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Teorema de Stokes - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Explique o significado do teorema de Stokes.
  • Use o teorema de Stokes para avaliar uma integral de linha.
  • Use o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfície.
  • Use o teorema de Stokes para calcular um curl.

Nesta seção, estudamos o teorema de Stokes, uma generalização dimensional do teorema de Green. Este teorema, como o Teorema Fundamental para Integrais de Linha e o teorema de Green, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões superiores. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície vetorial sobre a superfície (S ) no espaço a uma integral de linha em torno do limite de (S ). Portanto, assim como os teoremas anteriores, o teorema de Stokes pode ser usado para reduzir uma integral sobre um objeto geométrico (S ) a uma integral sobre o limite de (S ). Além de nos permitir traduzir entre integrais de linha e integrais de superfície, o teorema de Stokes conecta os conceitos de ondulação e circulação. Além disso, o teorema tem aplicações em mecânica dos fluidos e eletromagnetismo. Usamos o teorema de Stokes para derivar a lei de Faraday, um resultado importante envolvendo campos elétricos.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes diz que podemos calcular o fluxo de (curl , vecs {F} ) através da superfície (S ) conhecendo informações apenas sobre os valores de ( vecs {F} ) ao longo da fronteira de (S ). Por outro lado, podemos calcular a integral de linha do campo vetorial ( vecs {F} ) ao longo do limite da superfície (S ) traduzindo para uma integral dupla da curvatura de ( vecs {F} ) sobre (S ).

Seja (S ) uma superfície lisa orientada com vetor normal unitário ( vecs {N} ). Além disso, suponha que o limite de (S ) seja uma curva fechada simples (C ). A orientação de (S ) induz a orientação positiva de (C ) se, conforme você anda na direção positiva em torno de (C ) com sua cabeça apontando na direção de ( vecs {N} ) , a superfície está sempre à sua esquerda. Com esta definição em vigor, podemos afirmar Teorema de Stokes.

Teorema ( PageIndex {1} ): Teorema de Stokes

Seja (S ) uma superfície orientada lisa por partes com um limite que é uma curva fechada simples (C ) com orientação positiva (Figura ( PageIndex {1} )). Se ( vecs {F} ) é um campo vetorial com funções componentes que têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo (S ), então

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

Suponha que a superfície (S ) seja uma região plana no plano (xy ) com orientação para cima. Então, o vetor normal unitário é ( vecs {k} ) e integral de superfície

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} ]

é na verdade a integral dupla

[ iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

Neste caso especial, o teorema de Stokes fornece

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

No entanto, esta é a forma de fluxo do teorema de Green, o que nos mostra que o teorema de Green é um caso especial do teorema de Stokes. O teorema de Green só pode lidar com superfícies em um plano, mas o teorema de Stokes pode lidar com superfícies em um plano ou no espaço.

A prova completa do teorema de Stokes está além do escopo deste texto. Vemos uma explicação intuitiva para a verdade do teorema e, em seguida, vemos a prova do teorema no caso especial de que a superfície (S ) é uma parte de um gráfico de uma função, e (S ), a fronteira de (S ), e ( vecs {F} ) são todos razoavelmente dóceis.

Prova

Em primeiro lugar, examinamos uma prova informal do teorema. Esta prova não é rigorosa, mas tem como objetivo dar uma ideia geral de por que o teorema é verdadeiro. Seja (S ) uma superfície e seja (D ) um pequeno pedaço da superfície de forma que (D ) não compartilhe nenhum ponto com a fronteira de (S ). Escolhemos (D ) para ser pequeno o suficiente para que possa ser aproximado por um quadrado orientado (E ). Deixe (D ) herdar sua orientação de (S ) e dê a (E ) a mesma orientação. Este quadrado tem quatro lados; denote-os (E_l, , E_r, , E_u ) e (E_d ) para os lados esquerdo, direito, para cima e para baixo, respectivamente. No quadrado, podemos usar a forma de fluxo do teorema de Green:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs { S} = iint_E curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

Para aproximar o fluxo em toda a superfície, adicionamos os valores do fluxo nos pequenos quadrados aproximando pequenos pedaços da superfície (Figura ( PageIndex {2} )).

Pelo teorema de Green, o fluxo em cada quadrado aproximado é uma linha integral sobre seu limite. Seja (F ) um quadrado aproximado com uma orientação herdada de (S ) e com um lado direito (E_l ) (então (F ) está à esquerda de (E )). Seja (F_r ) o lado direito de (F ); então, (E_l = - F_r ). Em outras palavras, o lado direito de (F ) é a mesma curva que o lado esquerdo de (E ), apenas orientado na direção oposta. Portanto,

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

À medida que somamos todos os fluxos sobre todos os quadrados aproximando a superfície (S ), integrais de linha

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

e

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

cancelam-se mutuamente. O mesmo vale para as integrais de linha sobre os outros três lados de (E ). Essas três integrais de linha se cancelam com a integral de linha do lado inferior do quadrado acima de (E ), a integral de linha sobre o lado esquerdo do quadrado à direita de (E ) e a integral de linha sobre o lado superior do quadrado abaixo (E ) (Figura ( PageIndex {3} )). Depois que todo esse cancelamento ocorre em todos os quadrados de aproximação, as únicas integrais de linha que sobrevivem são as integrais de linha sobre os lados que se aproximam do limite de (S ). Portanto, a soma de todos os fluxos (que, pelo teorema de Green, é a soma de todas as integrais de linha em torno dos limites dos quadrados de aproximação) pode ser aproximada por uma integral de linha sobre o limite de (S ). No limite, à medida que as áreas dos quadrados aproximados vão para zero, essa aproximação fica arbitrariamente próxima do fluxo.

Vamos agora dar uma olhada em uma prova rigorosa do teorema no caso especial em que (S ) é o gráfico da função (z = f (x, y) ), onde (x ) e (y ) variam em uma região limitada, simplesmente conectada (D ) de área finita (Figura ( PageIndex {4} )). Além disso, suponha que (f ) tenha derivadas parciais contínuas de segunda ordem. Seja (C ) o limite de (S ) e seja (C ') o limite de (D ). Então, (D ) é a “sombra” de (S ) no plano e (C ') é a “sombra” de (C ). Suponha que (S ) esteja orientado para cima. A orientação anti-horária de (C ) é positiva, assim como a orientação anti-horária de (C '). Seja ( vecs F (x, y, z) = langle P, Q, R rangle ) um campo vetorial com funções componentes que têm derivadas parciais contínuas.

Tomamos a parametrização padrão de (S ,: , x = x, , y = y, , z = g (x, y) ). Os vetores tangentes são ( vecs t_x = langle 1,0, g_x rangle ) e ( vecs t_y = langle 0,1, g_y rangle ) e, portanto, ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x, , -g_y, , 1 rangle ).

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, nenhum número]

onde as derivadas parciais são todas avaliadas em ((x, y, g (x, y)) ), fazendo com que o integrando dependa de (x ) e (y ) apenas. Suponha que ( langle x (t), , y (t) rangle, , a leq t leq b ) seja uma parametrização de (C '). Então, uma parametrização de (C ) é ( langle x (t), , y (t), , g (x (t), , y (t)) rangle, , a leq t leq b ). Armado com essas parametrizações, a regra da cadeia e o teorema de Green, e tendo em mente que (P ), (Q ) e (R ) são todas funções de (x ) e (y ) , podemos avaliar a integral da linha

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) , dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { partial z} { partial x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { partial z} { partial y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { parcial z} { parcial x} direita) x '(t) + esquerda (Q + R dfrac { parcial z} { parcial y} direita) y' (t) direita] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { partial z} { partial x} right) , dx + left (Q + R dfrac { partial z } { parcial y} direita) , dy [4pt] & = iint_D esquerda [ dfrac { parcial} { parcial x} esquerda (Q + R dfrac { parcial z} { parcial y} direita) - dfrac { parcial} { parcial y} esquerda (P + R dfrac { parcial z} { parcial x} direita) direita] , dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { parcial Q} { parcial x} + dfrac { parcial Q} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial x} + dfrac { parcial R} { parcial x} dfrac { parcial z} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial x} dfrac { parcial z} { parcial y} + R dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} direita) - esquerda ( dfrac { parcial P} { parcial y} + dfrac { parcial P} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} dfrac { parcial z} { parcial x} + R dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial y parcial x} direita) end {alinhar *} ]

Pelo teorema de Clairaut,

[ dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} = dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial y parcial x} não número ]

Portanto, quatro dos termos desaparecem desta integral dupla, e ficamos com

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, não numérico ]

que é igual a

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. enhum número]

