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Conservative Vector Fields - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Descreva curvas simples e fechadas; definir regiões conectadas e simplesmente conectadas.
  • Explique como encontrar uma função potencial para um campo vetorial conservador.
  • Use o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para avaliar uma integral de linha em um campo vetorial.
  • Explique como testar um campo vetorial para determinar se ele é conservador.

Nesta seção, continuamos o estudo de campos vetoriais conservadores. Examinamos o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que é uma generalização útil do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de campos vetoriais conservativos. Também descobrimos como testar se um determinado campo vetorial é conservador e determinar como construir uma função potencial para um campo vetorial conhecido por ser conservador.

Curvas e regiões

Antes de continuar nosso estudo de campos vetoriais conservativos, precisamos de algumas definições geométricas. Todos os teoremas nas seções subsequentes dependem da integração sobre certos tipos de curvas e regiões, portanto, desenvolvemos as definições dessas curvas e regiões aqui. Primeiro definimos dois tipos especiais de curvas: curvas fechadas e curvas simples. Como aprendemos, uma curva fechada é aquela que começa e termina no mesmo ponto. Uma curva simples é aquela que não se cruza. Uma curva fechada e simples é uma curva fechada simples (Figura ( PageIndex {1} )).

DEFINIÇÃO: Curvas fechadas

Curva (C ) é um curva fechada se houver uma parametrização ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ) de (C ) de forma que a parametrização atravesse a curva exatamente uma vez e ( vecs r (a) = vecs r (b) ). A curva (C ) é uma curva simples se (C ) não se cruza. Ou seja, (C ) é simples se existe uma parametrização ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ) de (C ) tal que ( vecs r ) é um-para-um sobre ((a, b) ). É possível para ( vecs r (a) = vecs r (b) ), o que significa que a curva simples também é fechada.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Determinando se uma curva é simples e fechada

É a curva com parametrização ( vecs {r} (t) = left langle cos t, frac { sin (2t)} {2} right rangle ), (0≤t≤2 pi ) uma curva fechada simples?

Solução

Observe que ( vecs {r} (0) = ⟨1,0⟩ = vecs r (2 pi) ); portanto, a curva é fechada. A curva não é simples, entretanto. Para ver isso, observe que ( vecs {r} left ( frac { pi} {2} right) = ⟨0,0⟩ = vecs {r} left ( frac {3 pi} {2} right) ), e portanto a curva se cruza na origem (Figura ( PageIndex {2} )).

Exercício ( PageIndex {1} )

A curva é dada pela parametrização ( vecs {r} (t) = ⟨2 cos t, 3 sin t⟩ ), (0≤t≤6 pi ), uma curva fechada simples?

Dica

Esboce a curva.

Responder

sim

Muitos dos teoremas neste capítulo relacionam uma integral sobre uma região a uma integral sobre a fronteira da região, onde a fronteira da região é uma curva fechada simples ou uma união de curvas fechadas simples. Para desenvolver esses teoremas, precisamos de duas definições geométricas para regiões: a de uma região conectada e a de uma região simplesmente conectada. Uma região conectada é aquela em que existe um caminho na região que conecta quaisquer dois pontos que estejam dentro dessa região. Uma região simplesmente conectada é uma região conectada que não possui nenhum orifício. Essas duas noções, junto com a noção de uma curva fechada simples, nos permitem afirmar várias generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo mais adiante neste capítulo. Essas duas definições são válidas para regiões em qualquer número de dimensões, mas estamos preocupados apenas com regiões em duas ou três dimensões.

DEFINIÇÃO: regiões conectadas

Uma região D é um região conectada se, para quaisquer dois pontos (P_1 ) e (P_2 ), há um caminho de (P_1 ) para (P_2 ) com um traço contido inteiramente dentro D. Uma região D é uma região simplesmente conectada se D está conectado para qualquer curva fechada simples C que está dentro D, e curva C pode ser reduzido continuamente a um ponto enquanto permanece inteiramente dentro D. Em duas dimensões, uma região é simplesmente conectada se estiver conectada e não tiver orifícios.

Todas as regiões simplesmente conectadas estão conectadas, mas nem todas as regiões conectadas estão simplesmente conectadas (Figura ( PageIndex {3} )).

Exercício ( PageIndex {2} )

A região na imagem abaixo está conectada? A região está simplesmente conectada?

Dica

Considere as definições.

Responder

A região na figura está conectada. A região na figura não está simplesmente conectada.

Teorema Fundamental para Integrais de Linha

Agora que entendemos algumas curvas e regiões básicas, vamos generalizar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Lembre-se de que o Teorema Fundamental do Cálculo diz que se uma função (f ) tem uma antiderivada (F ), então a integral de (f ) de (a ) para (b ) depende apenas de os valores de (F ) em (a ) e em (b ) - ou seja,

[ int_a ^ bf (x) , dx = F (b) −F (a). ]

Se pensarmos no gradiente como uma derivada, o mesmo teorema é válido para integrais de linha vetoriais. Mostramos como isso funciona usando um exemplo motivacional.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando uma integral de linha e as antiderivadas dos pontos finais

Seja ( vecs {F} (x, y) = ⟨2x, 4y⟩ ). Calcule ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), onde C é o segmento de linha de ((0,0) ) a ((2,2) ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Solução

Usamos o método da seção anterior para calcular ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). Curva C pode ser parametrizado por ( vecs {r} (t) = ⟨2t, 2t⟩ ), (0≤t≤1 ). Então, ( vecs {F} ( vecs r (t)) = ⟨4t, 8t⟩ ) e ( vecs r ′ (t) = ⟨2,2⟩ ), o que implica que

