Artigos

3: Usando gráficos para representar as relações sociais - matemática


  • 3.1: Introdução - Representando redes com gráficos
    Os analistas de redes sociais usam dois tipos de ferramentas da matemática para representar informações sobre padrões de vínculos entre atores sociais: gráficos e matrizes. Nesta página, aprenderemos o suficiente sobre gráficos para entender como representar dados de redes sociais. Na próxima página, examinaremos as representações matriciais das relações sociais. Com essas ferramentas em mãos, podemos entender a maioria das coisas que os analistas de rede fazem com esses dados (por exemplo, calcular medidas precisas de "densidade relativa").
  • 3.2: Gráficos e Sociogramas
    Existem muitos tipos diferentes de "gráficos". Gráficos de barras, gráficos de setores circulares, gráficos de linhas e tendências e muitas outras coisas são chamados de gráficos e / ou gráficos. A análise de rede usa (principalmente) um tipo de exibição gráfica que consiste em pontos (ou nós) para representar atores e linhas (ou bordas) para representar laços ou relações. Quando os sociólogos pegaram emprestado aos matemáticos essa maneira de representar graficamente as coisas, eles renomearam seus gráficos como "sociogramas".
  • 3.3: Tipos de gráficos
    Agora precisamos introduzir alguma terminologia para descrever diferentes tipos de gráficos.
  • 3.4: Resumo
  • 3.E: Usando gráficos para representar as relações sociais (exercícios)

Traço de caráter e integração social

As capacidades sociais nas quais os alunos devem trabalhar para facilitar seu aprendizado matemático são desenvolver habilidades sociais e responsabilidades éticas e demonstrar comportamentos emocionais e cognitivos responsáveis.

1. Desenvolver habilidades sociais e responsabilidade ética:

uma. Respeite as semelhanças e diferenças nos outros.

b. Trate os outros com bondade e justiça.

c. Siga as regras da sala de aula e da escola.

d. Inclua outras pessoas nas atividades de aprendizagem e brincadeiras.

e. Participe com outras pessoas ao tomar decisões e resolver problemas.

f. Funcionar positivamente como membro de uma família, classe, escola e comunidade.

g. Ouça ativamente os outros.

2. Demonstrar comportamentos emocionais e cognitivos responsáveis.

uma. Reconheça seus próprios valores, talentos e habilidades.

b. Expresse-se de maneiras positivas.

c. Demonstre consciência estética.

d. Demonstre um comportamento adequado.

e. Expresse os sentimentos de maneira adequada.

f. Atender e respeitar as necessidades de si mesmo e dos outros.


Gráficos Aleatórios

Para simular como uma rede social se forma, os matemáticos usam gráficos aleatórios aquele modelo de como as pessoas fazem conexões ao entrar na rede.

Grafos aleatórios são desenvolvidos adicionando nós ao grafo um por um e adicionando arestas aleatoriamente entre nós de acordo com uma regra probabilística. Diferentes escolhas para as regras de adição de arestas resultam em gráficos com estruturas muito diferentes. O tipo mais simples de gráfico aleatório é chamado de Gráfico Erdos-Renyi. Quando cada nó é adicionado, há uma probabilidade fixa p p p de que qualquer aresta possível entre ele e outro nó seja adicionada. Isso significa que duas pessoas têm a mesma probabilidade de estar conectadas como quaisquer outras duas pessoas, e ter uma conexão comum não aumenta a chance de que vocês também estejam conectados um ao outro. Isso é muito diferente do que observamos em redes sociais reais, onde as pessoas tendem a se agrupar.

Pegue um modelo simples de rede social em que amizades se formam aleatoriamente entre indivíduos. Cada pessoa forma um certo número de amizades com outras pessoas, k i k_i k i. O número médio de amizades que qualquer pessoa faz é então 1 N ∑ i k i = ⟨k⟩ frac <1> sum limits_ik_i = langle k rangle N 1 i ∑ k i = ⟨k⟩.

Nós chamamos de ilha da amizade (FI) um grupo de pessoas de modo que todos no FI possam alcançar qualquer outra pessoa no FI, passando uma nota por meio de amigos em comum. Se duas pessoas não podem enviar recados por meio de uma série de amigos em comum, elas devem estar em IFs diferentes.

Notas e suposições

Distribuições de grau de exemplo para gráficos Erdos-Renyi (vermelho) e Barabasi-Albert (azul).

O denominador é simplesmente o grau total de todos os nós do gráfico. Observe que isso é igual a duas vezes o número total de arestas, uma vez que cada aresta é contada uma vez para cada ponto final.

Como as leis de potência têm propriedades tão elegantes, elas têm sido usadas para descrever muitos fenômenos físicos, desde o número de links que um site tem, ao número de citações que um artigo obtém, ao número de outras proteínas com as quais uma determinada proteína interage [1 ]

Em uma rede social modelada com um gráfico aleatório Barabasi-Albert, qual é a proporção média do número de pessoas com um amigo em relação ao número de pessoas com três amigos?


Métodos

Nossa revisão sistemática da literatura é baseada nas diretrizes da abordagem de Itens de Relatório Preferenciais para Revisões Sistemáticas e Meta-análises (PRISMA) [23].

Procurar estratégia

Usamos as palavras-chave registros de saúde e gráfico com os sinônimos ficha médica, ficha do paciente e todas as formas plurais das palavras-chave para nossa pesquisa de banco de dados nas bases de dados MEDLINE, Web of Science, IEEE Xplore e biblioteca digital ACM. Os campos, que foram investigados com os termos de pesquisa, foram título e resumo. As palavras-chave foram incluídas na sintaxe de consulta de cada banco de dados investigado. As consultas específicas do banco de dados são mostradas no Supl. Figura 1.

Critério de inclusão

Os artigos investigados foram selecionados de acordo com os seguintes critérios de inclusão. O primeiro critério principal foi o uso do termo gráfico no sentido da teoria dos grafos. Isso significa que os grafos devem conter nós e arestas, que é um dos principais critérios de definição de grafos da teoria dos grafos. Muitos jornais usaram esta palavra em outro contexto, por exemplo, pois alguns gráficos usavam o termo gráfico como sinônimo de ilustração e, portanto, foram excluídos. Os artigos também foram excluídos se não usarem gráficos representando pacientes individuais, mas, por exemplo, para um conjunto de pacientes. Além disso, apenas artigos escritos em inglês ou alemão foram incluídos. A busca nas bases de dados foi realizada em 20/03/2018 e, portanto, apenas os artigos publicados e indexados até esta data foram considerados na revisão.

Seleção de artigos

Os artigos recuperados das consultas ao banco de dados foram selecionados por quatro revisores de acordo com os critérios de inclusão baseados no título e resumo. Na falta de resumo, utilizou-se o texto completo do artigo. Inicialmente, todos os quatro revisores testaram os critérios de inclusão na mesma amostra de dez artigos de forma independente. Os resultados desta revisão de teste foram discutidos posteriormente para chegar a um entendimento consensual dos critérios de inclusão.

Para reduzir a carga de trabalho dos revisores, o número total de artigos foi dividido em duas metades, os quais foram atribuídos a duas equipes de dois revisores. Os membros de cada equipe avaliaram os artigos atribuídos com os resultados de seus parceiros cegos para garantir que cada artigo recebesse dois votos independentes. Os revisores marcaram cada artigo como “incluído” ou “excluído”. Para os artigos excluídos, um motivo para a exclusão foi documentado. Os artigos, incluídos por ambos os revisores, foram selecionados para investigação do texto completo. Esses artigos, que foram incluídos por um revisor e excluídos por outro revisor, foram avaliados por um terceiro revisor para chegar a uma decisão final. O terceiro revisor decidiu pela inclusão ou exclusão do respectivo artigo.