(Caixa)

Mostramos que o teorema de Stokes é verdadeiro no caso de uma função com um domínio que é uma região simplesmente conectada de área finita. Podemos confirmar rapidamente este teorema para outro caso importante: quando o campo vetorial ( vecs {F} ) é um campo conservativo. Se ( vecs {F} ) é conservador, o curl de ( vecs {F} ) é zero, então

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

Uma vez que o limite de (S ) é uma curva fechada, o integral

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

também é zero.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Verificando o Teorema de Stokes para um Caso Específico

Verifique se o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = langle -z, x, 0 rangle ) e a superfície (S ), onde (S ) é o hemisfério, orientado para fora, com parametrização ( vecs r ( phi, theta) = langle sin phi , cos theta, , sin phi , sin theta, , cos phi rangle, , 0 leq theta leq pi, , 0 leq phi leq pi ) como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Solução

Seja (C ) o limite de (S ). Observe que (C ) é um círculo de raio 1, centralizado na origem, sentado no plano (y = 0 ). Este círculo possui parametrização ( langle cos t, , 0, , sin t rangle, , 0 leq t leq 2 pi ). a equação para integrais de superfície escalar

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t, , cos t, , 0 rangle cdot langle - sin t, , 0, , cos t rangle , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t , dt [ 4pt] & = pi. end {align *} ]

Pela equação para integrais vetoriais de linha,

[ begin {align *} iint_S , curl , vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl , vecs {F} ( vecs r ( phi, theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) , dA [4pt] & = iint_D langle 0, -1, 1 rangle cdot langle cos theta , sin ^ 2 phi, , sin theta , sin ^ 2 phi, , sin phi , cos phi rangle , dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi , cos phi - sin theta , sin ^ 2 phi) , d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta , d theta [4pt] & = pi. end {alinhar *} ]

Portanto, verificamos o teorema de Stokes para este exemplo.

Exercício ( PageIndex {1} )

Verifique se o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y, z) = langle y, x, -z rangle ) e superfície (S ), onde (S ) é a porção orientada para cima do gráfico de (f (x, y) = x ^ 2 y ) sobre um triângulo no plano (xy ) com vértices ((0,0), , ( 2,0) ) e ((0,2) ).

Dica

Calcule o integral duplo e o integral de linha separadamente.

Responder

Ambas as integrais fornecem (- dfrac {136} {45} ):

Interpretação de Curl

Além de traduzir entre integrais de linha e integrais de fluxo, o teorema de Stokes pode ser usado para justificar a interpretação física do curl que aprendemos. Aqui, investigamos a relação entre a ondulação e a circulação e usamos o teorema de Stokes para estabelecer a lei de Faraday - uma lei importante na eletricidade e no magnetismo que relaciona a ondulação de um campo elétrico à taxa de variação de um campo magnético.

Lembre-se de que se (C ) é uma curva fechada e ( vecs {F} ) é um campo vetorial definido em (C ), então a circulação de ( vecs {F} ) em torno de ( C ) é integral de linha

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Se ( vecs {F} ) representa o campo de velocidade de um fluido no espaço, então a circulação mede a tendência do fluido de se mover na direção de (C ).

Seja ( vecs {F} ) um campo vetorial contínuo e seja (D _ { tau} ) um pequeno disco de raio (r ) com centro (P_0 ) (Figura ( PageIndex {7} )). Se (D _ { tau} ) for pequeno o suficiente, então ((curl , vecs {F}) (P) approx (curl , vecs F) (P_0) ) para todos os pontos ( P ) em (D _ { tau} ) porque a ondulação é contínua. Seja (C _ { tau} ) o círculo limite de (D _ { tau} ): Pelo teorema de Stokes,

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs S approx iint_ {D _ { tau}} (curl , vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) , d vecs S. ]

A quantidade ((curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) é constante e, portanto,

[ iint_ {D _ { tau}} (curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) , d vecs S = pi r ^ 2 [(curl , vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. enhum número]

Desse modo

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r approx pi r ^ 2 [(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)], nenhum número]

e a aproximação fica arbitrariamente próxima à medida que o raio diminui para zero. Portanto, o teorema de Stokes implica que

[(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

Esta equação relaciona a ondulação de um campo vetorial à circulação. Uma vez que a área do disco é ( pi r ^ 2 ), esta equação diz que podemos ver o cacho (no limite) como a circulação por unidade de área. Lembre-se de que se ( vecs F ) é o campo de velocidade de um fluido, então circulação [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T , ds ] é uma medida da tendência do fluido se mover (C _ { tau} ): A razão para isso é que ( vecs F cdot vecs T ) é um componente de ( vecs F ) na direção de ( vecs T ), e quanto mais próxima a direção de ( vecs F ) estiver de ( vecs T ), o maior o valor de ( vecs F cdot vecs T ) (lembre-se que se ( vecs a ) e ( vecs b ) são vetores e ( vecs b ) é fixo, então o produto escalar ( vecs a cdot vecs b ) é máximo quando ( vecs a ) aponta na mesma direção que ( vecs b )). Portanto, se ( vecs F ) é o campo de velocidade de um fluido, então (curl , vecs F cdot vecs N ) é uma medida de como o fluido gira em torno do eixo ( vecs N ) O efeito da curvatura é maior sobre o eixo que aponta na direção de ( vecs N ), porque neste caso (curl , vecs F cdot vecs N ) é o maior possível.

Para ver esse efeito de uma forma mais concreta, imagine colocar uma minúscula roda de pás no ponto (P_0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). A roda de pás atinge sua velocidade máxima quando o eixo da roda aponta na direção da curvatura ( vecs F ). Isso justifica a interpretação do curl que aprendemos: o curl é uma medida da rotação no campo vetorial em torno do eixo que aponta na direção do vetor normal ( vecs N ), e o teorema de Stokes justifica essa interpretação.

Agora que aprendemos sobre o teorema de Stokes, podemos discutir as aplicações na área do eletromagnetismo. Em particular, examinamos como podemos usar o teorema de Stokes para traduzir entre duas formas equivalentes da lei de Faraday. Antes de declarar as duas formas da lei de Faraday, precisamos de algumas terminologias básicas.

Seja (C ) uma curva fechada que modela um fio fino. No contexto de campos elétricos, o fio pode estar se movendo ao longo do tempo, então escrevemos (C (t) ) para representar o fio. Em um determinado momento (t ), a curva (C (t) ) pode ser diferente da curva original (C ) por causa do movimento do fio, mas assumimos que (C (t) ) é uma curva fechada para todos os tempos (t ). Seja (D (t) ) uma superfície com (C (t) ) como seu limite, e oriente (C (t) ) de forma que (D (t) ) tenha orientação positiva. Suponha que (C (t) ) esteja em um campo magnético ( vecs B (t) ) que também pode mudar com o tempo. Em outras palavras, ( vecs {B} ) tem a forma

[ vecs B (x, y, z) = langle P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z) rangle, ]

onde (P ), (Q ) e (R ) podem variar continuamente ao longo do tempo. Podemos produzir corrente ao longo do fio mudando o campo ( vecs B (t) ) (isso é uma consequência da lei de Ampère). Fluxo ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) cria um campo elétrico ( vecs E (t) ) que funciona. A forma integral da lei de Faraday afirma que

[Trabalho = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { parcial phi} { parcial t}. ]

Em outras palavras, o trabalho feito por ( vecs {E} ) é a integral de linha ao redor da fronteira, que também é igual à taxa de variação do fluxo em relação ao tempo. A forma diferencial da lei de Faraday afirma que

[curl , vecs {E} = - dfrac { partial vecs B} { partial t}. ]

Usando o teorema de Stokes, podemos mostrar que a forma diferencial da lei de Faraday é uma consequência da forma integral. Pelo teorema de Stokes, podemos converter a integral de linha na forma integral em integral de superfície

[- dfrac { partial phi} { partial t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl , vecs E (t) cdot d vecs S. ]

Uma vez que [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S, ] então, desde que a integração da superfície não varie com o tempo, também temos

[- dfrac { partial phi} { partial t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S. ]

Portanto,

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S. ]

Para derivar a forma diferencial da lei de Faraday, gostaríamos de concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): Em geral, a equação

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

não é suficiente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): Os símbolos integrais não simplesmente “cancelam”, deixando a igualdade dos integrandos. Para ver por que o símbolo integral não se cancela em geral, considere as duas integrais de variável única ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx ) e ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) , dx ), onde

[f (x) = begin {cases} 1, & text {if} 0 leq x leq 1/2 0, & text {if} 1/2 leq x leq 1. finalizar {casos} ]

Ambas as integrais são iguais a ( dfrac {1} {2} ), então ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx = int_0 ^ 1 f (x) , dx ).