[ begin {align *} int_C vecs {F} · d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨4t, 8t⟩ · ⟨2,2⟩dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (8t + 16t) dt = int_0 ^ 1 24tdt [4pt] & = { big [12t ^ 2 big]} _ 0 ^ 1 = 12. end {align *} ]

Observe que ( vecs {F} = vecs nabla f ), onde (f (x, y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 ). Se pensarmos no gradiente como uma derivada, então (f ) é uma “antiderivada” de ( vecs {F} ). No caso de integrais de variável única, a integral da derivada (g ′ (x) ) é (g (b) −g (a) ), onde uma é o ponto de partida do intervalo de integração e b é o ponto final. Se as integrais vetoriais de linha funcionam como integrais de variável única, então esperaríamos que a integral ( vecs {F} ) fosse (f (P_1) −f (P_0) ), onde (P_1 ) é o ponto final da curva de integração e (P_0 ) é o ponto inicial. Observe que este é o caso para este exemplo:

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = 12 não número ]

e

[f (2,2) −f (0,0) = 4 + 8−0 = 12. enhum número]

Em outras palavras, a integral de uma “derivada” pode ser calculada avaliando uma “antiderivada” nos pontos finais da curva e subtraindo, assim como para integrais de variável única.

O seguinte teorema diz que, sob certas condições, o que aconteceu no exemplo anterior é válido para qualquer campo gradiente. O mesmo teorema é válido para integrais de linha vetorial, que chamamos de Teorema Fundamental para Integrais de Linha.

Teorema: O TEOREMA FUNDAMENTAL PARA OS INTEGRAIS DE LINHA

Deixar C ser uma curva suave por partes com parametrização ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ). Seja (f ) uma função de duas ou três variáveis ​​com derivadas parciais de primeira ordem que existem e são contínuas em C. Então,

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). label {FunTheLine} ]

Prova

Primeiro,

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt. enhum número ]

Pela regra da cadeia,

[ dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) = vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) nonumber ]

Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

[ begin {align *} int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} & = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t ) dt [4pt] & = int_a ^ b dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) dt [4pt] & = { big [f ( vecs r (t) )) big]} _ {t = a} ^ {t = b} [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). end {alinhar * } ]

(quadrado)

Sabemos que se ( vecs {F} ) é um campo vetorial conservador, existe uma função potencial (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs F ). Portanto

[ int_C vecs F · d vecs r = int_C vecs nabla f · d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). ]

Em outras palavras, assim como com o Teorema Fundamental do Cálculo, o cálculo da integral de linha ( int_C vecs F · d vecs {r} ), onde ( vecs {F} ) é conservador, é um dois -processo de etapa:

  1. Encontre uma função potencial (“antiderivada”) (f ) para ( vecs {F} ) e
  2. Calcule o valor de (f ) nos pontos finais de (C ) e calcule sua diferença (f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) ).

Tenha em mente, no entanto, que há uma diferença importante entre o Teorema Fundamental do Cálculo e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha:
Uma função de uma variável contínua deve ter uma antiderivada. No entanto, um campo vetorial, mesmo que contínuo, não precisa ter uma função potencial.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Aplicando o Teorema Fundamental

Calcule integral ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), onde ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2x ln y, dfrac {x ^ 2 } {y} + z ^ 2,2yz⟩ ) e (C ) é uma curva com parametrização ( vecs {r} (t) = ⟨t ^ 2, t, t⟩ ), (1 ≤t≤e )

  1. sem usar o Teorema Fundamental dos Integrais de Linha e
  2. usando o Teorema Fundamental dos Integrais de Linha.

Solução

1. Primeiro, vamos calcular a integral sem o Teorema Fundamental para Integrais de Linha e, em vez disso, usar o método que aprendemos na seção anterior:

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot dr & = int_1 ^ e vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt [ 4pt] & = int_1 ^ e⟨2t ^ 2 ln t, dfrac {t ^ 4} {t} + t ^ 2,2t ^ 2⟩ cdot ⟨2t, 1,1⟩ , dt [ 4pt] & = int_1 ^ e (4t ^ 3 ln t + t ^ 3 + 3t ^ 2) , dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + int_1 ^ e (t ^ 3 + 3t ^ 2) , dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + t ^ 3 Big]} _ 1 ^ e [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {1} {4 } −1 [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {5} {4} end {alinhar *} ]

Integral ( displaystyle int_1 ^ e t ^ 3 ln t , dt ) requer integração por partes. Seja (u = ln t ) e (dv = t ^ 3 ). Então (u = ln t ), (dv = t ^ 3 )

e

[du = dfrac {1} {t} , dt, ; ; v = dfrac {t ^ 4} {4}. nonumber ]

Portanto,

[ begin {align *} int_1 ^ et ^ 3 ln t , dt & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} ln t Big]} _ 1 ^ e− dfrac { 1} {4} int_1 ^ et ^ 3 , dt [4pt] & = dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right). end {align *} ]

Desse modo,

[ begin {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = 4 int_1 ^ et ^ 3 ln t , dt quad + quad dfrac {e ^ 4} {4 } + e ^ 3 - dfrac {5} {4} [4pt] & = 4 left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac { e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} direita) direita) + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt ] & = e ^ 4− dfrac {e ^ 4} {4} + dfrac {1} {4} + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. end {align *} ]

2. Dado que (f (x, y, z) = x ^ 2 ln y + yz ^ 2 ) é uma função potencial para ( vecs F ), vamos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular o integral. Observe que

[ begin {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} [4pt] & = f ( vecs r (e)) - f ( vecs r (1)) [4pt] & = f (e ^ 2, e, e) −f (1,1,1) [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. end {align *} ]

Este cálculo é muito mais direto do que o cálculo que fizemos em (a). Contanto que tenhamos uma função potencial, calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental para Integrais de linha é muito mais fácil do que calcular sem o teorema.

