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7: Modelos de Tempo Contínuo II - Análise - Matemática


  • 7.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio
    Encontrar pontos de equilíbrio de um modelo de tempo contínuo dx / dt = G (x) pode ser feito da mesma maneira que para um modelo de tempo discreto, ou seja, substituindo todos os x por xeq (novamente, observe que estes podem ser vetores) . Na verdade, isso torna o lado esquerdo zero, porque xeq não é mais uma variável dinâmica, mas apenas uma constante estática. Portanto, as coisas se resumem a apenas resolver a seguinte equação
  • 7.2: Visualização do Espaço de Fase
    Um espaço de fase de um modelo de tempo contínuo, uma vez que o tempo é discretizado, pode ser visualizado exatamente da mesma maneira que foi no Capítulo 5, usando os Códigos 5.1 ou 5.2. Isso está perfeitamente bem. Nesse ínterim, o matplotlib do Python tem uma função especializada chamada streamplot, que é precisamente projetada para desenhar espaços de fase de modelos de tempo contínuo.
  • 7.3: Reescalonamento Variável de Modelos de Tempo Contínuo
    O reescalonamento variável de modelos de tempo contínuo tem uma diferença distinta dos modelos de tempo discreto. Ou seja, você obtém mais uma variável que pode redimensionar: o tempo. Isso pode permitir que você elimine mais um parâmetro de seu modelo em comparação com casos de tempo discreto.
  • 7.4: Comportamento Assintótico de Sistemas Dinâmicos Lineares em Tempo Contínuo
    Uma fórmula geral para sistemas dinâmicos lineares em tempo contínuo é dada por dx / dt = Ax, onde x é o vetor de estado do sistema e A é a matriz coeficiente. Conforme discutido antes, você poderia adicionar um vetor constante a ao lado direito, mas ele sempre pode ser convertido em uma forma livre de constante aumentando as dimensões do sistema, da seguinte maneira:
  • 7.5: Análise de estabilidade linear de sistemas dinâmicos não lineares
    Finalmente, podemos aplicar a análise de estabilidade linear a sistemas dinâmicos não lineares de tempo contínuo.

Identificação de modelos de tempo contínuo a partir de dados amostrados

A identificação do sistema é um campo estabelecido na área de análise e controle de sistema. Tem como objetivo determinar modelos específicos para sistemas dinâmicos com base em entradas e saídas observadas. Embora os sistemas dinâmicos no mundo físico sejam naturalmente descritos no domínio do tempo contínuo, a maioria dos esquemas de identificação do sistema tem sido baseada em modelos de tempo discreto sem preocupação com os méritos das descrições do modelo de tempo contínuo natural. A natureza de tempo contínuo das leis físicas, a popularidade persistente do controle derivativo proporcional integral em tempo predominantemente contínuo e a natureza mais direta dos métodos de diagnóstico de falhas em tempo contínuo tornam a modelagem em tempo contínuo de importância contínua.

Identificação de modelos de tempo contínuo de dados amostrados reúne contribuições de especialistas conhecidos que apresentam uma visão atualizada desta área ativa de pesquisa e descrevem métodos recentes e ferramentas de software desenvolvidas neste campo. Eles oferecem uma visão renovada e novos resultados em áreas como:

• abordagens estatísticas ideais de domínio de tempo e frequência para identificação

• identificação paramétrica para sistemas lineares, não lineares e estocásticos

• identificação usando variável instrumental, subespaço e métodos de compressão de dados

• circuito fechado e identificação robusta e

• modelagem em tempo contínuo a partir de dados amostrados não uniformemente e para sistemas com atraso.

A caixa de ferramentas de Identificação de Sistema de Tempo Contínuo (CONTSID) descrita no livro oferece uma visão geral dos desenvolvimentos e exemplos práticos nos quais o MATLAB ® pode ser utilizado na causa da identificação direta de sistemas de tempo contínuo no domínio do tempo. Este levantamento de métodos e os resultados na identificação do sistema em tempo contínuo serão uma referência valiosa para um amplo público formado por pesquisadores e estudantes de pós-graduação em processamento de sinais, bem como em sistemas e controle. Também cobre material abrangente adequado para cursos de pós-graduação especializados nessas áreas.

O Professor Hugues Garnier foi nomeado Professor Associado em 1995 na Université Henri Poincaré, Nancy 1. De setembro de 2003 a agosto de 2004, ele visitou o Centro para Sistema Dinâmico Complexo e Controle da Universidade de Newcastle, Austrália. Atualmente Hugues Garnier é professor na Université Henri Poincaré, Nancy 1, onde é o líder do Projeto de Identificação do Sistema no Centre de Recherche en Automatique de Nancy.

Ele é o co-líder do grupo de trabalho francês sobre "Identificação do sistema" do GdR MACS e é membro do Comitê Técnico TC-1.1 da IFAC. Modelagem, identificação e processamento de sinal de amp. Ele também é membro do Comitê de Programa Internacional para o Simpósio da IFAC sobre Identificação de Sistemas (SYSID'2006), a ser realizado em Newcastle, Austrália, em março de 2006.

O principal interesse de pesquisa do Professor Hugues Garnier está relacionado à análise e modelagem de sistemas dinâmicos estocásticos. Isso inclui processamento de sinal, análise e previsão de séries temporais, estimativa de parâmetros e identificação do sistema, especialmente de sistemas de tempo contínuo. O professor Hugues Garnier escreveu várias contribuições recentes sobre novas técnicas de identificação de modelos em tempo contínuo e organizou muitas sessões convidadas em congressos internacionais (ECC'1999, World IFAC Congresses 2002 e 2005, SYSID'2003, SYSID'2006) nesta área de pesquisa em na última década. Ele também está por trás do CONTSID, uma caixa de ferramentas do MATLAB ® para identificação de modelos lineares em tempo contínuo (http://www.iris.cran.uhp-nancy.fr/contsid/). O professor Hugues Garnier publicou mais de 60 artigos de pesquisa e é revisor regular da Automatica, Journal of Process Control, International Journal of Control, IEE e IEEE Journals.

