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Otimização de funções de várias variáveis ​​(exercícios)


13.8: Otimização de funções de várias variáveis

Encontrando Pontos Críticos

Nos exercícios 1 - 5, encontre todos os pontos críticos.

1) (f (x, y) = 1 + x ^ 2 + y ^ 2 )

Responder:
( (0,0))

2) (f (x, y) = 1 - (x -2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 )

3) (f (x, y) = (3x − 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 )

Responder:
( left ( frac {2} {3}, 4 right) )

4) (f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 4−16xy )

Responder:
((0,0), quad (-2, -2), quad (2,2) )

5) (f (x, y) = 15x ^ 3−3xy + 15y ^ 3 )

Responder:
((0,0), quad left ( frac {1} {15}, frac {1} {15} right) )

Encontrando Extrema e o segundo teste de parciais

Nos exercícios 6 a 9, encontre os pontos críticos da função e teste os pontos extremos ou sela usando técnicas algébricas (completando o quadrado) ou examinando a forma da equação. Sempre que possível, verifique seus resultados usando o segundo teste parcial.

6) (f (x, y) = - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:
Crit. pontos: ((0, 0) )
Extrema: (f ) tem um máximo relativo de (0 ) em ((0, 0) ).
Para justificar isso, considere o fato de que a função raiz quadrada não pode fornecer um valor negativo, portanto, essa função não pode retornar um valor positivo. Uma vez que seu valor é (0 ) no ponto crítico ((0, 0) ), sabemos que deve ser o da função máximo absoluto valor.

7) (f (x, y) = - x ^ 2−5y ^ 2 + 8x − 10y − 13 )

Responder:
Crit. pts .: ((4, -1) )
Extrema: (f ) tem um máximo relativo de (8 ) em ((4, −1) ).
Para justificar isso, completamos o quadrado desta função, tomando o cuidado de fatorar o coeficiente dos termos quadrados antes de completar o quadrado.
[ begin {align *} f (x, y) & = −x ^ 2−5y ^ 2 + 8x − 10y − 13 & = - (x ^ 2-8x quad quad) −5 (y ^ 2 + 2y quad quad) −13 & = - (x ^ 2-8x + 16) −5 (y ^ 2 + 2y + 1) −13 + 16 + 5 & = - (x- 4) ^ 2 -5 (y + 1) ^ 2 + 8 end {align *} ]
Observe que esta função polinomial quadrática assume a forma (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ), então podemos ver que ela terá um relativo (e, de fato, absoluto) máximo em seu vértice (o ponto crítico ((4, -1) )). Também podemos argumentar que, uma vez que estamos subtraindo os termos ao quadrado de 8, não podemos obter um valor de função maior do que 8, e uma vez que obtemos um valor de 8 no ponto crítico ((4, -1) ), nós saiba que será o valor máximo absoluto desta função.

8) (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 2x − 6y + 6 )

9) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1 )

Responder:
Crit. Pts .: ((0, 0) )
Extrema: (f ) tem um mínimo relativo de (1 ) em ((0,0) ).
Para justificar isso, considere o fato de que a função de raiz quadrada não pode fornecer um valor negativo, portanto, essa função não pode retornar um valor menor que (1 ). Uma vez que seu valor é (1 ) no ponto crítico ((0, 0) ), sabemos que (1 ) deve ser a função mínimo absoluto valor.

Nos exercícios 10 - 34, identifique quaisquer pontos críticos e use o Segundo Teste de Patial para determinar o comportamento da função em cada ponto crítico, se há um ponto de sela máximo, mínimo ou nenhum deles. Se o segundo teste parcial falhar, determine o comportamento da função no ponto usando outro método e justifique sua resposta claramente.

10) (f (x, y) = - x ^ 3 + 4xy − 2y ^ 2 + 1 )

11) (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 )

Responder:
Crit. pts .: Todos os pontos nas linhas (x = 0 ) e (y = 0 ) são pontos críticos desta função.
Exrema: O segundo teste parcial falha.
Uma vez que (x ^ 2y ^ 2> 0 ) para todos (x ) e (y ) diferentes de zero, e (x ^ 2y ^ 2 = 0 ) quando (x ) ou (y ) é igual a zero (ou ambos), então o mínimo absoluto de (0 ) ocorre em todos os pontos nos eixos (x ) - ou (y ) -, ou seja, para todos os pontos no linhas (x = 0 ) e (y = 0 ).

12) (f (x, y) = x ^ 2−6x + y ^ 2 + 4y − 8 )

13) (f (x, y) = 2xy + 3x + 4y )

Responder:
Crit. pts .: ( left (−2, - frac {3} {2} right) )
Exrema: (f ) tem um ponto de sela em ( left (−2, - frac {3} {2}, - 6 right) ).

14) (f (x, y) = 8xy (x + y) +7 )

15) (f (x, y) = x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 )

Responder:
Crit. pts .: ((0,0) )
Exrema: (f ) tem um ponto de sela em ((0,0,0) ).

16) (f (x, y) = x ^ 3 + y ^ 3−300x − 75y − 3 )

17) (f (x, y) = 9 − x ^ 4y ^ 4 )

Responder:
Crit. pts .: Todos os pontos nas linhas (x = 0 ) e (y = 0 ) são pontos críticos desta função.
Extrema: O segundo teste de parciais falha.
Uma vez que o termo (-x ^ 4y ^ 4 <0 ) para todos (x ) e (y ) diferente de zero, e (-x ^ 4y ^ 4 = 0 ) quando (x ) ou (y ) é igual a zero (ou ambos), então esta função não pode atingir um valor maior que (9 ) em qualquer lugar, mas é (9 ) nos pontos críticos. Assim, (f ) tem um máximo absoluto de (9 ) em todos os pontos nos eixos (x ) - ou (y ) -, ou seja, para todos os pontos nas linhas (x = 0 ) e (y = 0 ).

18) (f (x, y) = x ^ 2 + 10xy + y ^ 2 )

Responder:
Crit. pts .: ((0,0) )
Extrema: (f ) tem um ponto de sela em ((0,0,0) ).