Extração e síntese de dados

Os artigos incluídos nas etapas anteriores foram analisados ​​na íntegra. Alguns artigos ainda tiveram que ser excluídos nesta fase, pois o cumprimento dos critérios de inclusão, que foi reconhecido na fase de triagem, não pôde ser secundado pela análise do texto completo. Para apoiar a análise de texto completo, o software de análise de dados qualitativos assistida por computador (CAQDAS) MAXQDA foi usado [24, 25]. No MAXQDA, estabelecemos um sistema de codificação, que foi inicialmente criado usando um artigo como base. Em um sistema de codificação, todas as palavras-chave centrais de todos os artigos investigados e incluídos foram coletadas como uma estrutura hierárquica. Cada palavra-chave pode ser atribuída a vários artigos e cada artigo pode ser atribuído a várias palavras-chave. O sistema de codificação foi desenvolvido iterativamente investigando os artigos subsequentes. Portanto, os papéis foram carregados no MAXQDA como arquivos PDF para marcar as informações expressas pelos códigos no sistema de codificação. Posteriormente, ocorrências cruzadas de artigos das diferentes codificações foram analisadas e as afirmações principais foram extraídas: os tipos de gráficos usados ​​nos artigos, os tipos de fontes de dados, os conteúdos de nós e bordas, bem como os métodos de processamento usados ​​nos artigos.


Conteúdo

As definições da teoria dos grafos variam. A seguir estão algumas das maneiras mais básicas de definir gráficos e estruturas matemáticas relacionadas.

Edição de gráfico

Em um sentido restrito, mas muito comum do termo, [1] [2] a gráfico é um par ordenado G = (V, E) < displaystyle G = (V, E)> que compreende:

  • V < displaystyle V>, um conjunto de vértices (também chamado nós ou pontos)
  • E ⊆ < ∣ x, y ∈ V e x ≠ y> < displaystyle E subseteq < mid x, y in V < textrm > x neq y >>, um conjunto de arestas (também chamado links ou linhas), que são pares não ordenados de vértices (ou seja, uma aresta está associada a dois vértices distintos).

Para evitar ambigüidade, este tipo de objeto pode ser chamado precisamente de gráfico simples não direcionado.

Em um sentido mais geral do termo permitindo arestas múltiplas, [3] [4] a gráfico é um triplo ordenado G = (V, E, ϕ) < displaystyle G = (V, E, phi)> que compreende:

  • V < displaystyle V>, um conjunto de vértices (também chamado nós ou pontos)
  • E < displaystyle E>, um conjunto de arestas (também chamado links ou linhas)
  • ϕ: E → < ∣ x, y ∈ V e x ≠ y> < displaystyle phi: E to < mid x, y in V < textrm > x neq y >>, um função de incidência mapear cada aresta para um par não ordenado de vértices (ou seja, uma aresta está associada a dois vértices distintos).

Para evitar ambigüidade, este tipo de objeto pode ser chamado precisamente de multigrafo não direcionado.

Em um gráfico simples não direcionado de ordem n, o grau máximo de cada vértice é n - 1 e o tamanho máximo do gráfico é n(n − 1)/2 .

As arestas de um gráfico simples não direcionado permitindo loops G < displaystyle G> induzem uma relação homogênea simétrica

Editar gráfico direcionado

UMA gráfico direcionado ou dígrafo é um gráfico no qual as arestas têm orientações.

Em um sentido restrito, mas muito comum do termo, [5] um gráfico direcionado é um par ordenado G = (V, E) < displaystyle G = (V, E)> que compreende:

  • V < displaystyle V>, um conjunto de vértices (também chamado nós ou pontos)
  • E ⊆ <(x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 e x ≠ y> < displaystyle E subseteq left <(x, y) mid (x, y) in V ^ <2 > < textrm > x neq y right >>, um conjunto de arestas (também chamado bordas direcionadas, links direcionados, linhas dirigidas, Setas; flechas ou arcos), que são pares ordenados de vértices (ou seja, uma aresta está associada a dois vértices distintos).

Para evitar ambigüidade, este tipo de objeto pode ser chamado precisamente de gráfico simples direcionado.

Em um sentido mais geral do termo permitindo múltiplas arestas, [5] a gráfico direcionado é um triplo ordenado G = (V, E, ϕ) < displaystyle G = (V, E, phi)> que compreende:

  • V < displaystyle V>, um conjunto de vértices (também chamado nós ou pontos)
  • E < displaystyle E>, um conjunto de arestas (também chamado bordas direcionadas, links direcionados, linhas dirigidas, Setas; flechas ou arcos)
  • ϕ: E → <(x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 e x ≠ y> < displaystyle phi: E to left <(x, y) mid (x, y) em V ^ <2> < textrm > x neq y right >>, um função de incidência mapear cada aresta para um par ordenado de vértices (ou seja, uma aresta está associada a dois vértices distintos).

Para evitar ambigüidade, este tipo de objeto pode ser chamado precisamente de multigrafo dirigido.

As arestas de um gráfico simples direcionado permitindo loops G < displaystyle G> é uma relação homogênea

Os gráficos podem ser usados ​​para modelar muitos tipos de relações e processos em sistemas físicos, biológicos, [7] [8] sociais e de informação. [9] Muitos problemas práticos podem ser representados por gráficos. Enfatizando sua aplicação a sistemas do mundo real, o termo rede às vezes é definido para significar um gráfico no qual atributos (por exemplo, nomes) estão associados aos vértices e arestas, e o assunto que expressa e entende os sistemas do mundo real como uma rede é chamado de ciência de rede.

Ciência da computação Editar

Na ciência da computação, os gráficos são usados ​​para representar redes de comunicação, organização de dados, dispositivos computacionais, o fluxo de computação, etc. Por exemplo, a estrutura de links de um site pode ser representada por um gráfico direcionado, em que os vértices representam páginas da web e as bordas direcionadas representam links de uma página para outra. Uma abordagem semelhante pode ser adotada para problemas nas redes sociais, [10] viagens, biologia, design de chips de computador, mapeamento da progressão de doenças neurodegenerativas, [11] [12] e muitos outros campos. O desenvolvimento de algoritmos para lidar com gráficos é, portanto, de grande interesse na ciência da computação. A transformação de grafos é frequentemente formalizada e representada por sistemas de reescrita de grafos. Complementares aos sistemas de transformação de gráficos com foco na manipulação de gráficos baseada em regras na memória, estão os bancos de dados de gráficos voltados para armazenamento e consulta de dados estruturados com segurança de transações e persistentes.

Edição de Lingüística

Os métodos da teoria dos grafos, em várias formas, têm se mostrado particularmente úteis em linguística, uma vez que a linguagem natural muitas vezes se presta bem a estruturas discretas. Tradicionalmente, a sintaxe e a semântica composicional seguem estruturas baseadas em árvore, cujo poder expressivo reside no princípio da composicionalidade, modelada em um gráfico hierárquico. Abordagens mais contemporâneas, como a gramática de estrutura de frase dirigida pela cabeça, modelam a sintaxe da linguagem natural usando estruturas de recursos digitados, que são gráficos acíclicos direcionados. Dentro da semântica lexical, especialmente quando aplicada a computadores, modelar o significado da palavra é mais fácil quando uma determinada palavra é entendida em termos de palavras relacionadas. As redes semânticas são, portanto, importantes na linguística computacional. Ainda assim, outros métodos em fonologia (por exemplo, teoria da otimalidade, que usa gráficos de rede) e morfologia (por exemplo, morfologia de estado finito, usando transdutores de estado finito) são comuns na análise da linguagem como um gráfico. Na verdade, a utilidade desta área da matemática para a linguística tem gerado organizações como TextGraphs, bem como vários projetos 'Net', como WordNet, VerbNet e outros.