Após a conclusão de seu PhD em 1989, Liuping Wang mudou-se de Sheffield para trabalhar no Departamento de Engenharia Química da Universidade de Toronto, Canadá, por oito anos na área de controle de processos. Do início de 1998 ao início de 2002, ela foi professora sênior e coordenadora de pesquisa no Centro de Dinâmica e Controle Integrado da Universidade de Newcastle, Austrália. Em fevereiro de 2002, ingressou na Escola de Engenharia Elétrica e de Computação da RMIT University, onde atualmente é Professora Associada de Engenharia de Controle e Chefe da Disciplina de Engenharia Elétrica.

O Dr. Liuping Wang publicou mais de 100 artigos nas áreas de identificação de processos, projeto de controlador PID, controle adaptativo, controle preditivo de modelo e controle robusto. Seu livro (Wang e Cluett, Publisher: Taylor and Francis, London, 2000) documentou muitas ideias inovadoras para identificação de processos e design de controlador PID. A Dra. Liuping Wang tem se empenhado ativamente em pesquisa e desenvolvimento voltados para a indústria desde a conclusão de seus estudos de doutorado. Enquanto trabalhava na Universidade de Toronto, Canadá, ela foi a co-fundadora de um Consórcio da Indústria para identificação de processos químicos. Desde sua chegada à Austrália em 1998, ela tem trabalhado com organizações governamentais australianas e empresas nas áreas de fabricação de alimentos, mineração, automotivo e serviços de energia, incluindo Food Science Australia, Uncle Ben's Australia, CSR, BHP-Billiton, Pacific Group Technologies , Holden Innovation, National Power Services. O Dr. Liuping Wang atua no conselho editorial do Journal of Control Engineering and Systems e é revisor regular da Automatica, Journal of Process Control, International Journal of Control, IEE e IEEE Journals. Nos últimos anos, o Dr. Liuping Wang escreveu vários artigos de jornal sobre novas técnicas e aplicações para identificação de sistemas de tempo contínuo e co-organizou várias sessões convidadas em conferências internacionais (IFAC World Congress 2005 e IFAC Symposium on System Identification 2006).


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Análise

Das críticas da primeira edição:

"O abrangente cálculo estocástico de dois volumes de Steven Shreve pode muito bem ser a última palavra, pelo menos por um tempo, na enxurrada de livros de nível de mestre. Uma referência detalhada e confiável para" quants "(anteriormente conhecidos como" cientistas de foguetes ") . Os livros são derivados de notas de palestras que estão disponíveis na Web há anos e que desenvolveram um grande culto de seguidores entre alunos, instrutores e profissionais. As ideias-chave apresentadas nesses trabalhos envolvem a teoria matemática de precificação de títulos com base no idéias de finanças clássicas.
. a beleza da matemática está em parte no fato de ser independente e nos permitir explorar as implicações lógicas de nossas hipóteses. O material deste volume do texto de Shreve é ​​uma exibição maravilhosa do uso da probabilidade matemática para derivar um grande conjunto de resultados de um pequeno conjunto de suposições.
Em resumo, este é um texto bem escrito que trata os principais modelos clássicos de finanças por meio de uma abordagem de probabilidade aplicada. É acessível a um amplo público e foi desenvolvido após anos de ensino do assunto. Deve servir como uma excelente introdução para quem está estudando a matemática da teoria clássica das finanças. "(SIAM, 2005)

"O conteúdo do livro foi usado com sucesso com alunos cuja formação matemática consiste em cálculo e probabilidade baseada em cálculo. O texto fornece declarações precisas de resultados, argumentos de plausibilidade e até mesmo algumas provas. Mas, mais importante, explicações intuitivas, desenvolvidas e refinar através da experiência em sala de aula com este material são fornecidos ao longo do livro. " (Finanz Betrieb, 7: 5, 2005)

"A origem deste livro de dois volumes são as conhecidas notas de aula sobre Cálculo Estocástico ... O primeiro volume contém o modelo de precificação de ativos binomial. ... O segundo volume cobre modelos de tempo contínuo ... Este livro continua a série de publicações de Steven Shreve da mais alta qualidade por um lado e acessibilidade por outro lado. É uma obrigação para quem quer entrar em finanças matemáticas e um prazer para os especialistas…. " (www.mathfinance.de, 2004)

"Este é o último de uma série de dois volumes que evolui dos cursos de matemática do autor no programa de M.Sc. Computational Finance na Carnegie Mellon University (EUA). O conteúdo deste livro é organizado de forma a fornecer ao leitor declarações precisas dos resultados , argumentos de plausibilidade, provas matemáticas e, mais importante, as explicações intuitivas dos fenômenos financeiros e econômicos. Cada capítulo termina com um resumo do assunto discutido, notas bibliográficas e um conjunto de exercícios realmente úteis. " (Neculai Curteanu, Zentralblatt MATH, Vol. 1068, 2005)

Da contracapa

O Cálculo Estocástico para Finanças evoluiu desde os primeiros dez anos do programa de Mestrado Profissional Carnegie Mellon em Finanças Computacionais. O conteúdo deste livro foi usado com sucesso por alunos cuja formação matemática consiste em cálculo e probabilidade baseada em cálculo. O texto fornece declarações precisas de resultados, argumentos de plausibilidade e até mesmo algumas provas, mas, o que é mais importante, explicações intuitivas desenvolvidas e refinadas por meio da experiência em sala de aula com este material são fornecidas. O livro inclui um tratamento independente da teoria da probabilidade necessária para o cálculo estocástico, incluindo o movimento browniano e suas propriedades. Os tópicos avançados incluem modelos de câmbio estrangeiro, medidas futuras e processos de difusão de salto.

Este livro está sendo publicado em dois volumes. Este segundo volume desenvolve cálculo estocástico, martingales, preços neutros ao risco, opções exóticas e modelos de estrutura a termo, tudo em tempo contínuo.

Alunos de nível de mestrado e pesquisadores em finanças matemáticas e engenharia financeira acharão este livro útil.

Steven E. Shreve é ​​co-fundador do Programa Carnegie Mellon MS em Finanças Computacionais e vencedor do Prêmio Carnegie Mellon Doherty por contribuições sustentadas para a educação.

Sobre o autor

Steven E. Shreve é ​​co-fundador do Programa Carnegie Mellon MS em Finanças Computacionais e vencedor do Prêmio Carnegie Mellon Doherty por contribuições sustentadas para a educação.