O exemplo ( PageIndex {3} ) ilustra um bom recurso do Teorema Fundamental dos Integrais de Linha: ele nos permite calcular mais facilmente muitos integrais de linha vetoriais. Enquanto tivermos uma função potencial, calcular a integral de linha é apenas uma questão de avaliar a função potencial nos pontos finais e subtrair.

Exercício ( PageIndex {3} )

Dado que (f (x, y) = {(x − 1)} ^ 2y + {(y + 1)} ^ 2x ) é uma função potencial para ( vecs F (x, y) = ⟨2xy− 2y + {(y + 1)} ^ 2, {(x − 1)} ^ 2 + 2yx + 2x⟩ ), calcular integral ( int_C vecs F · d vecs r ), onde (C ) é a metade inferior do círculo unitário orientada no sentido anti-horário.

Dica

O Teorema Fundamental para Intervalos de Linha diz que essa integral depende apenas do valor de (f ) nas extremidades de (C ).

Responder

2

O Teorema Fundamental para Integrais de Linha tem duas consequências importantes. A primeira consequência é que se ( vecs {F} ) é conservador e (C ) é uma curva fechada, então a circulação de ( vecs {F} ) ao longo de (C ) é zero— ou seja, ( int_C vecs F · d vecs r = 0 ). Para ver porque isso é verdade, seja (f ) uma função potencial para ( vecs {F} ). Como (C ) é uma curva fechada, o ponto terminal ( vecs r (b) ) de (C ) é o mesmo que o inicial ( vecs r (a) ) de (C ) - isto é, ( vecs r (a) = vecs r (b) ). Portanto, pelo Teorema Fundamental para Integrais de Linha,

[ begin {align} oint_C vecs F · d vecs r & = oint_C vecs nabla f · d vecs r [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (b)) [4pt] & = 0. end {align} ]

Lembre-se de que a razão pela qual um campo vetorial conservativo ( vecs {F} ) é chamado de “conservativo” é porque tais campos vetoriais modelam forças nas quais a energia é conservada. Mostramos que a gravidade é um exemplo dessa força. Se pensarmos no campo vetorial ( vecs {F} ) em integral ( oint_C vecs F · d vecs r ) como um campo gravitacional, então a equação ( oint_C vecs {F} · d vecs {r} = 0 ) segue. Se uma partícula viaja por um caminho que começa e termina no mesmo lugar, o trabalho feito pela gravidade na partícula é zero.

A segunda consequência importante do Teorema Fundamental para Integrais de Linha (Equação ref {FunTheLine}) é que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho - ou seja, dependem apenas dos pontos finais da curva dada, e não dependem de o caminho entre os pontos de extremidade.

DEFINIÇÃO: Independência do Caminho

Seja ( vecs {F} ) um campo vetorial com domínio (D ); é independente do caminho (ou independente do caminho) se

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r} ]

para quaisquer caminhos (C_1 ) e (C_2 ) em (D ) com os mesmos pontos iniciais e terminais.

A segunda consequência é declarada formalmente no teorema a seguir.

Teorema: CAMPOS DE CONSERVAÇÃO

Se ( vecs {F} ) é um campo vetorial conservador, então ( vecs {F} ) é independente do caminho.

Prova

Seja (D ) denotar o domínio de ( vecs {F} ) e seja (C_1 ) e (C_2 ) dois caminhos em (D ) com os mesmos pontos iniciais e terminais (Figura ( PageIndex {5} )). Chame o ponto inicial (P_1 ) e o ponto terminal (P_2 ). Como ( vecs {F} ) é conservador, existe uma função potencial (f ) para ( vecs {F} ). Pelo Teorema Fundamental para Integrais de Linha,

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = f (P_2) −f (P_1) = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r}. enhum número]

Portanto, ( int_ {C_1} vecs F · d vecs r = int_ {C_2} vecs F · d vecs r ) e ( vecs {F} ) é independente do caminho.

(quadrado)

Para visualizar o que significa independência de caminho, imagine três caminhantes escalando do acampamento base até o topo de uma montanha. O caminhante 1 faz uma rota íngreme diretamente do acampamento ao topo. O caminhante 2 segue uma rota sinuosa que não é íngreme do acampamento ao topo. O caminhante 3 começa seguindo o caminho íngreme, mas na metade do caminho para o topo decide que é muito difícil para ele. Portanto, ele retorna ao acampamento e segue o caminho não íngreme até o topo. Todos os três caminhantes estão viajando por caminhos em um campo gravitacional. Como a gravidade é uma força na qual a energia é conservada, o campo gravitacional é conservador. Por independência de caminho, a quantidade total de trabalho feito por gravidade em cada um dos caminhantes é o mesmo porque todos eles começaram no mesmo lugar e terminaram no mesmo lugar. O trabalho realizado pelos caminhantes inclui outros fatores, como fricção e movimento muscular, de modo que a quantidade total de energia gasta por cada um não é a mesma, mas a energia líquida gasta contra a gravidade é a mesma para os três caminhantes.

Mostramos que se ( vecs {F} ) é conservador, então ( vecs {F} ) é independente do caminho. Acontece que se o domínio de ( vecs {F} ) estiver aberto e conectado, então o inverso também é verdadeiro. Ou seja, se ( vecs {F} ) é independente do caminho e o domínio de ( vecs {F} ) está aberto e conectado, então ( vecs {F} ) é conservador. Portanto, o conjunto de campos vetoriais conservativos em domínios abertos e conectados é precisamente o conjunto de campos vetoriais independente do caminho.

