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63: Expressões radicais com vários termos


63: Expressões radicais com vários termos

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Matemática

4.8.1 - Teste: Expressões e Equações Radicais Teste de Unidade Parte 1 Álgebra Honors 1 B (CL) 7.20 / 4. Expressões Radicais e Análise de Dados / 4.8. Expressões radicais e estudos de teste de unidade de análise de dados Connexus! Acabou de passar

Álgebra

Estou certo? 1. Simplifique a expressão radical sqrt 50 5 sqrt ^ 2 *** 2 sqrt ^ 5 5 sqrt ^ 10 5 2. Simplifique a expressão radical sqrt 56x ^ 2 28x 2x sqrt 14 *** 2x sqrt 7 sqrt 14x2 3. Simplifique o radical expressão. sqrt 490y ^ 5w ^ 6 2 sqrt

Alg 1

Simplificando Radicais Um jardineiro está cortando uma pastagem retangular de 20 por 40 jardas usando um padrão diagonal. Ele corta de um canto do pasto até o canto diagonalmente oposto. Qual é a duração desta passagem com o cortador?

Álgebra

1. simplifique a expressão radical. √45 5√3 3√5 3√15 ** 15 2. Simplifique a expressão radical √180x ^ 2 90x ** 6x√5 5x√6 6√5x ^ 2 3. simplifique a expressão radical √250h ^ 4 k ^ 5 hk√125 5√10h ^ 4 k ^ 5 5h ^ 2 k ^ 2√10k **

Álgebra

resolva a equação ou fórmula para a variável indicada R = ts ^ 2 + 3 a) s = sob o radical R-3 / t (não sob o radical b) s = tudo sob o radical R-3 / tc) s = R (sob o radical ) -3 / td) s = tudo sob radical R / t-3 Obrigado novamente, eu sinto

Álgebra

1- Simplifique a expressão radical: √250h ^ 4k ^ 5 a) hk√125 b) 5√10h ^ 4k ^ 5 c) 5h ^ 2k ^ 2√10k d) 25hk√10k ** 2- Simplifique a expressão radical: √21y * 5√49y a) 5y√1,029 b) 5√1,029y ^ 2 c) 35y√21 d) 35√21y ^ 2 ** 3-

Simplifique cada expressão radical. Deixe em forma radical. Mostre seu trabalho. 6.sqrt 75 + sqrt 3 7. sqrt7 (sqrt 14 + sqrt3), por favor.

I & # 039s que envolvem matemática

1) Qual é o produto de 5+ Radical (-36) e 1-Radical (-49) expresso na forma a + bi mais simples? 2) Expresse Radical (-27) + i ^ 22 + 3-Radical (-25) +5 Radical (-3) na forma a + bi mais simples.

Álgebra

1.Simplifique a expressão do radical. √5 + 6√√5 A.5√5 B.7√10 C.7√5 D.5√10 2.Simplifique a expressão do radical. 2√6 + 3√96 A.14√6 B.14√96 C.5√96 D.50√6 3.Simplifique a expressão do radical. (8 + √11) (8-√11) A.53

a expressão 6 vezes o radical 20 dividido por 3 vezes o radical 5 é equivalente a 1. 3 radical 15 2. 2 radical 15 3. 8 4. 4

Geometria

1.Se duas linhas diferentes são perpendiculares ao mesmo plano, elas são: a. Collinear b. Coplanar c. Congruente d. Consecutiva Acho que a resposta é B, correto? Além disso, este: 2. Expresse o radical 3 75 mais o radical 27 completo3

História

qual resposta descreve melhor a relação de Andrew johnson com os republicanos radicais? A: ele fundou o movimento republicano radical B: ele trabalhou com os republicanos radicais para aprovar uma legislação importante C: você votou frequentemente


Dividindo Expressões Radicais (Racionalizando o Denominador)

Para dividir expressões radicais com o mesmo índice, usamos a regra de quociente para radicais. Se uma e b representam números não negativos, onde b ≠ 0, então temos

Exemplo 10: Divide: 80 10.

Solução: Nesse caso, podemos ver que 10 e 80 têm fatores comuns. Se aplicarmos a regra de quociente para radicais e a escrevermos como uma única raiz quadrada, seremos capazes de reduzir o radical fracionário.

Exemplo 11: Divida: 16 x 5 y 4 2 x y.

Exemplo 12: Divida: 54 a 3 b 5 3 16 a 2 b 2 3.

Quando o divisor de uma expressão radical contém um radical, é uma prática comum encontrar uma expressão equivalente onde o denominador é um número racional. Encontrar essa expressão equivalente é denominado racionalizar o denominador. O processo de determinar uma expressão radical equivalente com um denominador racional. .