Teoria do contrato em modelos de tempo contínuo

Nos últimos anos, tem havido um aumento significativo de interesse em modelos de agente principal de tempo contínuo, ou teoria de contrato, e suas aplicações. Modelos de tempo contínuo fornecem uma estrutura poderosa e elegante para resolver problemas de otimização estocástica de encontrar os contratos ótimos entre duas partes, sob várias suposições sobre as informações às quais têm acesso e o efeito que têm sobre os valores de "lucro / perda" subjacentes. Esta monografia analisa resultados recentes da teoria de forma sistemática, utilizando a abordagem do chamado Princípio do Máximo Estocástico, em modelos impulsionados pelo Movimento Browniano.

Os contratos ótimos são caracterizados por meio de um sistema de Equações Diferenciais Estocásticas Forward-Backward. Em uma série de casos especiais interessantes, eles podem ser resolvidos explicitamente, permitindo a derivação de muitas conclusões econômicas qualitativas.

Jakša Cvitanić ocupou cargos na Columbia University (Estatística), University of Southern California (Matemática e Economia) e, atualmente, na Caltech (Ciências Sociais). Ele atuou em conselhos editoriais de periódicos nas áreas de Matemática Financeira, Probabilidade Aplicada e Otimização, bem como no Conselho da Bachelier Finance Society. Jianfeng Zhang é atualmente professor associado da University of Southern California (Departamento de Matemática).

“O livro em análise fornece um tratamento completo do problema do agente principal que cobre todos os casos tratados na literatura econômica…. É o primeiro de seu tipo, pois fornece uma estrutura matemática totalmente desenvolvida que aborda o problema do agente principal, com provas e explicações completas de todas as ferramentas matemáticas nele utilizadas. … A introdução deste livro é acessível ao público em geral. ” (Olympia Hadjiliadis, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 52 (3), julho de 2015)

“O presente livro apresenta uma bela exposição da teoria do princípio do máximo estocástico, começando com BSDEs, e de suas aplicações à teoria de contrato. … Eu o recomendo para qualquer pessoa que trabalhe ou ensine os aspectos matemáticos da teoria do contrato e / ou controle estocástico. ” (Etienne Pardoux, SIAM Review, Vol. 57 (2), junho de 2015)

“Este livro considera a teoria do contrato em tempo contínuo. … Este livro é um bom livro de referência para pesquisadores e estudantes de pós-graduação em teoria econômica, finanças e economia matemática. A teoria do contrato de tempo contínuo é particularmente útil em finanças. Este livro fornece uma estrutura metodológica básica, que pode ser usada para desenvolver mais avanços, tanto em aplicações quanto na teoria. ” (Susheng Wang, Mathematical Reviews, agosto de 2013)


Conteúdo

Edição Antiga

A análise matemática desenvolvida formalmente no século 17 durante a Revolução Científica, [3] mas muitas de suas idéias podem ser rastreadas até os primeiros matemáticos. Os primeiros resultados da análise estavam implicitamente presentes nos primeiros dias da matemática grega antiga. Por exemplo, uma soma geométrica infinita está implícita no paradoxo da dicotomia de Zenão. [4] Mais tarde, matemáticos gregos como Eudoxus e Arquimedes tornaram mais explícito, mas informal, o uso dos conceitos de limites e convergência quando usaram o método da exaustão para calcular a área e o volume de regiões e sólidos. [5] O uso explícito de infinitesimais aparece em Arquimedes ' O Método dos Teoremas Mecânicos, uma obra redescoberta no século XX. [6] Na Ásia, o matemático chinês Liu Hui usou o método da exaustão no século 3 DC para encontrar a área de um círculo. [7] Pela literatura jainista, parece que os hindus possuíam as fórmulas para a soma da aritmética e da geometria já no século 4 a.C. [8] Ācārya Bhadrabāhu usa a soma de uma soma de uma série geométrica em seu Kalpasūtra em 433 a.C. [9] Na matemática indiana, ocorreram casos particulares da aritmética e ocorreram implicitamente na literatura védica já em 2000 a.C.

Edição Medieval

Zu Chongzhi estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera no século 5. [10] O matemático indiano Bhāskara II deu exemplos da derivada e usou o que agora é conhecido como teorema de Rolle no século XII. [11]

No século 14, Madhava de Sangamagrama desenvolveu expansões em séries infinitas, como a série de potências e a série de Taylor, de funções como seno, cosseno, tangente e arco-tangente. [12] Ao lado de seu desenvolvimento da série de Taylor das funções trigonométricas, ele também estimou a magnitude dos termos de erro criados pelo truncamento dessas séries e deu uma aproximação racional de uma série infinita. Seus seguidores na Escola de Astronomia e Matemática de Kerala expandiram ainda mais suas obras, até o século XVI.

Edição Moderna

Edição de fundações

Os fundamentos modernos da análise matemática foram estabelecidos na Europa do século 17. [3] Isso começou quando Descartes e Fermat desenvolveram independentemente a geometria analítica, que é o precursor do cálculo moderno. O método de adequação de Fermat permitiu-lhe determinar os máximos e mínimos das funções e as tangentes das curvas. [13] A publicação de Descartes de La Géométrie em 1637, que introduziu o sistema de coordenadas cartesianas, é considerada o estabelecimento da análise matemática. Algumas décadas mais tarde, Newton e Leibniz desenvolveram independentemente o cálculo infinitesimal, que cresceu, com o estímulo do trabalho aplicado que continuou ao longo do século 18, em tópicos de análise como o cálculo das variações, equações diferenciais ordinárias e parciais, análise de Fourier , e funções geradoras. Durante este período, técnicas de cálculo foram aplicadas para aproximar problemas discretos por problemas contínuos.

Edição de modernização

No século 18, Euler introduziu a noção de função matemática. [14] A análise real começou a emergir como um assunto independente quando Bernard Bolzano introduziu a definição moderna de continuidade em 1816, [15] mas o trabalho de Bolzano não se tornou amplamente conhecido até a década de 1870. Em 1821, Cauchy começou a colocar o cálculo em uma base lógica sólida, rejeitando o princípio da generalidade da álgebra amplamente usado em trabalhos anteriores, particularmente por Euler. Em vez disso, Cauchy formulou o cálculo em termos de idéias geométricas e infinitesimais. Assim, sua definição de continuidade exigia uma mudança infinitesimal em x para corresponder a uma mudança infinitesimal em y. Ele também introduziu o conceito da sequência de Cauchy e deu início à teoria formal da análise complexa. Poisson, Liouville, Fourier e outros estudaram equações diferenciais parciais e análise harmônica. As contribuições desses matemáticos e de outros, como Weierstrass, desenvolveram a (ε, δ) -definição de abordagem de limite, fundando assim o campo moderno da análise matemática.