Física e Química Editar

A teoria dos grafos também é usada para estudar moléculas em química e física. Na física da matéria condensada, a estrutura tridimensional de estruturas atômicas simuladas complicadas pode ser estudada quantitativamente por meio da coleta de estatísticas sobre propriedades teóricas dos gráficos relacionadas à topologia dos átomos. Além disso, "os gráficos e regras de cálculo de Feynman resumem a teoria quântica de campos em uma forma em contato próximo com os números experimentais que se deseja compreender." [13] Em química, um gráfico faz um modelo natural para uma molécula, onde vértices representam átomos e ligações de arestas. Essa abordagem é especialmente usada no processamento computacional de estruturas moleculares, variando de editores químicos a pesquisas em bancos de dados. Em física estatística, os gráficos podem representar conexões locais entre partes interagentes de um sistema, bem como a dinâmica de um processo físico em tais sistemas. Da mesma forma, na neurociência computacional, os gráficos podem ser usados ​​para representar conexões funcionais entre áreas do cérebro que interagem para dar origem a vários processos cognitivos, onde os vértices representam diferentes áreas do cérebro e as bordas representam as conexões entre essas áreas. A teoria dos grafos desempenha um papel importante na modelagem elétrica de redes elétricas, aqui, os pesos são associados à resistência dos segmentos de fio para obter as propriedades elétricas das estruturas da rede. [14] Os gráficos também são usados ​​para representar os canais em microescala de meios porosos, em que os vértices representam os poros e as bordas representam os canais menores conectando os poros. A teoria do gráfico químico usa o gráfico molecular como um meio para modelar moléculas. Gráficos e redes são excelentes modelos para estudar e compreender as transições de fase e fenômenos críticos. A remoção de nós ou arestas leva a uma transição crítica onde a rede se divide em pequenos agrupamentos que são estudados como uma transição de fase. Esta divisão é estudada por meio da teoria da percolação. [15] [16]

Ciências Sociais Editar

A teoria dos grafos também é amplamente usada na sociologia como uma forma, por exemplo, de medir o prestígio dos atores ou de explorar a disseminação de rumores, notadamente por meio do uso de software de análise de redes sociais. Sob a égide das redes sociais, existem muitos tipos diferentes de gráficos. [18] Gráficos de conhecimento e amizade descrevem se as pessoas se conhecem. Os gráficos de influência modelam se certas pessoas podem influenciar o comportamento de outras. Por fim, os gráficos de colaboração modelam se duas pessoas trabalham juntas de uma maneira específica, como atuar juntas em um filme.

Biologia Editar

Da mesma forma, a teoria dos grafos é útil em esforços de biologia e conservação, onde um vértice pode representar regiões onde certas espécies existem (ou habitam) e as bordas representam caminhos de migração ou movimento entre as regiões. Esta informação é importante ao observar os padrões de reprodução ou rastrear a propagação de doenças, parasitas ou como mudanças no movimento podem afetar outras espécies.

Os gráficos também são comumente usados ​​em biologia molecular e genômica para modelar e analisar conjuntos de dados com relacionamentos complexos. Por exemplo, métodos baseados em gráficos são freqüentemente usados ​​para 'agrupar' células em tipos de células na análise do transcriptoma de uma única célula. Outro uso é modelar genes ou proteínas em uma via e estudar as relações entre eles, como vias metabólicas e redes reguladoras de genes. [19] Árvores evolutivas, redes ecológicas e agrupamento hierárquico de padrões de expressão gênica também são representados como estruturas de grafos. Os métodos baseados em gráficos são difundidos pelos pesquisadores em alguns campos da biologia e eles só se tornarão muito mais difundidos à medida que a tecnologia se desenvolver para alavancar esse tipo de dados multidimensionais de alta abrangência.

A teoria dos grafos também é usada na conectômica [20]. Os sistemas nervosos podem ser vistos como um gráfico, onde os nós são neurônios e as bordas são as conexões entre eles.

Edição de Matemática

Em matemática, os gráficos são úteis em geometria e em certas partes da topologia, como a teoria dos nós. A teoria algébrica dos grafos tem ligações estreitas com a teoria dos grupos. A teoria algébrica de grafos foi aplicada a muitas áreas, incluindo sistemas dinâmicos e complexidade.

Outros tópicos Editar

Uma estrutura de gráfico pode ser estendida atribuindo um peso a cada borda do gráfico. Os gráficos com pesos, ou gráficos ponderados, são usados ​​para representar estruturas nas quais as conexões de pares têm alguns valores numéricos. Por exemplo, se um gráfico representa uma rede de estradas, os pesos podem representar o comprimento de cada estrada. Pode haver vários pesos associados a cada borda, incluindo distância (como no exemplo anterior), tempo de viagem ou custo monetário. Esses gráficos ponderados são comumente usados ​​para programar GPS e mecanismos de busca para planejamento de viagens que comparam tempos de voo e custos.

O artigo escrito por Leonhard Euler sobre as Sete Pontes de Königsberg e publicado em 1736 é considerado o primeiro artigo na história da teoria dos grafos. [21] Este artigo, bem como o escrito por Vandermonde no problema do cavaleiro, continuou com o situs de análise iniciado por Leibniz. A fórmula de Euler relacionando o número de arestas, vértices e faces de um poliedro convexo foi estudada e generalizada por Cauchy [22] e L'Huilier [23] e representa o início do ramo da matemática conhecido como topologia.

Mais de um século depois do artigo de Euler sobre as pontes de Königsberg e enquanto Listing estava introduzindo o conceito de topologia, Cayley foi levado por um interesse em formas analíticas particulares decorrentes do cálculo diferencial para estudar uma classe particular de gráficos, o arvores. [24] Este estudo teve muitas implicações para a química teórica. As técnicas que ele usou referem-se principalmente à enumeração de gráficos com propriedades particulares. A teoria dos gráficos enumerativos então surgiu dos resultados de Cayley e dos resultados fundamentais publicados por Pólya entre 1935 e 1937. Estes foram generalizados por De Bruijn em 1959. Cayley ligou seus resultados em árvores com estudos contemporâneos de composição química. [25] A fusão de ideias da matemática com as da química deu início ao que se tornou parte da terminologia padrão da teoria dos grafos.

Em particular, o termo "gráfico" foi introduzido por Sylvester em um artigo publicado em 1878 em Natureza, onde ele traça uma analogia entre "invariantes quânticos" e "co-variantes" da álgebra e diagramas moleculares: [26]

"[...] Cada invariante e co-variante, portanto, torna-se expressável por um gráfico precisamente idêntico a um diagrama Kekuléan ou quimiográfico. [...] Eu dou uma regra para a multiplicação geométrica de gráficos, ou seja, para construir um gráfico ao produto de em ou co-variantes cujos gráficos separados são dados. […] "(Itálico como no original).