19) (f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 2 + 2xy + 3 )

Responder:
Crit. pts .: ((0,0), quad left (- frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right), quad left ( frac { sqrt {2}} {2}, - frac { sqrt {2}} {2} right) )
Extrema: (f ) tem um ponto de sela em ((0, 0, 3) ),
(f ) tem um mínimo local de (2.75 ) no ponto ( left (- frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} certo) ).
(f ) tem um mínimo local de (2.75 ) no ponto ( left ( frac { sqrt {2}} {2}, - frac { sqrt {2}} {2} certo) ).

20) (f (x, y) = 7x ^ 2y + 9xy ^ 2 )

21) (f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2−8y )

Responder:
Crit. pts .: ((2,6) )
Extrema: (f ) tem um mínimo relativo de (-24 ) localizado em ((2,6) ).

22) (f (x, y) = 3x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 )

23) (f (x, y) = y ^ 2 + xy + 3y + 2x + 3 )

Responder:
Crit. pts .: ((1, −2) )
Extrema: (f ) tem um ponto de sela em ((1, −2,1) ).

24) (f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2−3x )

25) (f (x, y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 − x ^ 2y )

Responder:
Crit. pts .: ((0,0), quad (-2,1), quad (2,1) )
Extrema: (f ) tem um mínimo relativo de (0 ) em ((0,0) ) e pontos de sela em ((2,1,2) ) e ((−2,1) , 2) ).

26) (f (x, y) = x ^ 2 + y − e ^ y )

27) (f (x, y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2 + 2x)} )

Responder:
Crit. pts .: ((-1,0) )
Extrema: (f ) tem um máximo relativo de (e ) localizado em ((-1,0) ).
Veja este problema ilustrado no CalcPlot3D.

28) (f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 − x − y + 1 )

29) (f (x, y) = x ^ 2y (9 - x + y) )

Responder:
Crit. pts .: ( left ( frac {9} {2}, - frac {9} {4} right), quad (9,0) ), e todos os pontos na linha (x = 0 )
Extrema: (f ) tem um ponto de sela em ((9,0,0) ) e um mínimo relativo de (- 102,515625 ) em ( left ( frac {9} {2}, - frac {9} {4} right) ).
Nos pontos críticos da linha (x = 0 ), (f ) não tem extremos relativos nem pontos de sela, mas representam uma espécie de depressão na superfície.

30) (f (x, y) = - x ^ 2−5y ^ 2 + 10x − 30y − 62 )

31) (f (x, y) = 120x + 120y − xy − x ^ 2 − y ^ 2 )

Responder:
Crit. pts .: ((40,40) )
Extrema: (f ) tem um máximo relativo de (4800 ) localizado em ((40,40) ).

32) (f (x, y) = 2x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 2x − 3 )

33) (f (x, y) = x ^ 2 + x − 3xy + y ^ 3−5 )

Responder:
Crit. pts .: ( left ( frac {1} {4}, frac {1} {2} right) ) e ((1, 1) )
Extrema: (f ) tem um ponto de sela em ( left ( frac {1} {4}, frac {1} {2}, - frac {79} {16} right) ) e um mínimo relativo de (-5 ) em ((1,1) ).

34) (f (x, y) = 2xye ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

Nos exercícios 35 - 37, determine os valores extremos e os pontos de sela. Use um CAS para representar graficamente a função.

35) [T] (f (x, y) = ye ^ x − e ^ y )

Responder:

Um ponto de sela está localizado em ((0,0, -1). )

36) [T] (f (x, y) = x sin (y) )

37) [T] (f (x, y) = sin (x) sin (y), quad x∈ (0,2π), quad y∈ (0,2π) )

Responder:

Há um ponto de sela em ((π, π), ) máximos locais em ( left ( frac {π} {2}, frac {π} {2} right) ) e ( esquerda ( frac {3π} {2}, frac {3π} {2} direita) ), e mínimos locais em ( left ( frac {π} {2}, frac {3π} {2 } right) ) e ( left ( frac {3π} {2}, frac {π} {2} right) ).

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) criou os problemas 19 e 29 e acrescentou figuras dinâmicas para os problemas 27 e 35.

Melhor maneira de resolver a otimização com múltiplas variáveis ​​no Matlab?

Estou tentando calcular numericamente as soluções para um sistema de muitas equações e variáveis ​​(mais de 100). Tentei até agora três coisas:

  1. Agora que o vetor de p (i) (que contém a maioria das variáveis ​​endógenas) está diminuindo. Assim, dei apenas alguns pontos de partida e, em seguida, estava aumentando (diminuindo) meu palpite quando vi que o p específico era muito baixo (alto). Claro que isso sempre esteve condicionado ao outro ser consertado, o que não é o caso. Isso deve funcionar, mas não é eficiente, nem é óbvio que cheguei a uma solução em tempo finito. No entanto, funcionou ao reduzir o sistema para 4-6 variáveis.
  2. Eu poderia criar mais de 100 loops entre si e usar bissecção para cada loop. Isso eventualmente me levaria à solução, mas demoraria muito para programar (já que não tenho ideia de como criar n loops em torno um do outro sem realmente ter que escrever os loops - o que também é ruim, pois gostaria de aumentar / diminuir o quantidade de variáveis ​​facilmente) e para executar.
  3. Eu estava tentando fminsearch, mas como esperado para aquela quantidade de variáveis ​​- de jeito nenhum!

Eu apreciaria todas as idéias. Aqui está o código (este é o fminsearch que tentei):


Otimização de funções de várias variáveis ​​(exercícios)

Aqui está um conjunto de problemas práticos para o capítulo Derivadas Parciais das notas de Cálculo III.

  1. Se desejar um documento PDF contendo as soluções, a guia de download acima contém links para PDFs contendo as soluções para o livro completo, capítulo e seção. No momento, não ofereço pdfs para soluções para problemas individuais.
  2. Se desejar ver as soluções na web, vá para a página de definição de problemas, clique no link da solução para qualquer problema e ele o levará à solução para esse problema.