Teorema: O TESTE DE INDEPENDÊNCIA DO CAMINHO PARA CAMPOS DE CONSERVAÇÃO

Se ( vecs {F} ) é um campo vetorial contínuo que é independente do caminho e o domínio (D ) de ( vecs {F} ) está aberto e conectado, então ( vecs {F } ) é conservador.

Prova

Provamos o teorema para campos vetoriais em (ℝ ^ 2 ). A prova para campos vetoriais em (ℝ ^ 3 ) é semelhante. Para mostrar que ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) é conservador, devemos encontrar uma função potencial (f ) para ( vecs {F} ). Para esse fim, seja (X ) um ponto fixo em (D ). Para qualquer ponto ((x, y) ) em (D ), seja (C ) um caminho de (X ) para ((x, y) ). Defina (f (x, y) ) por (f (x, y) = int_C vecs F · d vecs r ). (Observe que esta definição de (f ) faz sentido apenas porque ( vecs {F} ) é independente do caminho. Se ( vecs {F} ) não fosse independente do caminho, então pode ser possível para encontrar outro caminho (C ′ ) de (X ) para ((x, y) ) de modo que ( int_C vecs F · d vecs r ≠ int_C vecs F · d vecs r ), e nesse caso (f (x, y) ) não seria uma função.) Queremos mostrar que (f ) tem a propriedade ( vecs nabla f = vecs F ).

Como o domínio (D ) está aberto, é possível encontrar um disco centralizado em ((x, y) ) de forma que o disco esteja inteiramente dentro de (D ). Seja ((a, y) ) com (a

[f (x, y) = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

A primeira integral não depende de (x ), então

[f_x (x, y) = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

Se parametrizarmos (C_2 ) por ( vecs r (t) = ⟨t, y⟩ ), (a≤t≤x ), então

[ begin {align *} f_x (x, y) & = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r [4pt] & = dfrac {∂ } {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot dfrac {d} {dt} (⟨t, y⟩) , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot ⟨1,0⟩ , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t, y) , dt. [4pt] end {alinhar *} ]

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1),

[f_x (x, y) = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t, y) , dt = P (x, y). nonumber ]

Um argumento semelhante usando um segmento de linha vertical em vez de um segmento de linha horizontal mostra que (f_y (x, y) = Q (x, y) ).

Portanto, ( vecs nabla f = vecs F ) e ( vecs {F} ) é conservador.

(quadrado)

Gastamos muito tempo discutindo e provando os teoremas acima, mas podemos resumi-los simplesmente: um campo vetorial ( vecs F ) em um domínio aberto e conectado é conservador se e somente se for independente do caminho. Isso é importante saber porque campos vetoriais conservativos são extremamente importantes em aplicações, e esses teoremas nos fornecem uma maneira diferente de ver o que significa ser conservador usando independência de caminho.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Mostrando que um campo vetorial não é conservador

Use a independência de caminho para mostrar que o campo vetorial ( vecs F (x, y) = ⟨x ^ 2y, y + 5⟩ ) não é conservativo.

Solução

Podemos indicar que ( vecs {F} ) não é conservador mostrando que ( vecs {F} ) não é independente do caminho. Fazemos isso fornecendo dois caminhos diferentes, (C_1 ) e (C_2 ), que ambos começam em ((0,0) ) e terminam em ((1,1) ), e ainda ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ).

Seja (C_1 ) a curva com parametrização ( vecs r_1 (t) = ⟨t, , t⟩ ), (0≤t≤1 ) e seja (C_2 ) a curva com parametrização ( vecs r_2 (t) = ⟨t, , t ^ 2⟩ ), (0≤t≤1 ) (Figura ( PageIndex {7} ).). Então

[ begin {align *} int_ {C_1} vecs {F} · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_1 (t)) · vecs r_1 ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 3, t + 5⟩ · ⟨1,1⟩ , dt = int_0 ^ 1 (t ^ 3 + t + 5) , dt [ 4pt] & = { Grande [ dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {t ^ 2} {2} + 5t Grande]} _ 0 ^ 1 = dfrac {23} {4} end { alinhar*}]

e

[ begin {align *} int_ {C_2} vecs F · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_2 (t)) · vecs r_2 ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 4, t ^ 2 + 5⟩ · ⟨1,2t⟩ , dt = int_0 ^ 1 (t ^ 4 + 2t ^ 3 + 10t) , dt [4pt] & = { Grande [ dfrac {t ^ 5} {5} + dfrac {t ^ 4} {2} + 5t ^ 2 Grande]} _ 0 ^ 1 = dfrac {57} {10 } end {align *} ]

Como ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ), o valor de uma integral de linha de ( vecs {F} ) depende do caminho entre dois pontos dados. Portanto, ( vecs {F} ) não é independente do caminho, e ( vecs {F} ) não é conservador.

Exercício ( PageIndex {4} )

Mostre que ( vecs {F} (x, y) = ⟨xy, , x ^ 2y ^ 2⟩ ) não é independente do caminho considerando o segmento de linha de ((0,0) ) para ( (0,2) ) e a parte do gráfico de (y = dfrac {x ^ 2} {2} ) que vai de ((0,0) ) a ((0,2) ).

Dica

Calcule as integrais de linha correspondentes.