Em meados do século 19, Riemann introduziu sua teoria da integração. O último terço do século viu a aritmetização da análise por Weierstrass, que pensava que o raciocínio geométrico era inerentemente enganoso, e introduziu a definição de limite "épsilon-delta". Então, os matemáticos começaram a se preocupar com o fato de estarem presumindo a existência de um continuum de números reais sem provas. Dedekind então construiu os números reais por cortes de Dedekind, nos quais os números irracionais são formalmente definidos, que servem para preencher as "lacunas" entre os números racionais, criando assim um conjunto completo: o continuum dos números reais, que já havia sido desenvolvido por Simon Stevin em termos de expansões decimais. Por volta dessa época, as tentativas de refinar os teoremas da integração de Riemann levaram ao estudo do "tamanho" do conjunto de descontinuidades de funções reais.

Além disso, "monstros" (em nenhum lugar funções contínuas, funções contínuas mas em nenhum lugar diferenciáveis, curvas de preenchimento de espaço) começaram a ser investigados. Nesse contexto, Jordan desenvolveu sua teoria da medida, Cantor desenvolveu o que agora é chamado de teoria dos conjuntos ingênua e Baire provou o teorema da categoria de Baire. No início do século 20, o cálculo foi formalizado usando uma teoria de conjuntos axiomática. Lebesgue resolveu o problema da medida, e Hilbert introduziu os espaços de Hilbert para resolver equações integrais. A ideia de espaço vetorial normatizado estava no ar e, na década de 1920, Banach criou a análise funcional.

Espaço métrico Editar

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde uma noção de distância (chamada de métrica) entre os elementos do conjunto é definida.

Muitas análises acontecem em algum espaço métrico, os mais comumente usados ​​são a linha real, o plano complexo, o espaço euclidiano, outros espaços vetoriais e os inteiros. Exemplos de análise sem uma métrica incluem a teoria da medida (que descreve o tamanho em vez da distância) e a análise funcional (que estuda os espaços vetoriais topológicos que não precisam ter nenhum senso de distância).

Editar sequências e limites

UMA seqüência é uma lista ordenada. Como um conjunto, ele contém membros (também chamados de elementos, ou termos) Ao contrário de um conjunto, a ordem é importante e exatamente os mesmos elementos podem aparecer várias vezes em diferentes posições na sequência. Mais precisamente, uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado, como os números naturais.

Uma das propriedades mais importantes de uma sequência é convergência. Informalmente, uma sequência converge se tiver um limite. Continuando informalmente, uma sequência (infinita simples) tem um limite se se aproxima de algum ponto x, chamado de limite, como n torna-se muito grande. Ou seja, para uma sequência abstrata (uman) (com n correndo de 1 ao infinito compreendido) a distância entre uman e x aproxima-se de 0 como n → ∞, denotado

Análise real Editar

Análise real (tradicionalmente, o teoria das funções de uma variável real) é um ramo da análise matemática que lida com os números reais e funções com valor real de uma variável real. [16] [17] Em particular, ele lida com as propriedades analíticas de funções e sequências reais, incluindo convergência e limites de sequências de números reais, o cálculo dos números reais e continuidade, suavidade e propriedades relacionadas de funções de valor real .

Análise complexa Editar

Análise complexa, tradicionalmente conhecido como o teoria das funções de uma variável complexa, é o ramo da análise matemática que investiga funções de números complexos. [18] É útil em muitos ramos da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, matemática aplicada, bem como na física, incluindo hidrodinâmica, termodinâmica, engenharia mecânica, engenharia elétrica e, particularmente, teoria quântica de campos.

A análise complexa está particularmente preocupada com as funções analíticas de variáveis ​​complexas (ou, mais geralmente, funções meromórficas). Como as partes reais e imaginárias separadas de qualquer função analítica devem satisfazer a equação de Laplace, a análise complexa é amplamente aplicável a problemas bidimensionais em física.

Análise funcional Editar

Análise funcional é um ramo da análise matemática, cujo núcleo é formado pelo estudo de espaços vetoriais dotados de algum tipo de estrutura relacionada ao limite (por exemplo, produto interno, norma, topologia, etc.) e os operadores lineares agindo sobre esses espaços e respeitando essas estruturas em um sentido adequado. [19] [20] As raízes históricas da análise funcional residem no estudo de espaços de funções e na formulação de propriedades de transformações de funções como a transformada de Fourier como transformações que definem operadores contínuos, unitários etc. entre espaços de funções. Este ponto de vista revelou-se particularmente útil para o estudo de equações diferenciais e integrais.

Editar equações diferenciais

UMA equação diferencial é uma equação matemática para uma função desconhecida de uma ou várias variáveis ​​que relaciona os valores da própria função e suas derivadas de várias ordens. [21] [22] [23] As equações diferenciais desempenham um papel proeminente na engenharia, física, economia, biologia e outras disciplinas.

As equações diferenciais surgem em muitas áreas da ciência e tecnologia, especificamente sempre que uma relação determinística envolvendo algumas quantidades continuamente variáveis ​​(modeladas por funções) e suas taxas de mudança no espaço ou no tempo (expressas como derivadas) é conhecida ou postulada. Isso é ilustrado na mecânica clássica, onde o movimento de um corpo é descrito por sua posição e velocidade conforme o valor do tempo varia. As leis de Newton permitem (dada a posição, velocidade, aceleração e várias forças atuando no corpo) expressar essas variáveis ​​dinamicamente como uma equação diferencial para a posição desconhecida do corpo em função do tempo. Em alguns casos, essa equação diferencial (chamada de equação de movimento) pode ser resolvida explicitamente.