Observe que algumas seções terão mais problemas do que outras e algumas terão mais ou menos uma variedade de problemas. A maioria das seções deve ter uma gama de níveis de dificuldade nos problemas, embora isso varie de seção para seção.

Aqui está uma lista de todas as seções para as quais os problemas práticos foram escritos, bem como uma breve descrição do material coberto nas notas para aquela seção específica.

Limites - nesta seção, daremos uma olhada rápida na avaliação dos limites das funções de várias variáveis. Veremos também um método bastante rápido que pode ser usado, ocasionalmente, para mostrar que alguns limites não existem.

Derivadas parciais - nesta seção, examinaremos a ideia de derivadas parciais. Daremos a definição formal da derivada parcial, bem como as notações padrão e como calculá-las na prática (ou seja, sem o uso da definição). Como você verá, se você pode fazer derivadas de funções de uma variável, você não terá muitos problemas com derivadas parciais. Há apenas uma sutileza (muito importante) que você precisa sempre ter em mente ao calcular as derivadas parciais.

Interpretações de derivadas parciais - Nesta seção, daremos uma olhada em algumas interpretações importantes de derivadas parciais. Primeiro, a sempre importante taxa de variação da função. Embora agora tenhamos várias "direções" nas quais a função pode mudar (ao contrário do Cálculo I). Veremos também que as derivadas parciais fornecem a inclinação das retas tangentes aos traços da função.

Derivadas parciais de ordem superior - nesta seção, daremos uma olhada nas derivadas parciais de ordem superior. Ao contrário do Cálculo I, entretanto, teremos múltiplas derivadas de segunda ordem, múltiplas derivadas de terceira ordem, etc. porque agora estamos trabalhando com funções de múltiplas variáveis. Também discutiremos o teorema de Clairaut para ajudar com alguns dos trabalhos para encontrar derivadas de ordem superior.

Diferenciais - nesta seção, estendemos a ideia de diferenciais que vimos pela primeira vez em Cálculo I para funções de várias variáveis.

Regra da cadeia - nesta seção, estendemos a ideia da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Em particular, veremos que existem múltiplas variantes para a regra da cadeia aqui, todas dependendo de quantas variáveis ​​nossa função depende e como cada uma dessas variáveis ​​pode, por sua vez, ser escrita em termos de variáveis ​​diferentes. Também forneceremos um bom método para escrever a regra da cadeia para praticamente qualquer situação que você possa encontrar ao lidar com funções de múltiplas variáveis. Além disso, iremos derivar uma maneira muito rápida de fazer a diferenciação implícita, de modo que não precisamos mais passar pelo processo que fizemos em Cálculo I.

Derivadas direcionais - Na seção, apresentamos o conceito de derivadas direcionais. Com as derivadas direcionais, podemos agora perguntar como uma função está mudando se permitirmos que todas as variáveis ​​independentes mudem, em vez de manter todas, exceto uma constante, como tínhamos que fazer com as derivadas parciais. Além disso, definiremos o vetor gradiente para ajudar com algumas das notações e trabalhar aqui. O vetor gradiente também será muito útil em algumas seções posteriores. Também forneceremos um fato interessante que nos permitirá determinar a direção na qual uma determinada função muda mais rapidamente.


Otimizando as condições IF usando variáveis

Em um artigo anterior, mostramos a importância de usar variáveis ​​para substituir várias instâncias da mesma medida em uma expressão DAX. Um caso de uso muito comum é o da função IF. Este artigo enfoca o custo do mecanismo de fórmula, e não do mecanismo de armazenamento.

Considere a seguinte medida.

A ideia básica é que a diferença entre o valor das vendas e o custo total deve ser avaliada apenas se ambas as medidas forem maiores que zero. Ao lidar com essa condição, o mecanismo DAX produz um plano de consulta que avalia cada medida duas vezes. Isso é visível nas solicitações do mecanismo de armazenamento geradas para a consulta a seguir.

Porém, vale ressaltar que o plano de consulta física possui 216 linhas, que é um ponto de referência que consideraremos em variações posteriores da mesma medida.

Sem entrar em detalhes que já foram explicados em um artigo anterior, é importante notar que as múltiplas referências à mesma medida estão exigindo avaliações separadas - embora o resultado seja o mesmo. DAX não é o melhor em salvar o valor de subexpressões comuns avaliadas no mesmo contexto de filtro. Isso é evidente na seguinte variação da medida de margem. As duas ramificações da função IF são idênticas, mas o plano de consulta adiciona outras avaliações para o mecanismo de armazenamento e o mecanismo de fórmula.

Nesse caso, há uma consulta de mecanismo de armazenamento adicional. O número de linhas no plano de consulta física agora é 342. Isso aumenta o número de linhas em mais de 50%, em comparação com a carga de trabalho anterior.

A versão otimizada desta medida armazena as duas medidas em duas variáveis. Isso ocorre para que eles sejam avaliados apenas uma vez na função IF.

Isso é visível nas solicitações do mecanismo de armazenamento, das quais existem apenas duas.

Uma versão da função IF com a segunda ramificação idêntica à primeira produziria as mesmas consultas do mecanismo de armazenamento.

O plano de consulta física reduziu o número de linhas de 216 para 126.

Este é um resultado importante. Essa técnica de otimização é particularmente útil ao lidar com múltiplas referências a uma medida que tem um alto custo no mecanismo de fórmula. Na verdade, o cache DAX opera apenas no nível do mecanismo de armazenamento.


Resolvendo problemas de otimização em um intervalo fechado e limitado

A ideia básica do problemas de otimização que segue é o mesmo. Temos uma quantidade específica que estamos interessados ​​em maximizar ou minimizar. No entanto, também temos algumas condições auxiliares que precisam ser satisfeitas. Por exemplo, em (Figura), estamos interessados ​​em maximizar a área de um jardim retangular. Certamente, se continuarmos a aumentar os comprimentos laterais do jardim, a área continuará a aumentar. No entanto, e se tivermos alguma restrição sobre a quantidade de cerca que podemos usar para o perímetro? Neste caso, não podemos tornar o jardim tão grande quanto gostaríamos. Vejamos como podemos maximizar a área de um retângulo sujeito a alguma restrição no perímetro.