Para fazer isso, multiplique a fração por uma forma especial de 1 para que o radicand no denominador possa ser escrito com uma potência que corresponda ao índice. Depois de fazer isso, simplifique e elimine o radical no denominador. Por exemplo,

Lembre-se de que, para obter uma expressão equivalente, você deve multiplicar o numerador e o denominador exatamente pelo mesmo fator diferente de zero.

Exemplo 13: Racionalize o denominador: 3 2.

Solução: O objetivo é encontrar uma expressão equivalente sem um radical no denominador. Neste exemplo, multiplique por 1 na forma 2 2.

Exemplo 14: Racionalize o denominador: 1 2 3 x.

Solução: O radicand no denominador determina os fatores que você precisa usar para racionalizá-lo. Neste exemplo, multiplique por 1 na forma 3 x 3 x.

Normalmente, encontraremos a necessidade de reduzir ou cancelar, após racionalizar o denominador.

Exemplo 15: Racionalize o denominador: 5 2 5 a b.

Solução: Neste exemplo, vamos multiplicar por 1 na forma 5 a b 5 a b.

Notar que uma e b não cancele neste exemplo. Não cancele fatores dentro de um radical com aqueles que estão fora.

Experimente isso! Racionalize o denominador: 4 a 3 b.

Solução de Vídeo

Até este ponto, vimos que multiplicar um numerador e um denominador por uma raiz quadrada com exatamente o mesmo radical resulta em um denominador racional. Em geral, isso é verdade apenas quando o denominador contém uma raiz quadrada. No entanto, esse não é o caso de uma raiz cúbica. Por exemplo,

Observe que multiplicar pelo mesmo fator no denominador não o racionaliza. Nesse caso, se multiplicarmos por 1 na forma de x 2 3 x 2 3, podemos escrever o radicand no denominador como uma potência de 3. Simplificar o resultado produz um denominador racionalizado. Por exemplo,

Portanto, para racionalizar o denominador de expressões radicais com um termo radical no denominador, comece fatorando o radical do denominador. Os fatores deste radical e o índice determinam pelo que devemos multiplicar. Multiplique o numerador e o denominador pelo na raiz dos fatores que produzem nª potências de todos os fatores no radical do denominador.

Exemplo 16: Racionalize o denominador: 1 25 3.

Solução: O radical no denominador é equivalente a 5 2 3. Para racionalizar o denominador, deve ser 5 3 3. Para obter isso, precisamos de mais um fator de 5. Portanto, multiplique por 1 na forma de 5 3 5 3.

Exemplo 17: Racionalize o denominador: 27 a 2 b 2 3.

Solução: Neste exemplo, vamos multiplicar por 1 na forma 2 2 b 3 2 2 b 3.

Exemplo 18: Racionalize o denominador: 1 4 x 3 5.

Solução: Neste exemplo, vamos multiplicar por 1 na forma 2 3 x 2 5 2 3 x 2 5.

Quando dois termos envolvendo raízes quadradas aparecem no denominador, podemos racionalizá-lo usando uma técnica muito especial. Essa técnica envolve a multiplicação do numerador e do denominador da fração pelo conjugado do denominador. Lembre-se de que multiplicar uma expressão radical por seu conjugado produz um número racional.

Exemplo 19: Racionalize o denominador: 1 3 - 2.

Solução: Neste exemplo, o conjugado do denominador é 3 + 2. Portanto, multiplique por 1 na forma (3 + 2) (3 + 2).

Observe que os termos que envolvem a raiz quadrada no denominador são eliminados pela multiplicação pelo conjugado. Podemos usar a propriedade (a + b) (a - b) = a - b para agilizar o processo de multiplicação das expressões no denominador.

Exemplo 20: Racionalize o denominador: 2 - 6 2 + 6.

Solução: Multiplique por 1 na forma 2 - 6 2 - 6.

Exemplo 21: Racionalize o denominador: x + y x - y.

Solução: Neste exemplo, vamos multiplicar por 1 na forma x - y x - y.

Experimente isso! Racionalize o denominador: 3 5 + 5 2 5 - 3.

Solução de Vídeo

Principais vantagens

  • Para multiplicar duas expressões radicais de termo único, multiplique os coeficientes e multiplique os radicandos. Se possível, simplifique o resultado.
  • Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar expressões radicais com vários termos. Em seguida, simplifique e combine todos os radicais semelhantes.
  • Multiplicar uma expressão radical de dois termos envolvendo raízes quadradas por seu conjugado resulta em uma expressão racional.
  • É prática comum escrever expressões radicais sem radicais no denominador. O processo de encontrar tal expressão equivalente é chamado de racionalização do denominador.
  • Se uma expressão tiver um termo no denominador envolvendo um radical, racionalize-o multiplicando o numerador e o denominador pelo na raiz dos fatores do radical para que suas potências sejam iguais ao índice.
  • Se uma expressão radical tiver dois termos no denominador envolvendo raízes quadradas, racionalize-a multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado.