O primeiro livro-texto sobre teoria dos grafos foi escrito por Dénes Kőnig e publicado em 1936. [27] Outro livro de Frank Harary, publicado em 1969, foi "considerado em todo o mundo como o livro-texto definitivo sobre o assunto", [28] e permitiu que matemáticos, químicos, engenheiros elétricos e cientistas sociais conversassem uns com os outros. Harary doou todos os royalties para financiar o Prêmio Pólya. [29]

Um dos problemas mais famosos e estimulantes da teoria dos grafos é o problema das quatro cores: "É verdade que qualquer mapa desenhado no plano pode ter suas regiões coloridas com quatro cores, de tal forma que quaisquer duas regiões com uma borda comum têm Cores diferentes?" Este problema foi colocado pela primeira vez por Francis Guthrie em 1852 e seu primeiro registro escrito está em uma carta de De Morgan endereçada a Hamilton no mesmo ano. Muitas provas incorretas foram propostas, incluindo as de Cayley, Kempe e outros. O estudo e a generalização deste problema por Tait, Heawood, Ramsey e Hadwiger levaram ao estudo das colorações dos gráficos embutidos em superfícies com gênero arbitrário. A reformulação da Tait gerou uma nova classe de problemas, o problemas de fatoração, particularmente estudado por Petersen e Kőnig. Os trabalhos de Ramsey sobre colorações e mais especialmente os resultados obtidos por Turán em 1941 estiveram na origem de outro ramo da teoria dos grafos, teoria dos grafos extremos.

O problema das quatro cores permaneceu sem solução por mais de um século. Em 1969, Heinrich Heesch publicou um método para resolver o problema usando computadores. [30] Uma prova auxiliada por computador produzida em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken faz uso fundamental da noção de "descarga" desenvolvida por Heesch. [31] [32] A prova envolvia a verificação das propriedades de 1.936 configurações por computador, e não foi totalmente aceita na época devido à sua complexidade. Uma prova mais simples considerando apenas 633 configurações foi dada vinte anos depois por Robertson, Seymour, Sanders e Thomas. [33]

O desenvolvimento autônomo da topologia de 1860 e 1930 fertilizou a teoria dos grafos de volta aos trabalhos de Jordan, Kuratowski e Whitney. Outro fator importante de desenvolvimento comum da teoria e topologia dos grafos veio do uso das técnicas da álgebra moderna. O primeiro exemplo desse uso vem do trabalho do físico Gustav Kirchhoff, que publicou em 1845 suas leis do circuito de Kirchhoff para o cálculo da tensão e da corrente em circuitos elétricos.

A introdução de métodos probabilísticos na teoria dos grafos, especialmente no estudo de Erdős e Rényi da probabilidade assintótica de conectividade de grafos, deu origem a mais um ramo, conhecido como teoria dos grafos aleatórios, que tem sido uma fonte frutífera de resultados da teoria dos gráficos.

Os gráficos são representados visualmente desenhando um ponto ou círculo para cada vértice e desenhando uma linha entre dois vértices se eles estiverem conectados por uma aresta. Se o gráfico for direcionado, a direção é indicada pelo desenho de uma seta.

O desenho de um gráfico não deve ser confundido com o próprio gráfico (a estrutura abstrata e não visual), pois há várias maneiras de estruturar o desenho do gráfico. Tudo o que importa é quais vértices estão conectados a quais outros por quantas arestas e não o layout exato. Na prática, muitas vezes é difícil decidir se dois desenhos representam o mesmo gráfico. Dependendo do domínio do problema, alguns layouts podem ser mais adequados e mais fáceis de entender do que outros.

O trabalho pioneiro de W. T. Tutte foi muito influente no assunto do desenho gráfico. Entre outras realizações, ele introduziu o uso de métodos algébricos lineares para obter desenhos gráficos.

Também se pode dizer que o desenho de gráficos abrange problemas que tratam do número de cruzamento e suas várias generalizações. O número de cruzamento de um gráfico é o número mínimo de interseções entre as arestas que um desenho do gráfico no plano deve conter. Para um gráfico plano, o número de cruzamento é zero por definição.

Desenhos em superfícies diferentes do plano também são estudados.

Existem diferentes maneiras de armazenar gráficos em um sistema de computador. A estrutura de dados usada depende da estrutura do gráfico e do algoritmo usado para manipular o gráfico. Teoricamente, pode-se distinguir entre estruturas de lista e matriz, mas em aplicações concretas, a melhor estrutura costuma ser uma combinação de ambas. As estruturas de lista são geralmente preferidas para gráficos esparsos, pois têm requisitos de memória menores. As estruturas matriciais, por outro lado, fornecem acesso mais rápido para alguns aplicativos, mas podem consumir grandes quantidades de memória. Implementações de estruturas de matriz esparsa que são eficientes em arquiteturas de computador paralelas modernas são um objeto de investigação atual. [34]

As estruturas de lista incluem a lista de arestas, uma matriz de pares de vértices e a lista de adjacências, que lista separadamente os vizinhos de cada vértice: Muito parecido com a lista de arestas, cada vértice tem uma lista de vértices aos quais é adjacente.

As estruturas da matriz incluem a matriz de incidência, uma matriz de 0's e 1's cujas linhas representam vértices e cujas colunas representam arestas, e a matriz de adjacência, na qual ambas as linhas e colunas são indexadas por vértices. Em ambos os casos, 1 indica dois objetos adjacentes e 0 indica dois objetos não adjacentes. A matriz de grau indica o grau dos vértices. A matriz Laplaciana é uma forma modificada da matriz de adjacência que incorpora informações sobre os graus dos vértices e é útil em alguns cálculos, como o teorema de Kirchhoff sobre o número de árvores geradoras de um grafo. A matriz de distância, como a matriz de adjacência, tem suas linhas e colunas indexadas por vértices, mas em vez de conter 0 ou 1 em cada célula, ela contém o comprimento de um caminho mais curto entre dois vértices.

Edição de enumeração

Existe uma vasta literatura sobre enumeração gráfica: o problema de gráficos de contagem que atendem a condições específicas. Algumas dessas obras são encontradas em Harary e Palmer (1973).

Subgráficos, subgráficos induzidos e menores Editar

Um problema comum, chamado de problema de isomorfismo do subgráfico, é encontrar um gráfico fixo como um subgráfico em um determinado gráfico. Uma razão para estar interessado em tal questão é que muitas propriedades de gráfico são hereditário para subgráficos, o que significa que um gráfico tem a propriedade se e somente se todos os subgráficos também a tiverem. Infelizmente, encontrar subgráficos máximos de um certo tipo costuma ser um problema NP-completo. Por exemplo:

Um caso especial de isomorfismo de subgrafo é o problema de isomorfismo de grafos. Ele pergunta se dois gráficos são isomórficos. Não se sabe se este problema é NP-completo, nem se pode ser resolvido em tempo polinomial.

Um problema semelhante é encontrar subgráficos induzidos em um determinado gráfico. Novamente, algumas propriedades importantes do gráfico são hereditárias em relação aos subgráficos induzidos, o que significa que um gráfico possui uma propriedade se e somente se todos os subgráficos induzidos também a tiverem. Encontrar subgráficos induzidos máximos de um certo tipo também é frequentemente NP-completo. Por exemplo:

Outro problema, o menor problema de contenção, é encontrar um gráfico fixo como menor de um determinado gráfico. Uma menor ou subcontratação de um gráfico é qualquer gráfico obtido pegando um subgrafo e contraindo algumas (ou nenhuma) arestas. Muitas propriedades de gráfico são hereditárias para menores, o que significa que um gráfico possui uma propriedade se e somente se todos os menores também a tiverem. Por exemplo, o Teorema de Wagner afirma:

  • Um gráfico é plano se não contém como menor nem o gráfico bipartido completoK3,3 (veja o problema das Três Casas) nem o gráfico completo K5.