Teoria de medição Editar

UMA medir em um conjunto é uma maneira sistemática de atribuir um número a cada subconjunto adequado desse conjunto, interpretado intuitivamente como seu tamanho. [24] Nesse sentido, uma medida é uma generalização dos conceitos de comprimento, área e volume. Um exemplo particularmente importante é a medida de Lebesgue em um espaço euclidiano, que atribui o comprimento, a área e o volume convencionais da geometria euclidiana a subconjuntos adequados do espaço euclidiano n < displaystyle n> dimensional R n < displaystyle mathbb ^>. Por exemplo, a medida de Lebesgue do intervalo [0, 1] < displaystyle left [0,1 right]> nos números reais é seu comprimento no sentido cotidiano da palavra - especificamente, 1.

Tecnicamente, uma medida é uma função que atribui um número real não negativo ou + ∞ a (certos) subconjuntos de um conjunto X < displaystyle X>. Deve atribuir 0 ao conjunto vazio e ser (contável) aditivo: a medida de um subconjunto 'grande' que pode ser decomposto em um número finito (ou contável) de subconjuntos 'menores' disjuntos, é a soma das medidas do subconjuntos "menores". Em geral, se alguém deseja associar um consistente tamanho para cada subconjunto de um determinado conjunto enquanto satisfaz os outros axiomas de uma medida, só encontramos exemplos triviais como a medida de contagem. Este problema foi resolvido definindo medida apenas em uma sub-coleção de todos os subconjuntos, os chamados mensurável subconjuntos, que são necessários para formar um σ < displaystyle sigma> -algebra. Isso significa que uniões contáveis, interseções contáveis ​​e complementos de subconjuntos mensuráveis ​​são mensuráveis. Conjuntos não mensuráveis ​​em um espaço euclidiano, no qual a medida de Lebesgue não pode ser definida de forma consistente, são necessariamente complicados no sentido de serem mal confundidos com seu complemento. Na verdade, sua existência é uma consequência não trivial do axioma da escolha.

Análise numérica Editar

Análise numérica é o estudo de algoritmos que usam aproximação numérica (em oposição a manipulações simbólicas gerais) para os problemas de análise matemática (em oposição à matemática discreta). [25]

A análise numérica moderna não busca respostas exatas, porque respostas exatas muitas vezes são impossíveis de obter na prática. Em vez disso, grande parte da análise numérica se preocupa com a obtenção de soluções aproximadas, enquanto mantém limites razoáveis ​​para os erros.

A análise numérica encontra naturalmente aplicações em todos os campos da engenharia e das ciências físicas, mas no século 21, as ciências da vida e até mesmo as artes adotaram elementos de computação científica. As equações diferenciais ordinárias aparecem na mecânica celeste (planetas, estrelas e galáxias), a álgebra linear numérica é importante para a análise de dados, as equações diferenciais estocásticas e as cadeias de Markov são essenciais na simulação de células vivas para a medicina e a biologia.

Edição de análise vetorial

Edição de análise de tensor

    lida com funções extremas, em oposição ao cálculo comum que lida com funções. trata da representação de funções ou sinais como a superposição de ondas básicas. envolve o uso de métodos geométricos no estudo de equações diferenciais parciais e a aplicação da teoria das equações diferenciais parciais à geometria. , o estudo das funções avaliadas por Clifford que são aniquiladas por Dirac ou operadores semelhantes a Dirac, denominados em geral como funções analíticas monogênicas ou de Clifford. , o estudo da análise no contexto de pNúmeros -adic, que diferem de algumas maneiras interessantes e surpreendentes de suas contrapartes reais e complexas. , que investiga os números hiperreais e suas funções e dá um tratamento rigoroso de infinitesimais e números infinitamente grandes. , o estudo de quais partes da análise podem ser realizadas de maneira computável. - noções analíticas desenvolvidas para processos estocásticos. - aplica ideias de análise e topologia para funções com valor definido. , o estudo de conjuntos e funções convexas. - análise no contexto de uma semiragem idempotente, onde a falta de um inverso aditivo é compensada de alguma forma pela regra idempotente A + A = A.
      - análise da semiragem idempotente chamada de semiragem tropical (ou álgebra max-plus / min-plus álgebra).

    Técnicas de análise também são encontradas em outras áreas, como:

    Ciências Físicas Editar

    A grande maioria da mecânica clássica, relatividade e mecânica quântica é baseada na análise aplicada e em equações diferenciais em particular. Exemplos de equações diferenciais importantes incluem a segunda lei de Newton, a equação de Schrödinger e as equações de campo de Einstein.

    Edição de processamento de sinal

    Ao processar sinais, como áudio, ondas de rádio, ondas de luz, ondas sísmicas e até imagens, a análise de Fourier pode isolar componentes individuais de uma forma de onda composta, concentrando-os para facilitar a detecção ou remoção. Uma grande família de técnicas de processamento de sinal consiste na transformação de Fourier de um sinal, na manipulação dos dados transformados em Fourier de uma forma simples e na reversão da transformação. [26]

    Outras áreas da matemática Editar

    Técnicas de análise são usadas em muitas áreas da matemática, incluindo:


    7: Modelos de Tempo Contínuo II - Análise - Matemática

    Este curso prepara os alunos para um estudo rigoroso de Equações Diferenciais Estocásticas, como feito no Math236. Para esse objetivo, cobrimos - em um ritmo muito rápido - elementos do material da sequência Stat310 / Math230 (nível de doutorado), enfatizando as aplicações a processos estocásticos, em vez de detalhar provas de teoremas. Um componente crítico do Math136 / Stat219 é o uso da teoria da medida.

    A sequência Stat217-218 é uma extensão da probabilidade de graduação (por exemplo, Stat116), que cobre muitas das mesmas ideias e conceitos do Math136 / Stat219, mas de uma perspectiva diferente (especificamente, sem a teoria da medida). Assim, é possível, e de fato recomendado, levar tanto Stat217-218 quanto Math136 / Stat219 para crédito. No entanto, esteja ciente de que Stat217-218 não pode substituir Math136 / Stat219 como preparação para um estudo de Equações Diferenciais Estocásticas (ou seja, para Math236).

    Os tópicos principais do Math136 / Stat219 incluem: introdução aos espaços mensuráveis, Lp e Hilbert, variáveis ​​aleatórias, expectativa, expectativa condicional, integrabilidade uniforme, modos de convergência, estacionariedade e continuidade do caminho de amostra de processos estocásticos, exemplos como cadeias de Markov, Ramificação, Gaussiana and Poisson Processes, Martingales and basic properties of Brownian motion.