Exercícios de tópico

Parte A: Multiplicando Expressões Radicais

Multiplicar. (Suponha que todas as variáveis ​​sejam não negativas.)


(9.2.3) & # 8211 Converter expressões com expoentes racionais em seus equivalentes radicais

Podemos escrever radicais com expoentes racionais e, como veremos quando simplificarmos expressões radicais mais complexas, isso pode tornar as coisas mais fáceis. Ter diferentes maneiras de expressar e escrever expressões algébricas nos permite ter flexibilidade para resolvê-las e simplificá-las. É como ter um dicionário de sinônimos ao escrever, você quer ter opções para se expressar!

Exemplo

Escreva [latex] sqrt [4] <81> [/ latex] como uma expressão com um expoente racional.

Responder

Exemplo

Expresso [latex] 4 sqrt [3][/ latex] com expoentes racionais.

Como 4 está fora do radical, ele não é incluído no símbolo de agrupamento e o expoente não se refere a ele.

Responder


Expressão Radical

DEFINIÇÃO& emsp & emspA enésima raiz de um número real a é denotada por raiz (n, a). É um número cuja enésima potência é a, isto é, (root (n, a)) ^ n com as seguintes condições:

& emsp & emsp1. Quando n é um número par e a & gt0, root (n, a) & gt0, chamada de raiz principal.

& emsp & emsp & emsp Quando n é um número par e a & lt0, root (n, a) não é um número real.

& emsp & emsp2. Quando n é um número ímpar e a & gt0, root (n, a) & gt0.

& emsp & emsp & emsp Quando n é um número ímpar e a & lt0, raiz (n, a) & lt0

& emsp & emspO n na raiz (n, a) (sempre um número natural maior que 1) é chamado de índice ou a ordem do radical, e a é chamado de radicando. Quando não há índice indicado, como na raiz (a), o índice 2 é implícito e é lido & ldquothe raiz quadrada de a. "Quando o índice é 3 como na raiz (3, a), é lido & ldquothe raiz cúbica de a. "

EXEMPLOS e emsp e emsp1. root (49) = root (7 ^ 2) = (root (7)) ^ 2 = 7

& emsp & emsp Da definição de expoentes fracionários (página 321) e da definição de radicais, para um , m, n , temos

& emsp & emspproviding root (n, a) e a ^ (1 / n) são definidos.

& emsp & emspAs relações acima nos permitem expressar radicais como expoentes fracionários e expoentes fracionários como radicais.

EXEMPLOS e emsp e emsp1. root (5,3) = 3 ^ (1/5)

& emsp & emsp Quando o valor de uma expressão radical é um número racional, dizemos que é uma raiz perfeita Visto que a raiz (n, a ^ nk) = a ^ k, uma expressão radical é uma raiz perfeita se o radicand puder ser expresso como um produto de fatora cada um para um expoente que é um múltiplo integral do índice radical.

& emsp & emspO valor do radical é obtido formando o produto dos fatores. onde o expoente de cada fator é seu expoente original dividido pelo índice radical.

EXEMPLOS e emsp e emsp1. & emsp & emsp root (5 ^ 6) = 5 ^ (6/2) = 5 ^ 3

Note & emsp & emspRaízes não perfeitas, como raiz (2), raiz (3,2), raiz (3), raiz (4,5), raiz (5,4), raiz 1 + (2) e raiz 5 (3,9) são números irracionais. Um número irracional é um número que não pode ser expresso na forma p / q, onde p, q & isin , q! = 0.

Note & emsp & emsp1. Como a ^ (m / n) = a ^ (mk / nk) para todo a & gt0, a , e m, n & isin N, k , k & gt0, temos root (n, m) = root (nk, a ^ mk), desde nk e mk & isin N.

10.2 & emsp & emsp Forma padrão de radicais

TEOREMA& emsp & emsp Se a, b & isin R, a & gt0, b & gt0 e n & isin N então root (n, ab) = root (n, a) root (n, b).

Prova& emsp & emsp & emsp & emsp root (n, ab) = (ab) ^ (1 / n) = a ^ (1 / n) b ^ (1 / n) = root (n, a) root (n, b)

EXEMPLOS& emsp & emsp1. root (32) = root (2 ^ 5) = root (2 ^ 4 * 2 ^ 1)

Vamos ver mais alguns problemas e nosso solucionador passo a passo simplificará as expressões radicais. Clique em "Solve Similar" para mais exemplos.

& emsp & emspA expressão 3y root (3, x ^ 2y) é chamada de forma padrão da expressão root (3,27x ^ 2y ^ 4).