Maximizando a Área de um Jardim

Um jardim retangular deve ser construído usando uma parede de pedra como um dos lados do jardim e uma cerca de arame nos outros três lados ((Figura)). Dados 100 pés de cerca de arame, determine as dimensões que criariam um jardim de área máxima. Qual é a área máxima?

Figura 1. Queremos determinar as medidas e isso criará um jardim com uma área máxima usando 30 metros de cerca.

Solução

Deixar denotam o comprimento do lado do jardim perpendicular à parede de rocha e denotam o comprimento do lado paralelo à parede de rocha. Então a área do jardim é

Queremos encontrar a área máxima possível sujeita à restrição de que a cerca total é De (Figura), a quantidade total de cercas usadas será Portanto, a equação de restrição é

Resolvendo esta equação para temos Assim, podemos escrever a área como

Antes de tentar maximizar a função da área precisamos determinar o domínio em consideração. Para construir um jardim retangular, certamente precisamos que os comprimentos de ambos os lados sejam positivos. Portanto, precisamos e Desde E se então Portanto, estamos tentando determinar o valor máximo de para sobre o intervalo aberto Não sabemos se uma função tem necessariamente um valor máximo em um intervalo aberto. No entanto, sabemos que uma função contínua tem um máximo absoluto (e mínimo absoluto) em um intervalo fechado. Portanto, vamos considerar a função sobre o intervalo fechado Se o valor máximo ocorre em um ponto interno, então encontramos o valor no intervalo aberto que maximiza a área do jardim. Portanto, consideramos o seguinte problema:

Maximizar ao longo do intervalo

Como mencionado anteriormente, uma vez que é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado, pelo teorema do valor extremo, tem um máximo e um mínimo. Esses valores extremos ocorrem em pontos de extremidade ou pontos críticos. Nos terminais, Já que a área é positiva para todos no intervalo aberto o máximo deve ocorrer em um ponto crítico. Diferenciando a função nós obtemos

Portanto, o único ponto crítico é ((Figura)). Concluímos que a área máxima deve ocorrer quando Então nós temos Para maximizar a área do jardim, deixe ft e A área deste jardim é

Figura 2. Para maximizar a área do jardim, precisamos encontrar o valor máximo da função

Determine a área máxima se quisermos fazer o mesmo jardim retangular da (Figura), mas temos 200 pés de cerca.

Solução

A área máxima é

Precisamos maximizar a função ao longo do intervalo

Agora vamos dar uma olhada em uma estratégia geral para resolver problemas de otimização semelhantes a (Figura).

Estratégia de resolução de problemas: resolvendo problemas de otimização

  1. Apresente todas as variáveis. Se aplicável, desenhe uma figura e rotule todas as variáveis.
  2. Determine qual quantidade deve ser maximizada ou minimizada e para qual intervalo de valores das outras variáveis ​​(se isso puder ser determinado neste momento).
  3. Escreva uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada em termos das variáveis. Esta fórmula pode envolver mais de uma variável.
  4. Escreva quaisquer equações relacionando as variáveis ​​independentes na fórmula da etapa 3. Use essas equações para escrever a quantidade a ser maximizada ou minimizada como uma função de uma variável.
  5. Identifique o domínio de consideração para a função na etapa 4 com base no problema físico a ser resolvido.
  6. Localize o valor máximo ou mínimo da função da etapa 4. Esta etapa geralmente envolve a procura de pontos críticos e a avaliação de uma função nos terminais.

Agora vamos aplicar esta estratégia para maximizar o volume de uma caixa aberta dada uma restrição na quantidade de material a ser usado.

Maximizando o Volume de uma Caixa

Uma caixa aberta deve ser feita de um pedaço de papelão de 24 pol. Por 36 pol. Removendo um quadrado de cada canto da caixa e dobrando as abas de cada lado. Qual tamanho de quadrado deve ser cortado de cada canto para obter uma caixa com o volume máximo?

Solução

Etapa 1: Deixe ser o comprimento lateral do quadrado a ser retirado de cada canto ((Figura)). Em seguida, as quatro abas restantes podem ser dobradas para formar uma caixa com o topo aberto. Deixar ser o volume da caixa resultante.

Figura 3. Um quadrado com comprimento lateral polegadas são removidas de cada canto do pedaço de papelão. As abas restantes são dobradas para formar uma caixa com o topo aberto.

Etapa 2: Estamos tentando maximizar o volume de uma caixa. Portanto, o problema é maximizar

Etapa 3: conforme mencionado na etapa 2, tente maximizar o volume de uma caixa. O volume de uma caixa é Onde são o comprimento, largura e altura, respectivamente.

Etapa 4: na (Figura), vemos que a altura da caixa é polegadas, o comprimento é polegadas, e a largura é polegadas. Portanto, o volume da caixa é

Etapa 5: para determinar o domínio de consideração, vamos examinar (Figura). Certamente, precisamos Além disso, o comprimento do lado do quadrado não pode ser maior ou igual a metade do comprimento do lado mais curto, 24 pol. Do contrário, uma das abas seria completamente cortada. Portanto, estamos tentando determinar se existe um volume máximo da caixa para sobre o intervalo aberto Desde é uma função contínua ao longo do intervalo fechado nós sabemos terá um máximo absoluto sobre o intervalo fechado. Portanto, consideramos sobre o intervalo fechado e verifique se o máximo absoluto ocorre em um ponto interno.

Etapa 6: desde é uma função contínua ao longo do intervalo fechado e limitado deve ter um máximo absoluto (e um mínimo absoluto). Desde nos terminais e para o máximo deve ocorrer em um ponto crítico. A derivada é

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação

Dividindo ambos os lados desta equação por 12, o problema simplifica para resolver a equação

Usando a fórmula quadrática, descobrimos que os pontos críticos são

Desde não está no domínio da consideração, o único ponto crítico que precisamos considerar é Portanto, o volume é maximizado se permitirmos O volume máximo é conforme mostrado no gráfico a seguir.