No entanto, (x neq f (x) ). Analogamente, com nossa equação [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S, ] não podemos simplesmente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ) apenas porque suas integrais são iguais. No entanto, em nosso contexto, a equação

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

é verdade para algum região, embora pequena (isso está em contraste com as integrais de variável única que acabamos de discutir). Se ( vecs F ) e ( vecs G ) são campos vetoriais tridimensionais tais que

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

para qualquer superfície (S ), então é possível mostrar que ( vecs F = vecs G ) reduzindo a área de (S ) a zero tomando um limite (quanto menor a área de (S ), quanto mais próximo o valor de ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) do valor de ( vecs F ) em um ponto dentro de (S )). Portanto, podemos deixar a área (D (t) ) encolher a zero tomando um limite e obter a forma diferencial da lei de Faraday:

[curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t}. ]

No contexto de campos elétricos, a ondulação do campo elétrico pode ser interpretada como o negativo da taxa de variação do campo magnético correspondente em relação ao tempo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando a Lei de Faraday

Calcule a curvatura do campo elétrico ( vecs {E} ) se o campo magnético correspondente for um campo constante ( vecs B (t) = langle 1, -4, 2 rangle ).

Solução

Como o campo magnético não muda com o tempo, (- dfrac { partial vecs B} { partial t} = vecs 0 ). Pela lei de Faraday, a ondulação do campo elétrico é, portanto, também zero.

Análise

Uma consequência da lei de Faraday é que a ondulação do campo elétrico correspondente a um campo magnético constante é sempre zero.

Exercício ( PageIndex {4} )

Calcule a curvatura do campo elétrico ( vecs {E} ) se o campo magnético correspondente for ( vecs B (t) = langle tx, , ty, , -2tz rangle, , 0 leq t < infty. )

Dica
  • Use a forma diferencial da lei de Faraday.
  • Observe que a curvatura do campo elétrico não muda com o tempo, embora o campo magnético mude com o tempo.
Responder

(curl , vecs {E} = langle x, , y, , -2z rangle )

Conceitos chave

  • O teorema de Stokes relaciona uma integral de fluxo sobre uma superfície a uma integral de linha em torno do limite da superfície. O teorema de Stokes é uma versão dimensional do teorema de Green e, portanto, é outra versão do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões superiores.
  • O teorema de Stokes pode ser usado para transformar uma integral de superfície difícil em uma integral de linha mais fácil, ou uma integral de linha difícil em uma integral de superfície mais fácil.
  • Através do teorema de Stokes, as integrais de linha podem ser avaliadas usando a superfície mais simples com limite (C ).
  • A lei de Faraday relaciona a ondulação de um campo elétrico à taxa de variação do campo magnético correspondente. O teorema de Stokes pode ser usado para derivar a lei de Faraday.

Equações Chave

  • Teorema de Stokes

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

Glossário

Teorema de Stokes
relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície (S ) a uma integral de linha em torno do limite (C ) da superfície (S )
superfície independente
integrais de fluxo de campos vetoriais de onda são independentes da superfície se sua avaliação não depender da superfície, mas apenas do limite da superfície

Teorema de Stokes

O termo refere-se, na literatura moderna, ao seguinte teorema.

Teorema 1 Seja $ M $ uma variedade diferenciável orientável compacta com limite (denotado por $ partial M $) e seja $ k $ a dimensão de $ M $. Se $ omega $ é uma forma diferencial $ k-1 $, então begin ótulo int_M d omega = int_ < partial M> omega end (consulte Integração em variedades para a definição de integral de uma forma em uma variedade diferenciável).

O teorema pode ser considerado uma generalização do teorema fundamental do cálculo. O teorema de Gauss-Green clássico e a fórmula de Stokes "clássica" podem ser recuperados como casos particulares. Este último também é freqüentemente chamado de teorema de Stokes e é declarado da seguinte maneira.

Teorema 2 Seja $ Sigma subset mathbb R ^ 3 $ uma superfície compacta regular $ 2 $ -dimensional $ Sigma $ que delimita a curva $ C ^ 1 $ $ gamma $ e seja $ v $ uma $ C ^ 1 $ campo vetorial. Então comece ótulo int_ Sigma ( nabla times v) cdot nu = int_ gamma tau cdot v ,, end Onde

  • $ nu $ é um campo vetorial unitário contínuo normal à superfície $ Sigma $
  • $ tau $ é um campo vetorial unitário contínuo tangente à curva $ gamma $, compatível com $ nu $
  • $ nabla times v $ é a ondulação do campo vetorial $ v $.

O lado direito de eqref é chamado de fluxo de $ v $ por meio de $ Sigma $, enquanto o lado esquerdo é chamado de circulação de $ v $ ao longo de $ gamma $. O teorema pode ser facilmente generalizado para superfícies cujo limite consiste em finitamente muitas curvas: o lado direito de eqref é então substituído pela soma das integrais sobre as curvas correspondentes.

Ambos eqref e eqref são frequentemente chamados Fórmula de Stokes. Se o campo vetorial do Teorema 2 é dado, nas coordenadas $ x_1, x_2, x_3 $, por $ (v_1, v_2, v_3) $ e introduzimos a forma $ 1 $ [ omega = v_1 dx_1 + v_2 dx_2 + v_3 dx_3 ,, ] então o lado direito de eqref é de fato [ int_ Sigma d omega ,, ] enquanto o lado esquerdo é [ int_ < partial Sigma> omega ,. ]

As suposições de regularidade em $ gamma $ e $ partial M $ em ambos os teoremas podem ser um tanto relaxadas. Em particular, as fórmulas ainda são válidas se tais limites forem por partes $ C ^ 1 $, com canto-tipo singularidades.

Observação 3 A compatibilidade entre os campos vetoriais $ tau $ e $ nu $ no Teorema 2 pode ser expressa intuitivamente como segue. O $ nu $ normal identifica um "fundo" e um "topo" na superfície $ Sigma $. Para um observador que está no topo, $ tau $ fornece uma orientação anti-horária para a curva $ gamma $. A definição matemática precisa é mais complicada. Corrija $ p_0 in gamma $, seja $ V subset mathbb R ^ 3 $ uma vizinhança aberta de $ x_0 $ e $ U subset mathbb R ^ 2 $ a interseção de uma vizinhança aberta de in mathbb R ^ 2 $ com a metade superior fechada do plano $ <(x_1, x_2): x_2 geq 0 > $. Suponha que $ Phi: U to V $ é uma parametrização local de $ Sigma cap V $ com $ Phi (0) = p_0 $, ou seja, que

  • $ Phi $ é $ C ^ 1 $ e $ D Phi $ tem classificação 2 em cada ponto de $ U $
  • $ Phi $ é um homeomorfismo entre $ U $ e $ Sigma cap V $
  • $ Phi $ maps $ cap U $ para $ gamma cap V $.

Então, o campo vetorial [n: = frac < partial Phi> < partial x_1> times frac < partial Phi> < partial x_2> ] é um campo vetorial diferente de zero normal à superfície $ Sigma $ e, portanto, o produto escalar [n (x) cdot nu ( Phi (x)) ] é em todos os lugares positivo ou negativo em todos os lugares. No primeiro caso [ tau (x_0) = left | frac < partial Phi> < partial x_1> (0) right | ^ <-1> frac < partial Phi> < partial x_1> (0) ,, ] caso contrário [ tau (x_0) = - left | frac < partial Phi> < partial x_1> (0) right | ^ <-1> frac < parcial Phi> < parcial x_1> (0) ,. ]


Conteúdo

A solução das equações é a velocidade do fluxo. É um campo vetorial - para cada ponto em um fluido, em qualquer momento em um intervalo de tempo, ele fornece um vetor cuja direção e magnitude são as da velocidade do fluido naquele ponto no espaço e naquele momento no tempo. É geralmente estudado em três dimensões espaciais e uma dimensão de tempo, embora casos de duas dimensões (espaciais) e de estado estacionário sejam freqüentemente usados ​​como modelos, e análogos de dimensões superiores sejam estudados tanto em matemática pura quanto aplicada. Uma vez que o campo de velocidade é calculado, outras quantidades de interesse, como pressão ou temperatura, podem ser encontradas usando equações e relações dinâmicas. Isso é diferente do que normalmente se vê na mecânica clássica, onde as soluções são tipicamente trajetórias de posição de uma partícula ou deflexão de um continuum. Estudar a velocidade em vez da posição faz mais sentido para um fluido, embora, para fins de visualização, seja possível calcular várias trajetórias. Em particular, as linhas de corrente de um campo vetorial, interpretadas como velocidade de fluxo, são os caminhos ao longo dos quais uma partícula de fluido sem massa viajaria. Esses caminhos são as curvas integrais cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial e podem representar visualmente o comportamento do campo vetorial em um ponto no tempo.