& emsp & emspA expressão radical é considerada na forma padrão se as seguintes condições forem mantidas:

& emsp & emsp1. O radicand é positivo.

& emsp & emsp2. O índice radical é o menor possível.

& emsp & emsp3. O expoente de cada fator do radical radicular é um número natural menor que o índice do radical.

& emsp & emsp4. Não há frações no Radicand.

& emsp & emsp5. Não há radicais no denominador de uma fração.

& emsp & emspPor simplificar uma expressão radical, queremos dizer colocar a expressão radical na forma padrão.

& emsp & emsp Quando o radicand é negativo, a definição nos dá o seguinte:

& emsp & emsp Quando n é par e a & gt0, & emsp & emsp root (n, -a) não é um número real.

EXEMPLOS e emsp e emsp1. root (3, -5) = - root (3,5)

Quando o índice radical e os expoentes de todos os fatores no radicand têm um fator comum, divida o índice radical e os expoentes dos fatores do radicand por seu fator comum. Ou seja, aplique root (nk, a ^ mk) = root (n, a ^ m) para obter o menor índice radical possível.

EXEMPLO & emsp & emsp root (6, a ^ 2b ^ 4) = root (3, ab ^ 2)

Quando os expoentes de alguns fatores do radicando são maiores do que o índice radical, mas não um múltiplo integral dele, escreva cada um desses fatores como um produto de dois fatores, um fator com um expoente que é um múltiplo integral do índice radical, e o outro fator com um expoente menor que o índice radical. Por exemplo,

Em seguida, aplique o teorema raiz (n, ab) = raiz (n, a) raiz (n, b). Escreva os fatores com expoentes que são múltiplos inteiros do índice sob um radical, obtendo assim uma raiz perfeita. e os outros fatores com expoentes menores que o índice do radical sob o outro radical.

EXEMPLO & emsp & emsp root (3, x ^ 7) = root (3, x ^ 6 * x) = root (3, x ^ 6) root (3, x) = x ^ 2root (3, x)

Os casos em que há frações no radicando e radicais no denominador de uma fração serão discutidos posteriormente.

EXEMPLO & emsp & emsp Coloque a raiz (2 ^ 3x ^ 5) na forma padrão.

Solution & emsp & emsp & emsp root (2 ^ 3x ^ 5) = root ((2 ^ 2 * 2) (x ^ 4 * x)

EXEMPLO & emsp & emsp Coloque a raiz (8x ^ 3y ^ 2z ^ 5) na forma padrão.

Solução & emsp & emsp & emsp root (8x ^ 3y ^ 2z ^ 5) = raiz (2 ^ 3x ^ 3y ^ 2z ^ 5)

EXEMPLO & emsp & emsp Coloque root (3,2 ^ 4x ^ 6y ^ 5z ^ 10) na forma padrão.

Solução & emsp & emsp & emsp root (3,2 ^ 4x ^ 6y ^ 5z ^ 10) = root (3, (2 ^ 3 * 2) x ^ 6 (y ^ 3 * y ^ 2) (z ^ 9 * z)

EXEMPLO & emsp & emsp Coloque root (3, -2x ^ 11y ^ 4 na forma padrão.

Solução & emsp & emsp & emsp root (3, -2x ^ 11y ^ 4 = -root (3,2 (x ^ 9 * x ^ 2) (y ^ 3 * y))

EXEMPLO & emsp & emsp Coloque a raiz (4,64x ^ 4y ^ 10) na forma padrão.

Solução & emsp & emsp & emsp root (4,64x ^ 4y ^ 10) = root (4,2 ^ 6x ^ 4y ^ 10)

10.3 & emsp & emspCombinação de expressões radicais

DEFINIÇÃO & emsp & emspExpressões radicais são ditas semelhantes quando têm o mesmo índice de radical e o mesmo radical.

EXEMPLOS e emsp e emsp1. As expressões redical 3root (2) e 5root (2) são semelhantes.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp 2. As expressões redical root (24) e root (54) podem ser semelhantes.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp 3. As expressões redical root root (18) e root (27) não são semelhantes.

Expressões radicais podem ser combinadas apenas quando são semelhantes. Primeiro colocamos as expressões radicais na forma padrão e depois combinamos radicais semelhantes usando a lei distributiva.

EXEMPLO & emsp & emspSimplifique root (54) -root (24) + root (150) e combine expressões redical semelhantes.

Solution & emsp & emsp root (54) -root (24) + root (150)

EXEMPLO & emsp & emspSimplifique x root (147y ^ 3) + y root (75x ^ 2y) - root (48x ^ 2y ^ 3) e combine redicals semelhantes.