Figura 4. Maximizar o volume da caixa leva a encontrar o valor máximo de um polinômio cúbico.

Assista a um vídeo sobre como otimizar o volume de uma caixa.

Suponha que as dimensões do papelão em (Figura) sejam de 20 pol. Por 30 pol. seja o comprimento lateral de cada quadrado e escreva o volume da caixa aberta em função de Determine o domínio de consideração para

Solução

O domínio é

O volume da caixa é

Minimizando o tempo de viagem

Uma ilha é diretamente ao norte de seu ponto mais próximo ao longo de uma linha costeira reta. Um visitante está hospedado em uma cabana na costa que está a oeste desse ponto. O visitante planeja ir da cabana à ilha. Suponha que o visitante corra a uma taxa de e nada a uma taxa de Até onde o visitante deve correr antes de nadar para minimizar o tempo que leva para chegar à ilha?

Solução

Etapa 1: Deixe seja a distância correndo e deixe ser a distância de natação ((Figura)). Deixar é o tempo que leva para ir da cabana até a ilha.

Figura 5. Como podemos escolher e minimizar o tempo de viagem da cabine à ilha?

Etapa 2: o problema é minimizar

Etapa 3: para saber o tempo gasto na viagem da cabana até a ilha, some o tempo gasto correndo e o tempo gasto nadando. Desde a distância Avaliar Tempo o tempo gasto correndo é

e o tempo gasto nadando é

Portanto, o tempo total gasto em viagens é

Etapa 4: em (Figura), o segmento de linha de milhas forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de comprimento e Portanto, pelo teorema de Pitágoras, e nós obtemos Assim, o tempo total gasto em viagens é dado pela função

Etapa 5: em (Figura), vemos que Portanto, é o domínio de consideração.

Etapa 6: desde é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado, tem um máximo e um mínimo. Vamos começar procurando por quaisquer pontos críticos de ao longo do intervalo A derivada é

Se então

Quadrando ambos os lados desta equação, vemos que se /> satisfaz esta equação, então /> deve satisfazer

Concluímos que se /> é um ponto crítico, então /> satisfaz

Portanto, as possibilidades de pontos críticos são

Desde não está no domínio, não é uma possibilidade para um ponto crítico. Por outro lado, está no domínio. Uma vez que elevamos ao quadrado ambos os lados de (Figura) para chegar aos possíveis pontos críticos, resta verificar que satisfaz (Figura). Desde satisfaz essa equação, concluímos que é um ponto crítico e é o único. Para justificar que o tempo é minimizado para este valor de só precisamos verificar os valores de nos terminais e e compare-os com o valor de no ponto crítico Nós encontramos isso e enquanto Portanto, concluímos que tem um mínimo local em mi.

Suponha que a ilha esteja a 1 milha da costa e a distância da cabana ao ponto na costa mais próximo da ilha seja Suponha que um visitante nada a uma taxa de e funciona a uma taxa de Deixar denote a distância que o visitante percorrerá antes de nadar e encontre uma função para o tempo que o visitante leva para ir da cabana até a ilha.

Solução

A Hora

Nos negócios, as empresas estão interessadas em maximizar a receita. No exemplo a seguir, consideramos um cenário no qual uma empresa coletou dados sobre quantos carros ela pode alugar, dependendo do preço que cobra de seus clientes para alugar um carro. Vamos usar esses dados para determinar o preço que a empresa deve cobrar para maximizar a quantidade de dinheiro que ela traz.

Maximizando a receita

Os proprietários de uma locadora de veículos determinaram que, se cobrarem dos clientes dólares por dia para alugar um carro, onde o número de carros eles alugam por dia podem ser modelados pela função linear Se eles cobrarem por dia ou menos, eles alugam todos os seus carros. Se eles cobrarem por dia ou mais, eles não alugam nenhum carro. Supondo que os proprietários planejem cobrar dos clientes entre US $ 50 por dia e por dia para alugar um carro, quanto eles deveriam cobrar para maximizar sua receita?

Solução

Etapa 1: Deixe ser o preço cobrado por carro por dia e deixar ser o número de carros alugados por dia. Deixar ser a receita por dia.

Etapa 2: o problema é maximizar

Etapa 3: a receita (por dia) é igual ao número de carros alugados por dia vezes o preço cobrado por carro por dia, ou seja,

Etapa 4: como o número de carros alugados por dia é modelado pela função linear a receita pode ser representado pela função

Etapa 5: já que os proprietários planejam cobrar entre por carro por dia e por carro por dia, o problema é encontrar a receita máxima para no intervalo fechado

Etapa 6: desde é uma função contínua ao longo do intervalo fechado e limitado ele tem um máximo absoluto (e um mínimo absoluto) nesse intervalo. Para encontrar o valor máximo, procure os pontos críticos. A derivada é Portanto, o ponto crítico é Quando Quando Quando Portanto, o máximo absoluto ocorre em A locadora de veículos deve cobrar por dia por carro para maximizar a receita, conforme mostrado na figura a seguir.

Figura 6. Para maximizar a receita, uma locadora de veículos precisa equilibrar o preço do aluguel em relação ao número de carros que as pessoas alugarão a esse preço.

Uma locadora de veículos cobra de seus clientes dólares por dia, onde Ele descobriu que o número de carros alugados por dia pode ser modelado pela função linear Quanto a empresa deve cobrar de cada cliente para maximizar a receita?

Solução

A empresa deve cobrar por carro por dia.

Onde é o número de carros alugados e é o preço cobrado por carro.

Maximizando a área de um retângulo inscrito

Um retângulo deve ser inscrito na elipse

Quais devem ser as dimensões do retângulo para maximizar sua área? Qual é a área máxima?

Solução

Etapa 1: para que um retângulo seja inscrito na elipse, os lados do retângulo devem ser paralelos aos eixos. Deixar ser o comprimento do retângulo e seja sua largura. Deixar ser a área do retângulo.

Figura 7. Queremos maximizar a área de um retângulo inscrito em uma elipse.

