 4 sin u) ^ 2 + (4 cos u) ^ 2} , du [5pt]
    & = int_0 ^ t sqrt {16 sin ^ 2 u + 16 cos ^ 2 u} , du [5pt]
    & = int_0 ^ t 4 , du = 4t, end {align *} ]

  2. que dá a relação entre o comprimento do arco (s ) e o parâmetro (t ) como (s = 4t; ) então, (t = s / 4 ). Em seguida, substituímos a variável (t ) na função original ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) com a expressão (s / 4 ) para obter

    [ vecs r (s) = 4 cos left ( frac {s} {4} right) , hat { mathbf {i}} + 4 sin left ( frac {s} { 4} right) , hat { mathbf {j}}. enhum número]

    Esta é a parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ). Uma vez que a restrição original em (t ) foi dada por (t≥0 ), a restrição em s torna-se (s / 4≥0 ), ou (s≥0 ).
  3. A função de comprimento de arco é dada pela Equação ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) ; & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [5pt]
    & = int_3 ^ t ‖⟨1,2,2⟩‖ , du [5pt]
    & = int_3 ^ t sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2} , du [5pt]
    & = int_3 ^ t 3 , du [5pt]
    & = 3t - 9. end {align *} ]

    Portanto, a relação entre o comprimento do arco (s ) e o parâmetro (t ) é (s = 3t − 9 ), então (t = frac {s} {3} +3 ). Substituindo isso na função original ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ ) resulta

    [ vecs r (s) = ⟨ left ( frac {s} {3} +3 right) +3, , 2 left ( frac {s} {3} +3 right) −4 , , 2 left ( frac {s} {3} +3 right)⟩ = ⟨ frac {s} {3} +6, frac {2s} {3} +2, frac {2s} {3} + 6⟩. Não numérico ]

    Esta é uma parametrização de comprimento de arco de ( vecs r (t) ). A restrição original no parâmetro (t ) era (t≥3 ), então a restrição em s é ((s / 3) + 3≥3 ), ou (s≥0 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a função de comprimento de arco para a hélice

[ vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩, quad t≥0. enhum número]

Então, use a relação entre o comprimento do arco e o parâmetro (t ) para encontrar uma parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ).

Dica

Comece encontrando a função de comprimento do arco.

Responder

(s = 5t ) ou (t = s / 5 ). Substituindo isso em ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩ ) dá

( vecs r (s) = ⟨3 cos left ( frac {s} {5} right), 3 sin left ( frac {s} {5} right), frac {4s } {5}⟩, quad s≥0 ).

Curvatura

Um tópico importante relacionado ao comprimento do arco é a curvatura. O conceito de curvatura fornece uma maneira de medir a nitidez de uma curva suave. Um círculo tem curvatura constante. Quanto menor for o raio do círculo, maior será a curvatura.

Pense em dirigir em uma estrada. Suponha que a estrada esteja em um arco de um grande círculo. Nesse caso, você mal precisaria girar o volante para permanecer na estrada. Agora suponha que o raio seja menor. Nesse caso, você precisaria fazer uma curva mais brusca para permanecer na estrada. No caso de uma curva diferente de um círculo, muitas vezes é útil primeiro inscrever um círculo na curva em um determinado ponto de modo que seja tangente à curva naquele ponto e "abraça" a curva o mais próximo possível em um vizinhança do ponto (Figura ( PageIndex {1} )). A curvatura do gráfico nesse ponto é então definida para ser igual à curvatura do círculo inscrito.

Como o vetor unitário ( vecs T (t) ) não muda de comprimento, a curvatura pode ser descrita como uma medida da velocidade em que o direção do movimento está mudando. Como o parâmetro aqui é (s ), forçamos a variação da velocidade de deslocamento ao longo do caminho para fora desta medição.