    Prerequisites: Students should be comfortable with probability at the level of Stat116/Math151 (summary of material) and with real analysis at the level of Math115. Past exposure to stochastic processes is highly recommended.

    Text: Download the course lecture notes and read each section of the notes prior to corresponding lecture (see schedule). When doing so, you may skip items excluded from the material for exams (see below) or marked as ``omit at first reading'' and all ``proofs''. Alternatively, view prior to each lecture the relevant pre-recorded annotated reading from the notes, or go over the slides for each lecture (as posted on Canvas). Kevin Ross short notes on continuity of processes, the martingale property, and Markov processes may help you in mastering these topics.

    • Rosenthal, A first look at rigorous probability theory (accessible yet rigorous, with complete proofs, but restricted to discrete time stochastic processes).
    • Grimmett and Stirzaker, Probability and Random Processes (with most of our material, in a friendly proof oriented style).
    • Shreve, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous time models, Ch. 1,2,3,A,B (covering same material as the course, but more closely oriented towards stochastic calculus).
    • Karlin and Taylor, A first course in Stochastic Processes, Ch. 6,7,8 (gives many examples and applications of Martingales, Brownian Motion and Branching Processes).
    • Lawler, Stochastic Processes (more modern examples and applications than in Karlin and Taylor).

    Meeting: Tu/Th 8:30-9:50pm ( except: Tu 3/16 5:30-7:00pm ). Synchronous recorded discussions, with breakout, anonymous polling and a TA monitored chat-line, serving also as instructor's (public) office hours.

    Instructor: Amir Dembo. For questions on material, use our Piazza page, or TA office hours, or e-mail adembo at stanford.edu (with MATH136/STAT219 as subject), for setting a (confidential) private office-hours meeting.

    CA1 (HW1/HW3/HW5/HW7/HW9 chat Tue meetings): Sky Cao, office hours Mo 12:00-1:30pm, Tu 12:00-1:30pm (to 3/17) or e-mail skycao at stanford.edu (with MATH136/STAT219 as your email subject).

    CA2 (HW2/HW4/HW6/HW8/HW9 chat Thu meetings): Youngtak Sohn, office hours Fr 5:30-7:00pm, Mo 5:30-7:00pm, (to 3/16) or e-mail youngtak at stanford.edu (with MATH136/STAT219 as your email subject).

    Grading : Judgement based on two Midterm exam marks (36% each) and on consistent Homework (22%) and Participation (6%) efforts (see Panopto recorded introduction on Canvas). At least 60% required for CR grade.

    Midterm 1: Open books, timed 1.5h exam, taken via Gradescope within a 16h frame starting 6:00am PST on Th 2/18 (upload frame ends 10:00pm PST, Th 2/18).

    Material: Sections 1.1-3.3 and 5.1 of lecture notes, except: all of Section 2.2 from Section 2.4: up to 2.4.3 from Section 3.1: the cylindrical sigma-field from Section 3.3: Fubini's theorem (practice exam+solution posted on Canvas).

    Midterm 2: Open books, timed 1.5h exam, taken via Gradescope within a 16 frame starting 6:00am PST on Th 3/18 (upload frame ends 10:00pm PST, Th 3/18).

    Material: Everything in lecture notes, except: all of Section 2.2 from Section 2.4: up to 2.4.3 Section 4.1.2 all of Sections 6.2-6.3 everything marked as ``omit at first reading'' and all ``proofs'' unless done during lectures (over 90% of exam shall be from Sections 4.1--6.2). Practice Exam Posted (Canvas), solutions provided 3/16 (via Gradescope).

    Study tools: List of key items, Exercises 4.3.20, 4.4.6, 4.5.4, 4.6.7, 5.1.8, 5.2.6, 5.3.9 and 6.1.19 are from previous Midterm2 exams.

    Homework of 2021: Problems from the text as listed on HW1--HW9 ( Posted! ), are to be submitted through Gradescope each Tuesday at 6:30pm (no grading of late submissions). Collaboration allowed in solving the problems, but you are to provide your own independently written solution. Your assignment will typically be graded and returned on Gradescope the following week. Solutions are posted (on the course Canvas page), within 48h of due date.


    Mathematical Modeling and Covid-19 Forecast in Texas, USA: a prediction model analysis and the probability of disease outbreak

    Response to the unprecedented COVID-19 outbreak needs to be augmented in Texas, USA, where the first 5 cases were reported on March 6, 2020, were rapidly followed by an exponential rise within the next few weeks. This study aimed to determine the ongoing trend and upcoming infection status of COVID-19 in county levels of Texas.

    Data were extracted from the following sources: published literature, surveillance, unpublished reports, and websites of Texas Department of State Health Services (DSHS), Natality report of Texas and WHO Coronavirus Disease (COVID-19) Dashboard. Four-compartment Susceptible-Exposed-Infectious-Removal (SEIR) mathematical model was used to estimate the current trend and future prediction of basic reproduction number and infection case in Texas. Since the basic reproduction number is not sufficient to predict the outbreak, we applied the Continuous-Time Markov Chain (CTMC) model to calculate the probability of the COVID-19 outbreak.

    The estimated mean basic reproduction number of COVID-19 in Texas is predicted 2.65 by January 31, 2021. Our model indicated that the third wave might occur at the beginning of May of 2021, which will peak at the end of June 2021. This prediction may come true if the current spreading situation/level persists, i.e., no clinically effective vaccine is available,or this vaccination program fails for some reason in this area.

    Our analysis indicates an alarming ongoing and upcoming infection rate of COVID-19 at county levels of Texas, thereby emphasizing promoting more coordinated and disciplined actions by both policymakers and the population to contain its devastating impact.


    PUBLICATIONS

    Given a multi-dimensional Ito process whose drift and diffusion terms are adapted processes, we construct a weak solution to a stochastic differential equation that matches the distribution of the Ito process at each fixed time. Moreover, we show how to match the distributions at each fixed time of functionals of the Ito process, including the running maximum and running average of one of the components of the process. A consequence of this result is that a wide variety of exotic derivative securities have the same prices when the underlying asset price is modelled by the original Ito process or the mimicking process that solves the stochastic differential equation.