Solution & emsp & emsp x root (147y ^ 3) + y root (75x ^ 2y) - root (48x ^ 2y ^ 3)

Vamos ver mais alguns problemas e nosso solucionador passo a passo simplificará a combinação de expressões radicais. Clique em "Solve Similar" para mais exemplos.

EXEMPLO & emsp & emspSimplifique 3root (8) -root (3,81) -root (128) + root (3.375) e combine redicals semelhantes.

Solução & emsp & emsp 3root (8) -root (3,81) -root (128) + raiz (3.375)


4 radicais e expoentes racionais

Uma loja de ferragens vende escadas de 16 pés e escadas de 24 pés. Uma janela está localizada a 3,6 metros acima do solo. É necessário comprar uma escada que alcance a janela a partir de um ponto no solo a 5 pés do edifício. Para descobrir o comprimento da escada necessária, podemos desenhar um triângulo retângulo como mostrado na (Figura) e usar o Teorema de Pitágoras.

Agora, precisamos descobrir o comprimento que, quando elevado ao quadrado, é 169, para determinar qual escada escolher. Em outras palavras, precisamos encontrar uma raiz quadrada. Nesta seção, investigaremos métodos para encontrar soluções para problemas como este.

Avaliando Raízes Quadradas

Quando a raiz quadrada de um número é elevada ao quadrado, o resultado é o número original. Desdea raiz quadrada deéA função de raiz quadrada é o inverso da função de quadratura, assim como a subtração é o inverso da adição. Para desfazer a quadratura, obtemos a raiz quadrada.

Em termos gerais, seé um número real positivo, então a raiz quadrada deé um número que, quando multiplicado por si mesmo, dáA raiz quadrada pode ser positiva ou negativa porque a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo. A raiz quadrada principal é o número não negativo que, quando multiplicado por ele mesmo, é igual aA raiz quadrada obtida usando uma calculadora é a raiz quadrada principal.

A principal raiz quadrada deé escrito comoO símbolo é denominado radical, o termo sob o símbolo é denominado radicando e a expressão inteira é denominada expressão radical.

A principal raiz quadrada deé o número não negativo que, quando multiplicado por si mesmo, é igualÉ escrito como uma expressão radical , com um símbolo denominado radical sobre o termo denominado radicand:

Faz

Não. Embora amboseestáo símbolo radical implica apenas uma raiz não negativa, a raiz quadrada principal. A raiz quadrada principal de 25 é

  1. Porque
  2. Porquee
  3. Porque
  4. Porquee

Parapodemos encontrar as raízes quadradas antes de adicionar?

Não.Isso não é equivalente aA ordem das operações exige que adicionemos os termos no radicand antes de encontrar a raiz quadrada.

Usando a regra de produto para simplificar raízes quadradas

Para simplificar uma raiz quadrada, nós a reescrevemos de forma que não haja quadrados perfeitos no radical radicular. Existem várias propriedades de raízes quadradas que nos permitem simplificar expressões radicais complicadas. A primeira regra que veremos é a regra do produto para simplificar raízes quadradas, o que nos permite separar a raiz quadrada de um produto de dois números no produto de duas expressões racionais separadas. Por exemplo, podemos reescreverComoTambém podemos usar a regra do produto para expressar o produto de múltiplas expressões radicais como uma única expressão radical.

Seesão não negativos, a raiz quadrada do produtoé igual ao produto das raízes quadradas dee

Dada uma expressão radical de raiz quadrada, use a regra do produto para simplificá-la.

  1. Fatore quaisquer quadrados perfeitos do Radicand.
  2. Escreva a expressão radical como um produto de expressões radicais.
  3. Simplificar.

Simplifique a expressão radical.



Simplificar

Observe os sinais de valor absoluto ao redor x e y? Isso porque seu valor deve ser positivo!

Dado o produto de múltiplas expressões radicais, use a regra do produto para combiná-los em uma expressão radical.

  1. Expresse o produto de múltiplas expressões radicais como uma única expressão radical.
  2. Simplificar.

Simplifique a expressão radical.

Simplificarassumindo

Usando a regra do quociente para simplificar raízes quadradas

Assim como podemos reescrever a raiz quadrada de um produto como um produto de raízes quadradas, também podemos reescrever a raiz quadrada de um quociente como um quociente de raízes quadradas, usando o regra de quociente para simplificar raízes quadradas. Pode ser útil separar o numerador e o denominador de uma fração em um radical para que possamos obter suas raízes quadradas separadamente. Podemos reescreverComo

A raiz quadrada do quocienteé igual ao quociente das raízes quadradas deeOnde

Dada uma expressão radical, use a regra de quociente para simplificá-la.

  1. Escreva a expressão radical como o quociente de duas expressões radicais.
  2. Simplifique o numerador e o denominador.

Simplifique a expressão radical.

Simplificar

Não precisamos dos sinais de valor absoluto paraporque esse termo sempre será não negativo.