Responder

Se (C_1 ) e (C_2 ) representam as duas curvas, então [ int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

Campos de vetores conservadores e funções potenciais

Como aprendemos, o Teorema Fundamental para Integrais de Linha diz que se ( vecs {F} ) é conservador, então calcular ( int_C vecs F · d vecs r ) tem duas etapas: primeiro, encontre um função potencial (f ) para ( vecs {F} ) e, em segundo lugar, calcule (f (P_1) −f (P_0) ), onde (P_1 ) é o ponto final de (C ) e (P_0 ) é o ponto de partida. Para usar este teorema para um campo conservativo ( vecs {F} ), devemos ser capazes de encontrar uma função potencial (f ) para ( vecs {F} ). Portanto, devemos responder a seguinte questão: Dado um campo vetorial conservador ( vecs {F} ), como encontramos uma função (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} )? Antes de dar um método geral para encontrar uma função potencial, vamos motivar o método com um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando uma função potencial

Encontre uma função potencial para ( vecs F (x, y) = ⟨2xy ^ 3,3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)⟩ ), mostrando que ( vecs {F} ) é conservador .

Solução

Suponha que (f (x, y) ) seja uma função potencial para ( vecs {F} ). Então, ( vecs nabla f = vecs F ) e, portanto,

[f_x (x, y) = 2xy ^ 3 ; ; text {e} ; ; f_y (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos y. enhum número]

Integrar a equação (f_x (x, y) = 2xy ^ 3 ) em relação a (x ) resulta na equação

[f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y). enhum número]

Observe que, uma vez que estamos integrando uma função de duas variáveis ​​em relação a (x ), devemos adicionar uma constante de integração que é uma constante em relação a (x ), mas ainda pode ser uma função de (y ). A equação (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y) ) pode ser confirmada tomando a derivada parcial em relação a (x ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y ^ 3) + dfrac {∂} {∂x} (h (y)) = 2xy ^ 3 + 0 = 2xy ^ 3. enhum número]

Uma vez que (f ) é uma função potencial para ( vecs {F} ),

[f_y (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y), nonumber ]

e portanto

[3x ^ 2y ^ 2 + g ′ (y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y). enhum número]

Isso implica que (h ′ (y) = cos y ), então (h (y) = sin y + C ). Portanto, algum função da forma (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) + C ) é uma função potencial. Tomando, em particular, (C = 0 ) dá a função potencial (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) ).

Para verificar se (f ) é uma função potencial, observe que ( vecs nabla f (x, y) = ⟨2xy ^ 3,3x ^ 2y ^ 2 + cos y⟩ = vecs F ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre uma função potencial para ( vecs {F} (x, y) = ⟨e ^ xy ^ 3 + y, 3e ^ xy ^ 2 + x⟩ ).

Dica

Siga as etapas em Exemplo ( PageIndex {5} ).

Responder

(f (x, y) = e ^ xy ^ 3 + xy )

A lógica do exemplo anterior se estende a encontrar a função potencial para qualquer campo vetorial conservador em (ℝ ^ 2 ). Assim, temos a seguinte estratégia de resolução de problemas para encontrar funções potenciais:

ESTRATÉGIA DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS: ENCONTRANDO UMA FUNÇÃO POTENCIAL PARA UM CAMPO VETORIAL CONSERVADOR ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ )

  1. Integre (P ) em relação a (x ). Isso resulta em uma função da forma (g (x, y) + h (y) ), onde (h (y) ) é desconhecido.
  2. Faça a derivada parcial de (g (x, y) + h (y) ) em relação a (y ), que resulta na função (gy (x, y) + h ′ (y) ) .
  3. Use a equação (gy (x, y) + h ′ (y) = Q (x, y) ) para encontrar (h ′ (y) ).
  4. Integre (h ′ (y) ) para encontrar (h (y) ).
  5. Qualquer função da forma (f (x, y) = g (x, y) + h (y) + C ), onde (C ) é uma constante, é uma função potencial para ( vecs { F} ).

Podemos adaptar esta estratégia para encontrar funções potenciais para campos vetoriais em (ℝ ^ 3 ), como mostrado no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando uma função potencial em (ℝ ^ 3 )

Encontre uma função potencial para (F (x, y, z) = ⟨2xy, x ^ 2 + 2yz ^ 3,3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ ), mostrando assim que ( vecs {F} ) é conservador.

Solução

Suponha que (f ) seja uma função potencial. Então, ( vecs nabla f = vecs {F} ) e, portanto, (f_x (x, y, z) = 2xy ). Integrar esta equação com respeito a (x ) produz a equação (f (x, y, z) = x ^ 2y + g (y, z) ) para alguma função (g ). Observe que, neste caso, a constante de integração com respeito a (x ) é uma função de (y ) e (z ).

Uma vez que (f ) é uma função potencial,

[x ^ 2 + 2yz ^ 3 = f_y (x, y, z) = x ^ 2 + g_y (y, z). enhum número]

Portanto,

[g_y (y, z) = 2yz ^ 3. enhum número]

Integrar esta função em relação a (y ) produz

[g (y, z) = y ^ 2z ^ 3 + h (z) nonumber ]

para alguma função (h (z) ) de (z ) sozinha. (Observe que, como sabemos que (g ) é uma função de apenas (y ) e (z ), não precisamos escrever (g (y, z) = y ^ 2z ^ 3 + h (x, z) ).) Portanto,

[f (x, y, z) = x ^ 2y + g (y, z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + h (z). enhum número]

Para encontrar (f ), agora devemos apenas encontrar (h ). Uma vez que (f ) é uma função potencial,

[3y ^ 2z ^ 2 + 2z = g_z (y, z) = 3y ^ 2z ^ 2 + h ′ (z). enhum número]

Isso implica que (h ′ (z) = 2z ), então (h (z) = z ^ 2 + C ). Letting (C = 0 ) dá a função potencial

[f (x, y, z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + z ^ 2. enhum número]

Para verificar se (f ) é uma função potencial, observe que ( vecs nabla f (x, y, z) = ⟨2xy, x ^ 2 + 2yz ^ 3,3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ = vecs F (x, y, z) ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre uma função potencial para ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨12x ^ 2, cos y cos z, 1− sin y sin z⟩ ).