A equação de momento de Navier-Stokes pode ser derivada como uma forma particular da equação de momento de Cauchy, cuja forma geral de convecção é

  • D / Dt é o derivado do material, definido como
  • ∂ / ∂t + você ⋅ ∇ ,
  • ρ é a densidade,
  • você é a velocidade do fluxo,
  • ∇ ⋅ é a divergência,
  • p é a pressão,
  • t é hora,
  • τ é o tensor de tensão desviante, que tem ordem 2,
  • g representa as acelerações do corpo agindo no contínuo, por exemplo, gravidade, acelerações inerciais, acelerações eletrostáticas e assim por diante,

Desta forma, é aparente que na suposição de um fluido invíscido - sem tensão desviante - as equações de Cauchy se reduzem às equações de Euler.

Assumindo a conservação de massa, podemos usar a equação de continuidade de massa (ou simplesmente equação de continuidade),

O lado esquerdo da equação descreve a aceleração e pode ser composto de componentes convectivos e dependentes do tempo (também os efeitos de coordenadas não inerciais, se presentes). O lado direito da equação é, na verdade, um somatório dos efeitos hidrostáticos, a divergência da tensão desviante e das forças corporais (como a gravidade).

Todas as equações de equilíbrio não relativísticas, como as equações de Navier-Stokes, podem ser derivadas começando com as equações de Cauchy e especificando o tensor de tensão por meio de uma relação constitutiva. Ao expressar o tensor de tensão desviante (cisalhamento) em termos de viscosidade e gradiente de velocidade do fluido, e assumindo viscosidade constante, as equações de Cauchy acima levarão às equações de Navier-Stokes abaixo.

Aceleração convectiva Editar

Uma característica significativa da equação de Cauchy e, conseqüentemente, de todas as outras equações contínuas (incluindo Euler e Navier-Stokes) é a presença de aceleração convectiva: o efeito da aceleração de um fluxo em relação ao espaço. Enquanto as partículas de fluido individuais de fato experimentam aceleração dependente do tempo, a aceleração convectiva do campo de fluxo é um efeito espacial, um exemplo sendo fluido acelerando em um bico.

Observação: aqui, o tensor de tensão de Cauchy é denotado σ (ao invés de τ como era nas equações do contínuo geral e na seção de fluxo incompressível).

A equação de Navier-Stokes do momento compressível resulta das seguintes suposições sobre o tensor de tensão de Cauchy: [5]

  • o estresse é Invariante de Galileu: não depende diretamente da velocidade do fluxo, mas apenas das derivadas espaciais da velocidade do fluxo. Portanto, a variável de estresse é o gradiente tensorial ∇você .
  • o estresse é linear nesta variável: σ(∇você) = C : (∇você) , Onde C é o tensor de quarta ordem que representa a constante de proporcionalidade, chamada de tensor de viscosidade ou elasticidade, e: é o produto de ponto duplo.
  • o fluido é considerado isotrópico, como acontece com gases e líquidos simples e, consequentemente, V além disso, é um tensor isotrópico, uma vez que o tensor de tensão é simétrico, por decomposição de Helmholtz pode ser expresso em termos de dois parâmetros escalares de Lamé, a viscosidade aparente λ e a viscosidade dinâmica μ, como é usual na elasticidade linear:

Uma vez que o traço do tensor de taxa de deformação em três dimensões é:

O traço do tensor de tensão em três dimensões torna-se:

Então, alternativamente, decompondo o tensor de tensão em isotrópico e desviante partes, como de costume em dinâmica de fluidos: [6]

chegamos à equação constitutiva linear na forma geralmente empregada em hidráulica térmica: [5]

Tanto a segunda viscosidade ζ quanto a viscosidade dinâmica μ não precisam ser constantes - em geral, elas dependem da densidade, uma da outra (a viscosidade é expressa em pressão), e em fluxos compressíveis também da temperatura. Qualquer equação que torne explícito um desses coeficientes de transporte nas variáveis ​​de conservação é chamada de equação de estado. [7]

A mais geral das equações de Navier-Stokes torna-se

Na maioria dos casos, a segunda viscosidade ζ pode ser considerada constante. O efeito da viscosidade de volume ζ é que a pressão mecânica não é equivalente à pressão termodinâmica: [8]

If the dynamic viscosity μ is also assumed to be constant, the equations can be simplified further. By computing the divergence of the stress tensor, since the divergence of tensor ∇você is ∇ 2 você and the divergence of tensor (∇você) T is ∇(∇ ⋅ você) , one finally arrives to the compressible (most general) Navier–Stokes momentum equation: [10]

Bulk viscosity is assumed to be constant, otherwise it should not be taken out of the last derivative. The convective acceleration term can also be written as

For the special case of an incompressible flow, the pressure constrains the flow so that the volume of fluid elements is constant: isochoric flow resulting in a solenoidal velocity field with ∇ ⋅ você = 0 . [11]

The incompressible momentum Navier–Stokes equation results from the following assumptions on the Cauchy stress tensor: [5]

  • the stress is Galilean invariant: it does not depend directly on the flow velocity, but only on spatial derivatives of the flow velocity. So the stress variable is the tensor gradient ∇você .
  • the fluid is assumed to be isotropic, as with gases and simple liquids, and consequently τ is an isotropic tensor furthermore, since the deviatoric stress tensor can be expressed in terms of the dynamic viscosity μ :

Dynamic viscosity μ need not be constant – in incompressible flows it can depend on density and on pressure. Any equation that makes explicit one of these transport coefficient in the conservative variables is called an equation of state. [7]

The divergence of the deviatoric stress is given by:

Incompressibility rules out density and pressure waves like sound or shock waves, so this simplification is not useful if these phenomena are of interest. The incompressible flow assumption typically holds well with all fluids at low Mach numbers (say up to about Mach 0.3), such as for modelling air winds at normal temperatures. [12] For incompressible (uniform density ρ0 ) flows the following identity holds:

where w is the specific (with the sense of per unit mass) thermodynamic work, the internal source term. Then the incompressible Navier–Stokes equations are best visualised by dividing for the density:

Velocity profile (laminar flow):

Integrate twice to find the velocity profile with boundary conditions y = h , você = 0 , y = −h , você = 0 :

From this equation, substitute in the two boundary conditions to get two equations:

Substitute and solve for A :

Finally this gives the velocity profile:

It is well worth observing the meaning of each term (compare to the Cauchy momentum equation):

The higher-order term, namely the shear stress divergence ∇ ⋅ τ , has simply reduced to the vector Laplacian term µ∇ 2 você . [13] This Laplacian term can be interpreted as the difference between the velocity at a point and the mean velocity in a small surrounding volume. This implies that – for a Newtonian fluid – viscosity operates as a diffusion of momentum, in much the same way as the heat conduction. In fact neglecting the convection term, incompressible Navier–Stokes equations lead to a vector diffusion equation (namely Stokes equations), but in general the convection term is present, so incompressible Navier–Stokes equations belong to the class of convection–diffusion equations.

In the usual case of an external field being a conservative field:

one can finally condense the whole source in one term, arriving to the incompressible Navier–Stokes equation with conservative external field:

The incompressible Navier–Stokes equations with conservative external field is the fundamental equation of hydraulics. The domain for these equations is commonly a 3 or less Euclidean space, for which an orthogonal coordinate reference frame is usually set to explicit the system of scalar partial differential equations to be solved. In 3-dimensional orthogonal coordinate systems are 3: Cartesian, cylindrical, and spherical. Expressing the Navier–Stokes vector equation in Cartesian coordinates is quite straightforward and not much influenced by the number of dimensions of the euclidean space employed, and this is the case also for the first-order terms (like the variation and convection ones) also in non-cartesian orthogonal coordinate systems. But for the higher order terms (the two coming from the divergence of the deviatoric stress that distinguish Navier–Stokes equations from Euler equations) some tensor calculus is required for deducing an expression in non-cartesian orthogonal coordinate systems.