Simplifique a expressão radical.

Simplificar

Adicionando e subtraindo raízes quadradas

Podemos adicionar ou subtrair expressões radicais apenas quando eles têm o mesmo radical e quando têm o mesmo tipo de radical, como raízes quadradas. Por exemplo, a soma deeéNo entanto, muitas vezes é possível simplificar as expressões radicais, e isso pode mudar o radical. A expressão radicalpode ser escrito com umno Radicand, comoassim

Dada uma expressão radical que requer adição ou subtração de raízes quadradas, resolva.

Adicionar

Podemos reescreverComoDe acordo com a regra do produto, isso se tornaA raiz quadrada deé 2, então a expressão se tornaqual éAgora os termos têm o mesmo radical, então podemos adicionar.

Adicionar

Subtrair

Reescreva cada termo para que tenham radicandos iguais.

Agora, os termos têm o mesmo radical, então podemos subtrair.

Subtrair

Racionalizando Denominadores

Quando uma expressão envolvendo radicais de raiz quadrada é escrita na forma mais simples, ela não conterá um radical no denominador. Podemos remover radicais dos denominadores de frações usando um processo chamado racionalizando o denominador.

Sabemos que multiplicar por 1 não muda o valor de uma expressão. Usamos essa propriedade de multiplicação para alterar expressões que contêm radicais no denominador. Para remover os radicais dos denominadores das frações, multiplique pela forma de 1 que eliminará o radical.

Para um denominador contendo um único termo, multiplique pelo radical no denominador sobre ele mesmo. Em outras palavras, se o denominador formultiplique por

Para um denominador contendo a soma ou diferença de um termo racional e um irracional, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é encontrado alterando o sinal da porção radical do denominador. Se o denominador forentão o conjugado é

Dada uma expressão com um único termo radical de raiz quadrada no denominador, racionalize o denominador.

Escrevana forma mais simples.

O radical no denominador éEntão multiplique a fração porEm seguida, simplifique.

Escrevana forma mais simples.

Dada uma expressão com um termo radical e uma constante no denominador, racionalize o denominador.

  1. Encontre o conjugado do denominador.
  2. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado.
  3. Use a propriedade distributiva.
  4. Simplificar.

Escrevana forma mais simples.

Comece encontrando o conjugado do denominador escrevendo o denominador e mudando o sinal. Portanto, o conjugado deéEm seguida, multiplique a fração por

Escrevana forma mais simples.

Usando Rational Roots

Embora as raízes quadradas sejam as raízes racionais mais comuns, também podemos encontrar raízes cúbicas, 4ª raízes, 5ª raízes e muito mais. Assim como a função de raiz quadrada é o inverso da função de quadratura, essas raízes são o inverso de suas respectivas funções de potência. Essas funções podem ser úteis quando precisamos determinar o número que, quando elevado a uma certa potência, dá um certo número.

Entendimento nth Roots

Suponha que saibamos queQueremos descobrir qual número elevado à 3ª potência é igual a 8. Uma vez quedizemos que 2 é a raiz cúbica de 8.

O na raiz deé um número que, quando elevado ao no poder, dáPor exemplo,é a 5ª raiz dePorqueSeé um número real com pelo menos um na raiz, então o principal na raiz deé o número com o mesmo sinal queque, quando elevado ao nº poder, igual

O diretor da escola na raiz deé escrito comoOndeé um número inteiro positivo maior ou igual a 2. Na expressão radical,é chamado de índice do radical.

Diretor a Raiz

Seé um número real com pelo menos um na raiz, então o principal na raiz deescrito comoé o número com o mesmo sinal queque, quando elevado ao nº poder, igualO índice do radical é

Simplifique cada um dos seguintes:

  1. Porque
  2. Primeiro, expresse o produto como uma única expressão radical.Porque

Usando Expoentes Racionais

Expressões radicais também podem ser escritas sem usar o símbolo radical. Podemos usar expoentes racionais (fracionários). O índice deve ser um número inteiro positivo. Se o índiceé mesmo entãonão pode ser negativo.

Também podemos ter expoentes racionais com numeradores diferentes de 1. Nesses casos, o expoente deve ser uma fração em termos mais baixos. Nós elevamos a base a um poder e tomamos um na raiz. O numerador nos diz a potência e o denominador nos diz a raiz.

Todas as propriedades dos expoentes que aprendemos para expoentes inteiros também são válidas para expoentes racionais.

Os expoentes racionais são outra forma de expressar o principal nraízes th. A forma geral de conversão entre uma expressão radical com um símbolo radical e outra com um expoente racional é

Dada uma expressão com um expoente racional, escreva a expressão como um radical.