Dica

Seguindo o Exemplo ( PageIndex {6} ), comece integrando em relação a (x ).

Responder

(f (x, y, z) = 4x ^ 3 + sin y cos z + z )

Podemos aplicar o processo de encontrar uma função potencial a uma força gravitacional. Lembre-se de que, se um objeto tem massa unitária e está localizado na origem, então a força gravitacional em (ℝ ^ 2 ) que o objeto exerce sobre outro objeto de massa unitária no ponto ((x, y) ) é dado por campo vetorial

( vecs F (x, y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {y} {{( x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ),

onde (G ) é a constante gravitacional universal. No próximo exemplo, construímos uma função potencial para ( vecs {F} ), confirmando assim o que já sabemos: que a gravidade é conservadora.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando uma função potencial

Encontre uma função potencial (f ) para ( vecs {F} (x, y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}}, dfrac {y} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

Solução

Suponha que (f ) seja uma função potencial. Então, ( vecs nabla f = vecs {F} ) e, portanto,

[f_x (x, y) = dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}. nonumber ]

Para integrar esta função em relação a (x ), podemos usar (u ) - substituição. Se (u = x ^ 2 + y ^ 2 ), então ( dfrac {du} {2} = x , dx ), então

[ begin {align *} int dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} , dx & = int dfrac {−G} {2u ^ {3/2}} , du [4pt] & = dfrac {G} { sqrt {u}} + h (y) [4pt] & = dfrac {G} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) end {alinhar *} ]

para alguma função (h (y) ). Portanto,

[f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y). nonumber ]

Uma vez que (f ) é uma função potencial para ( vecs {F} ),

[f_y (x, y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} nonumber ].

Como (f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) ), (f_y (x, y) ) também é igual a ( dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) ).

Portanto,

[ dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 )} ^ {3/2}}, nonumber ]

o que implica que (h ′ (y) = 0 ). Assim, podemos considerar (h (y) ) como qualquer constante; em particular, podemos deixar (h (y) = 0 ). A função

[f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} não numérico ]

é uma função potencial para o campo gravitacional ( vecs {F} ). Para confirmar que (f ) é uma função potencial, observe que

[ begin {align *} vecs nabla f (x, y) & = ⟨− dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} (2x), - dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} (2y)⟩ [4pt] & = ⟨ Dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}}⟩ [4pt] & = vecs F (x, y). end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre uma função potencial (f ) para a força gravitacional tridimensional ( vecs {F} (x, y, z) = left langle dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gz } {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

Dica

Siga a estratégia de solução de problemas.

Responder

(f (x, y, z) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

Testando um campo vetorial

Até agora, trabalhamos com campos vetoriais que sabemos serem conservadores, mas se não nos disseram que um campo vetorial é conservador, precisamos ser capazes de testar se ele é conservador. Lembre-se de que, se ( vecs {F} ) é conservador, então ( vecs {F} ) tem a propriedade cross-partial (veja A Propriedade Cross-Partial de Campos Vetoriais Conservativos). Ou seja, se ( vecs F = ⟨P, Q, R⟩ ) for conservador, então (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ) e (Q_z = R_y ). Portanto, se ( vecs {F} ) tem a propriedade parcial cruzada, então é ( vecs {F} ) conservador? Se o domínio de ( vecs {F} ) estiver aberto e simplesmente conectado, a resposta é sim.

Teorema: O TESTE CRUZ-PARCIAL PARA CAMPOS DE CONSERVAÇÃO

Se ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) é um campo vetorial em uma região aberta, simplesmente conectada (D ) e (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ) , e (Q_z = R_y ) em (D ), então ( vecs {F} ) é conservador.

Embora uma prova desse teorema esteja além do escopo do texto, podemos descobrir seu poder com alguns exemplos. Posteriormente, veremos por que é necessário que a região seja simplesmente conectada.

Combinando este teorema com a propriedade parcial cruzada, podemos determinar se um determinado campo vetorial é conservador:

Teorema: PROPRIEDADE ENTRE PARCIAL DOS CAMPOS DE CONSERVAÇÃO

Seja ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) um campo vetorial em uma região aberta e simplesmente conectada (D ). Então (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ), e (Q_z = R_y ) em (D ) se e somente se ( vecs {F} ) for conservador.

A versão deste teorema em (ℝ ^ 2 ) também é verdadeira. Se ( vecs F (x, y) = ⟨P, Q⟩ ) é um campo vetorial em um domínio aberto, simplesmente conectado em (ℝ ^ 2 ), então ( vecs F ) é conservador se e somente se (P_y = Q_x ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Determinando se um campo vetorial é conservador

Determine se o campo vetorial ( vecs F (x, y, z) = ⟨xy ^ 2z, x ^ 2yz, z ^ 2⟩ ) é conservativo.

Solução

Observe que o domínio de ( vecs {F} ) é todo (ℝ ^ 2 ) e (ℝ ^ 3 ) está simplesmente conectado. Portanto, podemos usar A propriedade parcial cruzada de campos vetoriais conservadores para determinar se ( vecs {F} ) é conservador. Deixar

[P (x, y, z) = xy ^ 2z nonumber ]

[Q (x, y, z) = x ^ 2yz nonumber ]

e

[R (x, y, z) = z ^ 2. Nonumber ]

Como (Q_z (x, y, z) = x ^ 2y ) e (R_y (x, y, z) = 0 ), o campo vetorial não é conservativo.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Determinando se um campo vetorial é conservador

Determine o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨x ln (y), , dfrac {x ^ 2} {2y}⟩ ) é conservador.