The incompressible Navier–Stokes equation is composite, the sum of two orthogonal equations,

The explicit functional form of the projection operator in 3D is found from the Helmholtz Theorem:

An equivalent weak or variational form of the equation, proved to produce the same velocity solution as the Navier–Stokes equation, [14] is given by,

for divergence-free test functions C satisfying appropriate boundary conditions. Here, the projections are accomplished by the orthogonality of the solenoidal and irrotational function spaces. The discrete form of this is eminently suited to finite element computation of divergence-free flow, as we shall see in the next section. There one will be able to address the question "How does one specify pressure-driven (Poiseuille) problems with a pressureless governing equation?".

The absence of pressure forces from the governing velocity equation demonstrates that the equation is not a dynamic one, but rather a kinematic equation where the divergence-free condition serves the role of a conservation equation. This all would seem to refute the frequent statements that the incompressible pressure enforces the divergence-free condition.

Variational form of the incompressible Navier–Stokes equations Edit

Strong form Edit

Consider the incompressible Navier–Stokes equations for a Newtonian fluid of constant density ρ in a domain

Weak form Edit

In order to find a variational form of the Navier–Stokes equations, firstly, consider the momentum equation [15]

Using these relations, one gets: [15]

Discrete velocity Edit

With partitioning of the problem domain and defining basis functions on the partitioned domain, the discrete form of the governing equation is

It is desirable to choose basis functions which reflect the essential feature of incompressible flow – the elements must be divergence-free. While the velocity is the variable of interest, the existence of the stream function or vector potential is necessary by the Helmholtz theorem. Further, to determine fluid flow in the absence of a pressure gradient, one can specify the difference of stream function values across a 2D channel, or the line integral of the tangential component of the vector potential around the channel in 3D, the flow being given by Stokes' theorem. Discussion will be restricted to 2D in the following.

We further restrict discussion to continuous Hermite finite elements which have at least first-derivative degrees-of-freedom. With this, one can draw a large number of candidate triangular and rectangular elements from the plate-bending literature. These elements have derivatives as components of the gradient. In 2D, the gradient and curl of a scalar are clearly orthogonal, given by the expressions,

Adopting continuous plate-bending elements, interchanging the derivative degrees-of-freedom and changing the sign of the appropriate one gives many families of stream function elements.

Taking the curl of the scalar stream function elements gives divergence-free velocity elements. [16] [17] The requirement that the stream function elements be continuous assures that the normal component of the velocity is continuous across element interfaces, all that is necessary for vanishing divergence on these interfaces.

Boundary conditions are simple to apply. The stream function is constant on no-flow surfaces, with no-slip velocity conditions on surfaces. Stream function differences across open channels determine the flow. No boundary conditions are necessary on open boundaries, though consistent values may be used with some problems. These are all Dirichlet conditions.

The algebraic equations to be solved are simple to set up, but of course are non-linear, requiring iteration of the linearized equations.

Similar considerations apply to three-dimensions, but extension from 2D is not immediate because of the vector nature of the potential, and there exists no simple relation between the gradient and the curl as was the case in 2D.

Pressure recovery Edit

Recovering pressure from the velocity field is easy. The discrete weak equation for the pressure gradient is,

where the test/weight functions are irrotational. Any conforming scalar finite element may be used. However, the pressure gradient field may also be of interest. In this case one can use scalar Hermite elements for the pressure. For the test/weight functions geu one would choose the irrotational vector elements obtained from the gradient of the pressure element.

The rotating frame of reference introduces some interesting pseudo-forces into the equations through the material derivative term. Consider a stationary inertial frame of reference K , and a non-inertial frame of reference K′ , which is translating with velocity você(t) and rotating with angular velocity Ω(t) with respect to the stationary frame. The Navier–Stokes equation observed from the non-inertial frame then becomes

Here x e você are measured in the non-inertial frame. The first term in the parenthesis represents Coriolis acceleration, the second term is due to centrifugal acceleration, the third is due to the linear acceleration of K′ with respect to K and the fourth term is due to the angular acceleration of K′ with respect to K .

The Navier–Stokes equations are strictly a statement of the balance of momentum. To fully describe fluid flow, more information is needed, how much depending on the assumptions made. This additional information may include boundary data (no-slip, capillary surface, etc.), conservation of mass, balance of energy, and/or an equation of state.

Continuity equation for incompressible fluid Edit

Regardless of the flow assumptions, a statement of the conservation of mass is generally necessary. This is achieved through the mass continuity equation, given in its most general form as:

For incompressible fluid, density along the line of flow remains constant over time,

Therefore divergence of velocity is always zero:

Taking the curl of the incompressible Navier–Stokes equation results in the elimination of pressure. This is especially easy to see if 2D Cartesian flow is assumed (like in the degenerate 3D case with vocêz = 0 and no dependence of anything on z ), where the equations reduce to:

Differentiating the first with respect to y , the second with respect to x and subtracting the resulting equations will eliminate pressure and any conservative force. For incompressible flow, defining the stream function ψ through

This single equation together with appropriate boundary conditions describes 2D fluid flow, taking only kinematic viscosity as a parameter. Note that the equation for creeping flow results when the left side is assumed zero.

In axisymmetric flow another stream function formulation, called the Stokes stream function, can be used to describe the velocity components of an incompressible flow with one scalar function.

The incompressible Navier–Stokes equation is a differential algebraic equation, having the inconvenient feature that there is no explicit mechanism for advancing the pressure in time. Consequently, much effort has been expended to eliminate the pressure from all or part of the computational process. The stream function formulation eliminates the pressure but only in two dimensions and at the expense of introducing higher derivatives and elimination of the velocity, which is the primary variable of interest.

Nonlinearity Edit

The Navier–Stokes equations are nonlinear partial differential equations in the general case and so remain in almost every real situation. [18] [19] In some cases, such as one-dimensional flow and Stokes flow (or creeping flow), the equations can be simplified to linear equations. The nonlinearity makes most problems difficult or impossible to solve and is the main contributor to the turbulence that the equations model.

The nonlinearity is due to convective acceleration, which is an acceleration associated with the change in velocity over position. Hence, any convective flow, whether turbulent or not, will involve nonlinearity. An example of convective but laminar (nonturbulent) flow would be the passage of a viscous fluid (for example, oil) through a small converging nozzle. Such flows, whether exactly solvable or not, can often be thoroughly studied and understood. [20]

Turbulence Edit

Turbulence is the time-dependent chaotic behavior seen in many fluid flows. It is generally believed that it is due to the inertia of the fluid as a whole: the culmination of time-dependent and convective acceleration hence flows where inertial effects are small tend to be laminar (the Reynolds number quantifies how much the flow is affected by inertia). It is believed, though not known with certainty, that the Navier–Stokes equations describe turbulence properly. [21]

The numerical solution of the Navier–Stokes equations for turbulent flow is extremely difficult, and due to the significantly different mixing-length scales that are involved in turbulent flow, the stable solution of this requires such a fine mesh resolution that the computational time becomes significantly infeasible for calculation or direct numerical simulation. Attempts to solve turbulent flow using a laminar solver typically result in a time-unsteady solution, which fails to converge appropriately. To counter this, time-averaged equations such as the Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS), supplemented with turbulence models, are used in practical computational fluid dynamics (CFD) applications when modeling turbulent flows. Some models include the Spalart–Allmaras, k – ω , k – ε , and SST models, which add a variety of additional equations to bring closure to the RANS equations. Large eddy simulation (LES) can also be used to solve these equations numerically. This approach is computationally more expensive—in time and in computer memory—than RANS, but produces better results because it explicitly resolves the larger turbulent scales.

Applicability Edit

Together with supplemental equations (for example, conservation of mass) and well formulated boundary conditions, the Navier–Stokes equations seem to model fluid motion accurately even turbulent flows seem (on average) to agree with real world observations.

The Navier–Stokes equations assume that the fluid being studied is a continuum (it is infinitely divisible and not composed of particles such as atoms or molecules), and is not moving at relativistic velocities. At very small scales or under extreme conditions, real fluids made out of discrete molecules will produce results different from the continuous fluids modeled by the Navier–Stokes equations. For example, capillarity of internal layers in fluids appears for flow with high gradients. [22] For large Knudsen number of the problem, the Boltzmann equation may be a suitable replacement. [23] Failing that, one may have to resort to molecular dynamics or various hybrid methods. [24]

Another limitation is simply the complicated nature of the equations. Time-tested formulations exist for common fluid families, but the application of the Navier–Stokes equations to less common families tends to result in very complicated formulations and often to open research problems. For this reason, these equations are usually written for Newtonian fluids where the viscosity model is linear truly general models for the flow of other kinds of fluids (such as blood) do not exist. [25]

The Navier–Stokes equations, even when written explicitly for specific fluids, are rather generic in nature and their proper application to specific problems can be very diverse. This is partly because there is an enormous variety of problems that may be modeled, ranging from as simple as the distribution of static pressure to as complicated as multiphase flow driven by surface tension.