Etapa 2: o problema é maximizar

Etapa 3: a área do retângulo é

Etapa 4: Deixe ser o canto do retângulo que se encontra no primeiro quadrante, conforme mostrado na (Figura). Podemos escrever comprimento e largura Desde e temos Portanto, a área é

Passo 5: De (Figura), vemos que para inscrever um retângulo na elipse, o -coordenada do canto no primeiro quadrante deve satisfazer Portanto, o problema se reduz a procurar o valor máximo de sobre o intervalo aberto Desde terá um máximo absoluto (e mínimo absoluto) ao longo do intervalo fechado nós consideramos ao longo do intervalo Se o máximo absoluto ocorre em um ponto interno, então encontramos um máximo absoluto no intervalo aberto.

Etapa 6: conforme mencionado anteriormente, é uma função contínua ao longo do intervalo fechado e limitado Portanto, ele tem um máximo absoluto (e mínimo absoluto). Nos terminais e Para Portanto, o máximo deve ocorrer em um ponto crítico. Pegando a derivada de nós obtemos

Para encontrar pontos críticos, precisamos descobrir onde Podemos ver isso se é uma solução de

então deve satisfazer

Portanto, Desse modo, são as soluções possíveis de (Figura). Uma vez que estamos considerando ao longo do intervalo é uma possibilidade para um ponto crítico, mas não é. Portanto, verificamos se é uma solução de (Figura). Desde é uma solução de (Figura), concluímos que é o único ponto crítico de no intervalo Portanto, deve ter um máximo absoluto no ponto crítico Para determinar as dimensões do retângulo, precisamos encontrar o comprimento e a largura Se então

Portanto, as dimensões do retângulo são e A área deste retângulo é

Modifique a função da área se o retângulo deve ser inscrito no círculo unitário Qual é o domínio de consideração?

Solução

O domínio de consideração é

Se é o vértice do quadrado que fica no primeiro quadrante, então a área do quadrado é


4.7 Problemas de Otimização Aplicada

Uma aplicação comum de cálculo é calcular o valor mínimo ou máximo de uma função. Por exemplo, muitas vezes as empresas desejam minimizar os custos de produção ou maximizar a receita. Na fabricação, muitas vezes é desejável minimizar a quantidade de material usado para embalar um produto com um determinado volume. Nesta seção, mostramos como configurar esses tipos de problemas de minimização e maximização e resolvê-los usando as ferramentas desenvolvidas neste capítulo.

Resolvendo problemas de otimização em um intervalo fechado e limitado

A ideia básica dos problemas de otimização que se seguem é a mesma. Temos uma quantidade específica que estamos interessados ​​em maximizar ou minimizar. No entanto, também temos algumas condições auxiliares que precisam ser satisfeitas. Por exemplo, no Exemplo 4.32, estamos interessados ​​em maximizar a área de um jardim retangular. Certamente, se continuarmos a aumentar os comprimentos laterais do jardim, a área continuará a aumentar. No entanto, e se tivermos alguma restrição sobre a quantidade de cerca que podemos usar para o perímetro? Neste caso, não podemos tornar o jardim tão grande quanto gostaríamos. Vejamos como podemos maximizar a área de um retângulo sujeito a alguma restrição no perímetro.

Exemplo 4.32

Maximizando a Área de um Jardim

Um jardim retangular deve ser construído usando uma parede de pedra como um dos lados do jardim e uma cerca de arame nos outros três lados (Figura 4.62). Dados 100 100 pés de cerca de arame, determine as dimensões que criariam um jardim de área máxima. Qual é a área máxima?

Solução

Queremos encontrar a área máxima possível sujeita à restrição de que a cerca total é de 100 pés. 100 pés Da Figura 4.62, a quantidade total de cercas usadas será 2 x + y. 2 x + y. Portanto, a equação de restrição é


9.6 Otimização

Otimização irrestrita. Objetivo: dada a função f (x), encontre x * de modo que f (x) seja maximizado ou minimizado. If f(x) is differentiable, then we are looking for an x* such that f'(x*) = 0. However, this may lead to local minima, maxima, or saddle points.

Bisection method. Goal: given function f(x), find x* such that f(x*) = 0. Assume you know interval [a, b] such that f(a) 0.

Newton's method. Quadratic approximation. Fast convergence if close enough to answer. The update formulas below are for finding the root of f(x) and f'(x).

Newton's method only reliable if started "close enough" to solution. Bad example (Smale): f(x) = x^3 - 2*x + 2. If you start in the interval [-0.1, 0.1] , Newton's method reaches a stable 2-cycle. If started to the left of the negative real root, it will converge.

To handle general differentiable or twice differentiable functions of one variable, we might declare an interface

Program Newton.java runs Newton's method on a differentiable function to compute points x* where f(x*) = 0 and f'(x*) = 0.

The probability of finding an electron in the 4s excited state of hydrogen ar radius r is given by: f(x) = (1 - 3x/4 + x 2 /8 - x 3 /192) 2 e -x/2 , Onde x is the radius in units of the Bohr radius (0.529173E-8 cm). Program BohrRadius.java contains the formula for f(x), f'(x), and f''(x). By starting Newton's method at 0, 4, 5, and 13, and 22, we obtain all three roots and all five local minima and maxima.

Newton's method in higher dimensions. [probably omit or leave as an exercise] Use to solve system of nonlinear equations. In general, there are no good methods for solving a nonlinear system of equations

where J is the Jacobian matrix of partial derivatives. In practice, we don't explicitly compute the inverse. Instead of computing y = J -1 f, we solve the linear system of equations Jy = f.

To illustrate the method, suppose we want to find a solution (x, y) to the following system of two nonlinear equations.

In this example, the Jacobian is given by

If we start Newton's method at the point (-0.6, 0.6), we quickly obtain one of the roots (-1/2, sqrt(3)/2) up to machine accuracy. The other roots are (-1/2, -sqrt(3)/2) and (1, 0). Program TestEquations.java uses the interface Equations.java and EquationSolver.java to solve the system of equations. We use the Jama matrix library to do the matrix computations.