A fórmula na definição da curvatura não é muito útil em termos de cálculo. Em particular, lembre-se de que ( vecs T (t) ) representa o vetor tangente unitário para uma determinada função de valor vetorial ( vecs r (t) ), e a fórmula para ( vecs T (t) ) é

[ vecs T (t) = frac { vecs r ′ (t)} {∥ vecs r ′ (t) ∥}. ]

Para usar a fórmula da curvatura, é necessário primeiro expressar ( vecs r (t) ) em termos do parâmetro de comprimento do arco (s ), depois encontrar o vetor tangente unitário ( vecs T (s ) ) para a função ( vecs r (s) ), então tire a derivada de ( vecs T (s) ) em relação a (s ). Este é um processo tedioso. Felizmente, existem fórmulas equivalentes para curvatura.

Teorema: Fórmulas Alternativas de Curvatura

Se (C ) é uma curva suave dada por ( vecs r (t) ), então a curvatura (κ ) de (C ) em (t ) é dada por

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. label {EqK2} ]

Se (C ) é uma curva tridimensional, então a curvatura pode ser dada pela fórmula

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. label {EqK3} ]

Se (C ) é o gráfico de uma função (y = f (x) ) e ambos (y ′ ) e (y '' ) existem, então a curvatura (κ ) no ponto ((x, y) ) é dado por

[κ = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}}. label {EqK4} ]

Prova

A primeira fórmula segue diretamente da regra da cadeia:

[ dfrac {d vecs {T}} {, dt} = dfrac {d vecs {T}} {ds} dfrac {ds} {, dt}, nonumber ]

onde (s ) é o comprimento do arco ao longo da curva (C ). Dividindo ambos os lados por (ds / , dt ), e tomando a magnitude de ambos os lados dá

[ bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = left lVert frac { vecs T ′ (t)} { dfrac {ds} { , dt}} right rVert. nonumber ]

Uma vez que (ds / , dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ), isso dá a fórmula para a curvatura (κ ) de uma curva (C ) em termos de qualquer parametrização de (C ):

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. nonumber ]

No caso de uma curva tridimensional, começamos com as fórmulas ( vecs T (t) = ( vecs r ′ (t)) / ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) e (ds / , dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Portanto, ( vecs r ′ (t) = (ds / , dt) vecs T (t) ). Podemos tirar a derivada desta função usando a fórmula do produto escalar:

[ vecs r ″ (t) = dfrac {d ^ 2s} {, dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {, dt} vecs T ′ (t). nenhum número]

Usando essas duas últimas equações, obtemos

[ begin {align *} vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ; & = dfrac {ds} {, dt} vecs T (t) × bigg ( dfrac {d ^ 2s} {, dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} { , dt} vecs T ′ (t) bigg) & = dfrac {ds} {, dt} dfrac {d ^ 2s} {, dt ^ 2} vecs T (t) × vecs T (t) + ( dfrac {ds} {, dt}) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). end {align *} ]

Uma vez que ( vecs T (t) × vecs T (t) = 0 ), isso se reduz a

[ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) = left ( dfrac {ds} {, dt} right) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t ). enhum número]

Uma vez que ( vecs T ′ ) é paralelo a ( vecs N ), e ( vecs T ) é ortogonal a ( vecs N ), segue-se que ( vecs T ) e ( vecs T ′ ) são ortogonais. Isso significa que (‖ vecs T × vecs T′‖ = ‖ vecs T‖‖ vecs T′‖ sin (π / 2) = ‖ vecs T′‖ ), então

[ | vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) | = left ( dfrac {ds} {, dt} right) ^ 2 ” vecs T ′ (t) ‖. enhum número]

Agora resolvemos esta equação para (‖ vecs T ′ (t) ‖ ) e usamos o fato de que (ds / , dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ):

[‖ Vecs T ′ (t) ‖ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 2}. Nonumber ]

Em seguida, dividimos ambos os lados por (‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Isto dá

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ Vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. Nonumber ]

Isso prova ( ref {EqK3} ). Para provar ( ref {EqK4} ), partimos do pressuposto de que a curva (C ) é definida pela função (y = f (x) ). Então, podemos definir ( vecs r (t) = x , hat { mathbf {i}} + f (x) , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ). Usando a fórmula anterior para curvatura:

[ begin {align *} vecs r ′ (t) ; & = , hat { mathbf {i}} + f ′ (x) , hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r ″ (t) ; & = f ″ (x) , hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ; & = begin {vmatrix} hat { mathbf {i}} & , hat { mathbf {j}} & , hat { mathbf {k}} 1 & f ′ (x) & 0 0 & f ″ (x) & 0 end {vmatrix} = f ″ (x) , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Portanto,

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} = dfrac {| f ″ (x) |} {(1+ [f ′ (x)] ^ 2) ^ {3/2}} não numérico ]

Observe que, no contexto do movimento, a primeira fórmula alternativa pode ser reescrita

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs v (t) ‖}. ]

Considerando o que foi dito acima sobre a curvatura ser uma medida da velocidade na qual a direção do movimento está mudando em um ponto, observe que normalizamos esta medição desta vez dividindo a velocidade real de viagem ao longo da curva no momento dado .

A segunda fórmula alternativa pode ser reescrita como

[κ = dfrac {‖ vecs v (t) × vecs a (t) ‖} {‖ vecs v (t) ‖ ^ 3}. ]

Lembre-se de que o produto vetorial mede a extensão em que os dois vetores estão alinhados, retornando seu maior valor quando eles são ortogonais. Observe também que o componente de aceleração ortogonal à velocidade é a única parte com a qual nos importamos aqui, pois é o componente que afetará a mudança de direção do movimento. O componente de aceleração que está alinhado com a velocidade (e tangente à curva) afetará apenas a velocidade do movimento, que está sendo ignorada em nossa medição de curvatura. Observe que um fator de ( frac {1} {‖ vecs v (t) ‖} ) se multiplicará no produto vetorial para fazer o primeiro vetor ser ( vecs T (t) ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a Curvatura

Encontre a curvatura para cada uma das seguintes curvas no ponto determinado:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf { k}}, quad t = dfrac {4π} {3} )
  2. (f (x) = sqrt {4x − x ^ 2}, quad x = 2 )

Solução

  1. Esta função descreve uma hélice.

A curvatura da hélice em (t = (4π) / 3 ) pode ser encontrada usando ( ref {EqK2} ). Primeiro, calcule ( vecs T (t) ):

[ begin {align *} vecs T (t) ; & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [5pt] & = dfrac {⟨− 4 sin t, 4 cos t, 3⟩} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [5pt] & = ⟨− dfrac {4} {5} sin t, dfrac {4} {5} cos t, dfrac {3} {5}⟩. end {align *} ]

A seguir, calcule ( vecs T ′ (t): )

[ vecs T ′ (t) = ⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩. enhum número]

Por último, aplique ( ref {EqK2} ):

[ begin {align *} κ ; & = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4 } {5} sin t, 0⟩‖} {‖⟨ − 4 sin t, 4 cos t, 3⟩‖} [5pt] & = dfrac { sqrt {(- dfrac {4} {5} cos t) ^ 2 + (- dfrac {4} {5} sin t) ^ 2 + 0 ^ 2}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [5pt] & = dfrac {4/5} {5} = dfrac {4} {25}. end {align *} ]

A curvatura desta hélice é constante em todos os pontos da hélice.

  1. Esta função descreve um semicírculo.

Para encontrar a curvatura deste gráfico, devemos usar ( ref {EqK4} ). Primeiro, calculamos (y ′ ) e (y ″: )

[ begin {align *} y ; & = sqrt {4x − x ^ 2} = (4x − x ^ 2) ^ {1/2} [5pt] y ′ ; & = dfrac {1} {2} (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} (4−2x) = (2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} [5pt] y ″ ; & = - (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} + (2 − x) (- dfrac {1} {2}) (4x − x ^ 2) ^ {- 3/2} (4 −2x) [5pt] & = - dfrac {4x − x ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} - dfrac {(2 − x) ^ 2} {(4x −x ^ 2) ^ {3/2}} [5pt] & = dfrac {x ^ 2−4x− (4−4x + x ^ 2)} {(4x − x ^ 2) ^ {3 / 2}} [5pt] & = - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}}. end {align *} ]

Em seguida, aplicamos ( ref {EqK4} ):