Generally, application to specific problems begins with some flow assumptions and initial/boundary condition formulation, this may be followed by scale analysis to further simplify the problem.

Parallel flow Edit

Assume steady, parallel, one dimensional, non-convective pressure-driven flow between parallel plates, the resulting scaled (dimensionless) boundary value problem is:

The boundary condition is the no slip condition. This problem is easily solved for the flow field:

From this point onward more quantities of interest can be easily obtained, such as viscous drag force or net flow rate.

Radial flow Edit

Difficulties may arise when the problem becomes slightly more complicated. A seemingly modest twist on the parallel flow above would be the radial flow between parallel plates this involves convection and thus non-linearity. The velocity field may be represented by a function f(z) that must satisfy:

This ordinary differential equation is what is obtained when the Navier–Stokes equations are written and the flow assumptions applied (additionally, the pressure gradient is solved for). The nonlinear term makes this a very difficult problem to solve analytically (a lengthy implicit solution may be found which involves elliptic integrals and roots of cubic polynomials). Issues with the actual existence of solutions arise for R > 1.41 (approximately this is not √ 2 ), the parameter R being the Reynolds number with appropriately chosen scales. [26] This is an example of flow assumptions losing their applicability, and an example of the difficulty in "high" Reynolds number flows. [26]

Convection Edit

A type of natural convection which can be described by the Navier–Stokes equation is the Rayleigh–Bénard convection. It is one of the most commonly studied convection phenomena because of its analytical and experimental accessibility.

Some exact solutions to the Navier–Stokes equations exist. Examples of degenerate cases—with the non-linear terms in the Navier–Stokes equations equal to zero—are Poiseuille flow, Couette flow and the oscillatory Stokes boundary layer. But also, more interesting examples, solutions to the full non-linear equations, exist, such as Jeffery–Hamel flow, Von Kármán swirling flow, stagnation point flow, Landau–Squire jet, and Taylor–Green vortex. [27] [28] [29] Note that the existence of these exact solutions does not imply they are stable: turbulence may develop at higher Reynolds numbers.

Under additional assumptions, the component parts can be separated. [30]

For example, in the case of an unbounded planar domain with two-dimensional — incompressible and stationary — flow in polar coordinates (r,φ) , the velocity components (vocêr,vocêφ) and pressure p are: [31]

where A and B are arbitrary constants. This solution is valid in the domain r ≥ 1 and for UMA < −2ν .

In Cartesian coordinates, when the viscosity is zero ( ν = 0 ), this is:

For example, in the case of an unbounded Euclidean domain with three-dimensional — incompressible, stationary and with zero viscosity ( ν = 0 ) — radial flow in Cartesian coordinates (x,y,z) , the velocity vector v and pressure p are: [ citação necessária ]

There is a singularity at x = y = z = 0 .

A three-dimensional steady-state vortex solution Edit

A steady-state example with no singularities comes from considering the flow along the lines of a Hopf fibration. Let r be a constant radius of the inner coil. One set of solutions is given by: [32]

for arbitrary constants A and B . This is a solution in a non-viscous gas (compressible fluid) whose density, velocities and pressure goes to zero far from the origin. (Note this is not a solution to the Clay Millennium problem because that refers to incompressible fluids where ρ is a constant, and neither does it deal with the uniqueness of the Navier–Stokes equations with respect to any turbulence properties.) It is also worth pointing out that the components of the velocity vector are exactly those from the Pythagorean quadruple parametrization. Other choices of density and pressure are possible with the same velocity field:

Another choice of pressure and density with the same velocity vector above is one where the pressure and density fall to zero at the origin and are highest in the central loop at z = 0 , x 2 + y 2 = r 2 :

In fact in general there are simple solutions for any polynomial function f where the density is:

Wyld diagrams are bookkeeping graphs that correspond to the Navier–Stokes equations via a perturbation expansion of the fundamental continuum mechanics. Similar to the Feynman diagrams in quantum field theory, these diagrams are an extension of Keldysh's technique for nonequilibrium processes in fluid dynamics. In other words, these diagrams assign graphs to the (often) turbulent phenomena in turbulent fluids by allowing correlated and interacting fluid particles to obey stochastic processes associated to pseudo-random functions in probability distributions. [33]

Cartesian coordinates Edit

From the general form of the Navier–Stokes, with the velocity vector expanded as você = (vocêx, vocêy, vocêz) , sometimes respectively named u , v , w , we may write the vector equation explicitly,

Note that gravity has been accounted for as a body force, and the values of gx , gy , gz will depend on the orientation of gravity with respect to the chosen set of coordinates.

The continuity equation reads:

Thus, for the incompressible version of the Navier–Stokes equation the second part of the viscous terms fall away (see Incompressible flow).

This system of four equations comprises the most commonly used and studied form. Though comparatively more compact than other representations, this is still a nonlinear system of partial differential equations for which solutions are difficult to obtain.

Cylindrical coordinates Edit

A change of variables on the Cartesian equations will yield [12] the following momentum equations for r , φ , and z [34]

The gravity components will generally not be constants, however for most applications either the coordinates are chosen so that the gravity components are constant or else it is assumed that gravity is counteracted by a pressure field (for example, flow in horizontal pipe is treated normally without gravity and without a vertical pressure gradient). The continuity equation is:

This cylindrical representation of the incompressible Navier–Stokes equations is the second most commonly seen (the first being Cartesian above). Cylindrical coordinates are chosen to take advantage of symmetry, so that a velocity component can disappear. A very common case is axisymmetric flow with the assumption of no tangential velocity ( vocêφ = 0 ), and the remaining quantities are independent of φ :

Spherical coordinates Edit

|In spherical coordinates, the r , φ , and θ momentum equations are [12] (note the convention used: θ is polar angle, or colatitude, [35] 0 ≤ θ ≤ π ):

Mass continuity will read:

The Navier–Stokes equations are used extensively in video games in order to model a wide variety of natural phenomena. Simulations of small-scale gaseous fluids, such as fire and smoke, are often based on the seminal paper "Real-Time Fluid Dynamics for Games" [36] by Jos Stam, which elaborates one of the methods proposed in Stam's earlier, more famous paper "Stable Fluids" [37] from 1999. Stam proposes stable fluid simulation using a Navier–Stokes solution method from 1968, coupled with an unconditionally stable semi-Lagrangian advection scheme, as first proposed in 1992.

Implementações mais recentes baseadas neste trabalho são executadas na unidade de processamento gráfico (GPU) do sistema de jogos em oposição à unidade de processamento central (CPU) e alcançam um grau de desempenho muito mais alto. [38] [39] Muitas melhorias foram propostas ao trabalho original de Stam, que sofre inerentemente de alta dissipação numérica em velocidade e massa.

Uma introdução à simulação interativa de fluidos pode ser encontrada no curso 2007 ACM SIGGRAPH, Fluid Simulation for Computer Animation. [40]


Teorema de Stokes - Matemática

Considere a superfície S descrita pela parabalóide z = 16-x ^ 2-y ^ 2 para z & gt = 0, como mostrado na figura abaixo.

Deixe n denotar o vetor normal unitário para S com componente z positivo. A interseção de S com o plano z é o círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 16. Deixe C denotar este círculo percorrido no sentido anti-horário. Se F é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em alguma região contendo S, então o Teorema de Stokes afirma

Em geral, C é o limite de S e é considerado suave por partes.

Para que a igualdade acima mantenha a direção do vetor normal ne a direção na qual C é percorrido devem ser consistentes. Suponha que n aponta em alguma direção e considere uma pessoa caminhando na curva C com sua cabeça apontando na mesma direção de n. Para consistência, C deve ser percorrido de tal forma que a superfície esteja sempre à esquerda.

Verifique o Teorema de Stokes para a superfície S descrita acima e o campo vetorial F = & lt3y, 4z, -6x & gt.