Optimization. Use same method to optimize a function of several variables. Good methods exist if multivariate function is sufficiently smooth.

Need gradient g(x) = &nablaf(x) and Hessian H(x) = &nabla 2 f(x). Method finds an x* where g(x*) = 0, but this could be a maxima, minima, or saddle point. If Hessian is positive definite (all eigenvalues are positive) then it is a minima if all eigenvalues are negative, then it's a maxima otherwise it's a saddle point.

Also, 2nd derivatives change slowly, so it may not be necessary to recalculate the Hessian (or its LU decomposition) at each step. In practice, it is expensive to compute the Hessian exactly, so other so called quasi-Newton methods are preferred, including the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) update rule.

Linear programming. Create matrix interface. Generalizes two-person zero-sum games, many problems in combinatorial optimization, . run AMPL from the web.

Programming = planning. Give some history. Decision problem not known to be in P for along time. In 1979, Khachian resolved the question in the affirmative and made headlines in the New York Times with a geometric divide-and-conquer algorithm known as the ellipsoid algorithm. It requires O(N 4 L) bit operations where N is the number of variables and L is the number of bits in the input. Although this was a landmark in optimization, it did not immediately lead to a practical algorithm. In 1984, Karmarkar proposed a projective scaling algorithm that takes O(N 3.5 L) time. It opened up the door for efficient implementations because by typically performing much better than its worst case guarantee. Various interior point methods were proposed in the 1990s, and the best known complexity bound is O(N 3 L). More importantly, these algorithm are practical and competitive with the simplex method. They also extend to handle even more general problems.

Linear programming solvers. In 1947, George Dantzig proposed the simplex algorithm for linear programming. One of greatest and most successful algorithms of all time. Linear programming, but not industrial strength. Program LPDemo.java illustrates how to use it. The classes MPSReader e MPSWriter can parse input files and write output files in the standard MPS format. Test LP data files in MPS format.

More applications. OR-Objects also has graph coloring, traveling salesman problem, vehicle routing, shortest path.


Multi-product Transportation Problem¶

In the previous transportation problem, we considered only one kind of goods produced at the production plants. In the real-world, however, that is a very restrictive scenario: A producer typically produces many different kinds of products and the customers typically demand different sets of the products available from the producers. Moreover, some producers may be specialized into producing only certain kinds of products while some others may only supply to certain customers. Therefore, a general instance of the transportation problem needs to be less restrictive and account for many such possibilities.

A more general version of the transportation problem is typically studied as a multi-commodity transportation model. A linear-optimization model can be built using decision variables (x_) where (i) denotes the customer, (j) denotes the production plant and (k) denotes the product type. Customer demand is indexed by (i) and (k) to denote the customer and product type. Then the model can be stated as follows.

Note that the objective function addresses the minimum total cost for all possible cost combinations involving customers, production plants and product types. The first set of constraints ensure that all demands of the product types from the customers are met exactly while the second set of constraints ensure that capacity at each production plant is not exceeded by taking into account all product types and all customers.

A model for this in Python/Gurobi can be written as follows:

Variables are created in line 5. In lines 9 and 10 we create a list the variables that appear in each demand-satisfaction constraint, and the corresponding coefficients these are then used for creating a linear expression, which is used as the left-hand side of a constraint in line 11. Capacity constraints are created in a similar way, in lines 13 to 15. For an example, consider now the same three production plants and five customers as before. Plant 1 produces two products, football and volleyball it can supply football only to Customer 1 and volleyball to all five customers. Plant 2 produces football and basketball it can supply football to Customers 2 and 3, basketball to Customers 1, 2 and 3. Plant 3 produces football, basketball and rugby ball it can supply football and basketball to Customers 4 and 5, rugby ball to all five customers.

Let us specify the data for this problem in a Python program. First of all, we must state what products each of the plants can manufacture on dictionary produce the key is the plant, to which we are associating a list of compatible products. We also create a dictionary M with the capacity of each plant (3000 units, in this instance).

The demand for each of the customers can be written as a double dictionary: for each customer, we associate a dictionary of products and quantities demanded.

For determining the transportation cost, we may specify the unit weight for each product and the transportation cost per unit of weight then, we calculate (c_) as their product:

We are now ready to construct a model using this data, and solving it:

If we execute this Python program, the output is the following:

Readers may have noticed by now that for these two transportation problems, even though we have used linear-optimization models to solve them, the optimal solutions are integer-valued — as if we have solved integer-optimization models instead. This is because of the special structures of the constraints in the transportation problems that allow this property, commonly referred to as unimodularity. This property has enormous significance because, for many integer-optimization problems that can be modeled as transportation problems, we only need to solve their linear-optimization relaxations.


Mathematical methods for economic theory

For n = 1, the definition coincides with the definition of an interval: a set of numbers is convex if and only if it is an interval.

For n = 2, two examples are given in the following figures. The set in the first figure is convex, because every line segment joining a pair of points in the set lies entirely in the set. The set in the second figure is not convex, because the line segment joining the points x e x' does not lie entirely in the set.

The following property of convex sets (which you are asked to prove in an exercise) is sometimes useful.

Concave and convex functions

More precisely, we can make the following definition (which is again essentially the same as the corresponding definition for a function of a single variable). Note that only functions defined on convex sets are covered by the definition.

f((1 − λ)x + λx') = uma·[(1−λ)x + λx'] for all x, x', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)uma·x + λuma·x' for all x, x', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)f(x) + λf(x') for all x, x', and λ ∈ [0, 1].

First note that the domain of f is a convex set, so the definition of concavity can apply.

The functions g e f are illustrated in the following figures. (The axes for g are shown in perspective, like those for f, to make the relation between the two figures clear. If we were plotting only g, we would view it straight on, so that the x-axis would be horizontal. Note that every cross-section of the graph of f parallel to the x-axis is the graph of the function g.)