Um problema semelhante, o problema de contenção de subdivisão, é encontrar um gráfico fixo como uma subdivisão de um determinado gráfico. Uma subdivisão ou homeomorfismo de um gráfico é qualquer gráfico obtido pela subdivisão de algumas (ou nenhuma) arestas. A contenção de subdivisão está relacionada às propriedades do gráfico, como planaridade. Por exemplo, o Teorema de Kuratowski afirma:

Outro problema na contenção de subdivisões é a conjectura de Kelmans-Seymour:

Outra classe de problemas tem a ver com a extensão em que várias espécies e generalizações de gráficos são determinadas por seus pontos de subgráficos deletados. Por exemplo:

Edição de coloração de gráfico

Muitos problemas e teoremas na teoria dos grafos têm a ver com várias maneiras de colorir grafos. Normalmente, alguém está interessado em colorir um gráfico de modo que dois vértices adjacentes não tenham a mesma cor, ou com outras restrições semelhantes. Também se pode considerar bordas coloridas (possivelmente para que duas bordas coincidentes não tenham a mesma cor) ou outras variações. Entre os resultados e conjecturas famosos sobre a coloração do gráfico estão os seguintes:

Edição de subsunção e unificação

As teorias de modelagem de restrição dizem respeito a famílias de gráficos direcionados relacionados por uma ordem parcial. Nessas aplicações, os gráficos são ordenados por especificidade, o que significa que os gráficos mais restritos - que são mais específicos e, portanto, contêm uma quantidade maior de informações - são incluídos por aqueles que são mais gerais. As operações entre os gráficos incluem a avaliação da direção de uma relação de subsunção entre dois gráficos, se houver, e a unificação do gráfico de computação. A unificação de dois gráficos de argumento é definida como o gráfico mais geral (ou o cálculo do mesmo) que é consistente com (ou seja, contém todas as informações) nas entradas, se tal gráfico existir, algoritmos de unificação eficientes são conhecidos.

Para estruturas de restrição que são estritamente composicionais, a unificação do gráfico é satisfatibilidade suficiente e função de combinação. Aplicações bem conhecidas incluem a prova automática de teoremas e a modelagem da elaboração da estrutura linguística.

Problemas de rota Editar

Edição de fluxo de rede

São inúmeros os problemas decorrentes principalmente de aplicações que têm a ver com várias noções de fluxos em redes, por exemplo:

Problemas de visibilidade Editar

Problemas de cobertura Editar

Problemas de cobertura em gráficos podem se referir a vários problemas de cobertura de conjunto em subconjuntos de vértices / subgráficos.

    O problema é o caso especial do problema de cobertura de conjuntos, em que os conjuntos são as vizinhanças fechadas. é o caso especial do problema da cobertura do conjunto, em que os conjuntos a cobrir são todas as bordas.
  • O problema da cobertura do conjunto original, também chamado de conjunto de acerto, pode ser descrito como uma cobertura de vértice em um hipergrafo.

Problemas de decomposição Editar

A decomposição, definida como particionar o conjunto de arestas de um gráfico (com quantos vértices forem necessários acompanhando as arestas de cada parte da partição), tem uma grande variedade de questões. Often, the problem is to decompose a graph into subgraphs isomorphic to a fixed graph for instance, decomposing a complete graph into Hamiltonian cycles. Other problems specify a family of graphs into which a given graph should be decomposed, for instance, a family of cycles, or decomposing a complete graph Kn into n − 1 specified trees having, respectively, 1, 2, 3, . n − 1 edges.

Some specific decomposition problems that have been studied include:

    , a decomposition into as few forests as possible , a decomposition into a collection of cycles covering each edge exactly twice , a decomposition into as few matchings as possible , a decomposition of a regular graph into regular subgraphs of given degrees

Graph classes Edit

Many problems involve characterizing the members of various classes of graphs. Some examples of such questions are below:


History Integration

It is important not to think of integration as using the particular subject to solve math problems, but as a way to use math to solve problems and answer questions about those topics.

The National Council for the Social Studies uses such words as compare, explain, articulate, analyze, predict, demonstrate and interpret. These are all words that must be used when dealing with mathematics as well.

1) Math tasks are based on background provided by Social Studies:

-Comparing resources, numbers, etc of events such as the Civil War.

-Distances involved in exploration, war, and expansion.

2) Data is obtained through social science inquiry

-students create charts, graphs and tables to represent numerical data.


Functions

Of special interest are relations where every x-value corresponds to exactly one y-value. A relation with this property is called a function A relation where each element in the domain corresponds to exactly one element in the range. .

Exemplo 2

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

Here we separate the domain (x-values), and the range (y-values), and depict the correspondence between the values with arrows.

The relation is a function because each x-value corresponds to exactly one y-value.

Answer: The domain is <−1, 0, 2, 3, 4>and the range is <−2, 3, 4, 7>. The relation is a function.

Example 3

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

The given relation is not a function because the x-value 3 corresponds to two y-values. We can also recognize functions as relations where no x-values are repeated.

Answer: The domain is <−4, −2, 0, 3>and the range is <−3, 3, 5, 6, 7>. This relation is not a function.

Consider the relations consisting of the seven ordered pair solutions to y = | x | − 2 and x = | y | + 1 . The correspondence between the domain and range of each can be pictured as follows:

Notice that every element in the domain of the solution set of y = | x | − 2 corresponds to only one element in the range it is a function. The solutions to x = | y | + 1 , on the other hand, have values in the domain that correspond to two elements in the range. In particular, the x-value 4 corresponds to two y-values −3 and 3. Therefore, x = | y | + 1 does not define a function.

We can visually identify functions by their graphs using the vertical line test If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function. . If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function.

The vertical line represents a value in the domain, and the number of intersections with the graph represent the number of values to which it corresponds. As we can see, any vertical line will intersect the graph of y = | x | − 2 only once therefore, it is a function. A vertical line can cross the graph of x = | y | + 1 more than once therefore, it is not a function. As pictured, the x-value 3 corresponds to more than one y-value.

Example 4

Given the graph, state the domain and range and determine whether or not it represents a function:

From the graph we can see that the minimum x-value is −1 and the maximum x-value is 5. Hence, the domain consists of all the real numbers in the set from [ − 1 , 5 ] . The maximum y-value is 3 and the minimum is −3 hence, the range consists of y-values in the interval [ − 3 , 3 ] .

In addition, since we can find a vertical line that intersects the graph more than once, we conclude that the graph is not a function. There are many x-values in the domain that correspond to two y-values.

Answer: Domain: [ − 1 , 5 ] range: [ − 3 , 3 ] function: no

Try this! Given the graph, determine the domain and range and state whether or not it is a function:

Answer: Domain: ( − ∞ , 15 ] range: ℝ function: no


Louisiana State Standards for Mathematics: Grade 3

Currently Perma-Bound only has suggested titles for grades K-8 in the Science and Social Studies areas. We are working on expanding this.

LA.N. Number and Number Relations: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the real number system and communicate the relationships within that system using a variety of techniques and tools.

N-1-E. Constructing number meaning and demonstrating that a number can be expressed in many different forms (e.g., standard notation, number words, number lines, geometrical representation, fractions, and decimals).