  1. Determine a potência observando o numerador do expoente.
  2. Determine a raiz observando o denominador do expoente.
  3. Usando a base como o radicando, eleve o radicand à potência e use a raiz como o índice.

Escrevacomo um radical. Simplificar.

O 2 nos diz o poder e o 3 nos diz a raiz.

Nós sabemos issoPorqueComo a raiz cúbica é fácil de localizar, é mais fácil encontrar a raiz cúbica antes de elevar ao quadrado para este problema. Em geral, é mais fácil encontrar a raiz primeiro e depois elevá-la a uma potência.

Escrevacomo um radical. Simplificar.

Escrevausando um expoente racional.

A potência é 2 e a raiz é 7, então o expoente racional seráNós temosUsando propriedades de expoentes, obtemos

Escrevausando um expoente racional.



Simplificar

Acesse esses recursos online para instrução adicional e prática com radicais e expoentes racionais.

Conceitos chave

  • A principal raiz quadrada de um númeroé o número não negativo que, quando multiplicado por si mesmo, é igual aVeja a figura).
  • Seesão não negativos, a raiz quadrada do produtoé igual ao produto das raízes quadradas deeVeja (Figura) e (Figura).
  • Seesão não negativos, a raiz quadrada do quocienteé igual ao quociente das raízes quadradas deeVeja (Figura) e (Figura).
  • Podemos adicionar e subtrair expressões radicais se elas tiverem o mesmo radical e o mesmo índice. Veja (Figura) e (Figura).
  • Expressões radicais escritas na forma mais simples não contêm um radical no denominador. Para eliminar a raiz quadrada do denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Veja (Figura) e (Figura).
  • O diretor da escola na raiz deé o número com o mesmo sinal queque quando elevado ao no poder é igualEssas raízes têm as mesmas propriedades das raízes quadradas.Veja a figura).
  • Os radicais podem ser reescritos como expoentes racionais e os expoentes racionais podem ser reescritos como radicais. Veja (Figura) e (Figura).
  • As propriedades dos expoentes se aplicam aos expoentes racionais. Veja a figura).

Exercícios de seção

Verbal

O que significa quando um radical não tem um índice? A expressão é igual a radicand? Explique.

Quando não há índice, presume-se que seja 2 ou a raiz quadrada. A expressão seria igual ao radical apenas se o índice fosse 1.

Onde iriam os radicais na ordem das operações? Explique por quê.

Cada número terá duas raízes quadradas. Qual é a raiz quadrada principal?

A raiz quadrada principal é a raiz não negativa do número.

Um radical com um radical negativo pode ter uma raiz quadrada real? Por que ou por que não?

Numérico

Para os exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

Algébrico

Para os exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

Aplicativos do mundo real

Um cabo de sustentação para uma ponte pênsil vai do solo na diagonal até o topo do poste mais próximo para fazer um triângulo. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do fio de sustentação necessário. O quadrado da distância entre o fio no solo e o poste no solo é de 90.000 pés. O quadrado da altura do poste é de 160.000 pés. Portanto, o comprimento do fio de sustentação pode ser encontrado avaliandoQual é o comprimento do fio de cara?

Um carro acelera a uma taxa deOnde t é o tempo em segundos após o carro sair do repouso. Simplifique a expressão.

Extensões

Para os exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

Glossário

indexe o número acima do sinal radical indicando o no principal raiz nth root o número com o mesmo sinal queque quando elevado ao no poder é igual raiz quadrada principal a raiz quadrada não negativa de um númeroque, quando multiplicado por si mesmo, é igual a radical o símbolo usado para indicar uma expressão de radical raiz uma expressão que contém um símbolo radical radical e o número sob o símbolo radical

Simplificando Expressões Radicais & # 8211 Exemplos

Você precisará entender o processo de simplificação de expressões radicais e estudar alguns exemplos para o seu exame de álgebra.

Em particular, você precisará saber como fatorar radicais, como realizar operações como adição e multiplicação em radicais e como expressar radicais como números racionais.

Simplificando Expressões Radicais & # 8211 Exercícios

2) Simplifique: ( sqrt <20> + 2 sqrt <45> + 4 sqrt <180> )

3) Simplifique: ( sqrt <28> + 5 sqrt <63> + 4 sqrt <112> )

4) Simplifique: ( sqrt <7> times sqrt <13> )

Radicais e # 8211 Respostas

1) A resposta correta é: (7 sqrt <2> )

2) A resposta correta é: (32 sqrt <5> )

(2 sqrt <5> + (2 vezes 3 sqrt <5>) + (4 vezes 6 sqrt <5>) = )

3) A resposta correta é: (33 sqrt <7> )

(2 sqrt <7> + (5 vezes 3 sqrt <7>) + (4 vezes 4 sqrt <7>) = )

4) A resposta correta é: ( sqrt <91> )

5) A resposta correta é: ( frac <6> <7> )

Radicais de fatoração

Ao simplificar expressões radicais, você precisa primeiro encontrar os fatores de cada um dos radicais na expressão.