[ begin {align *} κ ; & = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}} [5pt]
& = dfrac { bigg | - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1 + ((2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2 }) ^ 2 bigg] ^ {3/2}} = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1+ dfrac {(2 − x) ^ 2} {4x − x ^ 2} bigg ] ^ {3/2}} [5pt]
& = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [ dfrac {4x − x ^ 2 + x ^ 2−4x + 4} {4x − x ^ 2} bigg] ^ {3/2}} = bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg | ⋅ dfrac {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} {8} [5pt]
& = dfrac {1} {2}. end {align *} ]

A curvatura deste círculo é igual ao recíproco de seu raio. Há um pequeno problema com o valor absoluto em ( ref {EqK4} ); no entanto, uma análise mais detalhada do cálculo revela que o denominador é positivo para qualquer valor de (x ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a curvatura da curva definida pela função

[y = 3x ^ 2−2x + 4 nonumber ]

no ponto (x = 2 ).

Dica

Use ( ref {EqK4} ).

Responder

(κ ; = frac {6} {101 ^ {3/2}} ≈0,0059 )

Os vetores normais e binormais

Vimos que a derivada ( vecs r ′ (t) ) de uma função de valor vetorial é um vetor tangente à curva definida por ( vecs r (t) ), e o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) pode ser calculado dividindo ( vecs r ′ (t) ) por sua magnitude. Ao estudar o movimento em três dimensões, dois outros vetores são úteis para descrever o movimento de uma partícula ao longo de um caminho no espaço: o vetor normal da unidade principal e o vetor binormal.

Definição: vetores binormais

Seja (C ) um tridimensional suave curva representada por ( vecs r ) ao longo de um intervalo aberto (I ). Se ( vecs T ′ (t) ≠ vecs 0 ), então o vetor normal da unidade principal em (t ) é definido como

[ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖}. label {EqNormal} ]

O vetor binormal em (t ) é definido como

[ vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t), label {EqBinormal} ]

onde ( vecs T (t) ) é o vetor tangente unitário.

]

onde ( theta ) é o ângulo entre ( vecs T (t) ) e ( vecs N (t) ). Uma vez que ( vecs N (t) ) é a derivada de um vetor unitário, a propriedade (vii) da derivada de uma função com valor vetorial nos diz que ( vecs T (t) ) e ( vecs N (t) ) são ortogonais entre si, então ( theta = π / 2 ). Além disso, ambos são vetores unitários, então sua magnitude é 1. Portanto, (‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta = (1) (1) sin (π / 2) = 1 ) e ( vecs B (t) ) é um vetor unitário.

O cálculo do vetor normal unitário principal pode ser difícil porque o vetor tangente unitário envolve um quociente, e esse quociente geralmente tem uma raiz quadrada no denominador. No caso tridimensional, encontrar o produto vetorial do vetor tangente unitário e do vetor normal unitário pode ser ainda mais complicado. Felizmente, temos fórmulas alternativas para encontrar esses dois vetores, e eles são apresentados em Movimento no Espaço.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando o vetor normal da unidade principal e o vetor binormal

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, encontre o vetor normal da unidade principal. Então, se possível, encontre o vetor binormal.

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} - 4 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = (6t + 2) , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} - 8t , hat { mathbf { k}} )

Solução

  1. Esta função descreve um círculo.

Para encontrar o vetor normal unitário principal, primeiro devemos encontrar o vetor tangente unitário ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) ; & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [5pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (- 4 cos t) ^ 2}} [5pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 sin ^ 2 t + 16 cos ^ 2 t}} [5pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 ( sin ^ 2 t + cos ^ 2 t)}} [5pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} {4} [5pt]
& = - sin t , hat { mathbf {i}} - cos t , hat { mathbf {j}}. End {alinhar *} ]

A seguir, usamos ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) ; & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [5pt]
& = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2}} [5pt]
& = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t }} [5pt]
& = - cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

Observe que o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário principal são ortogonais entre si para todos os valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) ; & = ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨− cos t, sin t⟩ & = sin t cos t− cos t sin t & = 0. end {align *} ]

Além disso, o vetor normal da unidade principal aponta para o centro do círculo a partir de todos os pontos do círculo. Como ( vecs r (t) ) define uma curva em duas dimensões, não podemos calcular o vetor binormal.