N-1-E-GLE 1. Model, read, and write place value in word, standard, and expanded form for numbers through 9999 (N-1-E)

N-1-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-1-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-2-E. Demonstrating number sense and estimation skills, giving particular attention to common equivalent reference points (i.e., 1/4 = 25% = .25 2 = 50% = .5 $1 = 100%, etc.).

N-2-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-3-E. Reading, writing, representing, comparing, ordering, and using whole numbers in a variety of forms (e.g., standard notation, number line, and geometrical representation.

N-3-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-4-E. Demonstrating a conceptual understanding of the meaning of the basic arithmetic operations (add, subtract, multiply, and divide) and their relationships to each other.

N-4-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 7. Recognize and apply multiplication and division as inverse operations (N-4-E)

N-4-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-4-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

N-5-E. Selecting appropriate operation(s) (add, subtract, multiply, and divide) for a given situation.

N-5-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E. Applying a knowledge of basic math facts and arithmetic operations to real-life situations.

N-6-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-6-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

N-6-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E. Constructing, using, and explaining procedures to compute and estimate with whole numbers (e.g., mental math strategies).

N-7-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-8-E. Selecting and using appropriate computational methods and tools for given situations involving whole numbers (e.g., estimation, mental arithmetic, calculator, or paper and pencil).

N-8-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

N-9-E. Demonstrating the connection of number and number relations to the other strands and to real-life situations.

N-9-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

LA.A. Algebra: In problem-solving investigations students demonstrate an understanding of concepts and processes that allow them to analyze, represent, and describe relationships among variable quantities and to apply algebraic methods to real-world situations.

A-1-E. Demonstrating a conceptual understanding of variables, expressions, equations, and inequalities (e.g., use letters or boxes to represent values understand =, not equal to, <, and > symbols).

A-1-E-GLE 14. Use the symbols <, >, and the not equal to symbol to express inequalities (A-1-E)

A-1-E-GLE 15. Use objects, pictures, numbers, symbols, and words to represent multiplication and division problem situations (A-1-E)

A-1-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

A-1-E-GLE 17. Analyze and describe situations where proportional trades or correspondences are required (e.g., trade 2 pieces of candy for 3 pieces of gum, make equivalent actions on pans to keep balance scale in equilibrium, plan for the number of pieces of bread needed for x sandwiches) (A-1-E)

A-2-E. Modeling and developing strategies for solving equations and inequalities.

A-2-E-GLE 18. Use letters as variables in mathematical statements that represent real-life problems (e.g., 2 x n = 8) (A-2-E)

A-3-E. Recognizing the connection of algebra to the other strands and to real-life situations (e.g., number sentences or formulas to represent real-world problems).

LA.M. Measurement: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the concepts, processes, and real-life applications of measurement.

M-1-E. Applying (measure or solve measurement problem) the concepts of length (inches, feet, yards, miles, millimeters, centimeters, decimeters, meters, kilometers), area, volume, capacity (cups, liquid pints and quarts, gallons, milliliters, liters), weight (ounces, pounds, tons, grams, kilograms), mass, time (seconds, minutes, hours, days, weeks, months, years), money, and temperature (Celsius and Fahrenheit) to real-world experiences.

M-1-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-1-E-GLE 19. Measure length to the nearest yard, meter, and half-inch (M-1-E)

M-1-E-GLE 20. Measure capacity using pints and gallons (M-1-E)

M-1-E-GLE 21. Measure weight using grams and ounces (M-1-E)

M-1-E-GLE 22. Find the perimeter of a geometric shape given the length of its sides (M-1-E)

M-1-E-GLE 23. Find the area in square units of a given rectangle (including squares) drawn on a grid or by covering the region with square tiles (M-1-E)

M-1-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

M-2-E. Selecting and using appropriate standard and non-standard units of measure (e.g., paper clips and Cuisenaire rods) and tools for measuring length, area, capacity, weight/mass, and time for a given situation by considering the purpose and precision required for the task.

M-2-E-GLE 25. Select and use the appropriate standard units of measure, abbreviations, and tools to measure length and perimeter (i.e., in., cm, ft., yd., m), area (square inch, square centimeter), capacity (i.e., cup, pint, quart, gallon, liter), and weight/mass (i.e., oz., lb., g, kg, ton) (M-2-E)

M-3-E. Using estimation skills to describe, order, and compare measures of length, capacity, weight/mass, time, and temperature.

M-3-E-GLE 26. Order a set of measures within the same system (M-3-E)

M-3-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-3-E-GLE 28. Estimate length, weight/mass, and capacity (M-3-E)

M-4-E. Converting from one unit of measurement to another within the same system (customary and metric) comparisons between systems should be based on intuitive reference points, not formal computations (e.g., a meter is a little longer than a yard).

M-4-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-5-E. Demonstrating the connection of measurement to the other strands and to real-life situations.

M-5-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-5-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

LA.G. Geometry: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of geometric concepts and applications involving one-, two-, and three-dimensional geometry, and justify their findings.

G-1-E. Determining the relationships among shapes.

G-1-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-1-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-2-E. Identifying, describing, comparing, constructing, and classifying two-dimensional and three-dimensional geometric shapes using a variety of materials.

G-2-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-2-E-GLE 30. Apply concepts of congruence, similarity, and symmetry in real-life situations (G-2-E)

G-3-E. Making predictions regarding combinations, subdivisions, and transformations (slides, flips, turns) of simple plane geometric shapes.

G-3-E-GLE 31. Draw or reconstruct figures from visual memory or verbal descriptions (G-3-E)

G-3-E-GLE 32. Recognize and execute specified flips, turns, and slides of geometric figures using manipulatives and correct terminology (including clockwise and counterclockwise) (G-3-E)

G-4-E. Drawing, constructing models, and comparing geometric shapes, with special attention to developing spatial sense.

G-4-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-4-E-GLE 33. Construct and draw rectangles (including squares) with given dimensions (e.g., grid paper, square tiles) (G-4-E)

G-4-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-5-E. Identifying and drawing lines and angles and describing their relationships to each other and to the real world.

G-5-E-GLE 35. Identify, give properties of, and distinguish among points, lines, line segments, planes, rays, and angles (G-5-E)

G-5-E-GLE 36. Identify and draw segments, rays, and lines that are perpendicular, parallel, and intersecting (G-5-E)

G-5-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E. Demonstrating the connection of geometry to the other strands and to real-life situations.

G-6-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E-GLE 38. Find the length of a path (that does not include diagonals) between two points on a grid (G-6-E)

LA.D. Data Analysis, Probability, and Discrete Math: In problem-solving investigations, students discover trends, formulate conjectures regarding cause-and-effect relationships, and demonstrate critical thinking skills in order to make informed decisions.

D-1-E. Collecting, organizing, and describing data based on real-life situations

D-1-E-GLE 39. Identify categories and sort objects based on qualitative (categorical) and quantitative (numerical) characteristics (D-1-E)

D-1-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-1-E-GLE 41. Explain the word average and use it appropriately in discussing what is ''typical'' of a data set (D-1-E)

D-2-E. Constructing, reading, and interpreting data in charts, graphs, tables, etc

D-2-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-2-E-GLE 42. Match a data set to a graph, table, or chart and vice versa (D-2-E)

D-3-E. Formulating and solving problems that involve the use of data

D-3-E-GLE 43. Represent and solve problems using data from a variety of sources (e.g., tables, graphs, maps, advertisements) (D-3-E)

D-4-E. Exploring, formulating, and solving sequence-of-pattern problems involving selection and arrangement of objects/numerals

D-5-E. Predicting outcomes based on probability (e.g., make predictions of same chance, more likely, or less likely determine fair and unfair games)

D-5-E-GLE 44. Discuss chance situations in terms of certain/impossible and equally likely (D-5-E)

D-5-E-GLE 45. Use manipulatives to discuss the probability of an event (e.g., number cubes, spinners to determine what is most likely or least likely) (D-5-E)

D-6-E. Demonstrating the connection of data analysis, probability, and discrete math to other strands and real-life situations.