From the graph of f (the roof of a horizontal tunnel), you can see that it is concave. The following argument is precise.

f((1−λ)(x, y) + λ(x', y'))
= f((1−λ)x + λx', (1−λ)y + λy')
= g((1−λ)x + λx')
(1−λ)g(x) + λg(x')
= (1−λ)f(x, y) + λf(x', y')

The strict concavity of f implies that

f((1−λ)(x, y) + λ(x', y'))
= f(x, (1−λ)y + λy')
= g(x)
= (1−λ)f(x, y) + λf(x, y').

Characterizations of concave and convex functions

First suppose f is concave and let (x, y) ∈ L and (x', y') ∈ L . Então x ∈ S , x' ∈ S , yf(x) e y' ≤ f(x'). The last two inequalities imply that

Conversely, suppose L is convex. Deixar x ∈ S and x' ∈ S . Then (x, f(x)) ∈ L and (x', f(x')) ∈ L , so by the convexity of L , (1 − λ)(x, f(x)) + λ(x', f(x')) = ((1 − λ)x + λx', (1 − λ)f(x) + λf(x')) ∈ L for any λ ∈ [0, 1]. Thus (1 − λ)f(x) + λf(x') ≤ f((1 − λ)x + λx'), establishing that f is concave.

The argument for a convex function is symmetric.

The function f of many variables defined on the convex set S is convex if and only if for all n ≥ 2

If the inequality is satisfied for all n, it is satisfied in particular for n = 2, so that f is concave directly from the definition of a concave function.

Now suppose that f is concave. Then the definition of a concave function implies directly that the inequality is satisfied for n = 2. To show that it is satisfied for all n ≥ 3 I argue by induction. Deixar m ≥ 2 and suppose that the inequality is satisfied for all nm. I show that it is satisfied for n = m + 1. Take any x1 ∈ S , . xm+1 ∈ S and λ1 ≥ 0, . λm+1 ≥ 0 with ∑ m+1
i=1 λi = 1. If λ1 = 1 then λ2 = . = λm+1 = 0, so that the inequality is trivially satisfied. If λ1 < 1 then

Differentiable concave and convex functions

f(x) − f(x*) n
i=1 f'i(x*)·(xix*i) para todos x ∈ S and x* ∈ S
f(x) − f(x*) n
i=1 f'i(x*)·(xix*i) para todos x ∈ S and x* ∈ S .

Twice-differentiable concave and convex functions

To determine whether a twice-differentiable function of many variables is concave or convex, we need to examine all its second partial derivatives. We call the matrix of all the second partial derivatives the Hessian of the function.

We can determine the concavity/convexity of a function by determining whether the Hessian is negative or positive semidefinite, as follows.

  • f is concave if and only if H (x) is negative semidefinite for all x ∈ S
  • if H (x) is negative definite for all x ∈ S then f is strictly concave
  • f is convex if and only if H (x) is positive semidefinite for all x ∈ S
  • if H (x) is positive definite for all x ∈ S then f is strictly convex.

Thus if you want to determine whether a function is strictly concave or strictly convex, you should first check the Hessian. If the Hessian is negative definite for all values of x then the function is strictly concave, and if the Hessian is positive definite for all values of x then the function is strictly convex. If the Hessian is not negative semidefinite for all values of x then the function is not concave, and hence of course is not strictly concave. Similarly, if the Hessian is not positive semidefinite the function is not convex. If the Hessian is not negative definite for all values of x but é negative semidefinite for all values of x, the function may or may not be strictly concave. In this case, you need to use some other method to determine whether the function is strictly concave (for example, you could use the basic definition of strict concavity). Similarly, if the Hessian is not positive definite for all values of x but is positive semidefinite for all values of x, the function may or may not be strictly convex.


Optimization of Functions of Several Variables (Exercises)

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Mathematical Expression Editor

Now we put our optimization skills to work.

so the minimum cost occurs when the height is times the radius. If, for example, there is no difference in the cost of materials, the height is twice the radius.

Notice that the function we want to maximize, , depends on two variables. Our next step is to find the relationship and use it to solve for one of the variables in terms of the other, so as to have a function of only one variable to maximize. In this problem, the condition is apparent in the figure, as the upper corner of the triangle, whose coordinates are , must be on the circle of radius . Write Solving for , since is found in the formula for the volume of the cone, we find Substitute this into the formula for the volume of the cone to find

We want to maximize when is between and . We solve finding or . We compute and The maximum is the latter. Since the volume of the sphere is , the fraction of the sphere occupied by the cone is

The optimal solution likely has the line being run along the ground for a while, then underwater, as the figure implies. We need to label our unknown distances: the distance run along the ground and the distance run underwater. Recognizing that the underwater distance can be measured as the hypotenuse of a right triangle, we can label our figure as follows

We now work a similar problem without concrete numbers.

You travel the distance from to at speed , and then the distance from to at speed . The distance from to is . By the Pythagorean theorem, the distance from to is Hence the total time for the trip is We want to find the minimum value of when is between 0 and . As usual we set and solve for . Write We find that Notice that does not appear in the last expression, but is not irrelevant, since we are interested only in critical values that are in , and is either in this interval or not. If it is, we can use the second derivative to test it: Since this is always positive there is a local minimum at the critical point, and so it is a global minimum as well.

If the critical value is not in it is larger than . In this case the minimum must occur at one of the endpoints. We can compute

but it is difficult to determine which of these is smaller by direct comparison. If, as is likely in practice, we know the values of , , , and , then it is easy to determine this. With a little cleverness, however, we can determine the minimum in general. We have seen that is always positive, so the derivative is always increasing. We know that at the derivative is zero, so for values of less than that critical value, the derivative is negative. This means that , so the minimum occurs when .

So the upshot is this: If you start farther away from than then you always want to cut across the sand when you are a distance from point . If you start closer than this to , you should cut directly across the sand.

With optimization problems you will see a variety of situations that require you to combine problem solving skills with calculus. Focus on the process. One must learn how to form equations from situations that can be manipulated into what you need. Forget memorizing how to do ‘‘this kind of problem’’ as opposed to ‘‘that kind of problem.’’

Learning a process will benefit one far more than memorizing a specific technique.


Assista o vídeo: Otimização de Funções de Várias Variáveis - O teste da Segunda Derivada (Outubro 2021).