Simplificando Expressões Radicais Exemplos & # 8211 1

Qual das respostas abaixo é igual a ( sqrt <192>? )

Responder: A resposta correta é d

Para problemas radicais como este, você precisa se lembrar de certos princípios matemáticos.

Para começar, lembre-se de fatorar o número dentro do sinal do radical.

1 × 192 = 192
2 × 96 = 192
3 × 64 = 192
4 × 48 = 192
6 × 32 = 192
8 × 24 = 192

Em seguida, verifique se algum desses fatores são quadrados perfeitos.

Nesse caso, o maior fator que é um quadrado perfeito é 64.

Agora encontre a raiz quadrada de 64.

Finalmente, você precisa colocar esse número na frente do sinal do radical e colocar o outro fator dentro do sinal do radical para resolver o problema.

( sqrt <192> = sqrt <64> times sqrt <3> = text 8 sqrt <3> )

Simplificando Expressões Radicais & # 8211 Exemplos Avançados

Seu exame pode apresentar problemas avançados de simplificação de expressões radicais envolvendo outras operações, como adição ou subtração.

Exemplo 2:

Responder:

O primeiro passo é encontrar os fatores das quantidades dentro dos signos radicais.

Em seguida, verifique se algum desses fatores são quadrados perfeitos.

( text2 sqrt <50> = text 2 times sqrt <25> times sqrt <2> )

( text3 sqrt <18> = text 3 times sqrt <9> times sqrt <2> )

Em seguida, simplifique os fatores que são quadrados perfeitos e some.

(( sqrt <16> times sqrt <2>) + ( text 2 times sqrt <25> times sqrt <2>) + ( text 3 times sqrt <9> times sqrt <2>) = )

((4 vezes sqrt <2>) + ( texto 2 vezes 5 vezes sqrt <2>) + ( texto 3 vezes 3 vezes sqrt <2>) = )

((4 + 10 + 9) times sqrt <2> = 23 sqrt <2> )

Multiplicação de radicais
Simplificando Expressões Radicais Exemplo 3:

Responder: A resposta correta é a A

Multiplique os números dentro dos sinais radicais.

Em seguida, coloque esse resultado dentro de um símbolo radical para sua resposta.

Racionalizando Radicais

Você pode encontrar problemas no exame que solicitam a racionalização de um número ou a expressão de um número radical como um número racional.

Simplificando Expressões Radicais & # 8211 Exemplos 4

Expresse o seguinte como um número racional:

Responder:

Neste problema, você deve encontrar as raízes cúbicas do numerador e denominador para eliminar o radical.


Simplifique as expressões radicais

Se combinarmos essas duas coisas, obteremos a propriedade do produto dos radicais e a propriedade do quociente dos radicais. These two properties tell us that the square root of a product equals the product of the square roots of the factors.

The answer can't be negative and x and y can't be negative since we then wouldn't get a real answer. In the same way we know that

These properties can be used to simplify radical expressions. A radical expression is said to be in its simplest form if there are

no perfect square factors other than 1 in the radicand

no fractions in the radicand and

no radicals appear in the denominator of a fraction.

If the denominator is not a perfect square you can rationalize the denominator by multiplying the expression by an appropriate form of 1 e.g.

are called conjugates to each other. The product of two conjugates is always a rational number which means that you can use conjugates to rationalize the denominator e.g.


SIMPLIFYING RADICALS

The idea here is to find a perfect square factor of the radicand, write the radicand as a product, and then use the product property to simplify.

9 is a perfect square, which is also a factor of 45 .

If the number under the radical has no perfect square factors, then it cannot be simplified further. For instance the number 17 cannot be simplified further because the only factors of 17 or 17 and 1 . So, there are no perfect square factors other than 1 .

Use the quotient property to write under a single square root sign.

An expression is considered simplified only if there is no radical sign in the denominator. If we do have a radical sign, we have to rationalize the denominator . This is achieved by multiplying both the numerator and denominator by the radical in the denominator. Note that here, we're just multiplying by a special form of 1 , so it doesn't change the value of the expression.

Sometimes we need to use a combination of steps.

21 and 9 have a common factor of 3 , so reduce the fraction under the radical.

Now rationalize the denominator.

We can only add or subtract two radical expressions if the radicands are the same. For example, 17 + 13 cannot be simplified any further. But we can simplify 5 2 + 3 2 by using the distributive property , because the radicands are the same.

Be careful! Sometimes, the radicands look different, but it's possible to simplify and get the same radicand.


Assista o vídeo: Operação com Radicais - Professora Angela (Outubro 2021).