LA.P. Patterns, Relations, and Functions: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of patterns, relations, and functions that represent and explain real-world situations.

P-1-E. Recognizing, describing, extending, and creating a wide variety of numerical (e.g., skip counting of whole numbers), geometrical, and statistical patterns.

P-1-E-GLE 46. Identify and model even and odd numbers with objects, pictures, and words (P-1-E)

P-1-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-2-E. Representing and describing mathematical relationships using tables, variables, open sentences, and graphs.

P-2-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-3-E. Recognizing the use of patterns, relations, and functions in other strands and in real-life situations.


Independent Practice

As I circulate, I watch to see that students are carefully graphing Problem 1. The values on the y-axis are not the values that they'll have in the table, so students will need to plot in between the grid marks.

When I check in with individual students, I ask them questions about the particular equation they're working on. I'll ask about the meaning of the coefficient, how they decided on the values for the table, what the relationship is, how we could use this line to predict other values, etc.


Linear relations and their graphing

In this section we examine one of the simplest types of relations, the linear relation. Every linear relation has a graph that is a straight line, and so we need only find two points on the graph in order to sketch it. Examples of linear relations are y=2x+3 , y=x and 3x + 2y = 6

LINEAR RELATION A linear relation in two variables is a relation that can be written in the form

y=ax+b ,
where a and b are real numbers.

Note Linear relations are often written in the form Ax + By = C , where A , B , and C are real, and A and B are not both 0 . This is called the standard form of a linear relation.

In the equation Ax + By = C , any number can be used for x or y , so both the domain and range of a linear relation in which neither A nor B is 0 are the set of real numbers (-inf,inf) ,

GRAPHING LINEAR RELATIONS. The graph of a linear relation can be found by plotting at least two points. Two points that are especially useful for sketching the graph of a line are found with the intercepts. An x -intercept is an x -value at which a graph crosses the x -axis. A y -intercept is a y -value at which a graph crosses the y-axis. Since y = 0 on the x-axis, an x-intercept is found by setting y equal to 0 in the equation and solving for x . Similarly, a y -intercept is found by setting x=0 in the equation and solving for y .

Example 1 GRAPHING A LINEAR RELATION USING INTERCEPTS

Graph 3x + 2y = 6 .
Use the intercepts. The y -intercept is
found by letting x=0 .
3.0+2y=6

y=3
For the x -intercept, let y=0 , getting


3x+2.0=6
3x=6
x=2 .
Plotting (0,3) and (2,0) gives the graph in Figure 3.7. A third point could be found as a check if desired.

Let&rsquos see how our math solver generates graphs of this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 2 GRAPHING HORIZONTAL AND VERTICAL LINES

Since y always equals -3 , the value of y can never be 0 . This means that the graph has no x -intercept. The only way a straight line can have no x -intercept is for it to be parallel to the x -axis, as shown in Figure 3.8. Notice that the domain of this linear relation is (-inf,inf) but the range is <-3>.

Here, since x always equals -3 , the value of x can never be 0 , and the graph has no y -intercept. Using reasoning similar to that of part (a), we find that this graph is parallel to the y -axis, as shown in Figure 3.9. The domain of this relation is <-3>, while the range is (-inf,inf) ,

From this example we may conclude that a linear relation of the form y=k has as its graph a horizontal line through (0,k) , and one of the form x=k has as its graph a vertical line through (k,0) .

Example 3 GRAPHING A LINE THROUGH THE ORIGIN

Find the intercepts. If x=0 , then

Letting y=0 leads to the same ordered pair, 0=0 . The graph of this relation has just one intercept&mdashat the origin. Find another point by choosing a different value for x (or y ). Choosing x=5 gives
4(5)-5y=0

4=y
which leads to the ordered pair (5,4) . Complete the graph using the two points (0,0) and (5,4) , with a third point as a check. See Figure 3.10.

Let&rsquos see various graphs of line passing through origin. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

SLOPE An important characteristic of a straight line is its slope, a numerical measure of the steepness of the line. (Geometrically, this may be interpreted as the ratio of rise to run.) To find this measure, start with the line through the two distinct points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) , as shown in Figure 3.11 , where (x_1!=x_2) .The difference
(x_2-y_1)

is called the change in x and denoted by (x) (read &ldquodelta x &rsquo), where is the Greek letter delta. In the same way, the change in y can be written

The slope of a nonvertical line is defined as the quotient of the change in y and the change in x , as follows.

SLOPE The slope m of the line through the points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) is

CAUTION When using the slope formula, be sure that it is applied correctly. It makes no difference which point is (x_1,y_1) or (x_2,y_2) however, it is important to be consistent. Start with the x - and y -value of one point (either one) and subtract the corresponding values of the other point.

The slope of a line can be found only if the line is nonvertical. This guarantees that (x_2!=x_1) , so that the denominator (x_2-x_1)!=0 . It is not possible to define the slope of a vertical line.

The slope of a vertical line is undefined.

Example 4.FINDING SLOPES WITH THE SLOPE FORMULA

Find the slope of the line through each of the following pairs of points.

(a) (-4, 8), (2, -3)
Let x_1=-4 , y_1=8 , and x_2=-2 , y_2=-3 . Então

A sketch would show that the line through (2, 7) and (2, -4) is vertical. As mentioned above, the slope of a vertical line is not defined. (An attempt to use the
definition of slope here would produce a zero denominator.)

By definition of slope,
m=(-3-(-3))/(-2-5)=0/-7=0

Drawing a graph through the points in Example 4(c) would produce a line that is horizontal, which suggests the following generalization.

The slope of a horizontal line is 0.

Figure 3.12 shows lines of various slopes. As the figure shows, a line with a positive slope goes up from left to right, but a line with a Positive slope negative slope goes down from left to right.

It can be shown, using theorems for similar triangles, that the slope slope is independent of the choice of points on the line. That is, the slope of a line is the same no matter which pair of distinct points on the line are used to find it.

Since the slope of a line is the ratio of vertical change to horizontal change, if we know the slope of a line and the coordinates of a point on the line, the graph of the line can be drawn. The next example illustrates this.

Example 5 GRAPHING A LINE USING A POINT AND THE SLOPE

Graph the line passing through (-1,5) and having slope -5/3 .
First locate the point (-1,5) as shown in Figure 3.13. Since the slope of this line is -5/3 , a change of -5 units vertically (that is, 5 units down) produces a change of 3 units horizontally ( 3 units to the right).

This gives a second point, (2,0) , which can then be used to complete the graph.

Because -5/3=5/(-3) , another point could be obtained by starting at (-1,5) and moving 5 units up and 3 units to the left. We would reach a different second point, but the line would be the same.