Solução

Observe que o domínio de ( vecs {F} ) é a parte de (ℝ ^ 2 ) em que (y> 0 ). Assim, o domínio de ( vecs {F} ) é parte de um plano acima do eixo (x ), e este domínio é simplesmente conectado (não há buracos nesta região e esta região está conectada). Deixar

[P (x, y) = x ln (y) ; ; text {e} ; ; Q (x, y) = dfrac {x ^ 2} {2y}. enhum número]

Então (P_y (x, y) = dfrac {x} {y} = Q_x (x, y) ) e, portanto, ( vecs {F} ) é conservador.

Exercício ( PageIndex {8} )

Determine se ( vecs {F} (x, y) = ⟨ sin x cos y, , cos x sin y⟩ ) é conservativo.

Dica

Usar A propriedade parcial cruzada de campos vetoriais conservadores da seção anterior.

Responder

É conservador.

Ao usar A propriedade parcial cruzada de campos vetoriais conservadores, é importante lembrar que um teorema é uma ferramenta e, como qualquer ferramenta, só pode ser aplicado nas condições certas. No caso de A propriedade parcial cruzada de campos vetoriais conservadores, the theorem can be applied only if the domain of the vector field is simply connected.

To see what can go wrong when misapplying the theorem, consider the vector field from Example (PageIndex{4}):

[vecs F(x,y)=dfrac{y}{x^2+y^2},hat{mathbf i}+dfrac{−x}{x^2+y^2},hat{mathbf j}.]

This vector field satisfies the cross-partial property, since

[dfrac{∂}{∂y}left(dfrac{y}{x^2+y^2} ight)=dfrac{(x^2+y^2)−y(2y)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}]

e

[dfrac{∂}{∂x}left(dfrac{−x}{x^2+y^2} ight)=dfrac{−(x^2+y^2)+x(2x)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}.]

Since (vecs{F}) satisfies the cross-partial property, we might be tempted to conclude that (vecs{F}) is conservative. However, (vecs{F}) is not conservative. To see this, let

[vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the upper half of a unit circle oriented counterclockwise (denote this (C_1)) and let

[vecs s(t)=⟨cos t,−sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the lower half of a unit circle oriented clockwise (denote this (C_2)). Notice that (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint. Since ({sin}^2 t+{cos}^2 t=1),

[vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t)=⟨sin(t),−cos(t)⟩ cdot ⟨−sin(t), cos(t)⟩=−1]

e

[vecs F(vecs s(t))·vecs s′(t)=⟨−sin t,−cos t⟩·⟨−sin t,−cos t⟩={sin}^2 t+{cos}^2t=1.]

Portanto,

[int_{C_1} vecs F·dvecs r=int_0^{pi}−1,dt=−pi]

e

[int_{C_2}vecs F·dvecs r=int_0^{pi} 1,dt=pi.]

Thus, (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint, but (int_{C_1} vecs F·dvecs r≠int_{C_2} vecs F·dvecs r). Therefore, (vecs{F}) is not independent of path and (vecs{F}) is not conservative.

To summarize: (vecs{F}) satisfies the cross-partial property and yet (vecs{F}) is not conservative. O que deu errado? Does this contradict The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields? The issue is that the domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^2) except for the origin. In other words, the domain of (vecs{F}) has a hole at the origin, and therefore the domain is not simply connected. Since the domain is not simply connected, The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields does not apply to (vecs{F}).

We close this section by looking at an example of the usefulness of the Fundamental Theorem for Line Integrals. Now that we can test whether a vector field is conservative, we can always decide whether the Fundamental Theorem for Line Integrals can be used to calculate a vector line integral. If we are asked to calculate an integral of the form (int_C vecs F·dvecs r), then our first question should be: Is (vecs{F}) conservative? If the answer is yes, then we should find a potential function and use the Fundamental Theorem for Line Integrals to calculate the integral. If the answer is no, then the Fundamental Theorem for Line Integrals cannot help us and we have to use other methods, such as using the method from the previous section (using (vecs F(vecs r(t))) and (vecs r'(t))).

Example (PageIndex{10}): Using the Fundamental Theorem for Line Integrals

Calculate line integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs F(x,y,z)=⟨2xe^yz+e^xz,,x^2e^yz,,x^2e^y+e^x⟩) and (C) is any smooth curve that goes from the origin to ((1,1,1)).

Solução

Before trying to compute the integral, we need to determine whether (vecs{F}) is conservative and whether the domain of (vecs{F}) is simply connected. The domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^3), which is connected and has no holes. Therefore, the domain of (vecs{F}) is simply connected. Deixar

[P(x,y,z)=2xe^yz+e^xz, ;; Q(x,y,z)=x^2e^yz, ;; ext{and} ;; R(x,y,z)=x^2e^y+e^x onumber]

so that (vecs{F}(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩). Since the domain of (vecs{F}) is simply connected, we can check the cross partials to determine whether (vecs{F}) is conservative. Observe que

[egin{align*} P_y(x,y,z) &=2xe^yz=Q_x(x,y,z) [4pt]P_z(x,y,z) &=2xe^y+e^x=R_x(x,y,z) [4pt] Q_z(x,y,z) &=x^2e^y=R_y(x,y,z).end{align*}]

Therefore, (vecs{F}) is conservative.