    Utility Maximization Trading Two Futures with Transaction Costs

    An agent invests in two types of futures contracts, whose prices are possibly correlated arithmetic Brownian motions, and invests in a money market account with a constant interest rate. The agent pays a transaction cost for trading in futures proportional to the size of the trade. She also receives utility from consumption. The agent maximizes expected infinite-horizon discounted utility from consumption. We determine the first two terms in the asymptotic expansion of the value function in the transaction cost parameter around the known value function for the case of zero transaction cost. The method of solution when the futures are uncorrelated follows a method used previously to obtain the analogous result for one risky asset. However, when the futures are correlated, a new methodology must be developed. It is suspected in this case that the value function is not twice continuously differentiable, and this prevents application of the former methodology.

    Optimal Execution of a General One-Sided Limit-Order Book

    We construct an optimal execution strategy for the purchase of a large number of shares of a financial asset over a fixed interval of time. Purchases of the asset have a nonlinear impact on price, and this is moderated over time by resilience in the limit-order book that determines the price. The limit-order book is permitted to have arbitrary shape. The form of the optimal execution strategy is to make an initial lump purchase and then purchase continuously for some period of time during which the rate of purchase is set to match the order book resiliency. At the end of this period, another lump purchase is made, and following that there is again a period of purchasing continuously at a rate set to match the order book resiliency. At the end of this second period, there is a final lump purchase. Any of the lump purchases could be of size zero. A simple condition is provided that guarantees that the intermediate lump purchase is of size zero.

    Heavy Traffic Analysis for EDF Queues with Reneging

    Abstrato:
    This paper presents a heavy-traffic analysis of the behavior of a single-server queue under an Earliest-Deadline-First (EDF) scheduling policy, in which customers have deadlines and are served only until their deadlines elapse. The performance of the system is measured by the fraction of reneged work (the residual work lost due to elapsed deadlines), which is shown to be minimized by the EDF policy. The evolution of the lead time distribution of customers in queue is described by a measure-valued process. The heavy traffic limit of this (properly scaled) process is shown to be a deterministic function of the limit of the scaled workload process, which, in turn, is identified to be a doubly reflected Brownian motion. This paper complements previous work by Doytchinov, Lehoczky and Shreve on the EDF discipline, in which customers are served to completion even after their deadlines elapse. The fraction of reneged work in a heavily loaded system and the fraction of late work in the corresponding system without reneging are compared using explicit formulas based on the heavy traffic approximations, which are validated by simulation results.

    Futures Trading with Transaction Costs

    Abstrato:
    A model for optimal consumption and investment is posed whose solution is provided by the classical Merton analysis when there is zero transaction cost. A probabilistic argument is developed to identify the loss in value when a proportional transaction cost is introduced. There are two sources of this loss. The first is a loss due to "displacement'' that arises because one cannot maintain the optimal portfolio of the zero-transaction-cost problem. The second loss is due to "transaction,'' a loss in capital that occurs when one adjusts the portfolio. The first of these increases with increasing tolerance for departure from the optimal portfolio in the zero-transaction-cost problem, while the second decreases with increases in this tolerance. This paper balances the marginal costs of these two effects. The probabilistic analysis provided here complements earlier work on a related model that proceeded from a viscosity solution analysis of the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

    Double Skorokhod map and reneging real-time queues

    Abstrato:
    An explicit formula for the Skorokhod map $Gamma_<0,a>$ on $[0,a]$ for $a>0$ is provided and related to similar formulas in the literature. Specifically, it is shown that on the space $D[0,infty)$ of right-continuous functions with left limits taking values in $mathbb$, $ Gamma_<0,a>(psi)(t) = psi (t) -left[ig(psi(0)-aig)^+ wedgeinf_psi(u) ight] vee sup_ left[ (psi(s) - a) wedge inf_ psi(u) ight] $ is the unique function taking values in $[0,a]$ that is obtained from $psi$ by minimal ``pushing'' at the endpoints $ and $a$. An application of this result to real-time queues with reneging is outlined.

    An Explicit Formula for the Skorohod Map on [0,a]

    Abstrato:
    The Skorokhod map is a convenient tool for constructing solutions to stochastic differential equations with reflecting boundary conditions. In this work, an explicit formula for the Skorokhod map $Gamma_<0,a>$ on $[0,a]$ for any $a>0$ is derived. Specifically, it is shown that on the space $D[0,infty)$ of right-continuous functions with left limits taking values in R, $Gamma_ <0,a>= Lambda_a circ Gamma_0$, where $Lambda_a$ mapping $D[0,infty)$ into itself is defined by $ Lambda_a(phi)(t) =phi(t)-sup_[(phi(s)-a)^+ wedge inf_phi(u)] $ and $Gamma_0$ mapping $D[0,infty)$ into itself is the Skorokhod map on $[0,infty)$. In addition, properties of $Lambda_a$ are developed and comparison properties of $Gamma_<0,a>$ are established.

    A Two-Person Game for Pricing Convertible Bonds

    Abstrato:
    A firm issues a convertible bond. At each subsequent time, the bondholder must decide whether to continue to hold the bond, thereby collecting coupons, or to convert it to stock. The bondholder wishes to choose a conversion strategy to maximize the bond value. Subject to some restrictions, the bond can be called by the issuing firm, which presumably acts to maximize the equity value of the firm by minimizing the bond value. This creates a two-person game. We show that if the coupon rate is below the interest rate times the call price, then conversion should precede call. On the other hand, if the dividend rate times the call price is below the coupon rate, call should precede conversion. In either case, the game reduces to a problem of optimal stopping.

    Satisfying Convex Risk Limits by Trading

    Abstrato:
    A random variable, representing the final position of a trading strategy, is deemed acceptable if under each of a variety of probability measures its expectation dominates a floor associated with the measure. The set of random variables representing pre-final positions from which it is possible to trade to final acceptability is characterized. In particular, the set of initial capitals from which one can trade to final acceptability is shown to be a closed half-line . Methods for computing a are provided, and the application of these ideas to derivative security pricing is developed.