EQUATIONS OF A LINE Since equations can define relations, we now consider methods of finding equations of linear relations. Figure 3.14 shows the line passing through the fixed point (x_1,y_1) and having slope m . (Assuming that the
line has a slope guarantees that it is not vertical.) Let (x,y) be any other point on the line. By the definition of slope, the slope of the line is
(y-y_1)/(x-x_1)
Since the slope of the line is m ,
(y-y_1)/(x-x_1)=m
Multiplying both sides by x-x_1 gives
y-y_1=m(x-x_1)

This result, called the point-slope form of the equation of a line, identifies points on a given line: a point (x,y) lies on the line through (x_1,y_1) with slope m if and only if
y-y_1=m(x-x_1)

POINT-SLOPE FORM The line with slope m passing through the point (x_1,y_1) has an equation

the point-slope form of the equation of a line.

Example 6 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN A POINT AND THE SLOPE)

Write an equation of the line through (-4,1) with slope -3 .

Here x_1=-4 , y_1=1 , and m=-3 . Use the point-slope form of the equation of a line to get

y-1=-3x-12) Distributive property

CAUTION The definition of &ldquostandard form&rdquo is not standard from one text to another. Any linear equation can be written in many different (all equally correct) forms. For example, the equation 2x+3y=8 can be written as 2x=8-3y , 3y=8-2x , x+3/2y=4 , 4x+6y=16 and so on. In addition to writing it in the form Ax + By = C (with A>=0 ), let us agree that the form 2x+3y=8 is preferred over any multiples of both sides, such as 4x+6y=16 .

Example 7 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN TWO POINTS)

Find an equation of the line through (-3,2) and (2,-4)
Find the slope first. By the definition of slope,
m=(-4-2)/(2-(-3))=-6/5

Either (-3,2) or (2,-4) can be used for (x_1,y_1) . Choosing (x_1=-3 and (y_1=2 in the point-slope form gives
y-2=-6/5[x-(-3)
5(y-2)=-6(x+3) Multiply by 5.
5y-10=-6x-18 Distributive property

Verify that the same equation results if (2,-4) is used instead of (-3,2) in the Point-slope form.

As a special case of the point-slope form of the equation of a line, suppose that a line passes through the point (0, b) , so the line has y -intercept b . If the line has slope m , then using the point-slope form with x_1=0 and y_1=b gives
y-y_1=m(x-x_1)

y=mx+b
as an equation of the line. Since this result Shows the slope of the line and the y -intercept, it is called the slope-intercept form of the equation of the line.

SLOPE-INTERCEPT FORM The line with slope m and y -intercept b has an equation
y=mx+b
the slope-intercept form of the equation of a line.

Example 8 USING THE SLOPE-INTERCEPT FORM TO GRAPH A LINE

Find the slope and y -intercept of 3x-y=2 Graph the line using this information.

First write 3x-y=2 in the slope-intercept form, y=mx+b , by solving for y , getting 3x-y=2 . This result shows that the Slope is m=3 and the y -intercept is b=-2 . To draw the graph, first locate the y -intercept. See Figure 3.15. Then, as in Example 5, use the slope of 3 , or 3/1 , to get a second point on the graph. The line through these two points is the graph of 3x-y=2 .

In the preceding discussion, it was assumed that the given line had a slope. The only lines having undefined slope are vertical lines. The vertical line through the point (a, b) passes through all the points of the form (a, y) , for any value of y . This fact determines the equation of a vertical line.

EQUATION OF A VERTICAL LINE An equation of the vertical line through the point (a, b) is x=a

For example, the vertical line through (-4,9) has equation x=-4 , while the vertical line through (0,1/4) has equation x=0 . (This is the y -axis.)

The horizontal line through the point (a, b) passes through all points of the
form (x, b) , for any value of x . Therefore, the equation of a horizontal line involves only the variable y .

EQUATION OF A HORIZONTAL LINE An equation of the horizontal line through the point (a, b) is y=b .

For example, the horizontal line through (1,-3) has the equation y=-3 . See Figure 3.8 for the graph of this equation. The equation of the x -axis is y=0 .

PARALLEL. AND PERPENDICULAR LINES Slopes can be used to decide whether or not two lines are parallel. Since two parallel lines are equally &ldquosteep,&rdquo they should have the same slope. Also, two distinct lines with the same &ldquosteepness&rdquo are parallel. The following result summarizes this discussion.

PARALLEL LINES Two distinct non vertical lines are parallel if and only if they have the same slope.

Slopes are also used to determine if two lines are perpendicular. Whenever two lines have slopes with a product of -1 , the lines are perpendicular.
PERPENDICULAR LINES Two lines, neither of which is vertical, are perpendicular if and only if their slopes have a product of -1 .

For example, if the slope of a line is -3/4 , the slope of any line perpendicular
to it is 4/3 , since (-3/4)(4/3)=-1 . We often refer to numbers like -3/4 and 4/3 as &ldquonegative reciprocals.&rdquo A proof of this result is outlined in Exercises 63-66.

USING THE SLOPE RELATIONSHIPS FOR PARALLEL AND PERPENDICULAR

Find the equation of the line that passes through the point (3,5) and satisfies the given condition.

(a) parallel to the line 2x+5y=4

Since it is given that the point (3,5) is on the line, we need only find the slope to use the point-slope form. Find the slope by writing the equation of the given line in slope-intercept form. (That is, solve for y .)
2x+5y=4

y=-2/5x+4/5
The slope is -2/5 . Since the lines are parallel, -2/5 is also the slope of the line whose equation is to be found. Substituting m=-2/5 , x_1=3 , and y_1=5 into the point-slope form gives

(b) perpendicular to the line 2x+5y=4
In part (a) it was found that the slope of this line is -2/5 , so the slope of any line perpendicular to it is 5/2 . Therefore, use m=5/2 , x_1=3 , and y_1=5 in the point-slope form.
y-5=5/2(x-3)

All the lines discussed above have equations that could be written in the form

Ax + By = C for real numbers A , B , and C . As mentioned earlier, the equation Ax + By = C is the standard form of the equation of a line. The various forms of linear equations are listed below.

LINER EQUATIONS

General Equation Type of Equation
Ax+by=C Standard form (if A!=0 and B!=0 ), x -intercept C/A , y -intercept C/B , slope -A/B
x=k Vertical line x -intercept k , no y -intercept, undefined slope
y=k Horizontal line y -intercept k , no x -intercept, slope 0
y=mx+b Slope-intercept form, y -intercept b , slope m
y-y_1=m(x-x_1) Point-slope form , slope m , through (x_1,y_1)

PROBLEM SOLVING

A straight line is often the best approximation of a set of data points that result from a real situation. If the equation is known, it can be used to predict the value of one variable, given a value of the other. For this reason, the equation is written as a linear relation in slope-intercept form. One way to find the equation of such a straight line is to use two typical data points and the point-slope form of the equation of a line.

Example 10 FINDING AN EQUATION FROM DATA POINTS

Scientists have found that the number of chirps made by a cricket of a particular Species per minute is almost linearly related to the temperature. Suppose that for a particular species, at 68 °F a cricket chirps 124 times per minute, while at 80 ° F the cricket chirps 172 times per minute. Find the linear equation that relates the number of chirps to the temperature.

Think of the ordered pairs in the relation as (chirps, temperature), or (c, t) . Then c takes on the role of x and t takes on the role of y . Since we are using a linear relationship, find the slope of the line by using the slope formula with the points (124,68) and (172,80) .
m=(68-80)/(124-172)=-12/-48=1/4
Choose one of the points, say (124,68) , and substitute into the point-slope form, with m=1/4 .
&emsp&emsp t-68=1/4(c-124)

The equation is t=1/4c+37 . By substituting the number of chirps per minute into this equation, the temperature t can be approximated.