  1. Esta função tem a seguinte aparência:

Para encontrar o vetor normal unitário principal, primeiro encontramos o vetor tangente unitário ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) ; & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [5pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {6 ^ 2+ (10t) ^ 2 + (- 8) ^ 2}} [5pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {36+ 100t ^ 2 + 64}} [5pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {100 ( t ^ 2 + 1)}} [5pt]
& = dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} [5pt]
& = dfrac {3} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {i}} - t (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2 } , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Em seguida, calculamos ( vecs T ′ (t) ) e (‖ vecs T ′ (t) ‖ ):

[ begin {align *} vecs T ′ (t) ; & = dfrac {3} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) , hat { mathbf {i}} - ((t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} −t ( dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t)) , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) , hat { mathbf {k}} [5pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {k}} [10pt] ‖ vecs T ′ (t) ‖ ; & = sqrt { bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg (- dfrac {1} {(t ^ 2 +1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2} [5pt ] & = sqrt { dfrac {9t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {16t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [5pt]
& = sqrt { dfrac {25t ^ 2 + 25} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [5pt]
& = sqrt { dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 2}} [5pt]
& = dfrac {1} {t ^ 2 + 1}. end {align *} ]

Portanto, de acordo com ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) ; & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [5pt]
& = bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf { k}} bigg) (t ^ 2 + 1) [5pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {5} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {k} } [5pt]
& = - dfrac {3t , hat { mathbf {i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt { t ^ 2 + 1}}. end {align *} ]

Mais uma vez, o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário principal são ortogonais entre si para todos os valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) ; & = bigg ( dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) · bigg (- dfrac {3t , hat { mathbf {i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) [5pt]
& = dfrac {3 (−3t) −5t (−5) −4 (4t)} {25 (t ^ 2 + 1)} [5pt]
& = dfrac {−9t + 25t − 16t} {25 (t ^ 2 + 1)} [5pt]
& = 0. end {align *} ]

Por último, como ( vecs r (t) ) representa uma curva tridimensional, podemos calcular o vetor binormal usando a Equação ( ref {EqBinormal} ):

[ begin {align *} vecs B (t) ; = ; & vecs T (t) × vecs N (t) [5pt]
= ; & begin {vmatrix} , hat { mathbf {i}} & , hat { mathbf {j}} & , hat { mathbf {k}} dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} - dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} end {vmatrix} = ; & bigg ( bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) , hat { mathbf {i}} [3pt]
& - bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) , hat { mathbf {j}} [3pt]
& + bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {k}} [5pt]
= ; & bigg ( dfrac {−20t ^ 2−20} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} + bigg ( dfrac {−15−15t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [5pt]
= ; & −20 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} −15 bigg ( dfrac {t ^ 2 +1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [5pt]
= ; & - dfrac {4} {5} , hat { mathbf {i}} - dfrac {3} {5} , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o vetor normal unitário para a função de valor vetorial ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ) e avalie-o em (t = 2 ).

Dica

Primeiro, encontre ( vecs T (t) ), então use ( ref {EqNormal} ).

Responder

( vecs N (2) = dfrac { sqrt {2}} {2} (, hat { mathbf {i}} - , hat { mathbf {j}}) )

Para qualquer curva suave em três dimensões que é definida por uma função de valor vetorial, agora temos fórmulas para o vetor tangente unitário ( vecs T ), o vetor normal unitário ( vecs N ) e o vetor binormal ( vecs B ). O vetor normal unitário e o vetor binormal formam um plano perpendicular à curva em qualquer ponto da curva, denominado plano normal. Além disso, esses três vetores formam um quadro de referência no espaço tridimensional chamado de Quadro de referência Frenet (também chamado de TNB quadro) (Figura ( PageIndex {2} )). Por último, o plano determinado pelos vetores ( vecs T ) e ( vecs N ) forma o plano osculante de (C ) em qualquer ponto (P ) da curva.