    Perpetual Convertible Bonds

    Abstrato:
    A firm issues a convertible bond. At each subsequent time, the bondholder must decide whether to continue to hold the bond, thereby collecting coupons, or to convert it to stock. The firm may at any time call the bond. Because calls and conversions usually occur far from maturity, we model this situation with a perpetual convertible bond, i.e, a convertible coupon-paying bond without maturity. This model admits a relatively simple solution, under which the value of the perpetual convertible bond, as a function of the value of the underlying firm, is determined by a nonlinear ordinary differential equation.

    Accuracy of State Space Collapse for Earliest-Deadline-First Queues

    Abstrato:
    This paper presents a second-order heavy traffic analysis of a single server queue that processes customers having deadlines using the earliest-deadline-first scheduling policy. For such systems, referred to as , performance is measured by the fraction of customers who meet their deadline, rather than more traditional performance measures such as customer delay, queue length, or server utilization. To model such systems, one must keep track of customer lead times (the time remaining until a customer deadline elapses) or equivalent information. This paper reviews the earlier heavy traffic analysis of such systems that provided approximations to the system's behavior. The main result of this paper is the development of a second-order analysis that gives the accuracy of the approximations and the rate of convergence of the sequence of real-time queueing systems to its heavy traffic limit.


    Data Science Courses, Descriptions & Syllabi

    DATA:4880 DATA SCIENCE CREATIVE COMPONENT (1 s.h.)
    Independent project under a faculty advisor’s supervision emphasizes the communication of ideas learned in the student’s data science course work or internship. Pre-requisites: none Co-requisites: none
    Requirements: none Recommendations: none Special Grading: Offered on S-U basis only for all students.
    Programa de Estudos

    DATA:4890 DATA SCIENCE PRACTICUM (2 s.h.)
    An on- or off-campus internship or a group-based consulting project that gives experience in a real-world setting and introduces ethical and confidentiality issues related to data collection, storage, and sharing. Pre-requisites: none Co-requisites: none Requirements: none Recommendations: none Special Grading: Offered on S-U basis only for all students.
    Programa de Estudos


    7: Continuous-Time Models II - Analysis - Mathematics

    SRI International
    Carmen Araoz, REL Appalachia
    Education Development Center
    Pamela Buffington, REL Appalachia
    Jill Neumayer-DePiper, REL Appalachia
    Plus Alpha Research & Consulting, LLC
    Ryoko Yamaguchi, REL Appalachia

    As research uncovers effective approaches to teaching mathematics, how can professional development efforts support teachers in bringing this research into their classrooms? This is a key question for teachers and leaders in the five Virginia divisions that make up the REL Appalachia (REL AP) Student Success in Mathematics partnership (SSMP). The SSMP is focused on supporting Virginia teachers in using evidence-based mathematics instruction in their classrooms, with goal of increasing students' readiness for algebra I and opening doors for future high school, postsecondary, and workforce success. 1 2 To support this goal, the partnership launched the Professional Learning Models (PLMs) for Success in Mathematics project to assist the SSMP divisions in designing and carrying out evidenced-based professional development to improve mathematics teaching and learning.

    Effective Professional Learning Models

    A PLM is a set of teacher professional development activities designed to support teachers' learning of effective teaching practices. Teacher professional development activities with specific characteristics, including use of models and modeling of practices, collaboration in job-embedded contexts, and opportunities for feedback and reflection, have been shown to have positive associations with student achievement. 3 In addition to providing effective supports for teacher learning, an effective PLM for mathematics focuses on evidence-based teaching practices, such as facilitating meaningful mathematical discourse and implementing tasks that promote reasoning. 4

    Effective PLMs situate professional development in local contexts, attend to teacher knowledge and beliefs, and keep a focus on student learning goals. 5 Developing a PLM entails committing to a vision and standards, analyzing student learning and other data, setting goals, planning, implementing, and evaluating results. 6

    As facilitators plan for and teachers engage in professional learning opportunities, it is important to go through cycles of data collection and analysis. To this end, we are engaging a Plan Do Study Act cycle. The SSMP adopted this cycle as a key part of the conceptual framework for the PLM project (Figure 1). 7 The cycle begins with planning for and implementing the professional development—the Plan and Do steps—followed by collecting and analyzing data, which is the Study step. The final Act step involves reflecting on the data and making revisions in order to refine the PLMs by applying lessons learned.

    Figure 1. Conceptual framework of the PLMs for the SSM project.

    During the first phase of the PLM project, REL AP staff worked with SSMP core members to identify critical issues affecting PLMs in their local division contexts. SSMP core members met with leading experts in mathematics professional learning who provided insights into instructional coaching in mathematics and on equity issues in mathematics education. On coaching, one SSMP member shared that the experts' insights were &ldquoextremely helpful to understand better how coaches can provide teachers opportunities for them to learn and develop more ambitious teaching practices.&rdquo Phase II of the PLM project is currently in progress. It is focused on planning and implementing the PLMs.

    Resources on effective PLMs

      . The recommendations in this WWC practice guide are based on expert panel evaluation of the evidence base for each recommendation. It is geared towards teachers, math coaches, and other educators. . This report provides a review of the research base on the impact of teacher professional development on student achievement. This resource by REL Southeast provides information for school and district leaders, math coaches, and other education leaders interested in improving instruction by starting or supporting Professional Learning Communities. . This guide by REL Southwest is designed to support educators in applying the evidence-based strategies in the Teaching Academic Content and Literacy to English Learners in Elementary and Middle School educator's practice guide. . This report provides a review of 35 research studies to identify key features of effective teacher professional development. . This excerpt from the National Council of Teachers of Mathematics' Principles to Action, offers an executive summary of the six guiding principles identified as essential features of high-quality mathematics instruction.

    1 National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel. U.S. Department of Education: Washington, DC 20008. Retrieved from: https://www2.ed.gov/about/bdscomm/list/mathpanel/report/final-report.pdf.

    2 Tierney, W. G., Bailey, T., Constantine, J., Finkelstein, N., & Hurd, N. F. (2009). Helping students navigate the path to college: What high schools can do (NCEE No. 2009-4066). National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from: https://eric.ed.gov/?id=ED506465.

    3 Darling-Hammond, L., Hyler, M. E., & Gardner, M. (2017). Effective Teacher Professional Development. Palo Alto, CA: Learning Policy Institute.

    4 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2014). Principles to Action: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, VA: NCTM.


    Assista o vídeo: Aula de apresentação Introdução à Análise Matemática (Outubro 2021).