Vamos primeiro calcular a integral de linha. A curva C pode ser parametrizada pela função vetorial r (t) = & lt4cos (t), 4sin (t), 0 & gt e r '(t) = & lt-4sin (t), 4cos (t), 0 & gt para 0 & lt = t & lt = 2 * pi. Lembre-se disso

Neste caso, F = & lt12sin (t), 0, -24cos (t) & gt. A integral de linha é dada por

Agora, vamos calcular a integral de superfície. Lembre-se de que para F = & ltP, Q, R & gt,

Para o nosso campo vetorial, o curl é & lt-4,6, -3 & gt. Para z = g (x, y) = 16-x ^ 2-y ^ 2, o vetor normal para S apontando na direção z positiva é dado por & lt-g_x, -g_y, 1 & gt = & lt2x, 2y, 1 & gt. Usando a fórmula para a integral de superfície de um campo vetorial, temos

onde R é o disco 0 & lt = x ^ 2 + y ^ 2 & lt = 16, a projeção de S no plano xy. A expressão à direita é

É conveniente converter em coordenadas polares para calcular a integral dupla. A região de integração é 0 & lt = r & lt = 4 e 0 & lt = theta & lt = 2 * pi. Lembre-se de que x = rcos (theta) ey = rsin (theta). A integral dupla torna-se


Exercícios 18.8

Ex 18.8.1 Seja $ < bf F> = langle z, x, y rangle $. O plano $ z = 2x + 2y-1 $ e o parabolóide $ z = x ^ 2 + y ^ 2 $ se cruzam em uma curva fechada. O Teorema de Stokes implica que $ dint ( nabla times < bf F>) cdot < bf N> , dS = oint_C < bf F> cdot d < bf r> = dint ( nabla times < bf F>) cdot < bf N> , dS, $ onde a integral de linha é calculada sobre a interseção $ C $ do plano e o parabolóide, e as duas integrais de superfície são calculadas sobre as partes das duas superfícies que têm limite $ C $ (desde que, é claro, todas as orientações coincidam). Calcule todos os três integrais. (responder)

Ex 18.8.2 Seja $ D $ a parte de $ z = 1-x ^ 2-y ^ 2 $ acima do plano $ x $ - $ y $, orientado para cima, e seja $ < bf F> = langle xy ^ 2, -x ^ 2y, xyz rangle $. Calcular $ ds dint ( nabla times < bf F>) cdot < bf N> , dS $. (responder)

Ex 18.8.3 Seja $ D $ a parte de $ z = 2x + 5y $ dentro de $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $, orientada para cima, e seja $ < bf F> = langle y, z, -x rangle $. Calcule $ ds int_ < partial D> < bf F> cdot d < bf r> $. (responder)

Ex 18.8.4 Calcule $ ds oint_C x ^ 2z , dx + 3x , dy - y ^ 3 , dz $, onde $ C $ é o círculo unitário $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ contador orientado sentido horário. (responder)

Ex 18.8.5 Seja $ D $ a porção de $ z = px + qy + r $ sobre uma região no plano $ x $ - $ y $ que tem a área $ A $, orientada para cima, e seja $ < bf F> = langle ax + by + cz, ax + by + cz, ax + by + cz rangle $. Calcule $ ds int_ < partial D> < bf F> cdot d < bf r> $. (responder)

Ex 18.8.6 Seja $ D $ qualquer superfície e seja $ < bf F> = langle P (x), Q (y), R (z) rangle $ ($ P $ depende apenas de $ x $, $ Q $ apenas em $ y $ e $ R $ somente em $ z $). Mostre que $ ds int_ < partial D> < bf F> cdot d < bf r> = 0 $.

Ex 18.8.7 Mostre que $ ds int_C f nabla g + g nabla f cdot d < bf r> = 0 $, onde $ bf r $ descreve uma curva fechada $ C $ à qual se aplica o Teorema de Stokes. (Veja os teoremas 14.4.1 e 18.5.2.)


Exemplo 2

Vamos $ mathbf(x, y, z) = xyz vec + xy vec + x ^ 2yz vec$ e seja $ delta $ a superfície do topo e dos lados do cubo com vértices $ ( pm 1, pm 1, pm 1) in mathbb^ 3 $ orientado para fora. Use o teorema de Stokes para avaliar $ iint_ < delta> mathrm ( mathbf) cdot d vec$ .

Notamos que a curva limite $ C $ desta superfície é o quadrado formado com os vértices $ (1, 1, -1) $, $ (1, -1, -1) $, $ (- 1, 1, - 1) $ e $ (- 1, -1, -1) $ no plano $ z = -1 $.

Assim, $ C $ é composto por $ 4 $ linhas, $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ e $ C_4 $ definidos parametricamente abaixo:

Aplicamos o teorema de Stokes para obter isso:

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:

Portanto $ iint_ < delta> mathrm ( mathbf) cdot d vec = 0$ .

Alternativamente, podemos simplificar este problema sem calcular quatro integrais de linha. Seja $ gamma $ a face inferior do cubo descrito acima. Então, este cubo tem a mesma curva limite $ C $. Pelo teorema de Stokes, temos que:

Vamos $ hat = vec$. Em seguida, observe que esse vetor é normal a face quadrada $ gamma $ e induz a mesma orientação na curva $ C $ que $ delta $. Além disso, temos que a região $ gamma $ pode ser descrita como


George Gabriel Stokes

Foi durante os três anos de George em Dublin que seu pai morreu e esse evento teve, como era de se esperar, um grande efeito sobre o jovem.

Em 1835, aos 16 anos, George Stokes mudou-se para a Inglaterra e ingressou no Bristol College em Bristol. Os dois anos que Stokes passou em Bristol neste Colégio foram importantes para prepará-lo para seus estudos em Cambridge. O diretor da faculdade, Dr. Jerrard, era um irlandês que frequentou a Universidade de Cambridge com William Stokes, um dos irmãos mais velhos de George. O próprio Dr. Jerrard era um matemático, mas Stokes foi ensinado matemática no Bristol College por Francis Newman (que era irmão de John Henry Newman, mais tarde Cardeal Newman, que se tornou o líder do Movimento de Oxford na Igreja da Inglaterra, que foi fundado em 1833) . Claramente, o talento de Stokes para a matemática foi demonstrado durante seus estudos no Bristol College, pois ele ganhou prêmios de matemática e o Dr. Jerrard escreveu para ele (ver [4]): -

Foi William Hopkins quem aconselhou Stokes a realizar pesquisas em hidrodinâmica e, de fato, esta foi a área em que Stokes começou a trabalhar. Além do conselho de Hopkins, Stokes também se inspirou para entrar neste campo pelo trabalho recente de George Green. Stokes publicou artigos sobre o movimento de fluidos incompressíveis em 1842 e 1843, em particular No movimento constante de fluidos incompressíveis em 1842. Depois de concluir esta pesquisa, Stokes descobriu que Duhamel já havia obtido resultados semelhantes, mas, como Duhamel estava trabalhando na distribuição de calor em sólidos, Stokes decidiu que seus resultados foram obtidos em uma situação suficientemente diferente para justificar sua publicação.

Stokes então continuou suas investigações, observando a situação em que ele levava em consideração o atrito interno nos fluidos em movimento. Depois de deduzir as equações corretas do movimento, Stokes descobriu que, novamente, ele não foi o primeiro a obter as equações, pois Navier, Poisson e Saint-Venant já haviam considerado o problema. Na verdade, essa duplicação de resultados não foi inteiramente um acidente, mas foi provocada pela falta de conhecimento do trabalho dos matemáticos continentais em Cambridge naquela época. Mais uma vez, Stokes decidiu que seus resultados foram obtidos com suposições suficientemente diferentes para justificar a publicação e publicou Nas teorias da fricção interna de fluidos em movimento em 1845. O trabalho também discutiu o equilíbrio e o movimento de sólidos elásticos e Stokes usou um argumento de continuidade para justificar a mesma equação de movimento para sólidos elásticos e fluidos viscosos.

Talvez o evento mais importante no reconhecimento de Stokes como um matemático de destaque foi seu Relatório de pesquisas recentes em hidrodinâmica apresentado à Associação Britânica para o Avanço da Ciência em 1846. Mas um estudo de fluidos certamente não era a única área em que ele estava dando grandes contribuições neste momento. Em 1845, Stokes publicou um importante trabalho sobre a aberração da luz, o primeiro de uma série de trabalhos importantes sobre o assunto. Ele também usou seu trabalho sobre o movimento de pêndulos em fluidos para considerar a variação da gravidade em diferentes pontos da Terra, publicando um trabalho sobre geodésia de grande importância. Sobre a variação da gravidade na superfície da terra em 1849.

Em 1849, Stokes foi nomeado Professor Lucasian de Matemática em Cambridge. Em 1851, ele foi eleito para a Royal Society, recebeu a medalha Rumford dessa Sociedade em 1852 e foi nomeado secretário da Sociedade em 1854. A cadeira Lucasiana pagava muito mal, então Stokes precisava ganhar dinheiro adicional e ele fez isso aceitando uma posição adicional para a cadeira Lucasiana, a saber, o de Professor de Física na Escola de Minas do Governo em Londres.