Suponha que formemos um círculo no plano osculante de (C ) no ponto (P ) da curva. Suponha que o círculo tenha a mesma curvatura que a curva tem no ponto (P ) e deixe o círculo ter o raio (r ). Então, a curvatura do círculo é dada por ( frac {1} {r} ). Chamamos de (r ) o raio de curvatura da curva, e é igual ao recíproco da curvatura. Se este círculo está no lado côncavo da curva e é tangente à curva no ponto (P ), então este círculo é chamado de círculo osculante de (C ) em (P ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {3} ).

For more information on osculating circles, see this demonstration on curvature and torsion, this article on osculating circles, and this discussion of Serret formulas.

To find the equation of an osculating circle in two dimensions, we need find only the center and radius of the circle.

Example (PageIndex{5}): Finding the Equation of an Osculating Circle

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the function (y=x^3−3x+1) at (x=1).

Solução

Figure (PageIndex{4}) shows the graph of (y=x^3−3x+1).

First, let’s calculate the curvature at (x=1):

[κ =dfrac{|f″(x)|}{igg( 1+[f′(x)]^2 igg) ^{3/2}} = dfrac{|6x|}{(1+[3x^2−3]^2)^{3/2}}.]

This gives (κ=6). Therefore, the radius of the osculating circle is given by (R=frac{1}{κ}=dfrac{1}{6}). Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When (x=1), the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates ((1,−1)). The center is located at ((1,−frac{5}{6})). The formula for a circle with radius (r) and center ((h,k)) is given by ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Therefore, the equation of the osculating circle is ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). The graph and its osculating circle appears in the following graph.

Exercício ( PageIndex {5} )

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function (y=2x^2−4x+5) at (x=1).

Dica

Use ( ef{EqK4}) to find the curvature of the graph, then draw a graph of the function around (x=1) to help visualize the circle in relation to the graph.

Answer

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

At the point (x=1), the curvature is equal to (4). Therefore, the radius of the osculating circle is (frac{1}{4}).

A graph of this function appears next:

The vertex of this parabola is located at the point ((1,3)). Furthermore, the center of the osculating circle is directly above the vertex. Therefore, the coordinates of the center are ((1,frac{13}{4})). The equation of the osculating circle is

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Conceitos chave

  • The arc-length function for a vector-valued function is calculated using the integral formula (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt ). This formula is valid in both two and three dimensions.
  • The curvature of a curve at a point in either two or three dimensions is defined to be the curvature of the inscribed circle at that point. The arc-length parameterization is used in the definition of curvature.
  • There are several different formulas for curvature. The curvature of a circle is equal to the reciprocal of its radius.
  • The principal unit normal vector at (t) is defined to be

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. enhum número]

  • The binormal vector at (t) is defined as (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), where (vecs T(t)) is the unit tangent vector.
  • The Frenet frame of reference is formed by the unit tangent vector, the principal unit normal vector, and the binormal vector.
  • The osculating circle is tangent to a curve at a point and has the same curvature as the tangent curve at that point.

Equações Chave

  • Arc length of space curve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Arc-length function
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} ,du ; or ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • Curvature

    (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; or ; κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ; or ; κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2}})

  • Principal unit normal vector
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormal vector
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))
Glossário
arc-length function
a function (s(t)) that describes the arc length of curve (C) as a function of (t)
arc-length parameterization
a reparameterization of a vector-valued function in which the parameter is equal to the arc length
binormal vector
a unit vector orthogonal to the unit tangent vector and the unit normal vector
curvature
the derivative of the unit tangent vector with respect to the arc-length parameter
Frenet frame of reference
(TNB frame) a frame of reference in three-dimensional space formed by the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector
normal plane
a plane that is perpendicular to a curve at any point on the curve
osculating circle
a circle that is tangent to a curve (C) at a point (P) and that shares the same curvature
osculating plane
the plane determined by the unit tangent and the unit normal vector
principal unit normal vector
a vector orthogonal to the unit tangent vector, given by the formula (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
radius of curvature
the reciprocal of the curvature
smooth
curves where the vector-valued function (vecs r(t)) is differentiable with a non-zero derivative

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.