To evaluate (int_C vecs F·dvecs r) using the Fundamental Theorem for Line Integrals, we need to find a potential function (f) for (vecs{F}). Let (f) be a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f=vecs F), and therefore (f_x(x,y,z)=2xe^yz+e^xz). Integrating this equation with respect to (x) gives (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(y,z)) for some function (h). Differentiating this equation with respect to (y) gives (x^2e^yz+h_y(y,z)=Q(x,y,z)=x^2e^yz), which implies that (h_y(y,z)=0). Therefore, (h) is a function of (z) only, and (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(z)). To find (h), note that (f_z=x^2e^y+e^x+h′(z)=R=x^2e^y+e^x). Therefore, (h′(z)=0) and we can take (h(z)=0). A potential function for (vecs{F}) is (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz).

Now that we have a potential function, we can use the Fundamental Theorem for Line Integrals to evaluate the integral. By the theorem,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(1,1,1)−f(0,0,0)[4pt] &=2e. end {align *} ]

Análise

Notice that if we hadn’t recognized that (vecs{F}) is conservative, we would have had to parameterize (C) and use the method from the previous section. Since curve (C) is unknown, using the Fundamental Theorem for Line Integrals is much simpler.

Exercise (PageIndex{9})

Calculate integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs{F}(x,y)=⟨sin xsin y, 5−cos xcos y⟩) and (C) is a semicircle with starting point ((0,pi)) and endpoint ((0,−pi)).

Dica

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Responder

(−10pi)

Example (PageIndex{11}): Work Done on a Particle

Let (vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) be a force field. Suppose that a particle begins its motion at the origin and ends its movement at any point in a plane that is not on the (x)-axis or the (y)-axis. Furthermore, the particle’s motion can be modeled with a smooth parameterization. Show that (vecs{F}) does positive work on the particle.

Solução

We show that (vecs{F}) does positive work on the particle by showing that (vecs{F}) is conservative and then by using the Fundamental Theorem for Line Integrals.

To show that (vecs{F}) is conservative, suppose (f(x,y)) were a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f(x,y)=vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) and therefore (f_x(x,y)=2xy^2) and (f_y(x,y)=2x^2y). The equation (fx(x,y)=2xy^2) implies that (f(x,y)=x^2y^2+h(y)). Deriving both sides with respect to (y) yields (f_y(x,y)=2x^2y+h′(y)). Therefore, (h′(y)=0) and we can take (h(y)=0).

If (f(x,y)=x^2y^2), then note that (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩=vecs F), and therefore (f) is a potential function for (vecs{F}).

Let ((a,b)) be the point at which the particle stops is motion, and let (C) denote the curve that models the particle’s motion. The work done by (vecs{F}) on the particle is (int_C vecs{F}·dvecs{r}). By the Fundamental Theorem for Line Integrals,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C abla f·dvecs r [4pt] &=f(a,b)−f(0,0)[4pt] &=a^2b^2. end {align *} ]

Since (a≠0) and (b≠0), by assumption, (a^2b^2>0). Therefore, (int_C vecs F·dvecs r>0), and (vecs{F}) does positive work on the particle.

Análise

Notice that this problem would be much more difficult without using the Fundamental Theorem for Line Integrals. To apply the tools we have learned, we would need to give a curve parameterization and use the method from the previous section. Since the path of motion (C) can be as exotic as we wish (as long as it is smooth), it can be very difficult to parameterize the motion of the particle.

Exercise (PageIndex{10})

Let (vecs{F}(x,y)=⟨4x^3y^4,4x^4y^3⟩), and suppose that a particle moves from point ((4,4)) to ((1,1)) along any smooth curve. Is the work done by (vecs{F}) on the particle positive, negative, or zero?

Dica

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Responder

Negativo

Conceitos chave

  • The theorems in this section require curves that are closed, simple, or both, and regions that are connected or simply connected.
  • The line integral of a conservative vector field can be calculated using the Fundamental Theorem for Line Integrals. This theorem is a generalization of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions. Using this theorem usually makes the calculation of the line integral easier.
  • Conservative fields are independent of path. The line integral of a conservative field depends only on the value of the potential function at the endpoints of the domain curve.
  • Given vector field (vecs{F}), we can test whether (vecs{F}) is conservative by using the cross-partial property. If (vecs{F}) has the cross-partial property and the domain is simply connected, then (vecs{F}) is conservative (and thus has a potential function). If (vecs{F}) is conservative, we can find a potential function by using the Problem-Solving Strategy.
  • The circulation of a conservative vector field on a simply connected domain over a closed curve is zero.

Equações Chave

  • Fundamental Theorem for Line Integrals
    (displaystyle int_C vecs abla f·dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
  • Circulation of a conservative field over curve C that encloses a simply connected region
    (displaystyle oint_C vecs abla f·dvecs r=0)

Glossário

closed curve
a curve that begins and ends at the same point
connected region
a region in which any two points can be connected by a path with a trace contained entirely inside the region
Fundamental Theorem for Line Integrals
the value of line integral (displaystyle int_Cvecs ∇f⋅dvecs r) depends only on the value of (f) at the endpoints of (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
independence of path
a vector field (vecs{F}) has path independence if (displaystyle int_{C_1} vecs F⋅dvecs r=displaystyle int_{C_2} vecs F⋅dvecs r) for any curves (C_1) and (C_2) in the domain of (vecs{F}) with the same initial points and terminal points
simple curve
a curve that does not cross itself
simply connected region
a region that is connected and has the property that any closed curve that lies entirely inside the region encompasses points that are entirely inside the region


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