O trabalho de Stokes sobre o movimento de pêndulos em fluidos levou a um artigo fundamental sobre hidrodinâmica em 1851, quando ele publicou sua lei da viscosidade, descrevendo a velocidade de uma pequena esfera através de um fluido viscoso. Ele publicou várias investigações importantes sobre a teoria ondulatória da luz, como um artigo sobre difração em 1849. Este artigo é discutido em detalhes em [14], no qual os autores escrevem: -

Stokes nomeou e explicou o fenômeno da fluorescência em 1852. Sua interpretação desse fenômeno, resultante da absorção da luz ultravioleta e da emissão da luz azul, é baseada em um éter elástico que vibra como conseqüência das moléculas iluminadas. O artigo [12] discute isso em detalhes e é particularmente interessante, uma vez que o autor faz pleno uso dos cadernos não publicados de Stokes.

Em 1854, Stokes teorizou uma explicação das linhas de Fraunhofer no espectro solar. Ele sugeriu que estes eram causados ​​por átomos nas camadas externas do Sol absorvendo certos comprimentos de onda. No entanto, quando Kirchhoff posteriormente publicou esta explicação, Stokes negou qualquer descoberta anterior.

A carreira de Stokes certamente tomou um rumo bastante diferente em 1857, quando ele passou de seu período de pesquisa teórica altamente ativa para um período em que se envolveu mais com administração e trabalho experimental. Certamente, seu casamento em 1857 não deixou de estar relacionado com a mudança de rumo e, particularmente porque nos dá uma visão da personalidade de Stokes, examinaremos os eventos. Stokes ficou noivo de Mary Susanna Robinson, filha do astrônomo do Observatório Armagh, na Irlanda. Em [4] várias cartas de Stokes para Mary Susanna Robinson são fornecidas. Em 21 de janeiro de 1857, ele escreveu sobre seus sentimentos por ela: -

O casamento foi adiante e Stokes certamente abandonou sua vida de intensa pesquisa matemática. A partir das citações acima, pode parecer que, na verdade, Stokes estava realmente procurando por essa mudança em sua vida e talvez ele buscasse o casamento em parte para que essa mudança em seu estilo de vida pudesse acontecer.

Naquela época, os bolsistas em Cambridge tinham que ser solteiros e, assim, em seu casamento em 1857, Stokes teve que desistir de sua bolsa no Pembroke College. No entanto, uma mudança nas regras em 1862 permitiu que os homens casados ​​tivessem bolsas e ele foi capaz de retomar a bolsa em Pembroke. Stokes continuou como secretário da Royal Society desde sua nomeação em 1854 até 1885, quando foi eleito presidente da Sociedade. Ele ocupou o cargo de presidente até 1890. Ele também foi presidente do Victoria Institute de 1886 até sua morte em 1903. Houve outras tarefas administrativas que ele assumiu. Em 1859 ele escreveu a Thomson dizendo: -

Stokes recebeu a medalha Copley da Royal Society em 1893 e recebeu a maior homenagem possível de seu College quando atuou como Mestre do Pembroke College em 1902-3.

A influência de Stokes é bem resumida por Parkinson em [1]: -

Uma omissão notável em sua lista de publicações foi um tratado sobre a luz. Esta omissão foi em parte devido à mudança em sua produção de pesquisa após 1857, mas também foi devido a não desejar relatar sobre idéias especulativas em um campo que estava em um rápido estado de progresso. A falha de Stokes em publicar um tratado sobre óptica é discutida em detalhes em [8]. No entanto, ele deu palestras sobre óptica em suas palestras Burnett na Universidade de Aberdeen em 1891-93 e essas palestras foram publicadas.

Os artigos matemáticos e físicos de Stokes foram publicados em cinco volumes, os três primeiros dos quais o próprio Stokes editou em 1880, 1883 e 1891. Os dois últimos foram editados por Sir Joseph Larmor e a obra foi concluída em 1905.


Math Insight

Uma importante sutileza do teorema de Stokes é a orientação. Precisamos ter cuidado ao orientar a superfície (que é especificada pelo vetor normal $ vc$) corretamente em relação à orientação da fronteira (que é especificada pelo vetor tangente). Lembre-se de que mudar a orientação da superfície muda o sinal da integral da superfície. Se escolhermos o $ vc errado$ (ou seja, a orientação errada), podemos estar errados por um sinal de menos.

Veja o applet abaixo da introdução do teorema de Stokes, onde a & ldcirculaçãoquomicroscópica & rdquo é esboçada por círculos verdes na superfície. Observe como as setas nos pequenos círculos verdes (indicando a & ldcirculaçãoquomicroscópica & rdquo) estão alinhadas com a seta vermelha que indica a direção da curva $ dlc $. Se, por exemplo, as setas nos círculos verdes estivessem indo na outra direção, os círculos verdes e a curva vermelha não coincidiriam e estaríamos fora por um sinal de menos.

Carregando miniaplicativo

Circulação macroscópica e microscópica em três dimensões. A relação entre a circulação macroscópica de um campo vetorial $ dlvf $ em torno de uma curva (limite vermelho da superfície) e a circulação microscópica de $ dlvf $ (ilustrada por pequenos círculos verdes) ao longo de uma superfície em três dimensões deve ser válida para qualquer superfície cujo limite é a curva. Não importa a superfície que você escolher (mude arrastando o ponto verde no controle deslizante superior), a circulação microscópica total de $ dlvf $ ao longo da superfície deve ser igual à circulação de $ dlvf $ ao redor da curva. (Presumimos que o campo vetorial $ dlvf $ seja definido em qualquer lugar da superfície.) Você pode alterar a curva para uma forma mais complicada arrastando o ponto azul no controle deslizante inferior, e a relação entre a circulação macroscópica e microscópica total ainda detém. A superfície é orientada pelo vetor normal mostrado (seta ciano móvel na superfície) e a curva é orientada pela seta vermelha.

Olhando do eixo $ z $ positivo, os círculos verdes e a curva vermelha indicam a circulação no sentido anti-horário. Para definir a orientação do teorema de Green, isso foi suficiente. Simplesmente insistimos que você oriente a curva $ dlc $ no sentido anti-horário. Para o teorema de Stokes, não podemos simplesmente dizer & ldquocounter-clockwise & rdquo, pois a orientação que é anti-horária depende da direção de onde você está olhando. Se você pegar o miniaplicativo e girá-lo $ 180 ^ circ $ de modo que você esteja olhando para ele do eixo $ z $ negativo, a mesma curva pareceria estar orientada no sentido horário. Como os círculos verdes também parecem estar orientados no sentido horário, você ainda pode ver que os círculos verdes e a curva vermelha correspondem.

Lembre-se também de que a curva $ dlc $ pode ser flutuante ou torcida em qualquer direção. Não precisa ser tão simples como nos exemplos acima. Felizmente, escolher a orientação correta não precisa ser muito difícil se você se lembrar da regra da mão direita. Se você olhar para sua mão direita pelo lado do polegar, seus dedos se curvarão no sentido anti-horário. Pense no seu polegar como o vetor normal $ vc$ de uma superfície. Se o seu polegar apontar para o lado positivo da superfície, seus dedos indicam a circulação correspondente a $ curl dlvf cdot vc$. No miniaplicativo acima, o vetor normal correspondente à orientação dos círculos verdes é mostrado como uma seta ciano. Se você posicionar o polegar de sua mão direita de forma que ele aponte na direção do vetor normal ciano, os dedos de sua mão direita se curvarão na direção correspondente à orientação dos círculos verdes.

Com o polegar orientado de acordo com o vetor normal ciano, mova sua mão ao longo da superfície em direção às bordas. Quando seus dedos estão próximos ao limite da superfície, a curva vermelha $ dlc $ deve ser orientada (pela seta vermelha) para ir ao redor da mesma direção que seus dedos estão apontando. Se a relação entre o vetor normal $ vc$ e a orientação de $ dlc $ não corresponde à relação entre o polegar e os dedos da sua mão direita, você perderá por um sinal de menos ao tentar aplicar o teorema de Stokes.

Outra maneira de pensar sobre a orientação adequada é a seguinte. Imagine que você está caminhando no lado positivo da superfície (ou seja, o lado com o vetor normal ciano no miniaplicativo acima). Se você andar próximo à borda da superfície na direção correspondente à orientação de $ dlc $, então a superfície deve estar à sua esquerda e a borda $ dlc $ deve estar à sua direita.

Quando a curva $ dlc $ e a superfície $ dls $ são orientadas como descrito acima para que o teorema de Stokes se aplique, dizemos que $ dlc $ é um limite orientado positivamente de $ dls $.


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